Размышления о мерности пространства

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размышления о мерности пространства

мерность пространство сфера евклидовый

С давних пор окружность воспринимается как данность. А всё, что воспринимается как данность, содержит в себе нераскрытый потенциал. Так, например, если полный угол окружности радиуса r определить как 360=2, то угол, меньший этого значения, превращает окружность в дугу, а угол больший этого значения вообще никак не меняет представление об окружности. Тем не менее, такое положение вещей может быть характерным далеко не всегда.

И при определенных обстоятельствах полный угол, меньший указанного выше, будет определять также окружность радиуса r, но с меньшим количеством точек на ее длине, а полный угол, больший указанного выше значения, определять окружность радиуса r с большим количеством точек, умещающихся на ее длине.

А поскольку в положениях и аксиомах Евклидовой геометрии нигде не оговаривается, какой именно должен быть полный угол у окружности, то это дает право считать, что геометрия Евклида будет выполняться и в плоскостях, отличающихся друг от друга только тем, что окружности, построенные на них, имеют разные полные углы.

Приведенные ниже размышления - это попытка перевода определенных представлений в языковую форму. Нет сомнения в том, что при переводе такого рода происходят определенные смысловые искажения, которые, будучи пропущены через "призму" мышления любого, воспринимающего данный текст, могут усилиться еще больше, так, что исходное представление будет разительно отличаться от получающегося, либо вообще ему не соответствовать.

Тем не менее, такая попытка осуществлена, поскольку порой именно такого рода искажения заставляют взглянуть на проблему глубже или с иной стороны.

Если в приведенном ниже тексте (либо отдельных его частях) для воспринимающего этот текст есть смысл, то в этом случае анализ может быть продолжен, если смысла нет - то данный текст должен быть отброшен.

Введем несколько допущений. Допустим, что:

1. Если на поверхности сферы, радиуса R определена окружность и известно отношение длины такой окружности к своему диаметру, то любая другая окружность на поверхности этой сферы будет иметь точно такое же отношение своей длины к своему диаметру

2. Если площадь поверхности сферы меняется, а ее радиус R остается при этом неизменным, то меняется мерность пространства, в котором расположена данная сфера.

Рассмотрим сферу, радиуса R с центром в точке О, в пространстве, мерность которого определена как М. Обозначим площадь поверхности такой сферы как S_М. Определим на поверхности сферы окружность радиуса R (диаметра D=2R), длины L, с центром в точке О. Пусть для этой окружности справедливо следующее отношение:

L/D = р

На данной окружности уберем одну точку и сомкнем получившиеся концы так, чтобы получалась новая окружность, все оставшиеся точки которой, по прежнему лежали бы на поверхности сферы и находились бы на одном и том же расстоянии от точки О, то есть радиус R при этом не изменился, а полный угол окружности, уменьшился на величину :

= - ₁

где - полный угол окружности до совершения действия

₁ - полный угол данной окружности после совершения действия

Это приведет к тому, что длина получившейся при этом окружности, уменьшилась на величину и стала равной L₁, а значит, при условии неизменности R, для этой окружности изменилось отношение ee длины к своему диаметру:

Поскольку L₁<L, то L₁/D < L/D= р, следовательно L₁/D < р

Положим L₁/D =a, где a- новое отношение длины окружности к диаметру, вследствие уменьшения полного угла на .

Так как данная окружность определена и, по прежнему, находится на поверхности сферы, радиуса R, то, согласно допущению №1, и любая другая окружность, на поверхности данной сферы, будет иметь точно такое же отношение своей длины к своему диаметру. Это значит, что величина "a" будет в этом случае постоянной величиной, для любой окружности с радиусом r R. То есть любая окружность на поверхности такой сферы будет иметь полный угол ₁< .

Поскольку из поверхности сферы была убрана точка, то площадь поверхности уменьшилась на величину д, и стала S_M-д, затем поверхность была стянута так, что образовавшаяся при этом вакансия исчезла, но все остальные точки поверхности сферы по прежнему остались на расстоянии R от центра O, т.е. при этом радиус сферы остался неизменным и равным R, то согласно допущению №2, это значит, что изменилась мерность пространства, в котором находится данная сфера. Пусть мерность пространства при этом изменилась на е. Следовательно, можно записать следующее:

S_M-е=S_M-д<S_M

где S_M-е - площадь поверхности сферы, радиуса R в пространстве, мерности М-е

S_M - площадь поверхности сферы, радиуса R в пространстве, мерности М

Данное неравенство справедливо для любого R>0. Действительно, с каким бы фиксированным R>0 мы ни определили сферу в пространстве мерности М, изъятие любой точки с ее поверхности уменьшит ее площадь поверхности.

Таким образом, изъятие точки с поверхности сферы, с последующим стягиванием поверхности, при неизменном радиусе сферы приводит к образованию пространства меньшей мерности и меньшему отношению длины окружности существующей в этом пространстве к диаметру этой же окружности.

