Обыкновенные дифференциальные уравнения

Размещено на http://www.allbest.ru/

Обыкновенные дифференциальные уравнения

1. Понятие динамической системы и обыкновенного дифференциального уравнения. Определение решения обыкновенного дифференциального уравнения

Дифференциальным уравнением называются такие уравнения, в которых неизвестными являются функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только сами функции, но и их производные.

Например: или

Решением дифференциального уравнения называется такая функция независимой переменной t, что при подстановке ее вместо х в уравнение, уравнение обращается в тождество, т.е. для любого t справедливо:

Введено понятие решения дифференциального уравнения, но, может быть, у дифференциального уравнения таких решений не существует, и тогда понятие решения дифференциального уравнения было бы бессмысленным.

2. Определение решение дифференциального уравнения с начальными условиями. (Задача Коши)

Задамча Кошим -- одна из основных задач теории дифференциальных уравнений (обыкновенных и с частными производными); состоит в нахождении решения (интеграла) дифференциального уравнения, удовлетворяющего так называемым начальным условиям (начальным данным).

Задача Коши обычно возникает при анализе процессов, определяемых дифференциальным законом эволюции и начальным состоянием (математическим выражением которых и являются уравнение и начальное условие). Этим мотивируется терминология и выбор обозначений: начальные данные задаются при t = 0, а решение отыскивается при t > 0.

От краевых задач задача Коши отличается тем, что область, в которой должно быть определено искомое решение, здесь заранее не указывается. Тем не менее, задачу Коши можно рассматривать как одну из краевых задач.

Основные вопросы, которые связаны с задачей Коши, таковы:

Существует ли (хотя бы локально) решение задачи Коши?

Если решение существует, то какова область его существования?

Является ли решение единственным?

Если решение единственно, то будет ли оно корректным, то есть непрерывным (в каком-либо смысле) относительно начальных данных?

Говорят, что задача Коши имеет единственное решение, если она имеет решение y = f(x) и никакое другое решение не отвечает интегральной кривой, которая в сколь угодно малой выколотой окрестности точки (x₀,y₀) имеет поле направлений, совпадающее с полем направлений y = f(x). Точка (x₀,y₀) задаёт начальные условия.

3. Примеры динамических систем описываемых обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка

Пример 8. Накопление капитала.

Состояние системы описывается переменной х - капиталом (количеством денег).

, - фазовое пространство.

Вспомним поговорку «деньги к деньгам» т.е. скорость изменения капитала (прибыль или убытки) пропорциональна капиталу. Выразим это утверждение математически:

, (1.13)

где - скорость накопления капитала (прибыль);

x - капитал;

а - коэффициент пропорциональности, зависящий от предприимчивости и везения, размерность a равна 1/время, в случае вложения капитала в банк коэффициент a является базовой процентной ставкой, в случае вложения капитала в бизнес a является базовой процентной ставкой роста дохода от инвестиций.

Получилось линейное дифференциальное уравнение первой степени с постоянным коэффициентом а. В данной экономической задаче параметр a является процентной ставкой. При a>0 производная будет больше нуля, и капитал растет. При a<0 производная будет меньше нуля, и капитал убывает, например, в случае инфляции.

Запишем уравнение в другом виде:

, (1.14)

где - приращение капитала;

- приращение времени.

Таким образом, вторая форма записи уравнения накопления капитала читается как приращение капитала пропорционально приращению времени и капиталу, а - коэффициент пропорциональности. Графически уравнение (1.14) может быть представлено в виде рис. 1.8.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.8 Накопление капитала

В связи с важными приложениями задачи о накоплении капитала приведем еще один способ вывода уравнения (1.13).

Пусть капитал x(t) в момент t. Тогда капитал в следующий близкий момент времени будет равен капиталу в предыдущий момент времени плюс процентные деньги , накопившиеся за время

(1.15)

Отсюда относительный прирост капитала за промежуток времени будет равен

(1.16)

Переходя в (1.16) к пределу при получим уравнение (1.13) для описания динамики капитала:

.

Или по определению производной

Решение этого уравнения было получено ранее в общем виде (1.12). Если начальный момент времени t=0 равен , то зависимость капитала от времени описывается:

(1.17)

при а>0 капитал экспоненциально возрастает, при а<0 капитал будет экспоненциально убывать, при а=0 капитал не изменяется (см рис.1.8).

Отметим, что рост числа бактерий в питательной среде и рост числа научных публикаций с 1700 года по 1950 год изменяются по экспоненциальному закону в соответствии с дифференциальным уравнением (1.13) и его решением (1.17) при a>0.

Рассмотрим численный пример.

Пример 9. Народонаселение. Простейшая модель

Построим простейшую модель народонаселения

Пусть: х - население страны, , - фазовое пространство. Предположим, что средняя продолжительность жизни в стране равна Т и среднее количество детей на одного человека равно k. Требуется оценить количество населения x(t) в стране в момент времени t, если в начальные нулевой момент времени t=0 количество населения в стране было равно x₀.

Составим дифференциальное уравнение, описывающее динамику населения. Пусть dx - приращение населения за время dt.

Тогда имеем следующую схему для описания динамики населения страны:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.9 Схема динамики населения страна.

На рис 1.9 величина - прирост населения за промежуток времени dt за счет новорожденных, - убыль населения в результате смерти за то же время dt.

Тогда суммарное приращение населения может быть записано следующим дифференциальным уравнением:

Переписав уравнение (4) в другом виде, получим:

(1.18)

Пусть , тогда уравнение примет вид: .

В начальный момент времени население страны равно . Тогда, решив уравнение, в момент времени t имеем количество населения в стране:

, (1.19)

где

В качестве численного примера решим задачу для нашей страны. В России в 2010 году средняя продолжительность жизни составила почти 70 лет или 0,7 века (Т=0,7 века). Время будет измеряться в веках (т.к. значение Т взято в этих единицах измерения). Количество детей на одного человека - k - в таких странах как Россия, Франция, Германия меньше единицы. Для данной задачи возьмем k=0,5. Пусть население в начальный момент времени (100% населения).

