Карл Фридрих Гаусс

a^k(-1)^v(mod p) (6)

Применяя критерий Эйлера, получаем такое следствие:

Критерий Гаусса квадратичности вычета. Вычет является квадратичным тогда и только тогда, когда фигурирующее в лемме 2 число v четно.

Доказательство леммы 2. Заметим, что все вычеты r₁, …, r_k различны по абсолютной величине. Это следует из того, что сумма и разность любых двух из них не делится на р: r_i±r_j=(i+j) a, i?j; I i+j I<p, IaI<p. Таким образом, набор модулей Ir₁I, …, Ir_kI - это числа 1,2,…, k в некотором порядке. В результате аЧ2а … ka = a^kk! при делении на р дает тот же остаток, что и r₁, …, r_k = (-1)^vk!. Учитывая, что k! не делится на простое число р, получаем (6).

Доказательство гипотезы Эйлера. Заметим, что в приводимом рассуждении уже не используется простота р - она в полной мере использована в лемме Гаусса. Отметим на числовой оси точки (рис. 1, а, б) mp/2, если a>0, и - mp/2, если a<0; m=0,1,2,…, IaI. Занумеруем интервалы с концами в этих точках по номерам левых концов. Отметим теперь крестиками точки а, 2а, …, ka; так как а - целое число, неделящееся на р, то крестики не могут совпасть с ранее отмеченными точками, причем все крестики попадут в какие-то из построенных интервалов (IaIp/2>IaIk). Легко заметить, что фигурирующее в лемме число v - это число крестиков, попавших в интервалы с нечетными номерами.

Подвергнем теперь нашу картинку преобразованию подобия с коэффициентом 1/а (рис. 1 перейдет в рис. 2).

При этом точки mp/2 перейдут в точки, делящие отрезок [0, р/2] на IаI равных частей, а крестики - в целочисленные точки 1, 2, …, k.

Нумерация интервалов теперь будет зависеть от знака а: при а>0 они нумеруются номерами левых концов, при a<0 - номерами правых концов; v - число целочисленных точек в интервалах с нечетными номерами. Если мы увеличим р на 4al, то в каждый интервал добавится точно 2l целых точек. Это следует из того, что при сдвиге интервала на целое число количество целых точек в нем не меняется, а на любом отрезке целочисленной длины n или интервале длины n с нецелочисленными концами имеется ровно n целых точек. Итак, при изменении р на p+4al величина v изменится на четное число, а (-1)^v не изменится. Значит, для всех р в арифметической прогрессии p=4aq+r значение (-1)^v - одно и то же, и гипотеза Эйлера доказана.

Одновременно указан некоторый способ выяснить, является ли а квадратичным вычетом для р. Нужно взять остаток r от деления р на 4а (для удобства положительный); разделить (0, r/2) на IaI частей, занумеровав их номерами левых (правых концов), если а - положительное (отрицательное); сосчитать число v целых точек, попавших в интервалы с нечетными номерами; а-квадратичный вычет в том и только в том случае, когда v четно.

Дополнение к гипотезе Эйлера. Пусть р и q - простые числа и р + q = 4а. Тогда а одновременно является или квадратичным вычетом по модулю p и q, или квадратичным невычетом.

Доказательство. Выполним построения, указанные при доказательстве гипотезы Эйлера для интервалов (0, р/2), (0, q/2), а = (p+q)/4.

Для удобства расположим интервалы так, чтобы они имели точку 0 общей, находясь по разные стороны от нее; при этом интервал (0, q/2) мы перевернем (рис. 4). Пусть v(p), v(q) - число целых точек в интервалах с нечетными номерами для р и q соответственно. Нам достаточно доказать, что v(p)+v(q) - четно. Пусть v_j(p), v_j(q) - число целых точек в соответствующих интервалах с номерами j. Легко видеть, что v_j(p)+ v_j(q) =2 при j>0, откуда и будет следовать нужный результат.

