Карл Фридрих Гаусс

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Реферат

Карл Фридрих Гаусс

Введение

Карл Фридрих Гаусс, которого современники называли королем математиков, родился в Брауншвейге (Германия) в семье водопроводчика, фонтанных дел мастера и садовника. Еще ребенком Гаусс обнаружил удивительные способности к различным вычислениям в уме. Как только мальчик научился говорить, он мучил всех окружающих вопросами.

- А это что? А это?

Взяв в руки книгу, он увидел в ней какие-то значки и тут же обратился с вопросом:

- Мама, а это что?

- Это буквы.

- А зачем они?

- Чтобы читать.

- А ну, прочти, мама.

Карл был удивлен: из букв складывались стена, а из слов целые предложения. А эти предложения могут рассказать о многом замечательном.

- Мама, научи меня читать.

- Нет детка, тебе это еще рано. Вот немного подрастешь, отдам тебя в школу, и там ты выучишься этой премудрости.

Но маленькому Гауссу не хотелось ждать. Путем расспросов он выучил все буквы и без особой помощи со стороны взрослых научился читать.

Отец Гаусса, чтобы поправить свои экономические дела, в летнее время снимал иногда подряды на производство каменных работ. Денежные расчеты с рабочими он имел обыкновение производить по субботам. В одну из таких суббот он подсчитал стоимость произведенной работы и сумму выплаты. Он уже хотел приступить к выдаче денег рабочим, как из детской постельки послышался голос:

- Папа счет твой неверен, у тебя получилось столько-то, а должно быть столько-то.

Отец и все присутствующие были удивлены репликой трехлетнего ребенка.

- Нет правильно! Я считал довольно внимательно! - сказал отец. - Однако мне ничего не стоит пересчитать вновь.

Проверив все расчеты, отец не без смущения должен был объявить, что прав не он, а его крохотный сын.

О своем искусстве считать в уме сам Гаусс впоследствии в шутку говорил:

- Я научился считать раньше, чем говорить.

Дебют Гаусса

Карл Фридрих родился 30 апреля 1777 г. в доме №1550, что стоял на канале Венденгребне в Брауншвейге. По мнению биографов, он унаследовал от родных отца крепкое здоровье, а от родных матери яркий интеллект. Ближе других был к будущему ученому дядя Фридерихс - искусный ткач, в котором, по словам племянника, «погиб прирожденный гений». Гаусс говорил о себе, что он «умел считать раньше, чем говорить». Самая ранняя математическая легенда о нем утверждает, что в три года он следил за расчетами отца с каменщиками-поденщиками и неожиданно поправил отца, причем оказался прав.

В 7 лет Карл Фридрих поступил в Екатерининскую народную школу. Поскольку считать там начинали с третьего класса, первые два года на маленького Гаусса внимания не обращали. В третий класс ученики обычно попадали в 10-летнем возрасте и учились там до конфирмации (15 лет). Учителю Бюттнеру приходилось заниматься одновременно с детьми разного возраста и разной подготовки. Поэтому он давал обычно части учеников длинные задания на вычисление, с тем, чтобы иметь возможность беседовать с другими учениками. Однажды группе учеников, среди которых был Гаусс, было предложено просуммировать натуральные числа от 1 до 100. (Разные источники называют разные числа!) По мере выполнения задания ученики должны были класть на стол учителя свои грифельные доски. Порядок досок учитывался при выставлении оценок. 10-летний Гаусс положил свою доску, едва Бюттнер кончил диктовать задание, Гаусс успел переоткрыть формулу для суммы арифметической прогрессии! Слава о чуде-ребенке распространилась по маленькому Брауншвейгу.

В школе, где учился Гаусс, помощником учителя, основной обязанностью которого было чинить перья младшим ученикам, работал некто Бартельс, интересовавшийся математикой и имевший несколько математических книг. Гаусс и Бартельс начинают заниматься вместе; они знакомятся с биномом Ньютона, бесконечными рядами…

Как тесен мир! Через некоторое время Бартельс получит кафедру чистой математики в Казанском университете и будет учить математике Лобачевского.

В 1788 г. Гаусс переходит в гимназию. Впрочем, в ней не учат математике. Здесь изучают классические языки. Гаусс с удовольствием занимается языками и делает такие успехи, что даже не знает, кем он хочет стать - математиком или филологом.

О Гауссе узнают при дворе. В 1791 г. его представляют Карлу Вильгельму Фердинанду - герцогу Брауншвейгскому. Мальчик бывает во дворце и развлекает придворных искусством счета. Благодаря покровительству герцога Гаусс смог в октябре 1795 г. поступить в Геттингенский университет. Первое время он слушает лекции по филологии и почти не посещает лекций по математике. Но это не означает, что он не занимается математикой.

