Теорія груп

Размещено на http://www.allbest.ru/

Вступ

Застосування теорії груп є надзвичайно важливим в фізиці твердого тіла. Зокрема, теорія груп дає можливість систематизувати кристали за їх симетрією; Розглядаючи трансляційну симетрію, можна ввести хвильовий вектор, спираючись лише на властивості трансляційної симетрії.

Дозволяє отримати блохівську хвильову функцію, вид якої обумовлений лише трансляційною симетрією.

Застосування умов циклічності дозволяє розглядати всі явища і властивості кристала в межах головної області.

Незвідні представлення групи хвильового вектора або їх характери в певних точках - простору дають можливість визначити виродження і симетрію блохівських функцій.

Теорія груп дає можливість встановити незвідні представлення та аналізувати хвильові вектори на прикладі плоскої зони Брілюена.

Актуальність роботи: Більшість напівпровідників і металів мають кристалічну структуру -- є сукупністю величезної кількості атомів, впорядковано розташованих в просторі. Тобто мають властивість просторової періодичності, або трансляційної симетрії, якими володіє кристалічна решітка. Вивчення кристалічної структури речовин є корисним для експериментальних досліджень напівпровідників і металів.

Мета роботи: дослідити теорію груп та застосування її до трансляційної симетрії кристалів

Об'єкт дослідження: трансляційна симетрія кристалів

Предмет дослідження: застосування теорії груп до трансляційної симетрії кристалів

Завдання дипломної роботи:

– опрацювати та систематизувати знання з вибраних питань теорії груп;

– дослідити трансляційну симетрію;

– визначити незвідні представлення групи трансляцій ;

– Ввести поняття хвильового вектора , користуючись лише властивостями трансляційної симетрії

– встановити незвідні представлення та проаналізувати хвильові вектори на прикладі плоскої зони Брілюена.



1. Абстрактна теорія груп та точкові групи

Основні поняття теорії груп.

Група - скінченна або нескінченна множина елементів: , для яких виконуються аксіоми:

I) Для довільної пари елементів даної множини, що беруться у визначеній послідовності, визначена дія множення, в результаті чого отримаємо елемент з цієї ж множини. Наприклад, помноживши елемент на , отримаємо деякий елемент , який належить даній множині. Множення елемента на записується так:

Зауваження: В загальному випадку операція множення елементів групи не є комутативною, тобто ; у випадку коли всі елементи групи комутують між собою, тобто , група називається комутативною або абелевою.

II) Асоціативний закон

III) Існування одиничного елементу , для якого ,де - довільний елемент групи.

IV) Існування оберненого елементу: для кожного елементу групи існує обернений елемент (позначається ) такий, що .

Число елементів скінченної групи називають її порядком.

Приклади груп.

1. Цілі додатні та від'ємні числа і нуль утворюють нескінченну абелеву групу, якщо під дією множення розуміти алгебраїчне додавання. В даному випадку одиничний елемент рівний нулю , обернений елемент для елемента (числа) рівний .

Відносно звичайного множення цілі числа не утворюють групу, оскільки обернений елемент не є цілим числом, тобто не входить до групи.

2. Множина всіх додатних раціональних утворює нескінченну абелеву групу відносно арифметичного множення. В даному випадку одиничний елемент , якщо , то .

3. Сукупність векторів утворює нескінченну абелеву групу, якщо множення у групі є геометричне додавання векторів . Одиничний елемент в даному випадку , обернений -

.

4. Група обертання рівностороннього трикутника з нерухомим центром в точці О.

5. Наочним прикладом групи є обертання рівностороннього трикутника з нерухомим центром , що призводить до співпадання з самим собою.

Висоти трикутника перетинаються в центрі трикутника і являються одночасно його бісектрисами і медіанами.

Введемо наступні позначення для операції самоспівпадання трикутника:

1) поворот на кут навколо висоти -- ;

2) поворот на кут навколо висоти -- ;

3) поворот на кут навколо висоти -- ;

4) поворот на кут за годинниковою стрілкою навколо осі, перпендикулярній до трикутника, що проходить через центр -- .

5) поворот навколо тієї самої осі, в тому ж напрямку на кут



(це те саме, що поворот навколо тієї ж осі проти годинникової стрілки на від'ємний кут

) -- .

6) відсутність переміщення трикутника або поворот на кут навколо будь-якої осі -- .

Мал.1

Операція самоспівпадання тіла можна розглядати з двох точок зору:

1) координатна система нерухома, рухомим є тіло; з цієї точки зору операція , наприклад, є поворот трикутника на за годинниковою стрілкою, так, що вершини трикутника переходять одна в одну за схемою: , , ;

2) тіло нерухоме, рухається система координат : з даної точки зору операція -- це поворот координатної системи на проти годинникової стрілки.

Іноді зручно буде користуватися першою точкою зору, іноді -- другою.

Добуток елементів -- послідовне використання спочатку операції , потім операції . При цьому осі трикутника залишаються на своїх місцях, не переміщаються з трикутником.



Добуток елементів можна зобразити за допомогою схеми:

Множина даних елементів задовольняє всі I -- IV постулати групи. Результатом добутку двох елементів групи є третій елемент. Наприклад, можна довести, що , , ,. Послідовне застосування операції і еквівалентне операції , а застосування даних операцій в оберненому порядку еквівалентне операції . Таким чином, група неабелева.

З геометричного означення випливає:

.

Ми можемо скласти таблицю множення групи. Дану групу шостого порядку позначають часто .

Таблиця 1



Циклічні групи та підгрупи

Нехай маємо групу порядку , помножимо всі елементи групи на один із них:

то отримаємо всі елементи групи , але в іншому порядку. Насправді, для цього потрібно довести, що всі отримані елементи різні, тобто такі, що не виконується рівність:

Для доведення помножимо обидві частини рівності на , тоді , або , або , що суперечить означенню групи.

Якщо який-небудь елемент групи будемо підносити до степеня, то будемо отримувати інші елементи групи до тих пір, доки не досягнемо степені , яку називають порядком елементу . Тобто . В результаті чого отримаємо послідовність елементів:

При подальшому піднесенні до степеня послідовність буде повторюватися, тому її називають періодом елементу і позначають так: .

