Размещено на http://allbest.ru/

Конспекти лекцій з вищої математики

Тема 1. Системи лінійних рівнянь, визначники

1. Основні поняття

Предметом розгляду лінійної алгебри для економістів є насамперед теорія систем лінійних рівнянь, які в загальному вигляді можна подати так:

(1.1)

Система (1.1) називається системою m лінійних рівнянь з невідомими (змінними), де x₁, x₂, ..., x_n -- невідомі; a_ij -- коефіцієнти системи рівнянь; b_i -- вільні члени, або праві частини системи рівнянь. Якщо всі b_i = 0 , то система лінійних рівнянь називається однорідною.

Розв'язком системи рівнянь (1.1) є множина таких чисел k₁, k₂, ..., k_n, у результаті підставляння яких замість відповідних невідомих x₁, x_2, ..., x_n у кожне з рівнянь системи (1.1) останні перетворюються на правильні числові рівності. лінійний ньютон диференціювання похідна

Якщо система рівнянь не має жодного розв'язку, вона називається несумісною, а якщо має хоча б один розв'язок -- сумісною. Сумісна система рівнянь називається визначеною, якщо вона має єдиний розв'язок, і невизначеною, якщо розв'язків більш як один.

2. Визначники другого і третього порядків, їх властивості

Розглянемо спочатку системи рівнянь, в яких кількість невідомих і кількість рівнянь рівні між собою, тобто m = n. Нехай, наприклад, n = m = 2, тоді маємо систему двох лінійних рівнянь з двома невідомими:

Визначником другого порядку називається вираз

.

Приклад.

.

Якщо n = m = 3, то маємо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:

Визначником третього порядку називається вираз:

. (1.2)

Для запам'ятовування правила обчислення визначника третього порядку пропонуємо таку схему (правило трикутників):

Позначимо точками елементи визначника, тоді доданки зі знаком «плюс» -- це добутки елементів a₁₁, a₂₂, a₃₃, розміщених на головній діагоналі визначника, і добутки елементів a₁₃, a₂₁, a₃₂ і a₁₂, a₂₃, a₃₁, розміщених у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні головній діагоналі. Зі знаком «мінус» беруться доданки, що є добутками елементів a₁₃, a₂₂, a₃₁, розміщених на сторонній діагоналі визначника, та у вершинах рівнобедрених трикутників, основи яких паралельні сторонній діагоналі визначника -- a₁₁, a₂₃, a₃₂ і a₁₂, a₂₁, a₃₃.

Запропонуємо ще одне правило обчислення визначника третього порядку (правило Саррюса).

У початковому визначнику за третім стовпцем запишемо ще раз перший і другий стовпці:

Для знаходження визначника за цим правилом треба утворити зі знаком «плюс» алгебраїчну суму добутків елементів, розміщених на головній діагоналі визначника, і на діагоналях, паралельних їй, а зі знаком «мінус» -- добутків елементів, розміщених на сторонній діагоналі, та на діагоналях, паралельних їй.

Визначник:

,

рядки якого є стовпцями попереднього визначника, є транспонованим щодо визначника (1.2).

Властивість 1. Визначник не змінюється в результаті тран-спонування.

З властивості 1 випливає, що будь-яке твердження, котре справджується для рядків визначника, справджується і для його стовпців, і навпаки.

Властивість 2. Якщо один із рядків визначника складається лише з нулів, то такий визначник дорівнює нулю.

Властивість 3. Якщо поміняти місцями будь-які два рядки визначника, то його знак зміниться на протилежний.

Властивість 4. Визначник, який має два однакові рядки, дорівнює нулю.

Властивість 5. Якщо елементи будь-якого рядка визначника помножити на стале число С, то й визначник помножиться на С.

З останньої властивості випливає, що спільний множник елементів рядка можна виносити за знак визначника.

Властивість 6. Визначник, який має два пропорційні рядки, дорівнює нулю.

Властивість 7. Якщо всі елементи будь-якого рядка визначника можна подати у вигляді суми двох доданків, то такий визначник дорівнює сумі двох визначників, у яких елементами цього рядка будуть відповідно перший доданок у першому визначнику і другий доданок у другому визначнику, а решта елементів будуть ті самі, що й у початковому визначнику.

Властивість 8. Визначник не зміниться, якщо до елементів будь-якого рядка додати відповідні елементи довільного іншого рядка, попередньо помножені не деяке число.

3. Мінори та алгебраїчні доповнення

Нехай визначник має n рядків і n стовпців. Мінором k-го порядку k[1; n-1] називається визначник, утворений з елементів, розміщених на перетині будь-яких k рядків і k стовпців визначника. Зрозуміло, що мінор першого порядку -- це будь-який елемент визначника.

Приклад. Утворити кілька мінорів другого і один мінор третього порядку такого визначника:

. , , , ... , .

Мінори , , другого порядку утворюються з елементів, розміщених на перетині першого, другого рядків; першого, другого стовпців; третього, четвертого рядків; першого, третього стовпців; другого, четвертого рядків; третього, четвертого стовпців. Мінор третього порядку утворюється з елементів, розміщених на перетині другого, третього, четвертого рядків і першого, третього, четвертого стовпців.

Верхній індекс означає нумерацію мінорів; нижній індекс -- порядок мінора.

Доповняльним мінором для мінора k-го порядку називається такий мінор, який лишається у визначнику після викреслювання тих k рядків і тих k стовпців, на перетині яких містяться елементи, що утворили мінор k-го порядку.

