IX. Якщо f(x) -- інтегровна та для то

Доведення випливає як наслідок із властивостей І та VIII.

Х. Теорема 7 (про середнє).

Якщо функція -- неперервна для то знайдеться така точка що:

(8.5)

Геометричний зміст теореми про середнє полягає в тому, що існує прямокутник із сторонами та b - a, який рівновеликий криволінійній трапеції аАВв за умови, що функція та неперервна на проміжку [a; b] (рис. 8.3).

Рис. 8.3.

Формула Ньютона -- Лейбніца

Розглянемо інтеграл , який буде функцією від верхньої межі інтегрування. Змінній х надамо приросту , що зумовить приріст функції.

(рис. 8.4)

Рис. 8.4

Теорема 8. Якщо функція f(x) неперервна для будь-якого то похідна від інтеграла зі змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній функції від верхньої межі інтегрування, тобто

(8.6)

Наслідки:

1. Визначений інтеграл зі змінною верхньою межею від функції є одна із первісних для .

2. Будь-яка неперервна функція на проміжку має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла зі змінною верхньою межею, тобто



Приклад. Знайти .

Функція -- неперервна на проміжку тому

Теорема 9. (Ньютона -- Лейбніца). Якщо функція -- неперервна для то визначений інтеграл від функції на проміжку дорівнює приросту первісної функції на цьому проміжку, тобто

де (8.7)

Позначимо дію подвійної підстановки так: тоді зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна подати такою рівністю:

(8.8)

Наслідок. Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральних функцій і виконати над нею подвійну підстановку.

Приклад.

7. Обчислення площ плоских фігур в прямокутній системі координат.

Якою б не була криволінійна фігура, що обмежена неперервними кривими лініями, шляхом її розсікання лініями паралельними осям координат, обчислення площі фігури можна звести до обчислення площ розглянутих нижче фігур.

І. Фігура обмежена лініями , y = 0, x = a, x = b (рис. 8.5). Функція -- неперервна та Площа S такої криволінійної трапеції за геометричним змістом визначеного інтеграла така: .

Якщо при виконанні всіх інших умов (рис. 8.6),

(8.9)

Рис. 8.5	Рис. 8.6	Рис. 8.7

ІІ. Фігура обмежена лініями (рис. 8.7). Функція -- неперервна та Площа S такої фігури буде

(8.10)

Тема 9. Диференціальні рівняння першого порядку

1. Основні поняття

Означення. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке містить похідну шуканої функції. Найбільший порядок похідних називається порядком диференціального рівняння.

У загальному випадку диференціальне рівняння n-го порядку має вигляд

Далі замість слів «диференціальні рівняння» використовуватимемо позначення ДР.

Приклад.		-- ДР першого порядку;
		-- ДР другого порядку;
		-- ДР третього порядку.

Диференціальне рівняння може визначити функцію багатьох змінних.

Приклад. Рівняння з частинними похідними має розв'язок який називається функцією Кобба -- Дугласа.

У запропонованому розділі розглянути лише диференціальні і різницеві рівняння, в яких шукана функція залежить лише від одного аргументу. Такі рівняння називаються звичайними.

У даній темі вивчаємо ДР першого порядку, які в загальному вигляді можна записати рівнянням

 (9.1)

Це -- ДР рівняння, що не розв'язане відносно похідної. Якщо рівняння (8.1) можна розв'язати відносно похідної, то рівняння (8.1) подаємо у вигляді

. (9.2)

Це ДР рівняння, що розв'язане відносно похідної, і його можна записати у вигляді або .

Якщо є дробом, , тоді ДР першого порядку можна записати в симетричній формі

(9.3)

Означення. Розв'язком ДР називається функція , яка при підстановці у ДР перетворює його на тотожність. Графік функції називається інтегральною кривою.

Приклад. Задача інтегрування функцій може бути розглянута як задача інтегрування ДР

і має розв'язок

який знаходиться інтегруванням, тобто квадратурою.

Інтегральні криві утворюються зсувом однієї з них вздовж осі у.

Приклад. ДР має розв'язок .

Справді, . Підставивши в рівняння, дістанемо тотожність

Звичайно, ДР має нескінченну множину розв'язків. Так, попереднє рівняння має розв'язок , де С -- довільний параметр.

2. Задача Коші

Розглянемо ДР .

Означення. Задача пошуку розв'язку , що задовольняє умови

при (9.4)

називається задачею Коші. Умови (9.4) називаються початковими умовами, числа називаються початковими значеннями.

