Геометрія Мінковського-Банаха

Размещено на http://www.allbest.ru/

Геометрія Мінковського-Банаха

Неевклідовими геометріями Келі-Клейна далеко не вичерпуються усі відомі геометрам “не евклідові” (тобто такі, що відрізняються від евклідових) простори. Ми зупинимось на одній схемі, що була розроблена німецьким математиком Г. Мінковським, який вперше прийшов до ідеї про псевдоевклідову геометрію. Ця геометрична схема була схвалена польським математиком С.Банахом, в результаті чого відповідні простори можна називати просторами Мінковського-Банаха. Домовимось вважати, що вздовж довільної прямої евклідової площини чи простору, відстані вимірюються так само, як і у випадку евклідової геометрії, з тією лише відмінністю, що одиниця довжини різна для прямих різних напрямів(але однакова для паралельних прямих!). Відклавши від фіксованої точки О в усіх напрямках відрізки одиничної довжини, ми отримаємо деяку замкнену криву (чи поверхню) ? одиничну область (чи сферу) геометрії Мінковського-Банаха.

(мал.1)

Надалі ми, як правило, будемо говорити про геометрію на площині, яка визначається заданням одиничного кола S. Так як в напрямку променя а і його продовження за точку О одиниця вимірювання довжин буде одна і та ж, то кожна хорда одиничного кола S, що проходить через точку О, ділиться в даній точці навпіл (мал. 1). Таким чином, точка О є центром симетрії одиничного кола S. Для відстані між двома точками А і В довільного простору прийнято вимагати виконання наступних властивостей:

с (А, В)0 і с (А, В)=0 лише у тому випадку, коли точка В співпадає з точкою А;

для довільних двох точок А і В повинна мати місце рівність с (А, В)= с (В, А);

для довільних трьох точок А, В, С повинна мати місце рівність с(А,В)+с(А,В)с(А,В).

Умова 1) як видно, виконується для розглядуваної геометрії, якщо тільки точка О лежить всередині (не на межі) замкнутої кривої S. Умова 2) також має тут місце (саме для того, щоб вона виконувалась і ставилась вимога, щоб одиничним колом була центрально-симетрична крива з центром в точці О). Таким чином, залишається лише вияснити в якому випадку має місце умова 3).

Визначена за допомогою одиничного кола S метрика, задовольняє нерівність трикутника лише в тому випадку, якщо обмежений колом S одиничний круг К є опуклою фігурою. Дійсно, припустимо спочатку, що визначена даним чином метрика с (А, В) задовольняє нерівність трикутника.

Нехай А і В - дві точки одиничного круга К, тобто нехай с (О, А) 1 і с (О, В) 1; для означеності покладемо ще, що с (О, А) с (О, В). Доведемо що і кожна точка С відрізка АВ належить кругу К; це і означає, що круг К - випуклий. Проведемо через точку А пряму АD || ОВ до перетину з прямою ОС в точці D (мал. 2). Так як відрізки АВ і ОВ паралельні, то вони вимірюються за допомогою однієї одиниці довжини; тому . А так як, крім того, очевидно,

і

(в результаті подібності трикутників і ), то отримуємо:

Оскільки ми припустили, що , то

Звідси, за нерівністю трикутника будемо мати:

Звідси і випливає, що р (О, С) р (О, А) 1.

Тобто що точка С знаходиться всередині круга К.

І навпаки, нехай нам відомо, що круг К опуклий. Розглянемо довільні три точки А, В і С площини Мінковського-Банаха. Якщо ці точки лежать на одній прямій, то нерівність трикутника виконується, оскільки вона виконується для евклідової площини, а довжини відрізків однієї прямої виміряються в нас так само, як і в евклідовій площині.



(мал. 3)

Залишається лише розглянути випадок, коли точки А, В і С не лежать на одній прямій (мал.3). Відкладемо від точки А такий відрізок АО || ВС, що с(А, 0)= с(А, В)= с, і побудуємо круг з центром А і радіусом с (тобто множину таких точок М, що с(А, М) с). Оскільки даний круг (подібний одиничному кругу К розглядуваної геометрії або рівний йому) опуклий, то весь відрізок належить кругу ; частково йому належить точка Е перетину відрізків АС і , тобто с (А, Е) с. А тепер, точно так само як і при доведенні першої частини теореми, будемо мати:

і, звідси випливає, з співвідношення с(А, В)= с с(А, Е),

с(Е,С)с(В,С)

і с(А, С)=с(А, Е)+ с(Е, С) с(А, В)+с(В, С), що і треба було довести.

(мал. 4)

Всі геометричні властивості площини Мінковського-Банаха повністю визначаються опуклою фігурою К. Так, пряма а, яка перетинає пряму b в точці Р, називається перпендикулярною до даної прямої (в розумінні геометрії Мінковського-Банаха), якщо для кожної точки А прямої а точка Р є найближчою до неї точкою прямої b (мал. 4).

Прийнявши точку О прямої а, для якої с(О,Р)=1, за центр одиничного круга К, ми отримаємо, що вся пряма b розміщена поза К (тому що для кожної точки В цієї прямої с(О,В)>1); тому пряма b є опорною для круга К в точці Р.

(мал. 5)

Цей факт дозволяє сформулювати означення перпендикулярності з допомогою круга К: пряма а є перпендикулярною до прямої b , якщо пряма b' || b є опорною для одиничного круга К в точках його перетину з прямою a1 || a, яка проходить через центр круга К (мал. 5).

З даного означення випливає, що із кожної точки А можна опустити перпендикуляр на дану пряму В, однак цей перпендикуляр може і не бути єдиним (останнє матиме місце в тому випадку, коли одиничне коло S геометрії Мінковського-Банаха містить цілий відрізок MN, паралельний прямій b). Далі, поняття перпендикулярності в геометрії Мінковського-Банаха взагалі-кажучи не є симетричними: з того, що (), не можна зробити висновку, що (). Більше того, можна навіть довести, що якщо просторова геометрія Мінковського-Банаха така, що в ній із співвідношень () слідує (), то ця геометрія по суті є не відрізняється від евклідової; однак для плоскої геометрії Мінковського-Банаха суть полягає зовсім в іншому.

Неважко пояснити, як має бути побудоване одиничне коло S, для того, щоб у вибраній з його допомогою геометрії Мінковського-Банаха, поняття перпендикуляра прямих було б симетричним.

Нехай Ф ? така центрально-симетрична опукла фігура без кутових точок з центром О, що два взаємно перпендикулярні її діаметри (хорди, що проходять через центр О) і рівні між собою і проведені через точки А і В прямі а || і b || є опорними для (мал. 6).

