Математические основы теории автоматического управления

- определитель орграфа, полученного при удалении дуг и вершин -го отдельного прямого пути, определяется по формуле (2).

Поясним использование формулы Мейсона.

В начале выявляются все отдельные прямые пути между входной и выходной переменными, для которых необходимо определить передаточную функцию. Отдельным прямым путем считается такая последовательность дуг и вершин, которая соединяет вершины, соответствующие входному и выходному сигналам. При этом отдельный прямой путь не должен пересекать в вершинах сам себя.

Далее выявляются все замкнутые контуры в орграфе САУ. Замкнутым считается такой контур, когда между двумя вершинами имеется как прямая, так и обратная связь. Передаточная функция замкнутого контура определяется как произведение передаточных функций всех дуг, входящих в контур с учетом знаков.

После того как выявлены все замкнутые контуры орграфа, необходимо проанализировать - есть ли контуры, которые не касаются ни дугами, ни вершинами, есть ли пары, тройки и т. д. таких контуров.

На основании полученного формируется определитель орграфа по формуле (2).

Определители орграфов, полученных после изъятия -х отдельных прямых путей, также формируются по формуле (2), при этом учитываются только те контуры, которые остаются после изъятия -го прямого пути. Если после изъятия прямого пути не остается ни одного замкнутого контура, определитель такого орграфа принимается равным единице.

В качестве примера определим передаточную функцию между и в структурной схеме САУ, показанной на рис. 4, полагая в соответствии с принципом суперпозиции .

Рис. 4

Преобразуем структурную схему в ориентированный граф (рис. 5).

Рис. 5

Определим прямые пути:

Определим замкнутые контуры:

Все контуры имеют общую дугу , поэтому некасающихся контуров нет. Определитель орграфа имеет вид

При изъятии 1-го или 2-го прямых путей в орграфе не сохраняется ни одного замкнутого контура, поэтому

Передаточная функция имеет вид

3. Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение орграфа динамического звена.

2. Поясните процедуру преобразования структурной схемы САУ в ориентированный граф.

3. Что называется отдельным прямым путем при использовании правила некасающихся контуров?

4. Какие замкнутые контуры называют некасающимися?

5. Определите передаточную функцию по следующей структурной схеме

Ответ:

.

6. Определите передаточную функцию по следующей структурной схеме

Ответ: .

7. Определите передаточную функцию по следующей структурной схеме

Ответ:

.

8. Определите передаточную функцию по следующей структурной схеме

Ответ: .

Лекция 9

1. Логарифмические частотные характеристики динамических звеньев

При рассмотрении и сравнение частотных характеристик амплитудных и фазочастотных для устройств различных видов возникает проблема их компактного представления, так как значения амплитуд и частот (см. рис. 1) существенно различаются друг от друга. Кроме того, и сама величина диапазона частот, в котором характеристики конкретного устройства представляют интерес, может быть весьма значительна, от долей герц до десятков мегагерц.

Рис. 1

Решение этой проблемы лежит в использовании логарифмических масштабов в частотных характеристиках.

Впервые обратились к логарифмическим масштабам в технике связи, так как там рассматриваются объекты, как с большими коэффициентами усиления, так и объекты которые характеризуются существенным затуханием сигналов.

В технике связи используют понятие коэффициента передачи по мощности для четырехполюсника, показанного на рис. 2,

Рис. 2

.

Значительный диапазон изменения этого коэффициента и заставил использовать логарифмическое представление, логарифмический коэффициент передачи по мощности -

(1)

Логарифмический коэффициент усиления по мощности измеряют специальными единицами, которые носят название Белл (Б).

1 Белл соответствует усилению мощности в 10 раз.

Чаще используют единицу в десять раз меньшую - децибел (дБ).

.

При определении логарифмического коэффициента в децибелах, выражение (1) принимает вид -

.

Логарифмический коэффициент усиления можно выразить через отношение выходного и входного напряжений при одинаковых нагрузочных сопротивлениях

.

Такое представление коэффициента усиления используют в теории автоматического управления для измерения амплитуды частотной характеристики в децибелах -

(2)

По оси частот в теории автоматического управления так же используют логарифмический масштаб на основе десятичного логарифма частоты.

При этом ось частот будет иметь следующий вид -

Рис. 3

Изменение частоты в десять раз называют декадой. Причем на оси частот, при ее логарифмическом масштабе, принято обозначать значения частоты в рад/с, иногда в герцах, особенно это принято в радиотехнике и в инженерной практике.

Особо отметим, что логарифмическая шкала не имеет нуля и может пересекаться вертикальной осью в любом месте, что особенно важно тем, что дает возможность рассматривать частотные свойства динамических звеньев и конкретных устройств в необходимом диапазоне изменения частот, где характеристика представляет интерес для исследователя.

Теперь дадим определение логарифмическим частотным характеристикам.

Логарифмической амплитудной частотной характеристикой (ЛАЧХ) динамического звена называют такое представление амплитудной частотной характеристики (АЧХ), в котором модуль (амплитуда) частотной характеристики выражен в децибелах, а частота - в логарифмическом масштабе.

Логарифмической фазовой частотной характеристикой (ЛФЧХ) динамического звена называют такое представление фазочастотной характеристики (ФЧХ) , в котором частота выражена в логарифмическом масштабе.

Довольно часто ЛАЧХ И ЛФЧХ строятся на одном графике, чтобы давать полное представление о свойствах объекта, покажем на рис. 4 примерный вид и оформление ЛАЧХ и ЛФЧХ некоторого инерционного объекта.

2. Логарифмические частотные характеристики элементарных динамических звеньев

Безынерционное звено

Передаточная функция -

.

Частотная характеристика -

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

Дифференцирующее звено

Передаточная функция -

.

