Теорія матричних ігор в кількісному аналізі, вимірювання економічного ризику

Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Кіровоградський державний педагогічний університет

імені Володимира Винниченка

Кафедра прикладної математики

статистики та економіки

матрична гра стратегія

Курсова робота з математики

Теорія матричних ігор в кількісному аналізі

вимірювання економічного ризику

Тітар Юлії Миколаївни

студентки 33 групи

фізико-математичного факультету

спеціальність: 6.040201 Математика

спеціалізація:

Основи економіки

Науковий керівник:

Довгенко Яна Олексіївна

доцент

2010 р.

ЗМІСТ

ВСТУП

Розділ I. Теорія ігор

1.1 Основні поняття теорії ігор

1.2 Класифікація ігор

1.3 Матричні ігри для двох осіб

1.4 Геометрична інтерпретація гри 2 Ч 2

• Розділ II. Вимірювання економічного ризику за допомогою теорії ігор
• 2.1 Особливості прояву ризику в сучасних умовах
• 2.2 Методи аналізу конфліктних ситуацій
• 2.2.1 Методи знаходження оптимальних стратегій Приклади на розв'язання задач на вибір оптимальних стратегій
• в конфліктних ситуаціях
• 2.3 Методи аналізу ігор із природою. Приклади розв'язання задач на вибір оптимальної стратегії в іграх з природою
• ВИСНОВОК
• СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
• ВСТУП

Теорія ігор вперше була систематично викладена Нейманом і Моргенштерном та оприлюднена лише 1944 року в монографії «Теорія ігор і економічної поведінки», хоча окремі результати були опубліковані ще в 20-х роках. Нейман і Моргенштерн написали оригінальну книгу, яка містила переважно економічні приклади, оскільки економічні задачі простіше за інші описати за допомогою чисел. Під час другої світової війни і одразу після неї теорією ігор серйозно зацікавились військові, які одразу побачили в ній математичний апарат для дослідження стратегічних проблем і підготовки рішень, різноманітних ризиків. Потім головна увага знову була звернута до економічних проблем. Нині сфера застосування теорії ігор значно розширилась й особливого розвитку набула у вирішенні питань економічного ризику.

Проблема вивчення ризику на зламі ХХ-ХХІ століть постала з особливою гостротою. Суспільство, яке попри всі уживані заходи не може запобігти глобальним конфліктам, міжнародним кризам, екологічним катастрофам, нескінченним помилкам і непередбачуваним ситуаціям, усвідомило, нарешті, необхідність обов'язкової оцінки ризику у кожному виді діяльності, перш ніж приймати рішення про будь-які кроки у напрямку її здійснення.

Особливу роль ризик відіграє в економіці, котрі як на внутрішньому, так і на зовнішньому ринках неможливі без невизначеності, випадковості і конфліктності, зумовлених найрізноманітнішими причинами: природними явищами, політичними подіями, податковим регулюванням, змінами у законодавстві, коливаннями цін і курсів валют, конкуренцією, виконанням договірних зобов'язань, особистими уподобаннями і перевагами учасників подій та багатьма іншими факторами.

Як ніколи раніше, проблема ризику постала і перед постсоціалістичними країнами, що перейшли від планової економіки, обов'язково виконання рішень вищих органів, що практично повністю відкидають ініціативу, заповзятливість, а отже, і ризик, до ринкових методів господарювання із супутніми їм численними ризиками.

У законодавствах провідних країн світу підприємництво визначене як діяльність, здійснювана в умовах ризику. Це означає, що ризику цілком у всіх ситуаціях не можна уникнути, його тільки можна зменшити до певних меж або відмовитися від нього. Але як, до яких і в яких випадках -- це проблема, над якою ламають голови дослідники в усьому світі. Усе це переконує в тому, що ризик потрібно вивчати. Причому ця проблема невичерпна, позаяк не вичерпується і постійно поповнюється перелік ризикових ситуацій.

З огляду на це вивченню проблем ризику наприкінці XX ст. почали приділяти величезну увагу. Організовано науково-дослідні інститути, що вивчають ризик у всіх його проявах. В останнє десятиліття ці проблеми у дедалі більших масштабах почали висвітлюватися й у вітчизняній періодичній пресі, підручниках і монографіях.

Розділ I. Застосування теорії ігор в економіці

1.1 Основні поняття теорії ігор

У попередніх розділах описані такі задачі математичного програмування, де рішення на основі розрахованого оптимального плану приймає лише один суб'єкт, що має чітко визначену мету. Відомо, що будь-яка економічна система не функціонує ізольовано, а на певних етапах своєї діяльності вступає в різні економічні відносини з іншими суб'єктами господарювання. Оптимальний план за наведеними вище математичними моделями визначався, виходячи з інтересів тільки однієї сторони економічних відносин, не враховуючи можливі варіанти дій інших сторін.

У даному розділі розглядаються ситуації з кількома учасниками, коли значення цільової функції для кожного учасника залежить не лише від його власної поведінки, але і від дій інших суб'єктів.

