Математические основы теории автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Ивановский государственный энергетический университет

Электромеханический факультет

Кафедра электропривода и автоматизации промышленных установок

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ТЕОРИИ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ

Составил кандидат технических наук, доцент

Лебедев Сергей Константинович

Введение

Математические основы теории автоматического управления (МОТАУ) является учебной дисциплиной входящей в учебные планы:

· подготовки дипломированных специалистов с квалификацией инженер по направлению подготовки 654500 "Электротехника, электромеханика и электротехнологии" образовательной программы (специальности) 180400 "Электропривод и автоматика промышленных установок и технологических комплексов", цикл естественнонаучных и математических дисциплин, национально-региональный (вузовский) компонент, код ЕН.Р.00;

· подготовки бакалавров техники и технологии по направлению 551300 "Электротехника, электромеханика и электротехнологии", цикл естественнонаучных и математических дисциплин, национально-региональный (вузовский) компонент, код ЕН.Р.00.

Цель преподавания дисциплины состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об основных концепциях и принципах получения, преобразования и анализа различных видов математических моделей, используемых в теории автоматического управления для описания объектов управления различной природы и систем управления различных классов. Кроме того, студенты должны овладеть навыками решения практических задач, связанных с математическим моделированием в теории автоматического управления, рационально используя математический аппарат.

Широкий набор методов анализа и синтеза систем автоматического управления, различных форм представления математических моделей объектов различной природы, используемых специалистами и бакалаврами, требует решения в рамках дисциплины МОТАУ следующих задач:

· углубление знаний и формализация представлений в области основ математического описания систем автоматического управления, таких разделов высшей математики как дробно-рациональные функции комплексного переменного, импульсные функции, преобразования Фурье и Лапласа, операторный метод решения дифференциальных уравнений, линейная алгебра;

· формирование знаний и практических навыков получения и преобразования различных форм математических моделей динамических звеньев и систем автоматического управления в целях их рационального использования при решении задач анализа и синтеза систем управления;

· изучение специфики методов получения и преобразования математических моделей многомерных объектов управления, базирующихся на аппарате линейной алгебры и представлении объектов в пространстве состояний;

· изучение методов оценки качества процессов в системах автоматического управления, формирование практических навыков по использованию различных критериев качества переходных процессов при анализе и синтезе систем автоматического управления;

· формирование понятий и практических навыков решения задач идентификации элементов САУ.

Изучение дисциплины базируется на том, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами, рассматриваемыми в курсах теоретических основ электротехники и теоретической механики. Обучение в 4 семестре происходит параллельно с изучением ТОЭ (часть 2), в 5 семестре - с изучением ТАУ (часть 1).

Дисциплина рассчитана на изучение в течение 4 и 5 семестров (2 и 3 курс), включает в свой состав 42 лекционных часа, 28 часов практических занятий и 14 часов лабораторного практикума.

Дисциплина включает в себя следующие основные разделы:

· основы математического описания систем автоматического управления,

· виды математических моделей динамических звеньев

· математические модели элементарных динамических звеньев,

· математические модели САУ,

· особенности математических моделей многомерных систем автоматического управления,

· методы оценки качества систем автоматического управления,

· идентификация параметров математической модели систем автоматического управления.

Рекомендуемая учебно-методическая литература по дисциплине:

1. Теория автоматического управления/ Под ред. А.А. Воронова - М.: Высшая школа, 1986, ч. 1, 2.

2. Математические основы теории автоматического регулирования/ Под ред. Б.К. Чемоданова. - М.: Высшая школа, 1972, т. 1, 2.

3. Справочник по математике для научных работников и инженеров. Корн Г., Корн Т. - М.: Наука, 1984.

4. Теория систем автоматического регулирования. - Бессекерский В.А., Попов Е.П. М.: Наука, 1975.

5. Справочное пособие по теории автоматического регулирования и управления/ Под ред. П.А. Санковского. - Мн.: Высшая школа, 1973.

6. Трахтенберг Р.М. Теория автоматического управления. Нелинейные, импульсные, оптимальные, инвариантные, адаптивные и многомерные САУ. - Иваново: ИвГУ, 1990.

7. Модальные регуляторы и наблюдатели состояния электромеханических систем. Методические указания/ С.К. Лебедев, В.Ф. Глазунов. - Иваново: ИЭИ, 1989.

Рабочая программа дисциплины составлена на основании Государственных образовательных стандартов высшего профессионального образования, учебных планов подготовки дипломированного специалиста и бакалавров с учетом специфики региона и направлением целевой подготовки специалистов на кафедре ЭП и АПУ ИГЭУ.

Автор выражает благодарность преподавателям кафедры ЭП и АПУ: заведующему кафедрой Глазунову В.Ф., профессору Колганову А.Р., доцентам Ханаеву А.В., Спичкову Ю.П., за помощь в формировании и модернизации курса МОТАУ.

Лекция 1

1. Введение

Цель преподавания дисциплины состоит в том, чтобы дать студентам достаточно полное представление об основных концепциях и принципах получения, преобразования и анализа различных видов математических моделей, используемых в теории автоматического управления для описания объектов управления различной природы и систем управления различных классов. Кроме того, студенты должны овладеть навыками решения практических задач, связанных с математическим моделированием в теории автоматического управления, рационально используя математический аппарат.

