Направленные отрезки - векторы

Размещено на http://www.allbest.ru/

§1. Понятие направления. Направленные отрезки

сложение вектор умножение координата

Как и в школьном курсе геометрии, мы будем называть фигурой любое множество точек. Точки будем обозначать большими латинскими буквами, прямые - малыми латинскими буквами, а плоскости, в основном, - малыми буквами греческого алфавита. Если прямая задана точками А и В, то ее будем обозначать (А, В). Отрезок с концами А и В будем обозначать [A, B], а луч с началом в точке А и промежуточной точкой В - [А, В). Длину отрезка c концами А и В будем обозначать |AB|. Параллельные прямые и обозначаем: ||.

В школьном курсе геометрии параллельными прямыми называются прямые, лежащие в одной плоскости и при этом не пересекающиеся. Лучи [А, В) и [С, D) называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Прямая (А, В) называется параллельной плоскости б, если они не пересекаются. Луч [А, В) называется параллельным плоскости б, если плоскость б и прямая (А, В) параллельны. Если два луча [А, В) и [С, D) параллельны, то они имеют либо одно направление, либо противоположные направления.

Определение 1. Параллельные лучи [А, В) и [С, D), лежащие на разных прямых (А, В) и (С, D) называются сонаправленными, если они лежат в одной полуплоскости с границей (А, С). Лучи [А, В) и [С, D), лежащие на одной прямой (А, В) называются сонаправленными, если их пересечением является луч.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Определение 2. Параллельные лучи [А, В) и [С, D), которые не являются сонаправленными, называются противоположно направленными.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обозначаем сонаправленные лучи: [А, В) [С, D), а противоположно направленные лучи: [А, В) [С, D).

Теорема 1. Свойство лучей быть сонаправленными является свойством эквивалентности, то есть это свойство лучей рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Доказательство. Докажем свойство рефлексивности: [А, В)[А, В). Так как луч [А, В) лежит на одной прямой сам с собой и пересечение [А, В) [А, В) = [А, В), то согласно определению луч [А, В) сам себе сонаправлен, то есть, свойство рефлексивности доказано.

Докажем свойство симметричности: если [А, В) [С, D), то и [С, D) [А, В). Так как [А, В) [С, D), то лучи [А, В) и [С, D) лежат либо на одной прямой и их пересечение есть луч, но тогда и лучи [С, D) и [А, В) лежат на одной прямой и их пересечение есть луч, то есть [С, D) [А, В), либо лежат на разных параллельных прямых (А, В) и (С, D) в одной полуплоскости с границей (А, С). Тогда и лучи [С, D) и [А, В) так же лежат на азных параллельных прямых (С, D) и (А, В) в одной полуплоскости с границей (А, С). Следовательно, [С, D) [А, В), свойство симметричности доказано.

Докажем свойство транзитивности. Пусть даны три луча, при этом [А, В) [С, D), [С, D) [Е, F). Если хотя бы одна пара лучей лежит на одной прямой, то, очевидно свойство транзитивности выполняется. Поэтому будем считать, что лучи лежат на разных прямых, при этом точки А, С и Е определяют единственную плоскость б, относительно которой все лучи лежат в одном полупространстве, а, следовательно, лучи [А, В) и [Е, F) лежат в одной полуплоскости определяемой прямой (Е, F). Учитывая, что параллельность прямых обладает свойством транзитивности, получим параллельность лучей [А, В) и [Е, F).

Теорема доказана.

Как известно, свойство эквивалентности разбивает рассматриваемое множество на классы эквивалентности.

Определение 3. Отношение сонаправленности лучей пространства разбивает все лучи пространства на классы, каждый из которых мы называем направлением в пространстве.

Определение 4. Отрезок называется направленным, если для него указано начало и конец.

Например, если мы говорим , что [А, В] направленный отрезок, то это означает, что А - начало отрезка, а В - его конец, и в дальнейшем будем его обозначать чертой сверху: . На рисунке направленный отрезок отмечается стрелкой, указывающей конец отрезка. Часто приходится рассматривать так называемый вырожденный или нулевой направленный отрезок, то есть отрезок, у которого концы совпадают: .

Под длиной ненулевого направленного отрезка понимаем число |А,В|, а для нулевого направленного отрезка длина считается равной нулю.

Определение 5. Ненулевые отрезки и называется сонаправленными, если соответствующие лучи [А,В) и [С, D) сонаправленные, соответственно, противоположно направленными, если соответствующие лучи [А, В) и [С, D) противоположно направленные.

Обозначаем аналогично: , .

Для нулевого направленного отрезка можно говорить, что он сонаправлен с любым направленным отрезком, но сам направления не определяет.

Определение 6. Отрезки и называются эквиполлентными, если они имеют одинаковое направление и их длины равны.

Будем обозначать эквиполлентные направленные отрезки: .

Теорема 2. Отношение эквиполлентности направленных отрезков является отношением эквивалентности.

Доказательство. Рефлексивность , симметричность, если , то и транзитивность, если , а , то очевидны, так как длина отрезка и направление (теорема 1) соответствующих лучей обладают этими свойствами.

Теорема 3. Направленные отрезки и эквиполлентны тогда и только тогда, когда середины отрезков [A, D] и [B, C] совпадают.

Доказательство. Пусть направленные отрезки и эквиполлентны и не лежат на одной прямой. Тогда мы имеем параллелограмм АВDC. Отрезки [A, D] и [B, C] являются диагоналями этого параллелограмма. Следовательно, середины отрезков [A, D] и [B, C] совпадают.

Пусть середины отрезков [A, D] и [B, C] совпадают. Тогда АВDC - параллелограмм, так как его диагонали пересекаются и делятся этой точкой пополам. Отсюда получим, что направленные отрезки и лежат на параллельных прямых, имеют одинаковую длину и лежат по одну сторону от прямой (А, С), то есть направленные отрезки и эквиполлентны.

