Чисельні методи у механіці
Основи чисельних методів розв’язання задач алгебри, аналізу і звичайних диференціальних рівнянь. Теорія і алгоритми оптимізації диференціальних безперервних функцій за наявності обмежень і без них. Використання методу скінченних елементів у механіці.
| Рубрика | Математика |
| Вид | учебное пособие |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 06.04.2014 |
| Размер файла | 2,0 M |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
в переміщеннях;
в напруженнях;
змішане;
гібридне.
Відмінність між цими формулюваннями виникає залежно від виду варіаційного принципу, який використовується для побудови алгоритму МСЕ:
формулювання в переміщеннях - варіаційний принцип мінімуму потенціальної енергії Лагранжа;
формулювання в напруженнях - варіаційний принцип мінімуму додаткової работи Кастільяно;
змішане формулювання - змішаний принцип Рейснера;
гібридне формулювання - варіаційний принцип Хувашіцу та ін.
Процес скінченно-елементного аналізу. Процес скінченно-елементного аналізу включає певну послідовність кроків. Ця послідовність має дві канонічні конфігурації залежно від оточення, в якому використовується МСЕ:
математичний підхід;
фізичний підхід.
Схема математичного підходу. У центрі даного підходу перебуває математична модель. Звичайно це є звичайне диференціальне рівняння або рівняння в часткових похідних по просторових координатах за часом. Дискретна скінченно-елементна модель генерується шляхом застосування якого-небудь варіаційного принципу до початкової системи диференціальних рівнянь або ж методу зваженого відхилу в його ослабленому варіанті. Цей крок називається дискретизацією. Система скінченно-елементних рівнянь розв'язується одним з чисельних методів розв'язання великих систем алгебраїчних рівнянь. Внаслідок цього випливає так званий дискретний, або наближений, розв'язок.
Ідеальна фізична система в даному випадку може бути подана як реалізація математичної моделі; і навпаки, математична модель є ідеалізацією цієї системи. Наприклад, якщо математична модель є рівнянням Пуассона, то його реалізацією може бути проблема розподілу електростатичного заряду або розподіл тепла. В принципі, цей крок не істотний і може бути знехтуваний. Іншими словами, скінченно-елементна дискретизація може бути проведена і без звернення до фізики явища.
Концепція помилки, або похибки, виникає, коли наближений розв'язок підставляється в математичну модель. Ця підстановка називається верифікацією. Повна помилка чисельного підходу включає помилку розв'язання системи алгебраїчних рівнянь і похибку дискретизації. Підстановка наближеного розв'язку в ідеальну фізичну систему, тобто проведення тесту або досліду, в принципі, могла б дати оцінку цієї помилки моделювання. Проте в концепції математичного підходу МСЕ фізична система не виконує великої ролі і є лише деяким образом математичної моделі, яка ідеалізується.
Схема фізичного підходу. Центральною ланкою в цьому випадку є фізична система, яка повинна бути розрахована. Процедури ідеалізації і скінченно-елементної дискретизації проводяться одночасно, щоб одержати дискретну модель. Наближений дискретний розв'язок одержують аналогічно попередньому.
Ідеальна математична модель в даному підході може бути представлена як граничний перехід, або "континуалізація" дискретної моделі. Для певних фізичних систем, які добре моделюються безперервними полями, цей крок істотний, для інших, таких, як складні інженерні системи подібний перехід не має великого сенсу. Для них скінченно-елементна модель може бути побудована без звернення до математичних моделей тільки на основі експериментальних вимірювань.
Поняття похибки, або помилки, виникає у фізичному підході завдяки двом процедурам - верифікації чисельного розв'язку і оцінки результатів моделювання (ратифікації). Верифікація має той же сенс, що і в математичному підході: чисельний розв'язок підставляється в дискретну модель, внаслідок чого випливає похибка розв'язку. Підстановка наближеного розв'язку в ідеальну математичну модель, в принципі, може дати помилку дискретизації. Проте це рідко використовується в складних інженерних системах, оскільки, як правило, в даному випадку математичної моделі не існує і порівнювати одержаний розв'язок необхідно з початковою фізичною системою. Таким чином, оцінка, або ратифікація, чисельного розв'язку ґрунтується на порівнянні результатів моделювання з експериментальними даними, що і дає сумарну похибку моделювання.
Один із способів настроювання дискретної моделі для того, щоб вона краще відповідала фізичній системі, називається уточненням моделі. Наявні вільні параметри моделі визначаються шляхом порівняння дискретного наближеного розв'язку з результатами експерименту. Оскільки умови мінімізації помилки моделювання, як правило, нелінійні (навіть якщо скінченно-елементна модель лінійна), то процес уточнення є істотно ітераційним.
Підходи застосування МСЕ, які були розглянуті вище, не є взаємозапаречними, а доповнюють один одного. Історично фізичний підхід був першим для розроблення скінченно-елементних моделей дуже складних інженерних систем, таких, як літаки, кораблі і т. п. Математичний підхід виник пізніше і серед інших речей був покликаний забезпечити необхідний теоретичний фундамент МСЕ, для того, щоб розповсюдити метод для розв'язання різних міждисциплінарних задач конструкцій, які виходять за рамки загальноприйнятого аналізу міцності.
3.2 Основні поняття і концепція МСЕ
Термінологія. Класична аналітична механіка була розроблена Ейлером і Лагранжем у кінці 18-го століття і згодом розвинена Гамільтоном і Якобі як систематичне формулювання механіки Ньютона [7-10]. Об'єктами вивчення аналітичної механіки є моделі механічних систем від окремих частинок, що складаються з достатньо великого числа молекул, до складних інженерних конструкцій і тіл Сонячної системи. Просторова конфігурація будь-якої з таких систем описується числом ступенів вільності системи, або іншими словами, узагальненими координатами.
Якщо число ступенів вільності моделі кінцеве, модель називається дискретною і безперервною (континуальною) у іншому випадку.
Оскільки МСЕ є одним з методів дискретизації, то число ступенів вільності скінченно-елементної моделі також кінцеве. Всі ступені вільності збираються у матричний вектор, який позначається U і називається вектором ступенів вільності, або вектором стану. Термін "вектор вузлових переміщень", як правило, використовується в механічних додатках.
