Геометрія Мінковського-Банаха

QM= , (41)

є сукупністю двох особливих прямих , що проходять через точку Q. Тому положення тут є більш складним , ніж в геометрії Галілея : слід зауважити , що на площині Мінковського інверсія є перетворенням , "полем дії" якого є не вся площина Мінковського , а площина з виключеними з неї двома прямими , якщо точка Q співпадає з початком системи координат , то рівняння прямих має вигляд Зрозуміло, що такий складний характер "поля дії" інверсії в геометрії Мінковського приводить до багатьох ускладнень, з якими зустрічаємося при вивченні властивостей інверсії і при всіх застосуваннях цього перетворення. Уникнути всіх цих труднощів можна тим же шляхом, як і в геометрії Евкліда і в геометрії Галілея. Можна вважати, що "полем дії" інверсії з центром інверсії О(0;0) є площина Мінковського , доповнена множиною "нескінченно віддалених точок" - образів точок особливих прямих , що проходять через початок координат ;іншими словами, вважатимемо, що кожній точці М(m,m) особливої прямої відповідає деяка нескінченно віддалена точка , а кожній точці особливої точки прямих - нескінченно віддалена точка , в які переводить точки M і N інверсія з центром О степенем 1, самому ж центру інверсії О спів ставимо нескінченно віддалену точку в яку переводиться точка О довільної інверсії з центром О. Площина Мінковського, доповнена нескінченно віддаленими точками , де (m і n належать множині всіх дійсних чисел ) , можна назвати площиною Мінковського(зокрема , пряму - при в (18) знову в коло (або пряму).

Наочно уявити собі кругову площину Мінковського дозволяє стереографічна проекція. Нехай площина Мінковського , віднесена до координат , співпадає з площиною тривимірного простору .

Розглянемо однопорожнинний гіперболоїд г з рівнянням

або (42)

ж дотикається площини (площини ) в точці О(0,0,0) і одночасно перетинає її по (особливих) прямих з рівняннями (мал.180).

Домовимось тепер співставляти кожну точку А площини , з точкою перетину гіперболоїда г з прямою QA (відмінну від А), де Q(0,0,1) - точка гіперболоїда г "діаметрально протилежна" точці О (тобто симетрична з точкою О відносно симетрії гіперболоїда ); координати точки А' запишуться так :

. (43)

Стереографічна проекція (43) співставляє кожній точці площини єдину точку гіперболоїда г; але обернена відповідність між точками гіперболоїда і точками площини не є повною , оскільки точкам прямих , що проходять через центр проекції Q , прямим О1 і О2 з рівняннями і паралельних площині , не відповідають ніякі точки площини . Таким чином , вважатимемо, що гіперболоїд г є образом площини , доповненої двома фіктивними "прямими", що проектуються в прямолінійні образи О1 і О2 гіперболоїда г. Спів ставляючи точки прямих О1 і О2 нескінченно віддаленим точкам площини , а центр проекції Q точці , ми зможемо говорити, що стереографічна проекція (43) є відображення гіперболоїда г на кругову площину Мінковського, що дозволяє розглядати (однопорожнинний) гіперболоїд як "модель" кругової площини Мінковського.

Із формул (43) слідує , що точки кола (або прямої) (18) площини Мінковського стереографічна проекція відображає на точки перерізу гіперболоїда г площиною

; ('')

Навпаки, кожному плоскому перерізу гіперболоїда площинами, що проходять через точку Q(0,0,1) ; особливим прямим - переріз г площинами, що походять через Q і містять прямолінійну твірну гіперболоїда г; колам нульового радіуса - переріз гіперболоїда г площинами ,що дотикаються твірну г (і в силу цього містять пару прямолінійних твірних).

Наприклад, точкам прямої , записаної рівнянням (18) , де , стереографічна проекція співставляє точки перерізу гіперболоїда г із площиною, яка проходить через точку Q(0,0,1). Оскільки, за домовленістю точка Q(0,0,1) відповідає точці кругової площини Мінковського, то будемо вважатимемо, що всі прямі "проходять" через нескінченно віддалену точку . Довільне ж коло (18) "містить" одну нескінченно віддалену точку і одну нескінченно віддалену точку : ці точки зображаються точками перетину площини (18) з прямими О1 і О2.

