Вища математика
Матриці та дії з ними. Визначники квадратних матриць, методи їх обчислення та властивості. Загальна теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії. Теорії границь функції однієї і багатьох змінних.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курс лекций |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 30.10.2011 |
| Размер файла | 349,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
НАЦІОНАЛЬНИЙ БАНК УКРАЇНИ
УНІВЕРСИТЕТ БАНКІВСЬКОЇ СПРАВИ
ХАРКІВСЬКИЙ ІНСТИТУТ БАНКІВСЬКОЇ СПРАВИ
Кафедра вищої математики
Опорний конспект лекцій з дисципліни
ВИЩА МАТЕМАТИКА
для студентів усіх спеціальностей
і форм навчання
Харків
2009
Розділ 1. Елементи теорії матриць і визначники
Тема. Матриці та дії з ними
матриця векторна алгебра геометрія
Поняття матриці та її економічне тлумачення. Види матриць: квадратна, діагональна, одинична, нульова, симетрична, транспонована, трикутна, трапецеподібна. Дії з матрицями: множення матриці на число, додавання і віднімання матриць, множення матриць. Поняття лінійної залежності і незалежності рядків (стовпців) матриці. Застосування матриць в економічних розрахунках.
Тема. Визначники квадратних матриць, методи їх обчислення та властивості
1. Поняття визначників 2-го і 3-го порядків та їх обчислення.
Поняття визначника n-го порядку як розкладу його за елементами першого рядка. Поняття мінора та алгебраїчного доповнення елементів квадратної матриці.Розклад визначника за елементами рядка або стовпця (теорема Лапласа). Властивості визначника n-го порядку та їх використання для спрощення його обчислення. Поняття оберненої матриці та метод її обчислення.
Матрицею називається упорядкована таблиця чисел:
- матриця розміром mxn,
аij - елементи матриці, де i -номер рядка матрицi (i =1,…,m), j - номер стовпця матрицi (j=1,…,n), на перетинi яких знаходиться відповідний елемент.
Види матриць
1) Якщо кiлькiсть рядкiв матрицi m не дорiвнює кiлькостi її стовпцiв n, то матриця називається прямокутною.
2) Матриця, в якій кількість n рядків дорівнює кількості стовпців, називається квадратною n-го порядку.
3) Нульовою матрицею називається матриця, в якій всі елементи дорівнюють нулю.
4) Матрицю, що має тiльки один рядок (стовпець), називають вектором-рядком (вектором-стовпцем).
5) Дiагональна матриця має вигляд:
.
6) Одинична матриця n-го порядку:
7) Якщо в матрицi А помiняти мiсцями вiдповiднi рядки i стовпцi, то одержимо матрицю АT, яка називається транспонованою матрицею по вiдношенню до матрицi А.
Дiї над матрицями
1) Сумою двох матриць А і В рівних розмірів (mхn) називається матриця С того ж розміру, елементи якої сij дорівнюють сумі відповідних елементів матриць А і В.
2) Добутком матриці на число називається матриця, елементи якої одержані з даної множенням усіх її елементів на це число.
3) Добутком матриць А і В називається матриця С, елемент якої дорівнює сумі попарних добутків елементів i-того рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В.
Визначником 2-го порядку, складеним для квадратної матриці
А=, називається число.
Визначником 3-го порядку, складеним для квадратної матриці
А=,
(правило трикутника).
Схематичне зображення правила трикутника:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Основні властивості визначників
Визначник не зміниться, якщо його рядки поміняти місцями з відповідними стовпцями.
При переставленні місцями будь-яких двох рядків визначник змінює знак на протилежний.
Якщо відповідні елементи двох рядків визначника рівні або пропорціональні, то визначник дорівнює нулю.
Якщо всі елементи якого-небудь рядка дорівнюють нулю, то визначник дорівнює нулю.
Загальний множник всіх елементів рядка можна винести за знак визначника.
Якщо кожний елемент деякого рядка визначника є сумою двох доданків, то цей визначник дорівнює сумі двох визначників, в одному з яких у тому ж рядку стоять перші доданки, а у другому - другі. Інші рядки у обох визначників однакові та співпадають з відповідними рядками даного визначника.
Величина визначника не зміниться, якщо до елементів одного рядка додати відповідні елементи іншого рядка, помножені на одне й те ж саме число.
Мінор Mij елемента аij визначника - це визначник, який одержано з даного викресленням і-го рядка та j-го стовпця, на перетині яких знаходиться елемент.
Алгебраїчне доповнення Аij елемента аij - це мінор Мij цього елемента, взятий з відповідним знаком за схемою
.