Действительно, на интервале между j-ми левой и правой точками (J>0) лежит 2j целых точек, поскольку, как мы уже отмечали, на интервале длины 2j с нецелочисленными концами лежит 2j целых точек.

Квадратичный закон взаимности. В 1798 г. Лежандр указал очень удобное утверждение, эквивалентное гипотезе - квадратичный закон взаимности. Введем обозначение - так называемый символ Лежандра:

В силу критерия Эйлера

(7)

Отсюда сразу следует мультипликативное свойство символа Лежандра:

Отметим также, что символ Лежандра можно доопределить для всех а, не делящихся на р, с сохранением (7), (8), полагая

Квадратичный закон взаимности. Если p, q - нечетные простые числа, то

Другими словами, (p/q) и (q/p) имеют противоположные знаки, если p = 4l+3, q = 4m+3, и совпадают в остальных случаях.

Название закона связано с тем, что в нем устанавливается «взаимность» между вопросами о том, когда р - квадратичный вычет по модулю q и когда q - квадратичный вычет по модулю р.

Доказательство. Всегда или p - q = 4a, или p + q = 4a.

I случай. Пусть p - q = 4а, т.е. р и q имеют одинаковые остатки при делении на 4. Тогда (мы воспользовались (9), (8) и тем, что при всех q). Далее, . В силу уже доказанной гипотезы Эйлера , т.е. при и при . Остается вспомнить, что при р = 4l+1, при р = 4l+3.

II случай. Пусть p + q = 4a, т.е. p и q имеют разные остатки при делении на 4. Имеем . Аналогично, . В силу дополнения к гипотезе Эйлера , т.е. . Доказательство окончено.

Нетрудно заметить, что проведенные рассуждения можно обратить и вывести из квадратичного закона взаимности гипотезу Эйлера и дополнение к ней. Отметим еще, что формулы (8) - (10) дают способ вычисления существенно более простой, чем описанный выше комбинаторный способ. Проиллюстрируем это на примере:, т.к. ; . Легко показать, что вычисление символа Лежандра всегда можно свести к случаю, когда р или q равно 2.

Открытия Гаусса в других областях науки

Любимейшая наука величайших математиков. Это один из многочисленных эпитетов, которыми Гаусс наделял арифметику (теорию чисел). К тому времени арифметика из набора изолированных наблюдений и утверждений уже превратилась в науку.

Позднее Гаусс пишет: «Главным образом, более поздним исследователям, правда немногочисленным, но завоевавшим непреходящую славу, - таким, как Ферма, Эйлер, Лагранж, Лежандр, мы обязаны тем, что они нашли доступ к сокровищнице этой божественной науки и показали, какими богатствами она наполнена».

Одна из самых удивительных сторон «феномена Гаусса» заключается в том, что он в своих первых работах практически не опирался на достижения предшественников, переоткрыв за короткий срок то, что было сделано в теории чисел за полтора века трудами крупнейших математиков.

Гаусс использует пребывание в Геттингене для изучения трудов классиков, он переосмысливает их достижения, сопоставляет с тем, что он открыл сам. По его замыслу результаты этой деятельности должны были быть подытожены во всеобъемлющем труде. К написанию этой книги Гаусс приступает после возвращения в Брауншвейг в 1798 г. после окончания университета. В книгу должны были войти собственные результаты, все еще остававшиеся неопубликованными, если не считать газетной заметки, в которой сообщалось: «Это открытие является собственно лишь следствием одной еще не совсем законченной большой теории. КАК только она получит эту законченность, она будет предложена публике». На осуществление грандиозного замысла ушло четыре года напряженной работы.

В 1801 г. вышли знаменитые «Арифметические исследования» Гаусса. Эта огромная книга (более 500 страниц крупного формата) содержит основные результаты Гаусса: квадратичный закон взаимности, задачу деления круга, вопрос о представлении целых чисел в виде am²+bmn+cn² (в частности, в виде суммы квадратов). Книга была издана на средства герцога и ему посвящена. В изданном виде книга состояла из семи частей. На восьмую часть денег не хватило. В этой части речь должна была идти об обобщении закона взаимности на степени выше второй, в частности - о биквадратичном законе взаимности. Полное доказательство биквадратичного закона Гаусс нашел лишь 23 октября 1813 г., причем в дневниках он отметил, что это совпало с рождением сына.

