Признак Даламбера. Степенные и функциональные ряды

Размещено на http://www.allbest.ru/

Признак Даламбера

Пусть дан ряд u1+u2+u3+...+un+..., (1) с положительными членами.

Относительно этого ряда имеют место две следующие теоремы Даламбера.

Теорема 1. Если отношение каждого последующего члена ряда (1) к предыдущему члену меньше фиксированного числа q<1 (или равно q), то ряд (1) сходится; если это отношение больше 1 (или равно 1), то ряд (1) расходится.

Доказательство. 1. Пусть

Тогда имеют место неравенства (2)

Отсюда(3)

или (4)

Складывая почленно неравенства (4), получим неравенство (5)

Но

а поэтому

По условию теоремы, q<1, а поэтому

Следовательно,

при любом n. Прибавляя u1 к обеим частям последнего неравенства, получим

Так как все члены ряда (1) положительны и, следовательно, Sn с возрастанием n возрастает, оставаясь меньше

то существует предел Sn и

Таким образом, ряд (1) сходится.

2. Теперь пусть

Это означает, что с возрастанием n общий член un ряда (1) не убывает, т.е. не выполняется необходимый признак сходимости ряда, а поэтому ряд (1) расходится.

Теорема 2. Пусть l - предел отношения последующего члена un+1 ряда (1) к предыдущему un при n®Ґ, т.е.

Тогда,

если l < 1, то ряд l сходится,

если l > 1, то ряд l расходится,

Если же l = 1, то вопрос о сходимости ряда (1) остается открытым.

Доказательство. Согласно определению предела переменной величины, равенство

означает, что, начиная с некоторого номера n, выполняются неравенства

где e - наперед заданное сколь угодно малое положительное число.

Рассмотрим три случая:

а) пусть l < 1 . Тогда всегда можно взять e настолько малым, чтобы выполнялось неравенство

l + e < 1

и, начиная с некоторого n, неравенство

где q = l + e, в силу чего (см. теорему 1) ряд (1) будет сходящимся;

б) пусть l > 1 . Выбираем e так, чтобы

e = l - 1 > 0

Тогда l - e = 1 и

т.е. ряд (1) расходится (см. теорему 1)

в) пусть l = 1 . Тогда ряд (1) может быть как сходящимся, так и расходящимся.

В самом деле, для гармонического ряда

который расходится, имеем,

С другой стороны, ряд

сходится, а для него также

потому что

Таким образом, доказано, что если

то ряд (1) сходится; если l > 1, то ряд (1) расходится.

Теорема 2 выражает признак Даламбера.

Знакочередующиеся ряды

Определение. Знакочередующимися называются ряды, члены которых поочерёдно то неотрицательны, то отрицательны.

Согласно этому определению, структура знакопеременных рядов такова: Точечная оценка для параметров распределения. Пусть требуется изучить количественный признак генеральной совокупности., или, где все . Мы будем рассматривать первую из этих форм; вторая сводится к первой выносом знака за сумму. Достаточный признак сходимости знакочередующегося ряда (признак Лейбница). Если

1. Последовательность, составленная из модулей членов знакочередующегося ряда, монотонно убывает, т.е.;

2. Выполняется необходимый признак сходимости ряда, т.е., то ряд сходится. Его сумма по абсолютной величине не превосходит абсолютную величину первого члена.

Доказательство. Рассмотрим последовательность чётных частичных сумм ряда. Представим эту сумму в виде . Из первого условия теоремы следует, что суммы в круглых скобках неотрицательны, поэтому последовательность монотонно возрастает с ростом n. С другой стороны, , т.е. эта последовательность ограничена сверху величиной . Следовательно . Но для нечётных сумм, так как по второму условию теоремы . Таким образом, частичные суммы имеют предел независимо от их четности или нечётности, т.е. ряд сходится, и его сумма . Знак суммы совпадает со знаком первого члена.