Означення. Точки, в яких порушується єдиність розв'язків ДР, називаються особливими. Розв'язок ДР називається особливим, коли всі точки на розв'язку особливі.

Якщо в диференціальному рівнянні першого порядку

то точка є особливою точкою ДР.

Наведемо приклади поводження інтегральних кривих в околі особливої точки (рис. 9.1).



Рис. 9.1

Приклад. Розглянемо ДР яка має особливу (0; 0). Розв'яжемо ДР

Інтегральними кривими є гіперболи. Особлива точка (0; 0) є сідлом.

Розглянемо ДР .

Означення. Функція , що містить довільну сталу С, називається загальним розв'язком ДР, якщо функція є розв'язком ДР при довільному значенні сталої С, тобто і за рахунок вибору довільної сталої С можна розв'язати задачу Коші з довільними початковими умовами, тобто рівняння розв'язується відносно С. Розв'язок при фіксованому значенні сталої С називається частинним розв'язком.

Приклад. ДР має загальний розв'язок

Справді, маємо тотожність: .

При довільних початкових значеннях , знаходимо значення довільної сталої С .

Якщо довільна стала виражена через початкові дані, то загаль-ний розв'язок називається розв'язком у формі Коші.

Приклад. ДР має розв'язок у формі Коші.

Означення. Задача знаходження розв'язків ДР називається інтегруванням ДР. Самий розв'язок називається також інтегралом ДР. Назва пояснюється розв'язуванням найпростішого ДР

Загальний розв'язок може бути знайдений у неявній формі: Тоді ця рівність називається інтегралом ДР.

Функція також називається інтегралом ДР. Якщо загальний розв'язок ДР подається неявним рівнянням то рівняння називається загальним інтегралом ДР.

Розв'яжемо диференціальне рівняння .

Рівняння можна записати у вигляді .

Звідси знаходимо інтеграл ДР .

Розглянемо детальніше питання про особливі розв'язки. Точки, в яких існує не єдиний розв'язок ДР можуть бути точками розриву функцій а також точками, в яких загальний інтеграл ДР не розв'язуваний відносно с, тобто Криві, в точках яких не виконані умови єдиності рішень, називають дискримінантними кривими.

Приклад. Розв'яжемо ДР

Його можна записати у вигляді .

ДР має загальний інтеграл і загальний розв'язок

Шукаємо особливі розв'язки з умови

Знаходимо

Дискримінантна крива y = 0 є розв'язком ДР, але не є частинним розв'язком. Цей особливий розв'язок можна було знайти з умови, що частина похідна має розрив при y = 0. Інтегральні криві наведено на рис. 9.2.

Рис. 9.2

Не завжди дискримінантна крива визначає рішення ДР.

Приклад. ДР має загальний розв'язок і загальний інтеграл

З умови знаходимо дискримінантну криву

х = 0, яка не визначає ніякого рішення ДР. Інтегральні криві ДР зображено на рис. 9.3.



Рис. 9.3

Тема 10. Числові ряди. Поняття збіжності ряду. Необхідна умова збіжності

1. Основні поняття. Деякі властивості збіжних рядів

Означення. Нехай -- деяка нескінченна послідовність чисел. Побудований із цих чисел за допомогою знака «+» символ

(10.1)

називається нескінченним рядом (чи просто рядом), а самі числа -- членами ряду; n-ий член u_n -- називається загальним членом ряду.

Побудуємо частинні суми ряду:

(10.2)

Частинні суми ряду (9.2) утворюють числову послідовність: Надалі основним буде питання про збіжність послідовності частинних сум ряду. Таким чином, поняття ряду вводиться для побудови числових послідовностей спеціального виду -- частинних сум ряду. Такі послідовності широко використовуються в математичному аналізі, наприклад, відоме число е можна подати таким рядом .

Означення. Числовий ряд називається збіжним, якщо існує границя послідовності частинних сум ряду

(10.3)

При цьому величина називається сумою ряду, а число

-- (10.4)

залишком ряду. Якщо границя S_n не існує (нескінченна), то ряд називається розбіжним.

Приклад. Нехай ряд задано першими трьома членами . Знайти загальний член ряду і дослідити ряд на збіжність.

Загальний член ряду, як правило, знаходять методом перебирання варіантів, виходячи із аналізу заданих перших членів ряду з наступною перевіркою його правильності.