Теорема (про розкладання визначника за елементами рядка або стовпця). Визначник дорівнює сумі добутків елементів будь-якого рядка (стовпця) на їхні алгебраїчні доповнення.
Матрицю А-1 називають оберненою по відношенню до квадратної матриці А, якщо
,
де Е - одинична матриця.
Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і достатньо, щоб визначник матриці А не дорівнював нулю.
Формула для знаходження оберненої матриці:
,
де - визначник матриці А, - алгебраїчні доповнення елементів аij.
Питання для самоконтролю
1. Що називається визначником? Які основні властивості визначників?
2. Які способи обчислення визначників? Приведіть приклади.
3. Чому дорівнює основний визначник невизначеної квадратної системи лінійних рівнянь?
Знайдіть добуток матриць:
4. Чи може однорідна лінійна система бути несумісною?
5. Запишіть вираз у вигляді одного визначника другого порядку.
6. Знайдіть добуток матриць:
7. Запишіть одиничну матрицю 4-го порядку.
8. Якій умові повинна задовольняти матриця, яка має обернену матрицю?
9. Заповнити пусті місця одним з можливих способів
10. Назвіть усі відомі Вам способи обчислення визначника 3-го порядку.
11. Чи будь-яка матриця має визначник? Відповідь пояснити.
12. Якій умові повинна задовольняти матриця, яка має обернену матрицю?
13. Який найбільший ранг може мати матриця розміром 4х2?
14. Обчисліть основний визначник системи
15. Скласти матрицю, транспоновану до матриці .
16. Заповнити пусті місця будь-яким з можливих способів: = -
17. Що можна стверджувати щодо сумісності лінійної системи, якщо ранг її розширеної матриці коефіцієнтів дорівнює кількості невідомих системи?
18. Сформулюйте теорему Кронекера-Капеллі.
Розділ.2. Загальна теорія систем лінійних алгебраїчних рівнянь
Тема. Система m лінійних рівнянь з n невідомими
Поняття системи m рівнянь з n невідомими та запис її у матричній формі.
Сумісність і несумісність, визначеність і невизначеність системи рівнянь.
Ранг матриці та його зв'язок з лінійною незалежністю рядків (стовпців) матриці. Поняття базисного мінора матриці. Елементарні перетворення матриці та обчислення за їх допомогою рангу матриці. Теорема Кронекера-Капеллі. Методи Гауса і Жордана-Гаусса розв'язування системи рівнянь. Загальний і базисний розв'язки системи рівнянь. Лінійна однорідна система рівнянь, фундаментальна система її розв'язків та структура загального розв'язку.
Тема. Система n лінійних рівнянь з n невідомими
Метод оберненої матриці розв'язування системи рівнянь. Правило Крамера розв'язування системи рівнянь.Умови сумісності та несумісності, визначеності і невизначеності системи рівнянь у термінах визначників. Умова існування ненульового розв'язку однорідної системи рівнянь.
Система т лінійних рівнянь з п невідомими має вигляд:
(1)
де - дійсні числа, які називають коефіцієнтами системи, , i =1,…,m - вільні члени або праві частини рівнянь, , j=1,…,n - невідомі. Якщо n=m, то система називається квадратною. Запис системи (1) в матричному вигляді:
, (1')
де - матриця системи, складена із коефіцієнтів
при невідомих, - вектор-стовпець невідомих,
- вектор-стовпець вільних членів.
Розв'яком системи (1) називається така сукупність n чисел , при підстановці яких кожне рівняння системи перетворюється на вірну рівність.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Розглянемо систему трьох лінійних рівнянь з трьома невідомими:
(2)
Визначник називається визначником системи (2).
Дві системи рівнянь називаються рівносильними, якщо вони мають однакову множину розв'язків. Від даної системи до рівносильної їй можна прийти за допомогою еквівалентних перетворень систем рівнянь, до яких відносяться множення обох частин рівнянь на ненульове число та складання відповідних частин рівнянь системи.
Метод Гаусса (метод послідовних виключень) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи ступінчастого (або трикутного) вигляду, з якої послідовно, починаючи з останніх за номером змінних, знаходяться усі інші змінні.
Метод Жордана-Гаусса (метод повного виключення) полягає в тому, що за допомогою елементарних перетворень система рівнянь приводиться до рівносильної системи діагонального вигляду.
Складемо визначники:
, .
Теорема (Крамера). Якщо визначник системи (2) не дорівнює нулю, то система має єдиний розв'язок, який знаходиться за формулами:
.
Матричний метод: Розв'язок квадратної системи (1'), визначник якої не дорівнює нулю, знаходиться за формулою:
.
