Главная Коллекция "Otherreferats" Математика Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и математическая статистика

Теория вероятностей и основные теоремы. Дискретная и непрерывная случайная величина. Статистическое распределение выборки, точечные и интервальные оценки. Доверительный интервал и критерий Пирсона. Элементы теории корреляции и формулы полной вероятности.

Рубрика Математика
Вид контрольная работа
Язык русский
Дата добавления 08.12.2011
Размер файла 957,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Страница:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1

Уральский социально-экономический институт

Академии труда и социальных отношений

Кафедра высшей математики

Математика в экономике

Индивидуальные задания

для очной и заочной форм обучения

Семестровое задание №3

(Контрольная работа №3)

Теория вероятностей и математическая

статистика

Челябинск

2008

ББК 65в6 я75+22.17

М54

Математика в экономике. Теория вероятностей и математическая статистика. Индивидуальные задания для очной и заочной форм обучения.. Семестровое задание №3 (Контрольная работа №3) /Авторы-сост.: Забейворота В.И., Волохова К.И., УрСЭИ АТ и СО.- 3 изд., доп. и перераб.; - Челябинск, 2008-72 с.

Авторы - составители Забейворота В.И.,к.т.н., доц., зав. каф.высшей

математики и информатики УрСЭИ

Волохова К.И., доц. каф.высшей

математики и информатики УрСЭИ

Рецензент Дыхнов А.Е., д-р техн. наук, проф.

Одобрено и рекомендовано к изданию ред.- издат.советом УрСЭИ (протокол № от 2008 г.)

© Уральский социально-экономический институт Академии труда и социальных отношений, 2008.

© Забейворота В.И, Волохова К.И.,2008.

  • Содержание
  • Общие указания
  • Теория вероятностей
  • Тема 1. Классическая формула
  • Тема 2. Основные теоремы
  • Тема 3. Дискретная случайная величина
    • Тема 4. Непрерывная случайная величина
    • Математическая статистика
    • Тема 5. Статистическое распределение выборки. Точечные и интервальные оценки
    • Тема.6 Доверительный интервал. Критерий Пирсона
    • Тема 7. Элементы теории корреляции
    • Задачи Семестрового задания №3 (Контрольной работы №3)
    • Задачи № 1-270
    • Приложение. Таблицы функций
  • Литература
  • Общие указания
  • В курсе “Математика в экономике” студенты II курса изучают теорию вероятностей и математическую статистику. Изучение этих разделов математики занимает важное место в формировании экономистов высокой квалификации и служит теоретической основой многих специальных учебных дисциплин.
  • В случае возникновения затруднений студент может обратиться на кафедру высшей математики и информатики УрСЭИ за консультацией.
  • Необходимо строго придерживаться следующих правил:
  • Студент обязан делать контрольную работу №3 (семестровое задание №3- дневная и вечерняя форма обучения) только своего варианта, отсылая ее в УрСЭИ на рецензирование в сроки, предусмотренные графиком.
  • Семестровое задание №3 (контрольную работу №3) следует выполнять в ученической тетради (отдельной для каждой работы) чернилами любого цвета, кроме красного, оставляя поля (3-4 см) для замечаний рецензента. Рекомендуется оставлять в конце тетради несколько чистых страниц для исправлений и дополнений в соответствии с указаниями рецензента.
  • На обложке тетради студент должен указать свою фамилию, имя отчество, также номер работы, ее название, номер зачетной книжки, номер варианта, номера решаемых задач, форму обучения, специальность, курс, номер группы (образец оформления обложки приводится ниже !!!).
  • В конце работы необходимо привести список использованной литературы.
  • Перед решением задачи нужно полностью выписать ее условие. Если несколько задач имеют общую формулировку, переписывать следует только условие задачи нужного варианта. Решение каждой задачи студент должен сопровождать подробными объяснениями и ссылками на соответствующие формулы, теоремы и правила. Вычисления должны быть доведены до конечного числового результата. Ответы и выводы, полученные при решении задач, следует подчеркнуть.
  • После получения отрецензированной работы студенту необходимо исправить все отмеченные ошибки и недочеты. Если работа возвращена на доработку, то следует переделать те задачи, на которые указывает рецензент, а при отсутствии такого указания вся контрольная работа должна быть выполнена заново. Переделанная работа высылается на повторное рецензирование обязательно с незачтенной ранее работой и рецензией к ней. При этом на обложке следует указать фамилию рецензента.

Работы, выполненные без соблюдения этих правил, к зачету не принимаются и возвращаются без рецензирования для доработки.

На экзамен студент должен явиться с контрольными работами, допущенными к собеседованию.

Номер варианта индивидуального задания семестровой работы №3 (контрольной работы № 3) определяется по таблице с помощью двух последних цифр зачетной книжки.

Внимание !!!.

Студенты в контрольной работе № 3 выполняют только те задания, которые предлагаются кафедрой высшей математики.

Таблица для определения индивидуальных задач семестрового задания №3 (Контрольной работы № 3 )

Последняя цифра зачетной книжки

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0

П

Р

Е

Д

П

О

С

Л

Е

Д

Н

Я

Я

Ц

И

Ф

Р

А

Н

О

М

Е

Р

А

З

А

Ч

Е

Т

Н

О

Й

К

Н

И

Ж

К

И

1

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

2

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

3

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

5

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

6

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

7

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

8

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

9

21

22

23

24

25

26

27

28

29

30

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Пример определения номера задания по таблице. Если номер зачетной книжки имеет последние две цифры 92, по таблице определяем номер задач 22. Это означает, что в задании № 1 следует решать задачу 22 семестровой работы. (Заметим, что в каждом задании содержится 30 задач.) В задании № 2 следует решать задачу под номером 22. В задании № 3 следует решать задачу под номером 22 и так далее в остальных заданиях. Таким образом, в каждом задании будет решена задача под номером 22.

Теория вероятностей и математическая статистика. Программа,

методические указания и индивидуальные задания для очной и заочной форм обучения. Семестровое задание №3 (Контрольная работа №3).

Составлены в соответствии с учебными пособиями:

1.Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Теория вероятностей). Учебное пособие. УрСЭИ, Челябинск, 2001

2.Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Элементы математической статистики). Учебное пособие. УрСЭИ, Челябинск, 2001

Программа Теория вероятностей

Предмет теории вероятностей. Значение теории вероятностей для экономической науки. Понятие теоретико-вероятностного эксперимента (испытания). Пространство элементарных событий. Случайные события и их классификация. Алгебра событий. Свойства операций над событиями. Геометрическая иллюстрация.

Понятие вероятности. Классическое и статистическое определения вероятности. Аксиоматическое определение вероятности. Частотная трактовка вероятности случайного события. Экономические показатели и статистическая вероятность (в демографии, страховании, банковском деле и др.).

Понятие условной вероятности. Независимость событий. Вероятность произведения и суммы событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Априорные и апостериорные вероятности гипотез, их применение в экономике.

Последовательности испытаний. Схема Бернулли. Пуассоновское и Лапласовское приближения формулы Бернулли.