Широкий набор методов анализа и синтеза систем автоматического управления, различных форм представления математических моделей объектов различной природы, используемых специалистами и бакалаврами, требует решения в рамках дисциплины Математические основы теории автоматического управления (МОТАУ) следующих задач:

· углубление знаний и формализация представлений в области основ математического описания систем автоматического управления, таких разделов высшей математики как дробно-рациональные функции комплексного переменного, импульсные функции, преобразования Фурье и Лапласа, операторный метод решения дифференциальных уравнений, линейная алгебра;

· формирование знаний и практических навыков получения и преобразования различных форм математических моделей динамических звеньев и систем автоматического управления в целях их рационального использования при решении задач анализа и синтеза систем управления;

· изучение специфики методов получения и преобразования математических моделей многомерных объектов управления, базирующихся на аппарате линейной алгебры и представлении объектов в пространстве состояний;

· изучение методов оценки качества процессов в системах автоматического управления, формирование практических навыков по использованию различных критериев качества переходных процессов при анализе и синтезе систем автоматического управления;

· формирование понятий и практических навыков решения задач идентификации элементов САУ.

Изучение дисциплины базируется на том, что студент имеет соответствующую математическую подготовку в области дифференциального и интегрального исчислений, линейной алгебры, комплексных чисел и тригонометрических функций, а также знаком с основными понятиями и законами, рассматриваемыми в курсах теоретических основ электротехники и теоретической механики. Обучение в 4 семестре происходит параллельно с изучением ТОЭ (часть 2), в 5 семестре - с изучением ТАУ (часть 1).

Дисциплина рассчитана на изучение в течение 4 и 5 семестров (2 и 3 курс), включает в свой состав 42 лекционных часа, 28 часов практических занятий и 14 часов лабораторного практикума (в 5 семестре).

Дисциплина включает в себя следующие основные разделы:

· основы математического описания систем автоматического управления,

· виды математических моделей динамических звеньев,

· математические модели элементарных динамических звеньев,

· математические модели САУ,

· особенности математических моделей многомерных систем автоматического управления,

· методы оценки качества систем автоматического управления,

· идентификация параметров математической модели систем автоматического управления.

2. Дробно-рациональные функции

Дробно-рациональные функции комплексного переменного в различных формах широко используют в ТАУ для представления передаточных функций и решения задач синтеза и анализа САУ.

Дробно-рациональная функция некоторого действительного или комплексного переменного имеет следующий вид:

(1)

где - полиномы числителя и знаменателя, - действительные числа, - порядок числителя, - порядок знаменателя (всей дробно-рациональной функции функции), - для функций используемых в ТАУ.

Полиномы дробно-рациональной функции могут быть представлены в виде произведения биномов (разложение многочлена на сомножители), тогда функция может быть представлена в форме Боде

(2)

где - корни уравнения , - корни характеристического уравнения .

Корни уравнения называют нулями дробно-рациональной функции , так как

.

Корни характеристического уравнения называют полюсами дробно-рациональной функции, так как

.

Полюсы и нули могут быть действительными и комплексно-сопряженными числами. Таким образом, задача представления функции в форме Боде сводится к поиску корней уравнений, образованных полиномами числителя и знаменателя.

Их принято располагать на плоскости комплексной переменной , обозначая расположение полюсов крестиками, а нулей кружками. Для лучшего освоения этого материала необходимо освежить в памяти сведения из высшей математики по операциям с комплексными числами. Нули, а особенно полюсы дробно-рациональных функций изображают на плоскости комплексного переменного . На рис. 1 показано расположение полюсов и нулей некоторой дробно-рациональной функции.

Рис. 1

Мнимая ось делит плоскость на правую и левую полуплоскости. Нули и полюсы, расположенные в правой полуплоскости, называют правыми, в левой полуплоскости - левыми. Комплексные полюсы и нули всегда располагаются парами симметрично относительно действительной оси; такие пары корней называют комплексно сопряженными корнями. Если среди нулей и полюсов встречаются два или несколько одинаковых, их называют кратными в отличие от остальных, которых называют простыми. Кратность определяется числом одинаковых нулей или полюсов (- 2). Рассмотрим пример получения формы Боде.

Пример

Представьте дробно-рациональную функцию

в форме Боде и покажите расположение полюсов и нулей дробно-рациональной функции на комплексной плоскости.

Решение

Найдем корни уравнения

.

Получаем два комплексно-сопряженных корня (нуля)

, .

Найдем полюсы

.

Получаем три полюса

.

Покажем расположение нулей и полюсов на комплексной плоскости (см. рис. 2).

Рис. 2

Дробно-рациональную функцию (1) часто представляют в виде суммы простейших дробей (форма Хэвисайта)

(3)

где - корни характеристического уравнения , - коэффициенты разложения, которые находят по следующей функции:

(3)

Такое представление дробно-рациональной функции возможно, если полюсы - простые, а .

Функция, которая имеет один нулевой полюс, может быть представлена в следующем виде:

В этом случае вместо формул (3), (4) применяют выражение

(5)

где - ненулевые полюсы , корни уравнения ,

(6)

Следовательно, представление дробно-рациональной функции в форме Хэвисайта сводится к нахождению полюсов дробно-рациональной функции и рациональному использованию формул разложения. Рассмотрим ряд примеров получения формы Боде.

Пример

Представьте дробно-рациональную функцию

в форме Хэвисайта, используя формулы разложения (3), (4).

Решение

Уравнение полинома числителя имеет вид,

.

Характеристическое уравнение имеет вид

.

Найдем корни характеристического уравнения

, .

Определим производную от полинома знаменателя

.

Определим коэффициенты разложения соответствующие по номеру полюсам

, .

Тогда форма Хэвисайта имеет вид

.

Пример

Представьте дробно-рациональную функцию

в форме Хэвисайта, используя формулы разложения (5), (6).