У аналітичній механіці кожному ступеню вільності відповідає зв'язана змінна, яка є узагальненою силою. У немеханічних додатках також існує подібна безліч зв'язаних змінних, які для універсальності називаються силами або силовими змінними. Ці сили об'єднуються в матричний вектор, що позначається F. Відзначимо, що внутрішній добуток вектора сил на вектор ступенів вільності має значення зовнішньої енергії або роботи.
Передбачається, що співвідношення між U і F є лінійним і однорідним. Останнє означає, що якщо U наближається до нуля, то і F наближається до нуля, в цьому випадку співвідношення між ними виражається таким основним рівнянням:
.
K для універсальності називається матрицею жорсткості, навіть у разі нечисто механічних додатків, оскільки до цього часу немає загальної згоди щодо позначення цієї матриці у різних дисциплінах.
Фізичне значення векторів U і F змінюється залежно від сфери застосування МСЕ, як це показано в таблиці 3.1.
Таблиця 3.1 - Фізичне визначення векторів U і F в різних скінченно-елементних додатках
|
Сфера застосування |
Вектор стану U |
Зв'язаний вектор F |
|
|
Механіка конструкцій і твердих тіл |
Переміщення |
Механічна сила |
|
|
Теплопровідність |
Теплопровідність |
Тепловий потік |
|
|
Потенціальна течія |
Тиск |
Швидкість частинки |
|
|
Загальний вид течії |
Швидкість |
Потік |
Помітимо, що якщо співвідношення між силами і переміщеннями лінійне, але неоднорідне, то попереднє рівняння узагальнюється за таким співвідношенням:
.
Тут є вузловим вектором початкових сил, який виникає, наприклад, при розв'язанні задач термопружності для урахування початкових температурних напружень; - вектор механічних сил.
Основні кроки МСЕ. Основні кроки МСЕ показані на рис. 3.1. Схематично їх можна позначити так:
1) ідеалізація;
2) дискретизація;
3) розв'язок.
Рисунок 3.1 - Основні кроки чисельного моделювання
Ідеалізація. Під ідеалізацією розуміють процес переходу від початкової фізичної системи до математичної моделі. Цей процес є найважливішим кроком при вирішенні технічної або інженерної задачі.
Ключовим пунктом у цьому процесі є поняття моделі, яку можна визначити як символічний пристрій, який побудований для моделювання і прогнозування поведінки системи. Математичне моделювання, або ідеалізація, є процесом, за допомогою якого інженер переходить від реальної фізичної системи до математичної моделі системи. Даний процес називається ідеалізацією, оскільки математична модель абстрагується від фізичної реальності.
Як приклад реальної фізичної системи розглянемо інженерну конструкцію у вигляді плоскої пластини, яка навантажена поперечними силами. Математичні моделі даної системи, які інженер може використовувати для аналізу напружень у пластині, можуть бути такими:
1. Модель дуже тонкої пластини, що базується на теорії вигину мембран.
2. Модель тонкої пластини, що базується на класичній теорії Кірхгофа.
3. Модель досить товстої пластини, що базується, наприклад, на теорії Міндліна-Рейснера.
4. Модель дуже товстої пластини, що базується на тривимірній теорії пружності.
Очевидно, інженер повинен володіти достатніми теоретичними знаннями, щоб правильно вибрати відповідну математичну модель системи (конструкції), яку йому необхідно досліджувати.
Явне і неявне моделювання. Як було відмічено, діаграма на рис. 3.1 є спрощеною схемою інженерного процесу. Розглянемо сучасний сценарій дій інженера-механіка у великій компанії. Припустимо, необхідно розрахувати деяку технічну конструкцію за допомогою деякого комерційного універсального скінченно-елементного комплексу. Як правило, будь-який комерційний пакет пропонує широкий каталог різних типів елементів. Наприклад, стрижньові, балкові, оболонкові, осесиметричні, тривимірні і т. д. У момент вибору того або іншого елемента з каталогу інженер автоматично приймає деяку математичну модель, на якій цей елемент ґрунтується. Це називається безумовним моделюванням. У ідеалі інженер повинен бути повністю компетентний у прийнятті рішення.
Під явним моделюванням розуміється підхід, коли вибору математичної моделі надається значна увага. При цьому отримуються спеціалізовані скінченно-елементні програми, що реалізовують дану модель, або ж такі програми пишуться самостійно. Очевидно, даний підхід вимагає набагато більше знань, досвіду і ресурсів, ніж безумовне моделювання. Проте для багатьох задач, які не можуть бути вирішені за допомогою загального підходу, явне моделювання є єдиним способом рішення. Помітимо, що на практиці часто використовуються комбінації обох підходів.
Дискретизація. Математичне моделювання є першим спрощувальним кроком при вирішенні реальних інженерних задач. Проте математичні моделі фізичних систем зовсім необов'язково прості для вирішення. Вони часто описуються зв'язаними системами рівнянь в часткових похідних за простором і часом і складними граничними умовами. Такі моделі мають нескінченне число ступенів вільності.
Розв'язок одержаних рівнянь може бути аналітичним або чисельним. Аналітичні розв'язки, які називаються також розв'язками в замкненій формі, можуть бути застосовані до широкого класу задач, оскільки виражаються в символічній формі. Проте, на жаль, можливість їх отримання обмежена простими рівняннями, регулярними областями і постійними граничними умовами.
Оскільки більшість проблем, що стоять перед інженером, не може бути вирішено аналітично або вимагають для цього непропорційно великих зусиль, то єдиною альтернативою є застосування чисельного моделювання.
Для того щоб чисельне моделювання могло бути застосоване на практиці, необхідне зменшення числа ступенів вільності до кінцевого значення. Цей процес називається дискретизацією. Результатом процесу дискретизації є дискретна модель. Для складних інженерних систем ця модель є результатом багаторівневої декомпозиції. Відзначимо, що дискретизації можуть піддаватися як просторові координати, так і час. Відповідно виділяють просторову дискретизацію і часову.
Джерела помилки і апроксимація. Як показано на рис. 3.1, кожен крок чисельного моделювання вносить свою помилку. У інженерній практиці похибка переходу від фізичної моделі до математичної є однією з найістотніших. Проте помилки цього кроку достатньо важкі і дорогі для оцінки, оскільки, верифікація моделі вимагає порівняння з експериментальними даними, об'єм яких часто недостатній або ж вони взагалі відсутні у разі нових інженерних продуктів.