Наприклад для елементу групи маємо: .

Період елементу утворює абелеву групу порядку , ця група називається циклічною.

Якщо в заданій групі можна виділити деяку множину елементів, які також утворюють групу, то ця множина називається підгрупою.

Таким чином підгрупа групи . Для кожної групи тривіальною підгрупою першого порядку є одиничний елемент . Із кожної групи можна виділити лише одна підгрупа, бо елементи групи, які залишилися не містять одиничного елемента.

Для скінченних груп можемо показати, що порядок підгрупи є цілим дільником порядку групи , тобто є ціле число.

Для циклічної групи групи маємо: . В частинному випадку, якщо порядок групи -- просте число, то вона має лише одну (тривіальну) підгрупу .

Спряжені елементи. Класи

Кажуть, що елемент спряжений елементу , якщо

де один з елементів групи. Якщо помножити даний вираз на зліва і справа, то отримаємо:

де -- деякий елемент групи. Тому, якщо елемент спряжений елементу , то і елемент спряжений елементу . Якщо у дану формулу ми будемо замість елемента підставляти інші елементи групи, то отримаємо сукупність всіх взаємно спряжених елементів, які називають класом.



Визначимо клас групи , який містить елемент ; елементи, спряжені з :

,

,

,

,

Таким чином класом є . Одиничний елемент сам по собі утворює клас, бо для довільного . Можна показати, що елементи також утворюють клас групи . Таким чином , групу можна розбити на три класи:

1)

2)

3)

Будь--яка група може бути розбита на класи, причому один і той самий елемент не може входити в два різних класа. Кожний елемент абелевої групи утворює клас. Для комутативної (абелевої) групи:

для кожного елемента , тобто кожний елемент спряжений сам із собою.

Поняття класу не співпадає з поняттям підгрупи. Всі класи, крім не мають одиничного елемента, без якого не існує підгрупа.

Підгрупа, яка складається з кількох цілих класів називається інваріантною.

Тому, якщо -- елемент інваріантної підгрупи групи , то всі елементи , де -- довільний елемент групи належить інваріантній підгрупі (випливає з того, що всі елементи класу входять в підгрупу ).

Всі елементи одного класу мають порядок ; насправді. Якщо , то Легко бачити, що елементи одного класу володіють певною подібністю

Прямий добуток груп

Нехай , та -- дві неабелеві групи порядку і . Елементи різних груп різні, крім одиничного і комутують один з одним, тобто для всіх і . Складемо добутків і доведемо, що отримана множина -- група.

Доведемо, що добуток двох елементів множини є елементом тієї ж множини: , де і . Добуток є елементом тієї ж множини.

Покажемо, що у множині існують одиничний і обернений елементи. Одиничний елемент множини рівний . Обернений елемент рівний і також належить до даної множини. група елемент добуток поворот

Група з елементів називають прямим добутком групи та і позначається . Порядок групи прямого добутку рівний добутку порядків групи і .

Елементи класу групи , визначається елементом :



У даній формулі ми скористалися комутативністю елементів, що відносяться до різних груп і . Якщо належить деякому класу групи , а -- деякому класу групи , тоді і також належать класам і .

Елемент буде належати класу групи , що є похідним від класів і груп і . Таким чином, кожній парі класів груп і відповідає клас групи , звідси випливає, що число класів прямого добутку груп рівне добутку числа їх класів.

Ізоморфні та гомоморфні групи

Нехай маємо дві групи: «нештрихована» і «штрихована» :

і , які складаються з елементів різної природи. Якщо між елементами цих груп можна встановити таку взаємно однозначну відповідність: , , … , ,… , щоб при виконувалося , тобто щоб для обох груп існувала однакова таблиця множення, то такі групи називаються ізоморфними.

Наприклад, елементами групи можуть бути операції руху геометричної фігури, що призводить до співпадання з початковим положенням (наприклад група рівностороннього трикутника ), а елементами групи можуть бути матриці одного рангу, що множаться по однаковій таблиці множення.

З точки зору абстрактної теорії груп ізоморфні групи тотожні.

Якщо кільком елементам групи ставиться у відповідність один елемент групи , наприклад, , , … , , при цьому, якщо , то , то група називається гомоморфною групі .

Гомоморфні групи мають різний порядок (в групі всі елементи повинні бути різними). Тривіальний приклад гомоморфізму - зіставлення всім елементам групи одиниці: , , … , з законом арифметичного множення в групі . В даному випадку будь-якій групі ставиться у відповідність група першого порядку ().

Якщо кожній операції симетрії трикутника зіставити перестановку чисел 1,2 і 3, що позначає його вершини, то множина перестановок ( їх кількість ) утворює групу, ізоморфну :

, , , …

Точкові групи

Переміщення тіла скінченних розмірів (наприклад молекули), які приводять до співпадання його з самим собою, утворюють точкову групу.

Для тіла скінченних розмірів такими переміщеннями можуть бути повороти на деякі кути навколо осей, що мають спільну точку перетину і відображення в площинах, що містять дану точку.

Вісь повороту на кут позначають , а на кут -- ; якщо кратне , то . Очевидно, що -- одиничний елемент, бо відповідає повороту на кут або відсутність повороту, тому .

Дзеркальне відображення в площині позначається ; очевидно -- одиничний елемент. Вертикально розташовують вісь вищої симетрії (з найбільшим числом ). Площину відображення , що проходить через таку вертикальну вісь, позначають (vertical), а площину відображення, перпендикулярну до такої осі -- (horizontal).

дзеркально-поворотне перетворення визначається послідовним застосуванням двох операцій: і :

(1.1)



Мал.2

Тіло, що має дзеркально-поворотну симетрію , співпадає з самим собою, якщо повернути його навколо осі симетрії на кут і відобразити в площині, перпендикулярній осі (або виконати ці операції в зворотному порядку).

З (1.1) видно, що . Важливим є частинний й випадок:

(1.2)

де -- операція інверсії. При операції інверсії кожна точка тіла переходить в точку , що лежить на прямій, що проходить через і нерухомий центр , так, що .

При застосуванні оператора інверсії до координат вони міняють свій знак: , тому права координатна система переходить в ліву.