Клейн писал: «В своих «Арифметических исследованиях» Гаусс в полном смысле этого слова создал современную теорию чисел и предопределил все ее дальнейшее развитие до нынешнего дня. Восхищение этим трудом возрастает еще больше, когда наблюдаешь, как Гаусс без всякого внешнего побуждения с самого начала черпает этот мир из самого себя».

За пределами «Арифметических исследований» Гаусс, по существу, теорией чисел больше не занимался. Он лишь продумывал и доделывал то, что было задумано в те годы. Например, он придумал еще шесть разных доказательств квадратичного закона взаимности. «Арифметические исследования» сильно опередили свое время. В процессе их создания Гаусс не имел серьезных математических контактов, а вышедшая книга долго не была доступна никому из немецких математиков. Во Франции, где можно было рассчитывать на интерес Лагранжа, Лежандра и др., книге не повезло: обанкротился книготорговец, который должен был распространять книгу, и большая часть тиража пропала. В результате ученикам Гаусса приходилось позднее переписывать отрывки из книги от руки. Положение в Германии стало меняться лишь в сороковых годах, когда Дирихле основательно изучил «Исследования» и читал по ним лекции. А в Казань - к Бартельсу и его ученикам - книга попала в 1807 г.

«Арифметические исследования» оказали огромное влияние на дальнейшее развитие теории чисел и алгебры. Отталкиваясь от работы Гаусса о делении круга, Галуа пришел к решению вопроса о разрешимости уравнений в радикалах. Законы взаимности до сих пор занимают одно из центральных мест в алгебраической теории чисел.

Гельмштадтская диссертация. В Брауншвейге Гаусс не имел литературы, необходимой для работы над «Арифметическими исследованиями». Поэтому он часто ездил в соседний Гельмштадт, где была хорошая библиотека. Здесь в 1798 г. Гаусс подготовил диссертацию, посвященную доказательству Основной теоремы алгебры - утверждения о том, что всякий многочлен с комплексными (в частности - действительными) коэффициентами имеет комплексный корень (если хотеть оставаться в области действительных чисел, то Основную теорему алгебры можно сформулировать так: всякий многочлен с действительными коэффициентами раскладывается в произведение многочленов первой и второй степени). Гаусс критически разбирает все предшествующие попытки доказательства и с большой тщательностью проводит идею Даламбера. Безупречного доказательства все же не получилось, так как не хватало строгой теории непрерывности. В дальнейшем Гаусс придумал еще три доказательства Основной теоремы.

Лемниската и арифметико-геометрическое среднее. В 1791 г., когда Гауссу было 14 лет, его занимала следующая игра. Он брал два числа a₀, b₀ строил для них среднее арифметическое a₁ = (a₀ + b₀)/2 и среднее геометрическое b₁ = . Затем он вычислял средние от a₁, b₁: a₂ = (a₁ + b₂)/2, b₂ = , и т.д. Гаусс вычислял обе последовательности с большим числом знаков. Очень скоро он уже не мог различить a_n и b_n - все вычисленные знаки совпадали. Другими ловами, обе последовательности быстро стремились к общему пределу М (a₀, b₀) (называемому арифметико - геометрическим средним).

В те же годы Гаусс много возился с кривой, называемой лемнискатой (или лемнискатой Бернулли), - множеством точек, произведение расстояний каждой из которой до двух фиксированных точек О₁, О₂ (фокусов) постоянно и равно (1/2IО₁, О₂I)². К систематическому изучению лемнискаты Гаусс перешел в 1797 году. Он долго пытается найти длину лемнискаты, пока не догадывается, что она равна IО₁, О₂I. Неизвестно, как Гаусс сообразил это, но известно, что это было 30 мая 1799 г. и что, не имея вначале доказательства, он сосчитал обе величины с одиннадцатью десятичными знаками. Гаусс придумал для лемнискаты функции, аналогичные тригонометрическим функциям для окружности. Например, для лемнискаты, расстояние между фокусами которой равно , лемнискатный синус sl t - это просто длина хорды, соответствующей дуге длины t. Последние годы XVIII столетия у Гаусса уходят на построение теории лемнискатных функций. Для них были получены теоремы сложения и приведения, аналогичные теоремам для тригонометрических функций.