Нехай мінор k-го порядку утворено з елементів, розміщених на перетині i₁, i₂, ..., i_k рядків і j₁, j₂, ..., j_k стовпців.

Алгебраїчним доповненням до мінора k-го порядку є доповняльний мінор (n-k)-го порядку, узятий зі знаком , де Якщо сума номерів рядків і стовпців парна, то береться знак «+», якщо непарна -- то знак «-».

Далі важливу роль відіграватиме алгебраїчне доповнення до мінора першого порядку. Нехай -- будь-який елемент-мінор першого порядку у визначнику n-го порядку, тоді буде алгебраїчним доповненням до мінора . Тут -- доповняльний мінор (n-1)-го порядку, утворений викреслюванням i-рядка і j-стовпця в початковому визначнику n-го порядку.

4. Обчислення визначників

Означення. Визначником n-го порядку називається число , яке дорівнює алгебраїчній сумі добутків елементів будь-якого рядка або стовпця на відповідні їм алгебраїчні доповнення:

(1.3)

Алгебраїчні доповнення, що входять до формули (1.3), за якою обчислюють визначник, є, у свою чергу, мінорами, узятими з відповідними знаками, тобто визначниками (n-1)-го порядку. Отже, обчислення визначника n-го порядку зводиться до обчислення n визначників (n-1)-го порядку.

Але з формули (1.3) випливає, що за наявності у визначнику нульових елементів відповідні алгебраїчні доповнення обчислювати не потрібно.

Згідно з властивістю 8, яка справджується для визначників будь-якого порядку, можна визначник перетворити так, щоб у його рядках або стовпцях усі елементи, крім одного, дорівнювали нулю. І тоді, розклавши визначник за елементами цього рядка або стовпця, зведемо задачу знаходження визначника n-го порядку до знаходження одного визначника n-1-го порядку.

5. Правило Крамера

Розглянемо систему n лінійних рівнянь з n невідомими:

(1.4)

Теорема. Якщо головний визначник складений із коефі-цієнтів при невідомих системи n лінійних рівнянь з n невідомими (1.4), відмінний від нуля, то така система рівнянь має єдиний розв'язок (сумісна і визначена), який обчислюється за формулами:

,

де -- головний визначник системи, який утворюється з коефіцієнтів при невідомих у лівій частині системи (1.4);

-- визначник, який утворюється заміною j-го стовпця в головному визначнику на стовпець вільних членів.

Тема 2. Елементи теорії матриць

1. Основні поняття

Розглянемо ще один математичний об'єкт, пов'язаний із системою рівнянь (1.1).

Означення. Матрицею називається прямокутна таблиця чисел, яка має m рядків і n стовпців. Якщо повернутися до системи рівнянь (1.1), то коефіцієнти при невідомих у лівій частині якраз і утворюють таку прямокутну таблицю:

.

Числа називаються елементами матриці, а запис означає її розмір. Зауважимо, що на першому місці в цьому запису зазначено кількість рядків матриці, а на другому -- кількість стовпців. Наприклад, запис розміру матриці означає, що в ній п'ять рядків і три стовпці. Якщо кількість рядків матриці дорівнює кількості її стовпців, то матриця називається квадратною.

Дві матриці рівні між собою, якщо вони мають однаковий розмір і всі їх відповідні елементи рівні між собою.

Елементи з двома однаковими індексами a₁₁, a₂₂, a₃₃, ... a_nn утворюють головну діагональ матриці. Якщо , то матриця називається симетричною.

Квадратна матриця, в якої елементи головної діагоналі дорівнюють одиниці, а всі інші нулю, називається одиничною матрицею:

.

Коли всі елементи матриці, що містяться по один бік від головної діагоналі, дорівнюють нулю, то матриця називається трикутною.

Кожній квадратній матриці можна поставити у відповідність визначник, який складається з тих самих елементів.

.

Якщо такий визначник відмінний від нуля, то матриця називається неособливою, або невиродженою. Якщо визначник дорівнює нулю, то матриця особлива, або вироджена.

2. Дії з матрицями

Сумою матриць одного й того самого порядку і називається матриця ; , будь-який елемент якої дорівнює сумі відповідних елементів матриць

А і В: . Наприклад обидві матриці , мають розмір , тому за означенням можна утворити їх суму -- матрицю .

2. Добутком матриці на деяке число називається така матриця С, кожен елемент якої утворюється множенням відповідних елементів матриці А на , .

Приклад. , .

Очевидно, що для суми матриць і добутку матриць на число виконуються рівності:

1) ;

2) ;

3) ;

4) ,

5) .

Добутком матриці розміру на матрицю розміру називається така матриця розміру , , кожний елемент можна знайти за формулою:

.

Кожний елемент матриці С утворюється як сума добутків відповідних елементів і-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В, тобто за схемою:

Зазначимо, що в результаті множення дістанемо матрицю розміру .

З означення випливає, що добуток матриць некомутативний: .

Повернемось до системи рівнянь (1.1) і утворимо матриці: А -- коефіцієнтів при невідомих, Х -- невідомих, В -- вільних членів:

, , .

Тоді згідно з означенням добутку матриць систему рівнянь (1.1) можна записати в матричному вигляді:

, (1.5)

який значно скорочує запис системи рівнянь.

3. Обернена матриця

Означення. Матриця А-¹ називається оберненою матрицею до квадратної невиродженої матриці А, якщо виконується співвідношення: .

