Теорія груп

Якщо врахувати те, що скалярний добуток векторів не зміниться, якщо застосувати до кожного з них перетворення , тобто:

(3.20)

то (3.19) може бути записано у вигляді:

(3.21)

-- періодична функція з періодами гратки (це випливає з того, що дорівнює вектору гратки). Блохівська функція (3.21) з хвильовими векторами задовольняє тому ж рівнянню Шредінгера (3.14) з власним значенням енергії , інакше кажучи:

(3.22)

Таким чином, енергетичні поверхні в зоні Брілюена для всіх смуг (зон) енергії володіють симетрією точкової групи кристала.

Сукупність векторів , де -- елемент точкової групи кристала , називається зіркою хвильового вектора.

Покажемо, що інваріантність рівняння Шредінгера відносно перетворення часу призводить у деяких випадках до додаткової симетрії енергії .

Розглянемо рівняння Шредінгера:

(3.23)

і візьмемо йому комплексно спряжене:

(3.24)

при цьому ми припускаємо, що гамільтоніан дійсний.

Для стаціонарного стану

звідки

отже, і відповідають одній і тій же енергії . Якщо , і лінійно незалежні, то це призводить до додаткового виродження. З (3.23) і (3.24) видно, що це додаткове виродження пов'язано з симетрією по відношенню до перетворення часу.

Для електрона в періодичному полі хвильова функція має вигляд (3.15), тому

(9.25)

яке відрізняється від стану (3.15) заміною вектора на . Так як (3.15) і (3.25) задовольняють одному і тому ж рівнянню (3.14), то

(3.26)

Таким чином, енергетичні поверхні володіють центром симетрії незалежно від того, чи володіє їм пряма (зворотна) гратка кристалу.

Якщо розташований всередині зони Брілюена і спрямований вздовж будь-якої з її осей або площин симетрії, то серед елементів групи є такі, що

(3.27)

Якщо ж кінець вектора лежить на границі зони Брілюена, то перетворення симетрії може перетворити вектор в еквівалентний вектор:

(3.28a)

де -- основний вектор оберненої гратки.

Елементи просторової групи кристала (3.16), у яких точкові перетворення задовольняють співвідношенням (3.27) або (3.27а), утворюють підгрупу і називаються групою хвильового вектора .

Група визначає виродження і симетрію блохівських хвильових функцій в точці зони Брілюена у всіх зонах енергії . Тобто кожен елемент групи перетворює блохівску функцію з хвильовим вектором і енергією в інші блохівські функції з тим же хвильовим вектором і з тією ж енергією. Для застосування теорії груп до визначення виродження і симетрії блохівских функцій в певних точках - простору ми повинні знати в цій точці незвідне представлення групи або хоча б їх характери.

Можна легко визначити характери точкової групи , елементи якої залишають вектор інваріантним або перетворюють його в еквівалентний. Нижче ми встановимо зв'язок між незвідними представленнями групи хвильового вектора і незвідними представленнями точкової групи . Як буде показано далі, для симорфних груп ці представлення збігаються.

Розглянемо групу для плоскої квадратної гратки при різних положеннях хвильового вектора . Якщо сторона квадрата прямий гратки дорівнює , то зона Брілюена має теж форму квадрата зі стороною (мал.11)

Точкової групою кристала в цьому випадку є група з вісьмома елементами:

( -- площині відображення, паралельні сторонам квадрата, -- площині відображення, що проходять через його діагоналі) .

У найбільш загальному випадку

а) зірка хвильового вектора складається з восьми різних векторів , які утворюються при застосуванні всіх восьми елементів групи ; група складається з одного елемента .

б) вектор лежить в площині , зірка хвильового вектора складається з чотирьох векторів; група в цьому випадку складається з двох елементів: та .

в) зірка хвильового вектора теж складається з чотирьох векторів: група для одного з них складається з елементів і .

У випадках г), д) і е) кінці векторів в зірці розташовані на границі зони Брілюена.

Так як вектор і еквівалентні, то у випадку г) зірка складається з чотирьох векторів, а група з двох елементів: і .

У випадку д) зірка хвильового вектора складається з двох векторів, а група з чотирьох елементів:

Нарешті, у випадку е) всі чотири зображених хвильові вектори еквівалентні, а група співпадає з точковою групою кристалу .

Мал.11

, отже, за умовою еквівалентності, вектори і еквівалентні. Аналогічно з малюнку 11 г) можна виділити ще такі еквівалентні вектори:

Мал.13

Висновки

Дана робота показує, що теорія груп являє собою важливий інструмент квантово-механічного дослідження атомів, молекул та кристалів. У даній роботі показується застосування теорії груп для дослідження трансляційної симетрії кристалів, встановленню незвідних представлень та аналізу хвильових векторів на прикладі плоскої зони Брілюена.

Отже, були виконані наступні поставлені завдання:

– дослідити трансляційну симетрію;

– визначити незвідні представлення групи трансляцій ;

– Ввести поняття хвильового вектора , користуючись лише властивостями трансляційної симетрії

– проаналізувати хвильові вектори на прикладі плоскої зони Брілюена

Список використаної літератури

1. Ансельм А.И. Введение в теорию полупроводников: М., 1978 г.

2. Хамермеш М. Теория групп. - М.: Мир, 1966.

3. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. - М.: Наука, 1974.

4. Блохинцев Д.И. Основы квантовой механики. - М.: Наука, 1976.

5. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т. 1. - Механика. - 4 изд. - М.: Наука, 1973.

Размещено на Allbest.ru