От лемнискатных функций Гаусс переходит к их обобщению - эллиптическим функциям. Он понимает, что речь идет о «совершенно новой области анализа». После 1800 г. Гаусс уже не смог уделять эллиптическим функциям столько времени, сколько было необходимо для доведения теории до состояния, удовлетворяющего его своей полнотой и строгостью. С самого начала он отказался от регулярных публикаций, надеясь опубликовать все разом, как это было с арифметическими работами. Однако заботы так никогда и не доставили ему необходимого времени.

В 1808 г. он пишет своему другу и ученику Шумахеру: «С круговыми и логарифмическими функциями мы умеем теперь обходиться как единожды один, но великолепный золотой родник, хранящий сокровенное высших функций, остается пока почти неизведанной областью. Я очень много работал над этим прежде и со временем дам собственный большой труд об этом, на что я намекал еще в моих «Арифметических исследованиях». Приходишь в изумление от чрезвычайного богатства новых и в высшей степени интересных истин и соотношений, доставляемых этими функциями».

Гаусс считал, что может не торопиться с публикацией своих результатов. Тридцать лет так и было. Но в 1827 г. сразу два молодых математика - Абель и Якоби - опубликовали многое из того, что было им получено.

«Результаты Якоби представляют часть моей собственной большой работы, которую я собираюсь когда-нибудь издать. Она будет представлять исчерпывающий труд на эту тему, если только небесам будет угодно продлить мою жизнь и даровать мне силы и душевный покой» (письмо Шумахеру).

«Господин Абель предвосхитил многие мои мысли и примерно на треть облегчил мою задачу, изложив результаты с большой строгостью и изяществом. Абель шел тем же путем, что и я в 1798 г., поэтому нет ничего невероятного в том, что мы получили столь схожие результаты. К моему удивлению, это сходство распространяется даже на форму, а местами и на обозначения, поэтому многие его формулы кажутся списанными с моих. Но чтобы никто не понял меня не правильно, я должен добавить, что не помню ни одного случая, когда я говорил об этих исследованиях с кем-нибудь из посторонних» (письмо Бесселю).

Следует отметить, что замечание Гаусса в «Арифметических исследованиях» о том, что теорию деления круга можно перенести на лемнискату, оказало большое влияние на Абеля.

С наступлением нового века научные интересы Гаусса решительно сместились в сторону чистой математики. Он много раз эпизодически будет обращаться к ней и каждый раз получать результаты, достойные гения. В 1812 г. он опубликовал работу о гипергеометрической функции. (Эта функция зависит от трех параметров. Придавая им конкретные значения, можно получить большинство функций встречающихся в математической физике.) Широко известна заслуга Гаусса в геометрической интерпретации комплексных чисел. Однако никогда математика уже не будет главным делом его жизни. Характерный внешний штрих: в 1801 г. Гаусс прекращает регулярно вести дневник (хотя отдельные записи появляются до 1844 г.).

Малые планеты. Расскажем о новом увлечении Гаусса. Биографы много спорили о причинах, по которым Гаусс начал заниматься астрономией. Прежде всего надо иметь в виду, что, начиная с работ Кеплера, Галилея и Ньютона, астрономия была наиболее ярким местом приложения математики. Эта традиция была продолжена в трудах Эйлера, Даламбера, Клеро, Лагранжа, Лапласа. Предсказывая и объясняя небесные явления, математики чувствовали себя как бы допущенными к тайнам мироздания. Гаусс, с его ранним интересом к конкретным вычислениям, не мог, конечно, не попробовать своих сил на этом традиционном поприще.