Решение

Представим в виде

Тогда

,

.

Ненулевые полюсы имеют вид

, .

Производная от

.

Определим коэффициенты разложения

,, .

Тогда форма Хэвисайта имеет вид

.

3. Импульсные функции

Реальные сигналы (переменные и воздействия), встречающиеся в системах управления, обычно представляют с помощью некоторых идеализаций - импульсных функций. Чаще всего используют ступенчатую единичную функцию (функцию Хэвисайта) и дельта-функцию (функцию Дирака), которые описываются следующим образом:

Графики этих функций показаны на рис. 3.

Рис. 3

Для единичной и дельта-функции справедливо

.

Таким образом, дельта-функция представляет собой мгновенный импульс, равный бесконечности в нулевой момент времени и нулю в другие моменты, площадь которого постоянна и равна единице. Поэтому иногда называют единичным импульсом.

4. Контрольные вопросы и задачи

1. Как определить порядок дробно-рациональной функции?

2. Поясните процедуру преобразования функции к форме Боде.

3. Какие полюсы дробно-рациональной функции называют простыми?

4. В чем состоит идеализация представления реального сигнала единичной ступенчатой функцией?

5. Представьте дробно-рациональную функцию в форме Боде. Ответ: .

6. Представьте дробно-рациональную функцию в форме Хэвисайта. Ответ: .

7. Представьте дробно-рациональную функцию в форме Хэвисайта. Ответ: .

Лекция 2

1. Преобразование Фурье

Соотношение называют прямым преобразованием Фурье. Функция угловой частоты - называется Фурье-изображением или частотным спектром функции . Спектр характеризует соотношение амплитуд и фаз бесконечного множества бесконечно малых синусоидальных компонент, составляющих в сумме непериодический сигнал . Операция преобразования Фурье математически записывается следующим образом:

где - символ прямого преобразования Фурье.

Спектры в теории автоматического управления представляют графически, изображая отдельно их действительную и мнимую части:

На рис. 1 представлено типичное изображение спектра непериодического сигнала.

Рис. 1

Отметим следующие особенности спектра непериодической функции :

1. Спектр непериодической функции времени непрерывен;

2. Область допустимых значений аргумента спектра

3. Действительная часть спектра - четная функция частоты, мнимая часть спектра - нечетная функция, что позволяет использовать одну половину спектра

Преобразование Фурье обратимо, то есть, зная Фурье-изображение, можно определить исходную функцию - оригинал. Соотношение обратного преобразования Фурье имеет следующий вид:

или в сокращенной записи

,

где - символ обратного преобразования Фурье. Заметим, что временная функция имеет преобразование Фурье тогда и только тогда, когда:

· функция однозначна, содержит конечное число максимумов, минимумов и разрывов;

· функция абсолютно интегрируема, то есть

Обратное преобразование Фурье возможно только в том случае, если все полюсы - левые.

Рассмотрим примеры определения спектра временных функций.

Пример:

Найдем частотный спектр дельта-функции.

,

так как при

,

а при и

.

В итоге, имеет единичный, равномерный и не зависящий от частоты действительный спектр, а мнимая часть спектра будет равна нулю (см. рис.2).

Рис. 2

Пример:

Найдем частотный спектр единичной ступенчатой функции.

Для этой функции не выполняется требование абсолютной интегрируемости, так как

Поэтому Фурье-изображения не имеет.

2. Преобразование Лапласа

Соотношение называют прямым преобразованием Лапласа. Комплексная переменная называется оператором Лапласа, где - угловая частота, - некоторое положительное постоянное число. Функция комплексной переменной называется изображением сигнала по Лапласу. Операция определения изображения по оригиналу сокращенно записывается - , где - символ прямого преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа обратимо, то есть, зная изображение по Лапласу, можно определить оригинал, используя соотношение обратного преобразования

или ,

где - символ обратного преобразования Лапласа.

Отметим, что преобразование Лапласа изображает исходную функцию лишь при , а поведение исходной функции при никак не сказывается на изображении. Класс функций, преобразуемых по Лапласу, значительно шире класса функций, преобразуемых по Фурье. Практически любые функции времени в ТАУ имеют преобразование Лапласа.

Получим изображения по Лапласу для импульсных функций.

,

так как при ,

, и при .

.

На практике для выполнения прямого и обратного преобразований Лапласа используются таблицы преобразований, фрагмент которой показан в табл. 1.

Таблица 1.

	1

Таблицы преобразования Лапласа могут быть использованы для определения Фурье-изображений таких абсолютно интегрируемых функций, которые равны 0 при . Для получения Фурье-изображений в этом случае достаточно положить в изображении по Лапласу . В общем виде это выглядит как

,

если при и

Рассмотрим формулировки основных теорем преобразования Лапласа, которые широко используются в ТАУ.

1. Теорема линейности. Любое линейное соотношение между функциями времени справедливо и для изображений по Лапласу этих функций;

;

2. Теорема о дифференцировании оригинала.

Если и , то ,

где - начальное значение оригинала.

Для второй производной используют выражение

.

Для производной -го порядка справедливо следующее соотношение:

;

Для производной -го порядка при нулевых начальных условиях справедливо следующее соотношение:

;

то есть дифференцирование степени оригинала по времени при нулевых начальных условиях соответствует умножению изображения на .

3. Теорема об интегрировании оригинала.

;

Замечание

В области изображений по Лапласу сложные операции дифференцирования и интегрирования сводятся к операциям умножения и деления на , что позволяет переходить от дифференциальных и интегральных уравнений к алгебраическим. Это является главным достоинством преобразования Лапласа как математического аппарата теории автоматического управления.