Так як стереографічна проекція (43) переводить кола (і прямі) площини Мінковського в плоскі перетини гіперболоїда, то це дозволяє використовувати цю проекцію для представлення "кругових перетворень" (кругової ) площини Мінковського.

Геометрія Лобачевського

Відкриття М.І. Лобачевського.

Багатовікові спроби доведення V постулату Евкліда привели до відкриття на початку XI ст. Це відкриття було вперше опубліковано великим російським математиком, професором Казанського університету Миколою Івановичем Лобачевським в праці "О началах геометрії " (Казань,1829) . Перше публічне повідомлення про це відкриття було зроблено на засіданні Відділення фізіко-математичних наук Казанського університету в 1826 р. під назвою "Стислий виклад основ геометрії зі строгим доведенням теореми про паралельність " ("Exposition see.riin.-ie des principes deia Geometric avec une demonstration rigorieuse du theoreme des paralleles"). М.І. Лобачевський вказує, що перша частина мемуару "О началах геометрії" взята із вказаної доповіді "Стислий виклад начал геометрі зі строгим доведенням теореми про паралельність".

Після визначення основних понять геометрії, які незалежні від V постулату, Лобачевський пише: "Сума кутів прямолінійного трикутника не може бути більшою р; але, сума кутів сферичного трикутника завжди може бути більшою" .І далі: "Ми бачимо , що сума кутів прямолінійного трикутника не може бути більшою, ніж р. Отже , ця сума дорівнюєабо менша від р.

Перше і друге може бути прийнято без будь якого протиріччя , від чого і походять дві геометрії: одна "практична", застосовна і до нині ; друга " уявна" , що допускає залежність ліній від кутів.

Якщо в одному прямолінійному трикутнику сума кутів рівна р, то вона буде такою ж і у всіх. Навпаки, припускаючи її в одному меншою р, легко довести ,що вона зменшується із збільшенням сторін трикутника. Кожні дві лінії на площині не можуть зустрітися, коли вони з третьою утворюють кути, сума яких рівна р. Вони можуть не перетинатися і в тому випадку, коли ця сума менша р, якщо зробити припущення, що сума кутів в трикутнику менша р. Всі лінії на площині відносно однієї можуть бути розділені на збіжні і розбіжні. Останні будуть називатися паралельними, якщо вони утворюють границю.

Припущення , що суми кутів трикутника менша р приводить до того, що коло із збільшенням напівпоперечника наближається не до прямої лінії, а до особливого роду кривої, яку назвемо граничною .

Сфера в цьому випадку починає наближатися до кривої поверхні, яку назвемо граничною сферою. Ця поверхня в перетині з площиною дає коло або граничне кола. Геометрія на граничній сфері така ж , в якому вигляді ми її знаємо на площині. Граничне кола замінює в останній пряму лінію, а кути між площинами, в яких лежать граничні, відповідають кутам між прямими лініями.

Граничні кола тим швидше наближаються до прямих ліній, чим менші їх дуги, так що різницю по відношенню до довжини дуги можна зробити як завгодно малою. І тому, все що належить одним, належить і іншим , якщо приймати їх як завгодно малими .

І так, якщо в природі існує Геометрія як така, що дві паралельні лінії повинні бути нахилені до третьої лінії під кутами сума яких менша р, то Геометрія, яка використовується нами, буде геометрія як завгодно малих ліній в порівнянні з тими , при яких сума кутів трикутника може набагато більше відрізнятися від р”.

Варто зауважити, що назву "уявна геометрія", яку М.І.Лобачевский дав відкритій ним геометрії , співзвучна з використаною ним назвою уявних чисел .Ця назва підтверджує, що відкрита ним геометрі відноситься до "практичної евклідової геометрії", як уявні числа до дійсних.

М.І.Лобачевський відмовився від поглядів про те , що геометрія Евкліда є єдиною несуперечливою, і переконував, що можливі існування інших несуперечливих систем.