Случайные величины и их классификация. Понятие закона распределения случайной величины. Функция распределения и ее свойства. Дискретные распределения. Ряд и многоугольник распределения. Числовые характеристики дискретных случайных величии. Биномиальное распределение, распределение Пуассона.

Непрерывные распределения. Плотность распределения и ее свойства. Числовые характеристики непрерывных случайных величин. Равномерное и показательное распределения. Нормальное распределение. Функция Лапласа и ее свойства. Использование функции Лапласа для определения вероятностей событий, связанных с нормально распределенной случайной величиной.

Многомерные случайные величины. Зависимость и корреляция. Функции от случайных величин.

Понятие о законе больших чисел. Устойчивость относительных частот и устойчивость средних. Понятие о центральной предельной теореме. Значение предельных теорем для решения экономических задач.

Понятие о хи-квадрат-распределении, распределении Стьюдента и распределении Фишера. Применение нормального и связанных с ним распределений в экономике.

Математическая статистика.

Задачи математической статистики. Основные понятия выборочного метода. Генеральная совокупность и выборка. Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка. Вариационный ряд. Эмпирическая функция распределения. Гистограмма и полигон частот.

Точечное оценивание параметров распределения. Несмещенность, состоятельность и эффективность оценок. Методы получения точечных оценок (метод моментов, метод максимального правдоподобия и др.). Формулы для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии, условия их применения.

Интервальное оценивание параметров распределения. Доверительная вероятность и доверительный интервал. Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известном и при неизвестном среднеквадратическом отклонении этого распределения. Учет объема выборки.

Проверка гипотез. Нулевая и конкурирующая гипотезы. Ошибки первого и второго рода. Статистический критерий проверки гипотез. Уровень значимости. Мощность критерия. Общая схема проверки гипотезы.

Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсий. Проверка гипотезы о виде закона распределения. Критерии согласия.

Элементы корреляционного и регрессионного анализа. Функциональная зависимость и регрессия. Кривые регрессии и их свойства. Определение параметров линейной регрессии методом наименьших квадратов. Коэффициенты регрессии и корреляции, их свойства. Прогнозирование в экономике на основе результатов корреляционного и регрессионного анализа.

Теория вероятностей

Тема 1. Классическая формула

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Теория вероятностей). Учебное пособие (параграфы 1-7). УрСЭИ, Челябинск, 2001

При решении задач по данной теме рекомендуется пользоваться классической формулой для вычисления вероятности события

где m- число благоприятных событию А случаев, n - число всех случаев в опыте.

Число случаев удобно находить пользуясь таблицей.

Выборка

Упорядоченная

Неупорядоченная

Без повторений

С повторениями

Пример 1. Из 5 менеджеров и 6 бухгалтеров необходимо случайным образом сформировать комитет из 7 человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся четверо менеджеров и трое бухгалтеров?

Решение.

Обозначим через А рассматриваемое событие.

А - в комитете окажутся четверо менеджеров и трое бухгалтеров.

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события

где m- число благоприятных событию А случаев, n- число всех случаев.

Т.к. выборки в данном случае неупорядоченные и без повторений, то , , следовательно,

Пример 2. В комитете из 7 человек нужно выбрать председателя и секретаря. Найти вероятность того, что ими окажутся два вполне определенных человека.

Решение.

Обозначим через В рассматриваемое событие.

В - председателем и секретарем окажутся два вполне определенных человека.

Воспользуемся классической формулой для вычисления вероятности события

где m- число благоприятных событию В случаев, n- число всех случаев.

Т.к. выборки в данном случае упорядоченные и без повторений, то , следовательно,

Вопросы для самопроверки.

События. Классификация событий.

Сумма и произведение событий.

Несовместные, независимые события. Полная группа событий. Противоположные события.

Вероятность события. Аксиомы.

Классическая формула вычисления вероятности события.

Тема 2. Основные теоремы

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Теория вероятностей). Учебное пособие (параграф 8). УрСЭИ, Челябинск, 2001

При изучении этих тем следует обратить внимание на полезность выделения несовместных событий и перехода к противоположным событиям, а также на связь классического и статистического определений вероятности и ее использование на практике.

Следует обратить внимание на такие понятия, как совместность и несовместность, зависимость и независимость случайных событий.

Важно разобраться с тем, как определяются условные вероятности событий, в каких условиях используется формула полной вероятности, что дает применение формулы Байеса.

При решении задач по данной теме рекомендуется пользоваться теоремами сложения вероятностей и умножения вероятностей, формулой полной вероятности, формулами Байеса и Бернулли.

Теорема сложения вероятностей

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn)-Р(А1А2)-Р(А1А3)-…-

-Р(Аn-1Аn)+P(A1A2A3)+P(A1A2A3)+…+P(An-2An-1An)- … +(-1)n-1P(A1A2…An).

Если события А1,А2,…,Аn несовместны, то

Р(А1+А2+…+Аn)=Р(А1)+Р(А2)+…+Р(Аn).

Теорема умножения вероятностей

Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2 /A1)P(A3/A1A2)…Р(Аn/A1A2…An-1).

Если события А1,А2,…,Аn независимы, то

Р(А1А2…Аn)=Р(А1)Р(А2)…Р(Аn).

Формула полной вероятности

Формула Байеса

.

Формула Бернулли

Pn(m)=С pm qn-m

Пример 3. Из 30 вопросов, предложенных преподавателем, первый студент знает ответы на 20 из них, второй на 25 и третий на 15 вопросов. Найти вероятность того, что на предложенный наудачу преподавателем вопрос:

ответит хотя бы один из этих студентов,

ответят только двое из этих студентов.

Решение.

Рассмотрим события:

А - на предложенный наудачу вопрос ответит первый студент,

В - на предложенный наудачу вопрос ответит второй студент,

С - на предложенный наудачу вопрос ответит третий студент.

Чтобы найти вероятность того, что на предложенный наудачу

преподавателем вопрос ответит хотя бы один из этих студентов,

нужно найти вероятность события А+В+С. Это можно сделать следующими способами:

а) Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(АВ)-Р(АС)-Р(ВС)+Р(АВС),

т.к. события А, В, С - совместные события.

Т.к . , и события А, В, С независимые, то

Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)-Р(А)Р(В)-Р(А)Р(С)-Р(В)Р(С)+Р(А)Р(В)Р(С)=

=

б) Так как (А+В+С ) + = , то

Р(А+В+С)=

Чтобы найти вероятность того, что на предложенный наудачу преподавателем вопрос ответят только двое из этих студентов, нужно найти вероятность события .

Т.к. несовместные события, то

Пример 4. Из 10 частных банков, работающих в городе, нарушения в уплате налогов имеют место в 6 банках. Налоговая инспекция проводит проверку трех банков, выбирая их из десяти банков случайным образом. Выбранные банки проверяются независимо один от другого. Допущенные в проверяемом банке нарушения могут быть выявлены инспекцией с вероятностью р=0,8. Какова вероятность того, что в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов?

Решение.