(мал. 6)

Ми припустимо також, що дуга АВ граничної кривої Г фігури Ф (а отже і симетрична їй дуга ) не містить прямолінійних відрізків; дуги АВ і ми позначимо через з і ; дуги і лінії Г нам в подальшому не будуть потрібні. Проведемо через точки А, В, і коло з центром О і виконаємо відносно цього кола полярне відображення П.

Сукупність точок дуги s перейде при цьому в сукупність прямих, які дотикаються до деякої дуги у; і навпаки, точки дуги у перейдуть в дотичні дуги s. Дуга у буде проходити через ті ж точки А і В, що і дуга s; прямі а і b, в які переводить відображення П точки А і В будуть її дотичними. Із властивостей полярного відображення слідує, що для кожної точки М дуги s її поляра m дотикається дуги у в такій N, що поляра n точки N дотикається до s в точці М; крім того, із властивостей поляр слідує, що (mОМ) і (n ОN). Таким чином, дотична m дуги у в точці N перпендикулярна до ОМ і дотична n дуги s в точці М перпендикулярна до ОN. Аналогічні властивості має очевидно і дуга у1, яка отримана в результаті полярного відображення П із дуги s1.

Залишаючи тепер без змін дуги і s кривої Г, замінимо дуги і дугами і , отриманими із і поворотом на 90 градусів відносно точки О. Отримана таким чином крива S буде, очевидно, одиничним колом геометрії Мінковського-Банаха, в якому відношення перпендикулярності прямих є симетричним.

Можна довести, що отриманими таким чином кривими S (ці криві вперше були побудовані австрійським математиком І. Радоном) вичерпуються усі “одиничні кола” плоских геометрій Мінковського-Банаха з симетричним відношенням перпендикулярності. В частинному випадку, якщо лінія Г співпадає з колом У, то і S буде звичайним колом.

Число р в геометрії Мінковського-Банаха. Вияснимо, в яких межах може знаходитись довжина одиничного кола S геометрії Мінковського-Банаха; якщо позначити цю довжину через 2р, то наше завдання зведеться до оцінки числа р. Периметр довільної опуклої фігури визначається в геометрії Мінковського-Банаха так само як і у евклідовій геометрії. Звідси випливає, що периметр опуклої фігури має в цій геометрії багато властивостей звичайного периметра; тобто, якщо опукла фігура F містить в середині опуклу фігуру G, то периметр фігури F не менший від периметра фігури G. Доведемо, що 3р4.



(мал. 7)

Нехай А-довільна точка одиничного кола S з центром О, А1-діаметрально протилежна їй точка кола S(мал.7). При неперервному переміщенні вектора АО вздовж кривої S, при якому кінець А цього вектора описує дугу його кінець О опише деяку неперервну лінію, початок якої знаходиться в точці О і закінчується в такій точці О1, що .

Тому знайдеться таке положення ВС цього вектора, при якому і його початок В і його кінець С будуть належати колу S. Так як чотирикутники ОАВС і ОА1СВ-паралелограми, то АВ || ОС, ВС || АО, СА1 || ВО, тобто с(А, В)= с(В, С)= с(С, А,)=1. Звідси слідує, що периметр центрально-симетричного опуклого шестикутника АВСА1В1С1, вписаного в одиничне коло S, в геометрії Мінковського-Банаха дорівнює шести. Тому периметр 2р кола S не може бути меншим шести і, значить р3.

Розглянемо тепер всі можливі вписані в S паралелограми з центром О і виберемо серед них паралелограм MNM1N1 якнайбільшої (евклідової) площі. Опишемо навколо MNM1N1 паралелограм PQRS, сторони якого паралельні ММ1 і NN1.

Зрозуміло, що якби крива S містила, скажімо точку U, розміщену далі від прямої ММ1, ніж пряма РQ (мал. 8), то паралелограм MUM1U1 мав би більшу площу, ніж MNM1N1; тому такої точки U не існує, і крива S повністю міститься всередині паралелограма PQRS.

З другого буку, так як с(Р, Q)= с(М, М1)=2 і с(Q, R)= с(N, N1)=2, то периметр паралелограма РQRS в геометрії Мінковського-Банаха з одиничним колом S дорівнює 8; тому довжина 2 р кола S не більша восьми, тобто р4.

Неважко переконатися, що число р може приймати довільні значення з інтервалу 3р4; рівність р=3 виконується, якщо S являє собою, наприклад, правильний шестикутник (мал. 9, а); р=4 якщо S являє собою квадрат (мал. 9, б), якщо S співпадає з звичайним (евклідовим) колом (мал. 9, в),то р=3,14159... .

Внутрішня геометрія поверхні і загальна геометрія Рімана. Сфера в евклідовому просторі і сфера уявного радіуса в псевдоевклідовому просторі, на яких виконуються плоскі неевклідові геометрії Рімана і Лобачевского, є частинним випадком поверхонь евклідового і псевдоевклідового просторів, а плоскі неевклідові геометрії - частинними випадками внутрішньої геометрії поверхні. Під внутрішньою геометрією поверхні мають на увазі ті геометричні властивості поверхні, які не змінюються при згинанні поверхні без стискання, розтягів і розривів. До такої властивості відносяться насамперед довжини прямих і площі фігур на поверхні. Кути між прямими також відносяться до внутрішньої геометрії поверхні, так як кути нескінченно малих трикутників цілком визначаються відношеннями їх сторін, які нене змінюються при згинанні.



а) б) в)

(мал. 9)

До внутрішньої геометрії поверхні відносяться також геодезичні лінії, тобто прямі, які є найкоротшими в досить малих областях поверхні. Криволінійні трикутники на поверхні, сторони яких є дугами геодезичних ліній, ми будемо називати геодезичними трикутниками (мал. 10).

(мал. 10)

З допомогою геодезичних трикутників можна визначити повну кривину поверхні в даній точці. При цьому зауважимо, що для геодезичного трикутника можна визначити кутовий надлишок (ексцес) так само, як для сферичного трикутника; однак тут розглядаються не тільки випадки, коли сума кутів трикутника більша від двох прямих кутів, але й випадки, коли ця сума рівна або менша двох прямих кутів. В іншому випадку кутовий надлишок рівний нулю, а в третьому випадку ? від'ємний; в останньому випадку абсолютна величина від'ємного кутового надлишку називається кутовим дефектом - саме так визначався кутовий дефект трикутника на площині Лобачевського. Будемо називати повною кривиною поверхні в даній точці границю відношення кутового надлишку геодезичного трикутника до його площі при стягненні трикутника в точку. З даного означення видно, що повна кривина поверхні може бути як додатною, так і рівною нулеві чи від'ємною. Зрозуміло також, що повна кривина належить до внутрішньої геометрії поверхні.