Прийшовши до висновку про несуперечливість "уявної геометрії", Лобачевський відкинув поняття , які йшли від Платона , отримав новий розвиток у Канта ідеалістичних вчень про набуті при народженні нових просторових уявлень. Тому Лобачевский ставить питання про вимірювання суми кутів трикутника з як завгодно великими довжинами сторін. Використовуючи дані останнього астрономічного календаря , Лобачевський знаходить суму кутів , вершинами якого є два діаметрально протилежні положення Землі на її орбіті і Сиріуса , і обчислює , що сума кутів цього трикутника відрізняється від р менше , ніж на 0"ё000372. Дуже малу різницю не можливо було виміряти кутовимірювальними інструментами (насправді, в розрахунках Лобачевського була виявлена похибка і ця різниця в 100 разів менша , ніж та, що була ним розрахована). Після цих обчислень Лобачевський пише:" Чем меньше, следовательно , треугольник, тем сумма углов его меньше разности от двух прямых .После этого можно воображать , сколько эта разность , на которой основана наша теория параллельных, оправдывает точность всех вичислений обыкновенной Геометрии и дозволяет принятия начала этой последней рассматривать как бы строго доказанными" .

Боротьба М . І. Лобачевського за визнання його відкриття.

Відгук було доручено академіку М. В. Остроградському (1801-1862рр.).

Остроградський не звернув увагу на геометричні питання цього мемуару і зосередився на двох визначених інтегралах, обчислених тут М.І.Лобачевським з допомогою геометричних умовиводів. У відгуку Остроградського в протоколах академії повідомляється:

"Указав на то, что из двух определенных интегралов, на вычисление которых при помощи своего нового метода претендует г.Лобачевский, один уже известен и легко выводится при помощи интегрального исчисления , а другой неверен , г-н . Остроградский замечает, кроме того , что робота выполнена с таким малым старанием, что большая часть ее непонятна . Потому он полагает, что этот труд г-на Лобачевского не заслуживает внимания Академии».На думку Котельника , ця рецензія була написана учнем Остроградського С.А. Бурачеком . Інтеграл, про який йде мова в обох рецензіях , - інтеграл, що залежить від параметра , при різних значеннях якого він набуває різних значень. Не зрозумів відкриття Лобачевського і другий петербурзький академік , що займався теорією паралельних ліній, - В.Я.Буняковський (1804-1889рр.).

Вже після публікації основних праць Лобачевського В.Я.Буняковський видав книгу "Паралельні лінії" , що містить огляд і класифікацію "доведень" V постулату і … власне "доведення" автора , що грунтується на понятті прямої як лінії, всі точки якої мають однакові властивості, і в якій не згадується про Лобачевського. Геометрії Лобачевського Буняковський присвятив спеціальну статтю "Рассуждения о некоторых особенностях, представляющихся в построениях неевклидовой геометри" ("Considerations sur fcu-elques arites quisentenl dans lastructions dela изо-metric поп euclidienne". Петербург, 1872.Він намагався довести протиріччя між геометрією Лобачевського і наочним уявленням про простір, але на відміну від М. В. Остроградського , його учні з повагою ставиться до Лобачевського.

Подальші праці М. І. Лобачевського з неевклідової геометрії Невизнання з боку Академії наук і рецензії М. В. Остроградського в літературних журналах не зламали Лобачевского. Слідом за першим мемуаром з'являются нові праці Лобачевського, що розвивали його відкриття : "Уявна геометрія" (Казань, 1835; французький переклад: Берлін, 1836) [113, т. 3, с. 16--70], "Застосування уявної геометрії до деяких інтегралів" (Казань, 1836) [113, т. 3. с. 181--294]; "Нові начала геометрії з повною теорією паралельних" (Казань, 1835--1838) [113, т. 2, с. 147--454]; "Геометричні дослідження з теорії паралельних ліній" ("Geometrische Untersuchnngen zur Theorie der Parallellinien", Берлін, 1840) [ИЗ, т. 1, с. 79--127]; "Пан геометрія" (Казань, 1855; франц. переклад: Казань, 1856) [113, т. 3, с. 435--5241. Слово "пан геометрія" ("всезагальна геометрія"), яким Лобачевський називав відкриту ним геометрію в останній своїй праці вказує на те, що він розглядав цю геометрію як загальний випадок, частинним випадком якого є евклідова геометрія.