З формули (1.2) слідує, що і , таким чином три елементи симетрії , і взаємно пов'язані, тому наявність двох елементів призводить до наявності третього.



Геометричні властивості, властиві поворотам навколо осі

З кінематики твердого тіла відомо, що два послідовні повороти навколо осей, що перетинаються, еквівалентні одному повороту навколо осі, що проходить через точку перетину. При цьому результуючий поворот залежить від порядку, в якому здійснюються обидва повороти.

Послідовне відображення в двох площинах, що перетинаються, еквівалентне повороту навколо осі, що співпадає з прямою перетину площин на кут, в два рази більший кута між площинами , тобто:

(1.3)

Доведення даної теореми випливає з малюнка.

Зауваження: зміна порядку відображення змінює знак обертання.

Помножимо (1.3) зліва на і, враховуючи, що , отримаємо:

(1.3a)

Мал.3

Тобто добуток повороту і відображення в площині, що проходить через вісь повороту, еквівалентне відображенню в іншій площині, що проходить через ту саму вісь і утворює з першою площиною кут , рівний половині кута повороту. Звідси випливає, що якщо через вісь проходить площина , то автоматично виникає ще площин відбивання, що проходять через ту саму вісь так, що кути між ними рівні .

Аналогічно можна показати, що наявність осі , перпендикулярної до осі

автоматично призводить до наявності осей , перпендикулярних до осі , так, що кути між ними рівні .

Взагалі результат двох послідовних перетворень залежить від їх порядку, але в наступних випадках вони комутативні:

1) два повороти навколо однієї осі

2) два повороти на кут навколо взаємно перпендикулярних осей

3) два відображення у взаємно перпендикулярних площинах

4) поворот і відображення в площині, перпендикулярній осі повороту

5) будь-який поворот (або відображення) і інверсія в точці , що лежить на осі обертання (або на площині відображень).

Теорема: два повороти на однаковий кут навколо різних осей ( або два відображення в різних площинах ) належать одному класу точкової групи, якщо серед елементів є операція , яка поєднує різні осі повороту (або різні площини відображення).

Доведення:

На малюнку зображені осі і , елемент точкової групи переводить вісь у вісь , та -- повороти на кут навколо осей і .

Мал.4



Добуток має наступний геометричний зміст: вісь повертається до співпадання з віссю , навколо осі проводиться поворот на кут , після чого вісь повертається до тих пір, доки не співпаде з віссю . Очевидно, що результатом є поворот на кут навколо осі , тобто

(1.4)

Це означає, що і взаємно спряжені елементи, вони належать одному класу.

Доведення для відображення в двох різних площинах абсолютно аналогічне. Такі осі і площини, які суміщаються одним з елементів групи, називаються еквівалентними.

Два повороти навколо однієї осі на однакові кути, але в протилежних напрямках, тобто елементи і належать одному класу, якщо серед елементів групи є вісь , перпендикулярна до осі повороту, або площина , що проходить через дану вісь. Насправді, в даному випадку і змінюють напрям обертання на протилежний. В цьому випадку вісь обертання називають двосторонньою.

Відображення в площині , перпендикулярній до осі , не змінює напрям обертання і тому не робить вісь двосторонньою.

Деякі точкові групи

Групи . Дані групи складаються з одної осі симетрії -го порядку, тобто самоспівпадання тіла відбудеться при повороті на кут . Група циклічна, складається з елементів: . Кожний елемент є класом.

Група складається з одного елемента, , їй відповідає відсутність симетрії. На малюнку зображені тіла з симетрією .

Групи . Дзеркально-поворотна вісь при непарному зводиться до осі симетрії і перпендикулярної до даної осі площини симетрії , насправді , тому в даному випадку дзеркально-поворотна вісь відповідає виду симетрії, розглянутій в групі .

При парному група -циклічна, складається з елементів:

, кожен з яких є окремим класом. Група складається з двох елементів: -- інверсії і -- одиничного елементу, вона позначається через . На малюнку зображено тіло, що має симетрію .

При повороті жорсткого каркасу на кут і відображення в площині , що проходить через центр О, каркас співпадає з своїм початковим положенням (до обертання).

Мал.5

Групи . Дані групи можна отримати , приєднавши до осі перпендикулярну до її площину . Група містить елементів: поворотів навколо осі і дзеркальних поворотів: , (в тому числі відображення ). Всі елементи групи є комутативними, тобто група є абелевою, число класів рівне числу елементів. Якщо парне,тобто , то група містить центр симетрії (інверсію), тобто .

Найпростіша група містить два елементи і ; її позначають також .

На малюнку зображене тіло з симетрією .

Група . Дану групу можливо отримати, приєднавши до осі площину, що проходить через дану вісь -- . Згідно з доведеною теоремою, це приведе до утворення площин, що проходять через вісь , так, що кути між ними будуть рівні . Таким чином група містить елементів:

поворотів навколо осі і відображень в площинах . Наявність площин робить вісь двосторонньою.

Розподіл по класах різний для парних і непарних . Якщо непарне (), то послідовні повороти суміщають всі площини один з одним і, звідси слідує, що відображень належать одному класу. Так як вісь двохстороння, то кожна пара поворотів і ( ) належать одному класу, кількість яких становить . -- одиничний елемент, який утворює окремий клас.

Якщо парне () , то послідовними поворотами можна сумістити лише площини, що чергуються через одну, в даному випадку маємо дві системи еквівалентних площин і, відповідно, два класи. Повороти і утворюють окремий клас, а інші повороти попарно спряжені і дають ще клас. Таким чином, число класів рівне .

На малюнку зображене тіло з симетрією (дві площини проходять через вісь симетрії і діаметри, дві інші площини ділять навпіл кути, утворені першими площинами).



2. Група трансляцій. Сингонії (кристалічні системи) і гратки Браве

Розглянемо множину векторів гратки:

(1.5)

. Множина (2.5) утворює групу, якщо за закон множення прийняти геометричне додавання векторів , одиничний елемент групи:

(1.6)

Елемент, протилежний , рівний . Дана група позначається і називається групою трансляцій.