Частотная характеристика -

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

Для удобства построения определим точку, где ЛАЧХ пересекает ось частот -

.

Определим наклон ЛАЧХ

,

то есть, получаем, что ЛАЧХ получает приращение 20 децибел на интервале частот в 1 декаду.

Интегрирующее звено

Передаточная функция -

.

Частотная характеристика -

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

Для удобства построения определим точку, где ЛАЧХ пересекает ось частот -

.

Определим наклон ЛАЧХ

,

то есть, получаем, что ЛАЧХ получает уменьшение на 20 децибел на интервале частот в 1 декаду.

3. Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение величине в 1 Белл.

2. Каким образом вычисляется логарифмический коэффициент усиления по мощности для четырехполюсников?

3. Что определяет понятие "декада" применительно к логарифмическим частотным характеристикам?

4. Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристике.

5. Дайте определение логарифмической амплитудной частотной характеристике.

6. Перечислите основные достоинства логарифмических частотных характеристик по сравнению с обычными частотными характеристиками.

7. Передаточная функция звена - , как зависит от частоты ЛАЧХ этого звена? Определите ЛАЧХ этого звена. Ответ: ЛАЧХ не зависит от частоты, .

8. Передаточная функция звена - , определите значение ЛАЧХ этого звена при частоте . Ответ: .

9. Передаточная функция звена - , определите наклон ЛАЧХ этого звена. Ответ: Наклон ЛАЧХ этого звена составляет .

Лекция 10

1. Логарифмические частотные характеристики систем автоматического управления

Апериодическое звено

Передаточная функция -

.

Частотная характеристика -

,

АЧХ и ФЧХ

.

Логарифмические характеристики

В этом случае, при частоте -

Имеем

.

Рассмотри для апериодического звена два характерных диапазона:

(1)

(2)

,

.

Выражения (1) и (2) представляют собой уравнения прямых линий - асимптот, к которым стремиться ЛАЧХ при удалении от точки их сопряжения . Как мы увидим в дальнейшем, при синтезе и анализе систем бывает удобнее пользоваться не точными, а асимптотическими характеристиками.

Как мы увидели при работе с простейшими типовыми звеньями, частотные характеристики могут быть получены по передаточной функции. В более сложных случаях, при решении задач синтеза и анализа САУ возникает потребность в получении характеристик САУ по известным характеристикам звеньев, входящих в САУ.

Наиболее часто используется случай, когда звенья в САУ включаются последовательно, как это показано на рис. 1.

Рис. 1

В соответствии с правилами эквивалентных преобразований передаточная функция всей САУ будет иметь вид -

.

Получим частотную характеристику САУ

Следовательно,

АЧХ САУ -

(3)

ФЧХ САУ

(4)

Получим по выражениям (3) и (4) логарифмические характеристики САУ:

ЛАЧХ -

(5)

ЛФЧХ -

(6)

Таким образом, логарифмические частотные характеристики САУ могут быть определены, как сумма логарифмических частотных характеристик последовательно включенных составляющих САУ звеньев. Логарифмические масштабы и использование асимптот позволяет осуществить суммирование графически.

В ТАУ так же используются свойства логарифмических частотных характеристик динамических звеньев, передаточные функции которых взаимообратные -

.

Пусть частотные характеристики звена известны:

Частотная характеристика -

,

ЛАЧХ -

,

ЛФЧХ -

.

Тогда частотные характеристики звена имеют вид:

Частотная характеристика -

,

ЛАЧХ -

,

ЛФЧХ -

.

Таким образом, ЛАЧХ и ЛФЧХ взаимообратных динамических звеньев расположены симметрично относительно оси частот, подтверждением чему служат полученные ранее ЛАЧХ и ЛФЧХ дифференцирующего и интегрирующего звеньев.

Пример

Для САУ была определена передаточная функция. Следует определить ЛАЧХ САУ.

.

Решение

Представим САУ в виде последовательно включенных динамических звеньев

Получим асимптотические ЛАЧХ для каждого апериодического звена

Используя свойства ЛАЧХ взаимообратных звеньев, получим асимптотические ЛПЧХ форсирующих звеньев .

Получим асимптотическую ЛАЧХ САУ выполнив графическое суммирование ЛАЧХ звеньев

.

Задачу существенно упрощает то, что асимптотические графики звеньев имеют участки с целочисленным наклоном.

Получим ЛАЧХ и ЛФЧХ типовых звеньев, используя рассмотренное выше.

Реальное дифференцирующее звено

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде

Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид -

,

.

Интегрирующее звено с запаздыванием

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде

Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид -

,

.

Пропорционально-интегральное звено

Передаточная функция

.

Представим звено в следующем виде

Тогда ЛАЧХ и ЛФЧХ имеют вид -

,

.

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Как можно использовать для получения частотных характеристик системы то, что систему можно представить в виде параллельно включенных типовых динамических звеньев?

2. Как соотносятся ЛАЧХ и ЛФЧХ динамических звеньев, передаточные функции которых являются взаимообратными?

3. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить реально дифференцирующее звено, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

4. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить интегрирующее звено с запаздыванием, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

5. На какие последовательно включенные типовые динамические звенья следует разбить пропорционально интегрирующее звено, чтобы получить его асимптотическую ЛАЧХ и ЛФЧХ?

6. Передаточная функция звена - , При какой частоте ЛФЧХ будет иметь значение . Ответ: При частоте.

7. Передаточная функция звена - , Как при частоте будут отличаться точная и асимптолическая ЛАЧХ этого звена? Ответ: Асимптотическая ЛАЧХ будет меньше точной на .

