Обыкновенные дифференциальные уравнения
Динамическая система и обыкновенное дифференциальное уравнение. Теорема существования и единственности обыкновенного дифференциального уравнения. Интегрирование уравнения в полных дифференциалах. Свойства комплексных чисел и основная теорема алгебры.
| Рубрика | Математика |
| Вид | практическая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 02.03.2012 |
| Размер файла | 484,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Бифуркация равновесий
В механических системах, как правило, установившиеся движения (положения равновесия или относительного равновесия) зависят от параметров. Значения параметров, при которых наблюдается изменение количества равновесий, называются их бифуркационными значениями. Кривые или поверхности, изображающие множества равновесий в пространстве состояний и параметров, называются бифуркационными кривыми или бифуркационными поверхностями. Прохождение параметра через бифуркационное значение, как правило, сопровождается изменением свойств устойчивости равновесий. Бифуркации равновесий могут сопровождаться рождением периодических и других, более сложных движений.
23. Линейное неоднородное дифференциальное уравнения второго порядка. Амплитудочастотная и фазочастотная характеристика. Резонанс
Уравнение вида
y" + py' + qy = f(x),
где р и q -- вещественные числа, f(x) -- непрерывная функция, называется линейным неоднородным уравнением второго порядка с постоянными коэффициентами.
Общее решение уравнения представляет собой сумму частного решения неоднородного уравнения н общего решения соответствующего однородного уравнения. Нахождение общего решения однородного уравнения изучено. Для нахождения частного решения воспользуемся методом неопределенных коэффициентов, не содержащим процесса интегрирования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения y" + py' + qy = f(x).
1) Правая часть имеет вид F(x) = Pn(x), где Pn(х) - многочлен степени n. Тогда частное решение у можно искать в виде , где Qn (x) - многочлен той же степени, что и Pn (х), а r - число корней характеристического уравнения, равных нулю.
Пример 5.1. Найти общее решение уравнения у" - 2у' + у = x+1.
Решение:
Общее решение соответствующего однородного уравнения имеет вид У = ех (C1 + C2x) (см. пример 3). Так как ни один из корней характеристического уравнения k2 - 2k + 1 = 0 не равен нулю (k1 = k2 = 1), то частное решение ищем в виде , где А и В - неизвестные коэффициенты. Дифференцируя дважды и подставляя , ' и " в данное уравнение, найдем -2А + Ах + В = х + 1.
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х в обеих частях равенства: А = 1, -2А + В = 1, - находим А = 1, В = 3. Итак, частное решение данного уравнения имеет вид = х + 3, а его общее решение у = еx (С1 + C2x) + х + З.
2) Правая часть имеет вид f(x) = eax Pn(x), где Рn (х) - многочлен степени n. Тогда частное решение следует искать в виде , где Qn(x) - многочлен той же степени, что и Рn (х), а r -- число корней характеристического уравнения, равных а. Если а = 0, то f(х) = Рn (х), т. е. имеет место случай 1.
Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) -- частотная зависимость разности фаз между выходным и входным сигналами.
§ Для линейной электрической цепи, зависимость сдвига по фазе между гармоническими колебаниями на выходе и входе этой цепи от частоты гармонических колебаний на входе.
Часто ФЧХ используют для оценки фазовых искажений формы сложного сигнала, вызываемых неодинаковой задержкой во времени его отдельных гармонических составляющих при их прохождении по цепи
Определение ФЧХ
§ В теории управления ФЧХ звена определяется из равенства её тангенса отношению мнимой части АФЧХ к действительной:
Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Дифференциальное уравнение первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности. Линейные уравнения с постоянными коэффициентами. Доказательство теоремы существования и единственности для одного уравнения. Теория устойчивости Ляпунова.
дипломная работа [1,0 M], добавлен 11.04.2009Общий интеграл уравнения, применение метода Лагранжа для решения неоднородного линейного уравнения с неизвестной функцией. Решение дифференциального уравнения в параметрической форме. Условие Эйлера, уравнение первого порядка в полных дифференциалах.
контрольная работа [94,3 K], добавлен 02.11.2011Особенности дифференциальных уравнений как соотношения между функциями и их производными. Доказательство теоремы существования и единственности решения. Примеры и алгоритм решения уравнений в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель в примерах.
курсовая работа [657,0 K], добавлен 11.02.2014Порядок и процедура поиска решения дифференциального уравнения. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Дифференциальные уравнения первого порядка, с разделяющими переменными.
лекция [744,1 K], добавлен 24.11.2010Проверка непрерывности заданных функций. Интегрирование заданного уравнения и выполние преобразования с ним. Интегрирование однородного дифференциального уравнения. Решение линейного дифференциального уравнения. Общее решение неоднородного уравнения.
контрольная работа [65,3 K], добавлен 15.12.2010Особенности выражения производной неизвестной функции. Общий вид дифференциального уравнения первого порядка, его решение. Сущность теоремы Коши (о существовании и единственности решения), её геометрический смысл. Общее и частное решение уравнения.
презентация [77,7 K], добавлен 17.09.2013Порядок решения дифференциального уравнения 1-го порядка. Поиск частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего указанным начальным условиям. Особенности применения метода Эйлера. Составление характеристического уравнения матрицы системы.
контрольная работа [332,6 K], добавлен 14.12.2012Задачи Коши для дифференциальных уравнений. График решения дифференциального уравнения I порядка. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к однородному. Однородные и неоднородные линейные уравнения первого порядка. Уравнение Бернулли.
лекция [520,6 K], добавлен 18.08.2012Решение дифференциального уравнения, удовлетворяющие условию Липшица. Доказательство теоремы о существовании и единственности липшицевого решения. Принцип неподвижной точки (Шаудера). Пример неединственности (Winston). Доказательство по теореме Арцела.
реферат [109,4 K], добавлен 14.01.2010Типы уравнений, допускающих понижение порядка. Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка. Теоремы о свойствах частичных решений. Определитель Вронского и его применение. Использование формулы Эйлера. Нахождение корней алгебраического уравнения.
презентация [103,1 K], добавлен 29.03.2016