Так як геодезичними лініями на сфері є великі кола, то геодезичним трикутником на сфері є сферичний трикутник, а кутовий надлишок е цього трикутника пов'язаний з його площею s відношенням s =r2е, де r- радіус сфери. Відповідно, відношення кутового надлишку геодезичного трикутника на сфері до його площі, рівне 1/r2 для всіх трикутників. Тому границя цього відношення при стягуванні трикутника в точку також рівна 1/r2, тобто повна кривина сфери в усіх точках рівна 1/r2 . Тому сфера, а отже, і неевклідова площина Рімана є поверхнями сталої додатної кривини. Поверхнею сталої кривини є і евклідова площина: геодезичними лініями евклідової площини є прямі, геодезичний трикутник на евклідовій площині ? прямолінійний трикутник, і так як кутовий надлишок трикутника на евклідовій площині завжди рівний нулю, то нулю рівне відношення кутового надлишку до площі трикутника, а значить, і границя цього відношення при стягуванні трикутника в точку. Тому евклідова площина є поверхнею сталої нульової кривини.

Так як геодезичними лініями на площині Лобачевського є також прямі, то геодезичний трикутник на площині Лобачевського також є прямолінійним трикутником, а кутовий дефект у цього трикутника пов'язаний з його площею s співвідношенням s=kу. Так як кутовий надлишок цього трикутника рівний - у, то відношення кутового надлишку геодезичного трикутника на площині Лобачевського до його площі, рівне -1/k для всіх трикутників. Тому границя цього відношення при стягуванні трикутника в точку також рівна -1/k, тобто повна кривина площини Лобачевського у всіх її точках рівна -1/k. Отже, площина Лобачевського є поверхнею сталої від'ємної кривини.

Так як поняття повної кривини поверхні належить до внутрішньої геометрії поверхні, то повна кривина площини Лобачевського не залежить від того, чи розглядаємо ми площину Лобачевського у вигляді порожнини сфери уявного радіуса в псевдоевклідовому просторі, чи у вигляді якої набудь іншої моделі, чи взагалі незалежно від усяких моделей.

Поняття кривини можна розширити і на тривимірні простори загального виду ? на простори, кожна точка яких визначається трьома координатами, причому для кожних двох точок з нескінченно близькими координатами, визначена відстань між цими точками. З допомогою цієї відстані в таких просторах визначаються довжини, кути між лініями і площі фігур на поверхнях. Такі простори називають загальними рімановими просторами, так як ідея вивчення даних просторів належить Б.Ріману, який означив неевклідові простори Рімана. В загальних Ріманових просторах можна означити також геодезичні лінії і геодезичні трикутники. Тому в них також можна розглянути границю відношення кутового надлишку геодезичного трикутника до його площі при стягуванні трикутника в точку по деякій поверхні. Таку границю називають кривиною простору в даній точці і в даному двовимірному напрямку; визначені таким чином кривини змінюються при переході від одного двовимірного напрямку в одній точці до іншого двовимірного напрямку в тій самій точці і при переході від точки до точки.

Так як геодезичними лініями неевклідового простору Рімана є прямі, а через будь-які три точки цього простору проходить площина, то кривина неевклідового простору Рімана, отриманого із гіперсфери радіуса г, у всіх точках і у всіх двовимірних напрямках рівна 1/r2.

Тому неевклідів простір Рімана є загальним рімановим простором сталої додатної кривини. Простором додатної кривини є також і евклідів простір: геодезичними лініями евклідового простору є прямі, а через кожні три його точки проходить площина. Тому кривина евклідового простору у всіх точках і у всіх двовимірних напрямках рівна нулю, тобто евклідів простір є простором сталої нульової кривини. Аналогічно встановлюється і те, що простір Лобачевського є загальним рімановим простором сталої від'ємної кривини.

Поняття кривини простору також належить до його внутрішньої геометрії і не залежить від того, розглядається цей простір як поміщений яким-небудь чином в деякий багатовимірний простір чи розглядається незалежно від усяких моделей.

Про геометрію реального світу. Побудувавши нову геометрію, Лобачевський одразу ж поставив питання про те, яка ж геометрія реалізується в реальному світі, якщо прийняти за прямі лінії траєкторії світлових променів, а за точки ? найменші точки простору, ? геометрія Евкліда чи побудована ним геометрія? Той факт що геометрія Евкліда не суперечить нашому повсякденному досвіду, не вирішує цього питання, так як в малих областях геометрія простору Лобачевського близька до геометрії Евкліда і, можливо, відповідність геометрії Евкліда даним фактам виконується лише тому, що відхилення геометрії реального світу від евклідової досить незначна. Адже, як відомо, на невеликих областях земної поверхні відхилення геометрії даної поверхні від плоскої геометрії надзвичайно малі, і уявлення про те, що Земля має форму кулі, перемогло лише в результаті довготривалої боротьби з тим, що Земля ? плоска.

Лобачевский намагався вирішити це питання, вимірюючи суми кутів трикутника, вершини якого розміщені в двох протилежних точках земної орбіти і на деякій нерухомій зірці. Однак, різниця між сумою кутів цього трикутника і двома прямими кутами у Лобачевського не виходили за допустимі норми похибок вимірювань, і Лобачевский не зміг знайти відповідь на поставлене ним питання.

Відповідь на питання дала теорія відносності Ейнштейна. В спеціальній теорії відносності доводиться, що простір реального світу не можна відокремити від часу і що простір - час слід розглядати як чотирьохвимірний псевдо евклідів простір. Внаслідок з'явилась загальна теорія відносності Ейнштейна, яка значно уточняла і доповнювала спеціальну теорію відносності. В цій теорії встановлюється, що більш точно геометрія реального простору - часу описується геометрією чотиривимірного ріманового простору змінної кривини, причому, кривина цього простору більша в тих областях простору - часу, в яких більша густина матерії. Поблизу кожної точки цей простір влаштований як чотиривимірний евклідів простір, що і дозволяє при розгляді невеликих відрізків часу і простору користуватись спеціальною теорією відносності. Таким чином, реальний простір з дуже високим степенем точності є загальним рімановим простором. Іншими словами, геометрія реального простору лише в першому наближенні може бути описана як евклідова, більш точно описувати ж її потрібно як складну геометрію змінної кривини.

Хоча з прогресом науки ми дізнаємось про властивості все більших областей простору-часу, відома нам частина всесвіту залишається обмеженою, і за властивостями цієї частини світу ми можемо розглядати геометричні властивості світового простору-часу в цілому лише в порядку грубого наближення.

Найбільш грубе наближення до картини світового простору-часу в цілому ми отримаємо, якщо припустимо, що матерія розподілена в просторі-часі цілком рівномірно, і, отже, простір-час являє собою чотиривимірний рімановий простір сталої кривини. Якщо ми уявимо собі такий простір у вигляді сфери дійсного чи уявного радіуса в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі, а поверхні t=const, також в порядку грубого припущення, уявимо собі як перерізи сфери паралельними гіперплощинами, то з часом “просторовий переріз” світу зменшується чи розширюється залежно від положення січної площини.