8. Передаточная функция объекта имеет вид - , Постройте асимптотическую ЛАЧХ объекта? Ответ:



Лекция 11

1. Временные и частотные характеристики колебательного звена

Колебательное звено является элементарным динамическим звеном второго порядка, обладает тремя варьируемыми параметрами. Поэтому его характеристикам уделим более пристальное внимание. Тем более, что колебательным звеном описываются достаточно сложные элементы электромеханических систем и электроприводов, на пример, такой распространенный элемент как электродвигатель постоянного тока.

Передаточная функция колебательного звена -

(1)

где - коэффициент усиления, - постоянная времени, - коэффициент затухания.

Отличительной особенностью колебательного звена является то, что оно меняет не только свои свойства, но и название в зависимости от величины коэффициента затухания:

· если - звено называют колебательным, так как его временные характеристики носят колебательный характер;

· если - звено называют инерционным (апериодическим) звеном второго порядка, так как его временные характеристики носят монотонный характер, то есть колебания отсутствуют;

· если - звено называют консервативным, так как его временные характеристики имеют вид незатухающих колебаний, говорят, звено консервирует колебания.

Получим временные характеристики колебательного звена. Для этого преобразуем его передаточную функцию (1), вводя обозначения - - показатель затухания,

- угловая частота колебаний,

(2)

Из таблиц преобразования Лапласа имеем -

Теперь мы можем определить импульсную характеристику колебательного звена -

(3)

Примерный вид импульсной характеристики показан на рис. 1.

Рис. 1

Определим переходную характеристику колебательного звена -

(4)

Примерный вид переходной характеристики показан на рис. 2.

Рис. 2

По рис. 1 и 2 можно легко судить, как влияют параметры колебательного звена временные характеристики.

Подвергнем более подробному анализу временные характеристики колебательного звена для случая , то есть, определим временные характеристики консервативного звена.

Передаточная функция консервативного звена имеет вид -

,

- угловая частота колебаний,

- показатель затухания.

тогда выражения временных характеристик (3) и (4) примут следующий вид -

(5)

(6)

Примерный вид характеристик консервативного звена показан на рис. 3 и 4.

Рис. 3

Рис. 4

Определим частотную характеристику колебательного звена.

(6)

ВЧХ -

(7)

МЧХ -

(8)

АЧХ -

(9)

ФЧХ -

(10)

Построим ВЧХ и МЧХ на одном графике, примерный вид характеристик показан на рис. 5.

Рис. 5

Примерный вид АФЧХ показан на рис. 6.

Рис. 6

Примерный вид АЧХ и ФЧХ показан на рис. 7 и 8, функция АЧХ имеет экстремум () при

.



Рис. 7

Рис. 8

Рассмотрим частотные характеристики консервативного звена ().

.

При характеристики (см. рис. 9) имеют разрыв

.



Рис. 9

Определим ФЧХ консервативного звена -

Примерный вид ФЧХ показан на рис. 10.

Рис. 10

Определим логарифмические характеристики колебательного звена.

(11)

Определим асимптотическую ЛАЧХ колебательного звена

Наклон асимптоты -

.

Максимальное отклонение асимптотической ЛАЧХ от точной -

.

Примерный вид ЛАЧХ и ЛФЧХ показан на рис. 11.

Рис. 11

Для получения временных характеристик инерционного звена второго порядка () пригодны и выражения (3) и (4), полученные выше для колебательного звена. Но они могут быть получены и иначе.

Если , можно преобразовать передаточную функцию звена -

(12)

где .

Звено с передаточной функцией в виде (12), можно представить в идее двух апериодических звеньев, включенных последовательно, как это показано на рис. 12.

Рис. 12

Импульсные характеристики этих звеньев имеют вид -

.

Тогда импульсная характеристика инерционного звена второго порядка может быть получена с использованием теоремы преобразования Лапласа об умножении изображений -

(13)

Переходную характеристику получим, интегрируя (13) -

(14)

Примерный вид временных характеристик инерционного (апериодического) звена второго порядка показан на рис. 13.

Рис. 13

Получим асимптотическую ЛАЧХ для инерционного звена второго порядка, представляя его в виде двух последовательно включенных апериодических звеньев, (см. рис. 12).

На рис. 14 и 15 показаны ЛАЧХ инерционного звена второго порядка.

Рис. 14

Рис. 15

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Как изменяется и в зависимости от чего название колебательного звена?

2. Передаточная функция звена - . Определите частоту колебаний временных характеристик этого звена. Ответ: Частота колебаний .

3. Передаточная функция звена - . Определите показатель затухания временных характеристик этого звена. Ответ: Показатель затухания .

4. Передаточная функция звена - . Определите частоту колебаний временных характеристик этого звена. Ответ: Частота колебаний .

5. Сколько квадрантов проходит АФЧХ колебательного звена? Ответ: Два квадранта.

6. На какой частоте имеет разрыв АЧХ консервативного звена, если его передаточная функция имеет вид - . Ответ: Частота разрыва АЧХ .

7. На какой угол сдвигает гармонический сигнал с частотой динамическое звено с передаточной функцией - , и чему равно значение АЧХ при этой частоте? Ответ: Угол сдвига фазы составляет , значение АЧХ - .

Лекция 12

1. Понятие многомерной системы

Рассмотрим определение многомерной системы, используемое в теории управления.

Многомерными системами называют системы управления, в которых имеются несколько, больше одной, управляемых переменных величин.

Одномерная система характеризуется тем, что контролируется (измеряется, регулируется) лишь одна переменная величина объекта управления. Рассмотрим структуру типичной одномерной системы управления на примере управления скоростью вращения электродвигателя.