Если направленные отрезки и эквиполлентны и лежат на одной прямой, то, очевидно, середины отрезков [A, D] и [B, C] совпадают. Верно и обратное. Теорема доказана.

Пример 1. Дан параллелограмм АВСD и точка пересечения его диагоналей О. Сколько направленных отрезков задают данные точки А, В, С, D и О. Указать среди них ненулевые сонаправленные и противоположно направленные отрезки. Решение.

О

Для решения задачи достаточно перечислить все направленные отрезки, рассматривая рисунок. Итак, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Всего мы имеем 25 направленных отрезков. Из них выбираем сонаправленные отрезки: ^^, ^^, ^^^^, ^^, ^^, ^^, ^^^^, ^^ ^^.

Противоположно направленные отрезки: ^v, ^v, ^v ,

^v , ^v , ^v, ^v,^v, ^v, ^v, ^v , ^v , ^v , ^v,^v и т. д.

§2. Понятие вектора. Сложение векторов

Определение 1. Отношение эквиполлентности направленных отрезков пространства разбивает все направленные отрезки пространства на классы, каждый из которых мы называем вектором в пространстве.

Векторы будем обозначать стрелкой сверху: , . Вектор, заданный нулевым направленным отрезком называем нуль-вектором .

Эквиполлентные направленные отрезки, составляющие вектор называются представителями вектора. Равенство векторов предполагает совпадение соответствующих классов эквиполлентных направленных отрезков.

Длиной вектора называется длина его представителя и обозначается: ||, ||. Далее вводим понятия сонаправленности векторов, в заисимости от их представителей: , .

Теорема 1. Если = , то = .

Доказательство. Так как = , то . В силу теоремы 3 § 1 середины отрезков АD и CB совпадают. Обозначим эту точку О. Но и для направленных отрезков и точка О является точкой пересечения отрезков АD и CB. Так как она является их серединой, то в силу теоремы 3 § 1 получим , а, следовательно, = .

Теорема доказана.

В дальнейшем мы будем часто сталкиваться с понятием откладывания вектора от данной точки. Рассмотрим это понятие.

Пусть - произвольный вектор, а С - некоторая точка пространства. Рассмотрим произвольный представитель вектора . Наша задача построить такую точку D, для которой . Согласно теореме 1 находим середину отрезка CB и, обозначив ее О, находим точку D при условии, что О является серединой отрезка АD. В силу признака эквиполлентности двух направленных отрезков (теорема 3 § 1) получим . Поэтому = .

Построение направленного отрезка называют откладыванием вектора от данной точки С.

Самостоятельно доказать, что построенная точка D единственная.

Определение 2. Векторы и называются коллинеарными, если существует прямая, которой они параллельны.

Обозначаем: || .

Следует отметить, что коллинеарные векторы имеют либо одно и то же направление, либо противоположные.

Определение 3. Вектор называют параллельным плоскости, если на плоскости существует прямая, которой данный вектор параллелен.

Сложение векторов

На множестве векторов определяется операция сложение векторов следующим образом. Пусть заданы векторы и . Выберем произвольно точку А и от точки А откладываем вектор . Получим точку В : = . Далее, от точки В откладываем вектор . Получим точку С: . Точки А и С определяют направленный отрезок , который в свою очередь определяет вектор = . Вектор называем суммой векторов и .

Обозначаем: + = .

Размещено на http://www.allbest.ru/

В нашем определении была произвольно выбрана точка А. Поэтому необходимо показать, что от выбора точки А вектор не зависит. Пусть А другая точка. Сделаем те же построения и получим вектор . Покажем, что . Действительно, из построения имеем, что и . Согласно теореме 1 имеем: и . В силу транзитивности отношения эквиполлентности направленных отрезков получим . Отсюда, согласно теореме 1 имеем: , а это говорит о том, что от выбора точки А вектор не зависит.

Указанное здесь правило сложения векторов называют правилом треугольника.

Если векторы и не коллинеарные, то откладывая от точки А оба вектора и , мы получим их сумму как вектор определенный направленным отрезком , где точка С - вершина параллелограмма, построенного на представителях векторов и , отложенных от точки А и противоположная точке А. Действительно, если применить правило треугольника, то получим

+ = + = .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Свойства операции сложения векторов

1. Свойство коммутативности: + = +

Выберем произвольную точку О и от нее откладываем оба вектора и . При этом получим представители этих векторов и на которых построим параллелограмм ОАСВ. Так как = , то + = . С другой стороны, = и + = .

Следовательно, + = + . Свойство доказано.

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Свойство ассоциативности: ( + ) + = + ( +)

Выберем произвольную точку О и от нее откладываем вектор = , а затем по правилу треугольника = и = .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как = + , то получим ( + ) + = . С другой стороны, так как = +, то + ( +) = . Следовательно, свойство доказано.

Доказанное свойство позволяет нам складывать любое конечное число векторов, причем при записи этой суммы опускать скобки (так называемое правило многоугольника).

Размещено на http://www.allbest.ru/

В дальнейшем нам понадобится понятие противоположного вектора для заданного вектора. Если задан вектор = , то вектор называют противоположным вектору и обозначают его .

При этом: + = .

3. На множестве векторов уравнение + = (1) имеет единственное решение.

Действительно, в левой и в правой части равенства (1) мы имеем векторы, поэтому прибавим к каждому из них слева вектор ( ), то есть вектор противоположный вектору . Получим:

+ ( +) = +.

Согласно ассоциативному и коммутативному свойствам сложения векторов получим:

( + ) + = +( ),

+ = +(),

= +().

Следовательно, свойство доказано.

Определение. Решение уравнения (1) называется разностью векторов и , и обозначается: .

Следовательно,

= + ().

Согласно свойству 3 получаем правило нахождения разности двух векторов:

= + ().

Рассмотрим правило параллелограмма сложения двух векторов. При доказательстве свойства 1 мы построили параллелограмм ОАСВ и, при этом,

+ = + = .

Тогда

= ,

так как

+ () = () + = .