1. Теорема запаздывания. Для любого справедливо соотношение

;

2. Теорема о свертке (умножении изображений).

,

где ;

3. Теорема о предельных значениях. Если , то

если существует.

Для нахождения оригинала функции по ее изображению используют обратное преобразование Лапласа. Функцию изображения необходимо представить в форме Хэвисайта, воспользовавшись необходимой формулой разложения дробно-рациональной функции. Полученную сумму простейших дробей подвергают обратному преобразованию Лапласа. Для этого можно воспользоваться таблицами преобразования Лапласа, которые определяют изображения многих временных функций. Фрагмент таблицы преобразования Лапласа приведен в табл. 1. В тех случаях, когда имеются комплексно-сопряженные полюсы изображения, необходимо преобразовать соответствующие простейшие дроби к виду, удобному для использования таблицы преобразования Лапласа. Существенно облегчает преобразование использование персонального компьютера с пакетами математических программ, содержащих функции прямого и обратного преобразований Лапласа.

Пример

Определим оригинал по изображению в виде дробно-рациональной функции

.

Используем разложение Хэвисайта для дробно-рациональной функции с одним нулевым полюсом. Тогда

.

Коэффициенты разложения имеют вид

.

Изображение в форме Хэвисайта имеет вид

.

Используем теорему о линейности и таблицу преобразований к каждому слагаемому, в результате получаем

.

График функции оригинала имеет вид, показанный на рис. 3.

Рис. 3

Кратко поясним алгоритм решения дифференциальных уравнений операторным методом на примере решения дифференциального уравнения 2 порядка в общем виде

,

где , , .

Применим теорему о дифференцировании для нахождения изображений производных

, .

Пусть , тогда .

Получим операторное уравнение, используя теорему линейности

,

.

Решаем уравнение относительно ,

.

Найдем , используя переход к форме Хэвисайта (разложение Хэвисайта)

,

где , .

Особо следует обратить внимание на получение изображения производной ступенчатой единичной функции , которая определяется следующим образом:

Если использовать

,

то получается ошибочное решение, поэтому следует использовать называемые "левые" начальные условия

.

Справедливость этого можно легко проверить подстановкой решения в исходное дифференциальное уравнение.

3. Контрольные вопросы и задачи

1. Какие ограничения накладываются на прямое и обратное преобразование Фурье?

2. Как с помощью таблиц преобразования Лапласа получить частотный спектр реального сигнала - непериодической функции времени?

3. Если изображение по Лапласу имеет вид дробно-рациональной функции, в какой форме ее удобнее представлять для получения оригинала, в форме Боде или в форме Хэвисайта?

4. Определите оригинал следующего изображения по Лапласу . Ответ: .

5. Определите оригинал следующего изображения по Лапласу . Ответ: .

6. Найдите , решив дифференциальное уравнение , где . Ответ: .

7. Найдите , решив дифференциальное уравнение , где . Ответ: .

Лекция 3

1. Понятие линейного динамического звена

САУ удобно представлять для анализа и при синтезе в виде взаимосвязанной совокупности отдельных элементов - динамических звеньев.

Под динамическим звеном понимают в общем случае абстрактное устройство, имеющее вход и выход, и для которого задано уравнение, связывающее сигналы на входе и выходе, как это показано на рис. 1.

Рис. 1

Подробное изучение свойств реальных объектов управления и систем автоматического управления приводит к описанию динамических звеньев в виде нелинейных дифференциальных уравнений. Но во многих случаях их можно линеаризовать, то есть заменить нелинейные уравнения линейными, приближенно описывающими процессы в системах. Тем самым осуществляется декомпозиция задач анализа и синтеза систем, то есть первоначально используют линейное представление, а затем осуществляют учет вносимых нелинейностями особенностей. Такому подходу способствует то, что, в большинстве случаев, нормально функционирующая система работает в режиме малых отклонений, при которых нелинейности не проявляются. В дальнейшем мы будем рассматривать преимущественно аппарат изучения линейных систем, а особенности систем других классов: нелинейных, импульсных, цифровых и стохастических, будут излагаться позднее в других учебных дисциплинах.

Если уравнение, связывающее сигналы и , линейно, то говорят о линейном динамическом звене

Уравнение линейного динамического звена имеет следующий общий вид:

(1)

где - постоянные коэффициенты, .

Использовать такое описание динамического звена в задачах анализа и синтеза систем и объектов управления не рационально, поэтому существуют и иные формы описания и представления динамических звеньев и систем в целом.

2. Передаточная функция

Подвергнем уравнение (1) преобразованию Лапласа, считая начальные условия нулевыми и заменяя оригиналы сигналов их изображениями по Лапласу

.

Используя теоремы преобразования Лапласа линейности и дифференцирования, получим операторное уравнение, связывающие изображения входного и выходного сигналов

(2)

Преобразуем уравнение (2) к следующему виду

(3)

Получим из (3) отношение изображений выходного и входного сигналов

(4)

Отношение (4) не зависит от изображений сигналов, определяется только параметрами самого динамического звена (), имеет вид дробно-рациональной функции.

Отношение изображений выходного и входного сигналов называют передаточной функцией динамического звена

.

Уравнение вида , называют характеристическим уравнением динамического звена, так как знаменатель передаточной функции - это характеристический полином дифференциального уравнения, описывающего динамическое звено.