1) Для ідеального нескінченного кристала трансляційна група нескінченна. Але за умовами циклічності (розглянемо дещо пізніше) нескінченна група трансляцій за певних умов (циклічності) може бути представлена у вигляді скінченної групи з великим, але скінченним числом елементів.

2) Якщо в кожний вузол (1.5) розмістити однаковий атом сферичної форми, то ми отримаємо просту (або пусту) кристалічну решітку.

3) Прості гратки можуть задовольняти не лише трансляційній симетрії, але й додатковій симетрії точкової групи. Наприклад, кубічна гратка, задовольняє умову трансляційної симетрії з трьома взаємно перпендикулярними векторами однакової довжини, симетрична відносно перетворення точкової групи (початок координат можна помістити в один з вузлів гратки або в центр кубічної комірки). Точкову групу симетрії простої гратки будемо позначати . Будь-який елемент групи перетворює будь-який вектор гратки в інший вектор гратки , тобто .

4) Трансляційна симетрія (при довільних ) накладає обмеження на групи точкової симетрії , яким повинна задовольняти проста гратка. Можна показати, що для простих граток існує лише сім точкових груп (сингоній), сумісних з трансляційною симетрією.

5) Поряд з вектором існує вектор гратки (для цього достатньо для всіх цілих чисел змінити знаки на протилежні), тоді проста гратка інваріантна відносно інверсії . Складна гратка не інваріантна відносно операції інверсії.

З трансляційною симетрією сумісні лише осі симетрії 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядків. Осі 5-го, 7-го і вищих порядків в кристалах не існують.

Третє обмеження, що накладається на точкову групу , що заключається в тому, що якщо точкова група простої гратки містить вісь , (), то вона задовольняє також симетрії .

Якщо розглянути всі точкові групи, то можна побачити,що лише сім груп задовольняють три дані умови: .

Дані точкові групи , утворюють сім кристалічних систем або сингоній, мають наступні назви і позначення:

1) Триклинна ()… tr

2) Моноклінна ()… m

3) Ромбічна або ортогональна ()… o

4) Тетрагональна або квадратна ()… t

5) Ромбоедрична або тригональна ()… rh

6) Гексагональна ()… h

7) Кубічна ()… c

Можна показати, що одній сингонії можуть відповідати кілька типів простих ґраток. Наприклад, до кубічної сингонії (c) можна віднести просту (), об'ємноцентровану () і гранецентровану () кубічні гратки (мал.7)

Можна довести , що не існує інших простих решіток, які володіють точковою симетрією .

Триклинна сингонія (tr) має найнижчу симетрію , яку задовольняє проста гратка () з основними векторами довільної довжини , та мають довільне розташування один відносно одного.

Французький кристалограф А. Браве (1850 р.) показав, що існує всього 14 типів простих граток (граток Браве), що відповідають семи сингоніям.

Мал.6

Розглянемо малюнок 6:

а) ,

б) (1.6)

Гратки Браве, у випадках (1.6) називають простою моноклінною і моноклінною з центрованими основами . Для типу центру нижньої основи відповідає вектор , а центру верхньої основи -- вектор . Центри інших чотирьох граней не співпадають з кінцями векторів трансляційної групи. Для типу шість векторів інваріантні відносно перетворення групи . Для типу інваріантними відносно даних перетворень являються вектори . Досліджуючи інші п'ять сингоній, можна отримати всі 14 граток Браве -- мал.7.



Мал. 7

Тетрагональній сингонії з симетрією відповідають гратки та . Вони відрізняються від ромбічних граток тим, що в їх основах лежать не прямокутники, а квадрати.

Існують два типи тетрагональних граток: проста і об'ємноцентрована .

Центрування верхньої і нижньої основи комірки не приводить до нового типу гратки, бо ми отримаємо таку ж просту тетрагональну структуру, але з стороною квадрата буде в рази менша.

Ромбоедричній сингонії з симетрією відповідає одна гратка Браве з і (мал.8а). Дана гратка може бути отримана в результаті розтягу куба вздовж об'ємної діагоналі , на малюнку 7 вона зображена .

а) б)

Мал.8

Гексагональній сингонії з симетрією відповідає одна гратка , в якій трансляційні вектори простої гратки можуть бути направлені по трьом ребрам шестигранної призми , що сходяться в одній вершині.

В обох гратках атоми розташовуються в площинах, перпендикулярних відповідно осям 3-го і 6-го порядків. В обох випадках атоми в площинах розташовуються в вершинах рівносторонніх трикутників. В гексагональній гратці атоми в усіх площинах розташовані один над одним (тому гексагональна гратка володіє віссю симетрії -- мал. 8б), в ромбоедричній гратці атоми сусіднього нижнього шару розташовані під центрами трикутників верхнього шару (мал.8б)

Кубічній сингонії з симетрією відповідають три гратки Браве: проста кубічна , об'ємноцентрована і гранецентрована (мал. 7).



Кристалічні класи та просторові групи

Точкова група складного кристалу,отримана в результаті заповнення атомами примітивної комірки простої гратки, буде підгрупою сингонії простої гратки (гратки Браве). Повний набір точкових груп кристалів називають кристалічними класами, співпадає з набором всіх можливих підгруп, що містяться в семи сингоніях простих граток Браве.

Нижче наведені всі можливі групи, що входять в сім сингоній:

Сингоній або Кристалічні класи

кристалічні системи (підгрупи сингоній)

1) триклинна ;

2) моноклінна ;

3) ромбічна ;

4) тетрагональна

5) ромбоедрична

6) гексагональна

7) кубічна

Всього 32 кристалічних класів.

При визначенні кристалічних класів, виявляється, що кожний з них є підгрупою не однієї сингонії, а кількох. У всіх випадках кристалічний клас відносять до системи (сингонії) найнижчої симетрії.

Отже, будь-який складний кристал може бути описаний певною сингонією, граткою Браве і кристалічним класом.

Очевидно, що симетрія кристалічного класу, пов'язана з певними поворотами, відображеннями та інверсією, визначає фізично еквівалентні напрямки в кристалі. Оскільки дана симетрія не пов'язана з дискретними трансляціями, можна сказати, що вона визначає макроскопічну симетрію анізотропного континууму. Така симетрія визначає дані фізичні явища: розповсюдження світла в кристалі, його теплове розширення і його механічні властивості при дії на нього зовнішніх сил.