Наступна за важливістю - помилка дискретизації. Навіть якщо помилка етапу вирішення дискретної моделі ігнорується, одержаний чисельний розв'язок загалом є лише апроксимацією, або наближенням, точного розв'язку математичної моделі. Так ми одержуємо помилку, або похибку, дискретизації. Вивченням властивостей і поведінки цієї помилки займається розділ чисельних методів, який називається теорією апроксимації.
Інтуїтивно можна очікувати, що точність вирішення дискретної моделі повинна поліпшуватися при збільшенні числа ступенів вільності моделі, і, отже, помилка дискретизації наближається до нуля при наближенні числа ступенів вільності до нескінченності. Дане твердження описує так звану вимогу збігу наближеного розв'язку. Проте доведення цього твердження не завжди можливе і є одним з ключових цілей теорії апроксимації.
Загальна схема алгоритму МСЕ. Послідовність процедур алгоритму МСЕ може бути представлена у такому вигляді:
1. Дискретизація даної області, тобто заміна континуального середовища сукупністю СЕ заданої форми, які сполучені між собою у вузлах кінцевим числом зв'язків.
Цей етап, незважаючи на видиму простоту, має важливе значення, хоча він і не обумовлений строгими теоретичними рекомендаціями і багато в чому визначається інтуїтивно. Звичайно при побудові скінченно-елементної моделі керуються попередніми уявленнями про характер очікуваного результату і в місцях високих градієнтів шуканих величин сітку скінченних елементів згущують.
2. Вибір варіаційного принципу. Вибір варіаційного принципу визначає основні невідомі функції, через які згодом встановлюється решта невідомих. У задачах механіки твердого тіла, яке деформується, використовуються такі варіаційні принципи: принцип Лагранжа, відповідно до якого варіюються переміщення; принцип Кастільяно (варіюються напруження), принцип Рейснера (варіюються переміщення і напруження), принцип Ху-Вашицу (варіюються переміщення, напруження і деформації).
У практичних розрахунках найчастіше використовується принцип Лагранжа. Тому подальше викладення базується на його основі.
3. Вибір апроксимуючих функцій. При кусково-безперервній апроксимації передбачається, що переміщення усередині елемента можуть бути виражені через переміщення в його вузлах. Цей зв'язок описується за допомогою так званих функцій форми, які апроксимують дійсне поле переміщень усередині елемента. Від вибору апроксимуючих функцій значною мірою залежить точність розв'язку. Ці функції повинні задовольняти такі критерії:
1) критерій повноти: при наближенні розмірів елемента до нуля вибрані функції форми повинні забезпечити будь-які прості значення;
2) критерій сумісності: функції форми повинні забезпечувати безперервність переміщень і їх похідних до (n-1) -го порядку на межі між елементами (де n-порядок старшої похідної у функціоналі енергії).
При виконанні цих критеріїв із збільшенням числа скінченних елементів, що моделюють конструкцію, результати розрахунку монотонно збігаються до точного розв'язку. Порушення критерію сумісності у ряді випадків приводить до достовірного результату, але збіг у цих випадках не буде монотонним.
4. Реалізація варіаційного принципу. На цьому етапі здійснюються обчислення матриць жорсткостей елементів і побудова глобальної матриці системи алгебраїчних рівнянь і вектора вузлових сил. Глобальна матриця жорсткості може бути одержана декількома методами:
- методом безпосереднього додавання жорсткостей;
- методом конгруентного перетворення;
- за допомогою скінченно-різницевих операторів.
5. Урахування граничних умов. Одержана на основі названих методів матриця жорсткості є виродженою, оскільки відповідно до рівнянь рівноваги заданої системи частина рівнянь (для просторових систем - шість, а для плоских - три) виявляться взаємно залежними. Коригування цієї матриці при урахуванні граничних умов приводить до невиродженої системи лінійних алгебраїчних рівнянь.
6. Розв'язання системи алгебраїчних рівнянь. Для розв'язання системи алгебраїчних рівнянь використовуються стандартні програми і спеціально підготовлені системи, які найкраще враховують симетрію і структуру матриці жорсткості - рідкозаповненість або стрічковість.
7. Визначення деформацій і напружень. Після визначення вузлових переміщень відповідно до відомих співвідношень теорії пружності можуть бути визначені деформації і напруження.
3.3 Поняття про скінченні елементи
Визначення. Як було відмічено у попередніх розділах, метод скінченних елементів є найпоширенішим наближеним методом в механіці твердого тіла і може бути інтерпретований з фізичної або математичної точки зору.
Основа фізичної концепції МСЕ - це розбиття математичної моделі конструкції на непересічні компоненти (підобласті) простої геометрії, які називаються скінченними елементами, або просто елементами (скорочено). Безліч елементів, на які розбита конструкція, називається скінченно-елементною сіткою. Механічна поведінка кожного елемента виражається за допомогою кінцевого числа ступенів вільності, або значень шуканих функцій в безлічі вузлових точок. Поведінка математичної моделі, таким чином, апроксимується поведінкою дискретної моделі, яка одержана шляхом збирання або ансамблювання всіх елементів. Помітимо, що концепція розбиття-збирання природно виникає при дослідженні багатьох штучних або "живих" систем. Наприклад, легко уявити міст, будівлю, двигун або скелет як складну систему, складену з простих компонентів. Помітимо також, що на відміну від методу скінченних різниць скінченні елементи не накладаються один на одного в просторі.
Атрибути елемента. Розглянемо основні типи скінченних елементів і їх властивості, які називаються атрибутами елементів (рис. 3.2).
1. Власна розмірність. Скінченні елементи можуть описуватися однією, двома або трьома просторовими координатами залежно від розмірності задачі, для розв'язання якої вони призначені. Відповідне число внутрішніх або локальних координат називається власною розмірністю елемента. У динамічному аналізі час розглядається як додаткова розмірність. Відзначимо, що в розрахунках використовуються також спеціальні елементи з нульовою розмірністю, такі, як точкові маси або зосереджені пружні елементи (пружини).