Пример

Определим передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме



Рис. 2

Решение:

По второму закону Кирхгоффа запишем уравнения описывающие схему

С учетом того, что

,

Получаем

Получим операторные уравнения

Из второго уравнения выразим значение изображения тока

Подставим полученное выражение в первое уравнение системы

.

В итоге получаем искомую передаточную функцию

.

3. Структурная схема

Графически передаточные функции динамического звена представляют в следующем виде:

Рис. 3

Если известно изображение входного сигнала и передаточная функция динамического звена, всегда можно найти изображение выходного сигнала при нулевых начальных условиях

.(5)

В общем случае САУ состоит из множества динамических звеньев, сигналы с выходов звеньев могут суммироваться или вычитаться, суммироваться с внешними для САУ сигналами. Суммирование и вычитание изображений сигналов могут быть представлено графически с помощью суммирующих звеньев:

1.

2.

Показанная выше неоднозначность графического представления вычитания изображений на суммирующем элементе связана с различием в стандартах разных стран.

Используя графическое представление передаточных функций звеньев и суммирующие звенья, можно в графической форме представить операторные уравнения, описывающие САУ. Такое графическое представление операторных уравнений в ТАУ называют структурной схемой.

Пример

По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Решение:

Получим систему операторных уравнений, подвергнув исходную систему дифференциальных уравнений преобразованию Лапласа и заменив оригиналы изображениями,

Из первого уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим

.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

,

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены два фрагмента структурной схемы

Из второго уравнения системы операторных уравнений, которое описывает динамическое звено объекта управления, после преобразований получим, вводя обозначение,

.

Тогда передаточная функция этого звена имеет вид

,

а выражение описывает суммирующее звено . Таким образом, получены еще два фрагмента структурной схемы

Соединим все фрагменты структурной схемы объекта управления, объединяя одноименные сигналы, либо разветвляя их с помощью точек ветвления, показанных на схеме. В результате получим

4. Временные характеристики динамического звена

Временной или импульсной характеристикой динамического звена называют реакцию звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид -

Рис. 4

Выясним, что представляет собой временная характеристика, то есть почему ее называют характеристикой динамического звена?

Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

Рис. 5

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

.

Таким образом

Получаем, что передаточная функция звена - это изображение по Лапласу импульсной характеристики динамического звена. В свою очередь, импульсная характеристика может быть определена по передаточной функции

,

при использовании разложения в форму Хэвисайта и обратное преобразование Лапласа.

Знание импульсной характеристики позволяет определить реакцию динамического звена на сигнал любой формы.

Для динамического звена с передаточной функцией преобразуем (5), используя теорему об умножении изображений преобразования Лапласа,

,

а если легко получить , тогда

.

Переходной характеристикой или переходной функцией динамического звена называют реакцию динамического звена на , обозначая ее как . При этом схема эксперимента имеет вид -

Рис. 6

Для анализа переходной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией

Рис. 7

В этом случае, в соответствии с (5), имеем

.

По теореме об интегрировании оригинала имеем

Переходная функция является интегралом по времени от импульсной характеристике и наоборот

.

Переходная характеристика динамического звена может быть определена по передаточной функции

5. Контрольные вопросы и задачи

1. Что такое линейное динамическое звено?

2. Как определить передаточную функцию линейного динамического звена?

3. Перечислите основные элементы структурных схем систем управления.

4. Как определить по передаточной функции динамического звена его временные характеристики: импульсную и переходную?

5. Как по переходной характеристике определить импульсную характеристику динамического звена?

6. Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Ответ: .

7. Определите передаточную функцию динамического звена по его принципиальной электрической схеме

Ответ: .

8. По математической модели объекта управления в форме системы дифференциальных уравнений определить структурную схему объекта.

Ответ:

Лекция 4

1. Частотные характеристики динамического звена

Частотной характеристикой динамического звена называют функцию комплексного аргумента , полученную путем формальной замены на в выражении передаточной функции

Получим связь частотной характеристики с известными понятиями. Для этого рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и сигналами , . Пусть , - абсолютно интегрируемые функции и равны нулю при . Тогда частотные спектры этих сигналов (преобразование Фурье) этих функций можно определить следующим образом -

.

Получим отношение спектров

.

Таким образом, частотную характеристику динамического звена можно определить как отношение спектра (преобразования Фурье) выходного сигнала к спектру входного сигнала.

Знание частотной характеристики звена позволяет определить выходной спектр по входному

.

Рассмотрим динамическое звено -

Рис. 1

Получим спектр выходного сигнала - импульсной характеристики

.

Тогда имеем

,

то есть преобразование Фурье от импульсной характеристики равно частотной характеристике динамического звена.

Частотная функция характеристика как функция комплексного аргумента может быть представлена в следующем виде -

где - действительная (вещественная) часть ,

- мнимая часть ,

- модуль (амплитуда) ,

- фаза аргумент .

Амплитуда, фаза, действительная и мнимая части частотной характеристики являются функциями частоты, поэтому частотная характеристика используется и графически представляется в виде амплитудно-фазовой, действительной, мнимой, амплитудной и фазовой частотных характеристик.

В теории автоматического управления рассматривают и используют следующие частотные характеристики динамических звеньев:

1. Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) -

.

2. Фазочастотная характеристика (ФЧХ) -

.

3. Вещественная частотная характеристика (ВЧХ) -

.

4. Мнимая частотная характеристика (МЧХ) -

.

5. Амплитудно-фазовая частотная характеристика (АФЧХ), которая определяется как годограф (след движения конца) вектора , построенный на комплексной плоскости при изменении частоты от 0 до .

На рис. 2 покажем частотные характеристики некоторого динамического звена.