Рис. 1

В системе, показанной на рис. 1 объектом управления (ОУ) является электродвигатель (Д). На двигатель воздействует преобразователь энергии (ПЭ), приводящий двигатель в движение и изменяющий скорость посредством величины напряжения (), подводимого к двигателю. На двигатель так же воздействует рабочая нагрузка, создающая на валу двигателя момент (), приводящий к изменению скорости () в отличие от заданной скорости (). В процессе работы двигателя, при изменении нагрузки будет меняться и скорость, что является недопустимым с точки зрения требований к качеству выпускаемой продукции, на пример, скорость подачи металлорежущего станка. В функции отклонения скорости от задания регулятор (Р) воздействует на преобразователь энергии таким образом, чтобы снизить отклонение скорости.

В этом случае, как система управления в целом, так и объект управления, представляются в виде математической модели, имеющей скалярные вход, выход и возмущающее воздействие.

Для анализа и синтеза в таких системах используют математические модели в виде дифференциальных уравнений, передаточных функций, структурной схемы, частотных и временных характеристик, которые были рассмотрены в нашем курсе ранее.

Общая тенденция развития промышленных устройств состоит в повышении качества и снижении затрат. При повышении качества управления приходится учитывать большее число возмущающих факторов и требуется управлять несколькими переменными объекта. Это должно обеспечивать требования к точности, динамичности, стабильности и экономичности процесса движения вала двигателя. Тогда и объект управления (двигатель) и система управления рассматривается как многомерные.

Структура системы управления скоростью двигателя принимает вид, показанный на рис. 2.



Рис. 2

Как мы видим здесь в качестве контролируемых переменных двигателя не только скорость, но и угол поворота вала , что часто требуется при точном останове вала. Также контролируют нагрузку двигателя по потребляемому току , экономичность по коэффициенту полезного действия , нагрев двигателя по температуре двигателя . На систему действует возмущение, имеющее так же несколько компонент: момент нагрузки, температура окружающей среды , что важно для установок, работающих на открытом воздухе, и отклонение параметров питающего преобразователь энергии источника энергии, что важно для автономных установок. В этом случае управляющее воздействие на двигатель так же является векторной величиной . И таким образом обстоит дело не только в системах электропривода, но и в целом, при разработке систем автоматизации промышленных установок.

Во многих случаях разработки промышленных установок решается задача обеспечения заданного качества технологического процесса при минимизации энергетических и экономических затрат. При этом необходимо не только учитывать многочисленные возмущающие объект управления факторы, но и использовать несколько точек приложения управляющих воздействий.

Рассмотрим наиболее характерные примеры многомерных систем в различных отраслях промышленности.

На рис. 3 показана примерная структура установки, которая реализует процесс обработки гибких материалов. Такая структура является характерной для обработки таких материалов, как нить, проволока, ткань, тонколистовой металл, пленки, многослойные материалы.

Рис. 3

Основная задача таких систем - это стабилизация скорости обработки материала с обеспечением отсутствия деформации материала. Для этого максимальное количество вращающихся роликов оснащают регулируемыми приводами, чтобы с помощью управляющих воздействий - соотношений скоростей , воздействовать на линейные скорости , а тем самым и на другие параметры обрабатываемого материала, особенно это важно в тех случаях, когда материал является легко деформируемым, на пример, обработка марли или бинтов в текстильной промышленности.

На рис. 4 показана типичная кинематическая схема промышленного робота для манипулирования и транспортирования предметов.

Рис. 4

Основная задача таких систем перемещение схвата манипулятора в заданную точку пространства рабочей зоны робота ( ). Эту задачу можно реализовать, воздействуя на величины углов поворота и перемещения в сочленениях манипулятора (), с помощью электромеханических, пневматических или гидравлических приводов.

Таким образом, здесь также мы имеем объект и систему с большим числом входных воздействий, то есть многомерную систему.

Обобщенная структура таких многомерных систем будет иметь вид, показанный на рис. 5.



Рис. 5

Блок формирования управления (ФУ) преобразует задания оператора в вектор управления системой . Блок регуляторов (Р), действующий в функции отклонений измеренных регулируемых величин от заданных, управляет преобразователями энергии (ПЭ), которые осуществляют управляющие воздействия на объект управления (ОУ). На объект управления действуют возмущающие воздействия .

Мы видим, что в этом случае многомерная система имеет векторный характер входов, выходов и возмущающих воздействий, что хорошо иллюстрирует рис. 6.

Рис. 6

На рис. 6 показаны векторы -

Как и в случае с одномерными (скалярными) системами ограничимся рассмотрением линейных систем управления.

Многомерные системы и объекты управления называют линейными и стационарными, если они описываются системой линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

В настоящее время в практике анализа и синтеза многомерных систем сложились два подхода к проблеме получения математической модели таких систем.

Первый подход

Многомерная система рассматривается, как многосвязная совокупность динамических звеньев и представляется в виде структурной схемы или ориентированного графа.

Второй подход

Учитывая векторный характер связей между функциональными элементами САУ, при построении математических моделей используют векторно-матричное представление уравнений и структурных схем, описывающих объект управления или систему в целом.

В рамках этого подхода существует деление математических моделей на две группы.

Математические модели в частотной области

Они базируются на операторной форме представления уравнений и использовании преобразования Лапласа. Это таки модели как

· матричные структурные схемы,

· передаточные матрицы, которые иногда называют эквивалентными матрицами или матрицы "вход-выход".

Математические модели во временной области

Они базируются на векторно-матричной форме представления систем линейных дифференциальных уравнений первого порядка, широком использовании понятий и методов теории пространства состояний.

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Какую систему автоматического управления или объект управления называют многомерными?

2. Какие многомерные системы называют линейными стационарными?

3. Какова размерность вектора регулируемых переменных манипулятора промышленного робота, показанного на рис. 4, с точки зрения обобщенной структуры многомерных систем, показанной на рис. 5?