Приведем слова Феликса Клейна, замечательного математика, глубокого исследователя научного творчества Гаусса: «Естественный интерес, какое-то, я сказал бы, детское любопытство приводит впервые мальчика независимо от каких-либо внешних влияний к математическим вопросам. Первое, что его привлекает, это чистое искусство счета. Он беспрестанно считает с прямо-таки непреоборимым упорством и неутомимым прилежанием. Благодаря этим постоянным упражнениям в действиях над числами, например, над десятичными дробями с невероятным числом знаков, он не только достигает изумительной виртуозности в технике счета, которой он отличался всю свою жизнь, но его память овладевает таким колоссальным числовым материалом, он приобретает такой богатый опыт и такую широту кругозора в области чисел, каким навряд ли обладал кто-либо до или после него. Путем наблюдений над своими числами, стало быть, индуктивным, «экспериментальным» путем он уже рано постигает общие соотношения и законы. Этот метод, стоящий в резком противоречии с современными навыками математического исследования был, однако, довольно распространен в XVIII столетии и встречается, например, также у Эйлера… Все эти ранние, придуманные только для собственного удовольствия забавы ума являются подходами к значительной, лишь позже осознанной цели. В том-то именно и заключается подсознательная мудрость гения, что он уже при первых пробах сил, полуиграя, еще не сознавая всего значения своих действий, попадает, так сказать, своей киркой как раз в ту породу, которая в глубине своей таит золотоносную жилу. Но вот наступает 1795 год, о котором мы имеем более точные показания… С еще большей силой, чем до сих пор (все еще до геттингенского периода), его охватывает страстный интерес к целым числам. Незнакомый с какой бы то ни было литературой, он должен был все создавать себе сам. И здесь он вновь проявляет себя как незаурядный вычислитель, пролагающий путь в неизвестное. Гаусс составляет большие таблицы простых чисел, квадратичных вычетов и невычетов, выражает дроби 1/р от р=1 до р=1000 десятичными дробями, доводя эти вычисления до полного периода, что в иных случаях требовало нескольких сотен десятичных знаков. При составлении последней таблицы Гаусс задался целью изучить зависимость периода от знаменателя р. Кто из современных исследователей пошел бы этим странным путем, чтобы получить новую теорему! Гаусса же привел к цели именно этот путь, по которому он шел с неимоверной энергией. (Он сам утверждал, что отличается от других людей только своим прилежанием.) Осенью 1795 г. Гаусс переезжает в Геттинген и прямо-таки проглатывает первые попавшуюся в его руки литературу: Эйлера и Лагранжа».

1 июня 1796 года в газете «Jenenser Intelligenzbllatt» появилась заметка следующего содержания:

«Всякому начинающему геометру известно, что можно геометрически (т.е. циркулем и линейкой) строить разные правильные многоугольники, а именно: треугольник, пятиугольник, пятнадцатиугольник и те, которые получаются из каждого из них путем последовательного удвоения числа его сторон. Это было известно во времена Евклида, и, как кажется, с тех пор было распространено убеждение, что дальше область элементарной геометрии не распространяется: по крайней мере, я не знаю удачной попытки распространить ее в эту сторону.

Тем более кажется мне заслуживающим внимания открытие, что, кроме этих правильных многоугольников, может быть геометрически построено множество других, например семнадцатиугольник».

Под заметкой стоит подпись: К.Ф. Гаусс из Брауншвейга, студент-математик в Геттингене.

Это первое сообщение об открытии Гаусса. Прежде чем подробно рассказывать о нем, стоит вспомнить то, что «известно каждому начинающему геометру».

О построениях циркулем и линейкой. Предполагается заданным отрезок единичной длины. Тогда при помощи циркуля и линейки можно стоить новые отрезки, длины которых получаются из длин имеющихся отрезков при помощи следующих операций: сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня.

Последовательно проводя эти операции, при помощи циркуля и линейки можно построить любой отрезок, длина которого выражается через единицу конечным числом операций сложения, вычитания, умножения, деления и извлечения квадратного корня. Такие числа называются квадратичными иррациональностями. Можно доказать, что никакие другие отрезки построить при помощи циркуля и линейки нельзя.

Задача о построении правильного n-угольника, как легко понять, эквивалента задаче о делении окружности радиуса 1 на n равных частей. Хорды дуг, на которые делится окружность, являются сторонами правильного n-угольника, и длина каждой из них равна 2 sin (р/n). Следовательно, при тех n, для которых sin (р/n) является квадратичной иррациональностью, можно построить правильные n-угольники циркулем и линейкой. Этому условию удовлетворяют, например, значения n=3,4,5,6,10. Для n=3,4,6 это хорошо известно.

Покажем, что sin (р/n) - квадратичная иррациональность. Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС, угол при вершине В которого равен р/5=36°, длина АВ равна 1; пусть AD - биссектриса угла А. Тогда х = АС = AD = BD = 2 sin (р/10). Имеем

;

Это число является квадратичной иррациональностью; тем самым мы можем построить сторону правильного 10-угольника.

Далее, из возможности деления окружности на р₁р₂ равных частей следует, конечно, возможность ее деления на р₁ равных частей (в частности, можно построить правильный пятиугольник). Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Укажем два частных случая, когда оно все же справедливо.

1. Из возможности деления окружности на р равных частей следует возможность деления на 2^kр равных частей для любого k. Это следует из возможности деления любого угла пополам при помощи циркуля и линейки.

2. Если мы умеем делить окружность на р₁ равных частей и р₂ равных частей, где р₁ и р₂ взаимно просты (например, р₁ и р₂ - различные простые числа), то окружность можно разделить на р₁р₂ равных частей. Это следует из того, что наибольшая общая мера углов 2 р/ р₁ и 2 р/ р₂ равна 2 р/ р₁р₂, а наибольшую общую меру двух соизмеримых углов можно найти циркулем и линейкой.

Несколько слов о комплексных числах. Комплексному числу z=a+ib ставится в соответствие точка с координатами (a, b) и вектор с концом в этой точке и началом в (0,0). Длина вектора называется модулем данного числа IzI. Комплексоне число z можно записать в тригонометрической форме: z=a+ib= r(cos+sin); угол называется аргументом числа z.

Сложению комплексных чисел соответствует сложение векторов; при умножении модули чисел перемножаются, а аргументы складываются. Отсюда следует, что существует ровно n корней уравнения zⁿ=1; обычно их обозначают через

, k = 0,1,…, n-1. (1)

Легко показать, что концы векторов являются вершинами правильного n-угольника. Если мы докажем, что - квадратичные иррациональности (т.е. что этим свойством обладают их вещественные и мнимые части), то тем самым мы покажем, что правильные n-угольник можно построить при помощи циркуля и линейки.

Правильные n-угольники и корни из единицы. Преобразуем уравнение zⁿ=1:

zⁿ - 1 = (z - 1) (z^n-1 + z^n-2 + … + z + 1) = 0

Получим два уравнения: z = 1 и z^n-1 + z^n-2 + … + z + 1 = 0 (2)

Уравнение (2) имеет своими корнями при 1? k ? n - 1. В дальнейшем будем иметь дело с уравнением (2).