Тогда общее решение задачи (6) примет вид:

Следующая таблица отражает, как будет изменяться численность населения нашей страны, если не будут меняться средняя продолжительность жизни и количество детей на одного человека:

Таблица 1.2

Время	Население
t, век
0	1
0,5	0,7
1	0,49
1,5	0,34
2	0,24

Из таблицы 1.2 видно, что при неизменных современных параметрах рождаемости и смертности через 100 лет население РФ сократится более чем вдвое, а через 200 лет более чем в 4 раза.

Пример 10. Простейшая модель распространения наркомании (эпидемии).

Пусть: х - количество наркоманов в страны;

Т - средняя длительность жизни наркомана (период времени от момента начала употребления наркотиков до смерти);

m - количество человек в год, которых наркоман вовлекает в наркоманию.

Тогда имеем следующую схему (рис.1.10) для описания динамики количества наркоманов:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.10 Схема динамики количества наркоманов.

На схеме - количество людей, вовлеченных в наркоманию за время dt; - количество наркоманов, которые погибнут за время dt.

Суммарное приращение количества наркоманов равно:

или

(1.20)

Вводя обозначение , имеем:

Если в начальный момент времени количество наркоманов равно , то в момент времени t имеем известное полученное ранее решение:

Рассмотрим численный пример для России. Пусть средняя длительность жизни наркомана T=5 лет, и он в среднем каждый год вовлекает одного человека в наркоманию - m=1. По независимым западным оценкам в 2010 году в России количество наркоманов составляет порядка млн. человек. При численности населения - 141,93 млн. человек, более 2% населения России составляют люди, зависимые от наркотиков. Подставляя данные в общее решение уравнения, имеем:

t, лет	, млн. чел.
0	3
0,5	4,5
1	6,6
1,5	9,9
2	14,9

Некоторые политические деятели выступают за легализации легких наркотиков. Рассмотрим, что может произойти в этом случае. Скорость роста количества наркоманов определяет коэффициент из (1.20). При легализации легких наркотиков увеличивается время жизни наркоманов T, а также увеличивается количество втянутых в наркоманию m, тогда а - коэффициент степени экспоненты в общем решении (1.20) увеличится. Следовательно, число наркоманов будет расти существенно быстрее.

Таким образом, политические деятели, выступающие за легализации легких наркотиков, лоббируют интересы наркомафии.

В порядке черного юмора можно предложить: если легализовать, то легализовать очень тяжелые наркотики. При их легализации время жизни наркоманов будет стремиться к нулю () и количество вовлеченных в наркоманию m будет падать из-за страха быстрой смерти. Тогда коэффициент становится большим отрицательным числом, что приведет к быстрому уменьшению количества наркоманов в стране.

Пример 11. Радиоактивный распад.

Процесс распада радиоактивного вещества описывается линейным однородным дифференциальным уравнением первого порядка с постоянным коэффициентом.

Действительно, пусть х - количество радиоактивного вещества в момент времени t. Из физики известно, что скорость распада радиоактивного вещества пропорциональна количеству этого вещества, т.е.

или ,

где а - множитель, зависящий от свойств радиоактивного вещества размерности .

Решение этого дифференциального уравнения известно:

. (1.21)

При этом, чем больше величина a, тем быстрее распадается радиоактивное вещество.

В физике принято вместо величины а скорость распада характеризовать периодом полураспада, т.е. временем Т, за которое распадается половина имеющегося радиоактивного вещества.

Установим связь между а и Т:

Таким образом, и период полураспада будет равен

Этот результат можно получить иначе. Период полураспада Т, означает, что вещество уменьшится вдвое, поэтому , тогда, подставляя в (1.21), имеем:

Логарифмируя обе части, получим: или .

Подставим последнее в (1.21):

Окончательно:

(1.22)

Из (1.22) видно, что при t = T, 2T, 3T, … количество радиоактивного вещества будет равно соответственно …

Радиоактивная опасность вещества кроме периода полураспада характеризуется также периодом полувыведения вещества из организма. Выведение вещества из организма описывается тем же дифференциальным уравнением, что и распад радиоактивного вещества.

Например, в результате ядерных испытаний и аварий на АЭС (Чернобыль 1986г., Фукусима-1 2011г. и др.) происходит выброс в окружающую среду радиоактивных изотопов цезия-137 (Cs¹³⁷) и стронция - 90 (Sr⁹⁰).

Период полураспада цезия-137 (Cs¹³⁷) равен 30 годам, период полувыведения равен 70 суткам. Для стронция - 90 (Sr⁹⁰) период полураспада равен 28,4 годам, период полувыведения равен 15,3 годам. Таким образом, стронций - 90 (Sr⁹⁰) является более опасным веществом и предельно допустимые нормы по нему существенно ниже, чем по цезию-137 (Cs¹³⁷).

4. Теорема существования и единственности обыкновенного дифференциального уравнения. Пример использования теоремы для доказательства общности решения линейного уравнения

Рассмотрим обыкновенное дифференциальное уравнение 1-го порядка, записанное в нормальной форме:

dy/dx=f(x,y)

Областью определения уравнения называется область D определения правой части уравнения f(x, y), D ? R² . Функция y = y(x) является решением задачи Коши

dy/dx=f(x,y),y(x₀ )=y₀

если y = y(x) дифференцируема на [a, b] , (x, y(x)) ? D для всех x из [a, b] , y(x₀) = y₀ , x₀?[a, b], и при подстановке в уравнение обращает его в тождество:

dy(x)/dx=f(x,y(x)).

Фундаментальным результатом теории обыкновенных дифференциальных уравнений является теорема существования и единственности решения задачи Коши:

Пусть функция f(x, y) и ее частная производная f_y(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости x0y и точка (x₀, y₀) принадлежит области D.