4. Какие модели многомерных объектов или систем управления относят к моделям во временной области?

5. Какие модели многомерных объектов или систем управления относят к моделям в частотной области?

Лекция 13

1. Структурные матричные схемы и передаточные матрицы

Матричные структурные схемы

Матричные структурные схемы являются по сути компактным графическим представлением классической структурной схемы многомерного объекта или системы управления. Они основываются на операторной форме представления уравнений, на замене реальных сигналов их изображениями по Лапласу.

Используя несколько уровней представления схем, различающихся степенью агрегатирования (объединения) связей и элементов системы.

Рассмотрим различные уровни представления матричных структурных схем на примере некоторой обобщенной структуры многомерной системы автоматического управления.

I уровень

На рис. 3 показаны - векторы изображений переменных,

Рис. 1

,

- матрицы передаточных функций,

,

,

.

На показанной на рис. 1 матричной структурной схеме суммирующие элементы, матричные звенья и точки ветвления выполняют те же функции, что и на обычных структурных схемах. Поэтому в соответствии со схемой можно записать систему матричных уравнений -

II уровень

Рассмотри второй уровень, полагая для матричной структурной схемы .

Рис. 2

Рассмотрим на этом уровне ОУ, описываемый матрицей

(1)

Перейдем от матричных уравнений к скалярным -

,

(2)

Из последнего выражения видно, что передаточная функция в соответствии с принципом суперпозиции является передаточной функцией между -м входом и -м выходом, при отсутствии сигналов на всех входах, кроме -го.

III уровень

Рассмотри третий уровень матричной структурной только для объекта управления. На основании полученной для объекта системы операторных уравнений (2) можно изобразить структурную схему объекта управления.

Рис. 3

Из предложенного примера уровней сложности матричной структурной схемы видно, что представление даже не очень сложных многомерных систем управления в виде схем III уровня, то есть в виде классических структурных схем, приводит к громоздкому графическому представлению, не отражающему характерных связей и функциональных элементов системы.

Передаточные матрицы

Передаточные или эквивалентные матрицы относятся к моделям типа "вход-выход" и представляют собой матрицы, связывающие вход и выход многомерной системы. На рис. 4 показана многомерная система.

Рис. 4

Матричное операторное уравнение описывающее систему имеет вид -

,

где - передаточная или матрица системы, компонентами, которой будут передаточные функции, связывающие компоненты векторов входа и выхода системы.

Аналогами эквивалентных матриц в одномерных системах являются передаточные функции, связывающие вход и выход объекта или системы. Матрицы из рассмотренной выше матричной структурной схемы (см. рис. 1) являются, по сути, передаточными матрицами многомерных функциональных элементов системы.

Эквивалентные матрицы многомерных систем могут быть получены двумя способами.

1. Определяются передаточные функции, связывающие соответствующие входы и выходы системы. То есть матрица определяется по ее компонентам. Компоненты определяются известными способами в соответствии с принципом суперпозиции.

2. Передаточные матрицы определяются в результате эквивалентных преобразований матричных структурных схем или по матричным операторным уравнениям. Преобразование матричных структурных схем осуществляется в соответствии с правилами эквивалентных преобразований обычных структурных схем, необходимо лишь учитывать специфику операций с векторами и матрицами (не соблюдение коммутативного закона, замена деления умножением на обратную матрицу, понятие единичной и нулевой матрицы и т. п.).

В качестве примера найдем передаточную матрицу, связывающую вход и выход рассматриваемой выше системы (рис. 1), при этом полагаем в соответствии с принципом суперпозиции, что сигнал возмущения отсутствует (). Тогда структурная схема примет вид, показанный на рис. 5.

Рис. 5

Определим , удовлетворяющую следующему матричному операторному уравнению -

.

Для определения воспользуемся преобразованием матричных операторных уравнений, которые могут быть записаны по матричной структурной схеме.

 (3)

(4)

(5)

Подставим из (4) в (3)

(6)

Подставим из (5) в (6)

(7)

Раскроем скобки в правой части (7)

(8)

Перенесем слагаемое с из правой части выражения (8) в левую часть

(9)

Вынесем за скобку вправо

(10)

где - единичная матрица -го порядка.

Если

,

тогда матрица

,

является невырожденной и от нее может быть получена обратная матрица -

(11)

Умножим левую и правую части уравнения (10) справа на обратную матрицу (11), после несложных преобразований получаем -

Тогда получаем окончательно -

.

Следовательно

(12)

По выражению (12), зная выражения матриц элементов системы, всегда можно определить передаточную матрицу системы в целом.

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Дайте определение матричной структурной схеме.

2. В каких формах могут быть представлены матричные структурные схемы?

3. Определите вектор , если вектор имеет вид - , векторы связаны уравнением - , где . Ответ: .

4. По матричному уравнению , определите . Ответ:

5. Объект управления описывается передаточной матрицей - , которая связывает векторы - . Изобразить структурную схему, связывающую компоненты векторов . Ответ:

6. Дайте определение передаточной (эквивалентной) матрицы.

7. Дайте определение компонентам передаточной матрицы объекта управления.

8. Какими способами могут быть определены передаточные матрицы многомерных объектов.

9. Для многомерной системы, показанной на рис. 1, определите передаточную матрицу, связывающую векторы и . Ответ: .

Лекция 14

1. Математические модели в пространстве состояний

Основу математической модели многомерной системы во временной области составляет векторно-матричная форма записи системы дифференциальных уравнений первого порядка, которая носит название уравнения состояния. Уравнение состояния имеет вид -

(1)

где -- вектор состояния размерности , который включает в себя переменные объекта, однозначно определяющие его состояние,

-- вектор управления или входа размерности , который включает в себя сигналы, действующие на систему извне,

-- матрицы параметров, включающие в себя параметры системы, размерность которых соответственно ,

-- порядок системы.