Если такой процесс с поверхностью сферы повторять снова и снова n раз, оставляя неизменным радиус сферы, то будем последовательно приходить к пространствам с различными мерностями, так что:

M-е_n<M-е_n-1<M-е_n-2<…..<M-е₂<M-е₁<M-е<M

Где M-е_n - мерность пространства, после n-го действия с поверхностью сферы

В каждом из этих пространств будет свой полный угол окружности, такой что:

a_n<a_n-1<a_n-2<…..<a₂<a₁<a< р

где a_n - отношение длины окружности к своему диаметру в пространстве мерности M-е_n

Рассмотрим далее сферу, радиуса R с центром в точке О, в пространстве, мерность которого определена как М. Обозначим площадь поверхности такой сферы как S_М. Определим на поверхности сферы окружность радиуса R (диаметра D=2R), длины L, с центром в точке О. Пусть для этой окружности справедливо следующее отношение:

L/D = р

Разомкнем данную окружность, чтобы образовалась вакансия, равная одной точке. Заполним данную вакансию так, чтобы получилась новая окружность, все точки которой, по прежнему лежали бы на поверхности сферы и находились бы на одном и том же расстоянии от точки О, т.е. радиус R при этом не изменился, а полный угол , такой окружности увеличился на величину :

= ₁-

где - полный угол окружности до совершения действия

₁ - полный угол данной окружности после совершения действия

Это приведет к тому, что длина получившейся при этом окружности, увеличилась на величину и стала равной L₁, а значит, при условии неизменности R для этой окружности изменилось отношение ee длины к своему диаметру:

Поскольку L₁>L, то L₁/D > L/D= р, следовательно L₁/D > р

Положим L₁/D =b, где b- новое отношение длины окружности к диаметру, вследствие увеличения полного угла на .

Так как данная окружность определена и, по прежнему, находится на поверхности сферы, радиуса R, то, согласно допущению №1, и любая другая окружность, на поверхности данной сферы, будет иметь точно такое же отношение своей длины к своему диаметру. Это значит, что величина "b" будет в этом случае постоянной величиной, для любой окружности с радиусом r R. То есть любая окружность на поверхности такой сферы будет иметь полный угол ₁> .

Поскольку на поверхность сферы была внедрена точка, то площадь поверхности увеличилась на величину д, и стала S_M+д, при этом все точки поверхности сферы по прежнему находятся на расстоянии R от центра O, т.е. радиус сферы остался неизменным и равным R, то согласно допущению №2, это значит, что изменилась мерность пространства, в котором находится данная сфера. Пусть мерность пространства при этом изменилась на е. Следовательно, можно записать следующее:

S_M+е=S_M+д>S_M

где S_M+е - площадь поверхности сферы, радиуса R в пространстве, мерности М+е

S_M - площадь поверхности сферы, радиуса R в пространстве, мерности М

Данное неравенство справедливо для любого R>0. Действительно, с каким бы фиксированным R>0 мы ни определили сферу в пространстве мерности М. Внедрение любой точки на ее поверхность приведет к увеличению ее площади поверхности.

Таким образом, внедрение точки на поверхность сферы, при неизменном радиусе R сферы приводит к образованию пространства большей мерности и большему отношению длины окружности существующей в этом пространстве к диаметру этой же окружности.

Если такой процесс с поверхностью сферы повторять снова и снова n раз, оставляя неизменным радиус R сферы, то будем последовательно приходить к пространствам с различными мерностями, так что:

M+е_n>M+е_n-1>M+е_n-2>…..>M+е₂>M+е₁>M+е>M

Где M+е_n - мерность пространства, после n-го внедрения точки на поверхность сферы

В каждом из этих пространств будет свой полный угол окружности, такой что:

b_n>b_n-1>b_n-2>…..>b₂>b₁>b> р

В пространствах от M+ до M+е_n и в пространствах от M- до M-е_n, введем k наблюдателей. Причем данные наблюдатели не контактируют друг с другом. Каждый из этих k наблюдателей может придти к понятию плоскости, определив длину и ширину в своем пространстве. Каждый из этих k наблюдателей на своей плоскости может построить свою окружность, со своим полным углом, то есть у каждого из этих наблюдателей будет своя константа отношения длины окружности к ее диаметру. Но, поскольку наблюдатели не контактируют друг с другом, то есть, у них нет меры сравнения, а разбиение окружности на угловые сектора достаточно условно и может диктоваться повседневной практикой, то каждый волен разбивать свою окружность на угловые сектора так, как ему больше нравиться. При этом, допустим, что, по крайней мере, m наблюдателей из k разбили каждый свою окружность, скажем, на 360 и далее на 4 равные части. При этом каждый из этих m наблюдателей для себя может определить все начальные положения и аксиомы Евклидовой геометрии*, поскольку, в положениях и аксиомах Евклидовой геометрии нигде не оговаривается, какой должен быть полный угол у окружности.