Тогда :

-- в некоторой окрестности (x₀ ? д, x₀ + д) точки x₀ существует решение задачи Коши

dy/dx=f(x,y),y(x₀ )=y₀

-- если y = ц₁(x) и y = ц₂(x) два решения задачи Коши, то ц₁(x) = ц₂(x) на (x₀ ? д, x₀ + д) .

Геометрически это означает, что если условия теоремы выполнены, то через каждую точку (x₀, y₀) области D проходит единственная интегральная кривая уравнения.

Бесконечное множество решений уравнения

dy/dx=f(x,y)

можно рассматривать как однопараметрическое семейство функций y = ц(x; x0) -- семейство решений задачи Коши

dy/dx=f(x,y),y(x₀ )=y₀

элементы которого различны для разных значений x0 . Иными словами область D "расслаивается" на интегральные кривые y = ц(x; x₀) .

Важно понимать, что результат теоремы имеет локальный характер -- существование и единственность решения гарантированы, вообще говоря, только в малой окрестности точки x0 . Важно также понимать, что условия теоремы существования и единственности достаточные условия. Нарушение условий теоремы не означает, что решение задачи не существует либо что оно не единственно.

5. Геометрическая интерпретация решения обыкновенного дифференциального уравнения. Фазовое пространство, векторное поле скоростей изменения состояния. Расширенное фазовое пространство

F(x,Y), и пусть вектор-функция Y = Ц(x) -- решение системы, определённое на промежутке [a, b].

Множество точек Ц(x), x? [a,b] -- кривая в пространстве R_Yⁿ. Эту кривую называют фазовой траекторией системы (или просто траекторией, или фазовой кривой), а пространство R_Yⁿ, в котором расположены фазовые траектории, называют фазовым пространством системы.Интегральная кривая системы определяется уравнением Y = Ц(x), x? [a,b], и изображается в (n +1)-мерном пространстве R_Y,_xⁿ⁺¹.

Фазовая траектория -- это проекция интегральной кривой на пространство R_Yⁿ.

На рисунке изображена интегральная кривая в пространстве R_Y,_x²⁺¹ и фазовая траектория в пространстве R_Y²:

6. Интегрирования уравнения в полных дифференциалах

Пусть имеется дифференциальное уравнение первого порядка:

, (2.22)

где g(x,t) и h(x,t) - функции двух переменных x и t.

Запишем это уравнение в виде:

(2.23)

Если существует функция F(x,t) такая, что

, (2.24)

то уравнения (2.22) и (2.23) называются уравнениями в полных дифференциалах.

В этом случае левая часть уравнения (2.23) является полным дифференциалом функции F(x,t). Действительно, подставляя (2.24) в (2.23), имеем:

Тогда уравнение (2.23) запишется в виде , согласно свойствам интегралов, это равенство равносильно тому, что

F(x,t)=C (2.25)

Последнее выражение будет общим интегралом дифференциального уравнения (2.23).

Теорема 2. Для того, чтобы уравнение (2.23) было уравнением в полных дифференциалах, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство:

(2.26)

Доказательство. Предположим, что уравнение (2.23) является уравнением в полных дифференциалах. Тогда, существует функция F(x,t) такая, что выполнено условие (2.24). Продифференцируем эти условия. Возьмем частные производные от функции g по переменной x и от функции h по переменной t. В результате получим в левой части условий (2.24) смешанную производную второго порядка функции F(x,t):

Полученное соотношение доказывает необходимость условия (2.26).

Строгое доказательство достаточности условия (2.26) сложно. Дадим конструктивную схему построения решения уравнения (2.23) и укажем место в построении, где используется условие (2.26).

Функция F(x,t), удовлетворяющая условию (2.24) может быть найдена следующим образом:

(2.27)

При интегрировании функции нескольких переменных применяются те же правила, что и при дифференцировании функции нескольких переменных. Поэтому переменная t, при интегрировании по х, является константой. Тогда произвольная постоянная будет являться функцией от t, т.е. С(t). Действительно, продифференцировав по х формулу (2.27), получим .

Для окончательного нахождения функции F(x,t) необходимо найти неизвестную С(t). Для этого воспользуемся вторым условием из (2.24) . Найдем производную от (2.27) по переменной t:

(2.28)

Приравнивая производную (2.28) функции , получим уравнение для нахождения С(t):

Или (2.29)

Важно, что используя условие (2.26) вида , можно доказать, что правая часть уравнения (2.29) будет зависеть только от t и может быть проинтегрирована. Если условие (2.26) не выполняется, то сделать невозможно.

Интегрируя (2.29) получим:

(2.30)

Окончательно, подставляем (2.30) в (2.27):

Тогда общий интеграл уравнения (2.22) или (2.23), согласно (2.25), имеет вид:

(2.31)

7. Интегрирования уравнения с разделяющимися переменными

Уравнение с разделяющимися переменными имеет вид:

(2.1)

Для разделения переменных необходимо, чтобы в одной части уравнения присутствовала только одна переменная (например, х), а в другой части уравнения только вторая (например, t). Чтобы разделить переменные, умножим обе части уравнения на dt и поделим на g(x), тогда получим следующую запись уравнения:

Полученное уравнение называют уравнением с разделенными переменными. Интегрирую обе части, получим:

(2.2)

После интегрирования, в левой части будет находиться функция от х, в правой - функция от t. Таким образом, получена связь между переменными х и t, это и будет общим решением дифференциального уравнения (2.1).

Уравнение с разделяющимися переменными может быть задано в другом виде:

(2.3)

Или

(2.4)

Уравнение (2.4) приводится к виду уравнения (2.3) путем замены в (2.4) производной функции на отношение дифференциалов :

Уравнение (2.3) приводится к уравнению (2.1) следующим образом:

Вводя обозначения: и , получим вид уравнения (2.1):

На практике приводить уравнения (2.3) и (2.4) к виду (2.1) не требуется. Действительно, деля обе части уравнения (2.3) на , получим:

Последнее уравнение есть уравнение с разделенными переменными, поэтому, интегрируя обе части, получим общий интеграл уравнений (3) и (4):

8. Интегрирование однородного линейного дифференциального уравнения первого порядка

Уравнение вида:

, (1)

называется линейным однородным уравнением первого порядка (здесь a(t) - некоторая функция от t).