Нехай дано квадратну матрицю А. Доведемо, що коли , існує обернена матриця А-¹. Розглянемо матрицю:

.

Утворимо добутки і .

За правилом множення матриць елементи матриці С знаходимо за формулою:

. (1.6)

Якщо i = j, то згідно з формулою (1.3) маємо: , тобто знаходимо значення визначника матриці А; якщо то вираз (1.6) є сумою добутків елементів i-го рядка визначника на алгебраїчні доповнення, що відповідають j-му рядку цього самого визначника. За властивістю 9 визначників така алгебраїчна сума дорівнює нулю. Отже, якщо i j. Матриця С набирає вигляду: . Щоб ця матриця стала одиничною, треба помножити її на .

Отже, обернена матриця має вигляд:

.

Доведемо, що для матриці А матриця А-¹ єдина. Для цього припустимо протилежне. Нехай існує одна матриця С, така що АС = СА = Е. Тоді

САА-¹ = С(АА-¹) = СЕ = С, а водночас

САА-¹ = (СА)А-¹ = ЕА-¹ = А-¹, звідси С = А-¹.

Доходимо висновку, що початкове припущення неправильне, тобто обернена матриця єдина.

Повернемось тепер до виразу (1.5) -- запису системи рівнянь у матричному вигляді АХ = В. Припустимо, що система складається з n лінійних рівнянь з n невідомими, матриця А -- квадратна і -- матриця невироджена. Тоді для матриці А побудуємо обернену А-¹ -- вона за тих припущень, які щойно зроблено, існує. Помноживши тепер матричну рівність АХ = В зліва на матрицю А-¹, дістанемо:

,

або остаточно .

Останній вираз -- це розв'язок системи лінійних рівнянь. Зауважимо, що в такому вигляді можна записати розв'язок будь-якого матричного рівняння, якщо матриця А задовольняє умови існування А-¹.

4. Ранг матриці

Розглянемо матрицю А розміром

і введемо ще одне важливе поняття.

Означення. Рангом матриці А розміром називається найвищий порядок відмінного від нуля мінора, утвореного з елементів цієї матриці. Зрозуміло, що , а найбільший можливий ранг матриці може дорівнювати меншому з чисел m і n.

Обчислюючи ранг матриці, потрібно переходити від мінорів менших порядків, відмінних від нуля, до мінорів більших порядків. Якщо вже знайдено відмінний від нуля мінор М k-го порядку, то достатньо обчислити лише мінори -го порядку, що обводять мінор М. Якщо всі вони дорівнюють нулю, то ранг матриці дорівнює k. Якщо серед них знайдеться такий, що відмінний від нуля, то далі для нього будуються обвідні мінори -го порядку і т. д.

Означення. Елементарними перетвореннями матриці А називаються такі її перетворення:

заміна місцями двох рядків або двох стовпців матриці;

множення рядка або стовпця матриці на довільне відмінне від нуля число;

додавання елементів одного рядка або стовпця до відповідних елементів іншого рядка або стовпця, попередньо помноженого на деяке число.

Теорема. Елементарні перетворення не змінюють рангу матриці.

Далі матриці, які мають рівні ранги, називатимемо еквівалентними матрицями. Еквівалентні матриці об'єднуватимемо знаком «~» («тильда»).

Тема 3. Вектори

1. Вектори, лінійні операції над векторами

Означення. Вектором називається напрямлений відрізок. Позначати вектори будемо , ... . Якщо, скажімо, точка А -- початок вектора, а точка В -- його кінець, то маємо .

Вектор, в якого початок і кінець збігаються, називається нульовим вектором.

Вектор вважається заданим, коли відома його довжина , і напрям щодо деякої осі.

Два вектори і називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих.

Вектори і вважаються рівними, коли вони: 1) колінеарні; 2) однаково напрямлені; 3) їхні довжини рівні.

З останнього випливає, що при паралельному перенесенні вектора дістаємо новий вектор, що дорівнює попередньому, тому вектори в аналітичній геометрії називають вільними.

Нехай у просторі задано деяку вісь l і вектор. Проведемо через точки А і В площини, перпендикулярно до осі l (рис. 2.7). Позначимо точки перетину цих площин з віссю l відповідно і .

Рис. 3.1

Означення. Проекцією вектора на вісь l називається довжина напрямленого відрізка на осі l. Слід зазначити, що , якщо напрям збігається з напрямом l і , якщо напрям протилежний напряму l.

Позначається проекція вектора на вісь l -- пр_l. З рис. 2.7 випливає формула знаходження проекції вектора на вісь:

пр_l= ,

де -- кут між вектором і віссю.

Якщо розглянути прямокутну декартову систему координат і точки початку А (х₁, у₁, z₁) і кінця В (х₂, у₂, z₂) вектора , то проекції вектора на кожну з осей мають вигляд:

Ох: а_х = х₂ - х₁, Оу: а_у = у₂ - у₁, Оz: а_z = z₂ - z₁.

Довжина вектора подається формулою:

(3.1)

Якщо позначити , , -- кути між вектором і відповідними осями системи координат, то їх косинуси можна знайти за формулами:

. (3.2)

У подальшому називатимемо їх напрямними косинусами вектора . Піднісши кожну з формул (2.5) до квадрата і скориставшись (2.4), дістанемо:

cos² + cos² + cos² = 1.