Пример 1. Дан параллелограмм АВСD и точка пересечения его диагоналей О. Сколько векторов задают данные точки А, В, С, D, О.

Решение.

О

Ранее мы нашли 25 направленных отрезков , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , . Векторов мы получим меньшее число, так как среди рассматриваемых направленных отрезков есть эквиполлентные направленные отрезки.

=, , …, = , , …, = , , …,

= , , …, = , , …, = , , …,

= , …, = , …, = , , …, = , , …,

= , …, = , …, =, ,, , ….

Итого 13 векторов.

Пример 2. Пользуясь параллелограммом, построенном на представителях векторов и , проверить на чертеже справедливость тождества: .

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

По условию , . Обозначим левую часть тождества , правую . Покажем, что . По правилу параллелограмма , тогда . Таким образом, . (1)

Так как , то , откуда . (2)

Из равенств (1) и (2) следует, что . Тождество доказано.

§3. Умножение вектора на число. Линейная зависимость векторов

Определение 1. Под произведением действительного числа на вектор понимаем новый вектор , который удовлетворяет следующим требованиям:

1). Если = 0 или = , то = .

2). Если 0 и , то вектор задаем следующими условиями:

а) || = || ||,

б) , если > 0 и , если < 0.

Обозначаем: = .

Свойства операции умножения вектора на число

1. 1 = , -1 = - .

2. () = ().

3. ( + ) = + .

4. ( + ) = + .

Для доказательства свойств воспользуемся простым фактом: два вектора равны, если равны их длины и они сонаправлены.

Доказательство свойства1. 1. Если = , то по определению операции умножения вектора на число получим, что правый вектор и левый вектор нулевые. Следовательно, равенство верно.

2. Покажем, что 1 = . Рассмотрим вектор 1. Его длина по определению равна |1| = |1| || = ||. С другой стороны, длина вектора также равна ||. Следовательно, длины рассматриваемых векторов равны. Так как мы умножаем вектор на положительное число 1, то 1 . Рассматриваемые вектора 1 и имеют одинаковую длину и одно направление. Следовательно, они равны. Вторая часть свойства 1 также верна, так как длины рассматриваемых векторов равны |-1| = |-1| || = || и |-|= ||, и их направления одинаковы: -1 , - - то есть, они противоположно направлены одному и тому же вектору.

Свойство 1 доказано.

Доказательство свойства 2. Покажем, что () = (). (1)

Для этого рассмотрим несколько случаев. 1. Пусть одно из чисел или равно нулю. Тогда по определению операции умножения вектора на число получаем, что и левый вектор и правый вектор равны нулевому вектору, то есть равенство (1) верно. Аналогично, если = , то равенство (1) также верно.

2. Пусть числа и - одного знака. Например, они отрицательные.

Тогда

 , () .

Следовательно,

().

С другой стороны, (), так как > 0.

Таким образом,

() ().

Для длин рассматриваемых векторов, независимо от знаков рассматриваемых чисел и , в силу определения операции умножения вектора на число, имеем:

|()| = |||()| = ||||||,

|()| = |||| = ||||||.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно.

Аналогично рассмотреть случай, когда числа и - положительные.

3. Пусть числа и - разного знака. Например, > 0 , < 0.

Тогда

, () .

Следовательно,

() .

С другой стороны, () , так как < 0.

Таким образом,

() ().

Аналогично рассмотреть случай, когда числа < 0 и > 0.

Таким образом, рассматриваемые векторы имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Следовательно, равенство (1) верно и в этом случае. Свойство 2 доказано.

Доказательство свойства 3: ( + ) = + . Если = 0 или хотя бы один из векторов нулевой, то свойство (3), очевидно, выполняется. Поэтому рассматриваем ненулевые варианты. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем вектор = , а от точки А откладываем вектор = . При этом получили + = . Итак, = + . Рассмотрим гомотетию с центром О и коэффициентом . Пока считаем, что > 0.

Пусть при рассматриваемой гомотетии:

Тогда треугольники ОАВ и ОА`В` имеют попарно параллельные стороны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При этом = , = , = = ( + ) и

+ = . Отсюда получаем равенство

( + ) = + .

Если < 0, то сначала рассмотрим равенство

||( + ) = || +| | ,

а затем умножив обе части этого равенства на (- 1), получим:

-||( + ) = -|| -| |

или

( + ) = + .

Свойство 3 доказано.

Доказательство свойства 4: ( + ) = + .

Доказательство распадается на несколько отдельных случаев. 1. > 0 и > 0. В этом случае и равенство ( + ) = + верно.

2. Если < 0 и < 0, то, в силу первого случая, будет верным следующее равенство

(|| + ||) = || + ||.

Умножая это равенство на (1) получим равенство

(|| ||) = || ||,

а, следовательно, и равенство

( + ) = + .

3. Здесь мы должны рассмотреть случай, когда и разных знаков. При этом можно считать, что > 0, а < 0. Но мы должны учесть два различных случая: > || и < || .

Рассмотрим, например, случай > ||. Тогда + > 0. Очевидно числовое равенство: + + || = . Согласно первому случаю, выполняется равенство

(( + )+||) = ( + ) + ||

или

= ( + ) + ||.

Отсюда получим

( + ) = ? ||,

а, следовательно, и равенство

( + ) = + .

Аналогично рассматривается случай < ||.

Свойство 4 доказано.

Пример 1. Дан треугольник АВС и произвольная точка О пространства. М - точка пересечения медиан треугольника АВС (ее называют центром тяжести треугольника). Доказать, что .

Доказательство. Рассмотрим медиану АК треугольника АВС.Размещено на http://www.allbest.ru/

Тогда, в силу свойств медианы имеем: . С другой стороны,

,

, , .

Следовательно, .

Находим: (.

.

Пример 2. В трапеции АВСD с основаниями ВС и AD точки M и N являются серединами оснований, точка О - точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны. Доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой.

Решение. Рассмотрим векторы и . Для того , чтобы доказать, что точки О, М, N лежат на одной прямой достаточно доказать, что || .