2. Вузлові точки. Кожен елемент описується безліччю характерних точок, які називаються вузловими точками або вузлами-скорочено. Вузли призначені для описання геометрії елемента і для задання фізичних ступенів вільності (числа невідомих функцій). Вузли звичайно знаходяться в кутових або крайніх точках елемента, але можуть бути також розміщені між кутовими вузлами і усередині елемента. Дана відмінність пов'язана з порядком апроксимації, який забезпечує даний кінцевий елемент. Елементи, що мають тільки кутові вузли, називаються лінійними і забезпечують лінійну інтерполяцію геометрії і функцій. Елементи, що мають додаткові вузли на своїх границях між кутовими точками, можуть забезпечувати квадратичну або навіть кубічну інтерполяцію (рис. 3.2). У першому випадку такі елементи називаються квадратичними. Відзначимо також, що існують елементи, що мають внутрішні вузли. Теоретично такі елементи забезпечують точніший опис геометрії тіла і шуканих функцій, проте значного поширення даний тип елементів не набув. За наявності сучасних автоматичних генераторів скінченно-елементних сіток часто буває простішим і зручнішим розбити конструкцію на велику кількість лінійних елементів простої форми, ніж використовувати елементи високого порядку.
Рисунок 3.2 - Основні типи скінченних елементів для одно-, дво- і тривимірних задач механіки
3. Геометрія елемента. Геометрія елемента визначається розміщенням вузлових точок. Більшість елементів, які використовуються в розрахунках, мають достатньо просту геометричну форму. Наприклад, в одновимірному випадку елементи звичайно є прямолінійними відрізками або сегментами кривих ліній; у двовимірному випадку елементи мають тристоронню або чотиристоронню форму; у тривимірних задачах найбільш поширені такі геометричні фігури, як тетраедри, призми і гексаедри (рис. 3.2).
4. Ступені вільності. Ступені вільності визначають фізичний стан елемента, тобто фізичне поле, яке описує даний елемент. Завдяки загальним ступеням вільності в сусідніх елементах здійснюються збирання моделі і формування глобальної системи скінченно-елементних рівнянь. Як ступені вільності можуть фігурувати як вузлові значення невідомої функції, так і її похідні по просторових координатах у вузлах. У першому випадку елементи належать до типу лагранжевих елементів; у другому випадку - типу ермітових елементів. Наприклад, у простій задачі про розтягування стрижня невідомою функцією є поздовжнє переміщення стрижня. Відповідно як ступені вільності застосовуються вузлові значення даної функції, і, отже, скінченний елемент належить до лагранжевого типу. Навпаки, у задачі про вигин стрижня невідомою функцією є поперечне переміщення центральної осі стрижня, а як ступені вільності застосовуються як вузлові значення самої функції, так і її похідної по поздовжній координаті. Фізичне значення цієї похідної - кут повороту поперечного перетину стрижня. Таким чином, скінченний елемент, який використовується у розрахунках стрижня на вигин, належить до типу ермітових елементів. Помітимо також, що дані позначення походять від назви поліномів Лагранжа і Ерміта, які широко використовуються в чисельних методах для інтерполяції функцій за вузловими значеннями.
5. Вузлові сили. Система вузлових сил повністю відповідає ступеням вільності елемента і виражається за допомогою глобального вектора вузлових сил.
6. Визначальні співвідношення. Для скінченних елементів, які використовуються в механічних розрахунках, визначальне співвідношення задає поведінку матеріалу, з якого виготовлена конструкція. Наприклад, як таке співвідношення у багатьох випадках використовується узагальнений закон Гука, що зв'язує тензор деформацій і тензор напружень у точці. Для лінійного пружного стрижньового елемента достатньо задати один модуль Юнга Е і один коефіцієнт температурного розширення.
7. Властивості перетину. До властивостей перетину належать площі і моменти інерції одновимірних і двовимірних скінченних елементів, таких, як балки, стрижні, пластини. До цієї групи також входить товщина пластин і оболонок. При побудові скінченного елемента властивості перетинів вважаються заданими і входять до результуючої матриці жорсткості елемента.
Класифікація скінченних елементів, які використовуються у механіці:
1. Прості конструкційні елементи. До простих структурних елементів належать елементи типу стрижня, балки, труби, бруса, панелі, що працює на зсув (рис. 3.3). Рівняння, які описують дані елементи, виводяться з теоретичних положень опору матеріалів, тобто із спрощених механічних формулювань. Історично першими стали використовуватися саме ці типи скінченних елементів.
2. Континуальні елементи. Континуальні елементи є кінцевими об'ємами або площами суцільного середовища (континууму). Наприклад, до континуальних елементів належать пластини, оболонки, осесиметричні елементи, тривимірні твердотільні елементи (рис. 3.4). Рівняння, що описують даний тип скінченних елементів, випливають із загальних співвідношень механіки суцільного середовища і, зокрема, теорії пружності.
Рисунок 3.3 - Прості конструкційні елементи
Рисунок 3.4 - Континуальні скінченні елементи
3. Спеціальні елементи. Спеціальні елементи мають властивості як конструкційних, так і континуальних елементів. Вони виводяться з рівнянь механіки суцільного середовища, але включають деякі особливості, безпосередньо пов'язані з фізичними особливостями вирішуваних задач. Як приклад можна привести такі спеціальні елементи: елемент з тріщиною для задач механіки руйнування; багатошарову панель; нескінченні і напівнескінченні елементи; контактні і штрафні елементи; абсолютно твердотільні елементи (рис. 3.5).
Рисунок 3.5 - Спеціальні скінченні елементи
4. Макроелементи. Макроелементи є найскладнішим типом скінченних елементів. Як правило, вони отримуються шляхом збирання з простіших конструкційних елементів. Число таких елементів, які входять до макроелемента, як правило, невелике (рис. 3.6).
Рисунок 3.6 - Макроелементи
5. Підструктури. Підструктури можна визначити як макроелементи з явно вираженими структурними особливостями або функціями. Як правило, вони отримуються шляхом розділення повної конструкції на функціональні компоненти. Наприклад, крила і фюзеляж літака, проліт і троси підвісного мосту. Помітимо, що відмінності між поняттями повної конструкції, підструктур і макроелементів не завжди очевидні і чітко визначені. Тому часто використовується поняття суперелемента як узагальненої назви для всіх типів макроелементів або підструктур, що є комбінацією простих конструкційних елементів.