Важливу роль в переконанні Лобачевського в несуперечливості його геометрії є те, що в першому мемуарі застосовує цю геометрію для обчислення визначених інтегралів, які він розглядає як вираження площ поверхонь і об'ємів тіл в "уявній геометрі", обчислював з допомогою геометричних перетворень. В одних випадках М.І.Лобачевський знаходив нові способи обчислення відомих раніше інтегралів, в інших випадках, обчислені ним інтеграли, були новими.

"Апендикс" Яноша Бойяї

"Апендикс" написаний дуже коротко, з використанням великого числа умовних позначень, наприклад - нескінченна пряма, що проходить через точки а і b, abЮ - промінь з вершиною , що проходить через b; abc - кут зі сторонами b і c; R - прямий кут.

"Апендикс" розпочинається зі слів:

У випадку виконання V-го постулату прямі bc і am - паралельні, а у випадку невиконання V-го постулату ці прямі - паралельні в розумінні Лобачевського ( bn не перетинається з am, але може бути отримана граничним переходом із bc, що перетинають am ). Бойяї називає "систему геометрії, що визнає справедливість гіпотези ХI аксіоми Евкліда", системою У, а систему, побудовану на "протилежній гіпотез" - системою S. Те, що виконується в обох системах, Бойяї називає "абсолютним", це і є "наука про простір, абсолютно істинна, яка не залежить від істинності чи хибності ХІ аксіоми"; в наш час цей розділ називають "абсолютною геометрією". Бойяї намагався викласти як найбільше фактів з абсолютної геометрії. Наведемо, для прикладу , запис Бойяї теореми синусів

,

де

Or-довжина кола радіуса r, яка справедлива і в евклідовій геометрії, і в геометрії Лобачевського.

Боротьба за визнання геометрії Лобачевського

За життя Лобачевського з високою оцінкою його геометричних праць, публічно виступив тільки один математик - професор Казанського університету П.І.Котельников (1809-1879), батько згадуваного вище А.П.Котельникова.

Можливо, що П.І. Котельников зрозумів ідею М.І. Лобачевського за виданими в 1840р. "Геометричних дослідженнях з теорії паралельних ліній". "Геометричні дослідження", надіслані М.І. Лобачевським Гауссу, змусили Гаусса вивчити російську мову і ознайомитись з російськими мемуарами Лобачевського. В лютому 1841р. Гаусс пише І.Ф.Енке : "Я починаю досить успішно читати російською і отримую від цього велике задоволення. І.Кнорре надіслав мені невеличкий мемуар Лобачевського (в Казані ), написаний на російській мові, і як цей мемуари, так і невелика книжка про паралельні лінії на німецькій мові, викликали в мене бажання більше дізнатися про цього розумного математика.

Хоча Гаусс не опублікував нічого про неевклідову геометрію, в 1842р. М.І.Лобачевський за його рекомендацією був обраний членом-кореспондентом Геттінгемського наукового товариства.

Публікація листа Гаусса Шумахеру про М.І.Лобачевського зробила шокуючий вплив на європейських математиків. До 60-х років ХІХст. відноситься діяльність числа пропагандистів нової геометрії. В той час з'являється "Замітка про уявну геометрію Лобачевского" англійського алгебраїста і геометра Артура Келі, присвячена порівнянню тригонометричних формул М.І.Лобачевського і формул сферичної тригонометрії. Ця замітка сприяла визнанню відкриття Лобачевського.

Французький математик Жюль Оюель (1823-1886) опублікував французький переклад "Геометричних досліджень" М.І.Лобачевського і книгу "Критичний досвід про основні принципи геометрії", що містить виклад основних ідей геометрії Лобачевського.

Італійський математик Джузеппе Гоаттальїні (1826-1894) опублікував статтю "Про уявну геометрію Лобачевского", а також італійські переклади "З геометрії" М.І.Лобачевського і "Апендикса" Я.Бойяї. Завдяки цим публікаціям геометрія Лобачевського до 1870р. стала відомою геометрією в усіх основних країнах Європи.

Тригонометрія Лобачевського.

Після викладу принципів "уявної геометрії" в праці "О началах геометри" М.І.Лобачевський означує "кут паралельності". Він опускає з точки на пряму перпендикуляр довжини а і проводить (будує) з цієї ж точки паралель на цю пряму.