Впрочем, были причины и прозаические. Гаусс занимал скромное положение приват-доцента в Брауншвейге, получая 6 талеров в месяц. Пенсия в 400 талеров от герцога-покровителя не настолько улучшила его положение, чтобы он мог содержать семью, а он подумывал о женитьбе. Получить где-нибудь кафедру по математике было бы не просто, да Гаусс и не очень стремился к активной преподавательской деятельности. Расширяющаяся сеть обсерваторий делала карьеру астронома более доступной.

Гаусс начал интересоваться астрономией еще в Геттингене. Кое-какие наблюдения он проводил в Брауншвейге, причем часть герцогской пенсии он израсходовал на покупку секстанта. Он ищет достойную вычислительную задачу, решая пока мелкие задачи. Так, он публикует простой способ вычисления времени пасхи и других циклических праздников вместо чрезвычайно путанных рецептов, которыми пользовались раньше. Мысль о настоящей задаче появилась в 1801 г. при следующих обстоятельствах.

1 января 1801 г. астроном Пиацци, составляющий звездный каталог, обнаружил неизвестную звезду 8-й звездной величины. Пронаблюдав за ней 40 дней, Пиацци обратился к крупнейшим астрономам с просьбой продолжить наблюдения. По разным причинам его просьба не была выполнена. В июне эти сведения дошли до Цаха, издававшего единственный в то время астрономический журнал. Цах высказал гипотезу, что речь идет «о давно подозреваемой между Марсом и Юпитером, а теперь, по-видимому, открытой, новой большой планете». Гипотеза Цаха показалась правдоподобной, и надо было срочно искать «потерянную» планету. А для этого надо было вычислить ее траекторию. Определить эллиптическую траекторию по дуге в 9^о, которую знал Пиацци, было за пределами вычислительных возможностей астрономов. В сентябре 1801 г., оставив все свои дела, вычислением орбиты занялся Гаусс. В ноябре вычисления были закончены. В декабрьском номере журнала Цаха они были опубликованы, а в ночь с 31 декабря на 1 января - ровно через год после наблюдений Пиацци - известный немецкий астроном Ольберс, основываясь на траектории, вычисленной Гауссом, нашел планету (ее назвали Церерой). Это была подлинная сенсация!

25 марта 1802 г. Ольберс открывает еще одну планету - Палладу. Гаусс быстро вычисляет ее орбиту, показав, что она располагается между Марсом и Юпитером. Действенность вычислительных методов Гаусса стала для астрономов несомненной.

К Гауссу приходит признание. Одним из признаков этого было избрание его членом-корреспондентом Петербургской академии наук. Вскоре его пригласили занять место директора Петербургской обсерватории. Гаусс пишет, что ему лестно получить приглашение в город, где работал Эйлер и серьезно думает о переезде. В письмах Гаусс пишет, что в Петербурге часто плохая погода, а потому он будет слишком занят наблюдениями, и будет оставаться время для занятий. Он пишет, что 1000 рублей, которые он будет получать, больше 4000 талеров, которые он имеет сейчас, но жизнь в Петербурге дороже.

В то же время Ольберс предпринимает усилия, чтобы сохранить Гаусса для Германии. Еще в 1802 г. он предлагает куратору Геттингенского университета пригласить Гаусса на пост директора вновь организованной обсерватории. Ольберс пишет при этом, что Гаусс «к кафедре математики имеет положительное отвращение». Согласие было дано, но переезд состоялся лишь в конце 1807 г. За это время Гаусс женился. В 1806 г. умирает от ран герцог, к которому Гаусс, по-видимому, был искренне привязан. Теперь его ничто не удерживает в Брауншвейге.