Обозначим через А случайное событие, вероятность которого надо определить.

А - в ходе проверки будет установлен факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов.

Введем гипотезы: Hi - среди выбранных для проверки трех банков ровно в i банках имеют место нарушения в уплате налогов, где i=0;1;2;3; события Н0, Н1, Н2, Н3 образуют полную группу несовместных событий.

Вероятность события А можно будет найти по формуле полной вероятности

.

Вычислим вероятности гипотез:

,

, .

Проверим условие нормировки:

Найдем условные вероятности события А относительно каждой гипотезы, т.е. найдем вероятности того, что нарушения в уплате налогов будут выявлены хотя бы в одном из проверяемых трех банков в каждом рассматриваемом случае. Вероятность Р(А/Hi) можно найти по формуле (т.к. банки проверяются независимо один от другого)

Р(А/Hi)=1-(1-р)i, где i=0; 1; 2; 3; р=0,8.

Р(A/H0)=1-(1-p)0=1-(1-0,8)0=1-1=0, действительно, событие А и H0 несовместны.

Р(A/H1)=1-(1-p)1=1-(1-0,8)1=1-1+0,8=0,8.

Р(A/H2)=1-(1-p)2=1-(1-0,8)2=1-0,04=0,96.

Р(A/H3)=1-(1-p)3=1-(1-0,8)3=1-(1-0,8)3=1-0,008=0,992.

Используя формулу полной вероятности, найдем

.

Пример 5. В предыдущем примере налоговая инспекция установила факт наличия среди частных банков города таких банков, которые допускают нарушения в уплате налогов. Найдите вероятность того, что среди случайным образом отобранных трех банков оказалось два нарушающих уплату налогов.

Решение.

По формуле Байеса

.

Вопросы для самопроверки.

Сумма и произведение событий.

Несовместные события. Вероятность суммы событий, вероятность суммы несовместных событий.

Независимые события. Условная вероятность события. Вероятность произведения событий. Вероятность произведения независимых событий.

Полная группа событий. Гипотезы. Формула полной вероятности.

Формула Байеса.

Повторение испытаний. Формула Бернулли.

Вероятность появления хотя бы одного события.

Тема 3. Дискретная случайная величина

теорема вероятность величина

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Теория вероятностей). Учебное пособие (параграфы 9-10). УрСЭИ, Челябинск, 2001

При изучении темы 3 и темы 4 и следует обратить особое внимание на свойства и взаимосвязь функции распределения и плотности распределения случайной величины, на их использование при определении вероятностей различных событий, связанных со случайной величиной. В этом смысле важное место должны занять экономические приложения рассматриваемых понятий.

Законом распределения дискретной случайной величины является ряд распределения

x1

x2

...

xn

...

p1

p2

...

pn

...

рi=P(X=xi), где i=1;2;...;n;...

Числовые характеристики дискретной случайной величины:

математическое ожидание

(если же дискретная случайная величина Х имеет n возможных значений, то

),

2) дисперсия

или

в зависимости от того, конечно или бесконечно число возможных значений дискретной случайной величины.

Для вычислений удобнее пользоваться формулой

Dx=M[X2]-m2x .

среднее квадратическое отклонение

х=.

Функция распределения дискретной случайной величины F(x)=; т.е. суммируем те pi, для которых xi<x.

Пример 6. Магазин получает товар от трех независимо работающих фирм. Вероятность поставки товара от первой фирмы равна 0,4, от второй - 0,3, от третьей -0,6. Составить распределение случайной величины Х - числа полученных поставок, найти числовые характеристики и функцию распределения этой случайной величины.

Решение.

Случайная величина Х - число полученных поставок может принимать значения: 0,1,2,3. Найдем вероятности принятия каждого из этих значений.

Обозначим через Аi (независимые события) - получение поставки товара с i-ой фирмы, где i=1,2,3, через pi-вероятность события Ai.

| т.к. события А1,А2,А3 независимы, то и события , независимы |(1-p1)(1-p2)(1-p3)=q1q2q3= (1-0,4)(1-0,3)(1-0,6)=0,168.

| события , , несовместны| )=p1q2q3+q1q2p3+q1p2q3=

=0,4(1-0,3)(1-0,6)+(1-0,4)(1-0,3)0,6+(1-0,4)0,3(1-0,6)=0,436.

Р(Х=2)=Р(А1А2)+Р(А1А3)+Р(А2А3)=р1р2q3+р1q2р3+q1р2р3=

=0,40,3(1-0,6) + 0,4(1-0,3)0,6+(1-0,4)0,30,6=0,324.

Р(Х=3)=Р(А1А2А3)=Р(А1)Р(А2)Р(А3)=0,40,30,6=0,072.

Следовательно,

X

0

1

2

3

P

0,168

0,436

0,324

0,072

Проверим условие нормировки:

.

Действительно, 0,168+0,436+0,324+0,072=1.

Найдем М[X] и D[X].

=00,168+10,436+20,324+30 072=1,3.

Dx=M[X2]-m2x ==00,168+10,436+40,324+90,072-1,32 = 0,69.

х=0,83.

Найдем функцию распределения F(x).

Т.к. F(x)=, то

F(x)=

Вопросы для самопроверки.

Случайная величина. Спектр. Дискретная случайная величина.

Закон распределения дискретной случайной величины. Условие нормировки. Многоугольник распределения.

Функция распределения. Вероятность попадания случайной величины на промежуток и в точку.

Математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение дискретной случайной величины; формулы для их нахождения.

Биноминальное распределение и его числовые характеристики.

Распределение Пуассона и его числовые характеристики.

Тема 4. Непрерывная случайная величина

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Теория вероятностей). Учебное пособие (параграфы 9-11). УрСЭИ, Челябинск, 2001

Законом распределения непрерывной случайной величины является плотность вероятности

f(x)=F(x).

Числовые характеристики непрерывной случайной величины:

математическое ожидание

,

дисперсия Dx=M[X2]-m2x =,

среднее квадратическое отклонение х=.

Функция распределения .

Пример 7. Случайная величина Х - годовой доход наугад взятого лица, облагаемого налогом. Плотность распределения этой случайной величины имеет вид:

Требуется:

определить значение параметра а,

найти функцию распределения F(x),

вычислить математическое ожидание mх и среднее квадратическое отклонение х,

определить размер годового дохода х1, не ниже которого с вероятностью 0,6 окажется годовой доход случайно выбранного налогоплательщика.

Решение.

Воспользуемся условием нормировки:

.

, откуда ,

следовательно, а=72,52,5=324,1.

Итак,

Функция распределения .

Для х<7

F(x)=0, т.к. при х<7 f(x)=0.

Для х7

=

.

Итак,

.

,

.

Следовательно,

Dx=M[X2]-m2x 244,997-(11,67)2108,808. х=10,43.

Т.к. по определению

F(x)=P (X<x) и P(X<x)+P(Xх)=1, то P(Xх)=1-P(X<x)=1-F(x),

следовательно, P(Xх1)=1-F(x1)=0,6; откуда F(x1)=0,4.