"Кут паралельності" - кут між перпендикуляром і паралеллю. В евклідовій геометрії цей кут завжди дорівнює р/2, а в геометрії Лобачевського "кут паралельний" - гострий, що являє собою функцію від а; М.І.Лобачевський позначає цю функцію F( a ), а в пізніших працях П( а ), очевидно, що

Lim П( а ) = р/2 , Lim П( а ) = 0

a > 0 a > ?

М.І.Лобачевський поширив цю функцію на всі можливі значення -а-, враховуючи, що П( О ) = р/2 , П( -а ) = р - П( а ) , і вказує , що для будь-якого гострого і тупого кута А існують такі відповідні значення а > 0 і a < 0 , що

А = П( а )

Далі М.І.Лобачевський знаходить формули тригонометрії для прямокутних і сферичних трикутників розглянутого ним простору, причому в першому випадку він записує ці формули з допомогою функції F( a ), а в іншому випадку знайдені ним формули співпадають з формулами сферичної тригонометрії евклідового простору: "І так, в прямокутному трикутнику , в якого катети а , b протилежних кутів А , В , гіпотенуза с , будуть в прямолінійному :

Sin F( c ) = sin F( a ) sin F( b ) ,

tang F( c ) = tang F( a ) sin A ,

cos F( b ) = tang A tang B, (14)

tang A = cos F( а ) A tang F( b ),

sin B = sin F( a )cos A;

у сферичному :

соs c = соs a соs b,

sin a = sin A sin c, (15)

tang a = tang c cos B,

cos c = cot A cot B,

tang a = tang A sin b,

cos A = cos a sin B

-- це рівняння сферичної тригонометрії , з допомогою яких легко знайти для будь якого сферичного трикутника , де сторони a, b, c ,протилежні кути : А, В, С:

sin A sin a sin c +cos b cos c = cos a,

sin a sin B = sin b sin A,

cot A sin C + cos C cos b - cot a sin b = 0, (16)

cos a sin B sin C - cos B cos C = cos A .

Вимірювання сферичних трикутників не залежить від припущення для паралельних. Не такого виміру прямолінійних. Подібно, як рівняння (15) дають рівняння (16) , так з допомогою рівняння (14) знаходимо для будь-якого прямолінійного трикутника, в якого a, b, c - сторони, А, В, С - протилежні кути :

tang F( a ) sin A = tang F( b ) sin B,

cosAcos F(b) cos F( c ) + - 1 = 0, (17)

cot A sin B sin F(c)-= 0,

Перша формула (16) - сферична теорема косинусів (1.7); друга формула (16) - сферична теорема синусів (1.5); четверта формула (16) - алгебраїчне слідування з формул. Перша, друга і третя формули (15) отримаємо із формул (16) при С = р/2, 4-та а формули (15) - алгебраїчне слідування із формул всіх, що залишилися ; перша з цих формул - "сферична теорема Піфагора" , п'ята співпадає із сферичною теоремою тангенсів.

Якщо сторони a, b, c сферичного трикутника можна виміряти з допомогою лінійної міри позначивши радіус сфери через r, то формули (1.5), (1.7) і (1.9) сферичних теорем синусів і косинусів можна записати у вигляді

; (6.2)

(6.3)

(6.7)

Формули (6.5) - (6.6) - формули тригонометрії Лобачевського в тій формі , в якій їх записав Таурінус.

Вироджений трикутник Лобачевского може бути отриманий в результаті граничного переходу із прямокутного сферичного трикутника з прямим кутом С при прямуванні його вершини А до нескінченності , причому в границі кут А прямує до нуля. Застосовуючи цей граничний перехід до формули (6.7) і припустивши в ній , що А= 0, В=П(a), С= р/2, ми отримаємо відношення .

Звідки отримаємо залежність :

із якої випливають співвідношення

і

 ,

Звідки отримаємо

тобто

Нескладно перевірити, що

р/2, .