Питання для самоконтролю
1. Що називається рішенням системи лінійних рівнянь? Які системи називаються сумісними, а які - несумісними?
2. Напишіть формули Крамера. У якому випадку вони застосовні?
3. За якої умови система лінійних рівнянь має єдине рішення?
4. Що можна сказати про систему лінійних рівнянь, якщо її головний визначник рівний нулю?
5. З яких елементарних кроків складається процедура перетворення системи рівнянь методом Гауса?
6. Чому в результаті перетворення системи рівнянь методом Гауса виходить система рівнянь, еквівалентна початковій системі?
7. Як в результаті перетворення системи рівнянь методом Гауса визначити, чи сумісна початкова система лінійних рівнянь?
8. Як, користуючись методом Гауса, визначити, чи має початкова система рівнянь єдине рішення?
9. Поняття системи m рівнянь з n невідомими та запис її у матричній формі.
10. Ранг матриці та його зв'язок з лінійною незалежністю рядків (стовпців) матриці.
11. Елементарні перетворення матриці та обчислення за їх допомогою рангу матриці.
12. Теорема Кронекера-Капеллі.
13. Методи Гаусса і Жордана-Гаусса розв'язування системи рівнянь.
14. Загальний і базисний розв'язки системи рівнянь.
15. Лінійна однорідна система рівнянь, фундаментальна система її розв'язків та структура загального розв'язку.
16. Метод оберненої матриці розв'язування системи рівнянь.
Розділ 3 . Елементи векторної алгебри та аналітичної геометрії
Тема. Вектори на площині і в просторі та дії з ними. n-вимірний векторний простір
Поняття вектора на площині і в просторі. Геометричне додавання, віднімання векторів та множення вектора на скаляр. Проекція вектора на вісь. Координати вектора і запис його через орти. Довжина і напрямні косинуси вектора. Скалярний добуток векторів і кут між векторами. Властивості скалярного добутку векторів. Умови паралельності і перпендикулярності векторів. Векторний добуток векторів та його властивості. Знаходження координат векторного добутку за координатами співмножників. Мішаний добуток векторів та його геометричне тлумачення. Поняття n-вимірного векторного простору та його базису.
Вектор - це напрямлений відрізок, довжина якого називається модулем вектора (пишуть ).
Два вектори і називаються протилежними, якщо для них виконується рівність .
Два колінеарних (паралельних) вектора і відрізняються скалярним множником .
Розкладання вектора за координатними осями Ox, Oy, Oz записується у вигляді , або , де x, y, z - проекції вектора на Ox, Oy, Oz; - одиничні вектори (орти), які співпадають за напрямком з цими осями. Проекції x, y, z називаються координатами вектора.
Довжина вектора знаходиться за формулою
.
Якщо б, в, г - кути між вектором і осями Ox, Oy, Oz, то cosб, cosв, cosг називаються напрямними косинусами вектора і обчислюються за формулою
.
Якщо відомі координати точок А(x1, y1, z1) і В(x2, y2, z2), то
.
Якщо два вектори = (x1, y1, z1) і =(x2, y2, z2) колінеарні, то їхні координати пропорційні, тобто
.
Координати точки М(x1, y1, z1), яка поділяє напрямлений відрізок у даному відношенні л , визначаються за формулами
.
Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними:
.
Якщо вектори задані своїми координатами, то
.
Проекція вектора на вектор та кут між ними визначаються за формулами
.
Упорядковану сукупність n дійсних чисел називають n-вимірним вектором = (a1,a2,…an), числа - координати вектора.
Сукупність усіх n-вимірних векторів називається n-вимірним векторним простором. Позначення Rn.
Система векторів називається лінійно залежною, якщо існують такі не всі рівні нулю числа б1, б2,..., бm, що має місце співвідношення
.
У протилежному випадку дана система векторів називається лінійно незалежною, тобто указана рівність має місце лише у випадку, коли всі бi =0.
Будь-які n лінійно незалежних векторів утворюють базис n-вимірного простору.
Нехай вектори утворюють базис в Rn. Тоді будь-який вектор можна розкласти за цим базисом, тобто
.
де аi - деякі числа (координати вектора).
Питання для самоконтролю
1. Що таке вектор? Які вектори є рівними?
2. Як знайти суму і різницю двох векторів?
3. Що є вектором, помноженим на скаляр?
4. Якими властивостями володіють операції складання векторів і множення векторів на скаляр?
5. Що таке координати вектора? Як знайти координати вектора по координатах його початку і кінця?
6. Дати визначення скалярного добутку.
7. Яка необхідна і достатня умова перпендикулярності векторів?
