Евклидовы кольца и кольца главных идеалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение 1

Непустое множество К с определёнными на нём бинарным алгебраическими операциями сложения и умножения называется кольцом, если выполняются следующие аксиомы:

1) К-аддитивно-абелева группа, то есть:

а. Ассоциативность сложения на К (a+b)+c=a+(b+c), ? a, b, c?K;

б. ? 0?K:a+0=0+a=a, ?a?K;

в. ?a?K, ?(-a)?K:a+(-a)=-a+a=0;

г. Коммутативность сложения на K:a+b=b+a, ? a, b?K;

2) В K выполняются дистрибутивные законы, то есть: ? a, b, c?K

а. (a+b) ·c=a·c+b·c-правый дистрибутивный закон;

б. c· (a+b)=c·a+c·b-левый дистрибутивный закон.

Виды колец.

2. Определение 2

Кольцо K называется ассоциативным, если операция умножения ассоциативны на K, то есть

(a·b) ·c=a· (b·c), ? a, b, c?K.

кольцо аксиома алгебраический операция

3. Определение 3

Кольцо K называется коммутативным, если операция умножения коммутативно на K, то есть

a·b=b·a, ? a, b?K.

4. Определение 4

Кольцо К называется ассоциативно-коммутативным, если К ассоциативное кольцо и коммутативное кольцо.

5. Определение 5

Кольцо К называется кольцом с единицей, если в К существует единичный элемент, то есть

?a·e=e·a=a, ? a ?K.

6. Определение 6

Элементы a и b называются делителями нуля, если a?0, b?0, но a·b=o.

7. Определение 7

Ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей без делителей нуля называется областью целостности.

8. Определение 8

Полем называется ассоциативно-коммутативное кольцо с единицей, в котором любой ненулевой элемент обратим.

Непустое множество P, с определёнными на нём бинарными алгебраическими операциями + и * называется полем, если выполняются следующие аксиомы:

1) P-аддитивно абелева группа, то есть

а. ассоциативность операции +, то есть (a+b)+c=a+(b+c), ? a, b, c?P;

б. ? 0?P:a+0=0+a=a, ?a?P;

в. ?a?P, ?(-a)?P:a+(-a)=-a+a=0;

г. Коммутативность операции +, то есть a+b=b+a, ? a, b,?P.

2) В P выполняются дистрибутивные законы, то есть: ? a, b, c?P

а. (a+b) ·c=a·c+b·c-правый дистрибутивный закон;

б. c· (a+b)=c·a+c·b-левый дистрибутивный закон.

3) P^#-мультипликативная абелева группа, то есть

а. ассоциативность операции ·, то есть (ab) c=a(bc), ? a, b, c?P^#

б. ? 1?P^#:a·1=1·a=a, ? a?P^#

в. ? a?P^#,? a^-1?P^#:a·a^-1=a^-1·a=1;

г. Коммутативность операции ·, то есть ab=ba, ? a, b?P^#.

Простейшие свойства колец

Свойство 1. Для поля P выполняются все простейшие свойства колец.

Свойство 2. В поле нет делителей нуля.

9. Определение 9

Пусть F-поле, f(x), g(x) ?F[x].Многочлен d(x) называется наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x) (или коротко НОД f(x) и g(x)) и обозначается d(x)=f(x), g(x), если выполняются 2 условия:

1) d(x) - общий делитель многочленов f(x) и g(x), то есть f?d и g?d.

2) d(x) делится на любой общий делитель многочленов f(x) и g(x), то есть если f?d и g?d, то d?d.

10. Определение 10

Подкольцо I кольца R называется идеалом в R, если для любых элементов a из I и x из K элементы ax и xa принадлежат I.

11. Определение 11

Область целостности R называется евклидовым кольцом, если каждому ненулевому элементу a-сопоставлено целое неотрицательное число g(a) со следующими свойствами:

1) Для a?0 и b?0 справедливо g(ab)?g(a);

2) Для любых двух элементов a, b, где a?0, существует представление b=qa+r, в котором r=0 или g(r)<g(a).

В случае R=Z полагаем g(a)=|a|, в случае R=P[x] числом g(a) служит степень многочлена a.

12. Определение 12

Множество С с определёнными на нём операциями «+» и «·» формулами (a, b)+(c, d)=(a+b, c+d) и (a, b) ·(c, d)=(ac-bd, ad+bc) называется множеством комплексных чисел, а его элементы называются комплексными числами.

13. Определение 13

Комплексные числа, у которых как вещественная, так и мнимая часть являются целыми числами называются Гауссовыми целыми числами.

Теорема.

В кольце Z целых чисел каждый идеал является главным.

Доказательство.

Пусть a-произвольный идеал в Z. Если a=(0), то доказывать будет нечего. Если же в a есть ещё элемент c?0, то a содержит и элемент - c, а один из этих элементов является положительным числом. Пусть a-наименьшее положительное число в идеале a. Если b-произвольное число в идеале и r-остаток от деления числа b на a, то b=qa+r, 0?r<a.

Так как b и a принадлежат идеалу, то число b-qa=r тоже принадлежит этому идеалу. Так как r<a, то обязательно r=0, потому что a-наименьшее положительное число идеала.

Следовательно, b=qa, то есть все числа идеала a являются кратными числа a. Отсюда следует, что a=(a); следовательно, a-главный идеал.

Точно так же доказывается следующее предложение:

Если P-поле, то в кольце многочленов P[x] каждый идеал является главным. Действительно, можно вновь взять произвольный идеал a?(0).В качестве a выберем многочлен наименьшей степени из содержащихся в a. Так как и в кольце многочленов существует алгоритм деления, произвольный многочлен b идеала можно представить в виде: b=qa+r;

Если r?0, то степень многочлена r меньше, чем степень a, дальше доказательство проходит аналогично предыдущему.