На мал. 11 зображений тривимірний аналог сфери дійсного радіуса в п'ятивимірному псевдоевклідовому просторі.



(мал. 11)

Ця картина світу, яка належить відомому російському математику А.А. Фрідману, на перший погляд здається зовсім неправдоподібною, але вона підтверджується автоматичними спостереженнями, які свідчать про розширення відомого нам всесвіту (так зване “червоне зміщення” ліній спектру).

Це підтвердження вказує на можливість того, що реальний простір-час, який являється псевдо рімановим простором змінної кривини, відповідає цій картині світу “в середньому”.

Геометрія Мінковського

Перехід від принципу Галілея до принципу відносності Ейнштейна рівносильний заміні елементарних перетворень Галілея класичної кінематики

(1)

що задають перехід від однієї інерціальної системи відліку до другої, більш складнішими перетвореннями Лоренца

 (2)

З іншого боку, основний зміст якої полягає у вивченні геометричної системи, розглядається на координатній площині (), де роль "рухів" відіграє пере- творення Галілея. Відповідної "геометрії" кожен факт якої може бути інтер-претований в термінах кінематики прямої о, називають "геометрією Галілея". У зв'язку з цим природним є вивчення "геометрії" площини (), роль "рухів" в якій відіграють перетворення Лоренца. Ця геометрична система була розглянута видатним німецьким математиком і фізиком Германом Мінковським(1864- 1909),який в 1907- 1908рр.запропонував використовувати

її для геометризованого опису феноменів релятивістської механіки, яку називають псевдо евклідовою геометрією Мінковського.

Як рухи площини Галілея розглядають перетворенняУ

(3)

Від записаних у формі (1) перетворень Галілея ці рухи відрізняються, по-перше, тим, що координати точок на площині тут позначають не через ,а через , як звичайно (причому координата відіграє роль часу , а координата замінює абсцису точки на прямій о); до числа рухів відносять також і всі можливі паралельні перенесення

(4)

Що відповідають змінам початку відліку часу і початку відліку координат {} на прямій о. Відповідно до цього під геометрією Мінковського ми будемо розуміти вивчення тих властивостей фігур координатної площини , які зберігаються при рухах

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.1 Рис.2

(5)

де - довільні " параметри" руху.

Від перетворень (2) перетворення (5) відрізняються тим, що координати на площині тепер позначені через , а також тим, що до числа рухів додані всі можливі паралельні перенесення (3), які відповідають змінам початку відліку часу і початку відліку абсцис на прямій о.

Поруч з координатами () точки в геометрії Мінковського використовуються також координати (), пов'язані з координатами () співвідношеннями:

або (6) (Рис.1)

Додаючи і віднімаючи одну від одної першу і другу із формул (5),ми без великих труднощів виразимо рух площини Мінковського в координатах X i Y:

або (7)

де (так, що ), і - параметри перетворень. Рух (7) складається із перетворення:

(8)

що являє собою комбінацію стиску до осі OY з коефіцієнтом стиску і одночасного стиску до осі OX із коефіцієнтом , для випадку і паралельного перенесення

(9)

Перетворення (8) відіграє в геометрії Мінковського роль повороту; таке перетворення евклідової координатної площини {} називається гіперболічними. В координатах () поворот записується формули:

(10)

Бачимо , що із формул (7) випливає, що довільна пряма паралельна осі OY або осі OX: X = const або Y = const

Переводиться рухом (5) або (7) в пряму того ж напряму. Таким чином, в геометрії Мінковського ми маємо дві сім'ї "особливих прямих", що переводяться кожним рухом в пряму, паралельну початковій; через кожну точку площини проходить по одній особливій прямій кожної сім'ї.

Нарешті, квадрат, сторони якого паралельні осям OY і OX перетворюється рухом (7) в прямокутник тієї ж площі (якщо сторони квадрата то сторони прямокутника рівні ).

Зауважимо, що стиск до осі OY з коефіцієнтом переводить кожну точку А() площини віддалену від осі OY на відстані X , в таку точку А1() перпендикуляра AP, опущеного з точки А на пряму OY, яка віддалена від OY на відстані при Слово "стиск" у назві цього перетворення краще замінити словом "розтяг". Тому сітка рівних квадратів площини Мінковського переводиться рухом (7) в сітку рівновеликих їм прямокутників і, тому кожна фігура переводиться рухом (5) або (7) площини Мінковського у фігуру з такою ж площиною. Таким чином , ми бачимо, що і поняття площі фігури зберігає смисл геометрії Мінковського.

Розглянемо тепер довільний відрізок , який будемо вважати не паралельним ні осі OY ні осі OX. Нехай AKBL - прямокутник з паралельними осям OY і OX сторонами, діагоналлю якого є відрізок (рис.3а). Перетворення (5) і (7) переводить цей прямокутник знову в прямокутник зі сторонами паралельними осям OY і OX , при цьому площа утвореного прямокутника (рис.3б) буде дорівнювати площі прямокутника . Рухи площини Мінковського площі прямокутника не змінюють. Зрозуміло, що при близьких точках А і В площа прямокутника невелика , тому можемо вважати, що величина площі утворює "міру відхилення" точок А і В одну від одної , яка прямує до нуля при необмеженому наближенні точок А і В , однакову для двох "рівних"(в розумінні Мінковського) пар точок А , В і . Це - ніби дозволяє прийняти величину площі за "відстань Мінковського" між точками А і В; але оскільки площа фігури вимірюється в квадратних одиницях, то в геометрії Міновського відстань між точками А і В пропорційна кореню квадратному із площі прямокутника , тобто рівна , коефіцієнт пропорційності обчислюється заданням одиниць вимірювання довжин і площ; вважатимемо, що

. (11)

Маємо, що якщо точка С належить відрізку АВ, то(адже площі зображених на рисунку 3а подібних між собою прямокутників, , пропорційні квадратам діагоналей ,, цих прямокутників).

Якщо повертати відрізок АВ навколо його кінця А, зберігаючи його евклідову довжину, то нескладно помітити в міру наближення до || OX (або || OY). Площа прямокутника стає все меншою; для || OX (або || OY) відрізка АВ відповідний йому прямокутник "вироджується" у відрізок , так що площа його перетворюється в нуль. Тому вважають, що довжина довільного відрізка особливої прямої дорівнює нулю.