Так как точки M и N - середины оснований, то справедливы следующие равенства:

(1),

(2).

Из подобия треугольников и с коэффициентом подобия k следует, что

(3) и (4).

Из равенств (2), (3) и (4) получаем следующее равенство:

.

Следовательно, , откуда , а это означает, что точки O, M, N лежат на одной прямой.

Линейная зависимость векторов

Определение 2. Система векторов ₁, ₂, …, _n (1) называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор действительных чисел ₁, ₂, …, _n и при этом выполняется равенство: ₁₁ + ₂₂ + … + _nn = . (2)

Определение 3. Система векторов ₁, ₂, …, _n (1) называется линейно независимой, если равенство ₁₁ + ₂₂ + … + _nn = выполняется только в единственном случае, когда все числа ₁, ₂, …, _n равны нулю.

Определение 4. Вектор называется линейной комбинацией векторов (1), если существует набор действительных чисел ₁, ₂, …, _n и при этом выполняется равенство: = ₁₁ + ₂₂ + … + _nn .

Свойство 1. Если в системе (1) есть хотя бы один нулевой вектор, то система векторов (1) линейно зависимая.

Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что ₁ = . Тогда ненулевой набор чисел 1, 0, 0, . . . , 0 дает нам равенство (2): 1+ 0₂ + … + 0_n = , что требовалось доказать.

Свойство 2. Если часть системы векторов (1) линейно зависимая, то и вся система векторов (1) линейно зависимая.

Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что первые к (к < n) векторов системы (1) линейно зависимые. Тогда существует ненулевой набор действительных чисел ₁, ₂, …, _к и при этом выполняется равенство: ₁₁ + ₂₂ + … + _кк = .

Если к данному набору чисел мы добавим (n - к) нулей, то получим ненулевой набор n действительных чисел ₁, ₂, …,_к, 0,…,0 и при этом выполняется равенство (2): ₁₁ + ₂₂ + …+ _кк + 0_к+1 +…+ 0_n = , что требовалось доказать.

Свойство 3. Если один из векторов системы (1) является линейной комбинацией остальных векторов системы, то вся система векторов (1) линейно зависимая.

Действительно, не ограничивая общности рассуждений, будем считать, что ₁ = ₂₂ + … + _nn. Из этого равенства следует, что существует ненулевой набор действительных чисел: 1, ₂, …, _n и при этом выполняется равенство (2). Свойство доказано.

Свойство 4. Если системы векторов (1) линейно независимая, то и любая ее часть линейно независимая.

Действительно, предположим противное, что какая - то часть векторов системы (1) линейно зависимая. Тогда, в силу свойства (2) вся система векторов (1) линейно зависимая, что противоречит условию. Следовательно, предположение неверно. Свойство доказано.

Определение 4. Система векторов ₁, ₂, …, _n называется компланарной, если существует плоскость, которой они параллельны.

§4. Координаты вектора. Векторные пространства V₁, V₂, V₃

Обозначим множество всех векторов V₃. Выберем ненулевой вектор и рассмотрим все векторы коллинеарные с . Обозначим полученное множество векторов V₁. Выберем в пространстве V₃ два неколлинеарных вектора ₁ и ₂ и рассмотрим все векторы пространства, компланарные с ₁ и ₂. Обозначим полученное множество векторов V₂.

Из построения следует, что в пространстве V₃ существует множество подпространств V₁ и V₂.

Рассмотрим пространство V_1. Назовем базисом пространства V₁ ненулевой вектор этого пространства. Обозначим его . Рассмотрим произвольный вектор V₁. Докажем, что всегда существует единственное число х, такое, что = х.

Теорема 1. Пусть дано пространство V₁ и ненулевой вектор V₁. Тогда для любого вектора V₁существует единственное число х, такое, что = х.

Доказательство. Действительно, если =, то х = 0. Если , то полагаем х = , если и х = , если . Покажем, что рассматриваемое равенство верно, то есть = , если и = , если . Действительно,

|| = || = || и || =||.

Равенство длин рассматриваемых векторов доказано. Сонаправленность этих векторов очевидна. Следовательно, существование числа х доказано.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х и = х₁. Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х - х₁) = .

Если выражение в скобке не равно нулю, то получим = , что противоречит условию. Следовательно, х = х₁.

Теорема доказана.

Число х называем координатой вектора в базисе {} и обозначаем (х).

Следствие. Любые два коллинеарных вектора образуют линейно зависимую систему векторов.

Рассмотрим пространство V_2. Назовем базисом пространства V₂ пару неколлинеарных векторов этого пространства. Обозначим его ₁, ₂ . Рассмотрим произвольный вектор V₂. Докажем, что всегда существуют единственная пара чисел х, у такая, что = х₁ + у₂.

Теорема 2. Пусть дано пространство V₂ и базис ₁, ₂. Тогда для любого вектора V₂существует единственная пара чисел х, у такая, что = х₁ + у₂.

Доказательство. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: =₁, =₂ и = . При этом полученные точки О, А, В и М лежат в одной плоскости. Построим параллелограмм с диагональю ОМ и смежными сторонами, лежащими на прямых ОА и ОВ. Обозначим построенный параллелограмм ОА?МВ.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При этом имеем :

+ = , = х ₁, = у ₂ (теорема 1) и, соответственно,

= х₁ + у₂.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х₁ + у₂ и = х₁₁ + у₁₂. Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х - х₁) ₁ +(у - у₁) ₂ = .

Если хотя бы одно выражение в скобках не равно нулю, например, у - у₁ 0, то получим

₂ = - .

Получили, что векторы ₁ и ₂ коллинеарные, что противоречит условию. Следовательно, х = х₁, у = у₁. Теорема доказана..

Числа х, у называем координатами вектора в базисе {₁, ₂} и обозначаем ( х, у).

Следствие. Любая тройка компланарных векторов образует линейно зависимую систему векторов и наоборот.