Область целостности с единицей, в котором каждый идеал является главным, называется кольцом главных идеалов.

Применяя без каких бы то ни было изменений метод, который использовался в случае колец R=Z и R=P[x], мы получаем следующую теорему:

В любом евклидовом кольце каждый идеал является главным и все элементы идеала являются кратными qa порождающего его элемента a.

Если эту теорему применить к единичному идеалу, то есть ко всему кольцу, то получится, что в кольце есть такой элемент a, что все элементы кольца суть кратные qa этого элемента a.

В частности, сам элемент a представляется в виде:

a=ae

Для b=qa отсюда следует:

qa=qae, в силу чего b=be.

Таким образом справедливо следующее утверждение: евклидово кольцо обязательно содержит единицу.

Два ненулевых элемента a, b произвольного кольца главных идеалов порождают идеал (a, b), который состоит из всех выражений вида ra+sb и который тоже является главным идеалом, то есть порождается некоторым элементом d. Следовательно

d=ra+sb

Согласно (2) элемент d является общим делителем a и b.В силу (1) элемент d является наибольшим общим делителем, то есть общие делители элементов a и b являются делителями и элемента d. Итак: в кольце главных идеалов любые два элемента a, b имеют наибольший общий делитель d, который представляется в виде (1).

Обычно наибольший общий делитель обозначается через d=(a, b).Правильнее было бы писать (d)=(a, b), потому что элементами a и b однозначно определяется лишь идеал (d), а не сам элемент d. Если (a, b)=1, то элементы a и b называются взаимно простыми.

Приведённое выше доказательство существования НОД не даёт средства для вычисления этого объекта. В евклидовых кольцах такое вычисление осуществляется с помощью предложенного евклидовом способа последовательного деления (алгоритма Евклида, по которому евклидовы кольца и получили своё наименование).

Пусть заданы два элемента кольца a₀, a₁ и пусть g(a₁) ?g(a₀)

В соответствии с алгоритмом деления положим:

a₀=q₁a₁+a₂, g(a₂)<g(a₁),

a₁=q₂a₂+a₃, g(a₃)<g(a₂).

И продолжим этот процесс до тех пор, пока не получим при одном из делений нулевой остаток:

a_5-1=q₅a₅

Все элементы a₀, a₁, a₂,…, a₅ имеет вид ra₀+ta₁. Каждый делитель элемента a₅(в частности сам a₅) согласно последнему равенству, - делителем элемента a_5-2 и так далее и, наконец, элементов a₀ и a₁.

Проведённые до сих пор рассуждения проходят и в случае некоммутативных колец, нужно лишь потребовать существование как левого, так и правого алгоритма деления.

b=q₁a+r₁=aq₂+r₂, g(r₁)<g(a), g(r₂)<g(a).

Тогда получится, что каждый левый идеал содержит некоторый элемент a, все левые кратные qa которого a составляют данный левый идеал; Тоже верно и для правого идеала, в котором все элементы являются правыми кратными aq некоторого элемента a, на который все остальные элементы идеала делятся как слева, так и справа. Если этот вывод применить, в частности, к единичному идеалу, то отсюда сразу получается существование в кольце правой единицы, левой единицы и, значит, просто единицы.

Наконец, как и выше, доказывается существование левого и правого наибольших общих делителей двух элементов a, b.

Важнейшим примером некоммутативного евклидова кольца является кольцо многочленов P[x] над телом P.

Комплексные числа a+bi (a и b-обычные целые числа) образуют кольцо целых Гауссовых чисел.

Если определить «норму» числа a=a+bi равенством

N(a)=(a+bi) (a-bi)=a²+b²,

то из определения произведения

(a+bi) (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc) i,

Легко будет следовать равенство

N (б в)=N(б) N(в) (3)

Норма N(б) является обычным целым числом, которое (как сумма двух квадратов) обращается в ноль лишь тогда, когда само б равно нулю, а в остальных случаях положительно.

Из (3) следует, что произведение б в обращается в нуль лишь тогда, когда б или в равно нулю. Следовательно, мы имеем дело с целостным кольцом. Как мы уже знаем, существует поле частных этого кольца.

Если a=a+bi?0, то a^-1= числа поля частных можно следовательно представить в виде (a, c, n-целые числа).

Эти «дробные числа» составляют «поле гауссовых чисел». Определение нормы и равенства (3) дословно сохраняются и для этого поля.

Чтобы получить алгоритм деления в кольце целых Гауссовых чисел, поставим перед собой задачу найти для заданных б в?0 число б-л в, норма которого меньше нормы элемента в. Сначала определим дробное число л'=a'+b'i, для которого б-л' в=0, затем заменим a' и b'на ближайшие к ним целые числа a и b и положим л=a+ bi, л' - л=е

Тогда

б - лв= б-л'в+ев=ев

N (б - лв)=N(е) N(в)

N(е)=N (л' - л)=(a' - a)²+(b' - b)²?()²+()<1

N (б - лв)<N(в)

Тем самым найдём «алгоритм деления», и получается, что кольцо целых Гауссовых чисел-евклидово.

Список литературы

1) Хассе (Hasse H) - J reine und angew Math, 1928,159, S 3-12

2) Перрон (Perron O) - Math Ann, 107, S 489

3) Оппенгейм (Oppenheim A) - Math Ann, 109, S 349

4) Берг (Berg E) - Kgl Fysiogr Sallskapets Lund Forhandl, 5, №5

5) Хофрайтер (Hofreiter N) - Monatsh Math Phys, 42, S 397

6) Бербом, Редеи (Berbohm H., Redei L) - J. reine und angew Math, 174, S 108

Размещено на Allbest.ru