Иногда уравнение состояния (1) записывают в развернутой форме -

.

Уравнение состояния и структура полностью описывают объект управления, вектор состояния содержит переменные объекта, которые однозначно описывают его состояние.

Но в реальных системах многие компоненты не могут быть измерены или наблюдаемы с помощью датчиков. Эту ситуацию разрешает введение дополнительного уравнения выхода, которое определяет те переменные, которые доступны для наблюдения (на выходе системы) -

(2)

где -- вектор выхода размерности , который содержит переменные объекта, доступные для наблюдения,

-- матрица параметров размерности -

в системах управления

Уравнение выхода (2) также можно записать в развернутой форме

Графически уравнение состояния и уравнение выхода могут быть представлены в виде, показанном на рис. 1.

Рис. 1

Символ интегрирования на схеме означает покомпонентное интегрирование векторной величины.

В общем виде пространство состояний -- мерной системы задается радиус-вектором в координатной системе, оси которой определяются компонентами вектора состояния, как это показано на рис. 2.

Рис. 2

Рассмотрим несколько примеров представления процессов в пространстве состояний.

Пример

Рассмотрим в пространстве состояний процесс пуска электродвигателя (М) постоянного тока с постоянными магнитами, принципиальная схема установки показана на рис. 3. Пуск производится подключением с помощью контакта (К) напряжения , при этом в цепи будет протекать ток и двигатель будет вращать вал с нагрузкой (Н) со скоростью , ток и скорость определяются с помощью датчиков соответственно ДТ ДС.



Рис. 3

Состояние двигателя в данном случае однозначно определяется током и скоростью двигателя, поэтому вектор состояния задаем в следующем виде -

.

Вектор входа будет иметь только одну компоненту . Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 4.

Рис. 4

На рис. 4 введены обозначения: -- установившиеся значения соответственно скорости и тока, - максимальное значение тока при пуске.

Сформируем двухмерное пространство состояний двигателя с траекторией движения конца вектора состояния в процессе пуска, для этого откладываем проекции вектора, то есть ток и скорость, в одинаковые моменты времени.

Рис. 5

Пример

Рассмотрим в пространстве состояний процесс позиционирования, то есть перемещения вала в заданное положение , в автоматизированном электроприводе, показанном на рис. 6.

Рис. 6

В этом случае состояние двигателя и всей системы электропривода в целом определяют три переменные двигателя ток , скорость и положение вала -

.

Графики изменения во времени переменных двигателя показаны на рис. 7.

Рис. 7

Сформируем трехмерное пространство состояний электропривода с траекторией движения конца вектора состояния в процессе позиционирования по временным графикам изменения компонент вектора состояния.

Рис. 8

Теперь рассмотрим получения математической модели многомерного объекта в виде уравнений состояния на примере двухмассовой упругой механической системы, показанной на рис. 9.

Рис. 9

Двухмассовая упругая система представляет собой механическую систему, состоящую из двух вращающихся масс с моментами инерции и . К каждой массе прикладывается извне момент ( и ), массы соединены валом, обладающим упругими свойствами (), массы вращаются со скоростями и .

Система дифференциальных уравнений, описывающих систему, имеет вид -

(3)

где - разность углов положения первой и второй масс.

Так как уравнения состояния (1) и выхода (2) имеют единый для всех линейных систем вид, поэтому, чтобы определить их для конкретной системы мы должны выполнить следующее:

· задать векторы состояния и входа, определив тем самым порядок системы и порядок вектора входа,

· определить матрицы параметров уравнений.

Состояние системы определяется тремя переменными , поэтому задаем вектор состояния следующего вида -

.

Порядок системы . Заметим, что положение переменных в векторе состояния можно задать произвольно, но в дальнейшем изменять его нельзя. Вектор входа определяется сигналами, действующими на систему извне, а это - моменты и , поэтому вектор входа имеет вид -

.

Порядок вектора выхода . Здесь также порядок следования компонент может быть произвольным, но фиксированным в дальнейших операциях.

Преобразуем уравнения системы (3) к форме Коши -

(4)

Нам требуется получить уравнение состояния для системы третьего порядка с вектором входа второго порядка, посмотрим, что представляет собой это уравнение в общем виде -

.

Раскрывая матричные скобки, получим -

(5)

Теперь можно сформулировать задачу следующего этапа. Необходимо привести систему (4) в виду (5), для этого следует:

· расположить уравнения в порядке следования компонент в векторе состояния,

· расположить слагаемые в правых частях слева на право в порядке следования сначала компонент вектора состояния, затем вектора входа,

· отсутствующие слагаемые заменяем произведениями переменных на нулевые коэффициенты.

В результате коэффициенты в правых частях при соответствующих компонентах векторов состояния и входа будут компонентами искомых матриц уравнения состояния.

Преобразуем систему (4) к виду (5), в результате получим -

(6)

В результате по коэффициентам слагаемых в правых частях (6) получим искомые матрицы параметров уравнения состояния -

Уравнение состояния в развернутом виде -

Вид уравнения выхода определяется тем, какие компоненты вектора состояния доступны для наблюдения. В электромеханических системах электроприводов, эквивалентом которых является упругая двухмассовая система, возможны три варианты датчиковых систем (полагаем датчики безынерционными, а коэффициенты преобразования датчиков единичными):

1. Датчики скорости установлены на обеих массах. Тогда имеем следующее уравнение выхода -

То есть имеем ,



2. Датчик скорости установлен на первой массе, уравнение выхода -

,

3. Датчик скорости установлен на второй массе, уравнение выхода -

,

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Перечислите компоненты уравнения состояния (векторы и матрицы), их размерности.