С помощью признака Лейбница доказывается сходимость рядов

, .,

и т.д. Третий из этих рядов сходится абсолютно ( сходится), остальные - условно (ряды из модулей членов расходятся). Естественно, существуют знакочередующиеся ряды, для которых условия теоремы Лейбница могут не выполняться; если не выполняется второе условие - необходимый признак сходимости - то ряд заведомо расходится; если не выполняется первое условие, то задача должна решаться с помощью других соображений. Рассмотрим, например, ряд

Понятно, что первое условие теоремы Лейбница не выполняется (например), поэтому эта теорема неприменима и требуется изобрести индивидуальный способ решения этой задачи. Сгруппируем члены попарно:

Сумма в скобке , поэтому последний ряд (со скобками) расходится. Последовательность чётных частичных сумм не ограничена, поэтому исходный ряд расходится. У теоремы Лейбница есть исключительно важный для приложений вывод - вывод о том, что сумма знакочередующегося ряда (или, как говорят, ряда лейбницевского типа) по модулю не больше модуля первого члена: . На нашем уровне нас интересует, в основном, вопрос о сходимости ряда, но при решении практических задач вслед за вопросом о сходимости ряда встаёт вопрос о нахождении его суммы. Основной метод суммирования рядов - вычисление его частичной суммы с количеством слагаемых, обеспечивающим заданную точность. Рассмотрим два примера: найти суммы рядов и с погрешностью, не превышающей. Оба ряда сходятся.

Степенные ряды

интервал радиус сходимость теорема даламбер

Определение

Ряд, членами которого являются степенные функции аргумента x, называется степенным рядом:

Часто рассматривается также ряд, расположенный по степеням (x ? x0), то есть ряд вида

где x0 ? действительное число.

Интервал и радиус сходимости

Рассмотрим функцию . Ее областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде , где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.

Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле

или на основе признака Даламбера:

Функциональные ряды

1. Основные понятия

Определение. Ряд, члены которого являются функциями, называется функциональным рядом. Его обозначают:

Определение. Если при ряд сходится, то называется точкой сходимости ряда.

Определение. Множество всех значений , при которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости этого ряда.

Очевидно, что в области сходимости функционального ряда его сумма является функцией от . Будем ее обозначать .

ПРИМЕР 1. Нахождение области сходимости функционального ряда.

Равномерная сходимость функционального ряда. Пусть , т.е. функциональный ряд сходится. Если для можно указать номер независимо от , такой, что для выполняется неравенство , то говорят, что функциональный ряд сходится равномерно на множестве.

ПРИМЕР 2. Изучение сходимости функционального ряда.

Исследование на равномерную сходимость. Признак Вейерштрасса равномерной сходимости функционального ряда: если существует сходящийся числовой ряд с положительными членами, такой, что для всех , начиная с некоторого номера и всех выполняется неравенство , то функциональный ряд сходится на равномерно. Числовой ряд в этом случае называют мажорантой для функционального ряда.

Формула Стокса

(Джордж Габриель Стокс (1819 - 1903) - английский математик)

Формула Стокса связывает криволинейные интегралы второго рода с поверхностными интегралами второго рода. Пусть в пространстве задана некоторая поверхность S. L - непрерывный кусочно-гладкий контур поверхности S.

Предположим, что функции P,Q и R непрерывны на поверхности S вместе со своими частными производными первого порядка. Применим формулу, выражающую криволинейный интеграл через определенный.

Введем обозначения:

Функции комплексной переменной Определение и свойства функции комплексной переменной Пусть даны две плоскости комплексных чисел и на первой - множество D комплексных чисел z = x + iy, где i - мнимая единица (i2 = -1), на второй - множество G комплексных чисел w = u +iv.

Применив формулу Грина - Остроградского, можно заменить криволинейный интеграл равным ему двойным интегралом. После преобразований устанавливается следующее соответствие между криволинейным и поверхностным интегралом:

эта формула и называется формула Стокса.

Определение. Вектор, компоненты которого равны соответственно равны

называется вихрем или ротором вектора и обозначается:

Определение. Символический вектор

называется оператором Гамильтона. (Уильям Роуан Гамильтон (1805 - 1865) - ирландский математик) Символ С - “набла”

С учетом этого обозначения можно представить себе понятие ротора вектора как векторного произведения оператора Гамильтона на вектор .

Определение. Криволинейный интеграл, представляющий собой работу векторного поля вдоль некоторой кривой L называется линейным интегралом от вектора по ориентированной кривой L.

Если кривая L представляет собой замкнутый контур, то линейный интеграл по такому контуру называется циркуляцией вектроного поля вдоль контура L.

В векторной форме теорему Стокса можно сформулировать так: Циркуляция вектора вдоль контура некоторой поверхности равна потоку вихря (ротора) через эту поверхность.

Отметим, что рассмотренная выше формула Грина - Остроградского является частным случаем формулы Стокса.

Также при условии равенства нулю всех компонент ротора вектора, получаем, что криволинейный интеграл по любой пространственной кривой равен нулю, т.е. криволинейный интеграл не зависит от пути интегрирования.

Размещено на Allbest.ru