Ансамблювання. Ансамблювання, або збирання, є об'єднанням окремих елементів в скінченно-елементну сітку. З математичної точки зору ансамблювання полягає в об'єднанні матриць жорсткості окремих елементів в одну глобальну матрицю жорсткості всієї конструкції. При цьому істотно використовуються дві системи нумерації вузлів елементів: локальна і глобальна. Локальна нумерація є фіксованою нумерацією вузлів для кожного типу скінченних елементів відповідно до введеної локальної системи координат на елементі. Глобальна нумерація вузлів всієї конструкції може бути абсолютно довільною також, як і глобальна нумерація скінченних елементів. Проте між локальними номерами і глобальними номерами вузлів існує взаємна відповідність, на основі якої і формується глобальна система скінченно-елементних рівнянь.
Граничні умови. Згідно з термінологією математичної фізики, що розглядає різні диференціальні рівняння, які описують фізичні поля, з єдиної математичної точки зору, граничні або крайові умови для даних диференціальних рівнянь поділяються на два основні типи: істотні і природні. Звичайно, істотні умови накладаються на шукану функцію, а природні - на її похідні по просторових координатах. У математичній фізиці природні граничні умови виходять "природно" разом з початковими диференціальними рівняннями (рівняннями Ейлера) з відповідного варіаційного принципу, тоді як істотні граничні умови повинні виконуватися незалежно.
З позиції методу скінченних елементів істотні граничні умови - це такі, які безпосередньо впливають на ступені вільності моделі і накладаються на компоненти глобального вектору невідомих U. Навпаки, природні граничні умови - це такі, які опосередковано впливають на ступені вільності через глобальну систему скінченно-елементних рівнянь і накладаються на праву частину системи - вектор F.
У задачах механіки, як правило, до істотних граничних умов належать ті, які включають переміщення (але не деформації, які є похідними від переміщень по просторових координатах). Згідно з термінологією теорії пружності такі граничні умови називаються кінематичними. Наприклад, закладка і шарнірне спирання в стрижньових задачах є істотними, або кінематичними, граничними умовами, які накладені на прогинання або поздовжні переміщення точок стрижня. Помітимо, що в задачі вигину стрижня до істотних умов належать також умови, які накладені на першу похідну по поздовжній координаті від прогинання стрижня, яка має механічне значення кута повороту перетину стрижня. Теж саме можна сказати про кути повороту перетинів в теорії вигину пластин.
До природних граничних умов в механічних додатках МСЕ відносять умови, накладені на різні зовнішні силові фактори, які діють на точки поверхні тіла - зосереджені сили і моменти в стрижньових задачах; розподілені сили в двовимірних і тривимірних задачах. Такі обмеження мають назву силових граничних умов.
У поставленнях задач механіки суцільного середовища, і, зокрема, теорії пружності широко використовуються змішані граничні умови. Це означає, що в даній точці поверхні тіла одночасно задані деякі компоненти переміщень і поверхневих сил. Наприклад, такі умови виникають при розв'язанні геометрично симетричних задач. Якщо решта граничних умов і зовнішніх сил також дзеркально симетрична щодо деякої площини, то змішані граничні умови на площині симетрії дорівнюють нулю.
Перелічено три варіанти граничних умов, які найбільш поширені в чисто механічних додатках МСЕ. Проте в міждисциплінарних додатках МСЕ і, зокрема, при розрахунку температурних напружень граничні умови накладаються на різні фізичні змінні і залежать від особливостей математичного поставлення відповідних задач.
3.4 Поставлення плоскої задачі теорії пружності
Основні поняття. Плоска задача теорії пружності є найбільш відповідним прикладом для демонстрації алгоритму МСЕ стосовно розв'язання багатовимірних задач механіки суцільного середовища. Базові співвідношення і особливості алгоритму методу скінченних елементів в даному випадку істотно відрізняються від розрахунку одновимірних задач (розтягування, кручення і вигинання стрижнів).
У механіці конструкцій плоский тонкий лист матеріалу називається пластиною. Відстань між верхньою і нижньою поверхнею пластини називається товщиною і позначається через h. Пластина має також серединну площину, що лежить між двома поверхнями. Напрям, перпендикулярний до серединної площини, називається трансверсальним. Як правило, глобальна вісь z направлена перпендикулярно до серединної площини, тоді як осі x і у лежать в серединній площині і утворюють глобальну декартову систему координат (рис. 3.7). Таким чином, рівняння серединної площини має вигляд z=0.
Рисунок 3.7 - Двовимірна конструкція в плосконапруженому стані
Для того щоб пластина знаходилася в плоско-напруженому стані, необхідно, щоб виконувалися такі умови:
- всі зовнішні навантаження: поверхневі, які діють на точки бокової поверхні пластини, і об'ємні, які діють на внутрішні точки пластини, перпендикулярні до осі z, тобто ті, що лежать в площині xy, і симетричні щодо серединної площини;
- всі умови закріплення симетричні щодо серединної площини;
- внутрішні переміщення, деформації і напруження беруться постійними по товщині пластини;
- нормальні компоненти і компоненти зсуву тензора напружень у напрямі осі z дорівнюють нулю або ними можна знехтувати;
- пластина виготовлена з матеріалу, що не змінює своїх властивостей по товщині. Такі пластини називаються трансверсально-однорідними.
Помітимо, що припущення 3 і 4 не є необхідним наслідком перших двох. Щоб вони виконувалися, товщина h повинна бути достатньо малою, звичайно не більше 10 % найменшого характерного розміру пластини в серединній площині. Крім того, якщо товщина пластини змінюється, то ця зміна повинна бути достатньо плавною. І нарешті, геометрія пластини повинна бути симетричною щодо серединної площини.
Останнє припущення очевидно виключає з розгляду плоскі композиційні конструкції типу комірчастих стільниковоподібних структур або сендвіч-структур. Розроблення моделей таких конструкцій вимагає досить складного інтегрування по товщині пластини, а також урахування ефектів вигину і розтягування.
Зауваження 1 Навантаження, перпендикулярне до серединної площини, приводить до напруженого стану, який називається вигином пластини і описується диференціальним рівнянням IV порядку щодо прогинання пластини. Алгоритм МСЕ в цьому випадку має принципово інший характер, оскільки дана задача належить до класу одновимірних задач.
Зауваження 2 Якщо припустити, що напруження уздовж осі z мають місце, то стан пластини має назву узагальненого плосконапруженого стану.