Отже, ми вивчили зв'язок, який існує між типами простих граток (Браве) і їх точковою симетрією (сингоніями). Дослідили симетрію напрямків в кристалах (класи), що визначає їх макроскопічні властивості.

Перейдемо до вивчення повної симетрії кристалів, тобто до перетворень, що приводять до співпадання атомів одного сорту (всі хімічні сполуки, а також деякі прості речовини кристалізуються, утворюють нові гратки; в даному випадку примітивна гратка кристалу може містити більше одного атому, в результаті чого симетрія кристалу може понизитись).

Сукупність таких перетворень над кристалом утворюють групу, яка називається просторовою групою.

Дана симетрія залежить від розташування всіх його атомів, визначає, наприклад, розсіяння рентгенівського випромінювання кристалом.

Будь-який кристал інваріантний відносно трансляції з векторами .

Група трансляцій :

де , інваріантна абелева підгрупа просторової групи.

Разом з трансляціями просторова група, в загальному випадку, включає в себе різні перетворення точкової симетрії: поворот навколо простих і дзеркально-поворотних осей 2-го, 3-го, 4-го і 6-го порядків, відображення в площинах та інверсію. Але поряд з такими перетвореннями точкової симетрії точкова група (кристал) може володіти наступними елементами симетрії: гвинтовою віссю і площиною ковзання.

Гвинтовою віссю називається перетворення, що складається з двох послідовних операцій, виконаних у довільному порядку: поворот на кут з наступним зміщенням вздовж осі на деяку цілу частину вектора гратки, називають невласною трансляцією, а елементи симетрії, пов'язані з невласною трансляцією, називають невласними елементами симетрії.

На малюнку 9а зображена гвинтова вісь 3-го порядку . Три атоми різного сорту розташовані на колі, перпендикулярному до осі, на рівних відстанях один від одного. Власній трансляції вздовж осі відповідає зміщення на відстань . Але самоспівпадання буде при повороті осі на кут з наступною невласною трансляцією на величину . Оскільки поворот і поступальний рух відповідають правому гвинту, вісь називають правогвинтовою віссю 3-го порядку.

Розглянемо ще один елемент симетрії гратки, пов'язаний з невласною трансляцією -- площина ковзання. На малюнку 9б зображена плоска гратка, з симетрією ковзання . При відображенні в площині гратка не співпадає сама з собою (шар співпадає, шар -- ні). Якщо після відображення змістити гратку в напрямі на , де -- основний вектор в напрямку , то гратка співпаде сама з собою (можна спочатку здвинути гратку на , а потім відобразити її в площині ).

В кристалі не можуть існувати інші елементи симетрії, пов'язані з невласною трансляцією, крім двох розглянутих вище.

Введемо оператор (елемент) просторової групи , де - елемент точкової групи кристалічного класу (поворот, дзеркальний поворот, відображення в площині, інверсія), -- невласна трансляція, що відповідає елементу , -- вектор гратки. Дія оператора на радіус-вектор визначається рівністю:

(1.7)

У формулі (1.7) в правій частин рівності -- матриця ортогонального перетворення повороту, інверсії або відображення . Для елементів , для яких невласна трансляція рівна нулю . Для того. Щоб оператор



(1.8)

був елементом просторової групи кристалу, необхідно, щоб множина (1.8) містила одиничний і обернений елемент а також щоб добуток двох елементів множини (1.8) належав до тієї самої множини.

Одиничний елемент (1.8) рівний:

(1.9)

(1.10)

Нехай і -- два елементи точкової групи кристала , тоді

(1.11)

Перший доданок у формулі (1.11) відповідає першому доданку у правій частині формули (1.7), , що відповідає елементу точкової групи

Необхідною умовою для елементів просторової групи (1.8) являється вимога, що наступні чотири доданки в (1.11) мали структуру (1.7), тобто:

(1.12)

-- невласна трансляція, що відповідає елементу , а --будь-який вектор гратки. Умова (1.12) може бути виконана при певній узгодженості операцій , невласних трансляцій , , і основних векторів гратки .

Ретельний аналіз, проведений в 1981 р., незалежно один від одного, російським кристалографом Федоровим і німецьким кристалографом Шенфлісом, показав, що всього існує 230 просторових груп.

Просторові групи, у яких для всіх , називаються простими або симорфними, якщо хоча б для одного , , групи називаються несиморфними.

Для симорфних груп умова (1.12) спрощується, набуває вигляду:

(1.13)

Представимо елемент просторової групи (1.8) у вигляді добутку двох операторів:

(1.14)

де -- одиничний елемент точкової групи з елементами .

Хоча перетворення є елементами симетрії кристала, вони не утворюють групу, їх добуток може дати в результаті вектор гратки , що належить групі трансляцій .

Застосовуючи три рази перетворення , що відповідає гвинтовій осі на малюнку 9а, отримаємо зміщення вздовж осі на величину основного вектора.

Аналогічно застосовуючи два рази оператор , де -- відображення в площині (мал.9б), отримаємо трансляцію на основний вектор .

Сукупність всіх ортогональних перетворень (в тому числі і для )

Утворює точкову групу , що визначає клас кристала. З (1.11) видно, що якщо і -- ортогональні перетворення симетрії кристала (з невласними трансляціями рівним або нерівними нулю), тоді -- також ортогональне перетворення симетрії кристалу (з або ).

Отже, для того,щоб визначити клас кристалу, необхідно врахувати всі осі і площини симетрії, замінивши при цьому гвинтові осі і площини ковзання на рівнозначні осі і площини відображення.

Пряма і обернена гратки кристалу

Важливими властивостями ідеального кристалу є періодичне розташування атомів (точніше атомних ядер) в просторі. Це означає, що при переміщенні всього кристалу на вектор

(2.1)

де -- трансляційні вектори гратки, а -- цілі числа , кристал суміщається з самим собою.