Рассмотрим пространство V_3. Назовем базисом пространства V₃ тройку некомпланарных векторов этого пространства. Обозначим ее ₁, ₂, ₃ . Рассмотрим произвольный вектор V₃. Докажем, что всегда существуют единственная тройка чисел х, у, z такая, что = х₁ + у₂ +z₃.

Теорема 3. Пусть дано пространство V₃ и базис ₁, ₂, ₃. Тогда для любого вектора V₃существует единственная тройка чисел х, у, z такая, что = х₁ + у₂ +z₃.

Доказательство. Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: =₁, =₂, = ₃ и = . Построим параллелепипед с диагональю ОМ₁ и смежными сторонами, лежащими на прямых ОЕ₁, ОЕ₂ и ОЕ₃. Обозначим построенный параллелепипед ОАМВО₁А₁М₁В₁. При этом имеем :

Размещено на http://www.allbest.ru/

+ + = , = х ₁, = у ₂ , = z₃ (теорема 1) и, соответственно,

= х₁ + у₂ +z₃.

Докажем единственность разложения. Предположим, что верны два равенства = х₁ + у₂ +z₃ и = х₁₁ + у₁₂ +z₁₃ . Вычтем из первого равенства второе. Получим:

(х - х₁) ₁ +(у - у₁) ₂ + (z - z₁) ₃ = .

Если хотя бы одно выражение в скобках не равно нулю, например, у - у₁ 0, то получим

₂ = -

Получили, что векторы ₁ , ₂ и ₃ - линейно зависимы, а, следовательно, компланарные, что противоречит условию.

Поэтому, х = х₁, у = у₁ = z - z₁, Теорема доказана.

Числа х, у, z называем координатами вектора в базисе {₁, ₂, ₃ } и обозначаем ( х, у, z).

Координатные свойства векторов

1.Каждая координата суммы двух векторов равна сумме соответствующих координат слагаемых векторов.

2.При умножении вектора на число его координаты умножаются на это же число.

Доказательство свойства 1. Пусть в базисе {₁, ₂, ₃ } имеем () и (). Рассмотрим + = (₁+₂+₃) + (₁+₂+₃). Воспользовавшись свойствами сложения векторов и умножения вектора на число, раскрываем скобки и группируем слагаемые по базисным векторам. При этом получим

+ = (+) ₁ + (+)₂ + (+)₃.

Следовательно, + (+, +, +).

Свойство доказано.

Доказательство свойства 2. Пусть в базисе {₁, ₂, ₃ } имеем () и некоторое число . Если = 0, то = и = 0, = 0, = 0. Свойство 2 справедливо. Если 0, то имеем:

= (₁+₂+₃) = ₁+ ₂+ ₃,

то есть

( , , ).

Свойство доказано.

Замечание. Доказанное свойство 1 можно доказать и для любого конечного числа слагаемых.

При решении задач, связанных с вычислением длин векторов, величины углов мы будем пользоваться так называемым ортонормированным базисом. Этот базис мы обозначаем {}, и при этом выполняются следующие условия: длины векторов равны единице, сами векторы попарно перпендикулярны и образуют так называемую правую тройку (см. § 6 ).

Теорема 4. Пусть в базисе {} задан вектор (). Тогда

|| = .

Доказательство. Согласно теореме 3 имеем единственное разложение

= ++.

Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: =, = , = , = ++. При этом получим прямоугольный параллелепипед с ребрами ОА, ОВ, ОС и диагональю ОМ, |OA| =||, |OB| =||, |ОС| = ||,

|OM| = = .

Теорема доказана.

Пример1.

Дан ортонормированный базис В этом базисе задан вектор Найти координаты вектора , который коллинеарен вектору и имеет длину, равную 5.

Решение. Из коллинеарности векторов и следует, что существует единственное число 0, такое что . Так как (-1; -2; 2), то координаты вектора будут соответственно равны ()

Из условия, что длина вектора равна 5, получаем следующее равенство: , откуда

9² =25, ² =, или .

Последнее означает, что задача имеет два решения:

, .

Пример 2.

Треугольник АВС построен на векторах (0,-3,4) и

(2,-1,2) в ортонормированном базисе .

Найти координаты вектора, параллельного биссектрисе угла ВАС.

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построим вектора и такие, что: и , причем . На данных векторах построим ромб. Диагональ AD ромба лежит на биссектрисе угла . Следовательно, вектор параллелен биссектрисе угла и, при этом, =+(1).

Из построения векторов и получаем следующие равенства:

= и =.

Из последних равенств и равенства (1) следует, что

=+.

Так как и , то

=5+3,

откуда

(10;?14;22).

Так как вектор параллелен биссектрисе угла , то и вектор (5,?7,11) будет параллельным этой биссектрисе. Любой другой вектор , параллельный биссектрисе угла , будет иметь координаты

где

Таким образом, решением является вектор где

Пример 3.

Дан параллелепипед . Точки и - середины соответственно ребер и . В качестве базисных векторов взяты векторы , , . Найти координаты векторов , и в данном базисе.

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1) (1), (2),

, откуда (3).

Из равенств (1), (2), (3) следует, что .

Используя свойства коммутативности и ассоциативности операции сложения векторов, получаем следующее равенство: .

Следовательно, .

2) , откуда получаем: .

3) (1), , откуда (2),

, откуда (3).

Из равенств (1), (2) и (3) имеем: .

Следовательно, , откуда .

§5. Скалярное произведение векторов

Определение 1. Под углом между ненулевыми векторами и понимаем угол из промежутка [0, ] между представителями этих векторов, отложенных от одной точки.

Угол между векторами и считаем неопределенным, если хотя бы один из векторов нулевой

( иногда его считают равным нулю или ).

Определение 2. Под скалярным произведением двух ненулевых векторов и понимаем число, равное произведению их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то под их скалярным произведением понимаем число 0.

Обозначаем : или (, ).

Итак,

= |||| cos .

Следствие 1. ² = ||² .