.

Чтобы найти х1, воспользуемся таблицами десятичных логарифмов.

2,5 lg x1 = lg 216,07; 2,5 lg x1=2,3345;

По таблице антилогарифмов х18,590. Таким образом, х18,590.

Вопросы для самопроверки.

Непрерывная случайная величина. Плотность распределения. Условие нормировки.

Функция распределения. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на промежуток через функцию распределения и плотность распределения.

Формулы для нахождения математического ожидания, дисперсии, среднего квадратического отклонения непрерывной случайной величины.

Равномерное распределение и его числовые характеристики.

Показательное распределение и его числовые характеристики.

Нормальное распределение и его числовые характеристики. Функция Лапласа, ее свойства. Правило трех сигм.

Математическая статистика

Тема 5. Статистическое распределение выборки. Точечные и интервальные оценки.

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Элементы математической статистики). Учебное пособие (параграфы 1-10). УрСЭИ, Челябинск, 2001

Следует обратить внимание на разницу между повторными и бесповторными выборками, а также на различные способы отбора, применяемые на практике.

Необходимо усвоить смысл таких понятий, как несмещенность, эффективность и состоятельность оценок.

Полезно разобраться с графическим представлением статистического материала в виде эмпирической функции распределения, гистограммы и полигона частот.

Важно знать условия применения предлагаемых формул для вычисления выборочной средней и выборочной дисперсии.

Пример 8. Выборочная проверка размеров дневной выручки оптовой базы от реализации товаров по 100 рабочим дням дала следующие результаты:

Таблица 1.

i

1

2

3

4

5

6

7

8

Ji

0 - 5

5 - 10

10 - 15

15-20

20 - 25

25 - 30

30 - 35

35 - 40

ni

2

7

14

19

25

20

10

3

Здесь,

i - номер интервала наблюденных значений дневной выручки ();

Ji - границы i - го интервала (в условных денежных единицах);

ni - число рабочих дней, когда дневная выручка оказывалась в пределах i - го интервала; при этом очевидно, что .

Требуется:

построить гистограмму частот;

найти несмещенные оценки и s2 для математического ожидания и дисперсии случайной величины Х (дневной выручки оптовой базы) соответственно;

определить приближенно вероятность того, что в наудачу выбранный рабочий день дневная выручка составит не менее 15 условных денежных единиц.

Решение.

В условиях данной задачи естественно исходить из того, что наблюдаемая случайная величина Х (дневная выручка оптовой базы) имеет непрерывное распределение вероятностей.

Статистическим аналогом графика плотности распределения такой случайной величины, как известно, является гистограмма относительных частот. Она представляет собой совокупность прямоугольников, построенных на выделенных интервалах наблюденных значений случайной величины Х как на основаниях. Площадь каждого i-го прямоугольника равна относительной частоте wi i-го интервала, определяемой по формуле , так что .Отсюда высота i-го прямоугольника вычисляется как где hi, - длина i-го интервала (в нашей задаче hi = h = 5 для всех i = ).

Полная площадь гистограммы, таким образом, будет равна единице.

На основе изложенного для построения гистограммы составим следующую таблицу.

Таблица 2

i

1

2

3

4

5

6

7

8

Ji

0-5

5 - 10

10 - 15

15 - 20

20 - 25

25 - 30

30 - 35

35 - 40

ni

2

7

14

19

25

20

10

3

wi

0,02

0,07

0,14

0,19

0,25

0,20

0,10

0,03

0,004

0,014

0,028

0,038

0,05

0,04

0,02

0,006

Построим гистограмму:

Вид этой гистограммы позволяет считать рассматриваемое распределение вероятностей нормальным.

Несмещенные оценки и s2 найдем по формулам

,

где xi - середина i-го интервала.

Все необходимые вычисления для удобства и наглядности проведем в рамках следующей таблицы:

Таблица 3

i

1

2

3

4

5

6

7

8

xi

2,5

7,5

12,5

17,5

22,5

27,5

32,5

37,5

wi

0,02

0,07

0,14

0,19

0,25

0,20

0,10

0,03

xi wi

0,05

0,525

1,75

3,325

5,625

5,5

3,25

1,125

= 21,15

18,65

13,65

8,65

3,65

1,35

6,35

11,35

16,35

347,82

186,32

74,82

13,32

1,82

40,32

128,82

267,32

wi

6,96

13,04

10,48

2,53

0,46

8,06

12,88

8,02

Таким образом,

=21,15 (усл. ден. ед.)

(усл. ден. ед.)2.

Как следует из пункта 1, распределение случайной величины Х можно считать нормальным. В качестве его параметров возьмем оценки и полученные в пункте 2. Тогда приближенно вероятность P(Х 15) того, что в наудачу выбранный рабочий день дневная выручка оптовой базы составит не менее 15 условных денежных единиц, можно вычислить следующим образом, c использованием функции Лапласа Ф(х) .

Имеем Р(x<15)+Р(x15)=1 Р(x15)=1 - Р(x<15)=1- F(15),

Но

и значит

Итак, имеем

Найдем

Таким образом, P(Х 15) 0,78.

Это означает, что в среднем в 78 из 100 рабочих дней дневная выручка оптовой базы составит не менее 15 условных денежных единиц.

Вопросы для самопроверки.

Генеральная и выборочная совокупности. Виды выборок. Статистическое распределение выборки.

Что понимается под эмпирической функцией распределения, как она строится.

Гистограмма, в чем состоит ее полезность.

Точечные оценки. Несмещенность, состоятельность, эффективность оценок.

Выборочная средняя, выборочная дисперсия, формулы для их нахождения.

Тема 6. Доверительный интервал. Критерий Пирсона

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Элементы математической статистики). Учебное пособие (параграф 12). УрСЭИ, Челябинск, 2001

Следует обратить внимание на суть интервального оценивания параметров распределения, на связь между доверительной вероятностью и доверительным интервалом.

Важно разобраться с тем, как находятся доверительные интервалы для оценки математического ожидания признаков, распределенных по нормальному закону.

При проверке гипотез необходимо уяснить смысл и роль таких понятий, как уровень значимости, критическая область, мощность критерия, причем в их взаимосвязи.

Безусловно, надо четко представлять общую схему статистической проверки гипотез.

Доверительным интервалом называется интервал (*-;*+), покрывающий параметр с заданной надежностью , где *- точечная оценка параметра , -точность оценки и Р(|* - |<)=.

Доверительный интервал для математического ожидания a нормально

распределенного количественного признака Х по выборочной средней

при известном равен:

,

где t находим из равенства Ф(t)= по таблице 2 приложения;

при неизвестном равен:

,

Где

S= и t находим по таблице 3 приложения t=t(,n).

Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения

нормально распределенного количественного признака Х по исправленному равен:

(S(1-q); S(1+q)) при q<1 и (0; S(1+q)) при q1,

где q находим по таблице 4 приложения q=q(,n).