Коли відрізок в процесі обертання навколо точки проходить положення || OX (або || OY)

рис.3



рис. 4

площа прямокутника АKВL знову починає зростати, але при цьому орієнтація прямокутника АKВL (напрям обходу його вершин А>K>B>L : тут AK, LB, OX, AL || KB || OУ) змінюється на протилежну (порівняти прямокутники АKВL і АKВL на рис.4). Відстань між точками А і В і між точками С і D так розміщені , що відрізки OM || AB і ON || CD належать двом суміжним кутам , утвореним прямими ОХ і ОУ , зручно вважати якісно різними: два таких відрізки завжди незрівняні між собою. Відрізки і прямі, паралельні таким, що проходять



рис. 5

через початок координат прямих, які заповнюють ту пару вертикальних кутів, утворених осями ОХ і ОУ, яка містить вісь ОХ, ми будемо називати відрізками ( відповідно ) прямими 1-го роду , а відрізки і прямі паралельні ( які проходять через початок координат ) прямими , що заповнюють пару вертикальних кутів , які містять вісь ОУ ,- відрізками ( прямими ) 2-го роду: відрізки особливих прямих ( відрізки паралельні прямій ОХ або прямій ОУ ), можна назвати відрізками нульового роду , а самі ці прямі - прямими нульового роду. Кожен відрізок площини Мінковського рухом ( 5 ) або ( 7 ) переводиться у відрізок того ж самого роду : необхідною і достатньою умовою рівності відрізків АВ і А'В' ( тобто , можливості суміщення цих відрізків рухом ( 5 ) або ( 7 ) є співпадання їх довжин і те, що обидва відрізки є , відрізки одного роду ( якщо АВ і А'В' - відрізки нульового роду , то обидва вони , крім того , мають належати одній сім'ї особливих прямих, тобто бути паралельними між собою).

Нехай тепер координати точок А і В в системі координат ( Х , У ) рівні ( Х,У) і ( Х,У ), а в системі координат ( ) рівні ( ) і (). Неважко побачити , що сторони прямокутника АKВL рівні ( Х- Х ) і ( У- У ): тому площа АKВL дорівнює |(Х-Х)(У-У)| і , значить ,

( 12 )

Переходячи з допомогою формул (12) від координат Х, У до координат , ми отримаємо, що відстань між точками А() і В() дорівнює

.

(13)

Легко бачити, що якщо відкинути знак абсолютної величини під коренем, то підкореневий вираз у правій частині формули (12) і (13) буде додатним, коли відрізок АВ буде одного роду , і від'ємним коли АВ - відрізок 2-го роду : тому іноді також записують

(14)

або

(15).

В цих формулах вже відображено те, що довжини відрізків 1-го і 2-го роду вимірюються в різних одиницях: довжини відрізків 1-го роду - в дійсних числах ,а довжини відрізків 2-го роду - в уявних.

Якщо вісь Ох має механічний зміст осі часу, а Оу є вісь, яка характеризує положення події на прямій О, то такий відрізок 1-го роду співпадає з інтервалом між двома подіями , які в деякій інерційній системі відліку відбуваються в одному і тому ж місці , і довжина відрізка є не що інше, як часовий відрізок між розглядуваними подіями в цій інерційній системі відліку.

Аналогічно маючи відрізок 2-го роду, ми можемо так підібрати інерційну систему відліку, коли кінці відрізка будуть відповідати одночасним подіям; при цьому вимірювана в розумінні геометрії Мінковського довжина відрізка співпадає з просторовою відстанню між відповідними точками прямої О. Таким чином можна вважати, що довжини відрізків 1-го роду вимірюються в одиницях часу (сек.), а довжини відрізків 2-го - в одиницях відстані (см.). Відповідно прямі 1-го роду геометрії Мінковського часто називають часовими прямими , а прямі 2-го роду - просторовими прямими.

Коло S геометрії Мінковського з центром Q і радіусом СD (де CD - довільний відрізок 1-го або 2-го роду ) природно означити як множину таких точок М , що відрізок QM дорівнює відрізку СD . Домовимось позначати координати центра Q кола S в системі координат через (А, В), а в системі координат - через (a,b) ; координати кінців C і D відрізка СD позначимо через і , відповідно і

Рис.6

Величину

назвемо квадратом радіуса кола S і позначимо через (де r>0). Бачимо, що рівняння кола S з центром Q і квадратом радіуса буде мати вигляд

(16)

відповідно

(17)

Останнє рівняння можемо переписати наступним чином :

(18)

де

.

Зокрема, коло з центром в початку координат О(0,0) має в геометрії Мінковського рівняння

(19)

або

 (20)

З точки зору звичайної евклідової геометрії коло(16) або (17) є гіперболою , асимптотами якої є особливі прямі, які проходять через центр кола .

Коло S ми назвемо колом 1-го роду або колом 2-го роду залежно від того, чи є її радіус відрізком 1-го чи 2-го роду. На рис.6 суцільні лінії і пунктирні зображають кола S і S '(1-го і 2-го роду ) зі спільним центром Q і квадратами радіуса такі два кола ми будемо називати спряженими. "Хрест", утворений особливими прямими QU' і QV , що проходять через точку Q ,являє собою множину точок, віддалених від точки Q на нульову відстань; цю множину точок іноді називають колом нульового радіуса (або колом нульового роду ). Нескладно побачити, що через будь_які три точки площини Мінковського проходить єдина пряма (1-го,2-го або нульового роду) або єдине коло (1-го , 2-го чи нульового роду). З того, що кола площини Мінковського з евклідової точки зору є гіперболами , то перетворення (8) або (10) : називають "гіперболічними поворотами". Гіперболи S і з рівняння XY= перетворення переводять в гіперболи ; наступні перетворення переводять , очевидно , гіперболи у вихідні S і )



рис 7

Повернемось тепер до питання про кути між прямими. Кутом дll1 між прямими l і l1 площини Мінковського , які перетинаються у точці Q природно назвати довжину замкненої між прямими l і l1 дуги NN1 "одиничного кола" S з центром в Q : Під одиничним колом тут розуміють коло , квадрат радіуса



а) б)

рис.8

якого дорівнює +1 і -1. але це означення кута має зміст лише тоді, коли обидві прямі l і l1 лише прямі 1-го роду (рис. 8,а) або коли обидві вони 2-го роду (рис.8,б): лише в цих випадках обидві прямі перетинають одне і те ж "одиничне коло" і, таким чином відтинають деяку дугу NN1 цього кола. Довжину дуги NN1 можна визначити як границю довжини вписаної в NN1 ламаної NM1M2… MnN1 всі ланки якої необмежено зменшуються . При цьому слід зауважити , що всі ланки ламаної , вписаної в коло 1-го роду , будуть відрізками 2-го роду і ,навпаки ланки ламаної ,вписаної в коло 2-го роду , є відрізками 1-го роду ( на рис.8 ці ламані не позначені ). Так як таке означення кута, пов'язане з довжиною дуги ,що обчислюється з допомогою нескінченного процесу , є досить складним , то його зручно замінити наступним : величина дll1 кута , утвореного перетином двох прямих l і l1 в точці Q, дорівнює подвоєній площі сектора NQN1 одиничного круга з центром Q (див. рис.8 а, б). Кут дll1 між прямими можна вважати також напрямленим , приписуючи йому знак "+" або "-" залежно від того , відбувається поворот , що переводить промінь QN у промінь QN1 в напрямі оберненому напряму обертання годинникової стрілки, чи воно співпадає з напрямом обертання годинникової стрілки.