8. Перерахувати властивості скалярного добутку. Як обчислити ?
9. Чому рівний скалярний добуток векторів, розкладених по ортам? Модуль вектора?
10. Як знайти одиничний вектор, сонаправлений з ?
11. Дати визначення векторного добутку.
12. Дати визначення змішаного добутку.
13. Два вектори називаються колінеарними, якщо….
14. Три вектори називаються компланарними, якщо…..
15. Ортом вектора називається
16. Добутком вектора на число х називається
17. Різницею двох векторів називається
18. Що називається координатами вектора?
19. Що можна сказати про координати рівних векторів?
20. Зобразити в прямокутній системі координат на площині вектор, у якого обидві координати від'ємні.
21. Зобразити в прямокутній системі координат ХOY вектор, у якого перша координата - від'ємна, а друга - додатна.
22. Зобразити в прямокутній системі координат ХOY вектор, у якого перша координата - нульова, а друга - від'ємна.
23. Зобразити в прямокутній системі координат ХOY вектор, у якого перша координата - від'ємна, а друга - нульова.
24. Як знайти координати вектора за відомими координатами початку та кінця?
25. Як знайти координати середини відрізка за відомими координатами кінців відрізка?
26. Зобразити та описати трійку векторів, яку називають координатним базисом прямокутної системи координат у прямокутному просторі.
27. Зобразити та описати сукупність двох векторів, які утворюють координатний базис прямокутної системи координат на площині.
28. Запишіть усі відомі Вам формули для обчислення скалярного добутку двох векторів.
29. Якій умові задовольняють вектори, скалярний добуток яких є додатним числом?
30. Якій умові задовольняють вектори, скалярний добуток яких є від'ємним числом?
31. Якій умові задовольняють вектори, скалярний добуток яких дорівнює нулю?
32. Якій умові задовольняють вектори та , якщо
33. Якій умові задовольняють вектори та , якщо
34. Наведіть приклад лінійної комбінації векторів =(4; -3), =(0; 2), =(1;-1).
35. Наведіть приклад лінійної комбінації векторів =(3; 2; 1), =(1; -1; -1).
36. Система яких векторів називається лінійно-незалежною?
37. Система яких векторів називається лінійно-залежною?
38. Знайдіть орт вектора =(-3; -4).
39. Записати розкладання вектора =(2; 0; -5) за координатним базом прямокутної системи координат.
40. Вказати координати вектора .
41. Заповнити пусті місця будь-яким можливим способом, якщо відомо, що вказані вектори є колінеарними: =(3; *; 2), =(*; 4; *).
42. Заповнити пусті місця, якщо точка M(2; -1) -середина відрізка KN, K(*; 3), N(4; *).
43. Заповнити пусте місце, якщо відомо, що дані вектори ортогональні:
=(5; 1; 2), =(*; 0; 3).
44. Підібрати невідому координату вектора =(-3;0;*), якщо відомо, що .
45. Підібрати невідому координату вектора =(0; *; -4), якщо .
Тема. Пряма на площині
Поняття рівняння лінії на площині та її порядку. Пряма як лінія першого порядку. Рівняння прямої на площині, яка: а) проходить через дану точку паралельно заданому вектору; б) проходить через дану точку і має заданий кутовий коефіцієнт; в) відтинає на осі ординат даний відрізок і має заданий кутовий коефіцієнт; г) проходить через дві дані точки; д) відтинає дані відрізки на осях координат; е) проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння прямої та його дослідження. Кут між двома прямими, умови паралельності і перпендикулярності прямих. Відстань точки до прямої. Пряма як лінійна математична модель в економіці.
Тема. Лінії другого порядку на площині
Загальне рівняння лінії 2-го порядку на площині. Нормальне рівняння кола. Канонічне рівняння еліпса та його основні характеристики. Канонічне рівняння гіперболи та її основні характеристики. Канонічне рівняння параболи та її основні характеристики. Зведення загального рівняння лінії другого порядку до канонічного вигляду. Лінії другого порядку як математичні моделі економічних процесів.
Основні види рівнянь прямої на площині:
Ax+By+C=0
- загальне рівняння прямої;
y=kx+b
- рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом; k=tgб, де б - кут між прямою і додатним напрямком осі Ох;
y-y0=k(x-x0)
- рівняння прямої, яка проходить через дану точку (x0, y0) у даному напрямку;
A(x-x0)+B(y-y0)=0
- рівняння прямої, яка проходить через точку М(x0,y0) перпендикулярно до вектора (до нормального вектора);
- рівняння прямої, яка проходить через точку М0(x0,y0) паралельно напрямному вектору (канонічне рівняння);
- рівняння прямої у відрізках (a і b - величини напрямлених відрізків, відрізуваних прямою на координатних осях);
- рівняння прямої, яка проходить через дві дані точки М1(x1,y1) і М2(x2,y2).