За умов ринкової економіки все частіше мають місце конфліктні ситуації, коли два або більше колективів (індивідуумів) мають протилежні цілі та інтереси, причому результат дії кожної із сторін залежить і від дії супротивника. Класичним прикладом конфліктної ситуації в економіці є відношення продавець -- покупець (монополія -- монопсонія). Складніші ситуації виникають, коли в суперечці інтересів беруть участь об'єднання чи коаліції.

Зазначимо, що не завжди учасники ігрової ситуації мають протилежні цілі. Наприклад, дві фірми, які надають однакові послуги, можуть об'єднуватися з метою спільного протистояння більшому супернику.

Часто однією із сторін конфлікту є природні процеси чи явища, наприклад, погода, тобто маємо гру людини з природою. Погодними умовами людина практично не може керувати, але вона має змогу пристосовуватися до її постійних змін. Безліч подібних ситуацій можна зустріти і в інших сферах людської діяльності: біології, психології, політології тощо.

Теорія ігор -- це математичний апарат, що розглядає конфліктні ситуації, а також ситуації спільних дій кількох учасників. Завдання теорії ігор полягає у розробленні рекомендацій щодо раціональної поведінки учасників гри.

Реальні конфліктні ситуації досить складні і обтяжені великою кількістю несуттєвих чинників, що ускладнює їх аналіз, тому на практиці будують спрощені моделі конфліктних ситуацій, які називають іграми.

Характерними рисами математичної моделі ігрової ситуації є наявність, по-перше, кількох учасників, яких називають гравцями, по-друге, опису можливих дій кожної із сторін, що називаються стратегіями, по-третє, визначених результатів дій для кожного гравця, що подаються функціями виграшу. Задачею кожного гравця є знаходження оптимальної стратегії, яка за умови багатократного повторення гри забезпечує даному гравцю максимально можливий середній виграш.

Існує дуже багато різних ігор. Прикладом «гри» в буквальному розумінні цього слова, передусім, є спортивна, карточна гра, шахи тощо. Від реальної конфліктної ситуації гра відрізняється не лише спрощеною формою, а також наявністю певних правил, за якими мають діяти її учасники. Дослідження таких формалізованих ігор звичайно не може дати чітких рекомендацій для реальних умов, проте є найзручнішим об'єктом для вивчення конфліктних ситуацій і оцінки можливих рішень з різних поглядів. Розраховані на основі ігрових моделей оптимальні плани не визначають єдино правильне рішення за складних реальних умов, проте слугують математично обґрунтованою підставою для прийняття таких рішень.

1.2 Класифікація ігор

Класифікація ігор проводиться відповідно до вибраного критерію. Ігри можуть розрізнятися залежно від кількості гравців, кількості стратегій, властивостей функцій виграшу, можливостей взаємодії між гравцями.

Якщо в грі беруть участь два гравці, то така гра називається парною (грою двох осіб). Часто у грі беруть участь багато сторін, тоді гра є множинною.

Залежно від кількості стратегій розрізняють скінченні та нескінченні ігри. Якщо кожен гравець має скінченну кількість стратегій, то гра -- скінченна, в іншому разі -- нескінченна.

Якщо виграш одного гравця дорівнює програшу іншого, то маємо гру з нульовою сумою. Такі ігри характеризуються протилежними інтересами сторін, тобто ситуацією конфлікту. Інші ігри -- з ненульовою сумою, виникають як за умов конфліктної поведінки гравців, так і за їх узгоджених дій.

За можливості поєднання інтересів гравців та домовленості між ними про вибір стратегій можна казати про кооперативну гру, коли ж гравці не мають можливості чи не бажають координувати свої дії, то гра називається некооперативною.

1.3 Матричні ігри двох осіб

Найчастіше розглядається гра з двома гравцями, в якій виграш однієї сторони дорівнює програшу іншої, а сума виграшів обох сторін дорівнює нулю, що в теорії ігор називають грою двох осіб з нульовою сумою. Подібна ситуація є типовою у практичній діяльності менеджерів, маркетологів, спеціалістів рекламних служб, які щоденно приймають рішення за умов гострої конкуренції, неповноти інформації тощо. Основною метою розв'язування задач цього класу є розроблення рекомендацій щодо вибору оптимальних стратегій конфліктуючих сторін на основі застосування методичних підходів теорії ігор.

Отже, маємо два гравці А і В (гра двох осіб з нульовою сумою). Кожний гравець вибирає одну із можливих стратегій: позначимо стратегії гравця А -- стратегії гравця В -- .

Результати (плата) за всіма можливими варіантами гри задаються спеціальними функціями, які залежать від стратегій гравців, як правило, у вигляді платіжної матриці.

Нехай -- виграш гравця А;

-- виграш гравця В.

Оскільки гра з нульовою сумою, то

Тоді в разі, якщо то

Отже, мета гравця А -- максимізувати величину , а гравця В -- мінімізувати її. Нехай тобто маємо матрицю А:

де рядки відповідають стратегіям Аі, а стовпці -- стратегіям Bj.

Матриця А називається платіжною, а також матрицею гри. Елемент цієї матриці aij -- це виграш гравця А, якщо він вибрав стратегію Ai, а гравець В -- стратегію Bj.