При n=3 получаем уравнение z²+z+1=0. Его корни:

. При n=5 дело обстоит сложнее, так как мы получаем уравнение четвертой степени

z⁴+z³+z²+z+1=0, (3)

имеющее четыре корня . Хотя и существует формула Феррари для решения общего уравнения 4-й степени, пользоваться ею практически невозможно. В нашем случае помогает специальный вид уравнения (3). Чтобы решить его, разделим сначала уравнение (3) на z². Получим

z² + 1/z² + z + 1/z + 1 = 0 или (z + 1/z)² + (z + 1/z) - 1 = 0.

Сделаем подстановку щ =

щ² + щ - 1 = 0 (4)

Отсюда

щ_1,2 =

Далее можно найти

= щ₁, = щ₂, (5)

Но это нам не нужно; для построения достаточно знать, что удвоенная вещественная часть равна

2cos (2р/5) = = + = щ₁ =

Из того, что щ₁ - квадратичная иррациональность, следует, что и представляют собой квадратичные иррациональности. Для рассуждаем в точности также.

Итак, для n=5 решение нашей задачи удалось свести к последовательному решению двух квадратичных уравнений: сначала решается уравнение (2), корнями которого являются суммы + и + симметричных корней уравнения (3), а затем из уравнений (5) находятся и сами уравнения (3).

Именно таким путем Гауссу удалось осуществить построение правильного 17-угольника: здесь тоже выделяются группы корней, суммы которых находятся последовательно из квадратных уравнений. Но как искать эти «хорошие» группы? Гаусс находит удивительный путь ответить на этот вопрос…

Построение правильного 17-угольника. «30 марта 1796 года наступает для него (Гаусса) день творческого крещения… Гаусс уже занимался с некоторого времени группировкой корней из единицы на основании своей теории «первообразных» корней. И вот однажды утром, проснувшись, он внезапно ясно и отчетливо осознал, что из его теории вытекает построение семнадцатиугольника… Это событие явилось поворотным пунктом жизни Гаусса. Он принимает решение посвятить себя не филологии, а исключительно математике». (Ф. Клейн).

Остановимся подробнее на пути, по которому двигался Гаусс. Одна из математических игр юного Гаусса состояла в следующем. Он делил 1 на различные простые числа р, выписывая последовательно десятичные знаки, с нетерпением ожидая, когда они начнут повторяться. Иногда приходилось ждать долго. Для р = 97 повторение начиналось с 97-го знака, при р = 337 период равен 336. Но Гаусса не смущали длинные прямолинейные вычисления, он входил при их помощи в таинственный мир чисел. Гаусс не поленился рассмотреть все р<1000.

Известно, что Гаусс не сразу попытался доказать периодичность получающейся дробив общем случае (р?2, 5). Но вероятно, доказательство не затруднило его. В самом деле, достаточно лишь заметить, что следить надо не за знаками частного, а за остатками! Знаки начинают повторяться после того, как на предыдущем шагу остаток равнялся 1. Значит надо найти такое k, что 10^k - 1 делится на р. Так как имеется лишь конечное число возможных остатков (они заключены между 1 и р-1), для каких-то k₁ > k₂ числа 10^k1, 10^k2 при делении на р дадут одинаковые остатки. Но тогда 10 ^{k1 - k2} - 1 делится на р.

Несколько труднее показать, что в качестве k всегда можно взять р - 1, т.е. 10^р-1 - 1 при р ?2,5 всегда делится на р. Это частный случай теоремы, носящей название малой теоремы Ферма. Когда Ферма (1601-1655) открыл ее, он писал, что его «озарило ярким светом». Теперь ее переоткрыл Гаусс. ОН всегда будет ценить это утверждение: «Эта теорема… заслуживает величайшего внимания как вследствие ее изящества, так и ввиду ее выдающейся пользы».

Гаусса интересует наименьшее k, для которого 10^k - 1 делится на р. Такое k всегда является делителем р - 1. Иногда оно совпадает с р - 1 (например, для р=7, 17, 19, 23, 29). До сих пор неизвестно, конечно или бесконечно число таких р.

Гаусс заменяет 10 на любое число a и интересуется, когда а^k - 1 не делится на р при k<р - 1 (предполагается, что а не делится на р). Такие р принято называть первообразными корнями для а. Условие того, что р - первообразный корень, равносильно тому, что среди остатков от деления 1, а, а², …, а^р-2 на р встречаются все ненулевые остатки 1, 2, …, р - 1.

Гаусс не знал тогда, что первообразными корнями интересовался уже Эйлер (1707-1783), который предполагал (но не смог доказать), что для каждого простого числа существует хотя бы один первообразный корень. Первое доказательство гипотезы Эйлера дал Лагранж (1752-1833); очень изящное доказательство дал Гаусс. Но это было позднее, а пока Гаусс манипулировал с конкретными примерами. Он знал, например, что для а = 17 число 3 является первообразным корнем. В приводимой ниже таблице в первой строке стоят значения k, а под ними остатки от деления 3^k на 17. Стоит обратить внимание на то, что во второй строке встречаются все остатки от 1 до 16, что и означает первообразность 3 для 17.



0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1	3	9	10	13	5	15	11	16	14	8	7	4	12	2	6

Эти вычисления и легли в основу группировки корней уравнения

Z¹⁶ + z¹⁵ + z¹⁴ + … + z + 1 = 0 (6)

(с тем чтобы свести решение его к цепочке квадратных уравнений). Идея Гаусса состоит в том, что надо перейти к другой нумерации корней. Присвоим корню е_k новый номер l (обозначается е_[l]), если 3^l при делении на 17 дает остаток k. При переходе от одной нумерации к другой можно пользоваться таблицей, находя k во второй строке, а соответствующее l над ним в первой строке, но удобнее пользоваться рисунком, где по внешней стороне окружности написаны старые номера, а по внутренней - новые. Именно эта нумерация позволила Гауссу, разбивая корни (6) на группы, свести решение (6) к цепочке квадратных уравнений.