У даному прикладі чисельник кожного члена дорівнює одиниці, а знаменник є добутком трьох послідовних натуральних чисел. Вважатимемо, що . Тоді, беручи n послідовно таким, що дорівнює 1, 2, 3, ..., дістаємо члени ряду ; , чим упевнюємося, що загальний член ряду побудований правильно.

За допомогою методу невизначених коефіцієнтів u_n можна розкласти на такі дроби:

.

Часткова сума ряду S_n запишеться тоді так:

. Отже, ряд збігається, його сума .

У цьому прикладі збіжність ряду було встановлено безпосередньо за означенням, тобто обчислено . Для переважної більшості рядів обчислити неможливо, тому далі буде наведено такі методи й ознаки, за допомогою яких можна встановити збіжність ряду, не обчислюючи .

Теорема 1. Якщо збігається ряд, то збігається його залишок; і навпаки, із збіжності залишку випливає збіжність ряду.

Наслідок 1. Із розбіжності ряду випливає розбіжність його залишку, і навпаки.

Наслідок 2. Якщо відкинути скінченну кількість перших членів ряду або додати до нього кілька нових членів, то це не вплине на його збіжність.

Теорема 2. Якщо члени збіжного ряду (9.1) помножити на сталий множник с, то його збіжність не порушиться, а сума (9.3) помножиться на це число с:

.

Теорема 3. Збіжні ряди і можна почленно додавати або віднімати, при цьому ряд також збігається, а його сума буде .

Теорема 4. Послідовність частинних сум збіжного ряду обмежена. Це твердження випливає зі збіжності послідовності частинних сум ряду.

Теорема 5. Якщо ряд збігається, то границя його загального члена прямує до 0, тобто: .

Наслідок. Якщо , тобто необхідна умова збіжності ряду не виконується, то ряд розбігається.

Приклад: Перевірити виконання необхідної умови збіжності для ряду . Загальний член ряду . Розглянемо . Необхідна умова збіжності ряду не виконується. Ряд розбігається.

2. Достатні ознаки збіжності для рядів з додатними членами

Розглянемо ряд з додатними членами . Частинні суми ряду (9.2) утворюють при цьому монотонно зростаючу послідовність .

Теорема 6 (основна). Для того щоб ряд з додатними членами збігався, необхідно і достатньо, щоб усі його частинні суми були обмеженими.

Наслідок. Для того щоб ряд з додатними членами розбігався, необхідно і достатньо, щоб послідовність його частинних сум була необмеженою.

Теорема. 7 (ознака порівняння рядів). Якщо для рядів з додатними членами:

(10.6)

(10.7)

виконується умова то:

а) із збіжності ряду (10.7) випливає збіжність ряду (10.6);

б) із розбіжності ряду (10.6) випливає розбіжність ряду (10.7).

Означення. Якщо для рядів 10.6), (10.7) виконується умова , то ряд (10.7) називається мажорантним відносно ряду (10.6), а ряд (10.6) -- мінорантним відносно ряду (10.7).

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Загальний член ряду . Зауважимо, що

.

Ряд порівняння збігається як ряд геометричної прогресії із . Значить, за ознакою порівняння (теорема 10.7) ряд -- збігається.

Теорема 8 (ознака порівняння в граничній формі). Якщо для рядів з додатними членами (10.6), (10.7) існує границя , то ряди (10.6) і (10.7) збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Загальний член ряду являє собою алгебраїчний вираз. Для того щоб цілеспрямовано вибрати ряд порівняння, побудуємо величину, еквівалентну при . Вибираємо ряд порівняння -- гармонічний ряд, він є розбіжним. Обчислюємо

За ознакою порівняння (теорема 9.8) буде розбіжним і ряд

.

Теорема 9 (ознака Даламбера). Якщо для ряду з додатними членами існує границя тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Загальний член ряду . Побудуємо і розглянемо . За ознакою Даламбера ряд збігається.

Теорема 10 (ознака Коші (радикальна)). Якщо для ряду з додатними членами існує границя , тоді:

при ряд збігається;

при ряд розбігається;

при питання про збіжність ряду ознака не вирішує.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд

Загальний член ряду .

.

За ознакою Коші (теорема 9.10) ряд збігається.

Теорема 11 (ознака Коші (інтегральна)). Якщо функція неперервна, додатна і монотонно спадає при то ряд і невластивий інтеграл збігаються або розбігаються разом.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд Діріхле (узагальнений гармонічний ряд)

(10.8)

Загальний член ряду . Побудуємо функцію :

.

