Исследование функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

БИЛЕТ 1.

Определение (предел на языке )

Пусть точка - точка сгущения множества = (не обязательно . Пусть . Лишь только . Тогда говорят, что в точке существует предел и он равен .

==

Определение: , если при . Очевидно, можно записать и так:

, если . .

Определение: (предел на языке последовательностей).

Пусть точка - точка сгущения множества . Пусть выполнено . Тогда говорят, что :

==

Два определения предела эквивалентны.

БИЛЕТ 2.

Непрерывные функции

Пусть . =. - внутренняя точка множества (точка сгущения)

Определение 1.

Пусть выполнено:

1), -внутренняя точка

2)

3)

Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 2: (непрерывность на языке )

1) Пусть . =. - внутренняя точка множества (точка сгущения)

.Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 3: (непрерывность на языке последовательностей)

1) Пусть точка - точка сгущения множества .

2) Пусть выполнено .

Тогда функция называется непрерывной в точке

Определение 4: (непрерывность на языке приращений)

Пусть , - внутренняя точка множества, ,. Тогда функция называется непрерывной в точке

БИЛЕТ 3.

Пусть , , - внутренняя точка

Фиксируем все переменные, кроме : .

Придадим приращение , достаточно малое, чтобы не покинуть ,

. - частичное (частное) приращение.

Определение: Пусть , тогда этот предел называется частной производной функции в точке по переменной .

Обозначение: ,

Замечание: , ,

БИЛЕТ 4.

Определение: Функция называется дифференцируемой в точке , если ее полное приращение в этой точке представимо в виде: , (х)

Где -некоторые числа, независящие от

- бесконечно малые при

Утверждение: равенство (х) можно записать в эквивалентном виде (хх):

 (хх), где .

То есть (х)(хх)

Утверждение: Пусть функция дифференцируема в точке . Тогда в точке частные производные по всем переменным и они равны :

,…,.

Утверждение: Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

БИЛЕТ 5.

Теорема (о достаточных условиях дифференцируемости):

Пусть:

1) В некоторой окрестности точки

2) В самой точке - непрерывны.

Тогда: дифференцируема в точке .

Определение: Пусть функция дифференцируема в точке .

= .

Главная линейная относительно часть приращения функции называется полным первым дифференциалом функции .

Величиныназываются частичными дифференциалами

БИЛЕТ 6.

Пусть -сложная функция от переменной .

Теорема: Пусть , дифференцируемы в точке (,, внешняя функция дифференцируема в точке , где ,. Тогда сложная функция дифференцируема в точке , более того

; ,

где производные всех функций берутся в соответственных точках.

Теорема (об инвариантности формы первого дифференциала):

;

.

+

+=+форма первого дифференциала не зависит от того, являются ли переменные в свою очередь функциями или нет.

БИЛЕТ 7.

Замечание: - несмешанная производная 4-го порядка. Если же среди переменных, по которым берутся производные, есть хотя бы 2 различные, то такая производная называется смешанной.

Пример: . - несмешанные производные. - смешанные производные.

Теорема (о равенстве смешанных производных):

Есть функция

Пусть:

1) в некоторой окрестности точки частные производные .

2) непрерывны в точке

Тогда в точке .

Следствие:

. Пусть и непрерывны все частные производные до -го порядка включительно в области . Тогда смешанные производные до -го порядка не зависят от порядка дифференцирования.

БИЛЕТ 8.

. . В правой части стоит функция от переменных . - некоторые фиксированные постоянные. Возьмем дифференциал от левой и правой частей.

.

Формальная запись:

. Аналогично,

Вообще:

Пусть

.

БИЛЕТ 9.

1) Касательный вектор.

,

Пусть . Тогда мы видим, что вектор направлен по касательной к кривой .

2) Касательная плоскость к поверхности .

- уравнение нормали.

БИЛЕТ 10.

Определение: говорят, что уравнение определяет однозначную неявную функцию в промежутке , если единств. :

Замечание:

явное задание функции: , неявное: .

Теорема (о существовании неявной функции):

Пусть:

1) определена и непрерывна в некоторой области:

,

2).

3). является строго монотонной по

Тогда существует некоторая окрестность точки , в которой

а) существует однозначная функция

б)

в) функция непрерывна в этой окрестности точки

БИЛЕТ 11.

Определение: говорят, что уравнение определяет однозначную неявную функцию в промежутке , если единств. :

Замечание:

явное задание функции: , неявное: .

Теорема (о дифференцируемости неявной функции).

Пусть:

1) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки .

.

2)

3) существуют и непрерывны в .

4) .

Тогда существует окрестность точки в которой

а) существует - однозначная неявная функция.

б)

в) непрерывна в этой окрестности

г) дифференцируема в этой окрестности, более того - непрерывная функция.

БИЛЕТ 12.

Теорема (без доказательства):

Пусть

1) определена и непрерывна в некоторой окрестности точки

2)

3) существуют и непрерывны все частные производные первого порядка: в точке

.

4). в точке

Тогда существует окрестность точки .