Дії з векторами виконуються за правилами:

1. Додавання:

= (а_х + b_х, а_у + b_у, а_z + b_z).

2. Множення вектора на число R:

.

Для лінійних операцій з векторами виконуються властивості:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

Теорема. Проекція суми двох векторів на вісь дорівнює сумі їхніх проекцій на цю вісь:

Теорема. При множенні вектора на число його проекція на цю вісь також множиться на це число:

Нехай вектори такі, що за напрямом збігаються відпо-

відно з осями Ох, Оу, Оz і . Такі вектори надалі називатимемо одиничними векторами осей системи координат. Тоді

(3.3)

2. Скалярний, векторний і змішаний добуток векторів

Означення. Скалярним добутком двох ненульових векторів і називається число (скаляр), яке дорівнює добутку модулів цих векторів на косинус кута між ними. Якщо хоча б один із векторів дорівнює нулю, то кут між векторами не визначений і за означенням скалярний добуток дорівнює нулю. Отже:

,

де -- кут між векторами. Використовуючи формулу проекції вектора, можна також записати:

.

Властивості скалярного добутку:

1. . 4. .

2. . 5. якщо і навпаки,

3. . якщо .

Нехай вектори і задано за допомогою (2.6), тоді, використовуючи властивості скалярного добутку, умови маємо:

(3.4)

Отже,

З рівності (2.7) випливає, що:

1. Необхідною і достатньою умовою перпендикулярності векторів і є а_х b_х + а_у b_у + а_z b_z = 0.

2. Кут між двома векторами і можна знайти за формулою:

_.

Означення. Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , якщо:

1) довжина вектора , де -- кут між двома векторами;

2) вектор перпендикулярний до кожного з векторів і



Рис. 3.2

3) вектор спрямований так, що коли дивитися з його кінця на площину, в якій лежать вектори і , то поворот вектора до вектора відбувається на найменший кут проти годинникової стрілки.

Модуль векторного добутку двох неколінеарних векторів дорівнює площі паралелограма, побудованого на векторах як на сторонах.

Властивості векторного добутку:

1. , якщо і -- колінеарні вектори.

2. .

3. .

4. .

Знайдемо векторні добутки одиничних векторів . З колінеарності векторів випливає: . З того, що одиничні вектори збігаються з напрямом осей прямокутної системи координат, маємо:

Знайдемо координати вектора , якщо , .

(3.5)

або .

Означення. Мішаним добутком векторів називається число, яке дорівнює скалярному добутку вектора на векторний добуток векторів і , тобто .

Рис. 3.3

Розглянемо геометричний зміст змішаного добутку. Для цього побудуємо на векторах , вважаючи, що вони не лежать в одній площині, тобто не компланарні, паралелепіпед (рис. 3.3).

Знайдемо об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах (рис. 3.3). Площа основи його дорівнює модулю векторного добутку векторів . Висота дорівнює . Отже, остаточно маємо:

. (3.6)

З останнього випливає, що модуль мішаного добутку чисельно дорівнює об'єму паралелепіпеда, побудованого на векторах . З рівності (2.9) маємо умову компланарності трьох векторів : .

Ураховуючи формули (2.7) і (2.8) знаходження скалярного і векторного добутків, маємо:

або .

Властивості мішаного добутку:

1. .

2. .

3. Найпростіші задачі аналітичної геометрії

1. Відстань між двома точками.

Рис. 3.4

Нехай задано дві точки М₁ (х₁, у₁) і М₂ (х₂, у₂) (рис. 3.4).

.

Трикутник М₁М₂K -- прямокутний, тому за теоремою Піфагора маємо:

 (3.7)

2. Поділ відрізка у заданому відношенні.

Рис. 3.5

Число -- називається відношенням, в якому точка М ділить відрізок М₁М₂ (рис. 3.5), якщо

.

Нехай задано і координати точок і , треба знайти координати точки М (х, у).

З рис. 3.5 і теореми про пропорційні відрізки, що відтинають паралельні прямі на сторонах кута, випливають співвідношення:

.

Оскільки числа х - х₁ і х₂ - х одного й того самого знака (при х₁ < х₂ вони додатні, а при х₁ > х₂ -- від'ємні), то . Отже, .

Звідси:

. (3.5)

Аналогічно до попереднього дістанемо формулу для знаходження координати у

. (3.6)

Наслідок. Якщо точка М (х, у) -- середина відрізка М₁ М₂, то

= 1 і формули (3.5), (3.6) набирають вигляду:

.

3. Площа трикутника.

Рис. 3.6

Нехай задано координати вершин деякого трикутника А (х₁, у₁), В (х₂, у₂), С (х₃, у₃) (рис. 3.6).

Знайдемо площу цього трикутника.

Тема 4. Пряма на площині і в просторі

1. Рівняння прямої у просторі

Пряму у просторі можна задати як лінію перетину двох площин у прямокутній системі координат:

(4.1)

Зрозуміло, що ці площини мають бути непаралельними, тобто їхні нормальні вектори , -- не колінеарні. Система (2.31) називається загальним рівнянням прямої. Дістанемо ще деякі форми рівняння прямої.

Канонічне рівняння прямої. Нехай у системі координат Охуz задано пряму l і ненульовий вектор , колінеарний цій прямій. Точка належить прямій, а напрямний вектор . Тоді довільна точка М (х, у, z) лежатиме на прямій тоді і тільки тоді, коли вектори і колінеарні:

. (4.2)

Рівняння (2.32) називається канонічним рівнянням прямої у просторі.