Якщо задане загальне рівняння прямої, то її кутовий коефіцієнт визначається за формулою
.
Якщо k1, k2 - кутові коефіцієнти двох прямих, то кут И між ними визначається за формулою
.
Умова паралельності двох прямих: k1=k2.
Умова перпендикулярності двох прямих:
.
Якщо задані рівняння прямої Ax+By+C=0 і точка M0(x0,y0), то відстань від цієї точки до даної прямої обчислюється за формулою
.
Лінії другого порядку.
Нехай задане загальне рівняння другого ступеня з змінними x і y, яке не містить добутка змінних:
Ax2+By2+Cx+Dy+E=0.
Якщо цьому рівнянню відповідає лінія на площині, то це або еліпс, або гіпербола, або парабола. Для побудови кривої за допомогою її рівняння необхідно вилучити повні квадрати відносно кожної з змінних x і y, які містяться в рівнянні другого ступеня.
Якщо при цьому початкове рівняння перетворюється до виду
,
то це еліпс з центром у точці 01(x0,y0), напівосями a і b, а осі симетрії паралельні осям Ох і Oy.
Якщо при цьому початкове рівняння перетворюється до виду
,
то це гіпербола з центром у точці 01(x0,y0) і характеристичним прямокутником з сторонами 2a і 2b. Діагоналі цього прямокутника є асимптотами гіперболи.
Якщо початкове рівняння перетворюється до виду
, чи ,
то це парабола типу чи з вершинами в точці 01(x0,y0) і симетричні відносно прямих відповідно x= x0 і y= y0.
Питання для самоконтролю
1. Рівняння прямої на площині, яка проходить через задану точку та має вектор нормалі.
2. Рівняння прямої на площині, яка проходить через задану точку та має напрямний вектор.
3. Загальне рівняння прямої на площині.
4. Наведіть приклад рівняння горизонтальної прямої на площині.
5. Наведіть приклад рівняння вертикальної прямої на площині.
6. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка проходить через початок координат.
7. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка утворює з віссю ОХ кут 450.
8. Рівняння прямої на площині, яка проходить через дві задані точки.
9. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка паралельна осі ОХ.
10. Наведіть приклад рівняння прямої на площині, яка паралельна осі ОУ.
11. Формула для знаходження кута між двома прямими на площині.
12. Умова паралельності двох прямих на площині.
13. Умова перпендикулярності двох прямих на площині
14. Формула для знаходження відстані від заданої точки до прямої на площині.
15. Канонічне рівняння еліпса.
16. Канонічне рівняння гіперболи.
17. Канонічне рівняння параболи.
18. Рівняння кола.
19. Написати формулу ділення відрізка в даному відношенні.
20. Написати формулу рівняння прямої в загальному вигляді. Який сенс коефіцієнтів при x і у?
21. Написати рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом. Який сенс коефіцієнта при x?
22. Написати рівняння прямої, що проходить через точку в даному напрямі.
23. Написати рівняння прямої, що проходить через дані дві точки.
24. Як знайти кут між прямими?
25. Написати умову паралельності прямих.
26. Написати умову перпендикулярності двох прямих.
27. Написати формулу для знаходження відстані від точки до прямої.
Тема. Площина і пряма у просторі
Поняття рівняння поверхні у просторі та її порядку. Площина як поверхня першого порядку. Рівняння площини у просторі, яка: а) проходить через дану точку перпендикулярно до заданого вектора; б) проходить через три дані точки; в) відтинає на осях координат задані відрізки. Загальне рівняння площини у просторі та його дослідження. Кут між двома площинами та умови паралельності і перпендикулярності площин. Відстань точки до площини. Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дану точку паралельно до даного вектора (канонічне рівняння прямої). Параметричне рівняння прямої у просторі. Пряма у просторі як перетин двох площин у просторі та зведення його до канонічного вигляду. Кут між двома прямими у просторі та умови паралельності і перпендикулярності двох прямих. Відстань точки до прямої у просторі. Кут між прямою і площиною у просторі. Пряма і площина у просторі як лінійні математичні моделі економічних процесів.