Із багатьох критеріїв, які пропонуються теорією ігор для вибирання раціональних варіантів рішень, найпоширенішим є песимістичний критерій мінімаксу-максиміну. Суть цього критерію у наступному.

Нехай гравець А вибрав стратегію Ai, тоді у найгіршому разі він отримає виграш, що дорівнює min aij, тобто навіть тоді, якщо гравець В і знав би стратегію гравця А. Передбачаючи таку можливість, гравець А має вибрати таку стратегію, щоб максимізувати свій мінімальний виграш, тобто

Така стратегія гравця А позначається і має назву максимінної, а величина гарантованого виграшу цього гравця називається нижньою ціною гри.

Гравець В, який програє суми у розмірі елементів платіжної матриці, навпаки має вибрати стратегію, що мінімізує його максимально можливий програш за всіма варіантами дій гравця А. Стратегія гравця В позначається через і називається мінімаксною, а величина його програшу -- верхньою ціною гри, тобто

Оптимальний розв'язок цієї задачі досягається тоді, коли жодній стороні невигідно змінювати вибрану стратегію, оскільки її супротивник може у відповідь вибрати іншу стратегію, яка забезпечить йому кращий результат.

Якщо

,

тобто, якщо то гра називається цілком визначеною. В такому разі виграш гравця А (програш гравця В) називається значенням гри і дорівнює елементу матриці . Цілком визначені ігри називаються іграми з сідловою точкою, а елемент платіжної матриці, значення якого дорівнює виграшу гравця А (програшу гравця В) і є сідловою точкою. В цій ситуації оптимальним рішенням гри для обох сторін є вибір лише однієї з можливих, так званих чистих стратегій -- максимінної для гравця А та мінімаксної для гравця В, тобто якщо один із гравців притримується оптимальної стратегії, то для другого відхилення від його оптимальної стратегії не може бути вигідним.

Приклад 1. Фірма виготовляє устаткування для хімічної промисловості. Експертами виробничого відділу фірми розглядаються три конструкторські варіанти устаткування: А-1, А-2, А-3. Для спрощення допустимо, що за технічними характеристиками ці три типи майже ідентичні, однак залежно від зовнішнього вигляду та зручності використання кожен тип може мати три модифікації: М-1, М-2, М-3 залежно від закупленої технології виробництва. Собівартість виготовлення устаткування наведена в табл. 1.1:

Таблиця 1.1

Собівартість виготовлення устаткування, тис. ум. од.

Тип устаткування	Модифікація
	М-1	М-2	М-3
А-1	10	6	5
А-2	8	7	9
А-3	7	5	8

Конфліктна ситуація виникає в зв'язку з необхідністю вибрати той тип устаткування та його модифікації, який буде затверджений економічним відділом фірми. З погляду виробництва найкращим є найдорожчий варіант, оскільки він дає змогу виробляти дорожчу та конкурентоспроможнішу продукцію, тоді як з погляду економічного відділу фірми найкращим є найдешевший варіант, який потребує найменшого відволікання коштів.

Завдання експертів полягає в тому, щоб запропонувати на розгляд фінансовому відділу такий тип устаткування, який забезпечить якщо не кращий, то в усякому разі не гірший варіант співвідношення вартості та зовнішнього вигляду.

Розв'язання.

Якщо виробничий відділ запропонує виготовлення устаткування типу А-1, то економічний відділ настоюватиме на придбанні технології, що дає модифікацію М-3, оскільки цей варіант найдешевший. Якщо зупинитись на устаткуванні виду А-2, то скоріш за все затверджено буде М-2, і нарешті для типу А-3 -- також М-2.

Очевидно, що з усіх можливих варіантів розвитку подій експертам виробничого відділу необхідно настоювати на варіанті впровадження у виробництво устаткування типу А-2, оскільки це дає найбільше значення за реалізації найгірших умов -- 7 тис. ум. од.

Наведені міркування ілюструють максимінну стратегію, отже:

,

,

,

-- нижня ціна гри.

Якщо учасник відхилиться від своєї оптимальної (максимінної) стратегії і вибере першу чи третю, то зможе отримати виграш, що дорівнює лише 5.

Розглянемо тепер ситуацію з погляду спеціалістів економічного відділу. Виходячи з витрат на виробництво устаткування, вибір технології, що дає змогу виготовляти модифікацію М-1, може призвести до найбільших витрат у тому разі, коли вдасться затвердити випуск устаткування типу А-1. Для технології виготовлення устаткування з модифікацією М-2 найбільші можливі витрати становлять 7 тис. ум. од. -- для устаткування А-2, а з модифікацією М-3 -- також для А-2. Для економістів найкращим є вибір технології, що забезпечує виготовлення устаткування модифікації другого виду, оскільки за найгірших для них умов вона дає найменші витрати -- 7 тис. ум. од.

Останні міркування відповідають мінімаксній стратегії, що визначає верхню ціну гри.

,

,

,

-- верхня ціна гри.

Якщо гравець відхилиться від своєї оптимальної (мінімаксної) стратегії, то це призведе до більших втрат. Якщо буде вибрано першу стратегію, то можливий програш дорівнюватиме 10, а якщо буде вибрано третю стратегію, то можливий програш становитиме 9. Наведена гра є парною грою із сідловою точкою.