М.І.Лобачевський підкреслює, що "коли a, b, c є дуже малими ,так що можна знехтувати виразами вищих ступенів, формули його тригонометрії переходять у формули звичайної тригонометрії. Дійсно,

Sin x= x-xі/3!+…, cos x = 1- x2/2!+x4/4!-…

Sh x =x + xі/3!+…, ch x =1+ x2/2!+x4/4!+…

І, замінюючи в формулах (6.2) - (6.3) і(6.5) - (6.6) sin x і sh x на х, cos x на 1-х2/2, a ch x на 1+х2/2, а в формулах (6.4) на (6.7) cos x і ch x на 1, ми отримаємо формули плоскої тригонометрії

(6.10)

(6.11)

(6.12)

Остання з цих формул рівносильна тому, що cos A= cos (р-B-C), тобто А+В+С=р. Зауважимо, що з того ,що cos(а/r)<1 і із формули (6.4) випливає, що cos A< -cos B cos C+ sin B sin C=-cos(B+C) , тобто cos A< cos (р-B-C) і у випадку сферичної геометрії A>р-В-С, тобто А+В+С>р, і повністю аналогічно з того ,що ch(a/q)>1 і із формули (6.7) випливає , що cos A> cos (р-B-C) , і у випадку геометрії Лобачевського А< р- В-С ,тобто А+В+С<р.

Нескладно переконатися е в тому, що якщо сума кутів трикутника більша або менша р, то "кутовий надлишок " е = А+В+С- р або "кутовий дефект " д = р- А-В-С для трикутника, що складається з двох трикутників . дорівнює сумі кутових надлишків або дефектів цих трикутників, якщо трикутник АВС складається з трикутників ACD і ABD (рис.81) і A+C1+D1 = р + е1 , B+C2+D2 = р + е2 , то А+В+С1+С2+ D 1+ D2 = A+B+C+ р=2 р+

+ е1+ е2 і , звідси , е = е1+ е2 ; враховуючи е1 = - д1 , е2 = - д2 , ми отримаємо д = д1 +д2.

Так як міра площі плоскої області - числова функція області, що має властивість адитивності, інваріантності при рухах і є додатною (>0 для області ,що містить як завгодно малий трикутник ), то кутовий надлишок або дефект є мірою площі трикутника , тобто міра площі в квадратних мірах довжини пропорційна е або д. для визначення коефіцієнта пропорційності використовують те, що на малій ділянці сферична геометрія і геометрія Лобачевського близькі до евклідової , і обчислимо площу малого рівнобедреного трикутника з катетами a. В силу формул (6.4) і (6.7) для такого трикутника при с= р/2, А = В і cos A= sinA cos (a/r) , тобто ctg A = cos (a/r) і , аналогічно , cos A = sinA ch(a/q) ,тобто ctg A = cos (a/q).

Так як в першому випадку А = р/4 + е /2, а в другому випадку А=р/4-д/2,із розкладу функції ctgх в ряд Тейлора в околі точки х0 = р/4 отримаємо формули



А порівнюючи ці формули з розкладами функцій

ми отримаємо співвідношення

,

але з іншого боку, площу S малого трикутника можна обчислити за правилом евклідової геометрії, врахувати, що S=.І замінюючи в отриманих співвідношеннях на S , ми отримаємо вираз S через е і д , який в силу пропорційності S величинам е і д справедливий для будь_яких cферичних трикутників і трикутників площини Лобачевского. Цей вираз у сферичної геометрії має вигляд S=r2 е, а у геометрії Лобачевського S=q2 д.

Пропорційність S і д у випадку "гіпотези гострого кута", як ми знаємо , була відома ще Ламберту .

Несуперечливість геометрії Лобачевського

Як ми бачимо М.І.Лобачевський вважав, що фактом несуперечливості відкритої ним геометрії є те, що формули тригонометрії цієї геометрії випливають з формул сферичної тригонометрії при множенні сторін трикутника на уявну одиницю.

Ці формули мають той недолік, що робиться висновок про несуперечливість планіметрії Лобачевського із несуперечливості тригонометричних формул цієї геометрії, але в праці доводиться лише те, що ці формули випливають з умовиводів геометрії Лобачевського , в той же час як для доведення несуперечливості геометрії Лобачевського її тригонометричних формул необхідно довести обернене ,тобто те, що всі умовиводи геометрії Лобачевского випливають з її тригонометричних формул і умовиводів "абсолютної геометрії", тобто умовиводів . що не залежать від V постулату . Це доведення Лобачевський розглядає в своїй "Уявній геометрії" на початку якої він пише:" Теперь, оставляя геометрические построения и выбирая краткий обратный путь, намерен я показать, что главные уравнения, которые нашел я (в цитированной выше работе] для зависимости боков и углов треугольника в воображаемой Геометрии, могут быть приняты с пользою в Аналитике и никогда не приведут к заключениям, ложным в едком бы го ни было отношении".