Два кути APQ і CQD , обидва утворені прямими одного і того ж(1-го чи 2-го) роду рівні в розумінні геометрії Мінковського (переводяться між собою рухом (5) чи (7) в тому випадку , якщо всі відрізки PA, PB, QC і QD - відрізки одного роду і якщо ). Про "величини" кутів , утворених прямими різного роду мова буде йти пізніше.

рис 9

Нехай тепер l і l1 - дві прямі ,(1-го роду) перетинаються в точці Q; - дуга одиничного кола S з центром в точці Q, що вітинаються прямими l і l1 (159). Виконаємо "гіперболічний поворот ", що переводить промінь QN в промінь QN1 : промінь QN1 цей поворот переводить деякий в промінь QN2 ; промінь QN2 - в промінь QN3 ; промінь QN3 - в промінь QN4 і т.д. тут N, N1,N2 , N3 ,N4 … - точки кола S. Оскільки всі прямі QN , QN1, QN2, QN3, QN4… прямі 1-го роду. То всі промені QN, QNk (де k=1,2,3,4…) розміщені всередині кута UQV, обмеженого особливими прямими QU і QV, що проходять через точку Q і розділяють прямі 1-го роду від прямих 2-го роду. Тому в геометрії Мінковського ми можемо "необмежено" обертати промінь QN навколо точки Q, повертаючи його на як завгодно великий кут (адже ), - і при цьому ми ніколи не досягнемо особливої прямої QU, що утворює з прямою QN "нескінченно великий кут ". Так само пояснюється , що прямі 2-го роду можна повернути на кут довільної величини : особливі прямі утворюють з цією прямою кут, який слід вважати "нескінченно великим".

рис 10

Залишивши без уваги питання про кути між "різнойменними " прямими (прямою 1-го чи 2-го роду) звернемося до означення відстані від точки до прямої, а потім і відстані між паралельними прямими. Для того, щоб виміряти цю відстань, необхідно вказати, які прямі площини Мінковського ми будемо називати перпендикулярними. Але означення перпендикулярних прямих не складає труднощів: домовимося , за зразком (звичайної) геометрії Евкліда, називати всі прямі, які проходять через центр кола, його діаметрами і вважати, що пряма l1 перпендикулярна прямій l, якщо для довільного кола S з діаметром дотична, проведена до цього кола в кінці діаметра d, паралельно l1 (див.рис.10). Легко бачити, перпендикуляром до прямої 1-го роду завжди буде пряма 2-го роду і навпаки.

Якщо пряма l, обертаючись навколо точки Q, що належить їй, наближається до особливої прямої QU, то пряма l проходить через Q, яка є перпендикулярною l1 (знак перпендикулярності прямих в геометрії Мінковського зберігається, як і в геометрії Евкліда ) повертається навколо Q не в тому ж напрямку , що і l, як в евклідовій геометрії , а в протилежному напрямку (рис.10) , при цьому обидві прямі , l і l1, одночасно наближаються до прямої QU. Останнє випливає з того, що кожні дві перпендикулярні (в розумінні Мінковського) прямі l і l1 симетричні (в евклідовому розумінні) відносно проведених через точку Q їх перетину особливих прямих QU і QV.

Природно вважати, що кожна особлива пряма площини Мінковського перпендикулярна сама собі.

Зауважимо, що з такого означення перпендикулярності симетричність відношення перпендикулярності двох прямих (тобто те, що із l1 l випливає l l1 ) автоматично не випливає. Але насправді ця симетричність має місце: якщо l1 l , то і l l1 (рис.11). При цьому не важко показати, що коли l l1, то напрямлений до l діаметр кола S ділить навпіл всі хорди кола, які паралельні прямій l1 : це також відображено на рисунку 11. Тепер відстанню від точки M до прямої l 1-го або 2-го роду природно назвати довжину перпендикуляра MP , опущеного із точки М на пряму l (рис.12).



Рис.11

Рис.12



Рис.13

Відстанню між двома паралельними прямими l і l1 1-го чи 2-го роду будемо називати відстань від довільної точки М прямої l1 до прямої l. Легко бачити, що ця відстань не залежить від вибору точки М (див.рис.12) відстань між прямими l і l1 можна також визначити як довжину відрізка NN1, відтятого прямими l і l1 на довільній перпендикулярній до них прямій p: як бачимо це означення рівносильне початковому. Величина відстані між паралельними особливими прямими k і k1 або відстань від точки М до особливої прямої k в геометрії Мінковського ніяк не означуються .

Зауважимо, що в геометрії Мінковського не може йти мова про те, що перпендикулярні прямі утворюють між собою кут , - навпаки , так як ці дві прямі завжди будуть різного роду , то ні про яку "величину" кута між ними поки що говорити не можемо. Але сам факт наявності перпендикулярних прямих уже дозволяє поставити у відповідність двом різнойменним прямим (1-го і 2-го роду) l і l1 деяке число так, що спів падання цього числа для двох пар прямих рівносильне "рівності" цих пар (тобто можливості перевести одну із них в другу рухом (5) або (7): це число дорівнює(напрямленому )куту ,де (рис.13).

Зрозуміло, означену таким чином величину не вважають порівняною з величиною кута між двома прямими 1-го роду або з величиною кута між двома прямими 2-го роду. Якщо А, В, М0 - три точки площини Мінковського і прямі АВ, АМ0, ВМ0 - всі неособливі (тобто 1-го і 2-го роду ), то множина всіх таких точок М, що (напрямлений) кут між МА і МВ дорівнює куту між М0А і М0В (тут вважається ,що МА - пряма того ж роду , що і М0А, а МВ - пряма того ж роду , що і М0В; якщо ж прямі М0А і МА, а також МВ і М0В - різного роду ,то слід вимагати, щоб кут між МА і МВ був рівний куту М0А' і М0В', де М0А' М0А, М0В' М0В є коло S, що проходить через точки А, В і М0 (рис.14а). Зокрема, якщо точки А і В фіксовані , то множина всіх можливих точок М таких, що МА МВ, являє собою коло з діаметром АВ (рис 14, б).

а) б)

рис.14

Надалі нам знадобляться деякі відомості з "тригонометрії гіперболи". Нехай S одиничне коло

 (21)

площини Мінковського з центром О(0;0) і нехай ОА - нерухомий радіус кола S (причому А(1;0) - вершина гіперболи (21) , а ОМ - рухомий радіус на якому зображено евклідове коло .

