Высшая математика

Размещено на http://www.allbest.ru/

УРГЕНЧЕСКИЙ ФИЛИАЛ ТАШКЕНТСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИНФОРМАЦИОННЫХ ТЕХНОЛОГИЙ

Кафедра «Информатика и математика»

Лекции по высшей математике

Худайберганова З.

Бекметова С.

Урганч 2009

Оглавление

Введение

Лекция 1. Функции нескольких (многих) переменных

Лекция 2. Полный дифференциал

Лекция 3. Экстремум функции двух переменных

Лекция 4. Дифференциальные уравнения

Лекция 5. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

Лекция 6. Дифференциальные уравнения высших порядков

Лекция 7. Линейные дифференциальные уравнения

Лекция 8. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка

Лекция 9. Решение линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида

Лекция 10. Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Лекция 11. Основные теоремы операционного исчисления

Лекция 12. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом, методом Дюамеля

Лекция 13. Числовые ряды

Лекция 14. Знакоположительные ряды

Лекция 15. Интегральный признак Коши

Лекция 16. Функциональные ряды

Лекция 17. Степенные ряды

Лекция 18. Ряды Тейлора и Маклорена

Лекция 19. Ряды Фурье

Лекция 20. Ряд Фурье для функций f(x) с периодом 2p

Лекция 21. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

Лекция 22. Ряд Фурье в комплексной форме

Введение

Конспект лекций по высшей математике написан в соответствии с рабочей программой изучения курса высшей математики во II семестре по специальности телекоммуникация и телекоммуникационные системы.

В программу курса высшей математики во втором семестре входят разделы:

1. Функции нескольких переменных

2. Дифференциальные уравнения

3. Операционное исчисление

4. Ряды

5. Ряды Фурье и интеграл Фурье

Лекция 1. Функции нескольких (многих) переменных

Определение функции нескольких переменных.

Функцией двух переменных называется правило или закон, по которому каждой паре чисел (х; у)ОD соответствует единственное zОE.

х и у - независимые переменные ОD; z - зависимая переменная ОE. Между переменными х и у и в зависимости от их изменения переменной z существует функциональная зависимость, т.е. изменение двух переменных х и у влечёт за собой изменение переменной z. Тогда х, у - аргументы, а z - функция:

z=f(x;y), (1)

D - область определения z=f(x;y), Е - область значений z=f(x;y)

Аналогично, если x, y, z - независимые переменные, а их изменение влечёт за собой изменение зависимой переменной u, то закон (правило), по которому происходит эта функциональная зависимость, называется функцией трёх переменных.

U=f(x;y;z) (2)

И, в общем, если x, y, z, …, t - n независимых переменных, а U - (n+1) зависимая переменная, то U = f(x; y; z; …;t) - функция нескольких переменных, n переменных.(3)

Так как (х, у) - координаты точки М?D, то z = f(x, y) = f(M). Аналогично, если (x, y, z, …,t) - координаты т.М в n - мерном пространстве, то U=f(M) - функция зависящая от n - переменных.

Способы задания функции нескольких переменных: аналитический, графический, табличный.

1. Аналитический. Функция задаётся явно, в виде формулы z=f(x; y), либо неявно F(x; y; z) = 0. Например:

Z = ln(x² + y² - 1) или z²+ax³+lg y = 1

Областью определения функции двух переменных называется множество точек (х, у), удовлетворяющих заданию функции, как правило, это область на плоскости ХОУ.

Например:

Z = ln(1- x² - y²),

D(z): 1 - x² - y² > 0, x² + y² < 1,

т.е. областью определения является круг с центром в начале координат и радиуса 1, причём точки, лежащие на окружности не входят в область.

2. Геометрический. Графиком функции двух переменных z=f(x; y) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность. Например. Верхняя часть эллипсоида является графиком функции , а нижняя его часть графиком функции

Предел функции нескольких переменных.

d - окрестностью т.М₀ называется круг с центром в т.М₀ и радиусом d:

МОО_? (М₀) Ы

Число А называется пределом функции z = f(x; y) = f(M) при М ® М₀, если для любого числа e > 0 найдётся такая d - окрестность точки М₀(х₀; у₀), что для любой точки М(х; у) этой окрестности (за исключением, быть может, точки М₀) имеет место неравенство или , т.е. Ы"e>0? d>0:

.

Функция двух переменных называется бесконечно малой, если её предел равен нулю, т.е.

f(x, y) - называется бесконечно малой при (или ), если

Свойства пределов функций нескольких переменных аналогичны свойствам пределов функций, зависящей от одной переменной.

Непрерывность функции нескольких переменных.

Z = f(x,y) = f(M) называется непрерывной в т.М₀, если она в этой точке определена, т.е. или , и .

Область состоящая только из внутренних точек, называется открытой областью.

Область состоящая из внутренних точек и всех граничных точек, называется замкнутой областью.

Функция называется непрерывной в D, если она непрерывна в каждой внутренней точке этой области.

Функция называется непрерывной в замкнутой области , если она непрерывна в каждой внутренней точке этой области и на её границе.

Пусть x получает приращение Dx, а y получает приращение Dy, тогда z = f(x,y) получает полное приращение

Dz = f(x + Dx, y + Dy) - f(x, y).

Функция z = f(x,y) называется непрерывной в точке (x, y), если она в этой точке определена и бесконечно малым приращениям аргументов соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. lim ?z = 0.

Свойства непрерывных функций справедливые для функции одной переменной, аналогично выполняются и для функции, зависящей от нескольких переменных.

В частности, справедлива теорема Вейерштрасса и теорема Коши для функций, непрерывных в замкнутой области.

Если z = f(x,y) непрерывна в замкнутой области , то

1. Функция достигает в этой области своё наименьшее (m) и своё наибольшее (M) значения.

2. (x, y) О D: .

Частные производные I порядка.

Рассмотрим функцию z = f(x,y)

1) Пусть х получает ?х, а у остаётся неизменным, тогда z получает частное приращение по х:

.

(4)

Конечный предел отношения частного приращения функции к вызвавшему это приращение приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю и этот предел не зависит от называется частной производной I порядка и обозначается (4).