Жизнь Гаусса в Геттингене складывалась не сладко. В 1809 г. после рождения сына умерла жена, а затем и сам ребенок. Вдобавок Наполеон обложил Геттинген тяжелой контрибуцией. Сам Гаусс должен был заплатить непосильный налог в 2000 франков. За него попытались внести деньги Ольберс и, прямо в Париже, Лаплас. Оба раза Гаусс гордо отказался. Однако нашелся еще один благодетель, на этот раз - аноним, и деньги возвращать было некому (много позднее узнали, что это был курфюрст Майнцский, друг Гёте). «Смерть мне милее такой жизни», - пишет Гаусс между заметками о теории эллиптических функций. Окружающие не ценили его работ, считали его, по меньшей мере, чудаком. Ольберс успокаивает Гаусса, говоря, что не следует рассчитывать на понимание людей: «их нужно жалеть и им служить».

В 1809 г. выходит законченная 1807 г. знаменитая «Теория движения небесных тел, обращающихся вокруг Солнца по коническим сечениям». Задержка произошла отчасти из-за опасений издателя, что книга на немецком языке не найдет спроса, а Гаусс из патриотических соображений отказался печатать книгу на французском. Компромисс состоял в издании книги на латыни. Это единственная книга Гаусса по астрономии (сверх этого он напечатал несколько статей).

Гаусс излагает свои методы вычисления орбит. Чтобы убедиться в силе своего метода, он повторяет вычисление орбиты кометы 1769 г., которую в свое время за три дня напряженного счета вычислил Эйлер, потерявший после этого зрение. Гауссу на это потребовался час. В книге был изложен метод наименьших квадратов, остающийся по сей день одним из самых распространенных методов обработки результатов и наблюдений. Гаусс указывает, что он знает этот метод с 1794 г., а с 1802 г. систематически им пользуется. (За два года до выхода «Теории движения» Гаусса метод наименьших квадратов был опубликован Лежандром.)

На 1810 г. пришлось большое число почестей: Гаусс получил премию Парижской академии наук и Золотую медаль Лондонского королевского общества, был избран в несколько академий

В 1804 г. Парижская академия выбрала в качестве темы для большой премии (золотая медаль весом 1 кг) теорию возмущений Паллады. Срок дважды переносился (до 1816 г.) в надежде, что Гаусс представит работу. Гауссу помогал в вычислениях его ученик Николаи («юноша, неутомимый в вычислениях»), и все же вычисления не были доведены до конца. Гаусс прервал их, находясь в тяжелой депрессии.

Регулярные занятия астрономией продолжались почти до самой смерти. Знаменитую комету 1812 г. (которая «предвещала» пожар Москвы!) всюду наблюдали, пользуясь вычислениями Гаусса. 28 августа 1851 года Гаусс наблюдал солнечное затмение. У Гаусса было много учеников-астрономов (Шумахер, Герлинг, Николаи, Струве). Крупнейшие немецкие геометры Мёбиус и Штаудт учились у него не геометрии, а астрономии. Он состоял в активной переписке со многими астрономами, регулярно читал статьи и книги по астрономии, печатал рецензии.

Геодезия. К 1820 г. центр практических интересов Гаусса переместился в геодезию Еще в начале века он попытался воспользоваться результатами измерений дуги меридиана, предпринятых французскими геодезистами для установления эталона длины (метра), чтобы найти истинное сжатие Земли. Но дуга оказалась слишком мала. Гаусс мечтал провести измерение достаточно большой дуги меридиана. К этой работе он смог приступить только в 1820 г. Хотя измерения растянулись на два десятилетия, Гаусс не смог осуществить свой замысел в полном объеме. Большое значение имели полученные в связи с геодезией исследования по обработке результатов измерений (к этому времени относятся основные публикации о методе наименьших квадратов) и различные геометрические результаты, связанные с необходимостью проводить измерения на поверхности эллипсоида.