Именно, на первом шагу берутся у_2,0, у_2,1 - соответственно сумы корней е_[l] с четными и нечетными l (в каждой сумме по 8 корней). Эти суммы оказываются корнями квадратного уравнения с целочисленными коэффициентами. Далее, берутся суммы у_4,0, у_4,1, у_4,2, у_4,3 четверок корней е_[l], у которых l при делении на 4 дает фиксированный остаток. Показывается, что эти величины являются корнями квадратных уравнений, у которых коэффициенты арифметически выражаются через у_2,0, у_2,1. Наконец, образуются суммы у_s,I пар корней е_[l], у которых l при делении на 8 дает остаток i. Для них выписываются квадратные уравнения с коэффициентами, просто выражающимися через у_4,j. Имеем: у_s,0 = 2 cos (2р/17) и из квадратичной иррациональности у_s,0 следует возможность построения правильного семнадцатиугольника циркулем и линейкой. Поучительно записать разбиение корней на группы в старой нумерации. Но в таком виде угадать разбиение не возможно. Теперь реализуем только что описанный путь.

Подробные вычисления. Теперь мы докажем квадратичную иррациональность корней 17-й степени из единицы. Отметим, что е_kе_l = е_k+l (если k+l ?17, то k+l заменяется остатком от его деления на 17), е_k = (е₁)^k. Прежде всего отметим, что е₁ + е₂ + … + е₁₆ = е_[0] + е_[1] + … + е_[15] = - 1.

(В этом можно убедиться, например, рассматривая это выражение как сумму геометрической прогрессии.)

Обозначим через у_m,r сумму е_[k] с теми k, которые дают остаток r при делении на m. Получаем

Ясно, что

Можно показать, что

Теперь, воспользовавшись теоремой Виета, мы можем составить квадратное уравнение, корнями которого будут у_2,0, у_2,1:

Чтобы различить корни, опять воспользуемся рисунком. В каждую из сумм корни входят вместе со своими сопряженными. Ясно, что у_2,0 > у_2,1 (в первом случае нужно сложить и удвоить вещественные части корней е_1, е₂, е_4, е_8, во втором - е₃, е_5, е_6, е₇). Итак,

Рассмотрим суммы четверок корней:

Имеем: у_4,0 + у_4,2 = у_2,0; у_4,1 + у_4,3 = у_2,1. Можно показать далее, что у_4,0 Ч у_4,2 = у_2,0 Ч у_2,1 = - 1, а значит, у_4,0, у_4,2 - корни уравнения x² - у_2,0 x - 1 = 0. Решая это уравнение и учитывая, что у_4,0 > у_4,2, получаем после несложных преобразований

Аналогично показывается, что



Переходим к заключительному этапу. Положим

Можно было бы рассмотреть еще шесть такого рода выражений, но нам они не потребуются, так как достаточно доказать квадратичную иррациональность у_s,0 = 2 cos (2р/17), что уже позволяет построить правильный семнадцатиугольник. Имеем у_8,0 + у_8,4 = у_4,0; у_8,0 Ч у_8,4 = у_4,1; из рисунка видно, что у_8,0 > у_8,4, а потому у_8,0 - больший корень уравнения x² - у_4,0 x + у_4,1 = 0, т.е.

Мы несколько преобразовали непосредственно получаемое выражение для ;

Пользуясь полученной формулой для cos (2р/17), построение правильного 17-угольниука можно выполнить при помощи элементарных правил построения выражений, являющихся квадратичными иррациональностями. Разумеется, получится весьма громоздкая процедура. В настоящее время известны довольно компактные способы построения. В одном отношении формула для cos (2р/17) не оставляет сомнения. Прийти к ней в рамках традиционных геометрических идей времени Евклида невозможно. Решение Гаусса принадлежало другой эпохе в математике. Отметим, что наиболее содержательное утверждение - принципиальная возможность построение правильного 17-угольника. Сама процедура построения не столь существенна. Для доказательства возможности построения было достаточно убедиться, что на каждом шаге возникали квадратные уравнения с коэффициентами - квадратичными иррациональностями, не выписывая точных выражений (это становится особенно существенным при переходе к большим показателям).

В рассказанном решении уравнения (6) остался совершенно невыясненным вопрос о том, почему оказалось удачным разбиение корней, использующее нумерацию е_[l], как можно догадаться положить ее в основу решения? Сейчас мы, по существу, еще раз повторим решение, обнажив ключевую идею - исследование симметрий в множестве корней.

Симметрии в множестве корней уравнения (6). Прежде всего, задача о корнях из единицы тесно связана с арифметикой остатков от деления на n (по модулю n). Действительно, если еⁿ = 1, то е^k - также корень n-й степени из единицы, причем число е^k зависит только от остатка до деления k на n. Положим е = е₁; тогда е_k есть просто е в степени k, поэтому е_k Ч е_l = е_k+l, где сумма берется по модулю n (остаток от деления на n); в частности е_k Ч е_n-k = е₀ = 1.

Задача 1. Если р - просто число и д - любой комплексный корень р-й степени из единицы, то множество д^k, k = 0, 1, …, р - 1, содержит все корни р-й степени из единицы.

Указание. Нужно доказать, что в этом случае для всякого 0 < m < p среди остатков от деления чисел km, k = 0, 1, …, р - 1, на р содержатся все числа 0, 1, …, р - 1.

Обозначим через Т_k следующее преобразование (возведение в степень k): Т_kе_l = (е₁)^h = е_lk.

Задача 2. Доказать, что если n = p - просто число, то каждое из преобразований Т_k (k = 1, 2, …, р - 1) осуществляет взаимно однозначное отображение множества корней на себя (т.е. множество {Т_kе₀, Т_kе₁, …, Т_kе_р-1} совпадает с множеством всех корней {е₀, е₁, …, е_р-1}).