Очевидно, що такі величини як електростатичний потенціал або густина електронів, які розглядаються в деякій точці кристалу, являються просторово або тривимірно-періодичними функціями. Насправді, деяка точка в кристалі, що визначається радіус-вектором і точка фізично еквівалентні. Тому, наприклад, електростатичний потенціал

(2.2)

Для розкладу періодичної функції в ряд Фур'є, введемо координати і косокутної системи координат, осі якої направлені по векторам .

В даному випадку функція періодична в змінних і з періодами.

і . Розкладемо періодичну функцію в потрійний ряд Фур'є, який запишемо в комплексній формі:

де -- цілі додатні і від'ємні числа, включаючи нуль.

Перейдемо в () від косокутних координат до прямокутних за формулами

де -- коефіцієнти, які залежать від кутів між осями косокутної і прямокутної систем координат, маємо:

-- коефіцієнти , що залежать від , , .

Розглядаючи як прямокутні компоненти вектора , запишемо у вигляді:

Визначимо з умов періодичності:



Звідси випливає, що дорівнює одиниці, тобто

(2.3)

-- ціле число для всіх цілих значень , що є можливим у випадку

, ,

де -- цілі числа. Будь-який вектор можна представити трьома складовими, тому трьох рівнянь (2.3) достатньо для визначення вектора .

де

,

,

-- об'єм елементарної комірки.

Можна перевірити, що

Безпосередньо з означення векторів випливає:

(2.3а)



Вектори називаються трансляційними або основними векторами оберненої гратки. Вектори і називають векторами прямої і оберненої граток.

Нескінченна періодична гратка, побудована на трансляційних векторах , називається нескінченною оберненою граткою. Простір оберненої гратки має розмірність . Паралелепіпед, побудований на векторах , називається елементарною коміркою оберненої гратки.

Можна показати, що об'єм гратки рівний .

З умови () випливає, що вектор перпендикулярний векторам і , вектор -- векторам і , вектор -- векторам і .

Якщо елементарна комірка прямої гратки має форму прямокутного паралелепіпеда, то вектори паралельні відповідно векторам . і . Очевидно, що якщо пряма гратка проста кубічна, то обернена гратка також проста кубічна, причому .

Уявлення про обернену гратку виникло безпосередньо з задачі розкладу в ряд Фур'є функції, що володіє періодичністю прямої гратки. Поняття про обернену гратку використовується при розгляданні дифракції рентгенівсько-го проміння в кристалах, при дослідженні коливань атомів в кристалах, при квантово-механічному випромінюванні вивченні руху електрона в періодичному полі.

Незвідні представлення групи трансляцій

Розглянемо деяку групу , що складається з елементів: Для визначеності приймемо, що це точкова група симетрії, кожному елементу якої відповідає певне перетворення координат тіла .

Візьмемо деяку довільну однозначну функцію і застосуємо до даної функції оператор ( -- один з елементів групи), визначений наступним чином:

(2.4)

Тут -- елемент, обернений до , -- ортогональне перетворення координат, відповідає елементу . Можна було б представити оператор так:

(2.5)

Але при означенні (2.4) оператори утворюють групу, ізоморфну групі :

(2.6)

З означення оператора (2.4) слідує:

,

звідки випливає (2.6). При визначенні (2.5) ми отримали б , що не завжди зручно. Взявши в (2.4) замість всі елементи групи , и не отримаємо лінійно незалежних функцій ; число лінійно незалежних функцій буде . Позначимо їх , , …, , де -- одна з даних функцій ( може бути рівним одиничному елементу ).

У результаті відповідного лінійного перетворення функції можна зробити ортонормованими.

Функції називаються базисними функціями, базисним вектором або просто базис. При іншому виборі функції кількість базисних функцій змінюється.

Застосування до одної з базисних функцій, наприклад до , виражається через лінійну суперпозицію базисних функцій (випливає з (2.4), якщо застосувати до обох частин рівності і врахувати, що -- лінійна суперпозиція функцій :

(2.7)

де -- елемент матриці - го рангу .

Помножимо обидві частини рівності (2.7) зліва на і візьмемо інтеграл по , використавши ортонормованість базисних функцій, отримаємо:

(2.8)

Таким чином, елементи матриці в (2.7) - матричні елементи оператора , на базисних функціях . Якщо до обох частин рівності (2.7) застосувати оператор , то

(2.8)

Аналізуючи отриману формулу, маємо:

(2.9)



Або

(2.10)

Матриця, що відповідає добутку рівна добутку матриць і .

Матриці в (2.7), де -- будь-який елемент групи, що множаться по одній і тій самій таблиці множення, що й елементи групи, називаються представленням групи.

Якщо всі матриці представлення різні, то представлення називають точним, у протилежному випадку називають неточним.

В першому випадку матричне представлення утворює групу, ізоморфну даній, в другому -- дана група гомоморфні матричному представленню.

Якщо скористатись означенням оператора (2.5), то замість (2.10) отримаємо:

(2.11)

Одиничному елементу групи відповідає одинична матриця:

(2.12)

Що співпадає з означенням (2.13).

Якщо -- існує елемент , обернений до , то

(2.14)

Це означає, що матриця оберненого елементу є обернена матриця прямого елементу. Насправді, ; помноживши обидві частини справа на обернену матрицю отримаємо (2.14). З (2.14) випливає, що представлення групи може здійснюватися лише тими матрицями, які мають обернені, тобто несингулярними матрицями (визначник таких матриць не повинен бути рівним нулю).

Якщо до всіх матриць представлення застосувати перетворення подібності

,

,

,…, (2.15)

де -- деяка (несингулярна) матриця, то нові («штриховані») матриці також дають представлення групи.

Справді,

(2.16)

Так як вибір матриці довільний, то очевидно, що багатоманітність представлень (6.11) не може істотно відрізнятися один від одного і давати різну інформацію. Всі такі уявлення, отримані за допомогою перетворення подібності, називаються еквівалентними, будемо розглядати їх як одне представлення. У зв'язку з цим важливо відзначити, що шпур (слід) матриці не змінюється при перетворенні подібності:

(2.17)

де ми скористалися тим, що шпур добутку двох матриць не залежить від порядку їх множення. Таким чином, матриці всіх еквівалентних представлень мають для цього елемента групи один і той же шпур.