Тогда, у каждого из m наблюдателей, по их мнению, прямой угол будет равен 90 и, следовательно, для каждого из них, опять же, по их мнению, кратчайшее расстояние от точки до прямой будет перпендикуляром. И каждый из них, помимо длины и ширины, сможет так же определить понятие высоты, как еще одной оси перпендикулярной плоскости, определенной ими ранее. И далее, каждый из них может утверждать, что именно его пространство является трехмерным. А так как, по условию, мерности пространств, в которых находятся данные наблюдатели, различны, это значит, что необходим другой путь однозначного определения мерности пространства, в котором находится наблюдатель, и, возможно, иная шкала мерности.

Так как для каждого из m наблюдателей будет свое отношение длины реально существующей в их пространствах окружности к ее диаметру (Например, любая окружность на поверхности реально существующего в пространстве наблюдателя m_i шара). Для каждого наблюдателя это будет константа и у каждого она будет своя. Следовательно, данная константа и может выступать мерилом мерности пространства наблюдателя и однозначно определять мерность этого пространства и также однозначно определять мерность пространства не только каждого из m наблюдателей, но и мерность пространства каждого из k наблюдателей. Таким образом, формула для определения мерности пространства наблюдателя будет иметь следующий вид:

L/D =M

где L - длина окружности, измеренная k-тым наблюдателем в своем пространстве

D - диаметр этой окружности, измеренный k-тым наблюдателем в своем пространстве

M - мерность пространства k-того наблюдателя.

То есть, в качестве показателя мерности может выступать любое действительное число. Вследствие чего, мерность того пространства, в котором мы для себя определяем окружность, будет равна , так как для любой окружности в нашем пространстве выполняется равенство:

L/D = .

Для пространства, мерность которого, например, равна трем, двум или одному, для одной и той же окружности с диаметром D, соответственно можно записать:

L₁/D = 3, L₂/D = 2 и L₃/D = 1.

где L₁ - определяемая из опыта длина окружности, диаметра D, также, определяемого из опыта, в пространстве, мерность которого, на основании отношения этих опытных данных равна трем.

где L₂ - определяемая из опыта длина окружности, диаметра D, также, определяемого из опыта, в пространстве, мерность которого, на основании отношения этих опытных данных равна двум.

где L₃ - определяемая из опыта длина окружности, диаметра D, также, определяемого из опыта, в пространстве, мерность которого, на основании отношения этих опытных данных равна одному.

Поскольку линейная мера длины не претерпевает никаких изменений, то диаметр D данной окружности достаточно измерить только один раз и не важно, в пространстве какой мерности происходит данное измерение.

Если определить окружность с диаметром D=1, то в пространстве двух измерений на длине окружности укладывается два диаметра, в пространстве одного измерения на длине окружности укладывается один диаметр, то есть в этом случае длина окружности совпадает со своим диаметром. Если мерность пространства будет уменьшаться и далее, то длина окружности в таких пространствах, будет меньше своего диаметра. В пространстве, мерность которого равна 0, длина окружности также будет равна 0.

Таким образом, в данной работе предложен новый подход к пониманию мерности пространства, соответственно этому подходу, определён универсальный метод нахождения мерности пространства и по данному методу определена мерность нашего пространства, а так же показано, что понятие о мерности пространства должно основываться на опытных данных.

Рассмотрим плоскость, в любой области которой для любой окружности, принадлежащей данной плоскости, отношение длины окружности к ее диаметру равно р. Для окружности мы вольны полный угол в градусной мере положить любым. Определим полный угол любой окружности в такой плоскости равным 360. Положив далее для такой плоскости все определения и аксиомы Евклида, получим соответствующую Евклидову геометрию.

Рассмотрим теперь плоскость, в любой области которой для любой окружности, принадлежащей вновь рассматриваемой плоскости, отношение длины окружности к ее диаметру равно a<р. Поскольку для окружности мы вольны полный угол в градусной мере положить любым, то так же, положим полный угол любой окружности во вновь рассматриваемой плоскости равным 360. Для такой плоскости мы можем аналогично ввести все определения и аксиомы Евклида не искажая их и, следовательно, в этой плоскости мы также получим Евклидову геометрию.

Такие же рассуждения можно привести и для плоскости, в любой области которой отношение длины окружности, принадлежащей данной плоскости, к ее диаметру равно b>р.

Список литературы

1. Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. -М.: Наука, 1974

2. Рывкин А.А., Рывкин А.З., Хренов Л.С. Справочник по математике. -М.:

3. Д.Д. Мордухай-Болтовский Начала Евклида. Перевод с греческого, -М.: ОГИЗ Государственное издание технико-теоретической литературы, 1948

Размещено на Allbest.ru