Як правило, задачі теорії ігор, що моделюють реальні ситуації, мають значну розмірність. Тому важливим моментом дослідження платіжної матриці є способи її скорочення. Скоротити матрицю можна, якщо вилучити стратегії, про які наперед відомо, що вони є невигідними або повторюють одна одну.

Стратегії, яким відповідають однакові значення платіжної матриці (тобто матриця містить однакові рядки(стовпці)), називаються дублюючими. Якщо всі елементи і-го рядка (стовпця) платіжної матриці перевищують значення елементів j-го рядка (стовпця), то кажуть, що і-та стратегія гравця А (гравця В) є домінуючою над j-ою.

Для спрощення розрахунків дублюючі та ті стратегії, для яких існують домінуючі, вилучають з платіжної матриці.

Приклад 2. Маємо гру гравців А і В, яка задана такою платіжною матрицею:

Гравець В

Гравець A .

Необхідно визначити ціну гри та оптимальні стратегії гравців А і В.

Розв'язання.

Оптимізацію гри почнемо з визначення домінуючих стратегій для кожної із сторін, а також виключення із дальшого аналізу невигідних і дублюючих стратегій.

Визначимо домінуючі стратегії. Перша стратегія гравця А домінує над третьою, оскільки всі значення його виграшів за будь-яких дій противника є не гіршими, ніж за вибору третьої стратегії, тобто всі елементи першого рядка платіжної матриці не менші, ніж відповідні елементи її третього рядка. Тому третя стратегія гірша, ніж перша і може бути виключена із платіжної матриці.

Продовжуючи аналіз можливих дій гравця B, легко помітити, що його перша стратегія домінує над п'ятою, яку можна виключити як збитковішу, а тому невигідну для цього гравця. Отже, маємо таку платіжну матрицю:

За вибору гравцем А першої стратегії залежно від дій гравця В він може отримати 6, 3, 8 або 5 одиниць виграшу. Але у будь-якому разі його виграш буде не меншим від тобто незалежно від поведінки гравця В. Якщо розглянути можливі наслідки вибору гравцем А другої стратегії, то, міркуючи аналогічно, з'ясуємо, що його гарантований виграш становитиме Для третьої стратегії маємо:

Отже, нижня ціна гри буде дорівнювати: а гравець А для максимізації мінімального виграшу має вибрати другу із трьох можливих стратегій. Ця стратегія є максимінною у даній грі.

Гравець В, який намагається мінімізувати свій програш, вибираючи першу стратегію, може програти 6,6 або 4 одиниці. Але за будь-яких варіантів дій гравця А гравець В може програти не більше ніж Для другої стратегії маємо: для третьої -- а для четвертої -- Отже, верхня ціна гри становитиме:

Гравцю В доцільно вибрати також другу стратегію, яка є мінімаксною у грі. Оскільки то ця гра має сідлову точку. Ціна гри дорівнює 5. Оптимальною максимінною стратегією гравця А є друга з трьох можливих стратегій його дій. Для гравця В оптимальною є також друга із чотирьох можливих.

З наведеного прикладу зрозуміло, чому мінімаксна та максимінна стратегії мають назву песимістичних. Вибір оптимальної стратегії для кожного з гравців ґрунтується на припущенні, що він буде діяти за найгірших для нього умов. Зрозуміло, що в даному разі вибір такої стратегії може не влаштовувати учасників гри. Нехай гравець А вибрав другу (максимінну) стратегію і притримується її. Допустимо, що гравцеві В став відомим вибір стратегії противника, тоді йому доцільно обрати третю стратегію, за якої виграш становитиме 7 одиниць. У свою чергу гравець А також знає про зміну стратегії гравця В на третю і вибирає першу стратегію, що дає йому змогу отримати виграш у сумі 8 одиниць і т. д. Можливість такого розвитку подій виникає тому, що мінімаксна та максимінна стратегії в даному разі не є стійкими. Тобто обставини, за яких обидва гравці використовують мінімаксну та максимінну стратегії, невигідні гравцям у тому разі, коли один з них змінює свою оптимальну стратегію.

Однак така нестійкість властива не всім іграм із сідловою точкою. В деяких випадках сідловій точці відповідають стійкі максимінна та мінімаксна стратегії. В такому разі відхилення від оптимальної стратегії одним з гравців спричиняє таку зміну виграшу, яка є невигідною для цього гравця, оскільки стан або не змінюється, або погіршується.

Отже, в загальному випадку не можна стверджувати, що гра з сідловою точкою визначає стійкі оптимальні стратегії.

1.4 Геометрична інтерпретація гри 2 2

Найпростішим випадком скінченної гри є парна гра, коли у кожного учасника є дві стратегії.

Вj Ai	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Розглянемо випадок, коли гра не має сідлової точки. Отже, . Необхідно знайти змішані стратегії та ціну гри. Позначимо шукані значення ймовірноcтей застосування «чистих» стратегій гравця А через , а для гравця В -- через .