Доверительный интервал неизвестной вероятности р биноминального распределения по относительной частоте w

,

где n-число испытаний, m-число появлений события, t находим из равенства Ф(t)= по таблице 2 приложения.

Замечание. При больших значениях n (порядка сотен) за доверительный интервал можно принять интервал равный

.

Предельную ошибку при нахождении доверительного интервала для математического ожидания mx и для генеральной доли р можно вычислять по одной из формул таблицы

Выборка

=t

Повторная

Бесповторная

для

mx

для

p

где t находим из равенства Ф(t)= по таблице 2 приложения.

Объем выборки n при фиксированных предельной ошибке и доверительной вероятности можно вычислить по одной из формул следующей таблицы

Выборка

Выборка

Повторная

Бесповторная

для mx

для p

где t находим из равенства Ф(t)= по таблице 2 приложения.

Пример 9. В партии из 3000 изделий проверено 12 изделий. Среди них оказалось 3 бракованных изделия.

Найти доверительную вероятность того, что доля брака во всей партии отличается от доли в выборке не более чем на 2%.

Найти доверительный интервал, в котором с вероятностью 0,95 заключена доля брака во всей партии.

Определить объем выборки, необходимый для того, чтобы с вероятностью 0,95 доля брака во всей партии отличалась от доли в выборке не более чем на 2%.

Решение.

В качестве точечной оценки доли брака р во всей партии возьмем относительную частоту w=m/n=3/12=0,25.

Т.к. N=3000 велико по сравнению с n=12, то

Найдем доверительную вероятность того, что доля брака во всей партии отличается от доли в выборке не более чем на 2%.

Для этого потребуем, чтобы P(|w-p|)=2Ф(/w)

Имеем =0,02 и

(

где Ф(0,16)=0,0636 найдено по таблице 2 значений функции Лапласа приложения.

Доверительный интервал для р при больших N имеет вид

.

Имеем и 2Ф(t)=0,95. Следовательно, Ф(t)=0,475 и по таблице 2 приложения t=1,96.

Итак, N=3000, w=0,25; t=1,96; n=12. Cледовательно, искомый доверительный интервал равен

(0,25-1,96 0,25+1,96=(0,005; 0,495)

Чтобы найти необходимый объем выборки, воспользуемся формулой

nw=.

Т.к. 2Ф(t)=, то 2Ф(t)=0,95; Ф(t)=0,475 и t=1,96. Следовательно, n=

Пример 10. При выборочном опросе 100 жителей поселка о количестве поездок по железной дороге, совершаемых ими в течение месяца, получены следующие данные:

Число поездок

0-3

3-6

6-9

9-12

12-15

15-18

18-21

21-24

24-27

27-30

Итого

Число жителей

6

9

15

19

20

14

9

5

2

1

100

Требуется:

Построить эмпирическую функцию распределения случайной величины Х - количества поездок в месяц для наугад взятого жителя поселка;

Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,95 среднего значения случайной величины Х.

Решение.

Данная величина Х является дискретной, а ее эмпирическая функция распределения - ступенчатой. Приближенно можно представить данные обследования в следующем виде:

Таблица 1

Выборочные значения

1,5

4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

Итого

Частоты

6

9

15

19

20

14

9

5

2

1

100

В качестве выборочных значений взяты середины интервалов.

Для каждого выборочного значения х найдем кумулятивную частоту nх - сумму частот для выборочных значений х, и эмпирическую функцию распределения

F*(x) = nx /n, где n = 100

Таблица 2

х

1,5

4,5

7,5

10,5

13,5

16,5

19,5

22,5

25,5

28,5

nх

6

15

30

49

69

83

92

97

99

100

F*(х)

0,06

0,15

0,30

0,49

0,69

0,83

0,92

0,97

0,99

1

Построим график функции F*{х), исходя из полученной таблицы 2 :

пусть х1,...,х10, - выборочные значения, а n1,...,n10 - их частоты (из табл.1).

Найдем выборочную среднюю:

Так как значение n=100 достаточно велико, то генеральную дисперсию оценим по формуле

откуда s 5,9.

Задачу построения доверительного интервала решим приближенно, считая, что оценка распределена по нормальному закону (для этого n=100 достаточно велико).

В этом случае доверительный интервал покрывающий неизвестный параметр a=mx c вероятностью 0,95 равен

,

где значение t ищется по таблице 3 приложений t=t(,n) по заданным и n.

Имеем, t=t(0,95,100)=1,984.

Тогда

.

Отсюда получаем доверительный интервал

.

Таким образом, в среднем в 95 случаях из 100 интервал (11,13; 13,47) накрывает среднее число поездок в месяц для случайно выбранного жителя поселка.

Пример 11. Выборочная проверка стоимости двухкомнатных квартир (тыс.руб.) дала следующие результаты.

78,0

76,5

78,5

83,5

81,0

84,5

79,0

87,0

80,5

78,5

83,0

81,0

80,5

78,0

83,0

89,0

89,3

85,0

82,0

84,0

79,0

82,5

83,0

79,5

78,5

79,5

81,1

89,0

91,0

83,0

84,5

86,0

84,0

83,0

84,5

82,5

87,0

84,5

85,0

80,5

84,0

83,5

84,5

85,5

87,0

83,5

85,0

78,5

86,0

82,5

82,0

83,0

80,0

82,0

79,0

82,5

87,0

84,0

85,5

83,0

Требуется:

Составить статистическое распределение выборки.

Разбив выборку на k классов (k=1+3,22 lgn), построить вариационный ряд, соответствующий этому разбиению. Построить гистограмму относительных частот.

Вычислить для данной выборки несмещенные оценки математического ожидания, дисперсии, показателей асимметрии и эксцесса, коэффициент вариации.

С помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х - стоимости квартиры при уровне значимости =0,05.

Построить график плотности нормального распределения с параметрами и s на том же чертеже, где и гистограмма.

Найти доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения с надежностью =0,95.

Решение.

Найдем статистическое распределение выборки.

xi

76,5

78,0

78,5

79,0

79,5

80,0

80,5

81,0

81,1

82,0

82,5

83,0

83,5

ni

1

2

4

3

2

1

3

2

1

3

4

7

3

84,0

84,5

85,0

85,5

86,0

87,0

89,0

89,5

91,0

4

5

3

2

2

4

2

1

1

Объем выборки

Размах выборки R=xmax-xmin=91,0-76,5=14,5. Так как число классов k=1+3,22lgn=1+3,22lg607, то длина частичного интервала

Для построения гистограммы относительных частот составим таблицу.

Номер интервала

i

Частичный интервал

xi - хi+1

Сумма частот вариант частичного интервала ni

Относительная частота

Плотность относительной частоты

1

76,5-78,57

7

7/60

0,056

2

78,57-80,64

9

9/60

0,072

3

80,64-82,71

10

10/60

0,081

4

82,71-84,78

19

19/60

0,153

5

84,78-86,85

7

7/60

0,056

6

86,85-88,92

4

4/60

0,032

7

88,92-91,0

4

4/60

0,032

Найдем несмещенную оценку математического ожидания, т.е. выборочную cреднюю

(76,51+78,02+78,54+79,03+79,52+80,01+80,53+81,02+81,11+82,03+82,54+83,07+83,53+84,04+84,55+85,03+85,52+86,02+87,04++89,02+89,51+91,01)=.