Шпуром (нім. Spur -- слід) або слідом матриці називається сума її діагональних елементів:

Покажемо, що якщо базисні функції ортонормовані, тобто їх скалярний добуток

(2.18)

то матриці представлення унітарні. Унітарними називаються такі матриці, для яких спряжена рівна оберненій, тобто:

або

Насправді,

При переході в даних рівностях від другої ланки до третього ми скористалися тим, що скалярний добуток не змінюється при ортогональному перетворенні змінних інтегрування (якобіан перетворення дорівнює одиниці); при переході від п'ятої ланки до шостої ми скористалися орто-нормованістю функцій ; нарешті, при переході від сьомої ланки до восьмої -- визначенням спряженої матриці.



Порівнюючи першу ланку і останню, маємо:

(2.19)

тобто матриці унітарні.

Неважко показати, що якщо старі базисні функції піддати довільному лінійному перетворенню

(2.20)

то нове («штриховане») представлення еквівалентне старому:

(2.21)

Нехай маємо два нееквівалентних представлення розмірності і :

Складемо з матриць -го рангу і матриць -го рангу блокові або квазідіагональні матриці -го рангу виду:

(2.22)

де нулі в правому верхньому куті заповнюють прямокутний блок шириною стовпців і висотою рядків, а нулі в лівому нижньому кутку - прямокутний блок шириною стовпців і висотою рядків. Покажемо, що матриці (2.22) також дають представлення групи, тобто , то .

тому

Якщо ми піддамо матриці в представленні (2.22) якому-небудь перетворенню подібності (за допомогою якої матриці -го рангу), то матриці втратять свій квазідіагональний (блочний) вигляд, хоча як і раніше будуть давати представлення групи. Піддавши це еквівалентне представлення оберненому перетворенню подібності, ми приведемо його знову до квазідіагональному (блочного) вигляду.

Таким чином, що можливі такі випадки, коли, піддавши всі матриці представлення перетворенню подібності, ми зведемо їх до квазідіагонального виду (з однаковою структурою блоків). У цьому випадку представлення називається звідним.

Важливим є твердження, що в деяких випадках матриці представлення ніяким перетворенням подібності не можуть бути приведені до квазідіагонального виду. Такі представлення називаються незвідними.

Існування незвідних представлень у формі матриць другого або більш високого рангу є природним для неабелевих груп, так як в цьому випадку не комутативності множення елементів групи може (але не обов'язково) відповідати некомутативність множення матриць.

Для абелевих груп розмірності всіх незвідних представлень повинні дорівнювати одиниці.

Є важливим твердження: число незвідних представлень групи дорівнює числу її класів.

Для незвідних, нееквівалентних, унітарних представлень справедлива теорема ортогональності:

(2.23)

Тут сума ведеться по всім елементам групи ; та - номери незвідних представлень, -- розмірність -го представлення (так як права частина (2.23) відмінна від нуля тільки при , то замість можна писати ); -- комплексно-спряжений -й елемент матриці -го незвідного представлення для елемента групи .

Права частина (2.23) відмінна від нуля тільки при , і , в цьому випадку

(2.24)

Ми бачимо, що ліва частина від і не залежить. З (2.23) випливає, що

при

при або (2.25)



З (6.21) видно, що матричні елементи для всіх елементів групи можна розглядати як компоненти - вимірного вектора, який ортогональний до будь-якого з векторів, отриманого для інших індексів і , а також ортогональний до кожного з подібних векторів для іншого -го незвідного представлення.

Аналогічно в звичайному тривимірному просторі ортогональність тривимірних і двовимірних векторів записується у вигляді:

Якщо є незвідних представлень, то загальне число таких взаємно ортогональних векторів буде рівним:

так як для -го представлення число матричних компонент дорівнює .

Але в - вимірному просторі не можна побудувати більше ніж взаємно ортогональних векторів, тому

Можна показати що в цьому співвідношенні виконується гранична рівність:

(2.25a)

Введемо важливе поняття про шпур (тобто суму діагональних елементів) матриці представлення; в цьому випадку шпур називається характером і позначається через .

(2.26)

Тут - розмірність-го представлення. Для характеру одиничного елемента з (2.26) випливає:

(2.27)

тобто характер незвідного представлення одиничного елементу групи дорівнює розмірності представлення.

З (2.17) випливає, що характер (шпур представлення) не змінюється при перетворенні подібності. Тому характери еквівалентних представлень збігаються. Так як представлення елементів одного класу групи пов'язані перетворенням подібності, то і характери для всіх елементів класу однакові, тому можна записати:

Теорема ортогональності характерів:

(2.29)

Враховуючи (2.28), маємо

(2.30)

Важливим є твердження:

число незвідних представлень групи = числу її класів (2.31)

Враховуючи (2.30), (2.31) можна записати так:

(2.32)

Хоча характери незвідних представлень дають менше інформації, ніж незвідні представлення, в багатьох випадках їх достатньо для рішення задач.



3. Незвідні представлення групи трансляцій

Важливим видом симетрії твердого тіла є його трансляційна симетрія, згідно якої кристалічна гратка співпадає сама з собою при переміщенні кристалу на вектор гратки:

(3.1)

де -- основні вектори, а -- цілі числа. Елементи трансляційної групи просторової підгрупи кристалу можна записати, використавши (1.8):

(3.2)

де -- одиничний елемент точкової групи кристалу.

З (3.2) видно, що група може бути представлена у вигляді добутку трьох одновимірних трансляційних груп з елементами .

Група трансляцій абелева, циклічна, тому кожен елемент є класом, і її незвідна представлення мають розмірність одиниця, тобто є числами (комплексними). Для абелевих груп число класів рівне числу незвідних представлень, рівне порядку групи ; тоді з (2.25a) випливає, що розмірності всіх незвідних представлень .

Розіб'ємо нескінченний кристал на однакові паралелепіпеди з ребрами , де -- велике число.