Згідно з основною теоремою теорії ігор, якщо гравець А притримується своєї оптимальної стратегії, то виграш буде дорівнювати ціні гри. Отже, якщо гравець А притримуватиметься своєї оптимальної стратегії , то:

(1.3)

Оскільки , то . Підставивши цей вираз у систему рівнянь (1.3), отримаємо:

.

Розв'язавши дане рівняння відносно невідомого , маємо:

, (1.4)

тоді: =. (1.5)

Провівши аналогічні міркування стосовно гравця В, маємо:

(1.6)

Оскільки , то .

.

Розв'язавши це рівняння відносно невідомого , маємо:

, (1.7)

тоді: . (1.8)

Ціну гри знаходять, підставлючи значення (або ) в будь-яке з рівнянь (1.3) або (1.6):

. (1.9)

Приклад 3. Знайти розв'язок гри з платіжною матрицею:

Вj Ai	B1	B2
A1	2	5
A2	4	3

Розв'язання.

Переконаємося, що гра не має сідлової точки:

,

.

Отже, ця гра не має сідлової точки. Скористаємося формулами (1.4), (1.5), (1.7), (1.8), (1.9). Маємо:

;

;

;

.

Ціна гри .

Отже, оптимальна стратегія кожного гравця полягає в тому, щоб випадково чергувати свої «чисті» стратегії. Гравець А має використовувати першу стратегію з імовірністю , а другу -- з імовірністю , а гравець В -- навпаки. За цих умов середній виграш дорівнюватиме 3,5.

Розв'язку гри 2 2 можна дати наочну геометричну інтерпретацію.

Розглянемо гру з платіжною матрицею виду:

Вj Ai	B1	B2
A1	a11	a12
A2	a21	a22

Відмітимо на осі абсцис відрізок довжиною, що дорівнює одиниці (рис. 1.1). Лівий кінець відрізка (точка з абсцисою х = 0) буде відповідати стратегії А1, а правий кінець (х = 1) -- стратегії А2, всі проміжні точки цього відрізка відповідатимуть змішаним стратегіям гравця А, причому імовірність х1 стратегії А1 буде дорівнювати відстані від точки Р до правого кінця відрізка, а ймовірність х2 стратегії А2 -- відстані до лівого кінця відрізка. Проведемо через точки А1 та А2 два перпендикуляри до осі абсцис: вісь І і вісь ІІ. На першій з них відмітимо виграш за вибору стратегії А1, а на другій -- за стратегії А2.

Нехай противник вибрав стратегію В1, їй відповідають на осях І та ІІ дві точки В1, причому довжина відрізка А1В1 дорівнює а11, а довжина відрізка А2В1 дорівнює а12.

Аналогічно будуємо пряму В2В2, яка відповідає стратегії В2.

Необхідно знайти оптимальну стратегію Х^*, таку, за якої мінімальний виграш гравця А буде максимальним. Для цього виділимо жирною лінією на малюнку нижню межу виграшу за умови вибору стратегій В1 та В2, тобто ламану лінію В1МВ2. На цій межі знаходяться значення мінімального виграшу гравця А за будь-якої його змішаної стратегії. Очевидно, що найкраще з можливих мінімальних значень у нашому прикладі знаходиться в точці М, а в загальному випадку відповідає тій точці, де крива, що позначає мінімальний виграш гравця А, набуває максимального значення. Ордината цієї точки є ціною гри . Відстань до лівого кінця відрізка х2 та відстань до правого кінця відрізка -- х1 дорівнюють відповідно ймовірностям стратегій А2 та А1.

Рис. 1.1

Геометрична інтерпретація дає також змогу наочно зобразити нижню та верхню ціну гри (рис. 1.2). Для нашого прикладу нижньою ціною гри є величина відрізка А2В2, а верхньою ціною гри -- А2В1.

Рис. 1.2

На цьому ж рисунку можна розглянути і геометричну інтерпретаціюоптимальних стратегій противника В. Дійсно, частка стратегії В1 в оптимальній змішаній стратегії дорівнює відношенню довжини відрізка КВ2 до суми довжин відрізків КВ2 та КВ1 на осі І:

.

З наведених міркувань легко висновувати, що гру 2 2 можна розв'язати елементарними прийомами. Аналогічно може бути розв'язана гра 2 n, тобто коли гравець А має лише дві стратегії, а гравець
В - n. У такому разі на рисунку слід зобразити перетин n прямих, що відповідатимуть n стратегіям гравця В. Мінімальні виграші гравця А являтимуть собою також ламану лінію, максимальне значення якої і визначатиме оптимальну стратегію для гравця А (рис. 1.3).

Рис. 1.3

Можна також розв'язати і гру m 2, з тією різницею, що необхідно визначати не нижню величину виграшу, а верхню і знаходити не максимальне з можливих значення, а мінімальне.