Чтобы найти несмещенные оценки дисперсии, показателей асимметрии и эксцесса, коэффициент вариации, составим таблицу.

Итак,

Чтобы с помощью критерия Пирсона проверить гипотезу о нормальном распределении случайной величины Х - стоимости квартиры, нужно вычислить теоретические частоты

.

Для этого составим таблицу

(См.таблицу 2 приложения )

Замечание. Интервалы, содержащие малочисленные эмпирические частоты (ni<5) следует объединить, а соответствующие частоты сложить.

Итак, получим таблицу

По табл. критических точек распределения 2 находим 2кр=2(0,05;3)=7,82, т.к. уровень значимости =0,05 по условию, а число степеней свободы k=m-s=6-3=3, потому что после объединения интервалов число интервалов равно m=6 и s=3. (См. таблицу 5 приложения)

Т.к. 2набл<2кр, то нет оснований отклонить гипотезу о нормальном распределении генеральной совокупности.

Чтобы построить график плотности нормального распределения c параметрами и S, заполним следующую таблицу.

Для нормального распределения с параметрами , =S плотность вероятности

. Т.к. есть таблица значений функции , то .

(См. таблицу 1 приложения)

Построим график плотности вероятности f(х) на том же чертеже, что и гистограмма: соединим последовательно точки (; f()), где i=.

Доверительный интервал для mх равен .

Т.к. =0,95, то по таблице t=t(;n)=t(0,95;60)=2,00 (См. таблицу 3 приложения).

Итак,

- доверительный интервал для параметра mх.

Доверительный интервал для равен: (S(1-q); S(1+q)),

т.к. q = q(, n)=q(0,95; 60)=0,19<1. (См. таблицу 4 приложения).

Итак, (3,409(1-0,19); 3,409(1+0,19))=(2,76; 4,05) - доверительный интервал для параметра .

Вопросы для самопроверки.

Доверительный интервал и доверительная вероятность (надежность), их взаимосвязь.

Генеральная и выборочная доли. Отклонение выборочной доли от постоянной вероятности в независимых испытаниях.

Доверительный интервал для генеральной доли.

Теоретические распределения, используемые при интервальном оценивании, условия их использования.

Интервальная оценка математического ожидания нормального распределения при известном и при неизвестном среднеквадратическом отклонении этого распределения.

Учет объема выборки при интервальном оценивании.

Общая схема статистической проверки гипотез.

Понятия о уровне значимости и критической области.

Понятие о мощности критерия проверки гипотез.

Взаимосвязь уровня значимости и мощности критерия.

Проверка гипотез о равенстве средних и дисперсии.

Проверка гипотезы о виде закона распределения.

Понятие о критериях согласия.

Критерий Пирсона.

Оценки показателей асимметрии и эксцесса, их смысл.

Доверительные интервалы для математического ожидания и среднего квадратического отклонения.

Тема 7. Элементы теории корреляции

Литература

Забейворота В.И., Волохова К.И. Математика в экономике (Элементы математической статистики). Учебное пособие (параграф 13). УрСЭИ, Челябинск, 2001

Пример 12. По данным наблюдений значений Х (площадь квартиры, м2) и У (цена квартиры, тыс. руб.) для однокомнатных и двухкомнатных квартир получена следующая таблица

Х

У

Х

У

Х

У

Х

У

Х

У

22,5

71,0

16,0

41,0

37,0

112,0

21,3

65,2

36,7

108,4

15,1

40,5

43,0

121,0

36,0

124,0

20,5

58,5

40,0

105,0

37,0

116,0

37,7

117,0

38,7

130,7

42,7

130,0

20,7

57,0

20,0

65,5

44,0

132,0

32,0

106,2

20,5

73,0

37,0

112,0

39,5

85,0

35,0

114,0

21,4

62,7

43,0

136,0

28,0

85,0

42,4

137,0

22,3

64,5

23,0

70,8

38,5

135,0

22,3

65,1

35,2

97,0

31,0

102,0

29,4

89,5

34,2

106,4

29,7

97,3

33,5

102,0

27,3

66,0

41,5

108,0

27,4

83,1

25,0

77,0

27,5

65,0

36,5

113,0

19,5

51,0

22,0

65,0

26,5

90,0

30,0

94,0

19,2

50,0

34,0

92,0

17,3

55,0

23,0

69,1

44,6

139,0

38,3

117,0

42,5

123,0

30,2

90,0

24,3

78,0

34,0

105,0

42,5

112,0

35,2

130,0

26,8

93,4

26,0

96,1

43,0

134,0

18,0

53,0

38,2

115,0

25,5

83,4

26,5

99,0

38,3

118,0

44,5

140,0

32,5

105,0

26,9

97,0

25,1

81,4

29,3

87,0

38,4

119,0

35,0

110,0

21,4

80,5

44,0

135,0

31,0

99,0

28,4

85,0

29,5

90,0

26,4

90,0

40,0

115,0

25,1

70,0

25,0

78,2

32,0

96,0

25,1

81,5

23,4

70,0

22,3

68,2

27,4

85,0

27,3

85,1

26,5

95,0

26,0

78,8

31,5

94,7

21,5

63,0

30,0

94,0

42,0

110,0

30,5

92,7

26,5

79,9

25,0

77,2

21,5

64,2

34,0

103,0

23,5

79,0

Найти выборочный коэффициент корреляции и выборочные уравнения прямых регрессии.

Решение.

Разобьем интервал значений Y на пять промежутков длины 1=20 (т.к. ymin=40, ymax=140, то ), а интервал значений X на пять промежутков длины 2=6 (т.к.. xmin=15, xmax=45, то ). Сгруппировав данные, получим корреляционную таблицу 1.

Таблица 1

X

Y

nx

40-60

60-80

80-100

100-120

120-140

15-21

8

2

10

21-27

20

12

32

27-33

2

15

3

20

33-39

2

16

4

22

39-45

1

5

10

16

ny

8

24

30

24

14

100

Заменим интервалы их серединами и получим таблицу 2.

Таблица 2

X

Y

nx

50

70

90

110

130

18

8

2

10

24

20

12

32

30

2

15

3

20

36

2

16

4

22

42

1

5

10

16

ny

8

24

30

24

14

100

Для упрощения вычислений перейдем к условным вариантам:

Исходя из этих формул, составим корреляционную таблицу 3.

Таблица 3.

u

-4

-2

0

2

4

n

-2

8

2

10

-1

20

12

32

0

2

15

3

20

1

2

16

4

22

2

1

5

10

16

nu

8

24

30

24

14

100

Найдем

. .

.

.