Задача 1 показывает, что для всякого 1?l?р - 1 множество {Т₀е_l, Т₁е_l, …, Т_p-1е_l} совпадает с множеством всех корней. Из задач 1 и 2 следует такой вывод: составим таблицу, в которой на пересечении k-й строки и l-го столбца стоит Т_kе_1, 1?k, l?р - 1; тогда в каждой строке и каждом столбце стоят все корни е₀, е₁, …, е_р-1 в некотором порядке без повторений. Отметим, что Т_p-1е_l = е_-l = (е_l)^-1.

Далее рассмотрим случай р = 17. Будем говорить, что множество корней М инвариантно относительно преобразования Т_k, если Т_kе₁ М для всем е₁ М. Относительно всех преобразований Т_k инвариантно лишь множество всех корней {е₁, …, е₁₆}.

Кардинальная догадка заключается в том, что группа корней тем «лучше», чем большее число преобразований оставляет эту группу инвариантной.

Введем для Т_k еще одну нумерацию Т_[l], как это было сделано для е_k: Т_[l] = Т_k, k = 3^l. В новых обозначениях

(сумму в квадратных скобках надо брать по модулю 16).

Задача 3. Доказать, что если некоторое множество корней инвариантно относительно некоторого Т_[k], где k нечетно, то это множество инвариантно относительно всех преобразований Т_[m], т.е. если оно не пусто, то совпадает с множеством всех корней.

Указание. Достаточно показать, что если k нечетно, то существует такое m, что km дает при делении на 16 остаток 1.

С другой стороны имеются две группы корней, инвариантные относительно всех Т_[k] с четным k: корни е_[l] с четными l и корни с нечетными l. Их суммы обозначим через у_2,0, у_2,1.

Ясно, что у_2,0 + у_2,1 = - 1. Исследуем у_2,0 Ч у_2,1. Это произведение является суммой попарных произведений е_[k]Ч е_[l], где k - четное, l - нечетное, каждое из которых является некоторым корнем е_[m], а всего - 64 слагаемых. Мы покажем, что среди них каждый из корней е_[0], е_[1], …, е_[15] встречается одинаковое число раз (четыре раза), а в результате у_2,0 Ч у_2,1 = - 4. Воспользуемся тем, что преобразования Т_[k] сохраняют группы корней при k четном и переводят их одна в другую при k нечетном. Каждое слагаемое в у_2,0 Ч у_2,1 однозначно представимо в виде е_[m] е_[m+r], где 0?m?15, r = 1, 3, 5, 7. Сгруппируем слагаемые с одинаковыми r. Полученные суммы будут иметь вид

Мы воспользовались тем, что

И уже упоминавшимися свойствами Т_[m].

Значения у_2,0, у_2,1 найдены выше.

Переходим к следующему шагу. Мы хотим ввести в рассмотрение новые, меньшие группы корней, инвариантные относительно каких-нибудь Т_[k]. По аналогии с задачей 3 можно показать, что при этом k обязательно должно делиться на 4. Поэтому имеется четыре группы корней, инвариантные всех Т_[4l] и меньшие, чем уже рассмотренные; запишем суммы корней в каждой группе: у_4,0, у_4,1, у_4,2, у_4,3. Мы уже отмечали, что у_4,0 + у_4,2 = у_2,0; у_4,1+ у_4,3 = у_2,1.

Вычислим произведение у_4,0 Ч у_4,2; оно представляется в виде суммы слагаемых вида е_[4l] е_[4l+2]. Каждое такое слагаемое однозначно записывается в виде е_[2m] е_[2m+2r], r = 1, 3, m = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Сгруппируем слагаемые с одним r и заметим, что е_[0] е_[2]= е₁ е₉= е₁₀ = е_[3], е_[0] е_[6] = е₁ е₁₅ = е₁₆ = е_[16]. При r = 1 получаем сумму

при r = 3 - сумму = у_2,0, т.е. у_4,0 Ч у_4,2 = у_2,0 + у_2,1 = - 1. Решая квадратные уравнения, мы нашли у_4,0, у_4,2.

На последнем шаге мы рассмотрим группы корней, инвариантные относительно Т_[8]; их восемь. В частности, у_8,0 Ч у_8,4 = у_4,0. Вычислим у_8,0 Ч у_8,4. Учитывая, что е_[0] е_[4]= е₁ е₁₃= е₁₄ = е_[9], получаем у_8,0 Ч у_8,4 = Т_[0]е_[9] + Т_[4]е_[9] + Т_[8]е_[9] + Т_[12]е_[9]= у_4,1. Это позволило найти у_8,0 = 2cos (2р/17) и тем самым закончить решение.

Мы видела, что рассуждение Гаусса целиком построено на использовании преобразований, переставляющих корни. Первым, кто обратил внимание на роль таких преобразований в вопросах разрешимости уравнений, был Лагранж (1736-1813). Вероятно, Гаусс в этот период еще не был знаком с работами Лагранжа. Позднее, Галуа (1811-1832) положил изучение этих преобразований в основу замечательной теории, ныне носящей его имя. По существу для уравнения деления круга Гаусс построил теорию Галуа в полном объеме.

Возможные обобщения и простые числа Ферма. Если не стремиться получить явное выражение для корней, а доказывать лишь их квадратичную иррациональность, то выкладки можно почти полностью опустить, обыгрывая, лишь соображения инвариантности. Именно, у_2,0, у_2,1 - сумма каких-то корней е_[l], а поскольку эта сумма переходит в себя под действием всех преобразований Т_[k], все корни входят в нее одинаковое число раз, а значит у_2,0 Ч у_2,1 - целое число. Аналогично, у_4,0 Ч у_4,2 не меняется при всех преобразованиях вида Т_[2k], а потому является комбинацией у_2,j; у_8,0 Ч у_8,4 сохраняется всеми Т_[4k], а значит, является комбинацией у_4,j.