• Розділ II. Вимірювання економічного ризику
• 2.1 Особливості прояву ризику в сучасних умовах
• Вважається, щодня виникнення економічного ризику повинні мати місце такі умови:
• - Наявність невизначеності й випадковості, тобто відсутність вичерпної інформації про умови прийняття рішень.
• - Зрілість економіки. За низького рівня виробництва на душу населення розвиток економіки практично детермінується стратегією виживання, суворою необхідністю забезпечення мінімальних потреб населення.
• - Активне керівництво і регулювання економікою.
• - Існування матеріальної зацікавленості в кінцевому результаті прийнятих рішень, наявність стимулів.
• - І, нарешті, ризик може створюватися штучно, наприклад через азартні ігри.
• У сучасних умовах ризик набув особливостей, що характеризують епоху, у якій ми живемо. Назвемо основні.
• Насамперед, ризики набули тотального, загального, глобального характеру. Ніхто не спростовуватиме того факту, що зміни в економіці одних країн спричиняють певні наслідки для іншім країн. Те саме можна сказати про регіони, галузі. Явища глобалізації охопили увесь світ.
• По-друге, у ризикованих ситуаціях дедалі більше вимагається одноосібне рішення. Підвищується роль особистості у підприємницькій діяльності.
• По-третє, середовище діяльності людей стає все більше ринковим. Багато факторів, що супроводжують ринкову економіку, таких як конкуренція, кон'юнктура, нестабільність у попиті й цінах та багато чого іншого, призводять до невизначеності і непевності в одержанні кінцевого результату.
• По-четверте, ризик дедалі більше перетворюється на товар через розвиток і вдосконалення страхування.
• 2.2 Формалізація конфліктних ситуацій
• Коли кількісна оцінка відома, постає завдання розробки рекомендації зі зменшенням її величини. Однак далеко не завжди ризику можна приписати якесь певне значення, тобто оцінити його. Тому проблематичним є й питання про зменшення його кількісної міри. Але ситуація не безнадійна. У таких випадках використовуються інші методи, наприклад, методи вибору оптимального способу дій , ризику, який оцінити не можна. Одну з таких ситуацій ми розглянемо в цьому розділі.
• Конфліктною називається ситуація, у якій стикаються інтереси двох чи більше сторін, що мають суперечливі цілі, причому виграш кожної зі сторін залежить від того, як поводитимуться інші. Приклади конфліктних ситуацій: бойові дії, біржові угода, різні види виробництва в умовах конкуренції, угоди на фондовому ринку, спортивні змагання, змагання, ігри. У житті конфлікт завжди супроводжується ризиком.
• Математична теорія конфліктних ситуацій називається теорією ігор. Теорія ігор історично виникла у зв'язку з вивченням оптимальної поведінки в азартних іграх і зберегла свою назву дотепер, незважаючи на усталену практику її застосування для аналізу різних конфліктних ситуацій.
• Мета теорії ігор -- вироблення рекомендацій щодо розумної поведінки учасників конфлікту. У теорії ігор розроблена система власних понять. Розглянемо її.
• Математична модель конфлікту називається грою.
• Сторони у конфлікті називаються гравцями.
• Результат гри називається виграшем, програшем або нічиєю.
• Правилами гри називається перелік прав і обов'язків гравців.
• Ходом називається вибір гравцем однієї з передбачених правилами гри дій. Ходи бувають особисті і випадкові. Особистий хід -- це свідомий вибір гравця, випадковий хід -- вибір дії, що не залежить від його волі.
• Залежно від кількості можливих ходів у грі, ігри поділяються на скінченні і нескінченні. Скінченні -- ті, котрі передбачають скінчену кількість ходів, нескінченні - іншому разі. Деякі ігри в принципі мають вважатися скінченними, але мають так багато ходів, що належать до нескінченних.
• Стратегією гравця називається сукупність правил, що визначають вибір варіанта дій у кожному особистому ході.
• Оптимальною стратегією гравця називається така, що забезпечує йому максимальний виграш. Завдання теорії ігор - виявлення оптимальної стратегії.
• Ігри, що складаються тільки з випадкових ходів, називаються азартними. Ними теорія ігор не займається. Її мета оптимізація поведінки гравця у грі, де поряд з випадковими є особисті ходи. Такі ігри називаються стратегічними.
• Гра називається грою з нульовою сумою, якщо сума виграшів усіх гравців дорівнює нулю, тобто кожен виграш за рахунок інших. Гра називається парною, якщо в неї грають два гравці. Парна гра з нульовою сумою називається антагоністичною. Теорія таких ігор найбільше розвинена. Крім того, такі ігри моделюють великий клас реальних конфліктів. Подальші міркування будуть стосуватися саме антагоністичних ігор.
• Основне припущення, на підставі якого знаходять оптимальне рішення в теорії ігор, полягає в тому, що супротивник такий же розумний, як і сам гравець.
• У грі грають два гравці, назвемо їх А і В. Себе прийнято ототожнювати з гравцем А. Нехай в А є m можливих стратегій: А1, А2,…, Аm, а в супротивника В - n можливих стратегій: В1,B2,…,Bn. Така гра називається грою m•n.
• Позначимо через ai j виграш гравця А при власній стратегії Аi і стратегії супротивника Вj. Зрозуміло, що кількість таких ситуацій може бути m•n. Гру зручно відображати таблицею, що називається платіжною матрицею, або матрицею виграшів, табл. 5.1. Платіжна матриця має стільки стовпців, скільки стратегій у гравця В, і стільки рядків, скільки стратегій у гравця А. На перетинанні рядків і стовпців, що відповідають різним стратегіям, стоять виграші гравця А і, відповідаю, програші гравця В.
• Зведення гри до матричної форми саме по собі може бути тяжким і навіть не виконуваним завданням через незнання стратегій, величезну їх кількість, а також складність оцінки виграшу. Ці приклади саме й показують обмежені можливості даної теорії, тому що у всіх подібних випадках задача не може бути розв'язана методами теорії ігор.