Следовательно,

Выборочный коэффициент корреляции

Чтобы найти , составим таблицу 4. Для этого

найдем произведение (uivj), пар вариант u и v, поместим их в верхние правые углы клеток, содержащих соответствующие частоты;

перемножим числа nuv и uv каждой клетки и просуммируем по строкам и столбцам, записывая результаты в клетки дополнительных столбца и строки ;

для нахождения суммы складываем соответственно полученные результаты в клетках дополнительных столбца и строки (контролем является равенство полученных сумм).

Таблица 4.

v

u

-4

-2

0

2

4

-2

8

4

72

8

2

-1

2

0

40

20

12

0

0

0

0

0

2

15

3

1

0

2

4

48

2

16

4

2

0

4

8

100

1

5

10

64

48

0

52

96

260

Следовательно,

=260

Итак,

Найдем выборочное уравнение прямой линии регрессии У на Х

и выборочное уравнение прямой линии регрессии Х на У

Т.к. ; то

.

Вопросы для самопроверки.

Функциональная, статистическая и корреляционная зависимости. Независимость и коррелированность случайных величин.

Линейная корреляция. Уравнения прямых регрессии.

Выборочный коэффициент корреляции.

Задачи Семестрового задания №3 (Контрольной работы №3)

1. Задание №

Студент забыл две последние цифры номера зачетной книжки и помня лишь, что обе цифры нечетные, записал их наудачу. Какова вероятность того, что он записал их верно?

Из пути при перевозки 10 изделий типа Р и 20 изделий типа Q получено сообщение о повреждении двух изделий. Найти вероятность того, что повреждены изделия а) одного типа, б) разных типов.

Студент знает ответы на 20 из 30 вопросов. Из этих 30 вопросов машина - экзаменатор предлагает студенту 3 вопроса. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для получения оценок 3, 4, 5 надо дать ответы соответственно на один, два, три вопроса из трех предложенных.

Среди 52 счетов 4 оформлены с ошибками. Ревизор наугад берет 3 счета. Какова вероятность того, что среди вынутых счетов будет а) точно один неправильно оформленный счет, б) хотя бы один неправильно оформленный счет?

Из 15 команд класса Б три перейдут в класс А. С какой вероятностью их можно угадать? С какой вероятностью можно угадать хотя бы одну из них?

В розыгрыше первенства по баскетболу участвуют 14 команд, из которых формируются 2 группы по 7 команд в каждой. Найти вероятность того, что 2 самые сильные команды а) попадут в одну и ту же группу, б) попадут в разные группы.

Среди 15 счетов 3 счета оформлены с ошибками. Ревизор наудачу берет 5 счетов. Какова вероятность того, что среди взятых счетов а) два оформлены с ошибками; б) все оформлены верно?

Для аттестации из группы в 10 студентов отбирают произвольным образом двоих. Какова вероятность того, что будут отобраны: а) два вполне определенных человека, б) ни один из них не будет отобран, в) будет отобран хотя бы один из них?

В соревновании участвуют 8 человек. Какова вероятность того, что а) будет верно предсказана тройка призеров, б) будет верно предсказан порядок, в котором расположены будут призеры?

В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Какова вероятность выиграть хотя бы раз, купив 3 билета?

Из трех бухгалтеров, восьми менеджеров и шести научных сотрудников необходимо случайным образом сформировать комитет из десяти человек. Какова вероятность того, что в комитете окажутся: один бухгалтер, пять менеджеров и четверо научных сотрудников?

На курсах повышения квалификации бухгалтеров учат определять правильность накладной. В качестве проверки преподаватель предлагает обучающимся проверить 10 накладных, 4 из которых содержат ошибки. Он берет наугад из этих 10 две накладные и просит проверить. Какова вероятность того, что они окажутся а) обе ошибочные, б) одна ошибочная, а другая нет?

В магазине работают 2 мужчин и 7 женщин. Трое из них должны пойти в отпуск летом. Кто именно - определяется жребием. Найти вероятность того, что летом в отпуск пойдет хотя бы один мужчина.

Баночки маргарина и майонеза имеют одинаковый вес и внешний вид. Для приготовления салата требуется 3 банки майонеза и 1 банка маргарина. Из ящика, в котором 8 банок маргарина и 5 банок майонеза, наудачу извлекли 4 банки. Какова вероятность того, что из них можно приготовить данное блюдо?

В пачке 10 тетрадей, среди них 4 тетради в клетку, а остальные в линейку. Найти вероятность того, что среди наудачу взятых трех тетрадей хотя бы одна будет в клетку.

Имеются 4 столбика и 6 ведер с красками разных цветов. Каждый столбик окрашивается краской из наудачу взятого ведра ( при этом может получиться так, что разные столбики будут окрашены одной и той же краской). Найти вероятность того, что все столбики будут окрашены разными красками.

В коробке 10 плиток шоколада, среди которых 7 с орехами. Наудачу взяли 3 плитки. Найти вероятность того, что среди них хотя бы одна плитка с орехами.

Для приготовления блюда нужно взять по одному пакету смеси - полуфабриката №1, №2, №3. Какова вероятность, что технология не будет нарушена, если имеется 4 пакета смеси №1, 2 пакета смеси №2 и 3 пакета смеси №3 и если 3 пакета выбираются из них наудачу?

В библиотеке имеется 5 методичек выпуска 1992 года и 9 методичек по той же теме выпуска 1996 года. Библиотекарь выдает на группу 6 методичек. Какова вероятность того, что первой пришедшей группе будет выдано 5 методичек выпуска 1996 года, если библиотекарь берет методички произвольно?

Семь различных счетов, среди которых 3 оформлены с ошибками, поступили на проверку. Какова вероятность, что эти три счета будут лежать в данной пачке счетов рядом?

На склад поступило 15 кофемолок и 10 кофеварок. Для контроля наудачу взяли 3 вещи. Найти вероятность того, что среди взятых а) только одна кофемолка, б) хотя бы одна кофемолка.

На экзамене три студента получили за ответ “отлично”, десять студентов - “хорошо” и восемь - “удовлетворительно”. Для аттестации из этой группы наудачу отобрали 7 человек. Какова вероятность того, что среди них будут два “отличника”, 3 “хорошиста” и 2 “троечника”?

Среди 10 документов, поступивших в офис, два оформлены с ошибками. Для проверки наудачу взяли 4 документа. Какова вероятность того, что среди них окажется а) хотя бы один неверно оформленный документ, б) только один неверно оформленный документ?

К двум ревизорам на проверку поступило 16 счетов, среди которых два счета содержат неточности. Какова вероятность того, что эти два счета а) попали к одному ревизору, б) попали к разным ревизорам, если все документы ревизоры разделили поровну?

В лотерее 15 билетов, из которых 6 выигрышных. Какова вероятность выиграть хотя бы 2 раза, купив 3 билета?

В бухгалтерии работают 3 мужчин и 5 женщин. На курсы повышения квалификации в соседний город нужно послать 4 человека. Наудачу по списку их называют в отделе кадров. Какова вероятность того, что среди отобранных а) будут только женщины, б) будет хотя бы один мужчина?