Электродинамика и земной магнетизм. К концу 20-х годов Гаусс, перешедший 50-летний рубеж, начинает поиски новых для себя областей научной деятельности. Об этом свидетельствуют две публикации 1829 и 1830 гг. Первая из них несет печать размышлений об общих принципах механики; другая посвящена изучению капиллярных явлений. Гаусс решает заниматься физикой, но его узкие интересы еще не определились. В 1831 г. он пытается заниматься кристаллографией. Это очень трудный год в жизни Гаусса: умирает его вторая жена, у него начинается тяжелейшая бессонница. В этом же году в Геттинген приезжает приглашенный по инициативе Гаусса 27-летний физик Вильгельм Вебер. Гаусс познакомился с ним в 1827 г. в доме Гумбольдта. Гауссу было 54 года; о его замкнутости ходили легенды, и все же в Вебере он нашел сотоварища по занятиям наукой, какого он никогда не имел прежде.

Интересы Гаусса и Вебера лежали в области электродинамики и земного магнетизма. Их деятельность имела не только теоретические, но и практические результаты. В 1833 г. они изобретают электромагнитный телеграф (это событие запечатлено в их общем памятнике). Первый телеграф связывал обсерваторию и физический институт. Пол финансовым причинам внедрить телеграф в жизнь его создателям не удалось.

В процессе занятий магнетизмом Гаусс пришел к выводу, что системы физических единиц надо строить, вводя некоторое количество независимых величин и выражая остальные величины через них.

Изучение земного магнетизма опиралось как на наблюдения в магнитной обсерватории, созданной в Геттингене, так и на материалы, которые собирались в разных странах «Союзом для наблюдения над земным магнетизмом», созданным Гумбольдтом после возвращения из Южной Америки. В это же время Гаусс создает одну из важнейших глав математической физики - теорию потенциала.

Совместные занятия Гаусса и Вебера были прерваны в 1843 г., когда Вебера вместе с шестью другими профессорами изгнали из Геттингена за подписание письма королю, в котором указывались нарушения последним конституции (Гаусс не подписал письма). Возвратился в Геттинген Вебер лишь в 1849 году, когда Гауссу было уже 72 года.

гаусс теорема электродинамика математик

Заключение

Гаусс - человек с универсальными математическими способностями; им затрагивались почти все главные отрасли чистой и прикладной математики, причем всюду девизом автора было: раnса sed matura (немного, но зрело); он оставил неопубликованными много работ, считая их не достаточно обработанными. Гаусс всегда стремился к оригинальности; затрагивая уже ранее разрабатывавшийся вопрос, казалось, что Гаусс не знаком с предшествовавшими работами, так оригинальны приемы и формы, которые Гаусс придавал изложению. К сожалению, эта оригинальность методы при излишней лаконичности изложения делает многие места сочинений Гаусса весьма трудными для читателя. Замечательная способность Гаусса к числовым выкладкам обнаружилась во многих его работах, о чем свидетельствуют посмертные рукописи.

Многие исследования Гаусс не публиковал при жизни. Они сохранились в виде очерков, набросков, переписки с друзьями. Изучением этих трудов до Второй мировой войны занималось Геттингенское научное общество, которому удалось издать 12 томов сочинений Гаусса. Наиболее интересную часть наследия составляет уже упоминавшийся дневник.

Научное творчество Гаусса наглядно показывает неосновательность деления наук на «чистые» и «прикладные»: «принц математиков» находил практические применения результатам своих фундаментальных исследований и из конкретных задач прикладных областей умел извлекать проблемы, представляющие интерес для фундаментальной науки.

Закончим рассказ о Гауссе словами Клейна: «Гаусс напоминает мне образ высочайшей вершины баварского горного хребта, какой она предстает перед глазами наблюдателя, глядящего с севера. В этой горной цепи в направлении с востока на запад отдельные вершины подымаются все выше и выше, достигая предельной высоты в могучем, высящемся в центре великане; круто обрываясь, этот горный исполин сменяется низменностью новой формации, в которую на много десятков километров далеко проникают его отроги, и стекающие с него потоки несут влагу и жизнь».

Список используемой литературы

1. Башмакова И.Г. Карл Фридрих Гаусс

2. Бюлер В.К. Гаусс. М., 2003

3. Энциклопедия, 2001

Размещено на Allbest.ru