2) Пусть у получает приращение ?у; то

(5)

Практически при нахождении частных производных I порядка переменной является та, по которой вычисляется производная, а все остальные буквы, цифры играют роль постоянной.

Частные производные высших порядков.

- частные производные I порядка.

- частные производные II порядка.

и называются смешанными производными.

Теорема о равенстве смешанных производных.

Пусть z = f(x,y) имеет непрерывные смешанные производные II порядка.

Смешанные производные не зависят от последовательности дифференцирования, т.е.

Частные производные III порядка - это частные производные от производных II порядка

и т.д.

Частные производные n - порядка - это частные производные от производных (n - 1) порядка.

Лекция 2. Полный дифференциал

Рассмотрим функцию z = f(x; y).

Dz = f(x+Dx; y+Dy) - f(x; y) - полное приращение функции z = f(x; y).

z = f(x; y) называется дифференцируемой в т.(х; у), если полное приращение этой функции представляется в виде

(6)

A и B не зависят от ?x и ?y, а - бесконечно малое при , бесконечно малое - бесконечно малое более высокого порядка, чем ?, т.е.

Теорема о дифференцируемости функции.

Если z = f(x; y) имеет непрерывные частные производные

(7),

то функция z = f(x; y) является дифференцируемой в точке (х; у).

Первое слагаемое из (7) является главной частью приращения функции и оно линейно относительно ?x и ?y.

Главная часть приращения функции линейная относительно приращения аргументов называется полным дифференциалом функции z = f(x; y) и обозначается:

(8)

или Dx=dx, Dy=dy, то

(9)

(9) - полный дифференциал функции.

(10)

(10) - частные дифференциалы функции z = f(x; y), причём

Замечание !!!:

Если , то - полный дифференциал.

Применение полного дифференциала в приближённых вычислениях.

Пусть z = f(x, y), x = x₀ + Dx, y = y₀ + Dy,

тогда Dz = f(x₀+Dx; y₀+Dy) - f(x₀; y₀) и

Dz = dz + w,

где w - бесконечно малая при Dx®0 и Dy®0. Тогда

(11)

(11) - формула для приближённого вычисления значения функции.

Дифференцирование сложной функции.

ТЕОРЕМА

Если z = f(x; y), а x = x(t), y = y(t), то z = f(x(t); y(t)) - сложная функция.

Если z = f(x; y) дифференцируема по х и по у, и x(t), и у(t) дифференцируемы по t, то z = f(x(t); y(t)) дифференцируема по t и имеет место формула:

(12)

Так как z = f(x; y) дифференцируема в (х; у), то

,

w - бесконечно малое при , при и

Если t получает приращение Dt, то x получает приращение Dx; а y получает приращение Dy и, тогда, z получает приращение Dz, причём Dz представима в виде (7)

По определению производной:

.

w - бесконечно малая более высокого порядка, чем r, т.е.

Пусть z = f(x; y); х = х; у = у(х).

Тогда по (12), полагая, что роль t исполняет х и , получим

(13) - формула полной производной.

Аналогично, если рассмотреть функцию, зависящую от большего числа переменных.

Например, рассмотрим функцию, зависящую от трёх переменных:

U = f(x, y, z), где x = x(t), y = y(t), z = z(t)

(14)

Если z = f(x; y; t), x = x(t), y = y(t) Ю полная производная:

 (15)

Пусть z = f(x; y); x = x(U,J); y = y(U,J) z = f(x(U,J); y(U,J))

z = f(x; y) - дифференцируема по х и по у, а x(U,J) и y(U,J) - дифференцируемы по U и по J. Тогда функция z дифференцируема по U и по J, причём и находится по:

(16)

(17)

Дифференцирование неявной функции.

Пусть F(x, y) = 0

x² + y² +1 = 0 - уравнение связывает х и у, но это уравнение не определяет функцию, заданную неявно, т.к. этому уравнению не удовлетворяет никакая пара действительных чисел (х, у)

Если F(x, y) определена и непрерывна в точке P₀ (x₀, y₀) и некоторой её окрестности и имеет непрерывные частные производные и , причём F(x₀, y₀) = 0, а , то F(x, y) определяет функцию y, заданную неявно, причём существует , которая вычисляется по формуле

(18)

Z = F(x, y) = 0

Найдём полную производную от F(x, y):

,

отсюда

Аналогично, если F(x, y, z) = 0, то

(19)

(20)

Лекция 3. Экстремум функции двух переменных

z = f(x, y)

Пусть эта функция определена в точке Р₀(x₀, y₀) принадлежащей некоторой области D и P(x, y)ОD, D - область определения функции f(x, y)

f(x, y) достигает в точке P₀(x₀, y₀) max, если для всех P(x, y) принадлежащих окрестности точки P₀(x₀, y₀) Ю f(P₀) > f(P)

f(x, y) достигает в точке P₀(x₀, y₀) min, если для всех P(x, y) принадлежащих окрестности точки P₀(x₀, y₀) Ю f(P₀) < f(P)

Точки максимума и минимума называют точками экстремума функции

Необходимые условия существования экстремума.

Если f(x, y) достигает в точке P₀(x₀, y₀) экстремум, то в точке P₀(x₀, y₀)

, , в предположении, что они существуют, либо, если функция в точке P₀ определена, а хотя бы одна из частных производных первого порядка в точке P₀ не существует. Например, у функции - экстремум есть, а частные производные не существуют в точке (0; 0).

;

С помощью необходимых условий находятся точки, в которых возможно существование экстремума. Однако, если в этих точках не выполняется достаточное условие существования экстремума, то они не являются точками экстремума, а называются стационарными.

Достаточные условия существования экстремума.

Если в точке Р_о выполнено необходимое условие существования экстремума и в точке Р_о(х_о,у_о) существуют частные производные второго порядка

Если

1) ?>0, то в точке Р_о - экстремум, причем:

если А<0 - максимум

если А>0 - минимум

2) ?<0, то в точке Р_о - экстремума нет

3) ?=0, то требуются дополнительные исследования.

Задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции в замкнутой области.

Пусть функция z=f(x,y) непрерывна в ограниченной замкнутой области D и дифференцируема внутри этой области.

Тогда она имеет в этой области наибольшее и наименьшее значения, которые достигаются либо внутри этой области, либо на её границе. Если наибольшее и наименьшее значение функция принимает во внутренних точках области D, то эти точки, очевидно, являются точками экстремума функции z=f(x,y). Таким образом, точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения, являются либо точками экстремума функции, либо граничными точками области D.

Мы приходим к следующему правилу нахождения наибольшего и наименьшего значений функции двух переменных.

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z=f(x,y) в ограниченной замкнутой области D, следует найти значения функции в критических точках этой области, а также её наибольшее и наименьшее значения на границе области D. Наибольшее и наименьшее из всех этих значений являются соответственно наибольшим и наименьшим значениями функции z=f(x,y) в заданной области D.

В некоторых случаях при нахождении наибольших и наименьших значений функции двух переменных в ограниченной замкнутой области границу этой области удобно разбить на части, каждая из которых задается своими уравнениями.

Лекция 4. Дифференциальные уравнения

Основные понятие и определения.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную х, функцию у, зависящую от х, и её производные.

F(x, y, y', …, y⁽ⁿ⁾) = 0 (1)

(1) является дифференциальным уравнением n - го порядка.

Порядок дифференциального уравнения определяется номером наивысшей производной, входящей в данное уравнение.

(1) может быть представлено в виде

y⁽ⁿ⁾ = f(x; y; y'; …, y^{(n -1)} (2)

(2) - дифференциальное уравнение n-го порядка, разрешённое относительно производной y⁽ⁿ⁾.

(1) или (2) называются обыкновенными дифференциальными уравнениями, т.е. в эти дифференциальные уравнения входят функция и её производная, как функции, зависящие от одной переменной. Если функция и её производные зависят от большего числа переменных, то дифференциальные уравнения называют дифференциальными уравнениями в частных производных.

y = j(x) - называют решением дифференциального уравнения, если при подстановке в это дифференциальное уравнение j(x) и её соответствующих производных, уравнение обращается в верное равенство, т.е. тождество.

y = j(x, C₁, C₂, …, C_n) (3),

где C₁, C₂, …, C_n произвольные постоянные, называется общим решением дифференциального уравнения (1) или (2), если она обращает (1) или (2) в тождество.

Общее решение дифференциального уравнения содержит ровно столько произвольных постоянных, каков порядок дифференциального уравнения. Из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных получаются частные решения дифференциального уравнения.

Ф(x, C₁, C₂, …, C_n) = 0 (4)

называют общим интегралом дифференциального уравнения (1) или (2).

Частным интегралом дифференциального уравнения (1) или (2) называют значение полученное из (4) при конкретных значениях произвольных постоянных.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальным уравнением первого порядка называют уравнение вида:

(5)

или (6)

Так как , то, если

,

то (7)

(5), (6), (7) - дифференциальные уравнения первого порядка.

y = j(x, C) - общее решение дифференциального уравнения (5), (6), (7)

Решить дифференциальное уравнение, это значит, найти общее решение, либо общий интеграл, и, поскольку, при нахождении общего решения используется действие интегрирование, то иногда слово решить заменяют словом проинтегрировать дифференциальное уравнение. Графиком общего решения является совокупность интегральных кривых. При конкретных значениях С получаем частные решения. Графиком частного решения является интегральная кривая.

Задача Коши.

Задача Коши заключается в нахождении частного решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего начальным условиям.

Рассмотрим дифференциальное уравнение первого порядка y' = f(x,y) (6) и пусть заданы начальные условия: либо х = х_0, у = у₀

Теорема Коши. (о существовании и единственности частного решения, удовлетворяющего н.у.)

Если f(x, y) определена и непрерывна в точке (x₀, y₀), в этой точке существует непрерывная частная производная, то (6) имеет единственное частное решение удовлетворяющее начальным условиям:

y(x₀) = y₀.

y = j(x, C) - общее решение.

При данных начальных условиях из общего решения находим значение для произвольной постоянной С и это значение затем подставляем в формулу общего решения. Этим самым мы определяем частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям. Причём, если f(x, y) удовлетворяет условиям теоремы Коши, то это частное решение единственное и геометрически это значит, что через данную точку (x₀, y₀) проходит единственная интегральная кривая.

Рассмотрим дифференциальное уравнение , - общее решение.

Точки в которых не выполняются условия теоремы Коши, а в данном примере функция в точке х = 0 функция не определена, называют особыми точками. Через особые точки проходит бесконечное множество интегральных кривых, либо не существует ни одной.

Лекция 5. Основные типы дифференциальных уравнений первого порядка

1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными.

Уравнение вида

(9)

или (10)

называются дифференциальными уравнениями с разделяющимися переменными.

(10) делим на

(11)

(11) - дифференциальное уравнение с разделёнными переменными. Чтобы найти общее решение этого дифференциального уравнения, проинтегрируем его.

(12) - общее решение (10) и (11)

2. Однородные уравнения I порядка.

f(x,y) - называется однородной функцией m - го порядка (измерения), если для любого выполняется равенство

В частности, если m = 0, то - функция называется однородной функцией нулевого порядка.

ЗАМЕЧАНИЕ:

1). Если j(x; y) и f(x; y) - однородные функции одного порядка, то

называется однородной функцией нулевого порядка.

2). Если f(x; y) - однородная функция нулевого порядка, то:

, если Ю

y' = f(x; y) (1) - называется однородным дифференциальным уравнением I порядка, если f(x; y) является однородной функцией нулевого порядка.

(1) Ы (2)

Для решения (2) употребляется подстановка (3)

(3) ; U = U(x)

(4) y' = U + U'x; (3) и (4) ® (2)

U + U'x = j(U)

U'x = ?(U) - U - дифференциальное уравнение первого порядка с разделяющимися переменными.

или - дифференциальное уравнение с разделёнными переменными.

 (5) - общий интеграл (1)

3. Линейные дифференциальные уравнения.