Следствие 2. Пусть и ненулевые векторы. Если их скалярное произведение равно нулю, то они перпендикулярны. Верно и обратное утверждение.

Пусть в базисе {} заданы векторы (), (), ().

Свойство 1. = .

Доказательство. Для доказательства воспользуемся теоремой косинусов

Выберем произвольно точку О и от нее откладываем векторы: =, =. При этом = ? . По теореме косинусов получим

( ?)² = ² +² - 2|||| cos =

=² +² - 2(,).

Отсюда находим

(,) = (² +² ? ( - )²).

Ранее мы получили формулу || = для вычисления длины вектора, которую применим к полученному равенству:

(,) = (+- (()

и

= .

Свойство 2. = .

Доказательство. Согласно свойству 1 имеем:

= ,

= .

Правые части равны, так как произведение действительных чисел обладает свойством коммутативности. Поэтому и левые части рассматриваемых равенств равны, то есть = . Свойство доказано.

Свойство 3. (,) = (,) = (, ).

Докажем, например, равенство: (,) = (, ).

Так как

= ,

то

(,) = () = = (, ).

Свойство 3 доказано.

Свойство 4. (,+) = (,) + (,).

Доказательство. (,+) = =

= ((=

= (+=

= (,) + (,).

Свойство 3 доказано.

Пример 1. В пространстве дан четырехугольник ABCD и известны координаты векторов , , . Доказать, что его диагонали взаимно перпендикулярны.

Решение. Для решения задачи достаточно показать перпендикулярность векторов и . Так как = +, = +, то находим координаты этих векторов: , (6,?4,0). Находим скалярное произведение в координатной форме:

= 66 + 9(?4) +(?3) 0 = 0.

Следовательно, и диагонали четырехугольника ABCD взаимно перпендикулярны.

Пример 2.

Выразить квадрат длины медианы треугольника через длины его сторон.

Решение. Рассмотрим в данном треугольнике ABC медиану BB₁. Введем обозначения: =, = , = ,

= . Тогда справедливо следующее равенство: = ().

Возведем обе части данного равенства в квадрат (скалярно):

(1)

Воспользуемся равенством:

.

После возведения обеих его частей скалярно в квадрат получим:

. (2)

Тогда из равенств (1) и (2) вытекает следующее равенство:

.

Учитывая следствие 1, последнее равенство можно записать следующим образом:

,

т.е.

, где , = |BC|, b = |AC|, = |AB|.

Пример 3.

Дан треугольник . Отрезок - его высота. Выразить вектор через векторы и .

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Так как векторы и неколлинеарные, то они представляют собой базис двумерного векторного пространства. Введем обозначение: .

По правилу треугольника:

(1)

и, при этом,

. (2)

Из равенства (1) и (2) получаем:

. (3)

Осталось найти число . В силу ортогональности векторов и , имеем: . (4) Из равенств (3) и (4) получаем: , т. е. или ,

Откуда

. (5)

Учитывая, что , равенство (5) можно записать следующим образом:

. (6)

Тогда из равенств (3) и (6) находим вектор :

.

Для дальнейшего изложения нам необходимы некоторые сведения из курса алгебры.

Определители второго порядка

В связи с тем, что определители изучаются в курсе алгебры и теории чисел позднее, мы приведем необходимые для нас сведения об определителях второго и третьего порядка.

Рассматриваем числовое множество. Число , будем записывать в виде:

=

и это число будем называть определителем второго порядка.

Как видим, у определителя мы имеем две строки и два столбца. Из определения вытекают следующие свойства.

Свойство 1. Если строка или столбец состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Действительно, в этом случае каждое слагаемое числа содержит в произведении число 0.

Свойство 2. Если поменять местами строки или столбцы, то определитель сменит только знак.

Действительно, поменяем, например, столбцы определителя. Тогда

= = ? () = ? .

Свойство 3. Если строки или столбцы определителя пропорциональны, то определитель равен нулю.

Действительно, пусть, например, строки определителя пропорциональны.

Тогда

= = 0.

Свойство 4. Если строку или столбец определителя умножить на число, то и сам определитель умножится на это число.

Действительно, умножим, например, первую строку на число . Тогда

= = = .

Определители третьего порядка

Число (*) будем записывать в виде таблицы, и называть полученное выражение определителем третьего порядка

= .

Схема раскрытия определителя: указанные произведения складываем со своим знаком , а следующие с противоположным знаком.

Свойства 1 - 4 определителя второго порядка имеют место и для определителя третьего порядка.

Свойство 5. = .

Действительно, если перегруппировать сумму (*), то получим:

= .

Свойство доказано.

Пример 1. Вычислить двумя способами определитель .

Решение. Используя схему раскрытия определителя, получим

= 121 + 2(?2)3 + 233 ? 323 ? 221 ? 13(?2) = ? 8.

Воспользуемся разложением определителя по первой строке.

= 1?2+3= 2 + 6 ?2(2 ? 9) +3•(?4 ?6) = ? 8.

§6. Векторное произведение двух векторов

Ориентация тройки некомпланарных векторов

Рассмотрим упорядоченную и некомпланарную тройку векторов , и . Откладываем их представители от произвольной точки О: . Если из точки С видим, что кратчайший поворот вокруг точки О от точки А до точки В совершается против часовой стрелки, то упорядоченную тройку векторов , и называем правой, а в противном случае левой.

Если две ориентированные тройки векторов обе правые или левые, то будем говорить, что они одной ориентации.

Размещено на http://www.allbest.ru/

На рисунке показана правая тройка векторов (1) и левая тройка (2).

Представление о правой и левой тройке векторов можно получить, рассматривая первые три пальца, соответственно, правой и левой руки.

Замечание. Нетрудно заметить, что при перестановке двух векторов в упорядоченной тройке векторов , и или при замене одного вектора ему противоположным вектором, ориентация этой тройки векторов меняется на противоположную ориентацию.