Параметричне рівняння.

У рівнянні прямої (2.32) позначимо через t кожне з рівних відношень. Тоді

.

Звідси дістаємо:

Параметричне рівняння прямої в просторі.

Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки.

Нехай дві точки і належать прямій у просторі. Тоді вектор можна розглядати як напрямний вектор прямої. Замінюючи ним вектор у рівнянні (2.32), дістанемо шукане рівняння прямої у просторі

.

Для знаходження кута між двома прямими

і

візьмемо до уваги, що вектори і колінеарні відповідним прямим і скористаємося формулою:

.

З останньої формули випливає умова перпендикулярності двох прямих

,

а умову паралельності двох прямих дістанемо як умову колінеарності напрямних векторів і :

.

Рис. 4.1

Розглянемо ще задачу знаходження відстані від точки до прямої .

Шукану відстань можна розглянути як довжину висоти паралелограма, побудованого на векторах і (рис. 4.1). Відомо, що площа паралелограма дорівнює модулю векторного добутку векторів, на яких побудовано цей паралелограм. Доходимо висновку, що шукану висоту, а отже, і відстань від точки до прямої можна знайти за формулою:

(4.3)

2. Взаємне розміщення прямої і площини у просторі

Нехай задано пряму і площину у просторі. Якщо

,

то пряма перпендикулярна до площини, а коли

,

пряма паралельна площині.

Нехай . Знайдемо координати точки перетину площини і прямої. Перейдемо до канонічного рівняння прямої

Знайдемо кут між площиною і прямою.

Рис. 4.2

Кут між площиною і прямою дорівнює куту між прямою і її проекцією на площину (рис. 4.2). Вектор -- перпендикулярний до площини, а кут , який він утворює з вектором , разом з у сумі дорівнює 90. Тобто + = 90.

Знайдемо кут як кут між двома векторами.

.

Якщо , то , а якщо , то , у будь-якому разі . Отже,

.

Тема 5. Криві другого порядку

1. Канонічне рівняння еліпса

Розглянемо тепер лінії другого порядку, які на площині в загальному випадку можна записати так:

а₁₁х² + 2а₁₂ху + а₂₂у² + 2а₁₃х + 2а₂₃у + а₃₃ = 0. (5.1)

Рівняння (2.19) описує всі криві другого порядку в загальному випадку. Спинимось спочатку на простіших, так званих канонічних рівняннях ліній другого порядку.

Еліпс. Означення. Множина точок площини, для яких сума відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величина стала й така, що дорівнює 2а і більша, ніж відстань між фокусами, називається еліпсом.

Рис. 5.1

На рис. 5.1 зображено F₁ (-c, 0), F₂ (c, 0) -- фокуси еліпса, М (х, у) -- точка множини, яка задовольняє означення, тобто причому 2с < < 2a a > c. Тоді

(5.2)

канонічне рівняння еліпса, де b² = а² - с².

Розглянемо геометричний зміст параметрів, що входять в рівняння (5.2). Якщо х = 0, у = b, тобто точки (0, b) і (0, - b) є точками перетину еліпса з віссю Оy. Відрізок завдовжки b називають малою піввіссю еліпса. При у=0, х=а і відповідно (а,0); (- а; 0) є точками перетину еліпса з віссю Ох. Відрізок завдовжки а -- велика піввісь еліпса. З парності виразу (5.2) за х і за у випливає симетрія еліпса відносно осей Ох і Оу. На рис. 5.1 зображено еліпс.

Ексцентриситет еліпса -- це відношення ; за означенням с < a і [0, 1). Оскільки то . З останньої рівності випливає геометричний зміст ексцентриситету, який полягає в тому, що він характеризує ступінь витягнутості еліпса. Так, при маємо коло, якщо наближається до одиниці, то відношення довжини півосей еліпса стає малим, тобто еліпс витягується вздовж осі Ох.

Гіпербола. Означення. Множина точок площини, для яких модуль різниці відстаней від двох заданих точок, що називаються фокусами, є величиною сталою, яка дорівнює 2а і менша за відстань між фокусами, називається гіперболою.

Скористаємось рис. 5.2, з якого бачимо, що точки F₁ (- c, 0) і F₂ (c, 0) -- фокуси гіперболи, точка М (х, у) -- точка визначеної множини. Тоді .

Канонічне рівняння гіперболи має вигляд:

, де b² = c² - a².



Рис. 5.2

Дослідимо здобуте рівняння. Гіпер-бола не перетинає вісь Оу. При у = 0; х=а і точки (-а,0); (а,0) -- точки перетину з віссю Ох. Розглянемо ще рівняння прямих , які далі називатимемо асимптотами гіперболи. Враховуючи симетрію відносно осей Ох і Оу, будуємо графік гіперболи, який зображено на рис. 5.2.

Відрізки завдовжки b і а називають відповідно уявною і дійсною осями гіперболи.

Ексцентриситет гіперболи , але с > a і >1. Беручи до уваги, що с² = а² + b², дістаємо: , або .

З останньої рівності випливає, що для гіперболи ексцентриситет характеризує ступінь нахилу віток гіперболи до осі Ох.