(22)

Рис.15

І два його радіуси ОА і ОМ ). Напрямлений кут ( в розумінні геометрії Мінковського) тобто рівний взятій із знаком + або - подвоєній площі заштрихованого на рис.15 сектора АОМ гіперболи S ) називають також гіперболічним кутом між прямими ОА і ОМ; координати рухомої точки М називають гіперболічним косинусом і гіперболічним синусом кута ц і позначають Відношення

за абсолютною величиною дорівнює відрізку AN, який відтинається "рухомим радіусом " ОМ на дотичній АТ до гіперболи S в її вершині А , називають гіперболічним тангенсом кута ц і позначають . Із рис.15 видно , що при необмеженому збільшенні кута ц величини також зростають необмежено; а прямує до 1, далі при ц= 0 маємо .

Із цього ж рисунку 15 випливає, що . (23)

Подібно до того як ; (24)

(подібно до того як ; в силу цього ж і (25)

(подібно до того як ).

Графіки функцій зображені на рис.17. Гіперболічні функції мають аналогічні властивості із тригонометричними



Рис.16

функціями sinц, cosц, tgц; ці властивості нескладно довести з використанням поворотів (8) і (10).

Так наприклад, із рівняння (21) гіперболи S слідує ,що при довільному куті ц

(26).

А при довільному значенні кутів ц і ш

(27)

(28)



Рис.17

Звідки в свою чергу слідує ,що

(29)

Із формул (27 ) - (29) легко одержати , що

(30)

, , ; (31)

і т.д.

Зауважимо, що коефіцієнти у формулах (11) пов'язані між собою співвідношеннями

збігається з рівністю (20), що пов'язує гіперболічні функції . Тому, якщо підберемо такий кут , що

,

то будемо мати , що формули (11) можна переписати у вигляді :

(32)

рис.18

Рис.19

Розглянемо теоретичні положення про трикутники на площині Мінковського. При цьому завжди будемо вважати, що сторони розглянутого трикутника ABC є неособливими прямими Якщо всі ці сторони є прямими одного роду, то відрізки ( довжини сторін трикутника ми будемо позначати тими ж буквами , що і відповідні прямі) можна порівняти між собою ; при цьому, якщо тільки точки А, B, C не належать одній прямій , то більша сторона трикутника ABC , обов'язково буде більша від суми двох інших сторін (див. рис. 21) , де АМ = АС = і BN = BC =, так, що , порівняйте з рис.22 , ілюструє відому нерівність , яка пов'язує сторони трикутника в геометрії Евкліда ).

Нерівність (де - найбільша сторона трикутника ABC ) можна також вивести з так званої "теореми косинусів" геометрії Мінковського : якщо всі сторони трикутника ABC- прямі одного роду, то

, (33а)

де А = - (неорієнтований, тобто додатний ) кут між сторонами АВ і АС трикутника ABC (в геометрії Мінковського ). Тоді , площа трикутника , може бути визначена за формулою :

(34)

Із формули (34) , зокрема , випливає , що

Звідки одержимо

(33б)

("теорема синусів"). Формули (33 а, б) і (34) можна також перенести і на випадок трикутника ABC ,що має сторони різного роду . Розглянемо "рівнобедрені" і "прямокутні" трикутники площини Мінковського(із нерівності випливає, що "рівносторонній" трикутник , всі сторони якого рівні між собою , в площині Мінковського існувати не може ). Якщо сторони АС і ВС трикутника ABC (і, значить , АС і ВС -прямі одного роду ), то вершини А і В трикутника належать колу S з центром С і радіусом СА=СВ (мал.8а).



Рис.20

Причому точка С початок координат , тоді з допомогою "повороту" (8) або (10) медіану СМ трикутника (де М - середина сторони АВ) можна сумістити з віссю Ох. Сторони СА' і СВ' одержаного таким чином трикутника А'В'С розмістяться симетрично (в евклідовому розумінні) прямій Ох. (8б). звідки слідує , що медіана СМ рівнобедреного трикутника одночасно являється його бісектрисою і "висотою".[ Із того, що СМ АВ , випливає, що основа АВ рівнобедреного трикутника завжди являється прямою другого порядку, ніж його бічні сторони] .Нескладно вивести із рис.20б також і аналог теореми про рівність кутів при основі рівнобедреного трикутника.

Нехай тепер АВС- "прямокутний" трикутник , тобто АСВС (рис.22а).



Рис.21

При цьому катети АС і ВС трикутника обов'язково будуть прямими різного роду. Припустимо, що "гіпотенуза" АВ - є прямою того ж роду , що і катет ВС. В такому випадку , як неважко показати (порівняти рис.22а з рис.22б, де точка С'- вершина гіперболи S')

(35)

Із перших двох формул (35) і відношення (26) випливає "теорема Піфагора":

(36)

Зауважимо також, що із порівняння другої із формул (35) і формули (34) випливає, що площу довільного трикутника АВС можна також обчислити так:

(37)

де - довжина "висоти" AP трикутника АВС, опущеної на сторону ВС (рис.22).

Рис.22

тригонометричний лобачевський площина мінковський

Теорема про точки перетину медіан трикутника переноситься на випадок геометрії Мінковського без будь-якої зміни: (за евклідовою геометрією), доведення цієї теореми справедливе і в геометрії Мінковського .

також і три перпендикуляри , проведені до сторін трикутника АВС в його серединах , перетинаються в одній точці О - в центрі описаного кола S навколо трикутника (рис.23а).



рис.23

Зауважимо, що якщо сторони трикутника АВС одного роду і довжина радіуса, описаного навколо трикутника кола, дорівнює R, то

.

Звідси , в точності як у випадку евклідової геометрії , встановлюється, що висоти трикутника АВС також перетинаються в одній точці (рис.23,б).

Трикутник площини Мінковського має три бісектриси тільки в тому випадку , якщо всі сторони його - прямі одного роду : адже кут, утворений різнойменними прямими l і l1 , ніяк не може мати бісектриси , тобто прямої , що утворює з l і з l1 рівні кути. Але, якщо трикутник АВС має тут бісектриси (ми маємо , що наприклад , у випадку рівнобедреного або прямокутного трикутника все зовсім не так ), то вони перетинаються в одній точці ; ця точка О є центром вписаного кола S , що дотикається всіх сторін трикутника (рис.23, в).

[Зрозуміло , що якщо н всі сторони трикутника є прямими одного роду, то кола, що дотикаються до всіх сторін трикутника існувати не може , адже, наприклад, всі дотичні кола 1-го роду є прямими 2-го роду .]

Неважко помітити , що в геометрії Мінковського , як і в геометрії Евкліда , дотичні AP і PB, проведені до кола S з центром Q із однієї точки P , рівні між собою і що пряма QP (тобто діаметр кола S , що проходить через точку P ) ділить навпіл відрізок АВ і перпендикулярна до прямої АВ (рис.24).