Уравнение (1) является уравнением с разделяющимися переменными. Умножим обе части уравнения на dt и поделим на х:

Последнее уравнение с разделенными переменными, интегрируя, получим:

Пусть и , тогда общее решение примет вид: .

Пусть задано начальное условие: . Найдем частное решение уравнения (1):

Тогда частное решение имеет вид:

Согласно формуле Ньютона-Лейбница:

Окончательно частное решение принимает вид:

9. Интегрирование неоднородного линейного дифференциального уравнения первого порядка

Линейное неоднородное дифференциальное уравнение первой степени имеет вид:

, (1)

где a(t) и b(t) - некоторые функции независимой переменной t.

Теорема. Общее решение дифференциального уравнения (1) имеет вид:

, (2)

где , (3)

C - произвольная постоянная.

Если задано начальное условие , тогда решение задачи Коши (задачи с начальными условиями) дифференциального уравнения (1) имеет вид:

, (4)

где (5)

Доказательство. Решение однородного линейного дифференциального уравнения

Известно:

,

где .

Для нахождения решения неоднородного уравнения (1) будем использовать метод вариации произвольной постоянной. Этот метод говорит о том, что общее решение неоднородного уравнения можно искать в виде:

, (6)

где С(t) - неизвестная функция, зависящая от t, которую необходимо определить из (1) для нахождения общего решения.

Подставляя (6) в (1), заметим, что , имеем:

После сокращения одинаковых слагаемых, уравнение примет вид:

Тогда:

После интегрирования:

(7)

Подставляя (7) в (6), получаем:

,

что и требовалось доказать.

Решение задачи Коши. Запишем общее решение (2) в виде:

, (8)

где , (9)

Пусть задано начальное условие , подставляя которое в (8) имеем:

Из последнего найдем С:

(10)

Подставляем (10) в (8):

(11)

(последнее выражение получили, вынеся множитель за скобки).

Пусть (последнее равенство получается по формуле Ньютона-Лейбница).

Производя подстановку в (11), получим:

(12)

Рассмотрим выражение . Подставляя (9) в последнюю запись, получим:

Тогда в силу формулы Ньютона-Лейбница имеем:

Подставляем последнее в (12) и получаем (4):

,

что и требовалось доказать.

10. Свойства комплексных чисел. Формула Эйлера. Основная теорема алгебры

дифференциальное уравнение комплексный интегрирование

Множество комплексных чисел - это упорядоченная совокупность пар (a,b).

Алгебраическая форма записи комплексного числа:

,

где a, b - вещественные числа,

i - мнимая (комплексная) единица: или .

Определение 1. Число а называется вещественной частью комплексного числа х, b - мнимая часть числа x.

Для равенства двух комплексных чисел необходимо и достаточно, чтобы были равны их вещественные и мнимые части, т.е. если и , то

Для комплексных чисел вводятся операции сложения и умножения, аналогично операциям над вещественными числами. Операции вычитания и деления вводятся как обратные к операциям сложения и умножения соответственно. Пусть и , тогда:

1) суммой двух комплексных чисел и называется комплексное число . Таким образом, для сложения двух комплексных чисел необходимо сложить их вещественные и мнимые части;

2) умножением двух комплексных чисел и называется комплексное число . Для нахождения произведения двух комплексных чисел необходимо: найти разность произведений вещественных и мнимых частей - вещественная часть произведения; найти сумму произведений вещественных и мнимых частей - мнимая часть произведения;

3) разностью двух комплексных чисел и называется комплексное число . Для нахождения разности двух комплексных чисел необходимо найти разность их вещественных и мнимых частей;

4) отношением двух комплексных чисел и называется комплексное число .

Формула Эйлера. Для любого вещественного числа справедливо:

Применяя формулу Эйлера для тригонометрической формы комплексного числа , получаем экспоненциальную форму комплексного числа: .

Можно применять экспоненциальную форму комплексных чисел для нахождения произведений и отношений комплексных чисел. Пусть , . Перепишем эти числа в экспоненциальной форме: , . Тогда:

1.

2.

Теорема 3 (основная теорема алгебры). Алгебраическое уравнение n-ой степени

,

где x - неизвестное;

- вещественные числа (),

имеет ровно n корней, в том числе m вещественных корней () и 2k комплексно сопряженных корней (). При этом n=m+2k.

11. Однородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общие свойства решений линейного дифференциального уравнения n-ого порядка

Решение линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами можно осуществить аналитически методом Эйлера.

Частное решение уравнения ищется в виде

, (5)

где - некоторое комплексное число, подлежащее определению.

Подставим (5) в (3), для этого найдем все производные до n-го порядка:

Из (3) получаем:

Вынесем общий множитель за скобки:

Сократим на :

(6)

Отсюда следует, что должно удовлетворять алгебраическому уравнению (6).

,

где x₁, x₂,…,x_n - частные решения дифференциального уравнения (3).

Структура (4) общего решения уравнения (3) зависит от вида корней характеристического уравнения.

Возможны три случая:

1) Все корни характеристического уравнения простые вещественные. Тогда система решений: … будет фундаментальной.

Общее решение имеет вид:

2) Все корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные.

Пусть - комплексный корень характеристического уравнения (6), тогда также будет корнем уравнения (6).

Этим корням соответствуют частные решения:

3) Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

Пусть - вещественный корень кратности k. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения: … .

12. Метод Эйлера интегрирования дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение. Общее решение в случае простых вещественных корней характеристического уравнения

Решение линейного однородного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (3) можно осуществить аналитически методом Эйлера.