Рис. 2

Для выяснения физического смысла частотной характеристики рассмотрим динамическое звено с передаточной функцией и импульсной характеристикой , на вход которого подаем гармонический сигнал .

Рис. 3

Вспомним, что решение линейного дифференциального уравнения динамического звена, в рамках классического метода, состоит из двух составляющих - свободной и установившейся.

Установившаяся составляющая в случае гармонической функции времени, стоящей в правой части уравнения, так же является гармонической функцией времени. Поэтом установившийся сигнал на выходе динамического звена можно описать следующим выражением

.

Сигнал на выходе звена определим с помощью теоремы об умножении изображений

В результате получаем

.

Для перехода к установившемуся режиму полагаем , тогда получаем

.

Но, с другой стороны, имеем по определению прямого преобразования Фурье

.

Поэтому

.

Отсюда следует простой алгоритм экспериментального определения частотной характеристики линейного динамического звена, объекта или системы управления для конкретной частоты :

1. Подать на вход объекта синусоидальный сигнал частоты и постоянной амплитуды.

2. Дождаться затухания свободной составляющей переходного процесса.

3. Измерить амплитуду выходного сигнала и сдвиг его по фазе относительно входного сигнала.

4. Отношение амплитуды выходного установившегося сигнала к амплитуде входного сигнала определит модуль частотной характеристики при частоте .

5. Сдвиг фазы выходного сигнала относительно входного сигнала определит угол (аргумент) частотной характеристики при частоте .

Применяя данный алгоритм для частот от нуля до бесконечности, можно экспериментальным путем определить частотную характеристику конкретного устройства. Функциональная схема экспериментальной установки для снятия частотных характеристик имеет вид

Рис. 4

При частоте на экране осциллографа получаем после затухания свободной составляющей следующую картину -

Рис. 5

На основании рис. 5 можно построить на комплексной плоскости точку, принадлежащую частотной характеристике устройства, а совокупность точек при изменении частоты от нуля до величины, когда амплитуда выходного установившегося сигнала станет пренебрежимо мала, будет представлять собой амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ). Как видно из рисунка, по этим данным может быть построена любая необходимая частотная характеристика устройства.

Рис. 6

Для экспериментального получения частотных характеристик различных объектов в инженерной практике используют специализированные приборы, а в последнее время широко используют для таких целей персональные компьютеры, оснащенные специализированными платами ввода-вывода и пакетами прикладных программ.

Учитывая все вышеизложенное, становится ясным и физический смысл частотной характеристики.

Она показывает, во сколько раз изменяет динамическое звено (устройство), работающее в установившемся режиме, амплитуду входной синусоиды частоты , и на какой угол сдвигает входную синусоиду по фазе.

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Как определить частотную характеристику динамического звена, если известна его передаточная функция?

2. Какие виды частотных характеристик вы знаете?

3. Как определить амплитуду и аргумент частотной характеристики?

4. Перечислите основные этапы экспериментального снятия частотной характеристики устройства.

5. Поясните физический смысл частотной характеристики линейного динамического звена.

6. Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции . Ответ: .

7. Определите выражение частотной характеристики по заданной передаточной функции . Ответ: .

8. Определите выражения амплитудной и фазовой частотных характеристик для динамического звена с передаточной функцией - . Ответ: .

9. На вход динамического звена с передаточной функцией , поступает гармонический сигнал постоянной амплитуды с частотой . На какой угол будет смещен выходной сигнал в установившемся режиме? Ответ:

Лекция 5

1. Элементарные (типовые) динамические звенья

Любая линейная САУ может быть представлена в виде передаточной функции в форме Боде

,(1)

где могут быть или действительными или комплексно-сопряженными. Рассмотрим отдельно каждый случай.

Действительные нули и полюсы

Преобразуем сомножители из (1), введя обозначения

,

в итоге имеем сомножители следующего вида -

(2)

Комплексно-сопряженные нули и полюсы

В этом случае имеем корни вида -

,

и соответствующие им сомножители

.

Введем обозначения -

,

получим сомножители следующего вида

,(3)

в числителе и знаменателе передаточной функции.

Тогда (1) с учетом (2) и (3) можно записать в следующем виде

в итоге имеем сомножители следующего вида -

.(2)

Комплексно-сопряженные нули и полюсы

В этом случае имеем корни вида -

,

и соответствующие им сомножители

.

Введем обозначения -

,

получим сомножители следующего вида

,(3)

в числителе и знаменателе передаточной функции.

Тогда (1) с учетом (2) и (3) можно записать в следующем виде

,(4)

где .

Из (4) следует, с учетом правила эквивалентного преобразования структурных схем, что линейная САУ может быть представлена в виде последовательного соединения элементарных динамических звеньев 1-го и 2-го порядка с передаточными функциями следующего вида

.(5)

Кроме того, передаточную функцию САУ можно представить в форме Хэвисайта -

.

Из чего следует, что САУ можно представить в виде параллельно соединенных звеньев с передаточными функциями вида (5). Кроме того, передаточными функциями 1-го и 2-го порядка описываются многие функциональные компоненты систем управления

Такие динамические звенья называют элементарными или типовыми звеньями, изучение их свойств и характеристик многое дает при синтезе и анализе реальных и сложных систем.

К типовым звеньям относят следующие динамические звенья:

1. Безынерционное (масштабирующее, пропорциональное) звено

.

2. Дифференцирующее звено

.

3. Интегрирующее звено

.

4. Апериодическое звено

.

5. Колебательное звено

.

6. Форсирующие звенья

.

Замечание

Следующие звенья не являются элементарными в полном смысле этого слова, но их часто относят к типовым в силу их широкого распространения.