Рис.24 Рис.25

Варто зауважити, що середини всіх хорд, які проходять через фіксовану точку М кола S належать одному колу S, а також , середини сторін трикутника АВС і основи його висот(а також точки , що ділять навпіл відрізки висот , розміщені між точкою перетину висот і вершинами трикутника ) належать одному колу S1 , радіус якого дорівнює половині радіуса описаного кола S трикутника. Коло S1 можна назвати колом шести (дев'яти ) точок трикутника АВС площини Мінковського ; якщо трикутник АВС має вписане коло S , то коло шести (дев'яти) точок S1 трикутника АВС дотикається його вписаного кола S .

Бісектрису кута , утвореного прямими l і l1 можна описати , як множину точок , рівновіддалених від l і від l1 (звідси випливає сформульована нижче теорема про точки перетину бісектрис трикутника ). Але, якщо прямі l і l1 різнойменні, то рівновіддалених від l і l1 точок не існує зовсім, адже відстань від точки до прямої 1-го роду і відстань від точки до прямої 2-го роду принципово не порівнювані: перше з них вимірюється в одиницях довжини відрізків 2-го роду (так би мовити в "уявних" одиницях ), а друге - в одиницях довжини відрізків 1-го роду (в "дійсних" одиницях ) .

Розглянемо тепер коло S площини Мінковського і точку М (рис.28).

Рис.26

Неважко показати , що добуток

(38)

де А і В - точки перетину прямої l, що проходить через точку М з колом S , залежить тільки від кола S і від точки М , але не від вибору прямої l. Цей добуток , якому ми ще приписувати знак плюс , якщо напрямлення відрізків МА і МВ (від М до А , відповідно від М до В ) однакові і l - пряма 2-го роду і знак мінус в протилежному випадку , називається степенем точки М - відносно кола S.

Можна показати , що степінь точки М відносно кола S , що записується рівнянням (18) рівна , тобто, дорівнює результату підстановки в рівняння (18) кола S' координат точки М.

1) Тут зручно домовитися вважати довжини відрізків 2-го роду уявними. При цьому означенні знаки добутку (38) залишаються такими ж як і в геометрії Евкліда або геометрії Галілея.

Рис.27

Звідси отримаємо, що множина точок площини Мінковського , що мають відносно даного кола S; рис.(28,а) і що множина точок , які мають однакові степені відносно двох кіл S і S1 з рівняння (18) і

являє собою пряму лінію

Цю пряму лінію (що проходить через точки перетину кіл S і S1 , якщо ці точки існують ) природно назвати радикальною віссю кіл S і S1. Тоді , точно як у випадку геометрії Евкліда або геометрії Галілея, показується , що попарно радикальні осі трьох кіл S , S1 і S2 площини Мінковського або всі паралельні між собою , або перетинаються в одній точці R - радикальному центрі трьох кіл , і т.д.

Рис.28(а)

Рис.28(б)

Розглянемо в геометрії Мінковського вчення про інверсії. Інверсією з центром в точці Q і степенем k, або інверсією з колом інверсії д(причому точка Q є центром цього кола , а число дорівнює квадрату радіуса кола S ) називається перетворення площини Мінковського, що переводить кожну точку А в таку точку А' прямої QA ,що

(39)

Причому при відрізки QA і QA' мають однакові напрями (від Q до A відповідно від Q до A'), якщо обидва вони 1-го роду і протилежні , якщо ці відрізки 2-го роду ; якщо ж , то напрям відрізка QA' визначається за оберненим правилом (див.рис.28а,б).

Можна показати , що кожну зовнішню відносно кола S точку А інверсія S переводить в точку А' перетину діаметра QA кола S з прямою KL , що з'єднує точки дотику з колом S проведених до неї із точки А дотичних AK і AL (див.рис.28); точку А ця інверсія переводить назад в А ; кожну точку кола S інверсія залишає на місці. При цьому точку А ми називаємо зовнішньою по відношенню до кола S площини Мінковського, якщо через цю точку проходить дві дотичні до S' ; через точки , що належать S, проходить єдина дотична; точки, через які не походить ні одна дотична S, називаються внутрішніми по відношенню до S.

Рис.29

Інше означення інверсії з колом інверсії S таке: проведемо через кожну точку А площини все можливі кола S (і пряму m) перпендикулярні колу S (тобто такі, що дотичні до S і до S' в точках перетину S і s перпендикулярні в розумінні геометрії Мінковського) всі ці кола перетинаються ще в одній точці А' (яка буде співпадати з А , якщо А належить S), що є , за означенням , образом точки А при інверсії (рис.29,а).

Виходячи із цього означення інверсії , частковим її випадком природно вважати симетрію відносно (неособливої) прямої l , що переводить кожну точку А площини в таку точку А' прямої АА' l, ділить відрізок АА' навпіл : насправді симетрію відносно прямої l можна також описати як перетворення, що переводить кожну точку А площини Мінковського у другу точку А' перетину всіх кіл S, що проходять через А (і прямої m), перпендикулярних l (тобто таких , що дотична до S в точці перетину S з l перпендикулярна до прямої l); (див.рис.29,б). Інверсію з колом інверсії S' і в геометрії Мінковського часто називають симетрією відносно кола S.

Із означення (39) інверсії маємо ,що точку А або А інверсія з центром в початку координат О(0;0) і степенем k переводить в таку точку А або , що

(40)

Звідси, використовуючи рівняння (18) кола площини Мінковського можна встановити ,що пряму 1-го і 2-го роду, що проходить (відповідно або не проходить) через центр інверсії Q , це перетворення переводить в ту ж саму пряму (в коло ,яке проходить через центр інверсії(рис.30,а) ,а коло ,яке проходить (не проходить) через центр інверсії , - в пряму ,що не проходить через центр інверсії Q (в коло ,яке не проходить через центр інверсії , рис.30б);

особливі прямі інверсія переводить знову в особливі прямі. геометрії Мінковського Можна також показати ,що інверсія є конформним перетворенням площини Мінковського : дві лінії Г і Г1 , перетинаються в точці А ,інверсія переводить в дві такі лінії Г' і Г1', які перетинаються в точці А', що кут, утворений проведеними в точці А дотичними t і t1 до ліній Г і Г1, дорівнює (в розумінні геометрії Мінковського) куту, утвореному проведеними в точці А' дотичними t' і t'1 до ліній Г' і Г1'. Всі ці властивості інверсії можуть бути використані для доведення багатьох теорем геометрії Мінковського. Розглянемо ще деякі важливі загальні моменти пов'язані з перетворенням інверсії. Зрозуміло, що означення (39) інверсії не дозволяє знайти образ А' такої точки А, відстань якої від центра інверсії Q дорівнює нулю (адже в цьому випадку співвідношення (39) приводить до безглуздого висновку :). Але множина точок М геометрії Мінковського , що визначається рівнянням