Частное решение уравнения (3) ищется в виде

, (5)

где - некоторое комплексное число, подлежащее определению.

Подставим (5) в (3), для этого найдем все производные до n-го порядка:

Из (3) получаем:

Вынесем общий множитель за скобки:

Сократим на :

 (6)

Отсюда следует, что должно удовлетворять алгебраическому уравнению (6).

Уравнение (6) называется характеристическим уравнением дифференциального уравнения (3).

Известно, что алгебраическое уравнение (6) имеет ровно n корней (см .приложение 1). Каждому корню характеристического уравнения соответствует частное решение дифференциального уравнения (3) x_i и слагаемое в общем решении C_i x_i.

Структура (4) общего решения уравнения (3) зависит от вида корней характеристического уравнения. Обозначим корни характеристического уравнения (6) через .

Возможны три случая:

4) Все корни характеристического уравнения простые вещественные. Тогда система решений: … будет фундаментальной.

Общее решение имеет вид:

13. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае простых комплексных корней характеристического уравнения

Все корни характеристического уравнения простые, но среди них есть комплексные.

Пусть - комплексный корень характеристического уравнения (6), тогда также будет корнем уравнения (6).

Этим корням соответствуют частные решения:

Пусть:

Тогда и будут линейно независимыми.

Таким образом, двум комплексно сопряженным корням и характеристического уравнения (6) соответствует два линейно независимых частных решения и .

Написав линейно независимые частные решения, соответствующие другим комплексно сопряженным парам корней и всем вещественным корням, получим фундаментальную систему решений уравнения (3). Линейная комбинация этих решений с произвольными постоянными вида (4) дает общее решение уравнения (3).

14. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных вещественных корней характеристического уравнения

Среди корней характеристического уравнения имеются кратные корни.

Пусть - вещественный корень кратности k. Тогда ему соответствует k линейно независимых частных решения: … .

Слагаемое в общем решении (4) соответствующее корню имеет вид:

.

Если комплексный корень кратности k, то и корень также будет корнем кратности k. Такой паре корней будет соответствовать 2k линейно независимых частных решений:

; ; ; … ;

; ; ; … ;

Слагаемое в общем решении (4) соответствующее корням и имеет вид:

.

В частном случае, когда корни и чисто мнимые (а=0), и , в общем решении таким корням будет соответствовать следующее слагаемое:

15. Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами в случае кратных комплексных корней характеристического уравнения

Согласно основной теоремы алгебры, данное уравнение имеет ровно четыре корня. Найдем их:

В результате получен один действительный корень кратности 2 пара, которому соответствует два слагаемых , и пара комплексно-сопряженных корней, которым соответствует слагаемое . Общее решение имеет вид:

16. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида f(t) e^at , где f(t) - многочлен

Напомним вид неоднородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами:

(2)

Неоднородное дифференциальное уравнение n-го порядка с постоянными коэффициентами (2) всегда может быть проинтегрировано в квадратурах методом вариации произвольных постоянных. Таким образом, общее решение уравнения (2) всегда может быть найдено.

Теорема 4. Общее решение x_он(t) уравнения (2) является суммой соответствующего ему однородного уравнения (3) и какого-либо частного решения исходного уравнения (2), т.е.

x_он(t)= x_оо(t)+ x_чн(t),

где x_он(t) - общее решение неоднородного уравнения;

x_оо(t) - общее решение однородного уравнения;

x_чн(t) - частное решение неоднородного уравнения.

Для нахождения общего решения неоднородного уравнения (2) можно применять метод Лагранжа, который позволяет найти частное решение уравнения (2). Для этого необходимо найти общее решение соответствующего ему однородного уравнения (3):

и искать частное решение (2) в виде:

где - фундаментальная система решений уравнения (3).

Функции ищутся из системы:

Согласно теореме 4 общее решение неоднородного уравнения (2) имеет вид

x_он(t)= x_оо(t)+ x_чн(t)

17. Неоднородные линейные дифференциальные уравнения n-ого порядка с постоянными коэффициентами. Общее решение, частное решение для правой части вида e^at * (f(t)*cos(bt) + g(t)*sin(bt)), где f(t), g(t) - многочлены

Решить уравнение

Ищем общее решение соответствующего исходному однородного уравнения .

Характеристическое уравнение имеет вид:

Его решение:

есть пара простых комплексно-сопряженных корней. Тогда общее решение однородного уравнения:

Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде:

Для нахождения неизвестных функций решаем систему:

В нашем случае система принимает вид:

Решаем эту систему:

Находим неизвестные функции :

Тогда частное решение неоднородного уравнения имеет вид:

Общее решение неоднородного уравнения:

18. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Автономная система обыкновенных дифференциальных уравнений. Положения равновесия, точки покоя

Если состояние динамического процесса описывается более чем одним числом, то в этом случае фазовое пространство становится многомерным, а динамический процесс описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.

Пусть -точка фазового n-мерного пространства . Тогда, для большого числа динамических систем верно, что скорость изменения состояния зависит от состояния и времени t. Отсюда получаем систему обыкновенных дифференциальных уравнений n-го порядка.

(1)

где - вектор скорости изменения состояния;

- некоторые функции от состояния и времени t.

Первая часть системы дифференциальных уравнений определяет скорость изменения состояния.

Система уравнений (1) может быть записана в матричном виде. Пусть x - вектор-столбец неизвестных и f(x,t) - вектор-столбец функция.

;

Тогда система (1) записывается в виде:

(2)

где ,

Введем понятия решения систем дифференцированных уравнений (1) или (2)

Множество из n функций называется решением дифференциального уравнения (1), если при подстановке их в дифференциальное уравнение оно превращается в тождество.

Общим решением системы (1) называется такое решение, которое охватывает все возможные решения системы (1).

Общее решение системы (1) будет зависеть от n производных постоянных

т.е. (3)

При некоторых условиях аналогичных условиям для уравнения первого порядка может быть сформулирована теорема существования и единственности решения.