7. Реальное дифференцирующее звено

.

8. Интегральное звено с замедлением

.

9. Пропорционально-интегральное звено

.

Характеристики (временные и частотные) типовых звеньев могут быть получены аналитически по их передаточным функциям, при этом удобно использовать сводную диаграмму, показывающую взаимосвязь математических моделей динамических звеньев.



Рис. 1

Безынерционное звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Интегрирующее звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение типового динамического звена.

2. Почему типовые динамические звенья так подробно изучают?

3. Перечислите динамические звенья, которые относят к типовым (элементарным).

4. Как по передаточной функции определить импульсную характеристику динамического звена?

5. Как по передаточной функции определить переходную характеристику динамического звена?

6. Как по передаточной функции определить частотную характеристику динамического звена?

7. Какое типовое звено смещает гармонический сигнал любой частоты на угол в сторону запаздывания?

8. Какое типовое звено смещает гармонический сигнал любой частоты на угол в сторону опережения?

9. Какое типовое звено не изменяет фазу гармонического сигнала любой частоты?

Лекция 6

1. Временные и частотные характеристики звеньев

Апериодическое звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики

,

.

Частотная характеристика

,

.

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Преобразуем передаточную функцию реального дифференцирующего звена для удобства получения временных характеристик -

.

Временные характеристики можно определить по известным характеристикам безынерционного и апериодического звеньев -

,

.

Частотная характеристика

,

.

Интегрирующее звено с запаздыванием

Передаточная функция

.

Преобразуем передаточную функцию реального дифференцирующего звена для удобства получения временных характеристик -

,

где .

Временные характеристики можно определить по известным характеристикам интегрирующего и апериодического звеньев -

,

.

Частотная характеристика

,

Пропорционально-интегрирующее звено

Передаточная функция

.

Временные характеристики можно определить по известным характеристикам безынерционного и интегрирующего звеньев -

,

.



Частотная характеристика

,

.

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Сравните характеристики дифференцирующего и реально дифференцирующего звеньев. Что в них общего, и чем они отличаются?

2. Сравните характеристики интегрирующего звена и интегрирующего звена с запаздыванием. Что в них общего, и чем они отличаются?

3. Дифференциальное уравнение, описывающее динамическое звено имеет вид - . Определите передаточную функцию типового динамического звена и его название. Ответ: Имеем апериодическое звено с передаточной функцией - ,

4. Передаточная функция динамического звена имеет вид - , как измениться амплитуда гармонического сигнала с частотой во сколько раз? Ответ: Сигнал уменьшится в 10 раз.

5. Передаточная функция динамического звена имеет вид - , как измениться фаза гармонического сигнала с частотой ? Ответ: Выходной сигнал будет опережать входной на .

6. Передаточная функция динамического звена имеет вид - . Определите угол наклона переходной характеристики этого звена. Ответ: Угол наклона составляет .

Лекция 7

1. Правила эквивалентных преобразований структурных схем систем автоматического управления

Выше были рассмотрены математические модели отдельных динамических звеньев. САУ представляет собой систему, состоящую из функциональных элементов, каждый из которых может быть представлен в виде динамического звена. То есть САУ можно представить в виде совокупности динамических звеньев с известными математическими моделями. Рассмотрим структуру типичной САУ -

где - передаточные функции соответственно объекта, датчика и регулятора, - изображения задающего, возмущающего и выходного сигналов.

В процессе анализа и синтеза САУ необходимо получать передаточные функции САУ, которые связывают выходную переменную с заданием и возмущением в САУ, по известным структурной схеме и передаточным функциям динамических звеньев, входящих в состав САУ.

Аналогичная задача возникает в том случае, когда известны частотные характеристики динамических звеньев, а необходимо определить частотные характеристики САУ, характеризующие связи между выходом и входом САУ.

Решением этих задач мы и займемся в дальнейшем.

Эта задача решается путем преобразования (сворачивания) структурной схемы к одному динамическому звену с искомой передаточной функцией на основе использования правил эквивалентных преобразований структурных схем и принципа суперпозиции (наложения).

Правила эквивалентных преобразований позволяют найти необходимую передаточную функцию САУ, свернув структурную схему к одному динамическому звену с искомой передаточной функцией.

Рассмотрим правила эквивалентных преобразований, не изменяющих свойств систем и необходимых для нахождения передаточной функции:

1. Последовательное соединение динамических звеньев.

2. Параллельное соединение динамических звеньев.

3. Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.

4. Замкнутый контур с положительной обратной связью.

5. Перенос точки ветвления через динамическое звено.

6. Перенос суммирующего звена через динамическое звено.

7. Перестановка суммирующих звеньев.

8. Перенос точки ветвления с выхода на вход суммирующего звена.

9. Перенос точки ветвления с входа на выход суммирующего звена.

2. Принцип суперпозиции (наложения)

Применим рассмотренные правила для упрощения структурной схемы



Рис. 1

Процесс преобразования, который часто называют свертыванием структурной схемы, выглядит следующим образом.

1. Перенесем суммирующее звено через динамическое звено .

2. Поменяем местами суммирующие звенья и.

3. Преобразуем последовательно включенные динамические звенья и .

4. Преобразуем замкнутый контур с отрицательной обратной связью ().

5. Перенесем суммирующее звено вправо.

6. Преобразуем последовательно включенные звенья.