Дифференциальное уравнение называется линейным, если функция y и её y' входят в дифференциальное уравнение линейно, т. е.

№ 0

Если

y' + P(x)y = Q(x) (6) - линейное дифференциальное уравнение первого порядка.

Если Q(x) = 0, то y' + P(x)y = 0 (7) - линейное однородное дифференциальное уравнение первого порядка.

Решим

(7) Ю, ? (8)

(8) - общее решение (7)

Для решения (6) используется метод подстановки: U = U(x) и V = V(x) дифференцируемы и y = UV (9)

y' = u'v + uv' (10)

(9) и (10) подставим в (6)

u'v + uv' + p(x)uv =Q(x) или u'v + u(v' + p(x)v) = Q(x)

пусть v(x) является решением уравнения (11):

и тогда (12)

(13)

(14)

(14) подставим в (12), получим , отсюда и

(15)

(16)

(16) - общее решение (6)

4. Уравнение Бернулли

Уравнениями Бернулли называются уравнения вида:

y' + p(x)y = Q(x)y^? (17) a №0 a№1

- линейное уравнение, дифференциальное уравнение относительно функции z.

z=UV z'=U'V+UV'

U'V+UV'+(1-a)P(x)UV=(1-a)Q(x)

Находим U и V, находим z:

5. Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах

M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0 (1)

Уравнение (1) называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах, если выполняется условие:

(2)

если - 1 равенство - 2 равенство, то 1 - равенство проинтегрируем по х:

(3)

(3) продифференцируем по у:

, но Ю

Ю Ю Ю Ю в (3); U(x; y) = c - решение дифференциального уравнения (1).

Лекция 6. Дифференциальные уравнения высших порядков

F (x; y; y';…; y⁽ⁿ⁾) - дифференциальное уравнение n - порядка

или y⁽ⁿ⁾ = f(x; y; y'; …; y^(n-1))

Общим решением этого уравнения является: y = ?(x; c₁; c₂;…; c_n)

Для дифференциального уравнения n - порядка имеет место теорема Коши о существовании и единственности частного решения уравнения при данных n - начальных условиях.

Например для дифференциального уравнения второго порядка.

Теорема Коши:

начальные условия:

Если непрерывна в точке и в этой точке непрерывна частная производная , то существует, причём единственное частное решение, удовлетворяющее данным начальным условиям .

Дифференциальные уравнения допускающие понижение порядка

I. y⁽ⁿ⁾ = f(x) - общее решение такого уравнения находится путём n - кратного интегрирования данного уравнения.

II. Пусть левая часть дифференциального уравнения второго порядка не содержит явно функцию y

F(x; y'; y'') = 0 (1)

Тогда сделаем подстановку:

y' = z, z = z(x) (2)

и тогда (3)

F(x; z; z') = 0 дифференциальное уравнение первого порядка (4)

III. F(x; y'; y'') = 0 (5)

Уравнение (5) явно не содержит х. Чтобы понизить порядок уравнения, делаем подстановку

y' = p, p = p(y), y = y(x) (6)

(7)

- дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции р = р(у).

Лекция 7. Линейные дифференциальные уравнения

Уравнения вида

y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + a₂(x)y^(n-2) +…+a_n-1(x)y' + a_n(x)y = f(x) (1)

называют линейными дифференциальными уравнениями n - го порядка,

a₁(x), a₂(x), …,a_n(x) - коэффициенты (1)

Если у(х), у'(x), …, y⁽ⁿ⁾, a₁(x), a₂(x), …, a_n(x), f(x) - непрерывные функции, то выполняются все условия теоремы Коши и имеется единственное частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

В этом случае, чтобы решить задачу Коши, необходимо задать начальные условия:

(2)

При начальных условиях (2) существует, причём единственное частное решение (1), удовлетворяющее начальным условиям (2).

В частности, рассмотрим линейное дифференциальное уравнение второго порядка (3)

(3) y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = f(x) - линейное дифференциальное уравнение второго порядка.

(4) y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = 0 - линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка.

(3) - линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка.

Аналогично, если в (1) f(x) = 0, то уравнение будет линейным однородным дифференциальным уравнением n - го порядка, a (1) - линейным неоднородным дифференциальным уравнением n - го порядка.

Линейный оператор и его свойства.

L[y] = y⁽ⁿ⁾ + a₁(x)y^(n-1) + … + a_n(x)y - линейный оператор

L[y] = f(x) (1)

L[y] = 0 - линейное однородное дифференциальное уравнение n - го порядка

Линейный оператор обладает следующими свойствами.

1. L[y₁+y₂] = L[y₁] + L[y₂]

2. L[Cy] = CL[y], C = const

3. L[C₁y₁+C₂y₂] = L[C₁y₁] + L[C₂y₂]=C₁L[y₁]+ C₂L[y₂]

Решение линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка.

y'' + a₁(x)y' + a₂(x)y = 0 (2)

Пусть y₁(x) и y₂(x) - частные решения (2)

Тогда y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) - решение уравнения (2)

L[y₁] = 0, т.к. y₁(x) - решение (2), L[y₂] = 0, т.к. y₂(x) - решение (2), но тогда

L[ y ] = L[C₁y₁ + C₂y₂] = 0,

т.е. у(х) - решение (2)

Система функций y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - называется линейно - независимой, если существуют С₁, С₂, …, С_n, что C₁y₁ + C₂y₂ + … + C_ny_n = 0 возможно тогда, когда все С_i = 0, .

Теорема (о линейной независимости системы частных решений y₁(x), y₂(x) уравнения (2))

Пусть y₁(x),y₂(x) - частные решения (2).

Система y₁(x),y₂(x) - линейно - независима тогда и только тогда, когда определитель Вронского:

,

если y₁(x), y₂(x) - линейно - зависимы, то W = 0.

1. Пусть y₁(x), y₂(x) линейно - независимы.