Теорема.

Если при система находится в состоянии

(4),

то существует единственное решение

(5)

проходящее в момент через точку т.е.

(6).

Определение.

Система дифференциальных уравнений (1) или (2) называется автономной, если правые части системы не зависят от времени t т.е. скорость изменения состояния определяется только состоянием x.

В матричном виде система имеет вид

(7),

где , f(x) - n-мерная вектор-функция состояния x.

В развернутом виде автономная система имеет вид:

(8)

Приравняем первые части системы (8) к нулю. Найдем значение переменных удовлетворяющих системе из уравнений:

(9)

Система (9) из n уравнений для n неизвестных может иметь одно или несколько решений или не иметь решений (быть неразрешимой).

Пусть существует решение системы и пусть - одно из этих решений. Это набор из n-чисел для которых верно (9). С механической точки зрения это означает, что в этой точке скорость изменения состояния равна нулю, т.е. если система находится в этой точке, то она будет находиться в этой точке вечно.

С другой стороны, если подставить в систему дифференциальное уравнение (8) (10), то получится тождество. Это означает, что (10) является решением системы дифференциальных уравнений (8).

Тогда - называются положением равновесия или точкой покоя системы дифференциальных уравнений (8).

19. Пример системы дифференциальных уравнений, описывающей отношения хищник-жертва

Рассмотрим простейшее уравнение описывающее взаимоотношения хищника и жертвы (рысь-заяц, щука-карась и т.д.)

В этом случае фазовое пространство положительный квадрат плоскости: по оси абсцисс отложено количество жертв (заяц, карась); по оси ординат - количество хищников (рысь, щука). Приложенный в точке вектор указывает скорость изменения состояния. В некоторых точках вектор может обращаться в нуль. Также точки в соответствие с вышесказанным называются положением равновесия или точками покоя. В этом случае состояние не меняется с течением времени.

Размещено на http://www.allbest.ru/

P- неустойчивое положение равновесия.

С течением времени в системе устанавливаются колебания.

Равновесное состояние P неустойчиво. Установившиеся колебания изображаются замкнутой кривой на фазовой плоскости.

Эта кривая называется предельным циклом. Все остальные траектории, кроме положения равновесия P, стремятся к предельному циклу.

Если ввести систему координат с началом в точке равновесия P, то отношение хищник -жертва в первом приближении будут описываться автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка.

(11)

Где, - отклонение количества жертвы от равновесного,

- отклонение количества хищников от равновесного.

Покажем, что точка (0,0) является неустойчивым положением равновесия, а окружность радиусом 1 - устойчивым предельным циклом. Для этого перейдем в фазовом пространстве от декартовой системы координат (,) к полярной (r,).

(12)

Запишем систему дифференциальных уравнений (11) в полярной системе координат. Для этого сначала первое уравнение (11) умножаем на , второе уравнение (11) умножаем на и сложим, в результате получим:

или

Далее, переходя к полярной системе координат из (12) имеем:

Или, окончательно уравнение описывающее зависимость радиус-вектора r от времени будет иметь вид:

(13)

Это уравнение не зависит от угла .

Найдем уравнение описывающее зависимость угловой переменной от времини. Из (12) имеем:

(14)

Тогда для производной от угла имеем из (14):



Подставляя значения и из дифференциальных уравнений (11) получим:

Или, окончательно, угловая переменная не зависит от радиуса r и удовлетворяет дифференциальному уравнению.

(15)

Таким образом, системы дифференциальных уравнений (11) в полярной системе координат разделяются на 2 независимых уравнения (13) и (15) отдельно для радиус-вектора и угла .

Из уравнения (15) следует, что угол меняется с постоянной единичной угловой скоростью:

(16)

Рассмотрим теперь из (13) зависимость радиус вектора r от времени. Вообще говоря уравнение (13) является уравнением с разделяющимися переменными и может быть проинтегрировано. Действительно:

(17)

Разлогая под интегральные выражения на простейшие имеем:

(18)

Отсюда:

(19)

Подставляя в (19) r =0, r =1 и r = -2 получим соответственно A=1; B=-1/2; C=1/2 (20)

После подставим (20) в (18) интегрирование получим:

(21) или

(22)

Полученный интеграл позволяет вычислить r для различных моментов времени t, но неудобен для качественного анализа и сведения траекторий динамической системы.

Произведем качественный анализ поведения динамической системы, не интегрируя ее.

Для этого уравнение 13 запишем в виде:

, (23)

Где

Построим график зависимости f(r) от r.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Функция f(r)-нечетная функция, у которой имеются 3 корня r =0, r =1, r =-1.

Нас интересуют только положительные значения r>0.

На промежутке функция f(r)>0 положительна и в силу (23) производная от r по времени t тоже положительна и, следовательно, r на этом промежутке возрастает и стремиться к 1.

На промежутке функция f(r)<0 отрицательна и в силу (23) производная от r по времени t тоже отрицательно и, следовательно, r на этом промежутке убывает и стремится к 1.

При r =0 и r =1 функция f(r) обращается в ноль, и следовательно, из (23) эти точки являются положениями равновесия для (23).

Причем r =0 неустойчивое положение равновесия (траектории уходят из окрестности этого положения равновесия); а r =1 устойчивое положение равновесия (траектории стремятся к этому положению равновесия).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Возвращаясь к плоской картине и учитывая, что угол изменяется с постоянной единичной угловой скоростью, получим, что r =0 на плоскости соответствует неустойчивому положению равновесия (0,0), а r =1 на плоскости соответствует устойчивый замкнутый предельный цикл (окружность радиуса 1).

В этом случае не прибегая к получению аналитической формулы для решения дифференциального уравнения, произведено качественное исследование динамической системы на фазовой плоскости.

Из аналитического решения (22) данный результат получить было бы очень трудно.

Более точное описание взаимодействия хищника и жертвы дает:

Уравнение Лотки - Вольтерра (Lotka-Volterra).