Зауваження 3 Окрім плосконапруженого стану, в теорії пружності широко застосовується поняття плоско-деформованого стану, згідно з яким деформація уздовж осі z дорівнює нулю. Фізично це відповідає протяжним конструкціям, які навантажені силами, перпендикулярними до осі z. Наприклад, дамба, гребля або лопатка ротора генератора при деяких допущеннях.
Математична модель. Математична модель пластини в плосконапруженому стані є двовимірною крайовою задачею теорії пружності, заданою в області з границею Г, як показано на рис. 4.8.
Усі основні змінні, що входять до початкових рівнянь, є функціями двох змінних x і у і вважаються усередненими по товщині пластини. Наприклад, зовнішні сили, які діють в області і входять до правої частини рівняння руху точок суцільного середовища, є не чим іншим, як інтегралами по товщині пластини від заданих об'ємних сил.
Початкові дані. Початкові дані включають такі об'єкти.
Геометрія області. Геометрія тіла є областю з межею Г і показана на рис. 3.8.
Рисунок 3.8 - Математична модель пластини у плосконапруженому стані
Товщина пластини. У багатьох випадках пластини, що використовуються як конструктивні елементи, мають постійну товщину. Якщо ж товщина пластини змінюється, то товщина є функцією двох просторових координат h=h(x,y), при цьому для збереження плосконапруженого стану зміна товщини повинна бути достатньо повільною.
Матеріал пластини. Властивості матеріалу задаються за допомогою визначальних співвідношень.
Сили, які діють в області . "Обласні" сили діють на внутрішні точки області . У загальному випадку вони можуть бути двох типів. По-перше, стандартні об'ємні сили, які визначаються як сили, що діють на одиницю об'єму пластини, наприклад, вага тіла. По-друге, специфічні обласні сили, які діють по дотичній до верхньої і нижньої поверхонь пластини, наприклад, сили тертя, які можуть виникати при відносному русі пластини по іншому тілу. Ці сили певним чином повинні бути приведені до серединної площини пластини.
Задані поверхневі сили. Поверхневі сили - це відомі сили, які діють на точки границі Г. Часто вони називаються поверхневими зусиллями. При вирішенні технічних задач необхідно звертати увагу на розмірність цих сил, оскільки вони можуть бути задані як сила на одиницю поверхні або як сила на одиницю довжини.
Кінематичні граничні умови. Кінематичні граничні умови задають способи закріплення пластини. Точки на границі області можуть бути зафіксовані в одному або в двох напрямках. Додатково можуть бути задані умови симетрії або антисиметрії. Якщо кінематичні граничні умови не задані, то такі граничні умови називаються вільними.
Шукані функції. У задачах механіки основними невідомими величинами є поля переміщень, деформацій і напружень. Згідно з раніше зробленими припущеннями всі основні шукані фізичні змінні не залежать від нормальної координати z і є функціями тільки координат x і у.
Переміщення. Вектор переміщень складається з двох компонент:
. (3.1)
Нормальна компонента переміщень у загальному випадку не дорівнює нулю через ефект коефіцієнта Пуассона і залежить від z. Проте це переміщення не входить в розв'язні рівняння задачі і може бути обчислене окремо за знайденими основними компонентами.
Деформації. Деформації, що лежать в площині, формують тензор, який визначається трьома незалежними компонентами і . Для зручності формулювання скінченно-елементних рівнянь в матричній формі компоненти тензора деформації подамо у вигляді трикомпонентного "вектору деформації"
. (3.2)
Подвоєна компонента є деформацією зсуву
і використовується для скорочення запису виразу енергії деформації. Решта компонент зсуву і дорівнюють нулю згідно з початковими припущеннями. Нормальна компонента звичайно не дорівнює нулю через ефект Пуассона. Проте також, як і переміщення , нормальна компонента деформації не входить у розв'язне рівняння як невідоме. У виразі енергії деформації добуток обертається в нуль, оскільки нормальне напруження дорівнює нулю за початковими припущеннями.
Напруження. Тензор напружень також визначається трьома незалежними компонентами і , які лежать у площині пластини. Як і у випадку з деформаціями, для зручності представлення скінченно-елементних рівнянь в матричному вигляді сформуємо трикомпонентний "вектор напружень"
. (3.3)
Три компоненти тензора напружень і , які залишилися, дорівнюють нулю згідно з визначенням плосконапруженного стану.
Об'ємні внутрішні сили можуть бути одержані шляхом інтегрування напружень по товщині пластини. У разі однорідного розподілу напружень по координаті z, дані сили, які також створюють тензор, легко можуть бути обчислені згідно з такими формулами:
. (3.4)
У літературі такі сили часто називаються мембранними силами (рис. 3.9).
Розв'язні рівняння. Система розв'язних рівнянь теорії пружності щодо трьох невідомих фізичних полів переміщень, деформацій і напружень складається з трьох груп рівнянь: кінематичних співвідношень, визначальних рівнянь і рівнянь рівноваги у області тіла. За відсутності початкових напружень в тілі ця система рівнянь може бути записана в такому символьно-матричному вигляді:
Рисунок 3.9 - Внутрішні сили і напруження, які діють на довільний елемент мембрани
, (3.5а)
, (3.5б)
. (3.5в)
Окрім вже введених матричних векторів переміщень, деформацій і напружень, записана система трьох матричних рівнянь, яка містить вектор об'ємних сил з компонентами bx, by, що входять в рівняння рівноваги, матрицю модулів пружності з компонентами Eij, що зв'язує напруження і деформації в точці тіла, а також дві символічні матриці, що складаються з часткових похідних по просторових координатах. Помітимо, що символічні матриці, що входять в кінематичне співвідношення і в рівняння рівноваги, збігаються з точністю до операції транспонування.
У матричному вигляді система (3.5) може бути подана у такому вигляді:
, , , (3.6)
де E - симетрична матриця модулів пружності; D - символічна матриця, що складається з часткових похідних; b - матричний вектор об'ємних сил.
Помітимо, що наведена система рівнянь (3.6) декілька відрізняється від координатної або тензорної форми запису повної системи рівнянь теорії пружності, які часто використовуються в літературі. Перевагою даного формулювання є те, що всі рівняння вже записані в матричному вигляді, який є найзручнішим для виведення співвідношень методу скінченних елементів.