Таблиця 2.1

Загальний вигляд платіжної матриці

B A	B1	B2	…	Bn
А1	a11	a12		a1n
А2	a21	a22		a2n
.
.
.
Аm	am1	am2		amn

Скінченна парна гра з нульовою сумою називається також матричною грою, оскільки їй можна поставити у відповідність матрицю.

Спочатку звернемо увагу на такий факт. Виходячи з вигляду платіжної матриці, можна зробити висновок, які стратегії с свідомо невигідними. Це ті стратегії, для яких кожен з елементів відповідного рядка матриці менший або дорівнює відповідним елементам іншого якого-небудь рядка.

Справді, кожен елемент матриці це виграш гравця А, і якщо для якої-небудь стратегії (рядка) всі виграші менші від виграшів іншої стратегії, зрозумію, що перша стратегії менш вигідна, ніж друга. Така операція відбраковування явно невигідних стратегій називається мажоруванням.

Якщо задача зведена до матричної форми, то можна порушувати питання про пошук оптимальних стратегій. Насамперед введемо поняття верхньої і нижньої ціни гри.

Нижньою ціною гри називається елемент матриці, для якого виконується умова:

а = (2.1)

Нижня ціна гри показує, що хоч би яку стратегію застосовував гравець В, гравець А гарантує собі виграш, не менший за .

Верхньою ціною гри називається елемент, що задовольняє умову:

в = (2.2)

Верхня ціна гри гарантує для гравця В, що гравець А не одержить

виграш, більший за в.

Точка (елемент) матриці, для якої виконується умова

а = в (2.3)

називається сідловою точкою. У сідловій точці найбільший з мінімальних виграшів гравця А точно дорівнює найменшому з максимальних програшів гравця В, тобто мінімум у якому-небудь рядку матриці збігається з максимумом у якому-небудь стовпці.

2.2.1 Методи знаходження оптимальних стратегій

Випадок 1. Платіжна матриця має сідлову точку. Оскільки ми прийняли умову максимальної розумності гравців, то саме ці рядок і стовпець і є оптимальними стратегіями гравців.

Можна показати, що за умови використання одним із гравців оптимальної стратегії іншому гравцю невигідно відступати від своєї оптимальної стратегії, тобто стратегії, що відповідають сідловій точці, є найбільш вигідними для обох гравців.

Метод вибору стратегій на основі сідлової точки називається «принципом мінімаксу», який інтерпретується так: чини так, щоб при найгіршій для тебе поведінці супротивника одержати максимальний виграш.

Наприклад, у випадку матриці, представленої таблицею 2.2, оптимальними для розумних гравців будуть стратегії А2 і В3, тому що вони відповідають сідловій точці.

Таблиця 2.2

Матриця, що має сідлову точку.

	В1	в2	в3	В4
А1	5	3	1	2
а2	6	5	4	6
Аз	-2	-3	1	8

Випадок 2. Платіжна матриця не має сідлової точки. Це, звичайно, більш поширений випадок. У цій ситуації теорія пропонує послуговуватися так званими змішаними стратегіями, тобто тими стратегіями, у яких випадковим чином чергуються особисті стратегії. Цей метод широко використовується на інтуїтивному рівні. Наприклад, продавець, не знаючи, який з товарів матиме попит, прагне по можливості урізноманітнити їх асортимент. Оптимальний портфель цінних паперів складають з паперів різних видів. Навіть якщо ви заблукали в лісі і не знаєте точно, що робити, інструкції з виживання в екстремальних ситуаціях рекомендують, з-поміж інших заходів, блукати навколо цього місця кругами в надії, що вас знайдуть, але не йти в невідомому напрямку, тому що цей напрямок практично напевно буде не оптимальним, і ви ризикуєте далеко відійти від місця пошуку. Це теж один з методів диверсифікації у просторі.

Однак можна розглянути принцип знаходження рішень у змішаних стратегіях для окремого, але досить поширеного на практиці випадку.

Якщо в матричній грі відсутня сідлова точка в чистих стратегіях, то знаходят ь верхню і нижню ціни гри. Вони показують, як вже наголошувалося, що гравець А не отримає виграшу, більшого за верхню ціну гри, і що гравцю В гарантований виграш, не менший від нижньої ціни гри. Порушимо питання: чи не покращиться результати гравця А, якщо інформація про дії протилежної сторони буде відсутня, але гравець багаторазово застосовуватиме чисті стратегії випадковим чином з певною ймовірністю?

Виявляється, що у такій ситуації можна одержувати виграші, у середньому більші від нижньої ціни гри, але менші від верхньої.