,

Где: x - плотность жертв(в кг или км²);

y - плотность хищника;

a - удельный рост популяции при малом числе хищников;

b - эффективность хищника, удельная скорость с которой хищник убивает жертву;

- удельный коэффициент смертности, с которым хищники вымирают, когда нет жертв;

c - эффективность превращения хищником биомассы жертв в себя и потомство.

Фазовый портрет данной системы приведен на рисунке.

Видно, что в этом случае также имеется устойчивый замкнутый предельный цикл.

20. Численные методы решения дифференциальных уравнений. Способ Эйлера - Коши

Метод Эйлера - Коши

В данном методе на каждом интервале расчет проводится в два этапа. На первом (этап прогноза) определяется приближенное решение на правом конце интервала по методу Эйлера, на втором (этап коррекции) уточняется значение решения на правом конце с использованием полусуммы тангенсов углов наклона на концах интервала

Этот метод имеет второй порядок точности.

Неявный метод Эйлера - Коши

Если на правой границе интервала использовать точное значение производной к решению (т.е. тангенса угла наклона касательной), то получается неявный метод Эйлера-Коши (метод трапеций) второго порядка точности.

Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой

Комбинация (4.3), (4.4) и (4.5) дает метод формально второго порядка точности, но более точного в смысле абсолютной величины погрешности приближенного решения, чем исходные методы.

В формуле (6) правые верхние индексы в круглых скобках обозначают номер итерации, при этом начальное приближение определяется по методу Эйлера. Метод Эйлера-Коши с итерационной обработкой представляет собой реализацию метода простой итерации для решения нелинейного уравнения (5) в неявном методе Эйлера. Выполнять простые итерации до полной сходимости нет смысла, поэтому рекомендуется выполнять 3-4 итерации.

Первый улучшенный метод Эйлера

Данный метод использует расчет приближенного значения производной от решения в точке на середине расчетного интервала. Значение производной в середине получают применением явного метода Эйлера на половинном шаге по х.

Данная модификация метода Эйлера имеет второй порядок точности.

21. Понятие о качественных методах теории обыкновенных дифференциальных уравнений, теория бифуркации динамических систем, теория катастроф

Семь элементарных катастроф по Тому

Теория катастроф анализирует критические точки (репетиции) потенциальной функции, то есть точки, где не только первая производная функции равна нулю, но и равны нулю же производные более высокого порядка. Динамика развития таких точек может быть изучена при помощи разложения потенциальной функции в рядах Тейлора посредством малых изменений входных параметров. Если точки роста складываются не просто в случайный узор, но формируют структурированную область стабильности, эти точки существуют как организующие центры для особых геометрических структур с низким уровнем катастрофичности, с высоким уровнем катастрофичности в окружающих их областях фазового пространства. Если потенциальная функция зависит от трёх или меньшего числа активных переменных, и пяти или менее активных параметров, то в этом случае существует всего семь обобщённых структур описанных геометрий бифуркаций, которым можно приписать стандартные формы разложений в ряды Тейлора, в которые можно разложить репетиции при помощи диффеоморфизма (гладкой трансформации, обращение которой также гладко). Сегодня эти семь фундаментальных типов катастроф известны под именами, которые им дал Рене Том.

Катастрофа типа «Складка»

Стабильная и нестабильная части экстремума, исчезаемого при бифуркации типа «складка»

V = x³ + ax

При отрицательных значениях параметра a, потенциальная функция имеет два экстремума -- один стабильный (устойчивое равновесие) и один нестабильный (неустойчивое равновесие). Если параметр a медленно изменяется, система может находиться в точке стабильного минимума. Но если a = 0, стабильные и нестабильный экстремумы встречаются и аннигилируют. Это -- точка бифуркации. При a > 0 не существует стабильного решения.

Если физическая система проходит через точку бифуркации типа «свёртка», и поэтому параметр a достигает значения 0, стабильность решения при a < 0 внезапно теряется, и система может осуществить внезапный переход в новое, весьма отличное от предыдущего состояние. Это бифуркационное значение параметра a иногда называется «точкой фиксации».

Катастрофа типа «Сборка»

V = x⁴ + ax² + bx

Диаграмма катастрофы «сборка» с точкой возврата, на которой показаны кривые (коричневые, красные) по переменной x, удовлетворяющие выражению для параметров (a,b), кривые показаны для непрерывно изменяющегося параметра b при различных значениях параметра a. Вне геометрического места точек возврата (синяя область) для каждой точки (a,b) в фазовом пространстве существует только одно экстремальное значение переменной x. Внутри точек возврата существует два различных значения x, которые дают локальные минимумы функции V(x) для каждой пары (a,b). При этом указанные значения разделены локальным максимумом.

Бифуркация типа «вилка» при a = 0 на пространстве b = 0. Форма точек возврата в фазовом пространстве (a,b) около точки катастрофы, показывающая геометрическое место бифуркаций типа «свёртка», которое разделяет область с двумя стабильными решениями и область с одним решением. Геометрия точек возврата весьма обычна, когда производится изучение того, что происходит с бифуркациями типа «свёртка» при добавлении в управляющее пространство нового параметра b. Изменяя параметры, можно найти, что имеется кривая (синяя) точек в пространстве (a,b), на которой теряется стабильность, то есть на этой кривой стабильное решение может внезапно «перепрыгнуть» на альтернативное значение (также стабильное).

Но в геометрии точек возврата кривая бифуркаций заворачивает назад, создавая вторую ветвь, на которой уже это второе решение теряет стабильность, а потому может совершить «прыжок» назад на исходное множество решений. При повторном увеличении значения параметра b и последующем уменьшении его, можно наблюдать гистерезис в поведении петель, поскольку система следует по одному решению, «перепрыгивает» на другое, следует по нему и «перепрыгивает» назад на исходное.

Однако это возможно только в области в параметрическом пространстве при a < 0. Если значение параметра a увеличивается, петли гистерезиса становятся меньше и меньше, пока значение a не достигнет 0. В этой точке петли исчезают ( катастрофа с точкой возврата), и появляется только одно стабильное решение.