Это сокращенное рассуждение позволяет выявить, на какие простые р обобщается доказательство Гаусса квадратичной иррациональности корней р-й степени из 1. Анализ показывает, что мы пользовались лишь тем, что р - 1 = 2^k (на каждом шаге группы делились пополам), и нумерацией корней, опирающейся на первообразность 3 для простого числа 17. Для нумерации можно было пользоваться любым первообразным корней. Как мы уже отмечали, для любого простого р хотя бы один первообразный корень существует (кстати, можно показать, что 3 является первообразным корнем для всех р вида 2^k + 1). Заметим также, что если р = 2^k + 1 - простое число, то k = 2^r. Итак, доказана возможность построения циркулем и линейкой правильного n-угольника для всех простых р вида

Простые числа вида имеют свою историю. Эти простые числа принято называть числами Ферма. Ферма предполагал, что все числа такого рода являются простыми. Действительно, при r = 0 получаем 3, при r = 1 - 5, при r = 2 - 17. Далее при r = 3 получается 257, при r = 4 - 65537. Оба эти числа простые. При r = 5 получается число 4294967297. Ферма и у него не обнаружил простых делителей, но Эйлер выяснил, что Ферма «просмотрел» делитель 641. Сейчас известно, что числа Ферма являются составными при r = 6,7,8,9,11,12,15,18,23,36,38,73 (например, при r = 73 имеется простой делитель 5Ч2⁷⁵ + 1). Имеется гипотеза, что существует лишь конечное число простых чисел Ферма.

Что касается правильных n-угольников для составного n, то в силу обстоятельств, отмеченных выше, мы сразу получаем возможность искомого построения для всех n>2 вида 2^kp₁p₂…p_l, где p₁p₂…p_l, - различные простые числа Ферма. Замечательно, что других n, для которых возможно построение, вообще не существует. Доказательство этого утверждения Гаусс не опубликовал: «Хотя границы нашего сочинения не позволяют провести этого доказательства, мы думаем, что надо все же на это указать для того, чтобы кто-либо не пытался искать других случаев, кроме тех, которые указаны нашей теорией, например, не надеялся бы свести на геометрические построения деление окружностей на 7, 11, 13, 19, … частей и не тратил бы зря своего времени». Из результата Гаусса следует принципиальная возможность построения правильного р-угольника при р=257 и 65537, однако вычисление корней, не говоря уже о явном описании построения, требует колоссальной, но совершенно автоматической работы. Замечательно, что нашлись желающие ее провести не только при р = 257 (Ришело это сделал в сочинении из 80 страниц; есть сведения, что это построение проделал и сам Гаусс), но и при р = 65537 (решение, полученное Гермесом, содержится в чемодане солидным размеров в Геттингене). Вот какую шутку придумал по этому поводу английский математик Дж. Литлвуд: «Один навязчивый аспирант довел своего руководителя до того, что тот сказал ему: «Идите и разработайте построение правильного многоугольника с 65537 сторонами». Аспирант удалился, чтобы вернуться через 20 лет с соответствующим построением».

Заключительные замечания. Мы уже отмечали, что день 30 марта 1796 года, когда было найдено построение правильного 17-угольника, решил судьбу Гаусса. Ф. Клейн пишет:

«С этой даты начинается дневник… Перед нашими глазами проходит гордый ряд великих открытий в арифметике, алгебре и анализе… И среди всех этих проявлений, мощных порывов гениального духа, можно сказать, трогательно находить до мелочей добросовестно выполненные ученические работы, от которых не освобождены и такие люди как Гаусс. Мы находим здесь записи добросовестных упражнений в дифференцировании, и непосредственно перед делением лемнискаты здесь встречаются совершенно банальные подстановки в интегралах, в которых должен упражняться любой студент».

Работа Гаусса надолго становится недосягаемым образцом математического открытия. Один из создателей неевклидовской геометрии Янош Бойяи (1802-1860) называл его «самым блестящим открытием нашего времени или даже всех времен». Только трудно было это открытие постигнуть! Благодаря письмам на родину великого норвежского математика Абеля (1802-1829), доказавшего неразрешимость в радикалах уравнений 5-й степени, мы знаем о трудном пути, который он прошел, изучая теорию Гаусса. В 1825 г. Абель пишет из Германии: «Если даже Гаусс - величайший гений, он, очевидно, не стремился, чтобы все это сразу поняли…» Он решает не встречаться с Гауссом, но позднее пишет из Франции: «Мне, в конце концов, удалось приподнять завесу таинственности, окружавшую до сих пор теорию деления круга, созданную Гауссом. Теперь ход его рассуждений ясен мне, как божий день». Работа Гаусса вдохновляет Абеля на построение теории, в которой «столько замечательных теорем, что просто не верится». ОН собирается в Германию, чтобы «взять Гаусса штурмом». Несомненно влияние Гаусса и на Галуа.

Сам Гаусс сохранил трогательную любовь к своему первому открытию на всю жизнь:

«Рассказывают, что Архимед завещал построить над своей могилой памятник в виде шара и цилиндра в память о том, что он нашел отношение объемов цилиндра и вписанного в него шара - 3:2. Подобно Архимеду Гаусс выразил желание, чтобы в памятнике на его могиле был увековечен семнадцатиугольник. Это показывает, какое значение сам Гаусс придавал своему открытию. На могильном камне Гаусса этого рисунка нет, но памятник, воздвигнутый Гауссу в Брауншвейге, стоит на семнадцатиугольном постаменте, правда, едва заметном зрителю» (Г. Вебер).

Золотая теорема

30 марта 1796 г., в день когда был построен правильный 17-угольник, начинается дневник Гаусса - летопись его замечательных открытий. Следующая запись в дневнике появилась уже 8 апреля. В ней сообщалось о доказательстве теоремы, которую он назвал «золотой». Частные случаи этого утверждения доказали Ферма, Эйлер, Лагранж. Эйлер сформулировал общую гипотезу, неполное доказательство гипотезы Эйлера. Впрочем, Гаусс еще не знал о работах своих великих предшественников. Весь нелегкий путь к «золотой теореме» он прошел самостоятельно!