Определение. Под векторным произведением двух коллинеарных векторов понимаем нулевой вектор. Под векторным произведением двух неколлинеарных векторов и понимаем новый вектор , который задается следующими условиями:

1. || = || ||sin,

2. , ,

3. Упорядоченная тройка векторов , , - правая.

Обозначения: = [, ] или = .

Свойства векторного произведения.

Свойство 1. [, ] = ? [, ] .

Доказательство. Так как угол между векторами неориентированный, то правый и левый векторы рассматриваемого равенства имеют одинаковую длину || || sin.

Покажем, что направления рассматриваемых векторов одинаковое.

Действительно, [, ] и [, ] . С другой стороны, [, ] и [, ] . Следовательно, [, ] [, ].

Так как упорядоченная тройка векторов , , [, ] - правая, то упорядоченная тройка векторов , , [, ] - левая. С другой стороны, упорядоченная тройка векторов , , [, ] - правая.

Следовательно,

[, ] [, ], а [, ] ?[, ] .

Векторы, имеющие одинаковую длину и одинаковое направление, равны. Свойство доказано.

Свойство 2. [, ] = [, ] = [, ].

Доказательство. Если = 0 или , то равенства выполняются, так как каждый из рассматриваемых векторов является нулевым вектором.

Рассматриваем ненулевые случаи. Докажем, что [, ] = [, ]. Для этого докажем равенство их длин и совпадение направлений.

|[, ]| = |||[, ]| = || || || sin, где - угол между векторами и .

|[, ]| = ||| | sin, где - угол между векторами и .

Обратим внимание на то, что = , если > 0 и = - , если < 0. В любом случае, sin = sin и, следовательно, |[, ]| = |[, ]|.

Рассмотрим направления этих векторов:

[, ] [, ], если > 0 и [, ] [, ], если < 0.

С другой стороны, если > 0, то и [, ] [, ], а если

< 0, то и [, ] [, ]. В том и другом случае получили:

[, ] [, ].

Свойство доказано.

Свойство 3. [, +] = [, ] + [, ].

Доказательство. В случае, когда хотя бы один из данных векторов нулевой, равенство очевидно. Поэтому в дальнейшем считаем, что рассматриваемые вектора ненулевые. Доказательство разбиваем на три случая.

1. Рассмотрим случай, когда , и || = 1. Откладываем представители векторов , , и + от произвольной точки О: , и . В плоскости ОВС рассмотрим поворот вокруг точки О на 90 по часовой стрелке, если смотреть из точки А. При этом образом точек О, В, С и D будут точки О, В, С и D. Кроме того, мы получим правые тройки векторов , , , , , и , , .

В силу построения имеем

= [, ] , = [, ] и = [, ] .

Так как

= + ,

то

[, ] = [, ] + [, ].

Таким образом,

[, +] = [, ] + [, ].

Если вектор не единичный, то его можно представить в виде = || , где - единичный вектор, сонаправленный с . Тогда предыдущее равенство можно записать в виде

[, +] = [, ] + [,].

Умножая обе части равенства на ||, получим:

|| [, +] = || [, ] + || [,]

и, соответственно,

[, +] = [, ] + [,].

Размещено на http://www.allbest.ru/

2. Пусть условия случая 1 не выполнены. Тогда откладываем представители векторов , , и + от произвольной точки О: , и и через точку О проводим плоскость , перпендикулярную направленному отрезку . Спроектируем ортогонально на плоскость точки В, С и D. При этом получим, соответственно, точки В₀, С₀ и D₀.

Как и в случае 1 находим

= [, ₀] , = [, ₀] и = [, ₀] .

Так как

= + ,

то

[, ₀] = [, ₀] + [, ₀].

Размещено на http://www.allbest.ru/

(На рисунке показан только фрагмент с вектором )

С другой стороны, [, ₀] = [, ] = .

Действительно, вектор перпендикулярен каждому из векторов , ₀ и . Ориентация упорядоченных троек векторов , ₀ , и , , - правая. Рассмотрим их длины.

|[, ]| = ||||sin , где - угол между векторами и .

|[, ]| = |||₀|.

Обозначим угол между векторами ₀ и . Тогда sin = cos .

С другой стороны,

||sin = ||cos = |₀|.

Следовательно,

|[, ₀]| = |[, ]| = ||.

Аналогично,

|[, ₀]| = |[, ]| = ||,

и

|[, ₀]| = |[, ]| = ||.

Следовательно,

[, ] = [, ] + [, ]

или

[, +] = [, ] + [,].

Свойство доказано.

Замечание. Пусть - упорядоченная ортонормированная тройка векторов. Тогда

[, ] = , ] = , ] = , , ] = , , ] = , ] = ,

[, ] = - , [, ] = - , ] = - ,

Свойство 4. Пусть в базисе {} заданы векторы (), (). Тогда

[, ] = .

Доказательство. Доказанные свойства 1-3 позволяют векторно перемножать векторные многочлены по обычным правилам перемножения многочленов, не забывая при этом свойство антикоммутативности 1. Воспользуемся этими свойствами и предыдущим замечанием:

[, ] = [ ] = [, ] +[, ] + [, ] + +[, ] + [, ] + [, ] + [ ] + [] + [] =

= ,] + ,] + ,] + ,] + ] + ] =

= - - + + - =

= (- ) - ( - ) + ( - ) =

= - + = .

Свойство доказано.

Свойство 5. Длина векторного произведения векторов и численно равна площади параллелограмма, построенного на представителях данных векторов с общим началом.

Доказательство. Если ||, то параллелограмм вырождается, и его площадь рана нулю. При этом и [, ] = . Следовательно, свойство верно.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Если данные векторы не коллинеарные, то |[, ] | = || ||sin, но, с другой стороны, площадь параллелограмма также равна || ||sin.

Свойство доказано.

Пример 1. На представителях векторов , построен параллелограмм ABCD. Найти площадь треугольника ABD.

Решение.

Ранее мы показали, что площадь параллелограмма можно находить, используя свойства векторного произведения двух векторов. Согласно этому свойству, имеем: = ||. Находим векторное произведение

,

откуда

.