Также можно рассмотреть процесс изменения параметра a при неизменном значении b. В симметричном случае при b = 0 можно наблюдать бифуркацию типа «вилы» при уменьшающемся значении параметра a одно стабильное решение внезапно разделяется на два стабильных решения и одно нестабильное. В это время физическая система проходит в область a < 0 через точку возврата (a = 0,b = 0) (это -- пример спонтанного нарушения симметрии). Вдали от точки возврата не существует внезапных изменений в физической системе, поскольку при прохождении по кривой бифуркации свёртки происходит только то, что становится доступным второе альтернативное решение.

Одно из наиболее интересных предложений по использованию катастрофы с точкой возврата заключается в том, что этот тип катастрофы можно использовать для моделирования поведения собаки, которая в ответ на внешнее воздействие может испугаться или обозлиться. Предложение заключается в том, что при умеренном воздействии (a > 0) собака будет проявлять плавное изменение отклика с испуга на злость в зависимости от того, как было проведено воздействие. Но более высокий уровень воздействия -- это стресс, соответствующий переходу в область a < 0. В этом случае если собака изначально испугалась, она останется испуганной при увеличении уровня воздействия на неё, пока в конечном итоге она не достигнет точки возврата, где произойдёт спонтанный переход в режим злобы. При переходе в этот режим собака будет оставаться озлобленной даже в случае постепенного снижения воздействия на неё.

Другой пример прикладного применения катастрофы с точкой возврата заключается в моделировании поведения электрона при перемещении с одного энергетического уровня на другой, что часто наблюдается в химических и биологических системах. Это указывает на то, что бифуркации рассмотренного типа и геометрия точек возврата является наиболее важной практической частью теории катастроф . Это -- шаблоны, которые проявляются вновь и вновь в физике, инженерии и математическом моделировании.

Оставшиеся простые геометрии катастроф являются более специализированными по сравнению с только что рассмотренной, а потому проявляются только в некоторых отдельных случаях.

Катастрофа типа «Ласточкин хвост»

V = x⁵ + ax³ + bx² + cx

Управляющее пространство в данном типа катастроф является трёхмерным. Каскад бифуркаций в фазовом пространстве состоит из трёх поверхностей бифуркаций типа «свёртки», которые встречаются на двух кривых бифуркаций с точками возврата, которые в конечном итоге встречаются в одной точке, представляющей собой бифуркацию типа «ласточкин хвост».

По мере прохождения значений параметров по поверхностям областей бифуркаций типа «свёртка» пропадает один минимум и один максимум потенциальной функции. В области бифуркаций с точкой возврата два минимума и один максимум замещаются одним минимумом; за ними бифуркации типа «свёртка» исчезают. В точке ласточкиного хвоста два минимума и два максимума встречаются в одном значении переменной x. Для значений a > 0 за ласточкиным хвостом существует либо одна пара (минимум, максимум), либо не существует вообще никаких бифуркаций. Это зависит от значений параметров b и c. Две поверхности бифуркаций типа «свёртка» и две линии бифуркаций с точками возврата встречаются при a < 0, а потому исчезают в самой точке ласточкиного хвоста, заменяясь одной поверхностью бифуркаций типа «свёртка». Последняя картина Сальвадора Дали под названием «Ласточкин хвост» создана под влиянием этого типа катастроф.

Катастрофа типа «Бабочка»

V = x⁶ + ax⁴ + bx³ + cx² + dx

В зависимости от значений параметров потенциальная функция может иметь три, два или один локальный минимум, причём все минимумы разделены областями с бифуркациями типа «свёртка». В точке с поэтичным наименованием «бабочка» встречаются три различные пространства (трёхмерных плоскости) таких бифуркаций типа «свёртка», две поверхности бифуркаций с точками возврата и скривая бифуркаций типа «ласточкин хвост». Все эти бифуркации пропадают в одной точке и преобразуются в простую структуру с точкой возврата тогда, когда значение параметра a становится положительным.

Потенциальные функции с двумя активными переменными

Омбилические катастрофы являются примерами катастроф второго порядка. Они, к примеру, могут наблюдаться в оптике при отражении света от трёхмерных поверхностей. Сами по себе такие катастрофы тесно связаны с геометрией почти сферических поверхностей. Рене Том предложил рассматривать гиперболическую омбилическую катастрофу как разрушение волны, а эллиптическую омбилическую катастрофу Ї как процесс создания структур, похожих на волосяной покров.

Гиперболическая омбилика

V = x³ + y³ + axy + bx + cy

Эллиптическая омбилика

V = x³ / 3 ? xy² + a(x² + y²) + bx + cy

Параболическая омбилика

V = yx² + y⁴ + ax² + by² + cx + dy

22. Бифуркации положений равновесия динамической системы. Пример: модель рыболовства. Перспективы использования теории катастроф.

Бифуркация -- это приобретение нового качества в движениях динамической системы при малом изменении её параметров.

Центральным понятием теории бифуркации является понятие (не)грубой системы (см. ниже). Берётся какая-либо динамическая система и рассматривается такое (много)параметрическое семейство динамических систем, что исходная система получается в качестве частного случая -- при каком-либо одном значении параметра (параметров). Если при значении параметров, достаточно близких к данному, сохраняется качественная картина разбиения фазового пространства на траектории, то такая система называется грубой. В противном случае, если такой окрестности не существует, то система называется негрубой.

Таким образом в пространстве параметров возникают области грубых систем, которые разделяются поверхностями, состоящими из негрубых систем. Теория бифуркаций изучает зависимость качественной картины при непрерывном изменении параметра вдоль некоторой кривой. Схема, по которой происходит изменение качественной картины называется бифуркационной диаграммой.

Основные методы теории бифуркаций -- это методы теории возмущений. В частности, применяется метод малого параметра (Понтрягина).