Якщо матеріал пластини є ізотропним, то, як відомо з теорії пружності, компоненти матриці модулів пружності E можуть бути виражені через технічні константи матеріалу: модуль пружності E, коефіцієнт Пуассона і модуль зсуву G:
,
,
,
.
При цьому нагадаємо, що тільки дві з перелічених технічних констант є незалежними. Формула, що зв'язує модуль пружності E, коефіцієнт Пуассона і модуль зсуву G, має такий вигляд:
.
Граничні умови. У класичній задачі теорії пружності граничні умови, задані на поверхні Г, можуть бути двох типів: кінематичні граничні умови і силові граничні умови. Передбачається, що кожен тип граничних умов заданий на своїй частині поверхні: Гu і Гt відповідно (рис. 3.10).
Рисунок 3.10 - Кінематичні і силові граничні умови в плоскій задачі теорії пружності
Кінематичні граничні умови, задані на частині поверхні Гu, можуть бути записані в такій формі:
. (3.7)
Права частина співвідношення (3.7) є заданим переміщенням точок поверхні. У багатьох випадках ці переміщення дорівнюють нулю. Наприклад, у випадку, якщо частина поверхні яким-небудь чином закріплена, як показано на рис. 3.10.
Силові граничні умови задані на частині поверхні Гt і можуть бути записані у такій формі:
. (3.8)
У формулі (3.8) права частина є заданою поверхневими силами або поверхневими зусиллями, а ліва частина - вектор напружень на площині з нормаллю n.
Альтернативна форма запису силових граничних умов може бути записана у вигляді
, (3.9)
і .
Вектор напружень на площині з нормаллю n визначається згідно з формулою Коші через компоненти зовнішньої нормалі до поверхні і компоненти тензора пружності в точці поверхні:
, (3.10)
де nx і ny позначають декартові координати одиничної нормалі до поверхні n(e) (напрямні косинуси). Таким чином, (3.8) може бути записано у вигляді двох скалярних співвідношень і .
У деяких випадках буває зручно записати умову (3.8) в локальній системі координат, яка утворена нормаллю n і ортом дотичної t:
(3.11)
де відповідні компоненти напружень в локальній системі координат можуть бути виражені таким чином:
.
3.5 Скінченно-елементне формулювання плоскої задачі теорії пружності: базові співвідношення
Ослаблене формулювання задачі теорії пружності. Задачі математичної фізики можуть бути поставлені по-різному. Прийнято розрізняти три основні формулювання крайових задач математичної фізики і, зокрема, задачі теорії пружності:
- пряме (строге) формулювання, що являє собою початкову систему диференціальних рівнянь;
- ослаблене формулювання, яке виражається у вигляді деякого варіаційного принципу;
- зворотне формулювання, в якому початкове рівняння задачі виражене у вигляді деякого інтегрального рівняння.
У даному випадку ослаблене формулювання плоскої задачі теорії пружності, пов'язане з варіаційним принципом мінімуму повної потенціальної енергії тіла. Згідно з даним формулюванням рівняння рівноваги в області і силові граничні умови на частині поверхні Гt виконуються в ослабленому значенні як варіаційні співвідношення принципу мінімуму повної потенціальної енергії , де функціонал енергії П буде детально розглянутий нижче. Формулювання методу скінченних елементів у переміщеннях ґрунтується на даному ослабленому формулюванні задачі.
Повна потенціальна енергія тіла. Функціонал повної потенціальної енергії ідеально пружного тіла визначається за такою формулою:
. (3.12)
У співвідношенні (3.12) U є внутрішня енергія деформації тіла, яка обчислюється як інтеграл за об'ємом тіла від питомої енергії деформації тіла, що дорівнює половині матричного добутку вектора напружень на вектор деформацій:
. (3.13)
Товщина h з'являється під знаком інтеграла у результаті подання об'ємного інтеграла через повторний інтеграл по області і нормальній координаті z:
.
Оскільки напруження і деформації не залежать від координати z згідно з поставленням плоскої задачі теорії пружності, то їх добуток може бути винесений за знак інтеграла по товщині пластини h. Помітимо, що сама товщина може бути змінною у області пластини і тому повністю за знак інтеграла не виноситься.
Величина А у формулі (3.12) є роботою зовнішніх об'ємних і поверхневих сил, які задані відповідно в області і на частині поверхні Гt:
. (3.14)
Аналогічно попередньому об'ємний інтеграл від об'ємних сил перетвориться до повторного і потім у результаті інтегрування по товщині - до інтеграла в області пластини . Другий інтеграл, що є роботою поверхневих сил, які діють на боковій грані пластини перетвориться так:
.
Звернемо увагу, що у співвідношенні (3.14) використовується інтеграл тільки в частині поверхні Гt, оскільки тільки в даній частині поверхні задані зовнішні сили.
Скінченно-елементна інтерполяція. Згідно з основною ідеєю методу скінченних елементів область тіла подається у вигляді безлічі непересічних підобластей, які мають назву скінченних елементів, як показано на рис. 3.11.
Як правило, для розв'язання плоскої задачі теорії пружності використовуються тристоронні або чотиристоронні скінченні елементи. Кожен скінченний елемент визначається набором вузлів. Як приклад, на рис. 3.11 наведений чотиристоронній елемент з лінійною інтерполяцією координат і переміщень, який заданий чотирма вузлами. Нагадаємо, що у разі використання квадратичної інтерполяції координат або переміщень чотиристоронній елемент повинен описуватися вісьмома вузлами.
Рисунок 3.11 - Скінченно-елементна дискретизація області тіла: (а) - початкова область з границею Г; (б) - дискретизова на область , яка подана у вигляді сітки скінченних елементів; (в) - скінченний елемент, який займає область з границею Г(е)
У разі плоскої задачі в кожному вузлі задані дві компоненти переміщень, які і є шуканими ступенями вільності. Шукані ступені вільності, або вузлові змінні, прийнято об'єднувати в так звані елементні вектори вузлових змінних, в даному випадку вузлових переміщень:
. (3.15)
Таким чином, кожен елементний вектор містить 2n ступенів вільності, де n - число вузлів елемента. У даному випадку n=4 (рис. 3.11), проте число вузлів може бути різним залежно від типу елемента (рис. 3.12). Помітимо також, що, пронумерувавши вузли від 1 до n в межах даного елемента, ми тим самим ввели локальну нумерацію вузлів на елементі. Необхідно зазначити, що спосіб нумерації вузлів у межах елемента може бути довільним. Проте, один раз вибравши спосіб нумерації для даного типу елементів, необхідно його дотримуватися.