2. Поясните смысл уравнения выхода, перечислите компоненты и их размерности.

3. По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему - , полагая векторы состояния и входа - , записать уравнение состояния в развернутой форме. Ответ: .

4. По уравнению состояния , описывающему многомерную систему, определить систему дифференциальных уравнений, связывающих компоненты векторов состояния и входа. Ответ: .

5. По системе дифференциальных уравнений, описывающих многомерную систему - полагая векторы состояния и входа - , записать уравнение состояния в развернутой форме. Ответ: .

Лекция 15

1. Взаимосвязь видов математических моделей многомерных систем

Выше были рассмотрены два вида моделей многомерной системы. Установим связь между этими двумя видами. Так как исходной базой для математических моделей являются дифференциальные уравнения, то логичным будет определить связь уравнений состояния с передаточными матрицами САУ. Для этого применим преобразование Лапласа к уравнениям состояния и выхода

(1)

(2)

при нулевых начальных условиях, заменим оригиналы переменных изображениями по Лапласу и получим систему векторно-матричных операторных уравнений

(3)

Определим связь между вектором входа и векторами состояния и выхода. Из первого уравнения системы (3) имеем -

и если матрица не вырожденная, то есть , получим -

 (4)

Откуда следует, что

(5)

Подставив (4) в (3), получаем -

,

В результате получаем -

(6)

Вспомним, что компонентами эквивалентных матриц являются передаточные функции системы. Следовательно, выражения (5) и (6) представляют собой универсальные формулы для вычисления всех необходимых для анализа передаточных функций многомерной системы, по которым могут быть получены структурные схемы и частотные характеристики.

Заметим, что каждый элемент эквивалентных матриц (передаточных функций) имеет, по определению обратной матрицы, сомножитель -

То есть полином является общим знаменателем для всех передаточных функций, а уравнение -

 (7)

является характеристическим уравнением системы.

Таким образом, мы не только получили связь между математическими моделями во временной и частотной областях, но и универсальные выражения для определения передаточных функций и характеристических уравнений любых линейных объектов или систем управления. Исходными параметрами для выражений (5),(6) и (7) являются матрицы параметров уравнений состояния и выхода. Выполнить преобразования (5),(6) и (7) можно с помощью компьютера, имеющего программы символьной математики, на пример, такие, как Mathematica 3.0 (4.0), разработанные Wolfram Research. в системах второго и третьего порядка эти преобразования можно производить и вручную.

Рассмотрим несколько примеров получения и преобразования моделей.

Пример

Рассмотрим объект, принципиальная электрическая схема которого показана на рис. 1.

Рис. 1

Выполним для этого объекта следующие задачи:

1. Получить уравнение состояния.

2. Определить характеристическое уравнение объекта.

3. Определить передаточную матрицу объекта.

Получение уравнения состояния

Запишем дифференциальные уравнения, описывающие процессы в схеме

(8)

Зададим векторы состояния и входа:

Получаем, что . Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:

(9)

Раскроем в (9) матричные скобки:

(10)

Приведем систему уравнений (8) к виду (10), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:



Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния

.

Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид -

(11)

Определение характеристического уравнения объекта

Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (11), используя выражение (7) -

(12)

Подставив в (12) выражения для матрицы параметров и единичной матрицы , получим характеристическое уравнение

(13)

Определение передаточной матрицы объекта

Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:

(14)

Матрица может быть определена из (13)

.

Определим обратную матрицу, помня о том, - адъюнкт исходной матрицы представляет собой транспонированную матрицу алгебраических дополнений элементов матрицы, а алгебраические дополнения определяются для каждого элемента исходной матрицы по следующему выражению -

,

где - минор исходной матрицы, полученный вычеркиванием -- ой строки и -го столбца.

.

Окончательно получаем -

Следовательно, получаем передаточные функции объекта

.

Пример

Электродвигатель постоянного тока независимого возбуждения (с постоянными магнитами) как объект управления описывается следующей системой дифференциальных уравнений -

(15)

где - напряжение, подаваемое на двигатель, - скорость и ток двигателя, - параметры двигателя, соответственно момент инерции, сопротивление и индуктивность обмотки якоря, конструктивный коэффициент.

Получение уравнения состояния

Зададим векторы состояния и входа:

Получаем, что . Запишем уравнение состояния в развернутой форме для нашего случая:

(16)

Раскроем в (16) матричные скобки:

(17)

Приведем систему уравнений (15) к виду (17), используя при отсутствии переменной в правых частях нулевые коэффициенты:

Теперь известны все компоненты матриц параметров, и можно записать уравнение состояния в развернутой форме

.

Следовательно, матрицы параметров имеют следующий вид -

(18)

Определение характеристического уравнения объекта

Характеристическое уравнение системы определим по матрицам параметров уравнения состояния (18), используя выражение (7) -

(19)

Подставив в (19) выражения для матрицы параметров и единичной матрицы , получим характеристическое уравнение

(20)

Определение передаточной матрицы объекта

Определим эквивалентную матрицу передаточных функций, которая связывает векторы состояния и управления по выражению (5), которое для нашего случая имеет вид:

(21)

Матрица может быть определена из (20)

.

Определим обратную матрицу -

.

Окончательно получаем -

Следовательно, получаем передаточные функции объекта

2. Контрольные вопросы и задачи

1. Поясните, как связаны между собой модели во временной и частотной области?

2. Как определить по уравнению состояния характеристическое уравнение?

3. Как определить по уравнению состояния матрицу передаточных функций системы?

4. По уравнению состояния , описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы. Ответ: .