Все началось с детских наблюдений. Иногда, глядя на очень большое число, можно сразу сказать, что из него нельзя извлечь корень. Например, можно воспользоваться тем, что квадраты целых чисел не могут оканчиваться ни на 2, ни на 3, ни на 7, ни на 8. А иногда можно воспользоваться тем, что квадрат целого числа может либо делиться на 3, либо давать остаток 1 (но никогда 2). Оба эти свойства имеют одну природу, поскольку последняя цифра - это остаток от деления на 10. Гаусса интересует общая проблема: какими могут вообще быть остатки от деления квадратов на различные простые числа. Исследуем и мы этот вопрос.

Квадратичные вычеты. Всюду ниже мы будем предполагать, что р = просто число, причем р?2. Делить целые числа можно «с недостатком» или «с избытком». Иными словами, остатки можно считать положительными или отрицательными. Условимся выбирать остаток наименьшим по абсолютной величине.

Нетрудно доказать, что если р нечетно, то всякое целое число n единственным образом представляется в виде

(1)

где q и r - целые.

Будем называть r остатком от деления n на р или вычетом числа n по модулю р. Это обозначается так: n r (mod p)

Выпишем в таблицу 1 вычеты для нескольких первых простых чисел p>2. Нас интересует, какие вычеты (остатки) могут иметь квадраты целых чисел. Эти остатки мы будем называть квадратичными вычетами, а остальные - квадратичными невычетами.

Числа n² и r², где r - остаток числа n по модулю р, имеютодин и тот же остаток при делении на р. Поэтому, если мы хотим найти квадратичные вычеты, то достаточно возводить в квадрат лишь вычеты, т.е. целые числа r, IrI?k = (p - 1)/2. При этом, разумеется, достаточно рассматривать r ? 0.

Проведем вычисления для простых чисел из предыдущей таблицы. Составим новую таблицу, в которой «жирые» числа отвечают квадратными вычетам (табл. 2).

Попытаемся подметить некоторые закономерности и оценить степень их общности. Во-первых, в каждой строке есть в точности k + 1 жирное число. Покажем, что так обстоит дело для всех простых p>2. Из сказанного выше следует, что для каждого нечетного р (даже не простоого) квадратичных вычетов не больше k + 1. Мы покажем, что их точно k + 1, если убедимся, что все числа r²(0?r?k) дают при делении на р различные остатки. Если r₁>r₂ и r₁² - r₂² дают одинаковые остатки, то r₁² - r₂² делится на р. Поскольку р - просто число, то r₁ + r₂ или r₁ - r₂ должно делиться на р, чего не может быть, так как 0< r₁ ± r₂ <2k<p. Здесь мы впервые воспользовались простотой р.

Теорема Ферма и критерий Эйлера. Далее, очевидно, что 0 и 1 являются жирными во всех строчках. Что касается остальных столбуов, то сразу не видна закономерность, согласно которой в них появляются жирные числа. Начнем с а = - 1. Оно является жирным при р = 5, 13, 17, … и не является при р = 3, 7, 11… Простые числа первой группы при делении на 4 дают остататок 1, а второй - остаток -1 (простые числа р?2 других остатков вообще давать не могут). Итак, можно предположить, что -1 является квадратичным вычетом для простых чисел вида р = 4l+1 и квадратичным невычетом для р = 4l - 1. Эту закономерность первым заметил Ферма, однако оставил ее без доказательства.

Первое доказательство после нескольких неудачных попыток нашел в 1747 году Эйлер. В 1755 году Эйлер нашел другое, очень изящное доказательство, использующее малую теорему Ферма: Если р - просто число, то для всякого целого а, 0<IaI<p,

а^р-1 (mod p). (2)

Доказательство. При р = 2 утверждение очевидно, и можно считать р нечетным. Рассмотрим р чисел 0, ±а, ±2а, ±3а, …, ±ka; k = (р - 1)/2. Все эти числа при делении на р дают разные остатки, так как в противном случае r₁a - r₂a, r₁> r₂, Ir₁I?k, Ir₂I?k, делится на р, так как 0<r₁ - r₂<p. Перемножим те из рассматриваемых чисел, которые отличны от нуля; получим (-1)^k(k!)²а^р-1. Поскольку среди остатков сомножителей содержатся все ненулевые вычеты и учитывая правило вычисления остатка произведения, получаем, что произведение имеет тот же вычет, что и (-1)^k(k!)², т.е. (k!)²(а^р-1 - 1) делится на р. Так как k! не делится на р (0<k<p), то на р делится а^р-1 - 1 и доказательство окончено.

Следствие (критерий Эйлера квадратичности вычета). Вычет b?0 является квадратичным тогда и только тогда, когда

b^k1 (mod p), (3)

Доказательство. Необходимость условия (3) устанавливается легко. Если а²b (mod p), 0<a<p, то а^2k = a^p-1 и b^k! должны иметь одинаковые вычеты, равные, в силу (2), единице. Достаточность показывается сложнее. Выведем ее из следующей леммы.

Лемма 1. Если Р(х) - многочлен степени l, р - простое число и имеется более l различных вычетов r по модулю р, для которых

P(r) 0 (mod p), (4)

то (4) имеет место для всех вычетов.

Доказательство будем вести индукцией по l. При l = 0 утверждение очевидно. Пусть оно справедливо для многочленов степени не выше l - 1. Пусть далее r₀, r₁, …, r_l, 0?r_j<p, удовлетворяют сравнению P(r) 0 (mod p). Представим Р(х) в виде Р(х) = (x - r₀) Q(x)+P(r₀), где Q(x) - многочлен степени l - 1, а P(r₀) делится на р. Тогда, поскольку P(r₀) делится на р, (r_j - r₀) Q(r_j) делится на р при 1?j?l. Так как r_j - r₀ не может делиться на р, то Q(r_j) делится на р, а тогда по предположению индукции Q(r) будет делится на р при всех r. Следовательно, P(r) делится на р при всех r.

Применим лемму к многочлену Р(х) = x^k - 1. Тогда соотношению (4) удовлетворяет k ненулевых квадратичных вычетов. Однако имеется вычет (r = 0), не удовлетворяющий (4); значит, по лемме, все квадратичные невычеты должны не удовлетворять (4) и, следовательно, условие (3) достаточно.