В группу принесли 20 методичек по математике, среди которых 3 оказались по линейной алгебре. Студент наудачу взял две методички. Какова вероятность того, что среди взятых а) нет методичек по линейной алгебре, б) есть одна по линейной алгебре?

В пачке 8 тетрадей, среди которых 5 тетрадей в клетку, остальные в линейку. Студент наудачу берет 3 тетради. Какова вероятность того, что среди взятых а) одна в линейку, б) все тетради в клетку?

Из 5 футболистов, 6 конькобежцев и 3 шахматистов нужно сформировать случайным образом комитет из 4 членов. Какова вероятность того, что в комитете окажутся 2 футболиста, конькобежец и шахматист?

Из 9 человек, выбранных в профком, нужно избрать председателя профкома, председателя ревизионной комиссии и секретаря. Какова вероятность того, что ими окажутся три вполне определенных человека?

2. Задание 2

1. Количество панелей, поступающих на стройку с заводов №1, №2, №3 пропорционально 5:7:8; причем процент выпуска бракованных изделий с завода №1 равен 5%, с завода №2 - 4% и с завода №3 - 2%. Какова вероятность того, что случайно выбранная панель содержит брак?

2. Для некоторой местности число дождливых дней в августе равно 11. Чему равна вероятность того, что первые три дня августа а) будут дождливыми, б) будут не дождливыми?

3. Сборщик получил 3 ящика деталей: в первом ящике 40 деталей, из них 20 окрашенных; во втором - 50, из них 10 окрашенных; в третьем - 30 деталей, из них 15 окрашенных. Найти вероятность того, что наудачу извлеченная деталь из наудачу взятого ящика окажется окрашенной.

4. Рабочий обслуживает 5 станков, каждый из которых за смену может потребовать внимание рабочего с вероятностью 0,25. Найти вероятность того, что за смену не менее двух станков потребуют внимания рабочего.

5. Вероятность того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны р1 = 0,8, р2 = 0,5, р3 = 0,7. Определить вероятность того, что встреча состоится, если для этого достаточно явиться двум из трех друзей.

6. На двух станках обрабатываются однотипные детали; вероятность брака для станка №1 составляет 0,03, а для станка №2 - 0,02. Обработанные детали складываются в одном месте, причем деталей со станка №1 складывается вдвое больше, чем со станка №2. Вычислить вероятность того, что взятая наудачу, оказавшаяся не бракованной деталь, была обработана на станке №1.

Фирма имеет три источника поставки комплектующих - фирмы А,В,С. на долю фирмы А приходится 50% общего объема поставок, В - 30% и С - 20%. Из практики известно, что 10% поставляемых фирмой А деталей бракованные, фирмой В - 5% и фирмой С - 6%. Какова вероятность, что взятая наугад и оказавшаяся бракованной деталь получена от фирмы А?

На станции отправления имеется 8 заказов на отправку товара: пять - внутри страны, а три - на экспорт. Какова вероятность того, что два выбранных наугад заказа окажутся предназначенными 1) для потребления внутри страны, 2) на экспорт, 3) один из них для потребления внутри страны, другой на экспорт?

Совет директоров состоит из трех бухгалтеров, трех менеджеров и двух инженеров. Планируется создать подкомитет из его членов. Какова вероятность того, что все трое в этом подкомитете будут бухгалтеры?

В центральную бухгалтерию поступили пачки накладных для проверки и обработки. 90% пачек были признаны удовлетворительными: они содержали только 1% неправильно оформленных накладных. Остальные 10% пачек накладных были признаны неудовлетворительными, т.к. содержали 5% неправильно оформленных накладных. Взятая наугад из пачки накладная оказалась оформленной неправильно. Учитывая это, какова вероятность того, что вся пачка накладных будет признана несоответствующей стандартам?

Страница:


Подобные документы

  • Теория вероятностей и математическая статистика

    Вероятность и ее общее определение. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Дискретные случайные величины и их числовые характеристики. Закон больших чисел. Статистическое распределение выборки. Элементы корреляционного и регрессионного анализа.

    курс лекций [759,3 K], добавлен 13.06.2015

  • Распределение Пуассона. Аксиомы простейшего потока событий

    Теория вероятности – математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Метод наибольшего правдоподобия. Доверительные оценки. Точечные оценки и критерий согласия. Теорема Чебышева. Распределение Пуассона. Доверительный интервал.

    курсовая работа [349,0 K], добавлен 16.01.2009

  • Теория вероятностей и математическая статистика

    Вероятностная модель и аксиоматика А.Н. Колмогорова. Случайные величины и векторы, классическая предельная проблема теории вероятностей. Первичная обработка статистических данных. Точечные оценки числовых характеристик. Статистическая проверка гипотез.

    методичка [433,3 K], добавлен 02.03.2010

  • Теория вероятности и математическая статистика. Задачи

    Практическиое решение задач по теории вероятности. Задача на условную вероятность. Задача на подсчет вероятностей. Задача на формулу полной вероятности. Задача на теорему о повторении опытов. Задача на умножение вероятностей. Задача на схему случаев.

    контрольная работа [29,7 K], добавлен 24.09.2008

  • Теория вероятностей и математическая статистика

    Статистическое, аксиоматическое и классическое определение вероятности. Дискретные случайные величины. Предельные теоремы Лапласа и Пуассона. Функция распределения вероятностей для многомерных случайных величин. Формула Байеса. Точечная оценка дисперсии.

    шпаргалка [328,7 K], добавлен 04.05.2015

  • Теория вероятностей и математическая статистика

    Вероятность попадания случайной величины Х в заданный интервал. Построение графика функции распределения случайной величины. Определение вероятности того, что наудачу взятое изделие отвечает стандарту. Закон распределения дискретной случайной величины.

    контрольная работа [104,7 K], добавлен 24.01.2013

  • Определение вероятности

    Классическое определение вероятности. Формулы сложения и умножения вероятностей. Дисперсия случайной величины. Число равновозможных событий . Матрица распределения вероятностей системы. Среднее квадратическое отклонение, доверительный интервал.

    контрольная работа [89,7 K], добавлен 07.09.2010

  • Теория вероятностей и математическая статистика

    Основные методы формализованного описания и анализа случайных явлений, обработки и анализа результатов физических и численных экспериментов теории вероятности. Основные понятия и аксиомы теории вероятности. Базовые понятия математической статистики.

    курс лекций [1,1 M], добавлен 08.04.2011

  • О теории вероятностей

    Теория вероятности как математическая наука, изучающая закономерность в массовых однородных случаях, явлениях и процессах, предмет, основные понятия и элементарные события. Определение вероятности события. Анализ основных теорем теории вероятностей.

    шпаргалка [777,8 K], добавлен 24.12.2010

  • Теория вероятностей и математическая статистика

    Правила выполнения и оформления контрольных работ для заочного отделения. Задания и примеры решения задач по математической статистике и теории вероятности. Таблицы справочных данных распределений, плотность стандартного нормального распределения.

    методичка [250,6 K], добавлен 29.11.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.

© 2000 — 2023, ООО «Олбест» Все права защищены