Высшая математика

2. Абсолютно сходящиеся ряды обладают переместительным и сочетательными свойствами.

3. Условно сходящиеся ряды не обладают свойствами ни переместительным, ни сочетательным, более того, если в условно сходящемся ряде применить сочетательное свойство, то в итоге можно получить даже расходящийся ряд (т. Римана).

4. Абсолютно сходящиеся ряды можно почленно складывать вычитать, умножать. Условно сходящиеся ряды такими свойствами не обладают.

Замечание об оценке сходимости знакопеременного ряда.

a₁-a₂+a₃-a₄+…+(-1)ⁿ⁺¹a_n+… (1)

± a_n+1 ± a_n+2 ± …(2) - знакопеременный ряд, остаток ряда (1)

Если lim a_n = 0 и члены ряда убывают, то (2) сходится (по свойству сходящихся рядов).

r - сумма (2)

Лекция 16. Функциональные ряды

{f_n(x)}=f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), … на (a, b)

Из членов этой последовательности составляется ряд.

(1)

(1) - функциональный ряд.

Рассмотрим последовательность частичных сумм:

S₁(x)=f₁(x)

S₂(x)=f₁(x)+f₂(x)

S_n(x)=f₁(x)+f₂(x)+…+f_n(x) (2) - n- ая частичная сумма (1)

(1) называется сходящимся в т. х₀О(a, b), если lim S_n(x₀) = S(x₀) № Ґ

В противном случае (1) расходится в т. х₀. Если (1) сходится в т. х₀, то т.х₀ называется точкой сходимости функционального ряда (1) и число S(x₀) называется суммой (1) в т. х₀.

Если для всех хОD М (a, b), (1) - сходится, то D называется областью сходимости функционального ряда (1), т.е. если

хОD Ю lim S_n(x)=S(x)№Ґ (4)

lim S_n(x) = S(x) Ы ? e>0 ? N=N(e, x):

n і N Ю

S(x)-S_n(x)=r_n(x)

(1) сходится, если lim r_n(x) = 0.

Равномерная сходимость функционального ряда.

(1) называется равномерно сходящимся в D₁, если для любого e > 0 ? N=N(e) для всех х Ю n і N Ю

Понятие равномерной сходимости функционального ряда более жёсткое. Если ряд сходится равномерно, то сходимость этого ряда в общем обеспечена. Но, если ряд просто сходится, то это ещё не значит, что он будет сходится равномерно.

Признак равномерной сходимости функционального ряда. (т. Вейерштрасса)

(5) c_i > 0 - знакоположительный числовой ряд.

U₁=f₁(x), U₂=f₂(x), …, U_n=f_n(x), …

(1)

(5) - сходится.

Если для любого nОN Ю (6) (? xОD), то (1) равномерно сходится в D.

(5) - называется мажорантой.

Признак Вейерштрасса: (1) равномерно сходится в D, если в этой области он мажорируется мажорантой.

Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.

(1)

Пусть f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), … непрерывны на (a, b)

Т.1. Если ряд (1), составленный из непрерывных на (a, b) функций, равномерно сходится на (a, b), то сумма этого ряда S(x) - непрерывная функция на (a, b)

Т.2. Пусть f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), … дифференцируемы в любой т. x?(a, b)

(2)

Если (1) сходится, а (2) равномерно сходится, то (1) можно почленно дифференцировать, причём сумма (2) равна производной от суммы (1), т.е.:

(3)

Равномерно сходящиеся ряды можно почленно дифференцировать.

Т.3. Пусть f₁(x), f₂(x), …, f_n(x), … интегрируемы на [a, b]

Если (1) равномерно сходится на [a, b], то (1) можно почленно интегрировать, причём интеграл от суммы (1) равен сумме ряда, составленного из интегралов от соответствующих членов (1), т.е.:

(4)

Лекция 17. Степенные ряды

Степенные ряды - это частный случай функциональных рядов.

(1)

(1) - обобщённый степенной ряд или ряд, расположенный по степеням (x-a),

c₀, c₁, c₂, …, c_n, … - коэффициенты (1)

Если а = 0, то получим:

(2) - степенной ряд.

Теорема Абеля.

Если (2) сходится в т.х₀ (х₀ № 0), то (2) сходится абсолютно для любых х: (3)

Если (2) расходится в т. х₁, то (2) расходится, если х:

Доказательство.

1) Дано: (2) сходится в т. х₀№0, т.е.