Основні види рівнянь площини:
Ax+By+Cz+D=0
- загальне рівняння площини,
- вектор, нормальний (перпендикулярний) до цієї площини;
- рівняння площини у відрізках, де a, b, с - довжини напрямлених відрізків, відрізуваних площиною на координатних осях;
A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 -
рівняння площини, яка проходить через задану точку M0(x0,y0, z0,) перпендикулярно до нормального вектора :
рівняння площини, яка проходить через три задані точки М1(x1,y1, z1) і М2(x2,y2, z2), М3(x3,y3, z3).
Умова паралельності двох площин A1x+B1y+C1z+D1=0 і A2x+B2y+C2z+D2=0 має вигляд
,
а умовою перпендикулярності цих же площин є рівність
A1 A2+ B1 B2+ C1 C2=0.
Кут між двома даними площинами визначається за формулою
.
Відстань від точки M0(x0,y0, z0,) до площини Ax+By+Cz+D=0:
.
При розв'язанні задач на пряму лінію у просторі використовуються такі рівняння:
1) -
каноничні рівняння прямої, де (x0,y0, z0,) -задана точка , а вектор - напрямлений вектор прямої;
2) -
рівняння прямої, яка проходить через дві задані точки М1(x1,y1, z1) і М2(x2,y2, z2);
3)
параметричні рівняння прямої у просторі, де - деякий параметр;
4)
- загальні рівняння прямої, коли пряма лінія визначена перетином двох площин.
Кут між прямими
і
обчислюється за формулою
.
Умова паралельності і перпендикулярності цих прямих відповідно:
і .
Щоб знайти точку перетину прямої
і площини Ax+By+Cz+D=0, слід розв'язати сумісно ці три рівняння.
Питання для самоконтролю:
1. Наведіть приклад рівняння прямої у просторі, яка проходить через початок координат.
2. Рівняння прямої у просторі, яка проходить через дві задані точки.
3. Наведіть приклад рівняння прямої у просторі, яка паралельна осі ОХ.
4. Наведіть приклад рівняння прямої у просторі, яка паралельна осі ОУ.
5. Умова паралельності двох площин.
6. Умова паралельності двох прямих у просторі.
7. Умова перпендикулярності двох площин.
8. Умова перпендикулярності двох прямих у просторі.
9. Умова паралельності прямої у просторі та площині.
10. Умова перпендикулярності прямої у просторі та площині.
11. Наведіть приклад площини, яка проходить через початок координат.
12. Рівняння сфери.
13. Рівняння площини, яка проходить через задану точку та має заданий вектор нормалі.
14. Загальне рівняння площини. Який сенс коефіцієнтів при x, у, z?
15. Рівняння площини, яка проходить через три задані точки, що не лежать на одній прямій.
16. Навести приклад рівняння площини, яка паралельна осі ОХ.
17. Навести приклад рівняння площини, яка паралельна осі ОУ
18. Написати формулу для обчислення кута між двома площинами. Як умова паралельності двох площин? Перпендикулярності двох площин?
19. Написати канонічне рівняння прямої в просторі.
20. Написати формулу для знаходження відстані від точки до площини.
Розділ 4. Елементи теорії границь функції однієї і багатьох змінних
Тема. Границя функції однієї змінної
Числова послідовність як функція натурального аргументу та її границя. Границя функції у безмежності і в точці. Односторонні границі функції в точці. Нескінченно малі величини, їх властивості та класифікація. Зв'язок нескінченно малої величини та границі функції. Нескінченно великі величини, їх властивості та зв'язок з нескінченно малими величинами.
Єдність границі функції. Границя суми, різниці, добутку і частки функцій. Невизначеності типів
Найпростіші ознаки існування границі функції. Перша визначна границя. Друга визначна границя. Невизначеності типів
Число А називається границею функції y=f(x) при xх0, якщо для всіх значень х, що достатньо мало відрізняються від числа х0, відповідні значення функції f(x) як завгодно мало відрізняються від числа А.
Позначення:
.
Функція y=f(x) називається нескінченно великою величиною при x х0, якщо для всіх значень х, що достатньо мало відрізняються від х0 , відповідні значення функції f(x) за абсолютною величиною перевищують будь-яке наперед задане довільно велике додатне число:
Функція, яка прямує до нуля при x х0 , називається нескінченно малою величиною при x х0
Якщо -нескінченно малі (при хх0), то (х) і (х) називаються еквівалентними нескінченно малими (при хх0).
Позначення:
(х)(х) (хх0).
Основні правила граничного переходу
1) Якщо функції f(x)і q(x) мають в точці х0 відповідно границі В і С, то функції
f(x)q(x), f(x)q(x),
(при С0) мають в точці х0 границі, що дорівнюють відповідно В С, ВС,
2) При обчисленні границі добутку функцій, одна з яких є нескінченно малою величиною, можна цю нескінченно малу величину замінити на еквівалентну їй величину.
