Решение математических задач с помощью теорем вероятности

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

В магазине в течение дня было продано 20 из 25 микроволновых печей трех различных производителей, имевшихся в количествах 5, 7 и 13 штук. Какова вероятность того, что остались нераспроданными микроволновые печи одной марки, если вероятность быть проданной для каждой марки печи является одинаковой?

Решение

А - остались нераспроданными микроволновые печи одной марки.

Общее число способов, которыми можно получить 5 (непроданных) микроволновых печей из 25

В1 - остались печи 1го производителя;

В2 - остались печи 2го производителя;

В3 - остались печи 3го производителя.

А = В1 + В2 + В3

Р(А) = Р(В1) + Р(В2) + Р(В3) =

Ответ: вероятность того, что остались нераспроданными микроволновые печи одной марки 0,0246.

Задача 2

По статистике, в среднем каждая четвертая семья в регионе имеет компьютер. Найти вероятность того, что из восьми наудачу выбранных семей имеют компьютер:

а) две семьи;

б) хотя бы две семьи.

Решение.

а) вероятность того что семья имеет компьютер р = .

q = 1- p = 1 - = ; n=8; m=2.

По формуле Бернулли:

.

б) Р(m?2) = P(“m=2”+“m=3”+“m=4”+“m=5”+“m=6”+“m=7”+“m=8”).

Перейдя к противоположному событию, получим:

Р(m?2) = P(“m=0”+“m=1”) = P(“m=0”) + P(“m=1”) =

Р(m?2) = 1 - Р(m?2) = 1 - 0,367 = 0,633.

Ответ: а) вероятность того, что из восьми наудачу выбранных семей имеют компьютер две семьи 0,311; б) вероятность того, что из восьми наудачу выбранных семей имеют компьютер хотя бы две семьи 0,367.

Задача 3

Доля изделий высшего качества некоторой массовой продукции составляет 40%. Случайным образом отобрано 250 изделий. Найти вероятность того, что:

а) 120 изделий будут высшего качества;

б) изделий высшего качества будет не менее 90 и не более 120.

Решение:

По условию p=0.4, q = 1-0.4 = 0.6.

а) т.к. n = 250 достаточно велико n*p = 250*0.4 = 100 » 10; n*p*q = 250*0.4*0.6 = 60 > 20. Следовательно, применяем Локальную теорему Муавра - Лапласа.

;

Определяем x

,

по таблице f(2.58) = 0,0143

.

б) Используем Интегральную теорему Муавра-Лапласа:

;

Ответ: а) вероятность того, что 120 изделий будут высшего качества 0,002; б) вероятность того, что изделий высшего качества будет не менее 90 и не более 120 0,8965.

Задача 4

Двигаясь по маршруту, автомобиль преодолевает два регулируемых перекрестка. Первый перекресток он преодолевает без остановки с вероятностью 0,4 и при этом условии второй перекресток проезжает без остановки с вероятностью 0,3. Если же на первом перекрестке автомобиль совершил остановку, то второй он проезжает без остановки с вероятностью 0,8. Составить закон распределения случайной величины Х - числа перекрестков, преодолеваемых автомобилем без остановки. Найти ее математическое ожидание, дисперсию и функцию распределения.

Решение

А1 - автомобиль проехал первый перекресток без остановки;

А2 - автомобиль проехал второй перекресток без остановки;

- автомобиль остановился на первом перекрестке;

- автомобиль остановился на втором перекрестке.

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Х = 0 - автомобиль остановился и на первом, и на втором перекрестке:

Х = 1 - автомобиль остановился только на одном перекрестке:

Х = 2 - автомобиль проехал 2 перекрестка без остановки:

Математическое ожидание:

Дисперсия:

Функция распределения:

Задача 5

Плотность вероятности случайной величины Х имеет вид:

Найти:

а) параметр а;

б) математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

в) функцию распределения F(x).

С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что случайная величина принимает значения на промежутке [1; 2]. Вычислить эту вероятность с помощью функции распределения. Объяснить различие результатов.

Решение:

а) , >

,

,

,

б) , >

;

.

.

в)

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

9

Размещено на http://www.allbest.ru/

Неравенство Чебышева:

;

;

Вычислим вероятность с помощью функции распределения:

Полученный результат P=0.875 не противоречит оценке, найденной с помощью неравенства Чебышева P?0,4. Различие результатов объясняется тем, что неравенство Чебышева дает лишь нижнюю границу оценки вероятности, а функция распределения уточняет оценку.

статистический вероятность муавр лаплас

Список используемой литературы

1. Лекции по теории вероятностей и математической статистике Назмутдинова Ф.Ф., - Уфа. - 2011.

2. Высшая математика для экономистов: учебник для ВУЗов, под ред. Н. Ш. Кремера - М.: Банки и биржи, ЮНИТИ

3. Кремер Н.Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: учебник для вузов.-М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2002.

Размещено на Allbest.ru