5. По уравнению состояния , описывающему многомерную систему, определить характеристическое уравнение системы. Ответ: .

6. По уравнению состояния , описывающему многомерную систему, определить матрицу передаточных функций системы. Ответ: .

Лекция 16

1. Методы оценки качества систем управления

К процессам систем автоматического управления предъявляются три основные группы требований:

1. Требования по точности в установившихся режимах.

2. Требования к устойчивости.

3. Требования к качеству переходных процессов.

Кроме этих к системам на практике так же предъявляются требования технико-экономического характера, связанные со спецификой объекта управления или технологического процесса.

В нашем курсе мы будем рассматривать только требования к качеству переходных процессов, динамики систем, как вопрос не только тесно связанный с математическим моделированием систем, но и связанный с использованием разнообразного математического аппарата. Требования по точности в установившихся режимах и требования к устойчивости будут рассмотрены в дисциплинах "Теория автоматического управления", "Системы управления электроприводами", "Автоматизация типовых производственных процессов и промышленных установок".

В промышленных установках с системами автоматического управления можно выделить две большие группы:

1. Установки, в которых время переходного процесса пренебрежимо мало по сравнению с установившимся режимом. В этих случаях динамические режимы не оказывают существенного влияния ни на качество продукции, ни на производительность оборудования, на пример, насосы, вентиляторы, транспортеры и т. д.

2. Установки, в которых время переходного процесса соизмеримо с временем установившихся режимов, или, такие, в которых отклонение регулируемой переменной в динамике существенно влияет на качество продукции, на пример, станки, роботы, следящие системы и т. д.

Устойчивость, то есть способность к затуханию переходных процессов, является необходимым, но далеко не достаточным условием практической пригодности систем. Этот критерий позволяет очень грубо оценить переходные процессы. Рассмотрим, как выглядят переходные характеристики для трех основных режимов с точки зрения устойчивости.

Рис. 1

Использовав, как показано на рис. 1, критерий устойчивости по виду переходной характеристики (переходного процесса), мы можем сказать, что система устойчива, если переходный процесс затухает. Однако система может быть устойчивой, но ее переходные процессы, в зависимости от изменения параметров, будут сильно различаться, как это показано на рис. 2.



Рис. 2

Мы видим, что эти процессы существенно отличаются по виду, имеют разные частоту колебаний, время завершения, амплитуду отклонения от заданной величины. В связи с этим возникает необходимость сравнения, оценки устойчивых временных характеристик систем.

Следует отметить, что специалистов интересует не только переходные процессы при изменении управляющих воздействий, но и переходные процессы при изменении возмущающих воздействий.

Таким образом, важным понятие для систем управления является понятие качества переходных процессов, то есть становится важным сам характер протекания процессов, особенно такие факторы, как длительность, колебательность и динамическое отклонение регулируемой переменной от заданной величины.

Для оценки качества переходных процессов требуются характеристики, критерии или показатели качества, которые могут быть выражены численно.

Критерии качества имеют следующие области применения:

1. Сравнительный анализ систем автоматического управления при изменении параметров объекта управления, или при сравнении систем разного вида для одного и того же объекта управления.

2. Синтез, выбор параметров систем автоматического управления, обеспечивающих заданные критерии качества переходных процессов, требованиям технического задания на разработку системы.

Известно, что переходный процесс в системе управления зависит не только от свойств самой системы, но и от характера (вида) входного воздействия. Поэтому поведение системы при оценке качества переходных процессов рассматривают при типовых внешних воздействиях. В качестве таких типовых воздействий чаще всего используют:

· единичную ступенчатую функцию, реже, линейнонарастающий сигнал,

· воздействие гармонической функцией.

Оценки качества делятся на две группы:

1. Прямые показатели качества переходных процессов. Они характеризуют непосредственно сам переходный процесс, реакцию системы на типовое воздействие, чаще всего, на единичную ступенчатую функцию.

2. Косвенные показатели (критерии) качества. Они оценивают качество переходных процессов по другим характеристикам системы, таким как частотные характеристики, характер и расположение корней характеристического уравнения (полюсов передаточной функции), интегралы временной функции переходного процесса.

2. Оценка качества переходного процесса при воздействии ступенчатой функции

Прямые оценки качества определяют по графику переходной характеристики системы управления , то есть при воздействии на систему единичной ступенчатой функции -

и при нулевых начальных условиях, или по кривой переходного процесса регулируемой переменной при воздействии на вход ступенчатой функции с амплитудой, соответствующей номинальному или иному определенному значению регулируемой переменной.

· Рассмотрим систему управления с единичной отрицательной обратной связью, структурная схема которой показана на рис. 2.

Рис. 3

На вход системы поступает ступенчатый сигнал, на выходе можно наблюдать реакцию системы, кроме того, в качестве переходного процесса может рассматриваться изменение ошибки регулирования -

.

Примерные графики изменения сигнала на выходе и ошибки регулирования показаны соответственно на рис. 4 и 5.



Рис. 4

Рис. 5

Рассмотрим прямые оценки качества переходных процессов, показанные на рис. 4 и 5:

1. - минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью -

.

предварительно задается в процентах от установившегося значения , где нет определенных требований - принимают .

2. - перегулирование - максимальное отклонение от установившегося значения, выраженное в относительных единицах или процентах -

или .

Обычно требования по перегулированию составляют , иногда к качеству процессов может быть предъявлено требование , на пример в системах позиционирования манипуляторов промышленных роботов.

3. - частота колебаний -

,

где - период колебаний для колебательных процессов.

4. - это число полных колебаний, которое имеет или за время регулирования , обычные требования по числу колебаний , в некоторых системах накладывают ограничение на колебательность , на пример, в системах с существенным люфтом в механических передачах.