Рисунок 3.12 - Приклади двовимірних скінченних елементів, які визначаються різним числом вузлів
Після вибору вузлових змінних необхідно задати закон зміни шуканої функції в межах кінцевого елемента. Поле переміщень у межах елемента визначається за допомогою інтерполюючих співвідношень:
(3.16)
де - спеціальні функції інтерполювання, або функції форми елемента.
Ці функції мають ряд специфічних властивостей, які розглядатимуться далі. Одна з основних властивостей, яку хотілося б відзначити зараз, - локальність функцій інтерполювання, що означає, що ці функції задані тільки в межах даного елемента. Помітимо також, що функції форми виконують значну роль в алгоритмі методу скінченних елементів, оскільки задають порядок інтерполяції шуканих змінних.
Мінімальна умова, яка повинна бути накладена на функції , - те, що кожна функція повинна набувати одиничне значення у вузлі i елементі і обертатися на нуль у решті вузлів.
У матричній формі співвідношення інтерполювання (4.16) можуть бути записані таким чином:
(3.17а)
звідки одержуємо
. (3.17б)
У співвідношеннях (3.17а) і (3.17б) є матрицею функцій інтерполювання розмірності 2x2n, оскільки ми розглядаємо двовимірну задачу. У разі тривимірної задачі теорії пружності відповідна матриця функцій інтерполювання мала б розмірність 3x3n. При цьому вигляд співвідношення (3.17б) не змінився б. У цьому виявляється значна перевага методу скінченних елементів: основні формули загального алгоритму залишаються справедливими і не змінюють свого вигляду при аналізі різних задач теорії пружності.
Співвідношення (3.17б) є одним із найважливіших фундаментальних рівнянь методу скінченних елементів, оскільки бере участь при виведенні практично всіх формул алгоритму МСЕ. Зокрема, тепер за допомогою даного рівняння ми можемо перетворити кінематичне співвідношення (3.5а), що входить в поставлення плоскої задачі теорії пружності і зв'язує переміщення і деформації в точці. У матричному вигляді дане співвідношення в довільній точці скінченного елемента може бути записане так:
(3.18а)
де D - матриця, що складається з часткових похідних функцій інтерполювання за просторовими координатами.
Підставивши у співвідношення (3.18а) співвідношення інтерполювання (3.17б), одержимо
, (3.18б)
де є матрицею розмірності 3x2n, яка має назву матриці градієнтів.
Явний вираз матриці градієнтів може бути одержано, якщо ми помножимо матрицю розмірності 3x2 на матрицю розмірності 2x2n. У результаті одержимо
. (3.19)
У розгорненому вигляді вираз для деформації у точці, таким чином, може бути записаний у вигляді
. (3.20)
Помітимо, що матриця градієнтів також, як і матриця функцій інтерполювання, залежить від номера елемента e. У даному випадку індекс e знехтуваний тільки для скорочення запису.
Після визначення вектора деформації у точці можна обчислити і вектор напружень згідно з формулою (3.5б). У матричному вигляді вона може бути подана таким чином:
. (3.21)
Дане співвідношення виконується в усіх точках скінченного елемента і тому замість вектора деформації може бути підставлений його вираз (3.18б). У результаті одержимо
. (3.22)
Таким чином, користуючись основним інтерполяційним співвідношенням МСЕ, ми одержали необхідні вирази векторів деформацій і напружень у довільній точці довільного скінченного елемента. Ці формули істотно будуть використані в наступному розділі при виведенні розв'язних рівнянь методу скінченних елементів щодо плоскої задачі теорії пружності.
3.6 Скінченно-елементне формулювання плоскої задачі теорії пружності: виведення СЛАР МСЕ
Подобные документы
Розгляд крайової задачі для нелінійного рівняння другого порядку. Вивчення різницевого методу розв'язання крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Метод прогонки - окремий випадок методу Гауса. Програма на алгоритмічній мові Turbo Pascal.
курсовая работа [49,7 K], добавлен 10.04.2011Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.
лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014Вивчення методів розв'язання лінійної крайової задачі комбінуванням двох задач Коші. Переваги та недоліки інших методів: прицілювання, колокацій, Гальоркіна, найменших квадратів та ін. Пошук єдиного розв'язку звичайного диференціального рівняння.
курсовая работа [419,2 K], добавлен 29.08.2010Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Методи скінченних різниць або методи сіток як чисельні методи розв'язку інтегро-диференціальних рівнянь алгебри диференціального та інтегрального числення. порядок розв’язання задачі Діріхле для рівняння Лапласа методом сіток у прямокутної області.
курсовая работа [236,5 K], добавлен 11.06.2015Класичні та сучасні наближені методи розв'язання диференціальних рівнянь та їх систем. Класифікація наближених методів розв'язування. Розв'язування трансцендентних, алгебраїчних і диференціальних рівнянь, методи чисельного інтегрування і диференціювання.
отчет по практике [143,9 K], добавлен 02.03.2010Поняття диференціальних рівнянь. Задача Коші і крайова задача. Класифікація методів для задачі Коші. Похибка методу Ейлера. Модифікований метод Ейлера-Коші. Пошук рішення задачі однокроковим методом Ейлера. Порівняння чисельного рішення з точним рішенням.
презентация [294,4 K], добавлен 06.02.2014Етапи розв'язування задачі дослідження певного фізичного явища чи процесу, зведення її до диференціального рівняння. Методика та схема складання диференціальних рівнянь. Приклади розв'язування прикладних задач за допомогою диференціального рівняння.
контрольная работа [723,3 K], добавлен 07.01.2016Класифікація методів для задачі Коші. Лінійні багатокрокові методи. Походження формул Адамса. Різницевий вигляд методу Адамса. Метод Рунге-Кутта четвертого порядку. Підвищення точності обчислень методу за рахунок подвійного обчислення значення функції.
презентация [1,6 M], добавлен 06.02.2014Чисельні методи рішення диференціальних рівнянь у частинних похідних 2-го порядку, початкові і крайові умови. Метод сіток та представлення часткових похідних у скінчено-різницевому вигляді. Структура похибки розв'язку задачі, стійкість і коректність.
курсовая работа [986,6 K], добавлен 22.08.2010