Дві прямі, рівняння яких , називаються директрисами еліпса і гіперболи. Для еліпса і відношення , директриси еліпса -- це дві прямі, що розміщені симетрично відносно осі Оу і проходять зовні еліпса. Для гіперболи > 1 і відношення . Тобто директриси гіперболи розміщені симетрично відносно осі Оу і лежать між вітками гіперболи.

Для еліпса і гіперболи можна сформулювати важливе твердження: якщо r -- відстань від деякої точки еліпса або гіперболи до будь-якого фокуса, а d -- відстань від цієї самої точки до директриси, яка відповідає цьому фокусу, то відношення стале й дорівнює ексцентриситету, тобто .

Розглянуте твердження можна покласти в основу означення цих ліній.

Означення. Множина точок, для яких відношення відстаней від фокуса і до відповідної директриси -- величина стала, що дорівнює ексцентриситету , є еліпс, якщо < 1, і гіпербола, якщо > 1.

Рис. 5.3

Парабола. Означення. Множина то-чок площини, що містяться на однаковій відстані від даної точки фокуса і даної прямої, яка не проходить через фокус і називається директрисою, є парабола.

За означенням r = d, отже (див. рис. 5.3):

або у² = 2рх

-- канонічне рівняння параболи, коли = 1. Парабола симетрична осі Ох, проходить через початок системи координат. Її графік подано на рис. 5.3.

Коло. До кривих другого порядку належить і добре відома лінія, яка називається колом (рис. 5.4).

Означення. Множина точок, що містяться на однаковій відстані від заданої точки -- центра, називається колом. За означенням ОМ = R або .

Рис. 5.4

Піднісши обидві частини рівняння до квадрата, дістанемо:

(х - а)² + (у - b)² = R² (5.4)

-- канонічне рівняння кола. Тут (а, b) -- координати центра кола, R -- його радіус. Розкривши дужки в лівій частині (5.4), дістанемо, очевидно, рівняння другого степеня, тобто коло -- також крива другого порядку.

Тема 6. Границя числової послідовності

1. Поняття числової послідовності та її границі

Означення. Числова функція , область визначення якої є множина натурального ряду чисел, називається числовою послідовністю, або просто послідовністю, і позначається , надалі писатимемо

Значення називаються чле-нами послідовності. Послідовність вважається заданою, якщо задано n-й член послідовності.

Приклад. Записати три перші члени послідовності . Маємо

Приклад. За заданими трьома першими членами послідовності знайти формулу n-го члена.

Задача розв'язується методом добору з наступною перевіркою .

Означення. Число а називається границею послідовності , якщо для будь-якого , яке б мале воно не було, існує номер N такий, що для всіх номерів виконується нерівність .

Позначення або .

Для стислого запису означення границі використаємо квантори: -- для будь-якого, будь-який; -- існує, знайдеться;

: = дорівнює за означенням, означає. Тоді означення границі послідовності за допомогою цих символів запишеться так:

Розглянемо геометричну інтерпретацію границі послідовності. На числовій осі побудуємо -окіл числа а, тобто інтервал (а - ; а + ), і покажемо, як розміщуватимуться точки, які відповідають членам послідовності , при (рис. 6.1).

Рис. 6.1

Означення. Число а називається границею послідовності x_n, якщо для будь-якого -околу точки а існує номер N такий, що, починаючи з номерів , усі члени послідовності перебувають в -околі точки а (див. рис. 6.1).

Означення. Послідовність називається збіжною, якщо вона має границю (скінченну). Послідовність, яка не має границі, називається розбіжною.

Приклад. Довести за означенням, що .

Зауважимо, що n-й член послідовності ; сама послідовність така: . Для доведення потрібно за заданим знайти номер послідовності N, такий, що при всіх номерах виконуватиметься нерівність . Розв'яжемо останню нерівність відносно n:

Виберемо . Тоді при нерівність виконується, а отже, виконується і нерівність , чим доведено, що Отже, для доведення за означенням певної границі послідовності досить побудувати функціональну залежність N від числа , тобто знайти функцію N(). У розглянутому прикладі функція , і за заданим будь-яким завжди можна знайти відповідний номер N; наприклад при , при нерівність виконується.

2. Загальні властивості збіжних послідовностей

Теорема 1. (Єдиність границі послідовності). Якщо послідовність має границю, то вона єдина.

Теорема 2. (Необхідна умова збіжності послідовності). Якщо послідовність збіжна, то вона обмежена.

Теорема 3. Якщо , то існує такий но-мер N, що при всіх виконується нерівність .

Приклад. Послідовність у розгорнутому вигляді така: . Для номерів усі члени послідовності будуть менші за 2.

Теорема 4. Границя сталої величини дорівнює сталій, тобто

3. Теореми, які полегшують знаходження границь послідовностей

Теорема 1. (Граничний перехід у нерівності).

Якщо для будь-якого n виконується нерівність і -- збіжні, то .

Теорема 2. (Про границю затисненої послідовності). Якщо для будь-якого n і , то

Приклад.

Теорема 3. (Вейєрштрасса). Про границю монотонної й обмеженої послідовності:

1) якщо монотонно зростаюча послідовність обмежена зверху, то вона збіжна;

2) якщо монотонно спадна послідовність обмежена знизу, то вона збіжна.