Останнє випливає з того, що одиничного елементу зміщення відповідає незвідне представлення (число) -- одиниця. З останньої рівності випливає,що

(3.4)

Де

З (3.3) і (3.4) випливає, що елементу відповідають незвідних представлень

(3.5)

Таким чином, згідно загальної теорії, число незвідних представлень рівне числу класів (елементів) -- (2.22а). Аналогічно для двох інших груп одновимірної трансляції з елементами і , незвідні представлення будуть рівні

, (3.6)

,

Незвідні представлення прямого добутку груп рівне прямому добутку їх незвіднихпредставлень. Як уже зазначалося вище, тривимірна група трансляцій дорівнює прямому добутку трьох одновимірних груп трансляції з елементами , тому незвідне представлення групи :

(3.7)

це випливає з (3.5) та (3.6)

Застосування теорії груп до трансляційної симетрії кристалів

Введемо хвильовий вектор 

(3.8)

де -- основні вектори оберненої гратки.

Очевидно, що має розмірність векторів , тобто розмірність, обернену довжині: . Трійка чисел визначає вектор .

З (2.3а) випливає, що показник експоненти може бути записаний у вигляді , тому (3.7) можна записати так:

(3.9)

де хвильовий вектор нумерує незвiднi представлення. 

Можна обмежитися розглядом таких значень , для яких лежать всередині інтервалу .

Підставляючи сюди замість його значення (3.8), отримаємо

(3.10a)

тобто ми приходимо до тих же умов (3.5), (3.6), згідно яких, набуває значень.

Виберемо елементарну комірку зворотної гратки «об'ємом» .

Такий вибір області (3.10) не завжди зручний, тому що паралелепіпед, побудований на векторах не володіє симетрією гратки (прямою або оберненою).

Розглянемо наочно комірку Вігнера-Зейтца, для побудови якої треба “відрубати” вершини куба на половині їх відстані до центра. Отримана таким чином фігура має, ту ж симетрію, що і куб (мал.10).



Мал.10

Аналогічно тому, як була побудована симетрична комірка Вігнера-Зейтца, можна побудувати область, що володіє повною симетрією як зворотної так і прямої гратки. 

Для цього проведемо з деякого вузла зворотної гратки вектори до всіх інших її вузлів. Проведемо площині через середини векторів , перпендикулярні до них. Рівняння цих площин мають вигляд:

(3.11)

де -- радіус-вектор, проведений з початку координат до деякої точки побудованої площини.

Ці площини, що перетинаються, визначають деякі багатогранники з центром в точці . Найменший багатогранник з центром в точці називається першою або наведеною зоною Брілюена, його «об'єм» теж дорівнює (див. нижче).

«Об'єм», що знаходиться між поверхнею першої зони Брілюена і поверхнею наступного багатогранника, називається другою зоною Брілюена і т. д. Можна показати, що «об'єми» всіх зон Брілюена однакові і рівні .

Гратка, зворотна до простої кубічної є також проста кубічна, звідси відразу випливає, що перша зона Брілюена в цьому випадку має форму куба з ребром ( -- ребро куба прямої гратки), «об'єм» зони Брілюена дорівнює :

.

З побудови першої зони Брілюена випливає, що хвильові вектори , кінці яких лежать всередині неї, відрізняються один від одного менше ніж на вектор оберненої гратки. Якщо ж кінець вектора лежить на границі зони Брілюена, то завжди існує принаймні один еквівалентний йому вектор , кінець якого також лежить на границі зони Брілюена.

Перша зона Брілюена може бути визначена і як множина точок, відстань яких до даного вузла оберненої гратки менша, ніж відстань до всіх інших вузлів (тільки точки, що лежать на границі зони, знаходяться на однакових відстанях від двох вузлів оберненої гратки). Таким чином, весь простір оберненої гратки можна розбити на зведені зони Брілюена, побудовані біля кожного з вузлів.

Розглянемо обернену гратку, що відповідає основній області кристала і містить елементарних комірок. Повний об'єм такої зворотної гратки дорівнює об'єму елементарної комірки зворотної гратки , помноженої на . З іншого боку, цей об'єм дорівнює об'єму зони Брілюена, помноженій на , звідси випливає, що об'єм зони Брілюена дорівнює об'єму елементарної комірки зворотного гратки, тобто дорівнює .

Більш детальне дослідження зон Брілюена розглядають при вивченні руху електрона в ідеальному кристалі.

Отже, ми ввели хвильової вектор , виходячи тільки з властивостей трансляційної симетрії. І хоча хвильовий вектор з'явиться при вирішенні механічної задачі про коливання атомів кристала, треба знати, що більш глибока причина його появи -- трансляційна симетрія кристала.

2. Розглянемо дію оператора , де -- трансляція на вектор 1) на хвильову функцію електрона , що рухається в періодичному полі кристала. Індекс к у хвильовій функції означає, що ми розглядаємо базисну функцію -го незвідного представлення.

Так як незвiднi зображення групи трансляції мають розмірність одиниця і рівні (), то з () випливає:

або

(3.12)

Для того, щоб хвильова функція електрона задовольняла співвідношенню (), необхідно, щоб

(3.13)

де функція має періодичністю гратки:

(3.13a)

Справді, в цьому випадку з (3.13) слідує

що збігається з (3.12).

Хвильова функція електрона в кристалі () називається блохівською хвильової функцією (Ф. Блох, 1928 р.); її вид обумовлений лише трансляційною симетрією кристала.

Конкретний вид функції залежить від виду періодичного потенціалу, що діє на електрон.

3. Стаціонарні стани електрона в періодичному полі кристалу описується рівнянням Шредінгера

(3.14)

де гамільтоніан інваріантний при всіх перетвореннях симетрії кристала.

Блохівська хвильова функція електрона (3.13)

(3.15)

залежить не тільки від хвильового вектора , але і від номера смуги (зони) енергії ; в загальному випадку вона може залежати ще від додаткових квантових чисел , що характеризують різні вироджені стани електрона при заданих і .

В (3.14) - власні значення енергії електрона. Нехай групою симетрії кристала є просторова група з елементами

(3.16)

і з оберненими елементами:

(3.17)



Подіємо оператором на обидві частини рівняння (3.14).

Періодичне поле кристала і оператор кінетичної енергії не змінюються при всіх перетворень просторової групи (3.16), то

(3.18)

тобто функція теж повинна бути блоховскою функцією з тієї ж енергією .

Вектор дорівнює вектору гратки (це справедливо і для несиморфних груп, коли може і не бути елементом симетрії складної гратки).