Перша особлива границя:
.
Наслідки першої особливої границі:
1)sinxx (x0),
2) tgxx (x0),
3) arcsinxx (x0),
4) arctgxx (x0),
5) 1-cosx (x0).
Друга особлива границя:
(або )
Наслідки другої особливої границі:
1) ln(1+x)x (x0),
2) loga(1+x) (x0),
3) ex-1x (x0),
4) ax-1 x lna (x0).
Питання для самоконтролю
1. Поняття границі функції та основні теореми про границі.
2. Поняття неперервності функції в точці та в області.
3. Властивості неперервних функцій в точці та в області.
4. Наведіть означення нескінченно малої величини.
5. Наведіть означення нескінченно великої величини.
6. Наведіть означення границі функції.
7. Наведіть означення еквівалентних нескінченно малих величин.
8. Сформулюйте першу особливу границю.
9. Сформулюйте другу особливу границю.
10. Наведіть наслідок першої особливої границі, який містить функцію cosx.
11. Наведіть наслідок другої особливої границі, який містить функцію аx.
12. Заповнити пропущене місце: .
13. Заповнити пропущене місце: .
14. Заповнити пропущене місце: .
15. Заповнити пропущене місце: .
16. Надати відповідь:
17. Надати відповідь, не виконуючи розрахунків:
Розділ 5. Диференціальне числення функції однієї та кількох змінних
Тема. Похідна функції однієї змінної, її практичний зміст і правила диференціювання
Поняття похідної функції та її геометричний, фізичний і економічний зміст. Зв'язок між диференційованістю і неперервністю функції. Таблиця похідних. Похідна суми, різниці, частки і добутку функцій. Похідна складеної функції. Похідна неявної функції. Диференціал функції. Похідні та диференціали вищих порядків. Формула Тейлора. Правило Лопіталя.
Тема. Частинні похідні і повний диференціал функції кількох змінних
Частинний і повний прирости функції двох змінних та їх економічне тлумачення. Частинні похідні функції двох змінних та їх геометричне тлумачення. Частинні еластичності. Повний диференціал функції двох змінних, його геометричний зміст та застосування до наближених обчислень. Похідна за напрямом та градієнт функції двох змінних. Частинні похідні та диференціали вищих порядків функції двох змінних.
Похідною функції y=f(x) за аргументом x називають границю відношення приросту функції y до приросту аргументу х, коли х довільним образом прямує до нуля. Якщо ця границя існує, то її позначають через f'(x) або :
Операцію знаходження функції у = f(x) називають диференціюванням цієї функції. Функцію f(x), яка має похідну в точці x, називають диференційовною в точці x.
Якщо функція має похідну в кожній точці деякого проміжку, то її називають диференційовною у цьому проміжку.
Механічний зміст похідної: похідна S'(t) є величиною миттєвої швидкості в момент t тіла, що рухається за законом S=S(t).
Геометричний зміст похідної: похідна f'(x) дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка y = f(x) в точці з абсцисою х.
Економічний зміст похідної: похідна V'(x) дорівнює маргінальній вартості, де V(х) -функція витрат виробництва х одиниць продукції.
Таблиця похідних основних елементарних функцій
1.(xm)ў = mx m-1 , m - будь-яке число,
2.(ex)ў= ex ;
3.(lnx)ў=
4.(sinx)ў=cosx ;
5.(cosx)ў= - sinx ;
6.(tgx)ў=1/cos2x ;
7.(ctgx)ў=-1/sin2x ;
8.(arcsinx)ў=
9.(arccosx)ў =-
10.(arctgx)ў =
11.(arcctgx)ў = - .
Основні правила диференціювання
Нехай С-постійна, u=u(x),v=v(x) - функції, що мають похідні. Тоді:
1) С'=0;
2) x'=1;
3) (u v) '=u' v';
4) (Cu) '=Cu';
5)(uv) '=u'v+uv';
6)
7) якщо y=f(u), u=u(x),тобто y=fu(x),де функції f(u )та u(x) мають похідні, то y'x = y'uu'x. (правило диференціювання складної функції).
Правило, за яким кожній парі чисел (x;y) D ставиться у відповідність єдине число z, називається функцією двох змінних, що визначена на множині D.
Позначення: z= f (x,y).
Частинною похідною за змінною x від функції z=f(x,y) називається функція, яка одержана при диференціюванні f(x,y) за змінною x у припущенні, що y=const:
Повним диференціалом функції двох змінних z=f (x;y) називається вираз
dz=zґxdx+zґydy,
який є головною частиною повного приросту функції, лінійного відносно dx, dy.