Приклад. Довести, що при . При доведення очевидне. Нехай , тоді послідовність -- монотонно спадна (див. рис. 3.8) і обмежена знизу . Отже, за теоремою Вейєрштрасса послідовність має границю, яку позначимо так: . Послідовність , за винятком першого члена, збігається з послідовністю , отже, . Звідси випливає, що , тобто або , але , отже, . Нехай тепер . Розглянемо:

Приклад

Тема 7. Похідна функції

1. Означення похідної

Нехай функція визначена на деякому проміжку (а; b). Візьмемо значення і надамо аргументу приросту . Тоді функція набуде приросту . Розглянемо відношення приросту функції до приросту аргументу і перейдемо до границі при :

. (7.1)

Якщо границя (4.1) існує і скінченна, вона називається похідною функції за змінною х і позначається

.

Означення. Похідною функції за аргументом х називається границя відношення приросту функції до приросту аргументу, коли приріст аргументу прямує до нуля. Операція знаходження похідної називається диференціюванням цієї функції.

Користуючись означенням похідної, знайти похідні функцій.

Приклад. Функція у = х². Знайти похідну в точках х = 3 і х = - 4.

Надамо аргументу х приросту , тоді функція набуде приросту

Складемо відношення приросту функції до приросту аргументу , відшукаємо границю . Таким чином, .

Похідна в точці х = 3 , а похідна при х = - 4 буде .

Приклад. , де .

Надавши аргументу приросту , дістанемо приріст функ-ції . Тепер знайдемо границю відношення при :

, тобто

Приклад. .

Користуючись відомою з тригонометрії формулою

,

знайдемо приріст функції у точці і обчислимо границю:

,

;

.

Аналогічно можна дістати: .

Приклад. .

Для цієї функції маємо

,

тобто .

2. Основні правила диференціювання

Теорема 1. Похідна сталої дорівнює нулю, тобто якщо у = с, де с = const, то .

Теорема 2. Похідна алгебраїчної суми скінченної кількості диференційовних функцій дорівнює алгебраїчній сумі похідних цих функцій: .

Теорема 3. Похідна добутку двох диференційовних функцій дорівнює добутку першого множника на похідну другого плюс добуток другого множника на похідну першого:

.

Теорема 4. Сталий множник можна виносити за знак похідної:

, де .

Теорема 5. Якщо чисельник і знаменник дробу диференційовні функції (знаменник не перетворюється в нуль), то похідна дробу також дорівнює дробу, чисельник якого є різницею добутків знаменника на похідну чисельника і чисельника на похідну знаменника, а знаменник є квадратом знаменника початкового дробу .

Зауваження. Похідну від функції , де , зручно обчислювати як похідну від добутку сталої величини на функцію u (x):

.

Приклад. Обчислити похідну для функції у = tg x.

Таким чином, .

Похідна складної функції. Нехай у = f (u), де , тобто . Функція f (u) називається зовнішньою, а функція -- внутрішньою, або проміжним аргументом.

Теорема 6. Якщо у = f (u) та -- диференційовні функції від своїх аргументів, то похідна складної функції існує і дорівнює .

Таким чином, похідна складної функції дорівнює добутку похідної зовнішньої функції за проміжним аргументом на похідну проміжного аргументу за незалежною змінною.

Похідна неявної функції. Нехай рівняння F (x; y) = 0 визначає у як неявну функцію від х. Надалі будем вважати, що ця функція -- диференційовна.

Продиференціювавши за х обидві частини рівняння F (x; y) = 0, дістанемо рівняння першого степеня відносно . З цього рівняння легко знайти , тобто похідну неявної функції.

Приклад. Знайти з рівняння .

Оскільки у є функцією від х, то у² розглядатимемо як складну функцію від х, тобто .

Продиференціювавши по х обидві частини заданого рівняння, дістанемо . Звідси .

Похідна оберненої функції. Нехай задані дві взаємно обернені диференційовні функції

у = f (х) та .

Теорема 7. Похідна оберненої функції по змінній у дорівнює оберненій величині похідної від прямої функції .

Приклад. Обчислити похідну для функції .

Задана функція обернена до функції . Згідно з теоремою 7 можна записати

.

Звідси .

Якщо в останньому виразі замість у записати х, то дістанемо

.

3. Похідні від основних елементарних функцій

За аналогією з попередніми прикладами можна дістати похідні від основних елементарних функцій:

1. ; 2. ;

3. ; 4. ;

5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. .

Продиференціювати подані далі функції.

Приклад. .

Дана функція є алгебраїчною сумою функцій, тому використовуємо теорему 2: .

У здобутому виразі перший доданок алгебраїчної суми є добуток сталої величини на степеневу функцію -- застосуємо до нього теорему 4 і формулу (2) таблиці похідних; другий -- ірраціональна функція з показником -- застосуємо формулу (2) таблиці похідних; третій -- логарифмічна функція з основою е -- використаємо формулу (5): .

Приклад. .

Задана функція складна: зовнішня -- показникова функція з основою 6, внутрішня для неї -- обернена тригонометрична. Обернена тригонометрична, у свою чергу, є складною, для якої внутрішня функція -- алгебраїчна сума . Для суми аргументом (скінченним) є х.

Таким чином, задана функція є суперпозицією трьох функцій.

При диференціюванні послідовно застосовуємо два рази теорему 6:

У цьому виразі знизу біля кожної квадратної дужки вказано аргумент, за яким слід диференціювати функцію, взяту в дужки.

Тепер послідовно скористаємося формулами (4), (11), (2) таблиці похідних та теоремами 1, 2. Дістанемо:

.

Взагалі використані правила та формули не фіксують, а записують кінцевий результат їх застосування.

Приклад. .