В соответствии с полученной структурной схемой запишем операторное уравнение -

(1)

Уравнение показывает, что является линейной комбинацией изображений входных сигналов, взятых с коэффициентами и . Выясним смысл этих коэффициентов на примере коэффициента . Для этого положим в (1) , тогда получим -

(2)

Таким образом, из (2) следует, - это передаточная функция динамического звена, к которому свернута структурная схема в предположении, что изображения всех входных сигналов, кроме , равны нулю.

Теперь становится ясным смысл и самого операторного уравнения (1), описывающего систему. Он заключается в том, что реакция линейной системы на совместно действующие входные сигналы может быть определена в виде суммы частичных реакций, каждая из которых вычисляется в предположении, что на систему действует только один входной сигнал, а остальные равны нулю.

По сути - это формулировка фундаментального принципа, который называют принципом наложения или суперпозиции. Этот принцип можно рассматривать как дополнение к правилам эквивалентных преобразований структурных схем и активно использовать на практике.

Практически принцип суперпозиции для нахождения конкретной передаточной функции используют следующим образом. Полагают равными нулю все входные сигналы, кроме необходимого сигнала, а затем выполняют преобразование структурной схемы в одно динамическое звено.

Рассмотрим использование принципа суперпозиции на примере показанной на рис. 1 структурной схемы.

1. Полагаем и изобразим соответствующую этому случаю структурную схему.

Используя эквивалентные преобразования, получим -

.

2. Полагаем и изобразим соответствующую этому случаю структурную схему.

Используя эквивалентные преобразования, получим -

.

3. Имея , в соответствии с принципом суперпозиции получим "свернутую" структурную схему САУ.

3. Контрольные вопросы и задачи

1. Какие задачи позволяют решать правила эквивалентных преобразований структурных схем?

2. Дайте определение принципа суперпозиции применительно к структурным схемам систем автоматического управления.

3. Как используют принцип суперпозиции на практике?

4. Определите передаточные функции по следующей структурной схеме

Ответ: .

5. Определите передаточную функцию, эквивалентную структурной схеме.

Ответ: .

6. Определите передаточные функции по следующей структурной схеме

Ответ: .

7. Определите передаточные функции

по следующей структурной схеме

Ответ:

Лекция 8

уравнение дифференциальный динамический звено

1. Ориентированные графы систем автоматического управления

Математическую модель САУ можно наглядно представить с помощью ориентированных графов (орграфов).

Орграфы используются в сложных САУ, особенно при управлении и автоматизации технологических процессов в промышленности, когда описание в виде структурных схем становится громоздким и сложным для восприятия. Рассмотрим простейший орграф динамического звена САУ.

Рис. 1

Орграфом САУ является графическое представление САУ в виде совокупности вершин, соответствующих переменным, и дуг, соединяющих вершины.

Рассмотрим основные свойства орграфа:

1. Каждая дуга со стрелкой, указывающей направление распространения сигнала, изображает звено и характеризуется оператором изображаемого звена (передаточной функцией);

2. Каждой вершине, отмеченной кружком, ставится в соответствие одна из переменных САУ (изображение переменной по Лапласу);

3. Входная величина дуги равна переменной вершины, из которой эта дуга исходит;

4. Выходная величина дуги получается как результат преобразования оператором входной величины;

5. Если к вершине подходят несколько дуг, то соответствующая вершине переменная равна сумме выходных величин этих дуг (аналог суммирующего звена структурных схем);

6. Если из вершины исходит несколько дуг, то входные величины всех этих дуг одинаковы (аналог точки ветвления в структурных схемах).

Ориентированный граф (орграф) можно построить по структурной схеме и наоборот. При построении орграфа по структурной схеме необходимо придерживаться следующих правил:

1. Модифицируют структурную схему так, чтобы в сумматорах все переменные складывались с положительным знаком, отрицательные знаки вносятся в передаточные функции соответствующих звеньев;

2. Каждый сумматор структурной схемы заменяется вершиной, которой ставится в соответствие выходная переменная сумматора;

3. Каждое динамическое звено заменяется дугой с оператором, равным передаточной функции звена;

4. Каждой переменной, включая и входные воздействия, соответствует своя вершина.

Рассмотрим пример. На рис. 2 показана структурная исходная схема, на рис. 3 показан полученный орграф САУ.

Рис. 2

Рис. 3

Преобразовать орграф САУ можно, как и структурную схему, используя правила эквивалентных преобразований для орграфов, которые легко могут быть получены по аналогичным правилам для структурных схем.

5. Последовательное соединение динамических звеньев.

6. Параллельное соединение динамических звеньев.

7. Замкнутый контур с отрицательной обратной связью.

8. Замкнутый контур с положительной обратной связью.

9. Перенос точки ветвления через динамическое звено.

10. Перенос суммирующего звена через динамическое звено.

2. Использование формулы Мейсона для преобразования структурных схем и ориентированных графов

Когда структурная схема преобразована в орграф, для нахождения необходимой передаточной функции можно использовать формулу Мейсона (правило некасающихся контуров), которая позволяет получить передаточную функцию, связывающую переменные в сложных, многоконтурных САУ.

Рассмотрим общий вид формулы и поясним ее компоненты:

(1)

где - передаточная функция -го отдельного прямого пути от до , вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот путь;

- определитель орграфа.

(2)

где - передаточная функция -го замкнутого контура, вычисленная как произведение передаточных функций дуг, входящих в этот контур;

- произведение передаточных функций пары (-го и -го) замкнутых контуров, не касающихся ни дугами, ни вершинами, суммирование осуществляется по всем парам некасающихся контуров;

- произведение тройки (-го, -го и -го) некасающихся контуров, суммирование производится по всем тройкам не касающихся контуров.