Далі Лобачевський означує функцію з допомогою співвідношення (6.8),яку долучають до умовиводів абсолютної геометрії тригонометричних співвідношень в прямокутному трикутнику , рівносильне наведеним вище співвідношенням (14) його попередньої праці .

Із них Лобачевский виводить спочатку наведені вище тригонометричні співвідношення (17) його попередньої праці в довільному трикутнику, а потім твердження про те, що сума кутів трикутника менша від двох прямих. Так як останнє твердження еквівалентне постулату паралельності геометрії Лобачевського, тим самим він довів , що всі умовиводи його геометрії ,які він в попередній роботі виводив з умовиводів абсолютної геометрії і постулату паралельності його геометрії , можуть бути виведені також з умовиводів абсолютної геометрії і вказаних тригонометричних формул .

Міркування Лобачевського не є доведенням несуперечливості його планіметрії, сам Лобачевський несуперечливість розглядає, як несуперечливість цих формул в сукупності з аксіомами абсолютної геометрії, але формули сферичної тригонометрії, з яких випливає, що сума кутів трикутника більша р, (якщо розглядати ці формули як формули на площині), суперечать аксіомам абсолютної геометрії. Тому міркування Лобачевського доводять тільки внутрішню несуперечливість тригонометричних формул, а одного цього для доведення несуперечливості геометрії недостатньо.

Тим не менше , відштовхуючись від міркувань Лобачевського , можна довести несуперечливість його геометрії, причому всієї цієї геометрії , а не тільки її тригонометричних формул. Для цього потрібно використати ідеї комплексного простору.

Ж.В.Понселе в своєму "Трактаті про проективні властивості фігур" ввів поняття про уявні точки простору. Сукупність всіх уявних точок евклідового простору разом з дійсними точками і утворюють комплексний евклідів простір ,дійсний простір є множиною точок комплексного простору , який Картан запропонував називати "просторовим ланцюгом ".

Будь-яку алгебраїчну і аналітичну криву і поверхню в дійсному просторі можна розглядати як частинний випадок кривої або поверхні в комплексному просторі , що задається тим же рівнянням; точки вказаної комплексної кривої або поверхні , не належать " просторовому ланцюгу", є уявними точками. Відповідної дійсної кривої або поверхні. Відстань між двома точками комплексного простору виражається через їх координати за формулами , що і в дійсному просторі . З тих же формул визначаються і кути між прямими. Несуперечливість комплексного евклідового простору доводиться з допомогою комплексної арифметичної моделі так само, як несуперечливість дійсного простору - з допомогою дійсної арифметичної моделі .

Так як відстань і кути в комплексному просторі визначаються з тих же формул, що і в дійсному , формули плоскої і сферичної тригонометрії в комплексному просторі також співпадають з відповідними формулами дійсного простору. Формулами сферичної тригонометрії на сфері комплексного радіуса r є формули (6.2) - (6.4), де всі довжини сторін а, b, c і кути А, В, С комплексні числа, а у випадку , якщо записати комплексний радіус і вигляді qi, то ті ж формули можна записати і у вигляді (6.5)-(6.7), де а, b, c і А, В, С теж комплексні. Звідси ми бачимо, що геометрія площини Лобачевського існує в деякій множині точок сфери уявного радіуса qi (q- дійсне ) комплексного евклідового простору. Така множина точок утворює точки, прямокутні координати x, y в яких дійсні () ,а координата z уявна (). Таку множину точок можна характеризувати також трьома дійсними координатами , але відстань між точками з координатами і визначаються не з формул евклідового простору

(6.15)

(6.16)

В наш час множину точок з відстанню , визначеною з формули (6.16) , псевдоевклідовим простором. В цьому просторі існують пари точок , для яких >0, <0, , відповідні прямі називаються прямими дійсної довжини , прямими уявної довжини і ізотропними прямими . в цьому просторі існують три площини : евклідові площини , всі прямі яких мають дійсну довжину ; псевдоевклідові площини , що містять всі прямі трьох видів , ізотропні площини , прямі яких є прямі 1-шого і 3-го видів , - і три види сфер: сфери дійсного , уявного і нульового радіуса:

,

які при r2 >0 мають вид однолистого гіперболоїда (а) , а при r2 <0 - дволистого гіперболоїда (б), а при r =0 - конусів (в).