Задана функція є степенево-показниковим виразом виду

, де . (7.5)

Прологарифмуємо функцію (4.5) за основою е:

. (7.6)

Оскільки і -- складні функції, після диференціювання обох частин рівності (4.6) дістанемо:

.

Звідси .

Таким чином, дістали формулу для знаходження похідної від степенево-показникової функції виду (4.5).

. (7.7)

У даному випадку формула (4.7) виглядає як .

4. Похідні вищих порядків

Похідна від функції називається похідною першого порядку і являє собою деяку нову функцію. Мож-ливі випадки, коли ця функція сама має похідну. Тоді похідна від похідної першого порядку називається похідною другого порядку від функції і позначається .

Похідна від похідної другого порядку називається похід-ною третього порядку і означається , .

Похідна від похідної (n - 1)-го порядку називається похідною n-го порядку і позначається .

Таким чином,

Приклад. Знайти похідну третього порядку для функції .

.

Тема 8. Невизначений інтеграл

1. Поняття первісної

Означення. Функція F(x) називається первісною для функції f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку або .

Із означення виходить, що первісна F(x) -- диференційовна, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Приклад. Первісні для функції мають вигляд:

Рис. 8.1

, бо ;

бо ;

, бо ,

причому F₁(x), F₂(x) -- неперервні , а F₃(x) у точці х = 0 має розрив (рис. 8.1). У цьому прикладі пер-вісні F_і(x) і = 1, 2, 3, знайдені методом добору із наступною перевіркою, з використанням таблиці похід-них функцій.

Теорема 1 (про множину первісних). Якщо F(x) -- первісна для функції f(x) на проміжку І, то

1) F(x) + С -- також первісна для f(x) на проміжку І;

2) будь-яка первісна Ф(х) для f(x) може бути подана у вигляді Ф(х) = F(x) + С на проміжку І. (Тут С = const називається довільною сталою.)

Наслідок. Дві будь-які первісні для однієї й тієї самої функції на проміжку І відрізняються між собою на сталу величину (рис. 8.1).

2. Задача інтегрування. Невизначений інтеграл

Означення. Операція знаходження первісних для функції f(x) називається інтегруванням f(x).

Задача інтегрування функції на проміжку полягає у тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку, або довести, що функція не має первісних на цьому проміжку.

Для розв'язування задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x) + С -- загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Означення. Функція F(x) + С, що являє собою загальний вигляд всієї множини первісних для функції f(x) на проміжку І, називається невизначеним інтегралом від функції f(x) на проміжку І і позначається

, , (8.1)

де -- знак невизначеного інтеграла;

f(x) -- підінтегральна функція;

f(x)dx -- підінтегральний вираз;

dx -- диференціал змінної інтегрування.

Геометричний зміст невизначеного інтеграла полягає в тому, що функція є рівняння однопараметричної сім'ї кривих, які утворюються одна з одної паралельним перенесенням уздовж осі ординат (рис. 8.2).

Рис. 8.2

Теорема 2 (Коші). Для існування невизначеного інтеграла для функції f(x) на певному проміжку достатньо, щоб f(x) була неперервною на цьому проміжку.

Зауваження. Виявляється, є такі невизначені інтеграли від елементарних функцій, які через елементарні функції не виражаються, наприклад:

, , ,

існують у кожному із проміжків області визначення, але записати їх через основні елементарні функції не можна; в такому розумінні ці інтеграли називають «неінтегровними».

3. Властивості невизначеного інтеграла

а) Властивості, що випливають із означення (8.1).

І. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній функції .

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.

ІІІ. .

б) Властивості, що відображають основні правила інтегрування.

IV. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла, тобто

(8.2)

V. Невизначений інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують, тобто

(8.3)

4. Таблиця основних інтегралів

1. ; 2. ; 3. ;

4. ; 5. ; 6. ;

7. ; 8. ;

9. ; 10. ;

11. ; 12. ;

13. ; 14. ;

;

;

;

;

;

;

.

5. Поняття визначеного інтеграла

Нехай -- деяка функція, що задана на проміжку [a; b]. Розіб'ємо [a; b] на n частин точками так що

Обчислимо де

Складемо інтегральну суму .

Позначимо .

Означення. Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при і не залежить ні від способу розбиття [a; b] на частини , ні від вибору точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на проміжку [a; b] і позначається:

, (8.4)

Де -- знак визначеного інтеграла;

а, b -- нижня та верхня межі інтегрування;

f(x) -- підінтегральна функція;

f(x) dx -- підінтегральний вираз;

dx -- диференціал змінної інтегрування.

За означенням, визначений інтеграл -- число, яке залежить від типу функції та проміжку [a; b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування:

Означення. Функція, для якої на [a; b] існує визначений інтеграл називається інтегровною на цьому проміжку.

Далі буде показано, що неперервні функції -- інтегровні.

Геометричний зміст визначеного інтеграла

Якщо , то дорівнює площі відповідної криволінійної трапеції (рис. 8.4).

6. Властивості визначеного інтеграла

І. Якщо , то

ІІ. Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла, тобто

ІІІ. Якщо та інтегровні на [a; b], то

IV. Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл змінить лише свій знак на протилежний, тобто

V. Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю

VI. Якщо -- інтегровна в будь-якому із проміжків: [a; b], [a; c], [с; b], то

VII. Якщо і інтегровна для то

VIII. Якщо , -- інтегровні та для то