Змішана стратегія гравця -- це повний набір застосування його чистих стратегій при багаторазовому повторенні гри в тих самих умовах із заданими ймовірностями. Перелічимо умови застосування змішаних стратегій:

- гра без сідлової точки;

- гравці використовують випадкове поєднання чистих стратегій із

заданими ймовірностями;

- гра багаторазово повторюється в подібних умовах; при кожному з ходів жоден гравець не інформований про вибір стратегії іншим гравцем;

- допускається осереднення результатів ігор.

Використовуються такі позначення змішаних стратегій.

Для гравця А змішана стратегія , що полягає в застосуванні чистих стратегій А1, А2,…, Аn, з відповідними ймовірностями р1, р2,…, рm, позначається матрицею

S1= (2.4)

за умови,що pi=0.

Для гравця В

S2= (2.5)

за умови, що qj?0; де qj - ймовірність застосування чистої стратегії Вj.

В окремому випадку,коли рj=1, для гравця А маємо чисту стратегію:

S1=

Чисті стратегії гравця є єдино можливими неспільними подіями. У матричній грі, знаючи платіжну матрицю, можна визначити при заданих векторах і середній виграш (математичне очікування ) гравця А:

М(А, , )= (2.6)

де і - вектори відповідних ймовірностей;

рi i qj - компоненти цих векторів.

Шляхом застосування своїх змішаних стратегій гравець А прагне максимально збільшити свій середній виграш, а гравець В - довести цей ефект до мінімального можливого значення. Гравець А прагне досягти виконання умов:

в= А, , ). (2.7)

Гравець В домагається виконання іншої умови:

А, , ). (2.8)

Позначимо і вектори, що відповідають оптимальним стратегіям гравців А і В, тобто такі вектори і , за яких буде виконана рівність:

А, , )= А, , )=М(А, ,).

Ціни гри г - середній виграш гравця А при використані обома гравцями змішаних стратегій. Отже, розв'язком матричної гри є:

1) - оптимальна змішана стратегія гравця А;

2) - оптимальна змішана стратегія гравця В;

3) г - ціни гри.

Змішані стратегії будуть оптимальними ( і ), якщо вони утворюють сідлову точку для функції М(А, ,), тобто

М(А, ,)? М(А, ,). (2.9)

Наведемо основну теорему ігор.

Теорема. Для матричної гри з будь-якою матрицею А величини

А, , ) (2.10)

і

в= А, , )

існують,вони рівні між собою і дорівнюють ціні гри: в=г.

Слід зазначити,що при виборі оптимальних стратегій гравцю А завжди буде гарантований середній виграш, не менший ніж ціна гри, за будь-якої фіксованої стратегії гравця В (а для гравця В навпаки).

Активними стратегіями гравців А і В називають стратегії, що входять до складу оптимальних змішаних стратегій відповідних гравців з ймовірностями, відмінними від нуля. Отже, до складу оптимальних змішаних стратегій гравців можуть входити не всі апріорні задані їхні стратегії.

Розв'язати гру - означає знайти ціну гри й оптимальні стратегії гравців. Розгляд методів знаходження оптимальних змішаних стратегій для матричних ігор почнемо з найпростішої гри, описуваної матрицею 2•2.

Отже, є платіжна матриця

А=.

При цьому

а11•р1+а21р2=г

а12•р1+а22•р2=г

р1+р2=1

а11•р1+а21(1-р1)= а12•р1+а22•(1-р1);

а11•р1+а21-а21•р1=а12•р1+а22-а22•р1,

звідси одержимо оптимальне значення і:

=

=1-р1=

Знаючи і , знаходимо ціну гри г.

г =+

Обчисливши г, знаходимо і :

а₁₁•q1+а21•q2=г, q1+ q2=1;

а11•q1+а21•(1-q1)= г.

= при а11?a12.

Задачу розв'язано, оскільки знайдено вектори:

;

і ціна гри г.

Знаючу платіжну матрицю А, задачу можна розв'язати графічно. При цьому методі алгоритму розв'язання дуже простий (рис.2.1) і полягає в тому:

1)По осі абсцис відкладається відрізок одиничної довжини.

2)По осі ординат відкладається виграші при стратегії А1 .

3)На лінії, паралельній осі ординат, у точці 1 відкладаються виграші при стратегії А2.

4)Кінці відрізків позначаються для а11-b11, a12-b12, a22-b22, a21-b12 і проводяться дві прямі лінії b11 b12 і b21 b22.

5)Визначаються ордината точки перетину с. Вона дорівнюватиме ціні гри г. Абсциса точки с дорівнює р2 (р1=1- р2).

Цей метод має досить широку сферу використання, що ґрунтуються на загальній властивості ігор m•n, яка полягає в тому, що в будь-якій грі m•n кожен гравець має оптимальну змішану стратегію, у якій кількість чистих стратегій не більша, ніж min(m,n).

З цієї властивості можна одержати відомий наслідок: у будь-якій грі 2.n і m . 2 кожна оптимальна стратегія містить не більше як дві активні стратегії. Отже, ігри 2 . n і m . 2 можна розв'язати графічним методом. Якщо матриця скінченної гри має розмірність m.n, де m >2 і n>2, то для визначення оптимальних змішаних стратегій використовується лінійне програмування.

 b21 b12

c

a21

a12 b22

b11

a11

а22