Моделлю площини Лобачевського є одна із частин сфери уявного радіуса в псевдоевклідовому просторі , або сфера уявного радіуса з рівними діаметрально-протилежними точками. Звідси формули тригонометрії (6.5)-(6.7) площини Лобачевского випливають з формул (6.2) -(6.4) сферичної тригонометрії за допомогою заміни r на qi. Ця сфера уявного радіуса і є "уявна сфера" , про яку згадує Ламберт.

Існування цієї моделі площини Лобачевського доводить її несуперечливість.

На сфері уявного радіуса можна ввести сферичні координати - широту і довготу як на звичайній сфері .Якщо ми позначимо через с сферичну відстань точки сфери від точки її перетину з віссю О,а через ц - кут між площинами ,що походить через точку і вісь О, і площину , то координати точки сфери виражаються через с і ц за формулами

Ці формули вперше були запропоновані Карлом Вейєрштрасом (1815 -1897 ) на семінарі про Геометрію Лобачевського , який він проводив в кінці 60-х років у Берлінському університеті , тому ці координати в наш час називають вейєрштрасовими координатами.

Література

1. Болтянский В. Г. Загадка аксиомы параллельности / Квант. - 1976. - №3.

2. Болтянский В. Г. и Яглом И. М. Векторы и их применения в геометрии, ЭЭМ, кн. IV.

3. Борн М. Воспоминания о Германе Минкомском

4. Гиндыкин С. Волшебный мир Анри Пуанкаре //Квант. - 1976. - № 3.

5. Каган В. Ф. Очерки по геометрии. - М.: Изд-во МГУ, 1963.

6. Клейн Ф. Неевклидова геометрия., М. - Л.: ОНТИ, 1935.

7. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометри. Сборник "Об основаниях геометрии", стр. 253 - 303.

8. Кокстер Г. С. М. Введение в геометрию. М.: Наука, 1966.

9. Польский Н. И. О различных геометриях. К.: Изд-во АН УРСР. - 1957.

10. Розенфельд Б. А. и Яглом И. М. Многомерные пространства, ЭЭМ, кн. V. М.: "Наука", 1966.

11. Розенфельд Б. А. Неевклидовы пространства. М.:"Наука", 1969.

12. Сабитов И. Х. Так ли прост евклидов мир? // Квант. 1984. - № 1.

13. Силин А. В., Шмакова Н. А. Открываем неевклидову геометрию. М.: "Просвещение". - 1988.

14. Щербаков Р. Н., Пичурин Л. Ф. От проективной геометрии к неевклидовой. М.: Просвещение, 1979.

15. Яглом И. М. и Ашкинузе В. Г. Идеи и методы афинной и проективной геометрии, ч. 1. М.: Учпедгиз, 1963.

16. Яглом И. М. Комплексные числа и их применение в геометрии. М.: Физматгиз. 1963.

17. Яглом И. М. Принцип относительности Галлилея и неевклидова геометрия. М.: "Наука". Главная ред. физ.-мат. л-ры. - 1969.

18. Яглом И. М. Проективные мероопределения на плоскости и комплексные числа. Труды семинара по векторному и тензорному анализу при МГУ, вып 7. М. _ Л.: Гостехиздат, 1949.

Запитання до теми

1.Який вигляд мають тригонометричні формули Лобачевского?

2. Що є моделлю площини Лобачевского?

3.Де застосовують геометрію Мінковського?

4.Який вигляд рівнянь кола в геометрії Мінковського?

5.Що називається інверсією в геометрії Мінковського?

6.Сформулювати "теорему косинусів" в геометрії Мінковського ?

7. Який вигляд мають перетворення Лоренца?

8.Розглянути властивості тригонометричних і гіперболічних функцій?

9.Що називається відстанню між паралельними прямими 1-го і 2-го роду?

10.Який зміст мають відрізки 1-го і 2-го роду в геометрії Мінковського?

Размещено на Allbest.ru