а) уравнение 2) определяет однозначную функцию

б)

в) - непрерывна в этой окрестности

г) существуют непрерывные частные производные в этой окрестности.

Определение: данная матрица называется матрицей Якоби системы функций по переменным .

множество функция вектор плоскость

.

Теорема:

Пусть

1) в некоторой окрестности точки функции определены и непрерывны.

2)

3) Существуют и непрерывны частные производные 1-го порядка по всем переменным:

в этой окрестности.

Тогда существует окрестность точки

а) система уравнений (х) определяет однозначных неявных функций

б)

в) - непрерывные функции от переменных

г) ),…,)- дифференцируемы в этой окрестности.

Замечание: (2)(в) сохранили в) для единообразия.

БИЛЕТ 13.

Теорема (Тейлора). Пусть имеет частные производные до -го порядка, непрерывные в некоторой окрестности точки . Тогда справедлива формула Тейлора:

,

где в берутся в точке , , , в производные берутся в точке

но ,

БИЛЕТ 14.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (о необходимом условии экстремума):

Пусть точка -точка экстремума для . Пусть функция имеет конечные частные производные 1-го порядка по всем переменным в точке . Тогда все частные производные 1-го порядка равны нулю в точке

: .

БИЛЕТ 15.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Теорема (о достаточном условии экстремума).

Пусть

1) в некоторой окрестности точки существуют и непрерывны частные производные по всем переменным до 2-го порядка включительно.

2) - стационарная точка , то есть .

Тогда, если квадратичная форма положительно (отрицательно) определена, то имеет минимум (максимум) в точке .

БИЛЕТ 16.

Определение: говорят, что в точке функция имеет максимум (минимум), если существует окрестность точки , для всех точек которой выполняется .

В случае строгого неравенства такой максимум (минимум) называется строгим. Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Пусть .

Теорема:

Пусть:

1) В некоторой окрестности точки существуют и непрерывны частные производные до второго порядка включительно.

2) - стационарная точка.

3) является знакопеременной квадратичной формой.

Тогда в точке экстремум отсутствует.

БИЛЕТ 17.

Пусть есть

- условия связи.

.

Определение: Говорят, что в точке функция имеет условный минимум (максимум) при условиях связи (*), если существует окрестность , такая, что выполнено условие . .

БИЛЕТ 18.

,

Теорема:

1) Пусть функции имеют в окрестности рассматриваемой точкинепрерывные производные 1-го порядка по всем переменным.

2)

3) -точка условного экстремума.

Тогда:

в точке .

БИЛЕТ 19.

Теорема:

Пусть

1) является точкой условного экстремума для функции при условиях связи (*):

2) Функции , имеют непрерывные частные производные первого порядка по всем переменным в некоторой окрестности точки .

3) в точке .

Тогда существуют числа : точка является стационарной точкой функции Лагранжа.

.

БИЛЕТ 21.

Последовательность чисел (1)

Опр. 1: называется частичной суммой ряда (1): .

Опр. 2: . Если существует предел (конечный или бесконечный), то этот предел называется суммой ряда.

Опр. 3: Пусть или не существует. Тогда говорят, что ряд (1) расходится. Если же существует конечная сумма , тогда говорят, что ряд (1) сходится, и его сумма равна .

Теорема 1. Пусть (1). Пусть ряд (1) сходится, тогда сходится и ряд , причем сумма

, (где ).

Теорема 2. (А), (В). Пусть ряды (А) и (В) сходятся., и их суммы равны А и В.

, . Тогда сходятся ряды и их суммы равны :

=.

Теорема 3. (принцип сходимости Коши). (1). Ряд (1) сходится :

, выполнено =.

Теорема 4. (необходимое условие сходимости числового ряда). Пусть ряд сходится. Тогда

- необходимое условие сходимости.

БИЛЕТ 22

Гармонический ряд . Пусть . Такой ряд называется положительным.

Теорема 1. Положительный ряд всегда имеет сумму. Эта сумма бесконечна (и тогда ряд расходится), если не ограничена сверху; сумма конечна, (и тогда ряд расходится), если ограничена сверху.

Теорема 2: Гармонический ряд расходится.

БИЛЕТ 23

Теорема. Пусть есть обобщенный гармонический ряд. Тогда:

ряд сходится, ряд расходится.

БИЛЕТ 24

Теорема 1 (признак сравнения).

(А), (В).

Пусть начиная с некоторого номера выполняется (*)

Тогда если ряд (А) расходится, то расходится и ряд (В). Если же ряд (В) сходится, то сходится и ряд (А).

Теорема 2 (признак сравнения в предельной форме).

(А), (В).

Пусть , но существующий предел . Тогда ряды (А) и (В) либо одновременно сходятся, либо одновременно расходятся.

Теорема 3 (признак сравнения).

Пусть начиная с некоторого номера . Тогда, если сходится ряд (В), то сходится и ряд (А). Если же расходится ряд (А), то расходится и ряд (В).

Размещено на Allbest.ru