- начальные условия

(3)

Для (2) выполняется условие т. Коши ? это уравнение имеет единственное частное решение удовлетворяющее начальным условиям, т.е. в этом случае (3) имеет единственное решение , и эта система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда определитель этой системы № 0 (определитель Вронского)

2. Пусть y₁(x), y₂(x) линейно - зависимы, т.е. ay₁ + by₂ = 0 выполняется, если хотя бы одно из чисел a или b № 0

Если a № 0 Ю

Ю (3) не имеет единственного решения

Лекция 8. Решение линейных однородных дифференциальных уравнений n-го порядка

y⁽ⁿ⁾(x) + a₁(x)y^(n-1) + … + a_n(x)y = 0

н.у.:

y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) - частные решения L[y] = 0 причём y₁(x), y₂(x), …, y_n(x) линейно - независимы и образуют фундаментальную систему решений и тогда общее решение L[y] = 0 представляет собой линейную комбинацию данной фундаментальной системы решений

т.е. y(x) = C₁y₁(x) + C₂y₂(x) + … + C_ny_n(x)

Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений n - го порядка.

L[y] = f(x) (1) ЛНДУ

L[y] = 0 (2) ЛОДУ, соответствующее (1)

Пусть y(x) = y₀₀ - общее решение однородного уравнения Ю L[y₀₀] є 0

y_чн - частное решение неоднородного уравнения (1)

L[y_чн] є f(x)

y_он - общее решение неоднородного (1) Ю

у_он = у_оо + у_чн (3)

L[y_он] = L[y_оо + у_чн] = L[y₀₀] + L[y_чн] = f(x) Ы у_он -общее решение (1)

Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

Если а₁, а₂, …, а_n - числа, то y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) + … + a_ny = f(x) (1) - называется ЛНДУ - n с постоянными коэффициентами.

(2) y⁽ⁿ⁾ + a₁y^(n-1) +a₂y^(n-2) + … + a_ny = 0 - называется ЛНДУ - n с постоянными коэффициентами.

(3) y'' + py' + qy = f(x) - ЛНДУ- 2

(4) y'' + py' + qy = 0 - ЛОДУ- 2

p,q - числа

y' + qy = 0 - ЛОДУ - 1

y_чо = e^-qx

y₀₀ = Ce^-qx

Общее решение (4)

y₀₀ = C₁y₁ + C₂y₂ (5), где y₁(x) и y₂(x) - частные решения (4)

Решение (4) находим в виде

y = e^kx

y' = ke^kx ; y'' = k²e^kx

Подставим у, у', y'' в (4) Ю

k²e^kx + pke^kx +qe^kx є 0

e^kx(k² + pk + q) = 0

e^kx ? 0; k² + pk + q (6) - характеристическое уравнение для (4)

1) Если D > 0 Ю k₁,k₂ - различные действительные корни (6)

- частные решения (4)

Покажем, что они линейно независимы

Ю y₁, y₂ - линейно независимы и общее решение

(7)

2) Если D = 0 Ю k₁ = k₂ = k - действительный корень (6)

y₁ = e^kx; y₂ = xe^kx

y₁, y₂ - линейно - независимы.

y₀₀ = C₁e^kx + C₂xe^kx = e^kx(C₁ + C₂x) (8)

3) Если D < 0, то уравнение будет иметь два комплексно - сопряженных корня:

k₁ = a + ib; k₂ = a - ib;

y₁^* = e^{(? + i?)x} = e^?x(cosbx + isinbx) - формулы Эйлера

y₂^* = e^{(? - i?)x} = e^?x(cosbx - isinbx)

Покажем, что y₁ = e^?xcosbx и y₂ = e^?xsinbx линейно независимы

y₁'=e^?xacosbx - e^?xbsinbx

y₂'=e^?xasinbx + e^?xbcosbx

y₀₀ = C₁e^?xcosbx + C₂e^?xsinbx = e^?x(C₁cosbx + C₂sinbx) (9)

Алгоритм решения линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами.

1. Составляем характеристическое уравнение (6)

2. Находим корни уравнения (6)

3. По корням уравнения записываем общее решение уравнения (4)

Аналогично решается уравнение более высокого порядка.

Лекция 9. Решение линейного неоднородного уравнения с правой частью специального вида

y'' +py' +qy = f(x) (3)

y_он = у_оо + у_чн у_чн= ?

k² + pk + q = 0 (6)

1) f(x) = e^?xQ_n(x),

где Q_n(x) - многочлен n - степени от (х)

Если a № корню характеристического уравнения (6), то y_чн = e^?x p_n(x)

p_n(x) - многочлен той же степени что и Q_n(x) c неизвестными коэффициентами. Чтобы найти у_чн, нужно найти неизвестные коэффициенты.

2) f(x) = e^?xQ_n(x)

Если a = корню характеристического уравнения (6), то у_чн = е^?x p_n(x)х^r_,

r- кратность корня k = a

3) f(x) = e^mx(MCosgx + NSingx),

если (m ± ig) не является корнем характеристического уравнения (6), то

y_чн = e^mx(АCosgx + ВSingx)

A,B - неизвестные коэффициенты

Решение находится в виде (10)

А если (m ± ig) совпадает с корнем характеристического уравнения, то

y_чн = e^mx(АCosgx + ВSingx) (11)

Замечание: если M = M_n(x), N = N_s(x) и (n і S), то:

Если m ± ig № корню (6) Ю y_чн = e^mx(A_n(x)Cosgx + В _n(x)Singx) (12)

Если m ± ig = корню (6) Ю y_чн = e^mxx(A_n(x)Cosgx + В _n(x)Singx) (13)

4) Если y'' + py' + qy = f₁(x) + f₂(x), то y_чн = y_чн1 + y_чн2

y_чн1 - частное решение по f₁(x), y_чн2 - частное решение по f₂(x), тогда

y_он = y₀₀ + y_чн1 + y_чн2

Метод вариации произвольных постоянных (Метод Лагранжа).

(1) y'' + py' + qy = f(x) - ЛНДУ - 2 с постоянным коэффициентом

(2) y'' + py' + qy = 0 - ЛОДУ - 2 с постоянным коэффициентом

Пусть y₁(x) и y₂(x) - частные решения ЛОДУ - 2 (2). Причём они линейно - независимы, т.е.