Следовательно, .

Ответ: 12,5 (кв.ед).

Пример 2. Пусть , , , - произвольные векторы. Доказать, что . (1)

Решение.

Заметим, что левая и правая части данного равенства представляют собой числа. Покажем, что эти числа представимы в виде одного выражения.

Рассмотрим следующие случаи:

1. Векторы и коллинеарные.

Тогда по определению векторного произведения.

.

Таким образом, левая часть равенства (1) равна и равна ее правой части.

2. Векторы и неколлинеарные.

Тогда , где - угол между векторами и . Итак,

. (2)

.

. (3)

Из равенств (2) и (3) получаем, что левая часть равенства (1) равна ,

и равна ее правой части.

§7. Смешанное произведение трех векторов

Определение. Число [, ] - называют смешанным произведение упорядоченной тройки векторов , , .

Обозначаем: (, , ) = = [, ].

Так как в определении смешанного произведения участвуют векторное и скалярное произведения, то их общие свойства являются свойствами смешанного произведения.

Например, ( ) = ( ).

Теорема 1. Смешанное произведение трех компланарных векторов равно нулю.

Доказательство. Если данная тройка векторов , , компланарная, то для векторов выполняется одно их следующих условий.

1. В данной тройке векторов есть хотя бы один нулевой вектор. В этом случае доказательство теоремы очевидно.

2. В данной тройке векторов есть хотя бы одна пара коллинеарных векторов. Если ||, то [, ] = 0, так как [, ]= . Если

|| , то [, ] и [, ] = 0. Аналогично, если || .

3. Пусть данная тройка векторов компланарная, но случаи 1 и 2 не выполняются. Тогда вектор [, ] будет перпендикулярным плоскости, которой параллельны все три векторы , , .

Следовательно, [, ] и (,,) = 0.

Теорема 2. Пусть в базисе {} заданы векторы (), (), (). Тогда

(, , ) = .

Доказательство. Согласно определению смешанного произведения

(, , ) = [, ] = с₁ - с₂ + с₃ = .

В силу свойств определителя имеем:

= ? = .

Теорема доказана.

Теорема 3. (, ,) = [, ].

Доказательство. Так как

(, , ) = ,

а в силу свойств определителя имеем:

= ,

то

(, , ) = = = [, ] = [, ].

Теорема доказана.

Теорема 4. Модуль смешанного произведения некомпланарной тройки векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на представителях данных векторов с общим началом.

Доказательство. Выберем произвольную точку О и откладываем от нее представители данных векторов , , : , . В плоскости ОАВ построим параллелограмм ОАDB и, добавляя ребро ОС, построим параллелепипед ОАDBCADB. Объём V этого параллелепипеда равен произведению площади основания ОАDB на длину высоты параллелепипеда ОО.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Площадь параллелограмма ОАDB равна |[, ]|. С другой стороны

|OO| = || |cos |, где - угол между векторами и [, ].

Рассмотрим модуль смешанного произведения :

|(, , )| = | [, ]| = |[, ]||||cos | = |[, ]||OO| = V.

Теорема доказана.

Замечание 1. Если смешанное произведение тройки векторов равно нулю, то эта тройка векторов линейно зависимая.

Замечание 2. Если смешанное произведение данной тройки векторов положительно, то тройка векторов правая, а если отрицательно, то тройка векторов левая. Действительно, знак смешанного произведения совпадает со знаком cos , а величина угла определяет ориентацию тройки , , . Если угол - острый, то тройка правая, а если - тупой угол, то тройка левая.

Пример 1. Дан параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁ и координаты следующих векторов в ортонормированном базисе: (4; 3; 0), (2; 1; 2), (-3; -2; 5).

Найти: 1) объем параллелепипеда;

2) площади граней ABCD и CDD₁C;

3) косинус двугранного угла между плоскостями ABC и CDD₁.

Решение.

Данный параллелепипед построен на векторах

Таким образом, его объем равен модулю смешанного произведения этих векторов, т.е.

(куб.ед.)

Итак, V_пар = 12 куб.ед.

Напомним, что площадь параллелограмма равна длине векторного произведения векторов, на которых он построен.

Т.о. .

Введем обозначение: ,тогда

Следовательно, (6; - 8; - 2), откуда

.

Т.о. кв.ед.

Аналогично,

Пусть , тогда

,

откуда (15; - 20; 1) и

Значит кв.ед.

Введем следующие обозначения: пл. (АВС)=, пл. (DCC₁)=.

.

Согласно определению векторного произведения имеем:

и .

А значит справедливо следующее равенство:

.

Из второго пункта решения имеем:

.

тогда

.

Итак,

Пример 2.

Доказать, что если , , - взаимно перпендикулярные единичные векторы, то для любых векторов и справедливо равенство:

. (1)

Решение.

Пусть в ортонормированном базисе ,, заданы координаты векторов: ; . Так как , , , то по свойству смешанного произведения имеем:

,

,

.

Таким образом, равенство (1) можно записать в следующей форме: , а это одно из доказанных свойств векторного произведения векторов и . Тем самым справедливость равенства (1) доказана.

Решение нулевого варианта контрольной работы

Задание № 1

Вектор образует с базисными векторами и соответственно, углы и . Определить угол, который образует вектор с вектором .

Решение.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Построим параллелепипед на векторах , , и на диагонали , такой, что векторы и равны.

Тогда в прямоугольном треугольнике с прямым углом , величина угла равна , откуда .

Аналогично в прямоугольном треугольнике с прямым углом величина равна , откуда .

В прямоугольном треугольнике по теореме Пифагора находим:

.

Так как

и

,

то

.

В прямоугольном треугольнике с прямым углом катет , а гипотенуза . Значит, величина угла равна . Но угол равен углу между векторами и . Тем самым задача решена.

Задание № 2.

Заданы три вектора , , в базисе ,,. Доказать, что четырехугольник - плоский. Найти его площадь.