Збіжність інтегралу Діріхле встановлено в 7.3.1, таким чином, за теоремою 10.11

.

У частинному випадку при р=1 маємо гармонічний ряд який, як тепер встановлено, буде розбіжним.

3. Рекомендації щодо використання ознак збіжності рядів з додатними членами

1. Ознака Даламбера, як правило, дає результати тоді, коли загальний член ряду є відношенням алгебраїчного і трансцендентного виразів або відношенням трансцендентних виразів.

Якщо загальний член ряду -- алгебраїчний вираз, то ознака Даламбера питання про збіжність не вирішує.

2. Радикальна ознака Коші зручна в тому випадку, коли загальний член ряду містить степенево-показниковий вираз.

3. Інтегральна ознака Коші використовується тоді, коли функція загального члена ряду легко інтегрується.

4. Ознака порівняння рядів може бути використана для рядів з будь-яким загальним членом. При дослідженні ряду за допомогою ознаки порівняння треба вибрати ряд порівняння, збіжність чи розбіжність якого відома. Рядами порівняння зручно вибирати ряд геометричної прогресії (9.6) або ряд Діріхле (10.8).

5. Якщо загальний член ряду -- алгебраїчний вираз, тоді для дослідження збіжності ряду зручно використовувати ознаку порівняння рядів у граничній формі (теорема 3), як це було показано на прикладі.

6. При дослідженні збіжності рядів рекомендується така послідовність дій: 1) встановити тип ряду (знакододатний чи знакозмінний); 2) перевірити виконання необхідної умови збіжності;

3) використати одну із достатніх ознак збіжності.

Приклад. Дослідити збіжність ряду .

1) ряд знакододатний.

необхідна умова збіжності виконується (ряд може бути як збіжним, так і розбіжним).

Використаємо достатню ознаку збіжності Даламбера. Побудуємо ряд за ознакою Даламбера збігається.

4.Знакозмінні ряди. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінних рядів

Означення. Ряд називається знакозмінним, якщо він містить нескінченне число як додатних, так і від'ємних членів.

Теорема 12 (Коші). Якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду, то збігається і знакозмінний ряд, тобто

Означення. Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення. Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається абсолютно, то його збіжність зумовлена достатнім спаданням за абсолютною величиною його членів.

Зауваження. Якщо знакозмінний ряд збігається умовно, то його збіжність зумовлена не тільки спаданням за абсолютною величиною його членів, але і взаємною компенсацією додатних і від'ємних членів ряду.

Приклад. Дослідити на збіжність ряд .

Загальний член ряду залежно від n може бути як додатним, так і від'ємним. Отже, ряд -- знакозмінний. Побудуємо ряд із абсолютних величин членів даного: . Цей ряд буде знакододатним , так що для дослідження його на збіжність можна використати ознаки збіжності знакододатних рядів. Скористаємось ознакою порівняння рядів: -- ряд порівняння, він збігається, як ряд Діріхле, з p = 2 > 1. Отже, за ознакою порівняння (теорема 10.7) ряд збігається, а це означає, що за теоремою Коші збігається і ряд , причому збігається абсолютно.

5.Знакопочергові ряди. Ознака Лейбніца

Означення. Ряд, кожний член якого відрізняється знаком від попереднього, називається знакопочерговим. Цей ряд має вигляд:

(10.9)

Загальний член ряду (10.9) де .

Теорема 13 (Лейбніца). Якщо члени знакопочергового ряду спадають за абсолютною величиною і границя абсолютної величини загального члена ряду дорівнює нулю, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок 1. Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий само, як і знак першого члена ряду (на рис. 10.1 ).

Геометрична інтерпретація



Рис. 10.1

Наслідок 2. Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує першого члена ряду, тобто (на рис. 9.1) 0< S <a₁).

Наслідок 3. Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів, тобто .

Наслідок 4. Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца , то ряд розбігається (не виконується необхідна умова збіжності).

Приклад. Дослідити збіжність ряду Лейбніца

Загальний член ряду почергово змінює знак, отже, ряд Лейбніца -- знакопочерговий. Обидві умови теореми Лейбніца для цього ряду виконуються:

1)

2) .

Таким чином, ряд Лейбніца буде збіжним, але збіжність умовна, бо ряд із абсолютних величин: -- гармонічний ряд, що розбігається.

Размещено на Аllbest.ru