Общее решение (1) будем находить в виде (3)

y_он = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂

Где C₁(x), C₂(x) - неизвестные функции, которые нужно определить.

y'_он = C₁'(x)y₁ + C₁(x)y₁' + C₂'(x)y₂ + C₂(x)y₂'

Где C₁(x), C₂(x) такие, что:

C₁'(x)y₁ + C₂'(x)y₂ = 0 (4)

y'_он = C₁(x)y₁' + C₂'(x)y₂ (5)

y''_он = C₁'(x)y₁' + C₁(x)y₁'' + C₂'(x)y₂' + C₂(x)y₂'' (6)

(3), (5), (6) ® в (1)

C₁'(x)y₁' + +C₁(x)y₁'' + C₂'(x)y₂' + C₂(x)y₂''+ pC₁(x)y₁' + pC₂(x)y₂' + qC₁(x)y₁ + + qC₂(x)y₂ = f(x)

C₁'(x)y₁' + C₂'(x)y₂' = f(x) (7)

Для определения C₁(x), C₂(x) найдём C₁'(x), C₂'(x) из (8)

(8)

Система (8) имеет единственное решение, т.к. определитель этой системы - определитель Вронского, а он не равен нулю. Затем находим C₁(x) и C₂(x) и, подставляя в (3), находим общее решение (1).

Лекция 10. Операционное исчисление (преобразование Лапласа)

Основные понятия, определения операционного исчисления.

В основе операционного исчисления рассматриваются f(t) - оригинал, F(p) - изображение.

Определение 1.

f(t) - называется оригиналом, если она удовлетворяет одновременно трём условиям:

1. f(t) є 0, если t<0;

2. Если tО[0; Ґ) Ю f(t) - кусочно непрерывна.

3. f(t) ограниченного роста Ы ? M>0, a>0 Ю ? t О [0; Ґ): кf(t) кЈ Me^?t, a- показатель роста.

Определение 2.

(1) называется изображением функции f(t), при условии, что интеграл в правой части (1) существует.

F(p) - функция комплексного переменного

p = s + iw,

где S = Rep, w = Imp

Интеграл в правой части (1) называется интегралом Лапласа.

(1) - преобразование Лапласа (прямое преобразование Лапласа)

Теорема о достаточном условии существования изображения.

Если f(t) - оригинал, то существует F(p).

Доказательство:

= .

Ј

A®Ґ и a-S<0, т.е. если S<a, то F(p) существует.

Мы получили, что если f(t) является оригиналом и действительная часть аргумента р больше показателя роста оригинала f(t), то изображение F(p) существует.

Теорема доказана.

ЗАМЕЧАНИЕ.

1. Если F(p) - изображение f(t), то lim F(p)=0; p®Ґ, если S®Ґ

Если lim F(p)№0, то F(p) не является изображением никакой функции.

2. Существуют некоторые функции f(t), которые не являются оригиналом, но тем не менее для них существуют изображения.

Теорема единственности изображения.

Если f₁(t) имеет изображение F₁(p), а f₂(t) имеет изображение F₂(p) и если tО[0; Ґ). f₁(t) = f₂(t), то F₁(p) = F₂(p), т.е. если f(t) имеет изображение, то оно единственное.

НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ НЕКОТОРЫХ ОРИГИНАЛОВ.

То, что f(t) имеет изображение F(p) обозначается следующим образом: f(t)ёF(p)

1. Рассмотрим единичную функцию Хевисайда.

2. f(t)=e^t;

Лекция 11. Основные теоремы операционного исчисления

1. Теорема линейности.

Если f(t) имеет изображение F(p), а j(t)ёF(p)

C₁,C₂ - произвольные числа, то

С₁f(t) + C₂j(t) ё C₁F(p) + C₂F(p)

2. Теорема подобия.

Если f(t) ё F(p), то f(at) ё ; a - число

3. Теорема смещения.

Если f(t) ё F(p), то f(t)e^?t ё F(p - l)

4. Теорема запаздывания.

Если f(t) ё F(p), то f(t - t) ё e^-p?F(p); t - число

5. Теорема о дифференцировании оригинала.

Если f(t) ё F(p), то f(t) ё F(p), то f'(t) ё pF(p) - f(0)

Замечание:

1. Если f(t) ё F(p), то

f''(t) ё p(pF(p) - f(0)) - f'(0) = p²F(p) - pf(0) - f'(0)

2. Если f(0) = f'(0) = f''(0) = … = f^{(n -1)}(0) = 0

f'(t) ё pF(p), …, f⁽ⁿ⁾(t) ё p⁽ⁿ⁾ F(p)

6. Теорема об интегрировании оригинала.

Если f(t) ё F(p), то при условии что интеграл от оригинала существует.

7. Теорема о дифференцировании изображения.

Если f(t) ё F(p), то (-1)ⁿ tⁿ f(t) ё F⁽ⁿ⁾(p)

(tⁿ f(t) ё (-1)ⁿ F⁽ⁿ⁾(p))

8. Теорема об интегрировании изображения.

Если f(t) ё F(p), то , при условии, что - оригинал.

9. Теорема о свёртке оригиналов.

Определение. Свёрткой оригиналов называется интеграл:

Свёртка оригиналов обладает свойством коммутативности, т.е.

f(t)*j(x)= =j(x)*f(t),

т.е.

Если f(t) ё F(p), j(t)ёF(p), то

10. Теорема. Интеграл Дюамеля.

Если f(t) ё F(p), j(t)ёF(p), то

(1)

(2)

(3)

(4)

Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

(1) ,

где а₁, а₂, …, а_n - числа.

(1) L[x(t)] = f(t)

Заданы начальные условия (2):

x(t)ёX(p)

x'(t)ёpX(p)-x₀

x''(t)ё^p2X(p)-px₀-x'₀

x⁽ⁿ⁾(t)ёpⁿX(p)-p^(n-1)x₀-p^(n-1)x₀-p^(n-2)x'₀-…-x₀^(n-1)

f(t) ё F(p)

От (1) в оригиналах перейдём к (3) в изображениях.