4)

(4)сходится Ю

(2) рассмотрим по абсолютной величине, т.е.

(5)

Так как и , (М - число > 0)

(6)- сходится, а члены (5) не превосходят членов (6) ? по признаку сравнения (5) сходится, а тогда (2) сходится абсолютно.

2) Дано: (2) расходится в т. х₁.

Предположим, что ? х^*>x₁ и (2) в т. х^* - сходится. Но тогда (2) сходится и в т. х₁, а это противоречит условию теоремы.

Теорема доказана.

РАДИУС И ИНТЕРВАЛ СХОДИМОСТИ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.

(1)

Чтобы решить вопрос об абсолютной сходимости степенного ряда (1) составим ряд из абсолютных величин членов (1):

(2)

для исследования сходимости (2) используем признак Даламбера.

если , то ряд сходится абсолютно

- радиус сходимости степенного ряда (1).

(3)

(4) Ю в (-R, R)

степенной ряд сходится абсолютно. Вне этого интервала степенной ряд (1) расходится. Граничные точки x = R и x = -R исследуются особо. В этих точках, т. е. на границах интервала, степенной ряд может или сходится, или расходится.

Замечание:

1) если R = 0, то (1) расходится для всех x, кроме быть может одной точки х = 0.

2) Если R ® Ґ,то (1) сходится абсолютно для всех х, т. е. в этом случае абсолютной сходимости является (-Ґ; +Ґ).

3) Рассмотрим обобщенный степенной ряд (5)

(5)

R находим по (3), и тогда интегралом сходимости (5) является.

a - R < x < a + R (6)

Вне интервала (6) степенной ряд (5) расходится, внутри его ряд сходится абсолютно, а граничные точки x = a - R и x = a +R исследуется особо.

4) К ряду (2) и аналогично к ряду (5) можно применять и радикальный признак Коши:

(7)

Все утверждения относительно интервала сходимости (2) и (5) аналогичны предыдущему.

СВОЙСТВА АБСОЛЮТНО СХОДЯЩИХСЯ СТЕПЕННЫХ РЯДОВ.

1. Если степенной ряд сходится в (-R, R), то в каждой точке этого интервала сумма ряда непрерывная функция.

2. В каждой внутренней точке интервала сходимости степенного ряда этот ряд можно почленно дифференцировать.

3. Степенной ряд можно почленно интегрировать на любом [a, b] М (-R, R).

Лекция 18. Ряды Тейлора и Маклорена

Рассмотрим функцию f(x) непрерывную в т.а и некоторой её окрестности и дифференцируемую в т.а достаточное число раз.

Поставим перед собой задачу: можно ли f(x) представить в виде степенного ряда и всегда ли полученный степенной ряд будет иметь своей суммой данную f(x). Эту задачу решает ряд Тейлора.

Предположим, что f(x) представима в виде степенного ряда, т.е. имеет место:

(1) f(x)=c₀+c₁(x-a)+c₂(x-a)²+…+c_n(x-a)ⁿ+…

Найдём, как связаны коэффициенты степенного ряда с f(x)

Полагаем в (1) x=a Ю f(a)=c₀

Предположим, что ряд в правой части (1) имеет интервал сходимости некоторую окрестность т. а и тогда этот ряд можно почленно дифференцировать в окрестности т. а.

(2) f'(x)=c₁+2c₂(x-a)+3c₃(x-a)²+…+nc_n(x-a)^n-1+…

Полагаем в (2) x=a Ю f'(a)=c₁

(3) f''(x)=2c₂+2·3c₃(x-a)+3·4c₄(x-a)²+…+n(n-1)c_n(x-a)^n-2+…

Полагаем в (3) x=a Ю f''(a)=2c₂ Ю

f'''(x)=2·3c₃ + 2·3·4c₄(x-a)+…+n(n-1)(n-2)c_n(x-a)^n-3+… (4)

f'''(a)=3!c₃ Ю и т.д.

(5) - коэффициенты Тейлора.

(6)

ряд (6) - ряд Тейлора для f(x) в окрестности т. а

ТЕОРЕМА ТЕЙЛОРА.

Для того, чтобы f(x) разложить в степенной ряд по степеням (x-a) необходимо и достаточно, чтобы f(x) была определена в т.а и имела непрерывные в этой точке производные до n-го порядка включительно и предел остатка этого ряда, т.е. lim R_n(x) = lim(S(x)-S_n(x))=0, был равен нулю. Для любого х принадлежащего области сходимости ряда (6) сумма ряда равна значению функции f(x) в этой точке и это разложение единственно.