Замечание. Для квадратичного невычета b имеем: b^(p-1)/2 - 1 (mod p). Действительно, если бы b^(p-1)/2 r (mod p), то r² 1 (mod p), откуда r = - 1 (Сравнению r²1 (mod p) удовлетворяют только два вычета: r1 (mod p), r² -1 (mod p).)

Критерий Эйлера позволяет мгновенно решить вопрос о том, для каких р вычет -1 является квадратичным. Подставляя в (3) b = - 1, получаем, что при p = 4l + 1 (3) выполняется (k - четно), а при p = 4l - 1 (3) не выполняется (k - нечетно). Сформулированная выше гипотеза стала теоремой.

Задача 1. Доказать, что если р?2 есть простой делитель числа n²+1, то р = 4l+1.

Итак, мы доказали, что -1 - квадратичный вычет для p = 4l+1 и квадратичный невычет для p = 4l - 1.

Это утверждение состоит из двух частей: отрицательное утверждение для p = 4l - 1 и положительное для p = 4l+1. В первом случае естественно пытаться найти некоторое свойство, которому квадратичные вычеты удовлетворяют, а -1 не удовлетворяет, что и сделал Эйлер. Найденное свойство оказалось характеристическим, т.е. одновременно удалось доказать и вторую часть гипотезы. Доказательство Эйлера не эффективно в том смысле, что оно не дает явной конструкции для числа n по р, а лишь утверждает его существование. Иными словами, гарантируется, что если перебирать числа 1, 2, …, 2l, возводить их в квадраты, брать остатки от деления квадратов на р, то рано или поздно получится -1. Остается открытым вопрос, нельзя ли указать более явную конструкцию N и р, не использующую процедуры перебора. Положительный ответ дал Лагранж в 1774 году, используя следующую теорему.

Теорема Вильсона. Если p = 2k+1 есть простое число, то

(-1)^k(k!)² -1 (mod p). (5)

Для доказательства этой теоремы воспользуемся леммой 1. Положим Р(х) = (х² - 1) (х² - 4)… (х² - k²), Q(x) = x^2k-1 - 1. Тогда R(x) = P(x) - Q(x) - многочлен степени не выше 2k - 1, который при x = ±1, ±2, …, ±k делится на р (этим свойством обладают P и Q). По лемме R(x)0 (mod p) для всех х. Собственно, новым фактом является лишь то, что R(0)0 (mod p). Поскольку R(0) = (-1)^k(k!)²+1? Получаем (5).

Следствие Лагранжа. При p = 4l+1 имеем: [(2l)!]²-1 (mod p).

Задача 2. Доказать, что если (5) верно, то р - простое число.

Эта задача дает повод отметить, что в конструкции Лагранжа простота р существенна.

Выяснив, когда а = -1 является квадратичным вычетом, Эйлер, используя огромный числовой материал, пытается найти аналогичные условия для других а. Он подмечает, что при а=2 все зависит от остатка при делении на р на 8; 2 оказывается квадратичным вычетом для простых р=8l±1 и невычетом при р=8l±3 (простое число при делении на 8 может давать остатки ±1, ±3). Далее, 3 является квадратичным вычетом при р = 12l±1 и квадратичным невычетом при р = 12l±5. Эйлер высказывает гипотезу, что и в общем случае все определяется остатком от деления р на 4а.

Гипотеза Эйлера. Число а одновременно является или квадратичным вычетом или квадратичным невычетом для всех простых чисел, входящих в арифметическую прогрессию 4aq+r, q = 0,1,2,…; 0<r<4a.

Ясно, что 4а и r имеют общий делитель s>1, то в арифметической прогрессии не будет ни одного простого числа. Если же первый член и разность прогрессии взаимно просты, то, как утверждает теорема Дирихле (1805-1859), в этой прогрессии имеется бесконечное число простых чисел (обобщение теоремы о бесконечности числа простых чисел в натуральном ряду).

Возвратимся к гипотезе Эйлера. Оказалось, что критерий Эйлера, который выполнялся при а = -1, не действует при а = 2. Эйлеру не удалось разобраться в этом случае. Ему удалось доказать свою гипотезу, не считая а = -1, лишь при а = 3. Затем Лагранж доказал гипотезу при а = 2,5,7; Лежандр в 1785 г. предложил доказательство гипотезы для общего случая, которое однако, содержало существенные пробелы.

Доказательство Гаусса. Вначале Гаусс, как и его предшественники, замечает утверждение для а = -1, затем, уже угадав результат для общего случая, последовательно разбирает случай за случаем, продвинувшись дальше других: им рассмотрены а = ±2,±3,±5,±7. Общий случай (гипотеза Эйлера) не поддался первой атаке: «Эта теорема мучила меня целый год и не поддавалась напряженнейшим усилиям». Заметим, что это было то место, где Гаусс «догнал» современную математику: усилия крупнейших математиков, пытавшихся доказать гипотезу Эйлера, были безрезультатными.

Наконец, 8 апреля 1796 г. он находит общее доказательство, которое Кронекер (1823-1891) очень метко назвал «пробой сил гауссова гения». Доказательство проводится двойной индукцией по а и р; Гауссу приходится придумывать существенно различные соображения для рассмотрения восьми различных случаев. Нужно было иметь не только поразительную изобретательность, но и удивительное мужество, чтобы не остановится на этом пути. Позднее Гаусс нашел еще шесть доказательств «золотой» теоремы (ныне их известно около пятидесяти). Как это часто бывает, после того как теорема доказана, удается найти доказательства много более простые, чем первоначальное. Приведем доказательство, мало отличающееся от третьего доказательства Гаусса. В его основе лежит ключевая лемма, доказанная Гауссом не ранее 1808 года.

Лемма2. Пусть р = 2k+1 - простое число, а - целое число, 0<IaI?2k; r₁, r₂, …, r_k - вычеты чисел а, 2а, …, ka; v - число отрицательных среди них. Тогда