(a_n + a_n-1p + … + a₁p^(n-1) + pⁿ)X(p) + (-y_n-1(p)) = F(p) (3)

(4),

где А_n(p) = a_n + a_n-1p + … + a₁p^(n-1) + pⁿ

По изображению (4) находим оригинал x(t), который является решением уравнения (1) при заданных начальных условиях (2).

Лекция 12. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом, методом Дюамеля

уравнение операционный числовой четный

a₁,a₂,…a_n - числа.

L[x(t)]=f(t) (1)

x(0)=x'(0)=x^(n-1)(0)=0

f(t)ёF(p)

x(t)ёX(p)

от уравнения (1) с начальными условиями переходим к операторному уравнению (2)

A(p)X(p)=F(p) (2)

(3)

Рассмотрим уравнение (4) L[x(t)]=1, а начальные условия те же самые, тогда

x₁(t)ёX₁(p); ,

получаем операторное уравнение

(5) , отсюда

 (6)

из (6) найдем и подставляем в (3), получим

X(p)=pX₁(p)F(p).

Применяя формулу Дюамеля, находим

(7)

РЕШЕНИЕ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ ОПЕРАЦИОННЫМ МЕТОДОМ.

н.у.: x(0)=x'(0)=1

y(0)=y'(0)=0

x(t)ёX(p) y(t)ёY(p)

x'(t)ёpX(p)-1 y'(t)ёpY(p)

x''(t)ёp²X(p)-p-1 y''(t)ёp²Y(p)

(2p²-p+9)X(p)+(p²+p+p)y(p)=2p+1

(2p²+p+7)X(p)-(p²-p+5)y(p)=2p+3

Лекция 13. Числовые ряды

Рассмотрим числовую последовательность { a_n } = a₁, a₂,…, a_n,…

Из членов числовой последовательности { a_n } составляем выражение:

a₁+ a₂ +… + a_n + … = (1)

(1) - числовой ряд.

a_n = f(n) (2) - общий, n-ый член ряда (1).

Например a_n = , тогда получаем числовой ряд: , который называется гармоническим рядом.

Из членов числового ряда (1) составим последовательность частичных сумм ряда (1):

S₁ = a₁,

S₂ = a₁+a₂,

S₃ = a₁+a₂+a₃,

Sn = a₁+a₂+… +a_n-1+a_n. (2)

Sn - n-я частичная сумма ряда (1),

{Sn}- последовательность частичных сумм (1)

Если {Sn} имеет конечный предел, т. е.

LimS_n = S № Ґ (3),

то ряд (1) называются сходящимся и S называется суммой ряда (1) и:

a₁+ a₂ +… + a_n + … = = S

Если LimS_n = Ґ, либо не существует, то ряд (1) называется расходящимся, и он суммы не имеет.

О сходимости геометрического ряда.

Рассмотрим геометрический ряд:

(4)

Составим n-ую частичную сумму этого ряда:

S_n = a + aq + aq² + … + aq^n-1

1) если q = 1 Ю S_n = a + a +…+a = nЧa

LimS_n = Lim nЧa = Ґ Ы (4) расходится.

2) если q = -1 Ю S_n = a - a + a - a +…+ (-1)ⁿ⁺¹a

S_n = 0, если n - чётное

S_n = a, если n - нечетное

LimS_n не существует и, следовательно, ряд (4) расходится.

3) если q № 1 Ю S_n = a + aq +aq^n-1 =

Lim S_n = Lim a()=[ если ] =

- сходится и его , если

- расходится и S не существует, если

Достаточное условие сходимости числовых рядов.

Для того, чтобы ряд (1) сходился, достаточно, чтобы, последовательность частичных сумм {S_n} этого ряда была ограниченной, т.е. если ? M>0; и для всех nОN Ю .

Свойства сходящихся рядов.

1⁰. Если (1) и (5) сходятся, то

1) - сходится

2) Если k - число, то - сходится

Замечания.

Если и ряд (1) и ряд (5) оба расходятся, то ряд и ряд тоже расходятся.

Если ряд (1) сходится, а ряд (5) расходится, то - расходится.

Рассмотрим ряд a₁+a₂+…+a_k+a_k+1+…+a_n+… (1)

Из ряда (1) отбросим конечное число членов этого ряда и получим a_k+1+a_k+2+…+a_n+… (6) - остаток ряда (1) после k членов ряда (1)

a₁+a₂+…+a_k=А_k

Если сходится (1), то сходится и любой остаток этого ряда.

Если сходится остаток (6), то сходится и сам ряд (1).

Если расходится (1), то расходится и остаток этого ряда, а если расходится остаток ряда, то расходится и сам ряд.

Лекция 14. Знакоположительные ряды

Рассмотрим (1) a₁+a₂+…+a_n+…= и пусть a_iі0

Необходимое условие сходимости знакоположительного ряда.

Если (1) сходится, то lim a_n=0 (7) - обратное утверждение неверно, т.е. если lim a_n=0, то это не означает ещё что ряд сходится, но если lim a_n№0 (8), то (1) расходится, а (8) - достаточное условие расходимости ряда.

Теорема.

a_n=S_n-S_n-1, т.к. (1) сходится Ы lim S_n=S и lim S_n-1=S Ю

lim a_n= lim(S_n-S_n-1)= lim S_n- lim S_n-1=S-S=0

О расходимости гармонического ряда.

(9) - гармонический ряд.

, однако ряд (9) расходится

Отсюда:

,

тогда

Если n®Ґ, то ln (n+1) ®Ґ, т.е. {S_n} неограниченная, и следовательно ряд (9) расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов.

I. Признаки сравнения.

1. = a₁+a₂+…+a_n+… (1)

= b₁+b₂+…+b_n+… (2)

Теорема.

Пусть (2) - сходится. Если для любого nОN Ю a_n Ј b_n (3), то ряд (1) тоже сходится.

A_n= a₁+a₂+…+a_n

B_n= b₁+b₂+…+b_n (2) - сходится Ы по определению сходимости. Ы

lim B_n=B№Ґ Ю B_nЈB

Из (3) Ю A_nЈB_nЈB

Получили, что последовательность частичных сумм {A_n} ограничена Ю по достаточному условию сходимости знакоположительного ряда. Ряд (1) сходится.