Частным случаем ряда Тейлора является ряд Маклорена (a=0) Ю

(7) - ряд Маклорена.

Разложение в ряд Маклорена некоторых элементарных функций.

1. (8) область сходимости xО(-Ґ; Ґ)

2. (9) область сходимости xО(-Ґ; Ґ)

3. (10) область сходимости xО(-Ґ; Ґ)

4. Биноминальный ряд для f(x)=(1+x)^m.

(11)

область сходимости xО(-1;1)

Частные случаи биноминальных рядов.

Полагаем в (11) m=-1 Ю (12) - геометрический ряд, где область сходимости xО(-1;1)

В (12) вместо х подставим -х Ю (13), область сходимости xО(-1;1)

В (11) Ю (14)

В (14) вместо х подставим -х²

(15)

В (12) вместо х подставим х²

(16)

5. Известно, что степенные ряды можно почленно интегрировать по любому интервалу целиком лежащему в области абсолютной сходимости данного степенного ряда.

Тогда проинтегрировав ряд (12) в пределах (0; x), где xО(-1;1)

на (-1; 1) (17)

Проинтегрируем (13) Ю

(18)

(17) - (18) Ю (19)

Проинтегрируем в (0; х) ряд (16) Ю

(20)

Проинтегрируем (15) Ю

(21)

Лекция 19. Ряды Фурье

Ортогональные системы функций.

- называется ортогональной на [a; b], если выполняется следующие равенства:

1)

2)

Нормой функции j_n(x) называется:

(3)

В качестве примера ортогональной системы функций рассмотрим тригонометрическую систему функций на [-p; p]

1; cos x; sin x; cos 2x; sin 2x; …; cos nx; sin nx; … - называется тригонометрической системой функций.

1)

2)

3)

4)

5) 1) - 5) - условие (1)

6)

7)

8) 6) - 8) - условие (2)

Мы показали, что тригонометрическая система функций ортогональна на [-p; p] и в силу периодичности всех функций, входящих в эту систему, можно утверждать, что эта система функций ортогональна на любом отрезке длины 2p и Ю

Наряду с ортогональными системами функций рассматривают ортонормированную систему функций.

Ортонормированной системой функций называют ортогональную систему функций, причём норма каждой из функций входящих в систему равна единице. Кроме рассматриваемых тригонометрических систем функций рассматриваются ортогональные обобщённые системы тригонометрических функций: 1; ; ; ; ; …; ; ; … на [-p; p].

Разложение функций в ряд Фурье по ортогональной системе функций.

Рассмотрим систему ортогональных функций {j_n(x)} на [a; b].

Пусть имеет место:

f(x) = c₁j₁(x) + c₂j₂(x) + … + c_nj_n(x) + … (4)

Найдём значения коэффициентов c_k.

Умножим обе части (4) на j_k(x) и проинтегрируем полученное равенство в пределах от a до b:

В силу ортогональности все интегралы равны нулю, кроме:

,

отсюда (5)

k= 1, 2, 3, …n, …

(5) - коэффициенты Фурье, а (4) называется рядом Фурье по системам ортогональных функций на [a; b].

Лекция 20. Ряд Фурье для функций f(x) с периодом 2p

(6)

Каждая из функций, входящая в (6), периодическая с периодом 2p Ю если f(x) является суммой ряда (6), то она обязана быть тоже периодической функцией с периодом 2p.

Предположим, что ряд в правой части (6) равномерно сходится на [-p; p].

Найдём значения коэффициентов a₀, a_n, b_n.

Проинтегрируем (6) на [-p; p]

(7)

Умножим (6) на cos nx и проинтегрируем на [-p; p]

(8)

Аналогично находится b_n. Обе части (6) умножаем на sin nx и интегрируем на [-p; p]

 (9)

(7), (8), (9) - коэффициенты ряда Фурье или ряд Фурье для f(x) с T=2p.

Ряд Фурье для f(x) с произвольным периодом.

f(x+2l)=f(x) Ы периодическая с T=2l.

Достаточно задать функцию на (-l; l) и на оставшуюся ось ОХ продолжить функцию периодическим образом с T=2l.

(10)

(11)

(12)

(13)

ДОСТАТОЧНОЕ УСЛОВИЕ РАЗЛОЖИМОСТИ f(x) В РЯД ФУРЬЕ (ТЕОРЕМА ДИРИХЛЕ).

f(x) удовлетворяет условиям Дирихле на [-p; p], если она непрерывна на этом отрезке либо имеет конечное число точек разрыва первого рода.

ТЕОРЕМА.

Функцию f(x) удовлетворяющую условиям Дирихле на [-p; p], периодическую с T=2?, можно единственным образом разлагать в ряд Фурье (6) с коэффициентами (7), (8), (9), причём:

1) S(x)=f(x) в точках непрерывности

2) Если т. х₀ - т. разрыва I рода, то S(x₀) равна среднему арифметическому левостороннего и правостороннего пределов функции, т.е.



3) Значения суммы ряда на границах отрезка:

Аналогичная теорема имеет место и для f(x) с произвольным периодом, а именно:

Если f(x) удовлетворяет условия Дирихле на[-l; l ] и периодическая с T=2l, то её можно разложить в ряд Фурье (10) с коэффициентами (11), (12), (13) единственным образом причём:

1) S(x)=f(x) в точках непрерывности.

2) если x₀ - точка разрыва первого рода.

3)

Лекция 21. Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций

1) f(x) задана на (-p; p), f(x+2p)=f(x) и f(-x)=f(x) для любого xО(-p; p).

Известно, что:

Если f(-x) = f(x) Ю

Если f(-x) = - f(x) Ю

(1)

(2)

(3)

(4)

Если f(x) - чётная, то b_n = 0, а

(5)

(6)

(7)

Ряд Фурье для чётной функции содержит только косинус и коэффициенты вычисляются по (5) и (6).

2) Если f(x) - нечётная в (-p; p)

f(x+2p)=f(x), f(-x) = - f(x), то a₀=0; a_n=0

(8)

Ряд Фурье для нечётных функций содержит только синус

(9)

Замечание:

Аналогично, если функция f(x) на (-l; l), T=2l.

Если f(-x)=f(x), то b_n=0

Если f(-x) = - f(x), то a₀=0; a_n=0

РАЗЛОЖЕНИЕ В РЯД ФУРЬЕ ФУНКЦИЙ, ЗАДАННЫХ НА ПОЛОВИНЕ ПЕРИОДА.

f(x) а f(x+2p) = f(x); T=2p

f(x) задана либо на (0; p), либо на (-p; 0).

Если f(x) задана на интервале длины, равной периоду и на этом интервале функция удовлетворяет условию Дирихле, то её можно разложить в ряд Фурье, причём это разложение единственно.

Функцию заданную на половине интервала можно продолжить на вторую половину интервала так, чтобы на всём интервале длины равной периоду функции, она удовлетворяла условию Дирихле, тогда такую функцию можно разлагать в ряд Фурье, но этот ряд Фурье будет зависеть от продолжения функции на вторую половину интервала. Таким образом функция, заданная на половине интервала, может иметь бесчисленное множество рядов Фурье, каждый из которых зависит от соответствующего продолжения. Но из всего множества продолжений функции можно выделить два продолжения:

1) «Чётное», т.е. функцию зеркально отображают относительно ОУ Ю функция становится чётной ;

2) а если функцию зеркально отобразить относительно начала координат, то на всём интервале она становится нечётной.

Чтобы разложить f(x) в ряд по косинусам, необходимо предварительно продолжить её чётным образом и тогда, её ряд Фурье будет содержать только косинусы. А, чтобы эту функцию разложить в ряд по синусам надо продолжить нечётным образом, и тогда её ряд Фурье будет содержать только синусы.

Лекция 22. Ряд Фурье в комплексной форме

Пусть f(x) на (-p; p), Т=2p

Принимая во внимание (6), (7) и (8) и подставляя в (5), получим

(9) - ряд Фурье в комплексной форме, коэффициенты которого вычисляются по формуле (6).

Аналогично, если f(x) на (-l; l), T=2l.

Замечание:

Зная ряд Фурье в действительной форме, можно легко по формуле перейти к комплексной форме.

Зная ряд Фурье в комплексной форме, можно легко найти коэффициенты a_n и b_n.

a_n-ib_n=2c_n

Re C_n - действительная часть c_n.

Jm C_n - мнимая часть с_n.

a_n-ib_n=2Re c_n + i2Jm c_n Размещено на Allbest.ru