2. (4)

Известно, что (4) расходится

Если для любого nОN Ю a_nіc_n (5), то ряд (1) расходится.

Теорема.

A_nіC_n; C_n=c₁+c₂+…+c_n

lim C_n = Ґ Ы (4) расходится, то lim A_n=Ґ и (1) расходится.

3. Предельная форма признаков сравнения.

(1) ; (6)

Если ? , то (1) - сходится, если сходится (6) и (1) - расходится, если расходится (6).

II. Признак Даламбера.

= a₁+a₂+…+a_n+a_n+1+… (1) a_i>0

Если существует и равен конечному числу предел отношения последующего члена ряда к предыдущему, т.е.

(7), то

1) Если Д<1 Ю (1) сходится.

2) Если Д>1 Ю (1) - расходится.

3) Если Д=1 Ю ответа нет.

Теорема.



1) Д<1

Из (8) Ю a_n+2Јa_n+1qЈa_nqq Ю

a_n+2Јa_nq²

a_n+3Јa_nq³

Рассмотрим два ряда:

(9) a_n+1+a_n+2+…

(10) a_nq+a_nq²+…

(10) геометрический ряд со знаменателем 0<q<1 ? сходится, тогда по 1 признаку сравнения ряд (9) сходится.

(9) остаток (1) после первых n - членов ряда, а т.к. сходится остаток ряда, то сходится и сам ряд.

2) Д>1,

3) Д=1 Ю ряд (1) может быть либо абсолютно сходящимся, либо абсолютно расходящимся.

В этом случае пользуются другим признаком. Теорема доказана.

Замечание.

1) Если Ю (1) расходится.

2) Признак Даламбера целесообразно использовать в случаях, когда в формуле общего члена присутствуют либо показательная функция, либо факториалы.

III. Радикальный признак Коши.

(1)

a₁>a₂>…>a_n>…

Если ? и = конечному числу предел

(11), то:

1) Если k<1 Ю (1) - сходится

2) Если k>1 Ю (1) - расходится

3) Если k=1 Ю ответа нет

Замечание.

1) Если , то (1) расходится.

2) Радикальный признак Коши целесообразно применять в случаях, если формула общего члена содержит n - степень выражения.

Лекция 15. Интегральный признак Коши

(1) ;

a₁>a₂>…>a_n>…

Рассмотрим y=f(x), которая положительная, непрерывная, монотонно убывающая, если 1ЈxЈҐ и f(1)=a₁, f(2)=a₂, …, f(n)=a_n …, то:

1) Если сходится , то сходится и сам ряд (1),

2)Если - расходится, то расходится и (1)

доказательство :

1. дано: сходится, то интеграл равен числу J. рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную х=n и, y=f(x), x=1, y=0

если рассмотреть ступенчатую фигуру из прямоугольников, входящих в трапецию S и которые выходят за пределы трапеции `S

при n®Ґ S_n-a₁ЈJ Ю S_nЈJ+a₁ т.е. n-ные частичные суммы ряда (1) ограничены.

{S_n} - ограничена и по достаточному условию сходимости ряда (1) сходится

2. дано расходится, то есть для любых n существует числоM>0, что >M, тогда S_n >+a_n>M, то есть последовательность возрастает и неограниченна сверху, то есть lim S_n =Ґ, а это означает, что ряд (1) расходится. Теорема доказана.

Замечание.

О сходимости или расходимости (1) можно судить по сходимости или расходимости интеграла , а - любое целое число >1.

Обобщенный гармонический ряд.

Этот ряд называется обобщенным гармоническим рядом, он сходится, если p>1 и расходится, если pЈ1.

О сходимости этого ряда можно судить по сходимости и расходимости несобственного интеграла . Этот интеграл сходится, если p>1 и расходится, если pЈ1.

Например:

- сходящийся ряд

ЗНАКОПЕРЕМЕННЫЕ РЯДЫ.

Знакопеременными называются ряды, членами которых являются числа любого знака. Частным случаем знакопеременных рядов являются ряды знакочередующиеся, т.е. ряды вида:

(1) a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+…=

Признак Лейбница.

Если члены ряда (1) убывают, т.е. a₁>a₂>…>a_n>… и lim a_n=0 (2), то ряд (1) - сходится, причём сумма этого ряда положительна и не превосходит первого числа ряда (1), т.е. 0<SЈa₁ (3).

Доказательство:

Рассмотрим {S_n}, пусть n=2m Ю S_2m=a₁-a₂+a₃-a₄+..+a_2m-1-a_2m

Т.к. сумма конечного числа слагаемых, то их можно группировать

S_2m= (a₁-a₂)+(a₃-a₄)+..+(a_2m-1-a_2m)

(a₁-a₂)>0

(a₃-a₄)>0

(a_2m-1-a_2m)>0 Ю S_2m>0

S_2m=a₁-[(a₂-a₃)+(a₄-a₅)+…+(a_2m-2-a_2m-1)+a_2m]

0<S_2mЈa₁, по свойству пределов предел S_2m при m®Ґ равен S, где S- число, причем 0<SЈa₁

пусть n=2m+1Ю S_2m+1=S_2m+a_2m+1

lim S_2m+1=lim(S_2m+a_2m+1)=lim S_2m+lim a_2m+1=S+0=S,

то есть (1) сходится и имеет сумму S.

Абсолютная и неабсолютная (условная) сходимость знакопеременного числового ряда.

Рассмотрим знакопеременный ряд:

(4) ,

(4) - знакопеременный ряд если члены этого ряда являются числами и положительными и отрицательными.

(5)

(5) - составлен из абсолютных величин (4)

(5) - знакопеременный ряд.

(4) - называется абсолютно сходящимся, если lim a_n = 0 и (5) сходится.

(4) - называется неабсолютно (условно) сходящимся, если lim a_n = 0, а (5) расходится.

(4) расходится, если lim a_n № 0.

Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.

1. Если сходится ряд из абсолютных величин знакопеременного ряда, то знакопеременный ряд сходится.