Градієнт функції z в точці M(x0;y0):
Похідна функції z в точці М за напрямом вектора :
Питання для самоконтролю
1. Дайте визначення похідної. Її механічний і геометричний сенс.
2. Виведіть формули похідних суми, добутку і частки двох функцій. Приведіть приклади.
3. Виведіть формули диференціювання тригонометричних функцій.
4. Виведіть формули диференціювання степеневої, показникової і складної показникової функцій.
5. Сформулюйте визначення диференціала функції.
6. Для яких функцій диференціал тотожно рівний приросту?
7. Механічний, геометричний і економічний сенс другої похідної.
8. Як знаходять похідну функції, задану неявно?
9. Перерахуйте різні типи невизначеності, для розкриття яких можна використовувати правило Лопіталя. Приведіть приклади
10. Поняття функції двох і більшого числа змінних та їх інтерпретація в економічній теорії.
11. Область визначення та область значень функції, графічне зображення функцій.
12. Лінії рівня функції двох змінних та їх економічне тлумачення.
13. Поняття функції комплексної змінної. Виробничі функції багатьох змінних.
14. Заповнити пусте місце будь-яким з можливих способів: .
15. Заповнити пусте місце будь-яким з можливих способів: .
16. Заповнити пусте місце будь-яким з можливих способів: .
17. Заповнити пусте місце будь-яким з можливих способів: .
18. Заповнити пусте місце будь-яким з можливих способів: .
19. Частинні похідні функції двох змінних та їх економічне тлумачення.
20. Повний диференціал функції двох змінних, його геометричний зміст та застосування до наближених обчислень.
21. Похідна за напрямом та градієнт функції двох змінних.
22. Частинні похідні та диференціали вищих порядків функції двох змінних.
23. Як визначаються частинні похідні? Сформулювати правила знаходження частинних похідних функцій декількох змінних.
24. Який геометричний сенс частинних похідних функції z=f(x,y)?
25. Що називається повним приростом і повним диференціалом функції z=f(x,y)? Як виражається повний диференціал функції через її частинні похідні?
Розділ 6. Дослідження функцій та побудова їх графіків
Тема. Застосування похідної функції до дослідження функцій та побудови їх графіків
Умови зростання і спадання функції. Локальний екстремум функції та його знаходження. Найбільше і найменше значення функції на проміжку. Опуклість і вгнутість графіка функції. Точки перегину. Асимптоти графіка функції. Схема дослідження функції та побудови її графіка.
Тема. Застосування диференціального числення функції кількох змінних
Локальний екстремум функції двох змінних та його дослідження. Умовний екстремум функції двох змінних і метод Лагранжа його дослідження. Моделі оптимізації задач економіки. Однорідні функції. Формула Тейлора. Опуклі функції.
Означення. Функція називається зростаючою в інтервалі, якщо більшим значенням аргументу відповідають більші значення функції; функція називається спадною в інтервалі, якщо більшим значенням аргументу відповідають менші значення функції.
Означення. Точка x1 називається точкою максимуму функції y=f(x) , якщо f(x0) є найбільшим значенням функції f(x) в деякому околі точки x1 .Точка x2 називається точкою мінімуму функції y=f(x) , якщо f(x2) є найменшим значенням функції f(x) в деякому околі точки x2 (див. рис.) Точки максимуму і мінімуму об'єднуються загальною назвою точок екстремуму.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Схема дослідження функції на монотонність та екстремуми.
1. Знайти область визначення D(y) даної функції y=f(x).
2. Знайти похідну f ?(x).
3. Знайти критичні точки y=f(x), тобто точки з D(y), в яких f ?(x) дорівнює нулю або не існує.
4. За допомогою знайдених критичних точок розбити на інтервали область визначення D(y) даної функції, кожен з яких є інтервалом знакосталості f ?(x).
5. Встановити знак похідної f ?(x) в кожному з вказаних інтервалів, для чого достатньо встановити її знак в будь-якій точці кожного інтервалу.
6. По знаку похідної визначити характер змінювання функції в кожному інтервалі - зростання чи спадання (за достатньою ознакою монотонності).
7. Слідкуючи за зміною знака похідної при переході через критичні точки, встановити, які з них є точками екстремуму: при зміні знака f ?(x) з “+” на “-“ критична точка є точкою максимуму, при зміні знака f ?(x) з “-“ на “+” - точкою мінімуму (за достатньою ознакою екстремуму).
Означення. Функція z=f(x,y) має максимум в точці , якщо для усіх точок (x;y), достатньо близьких до точки і відмінних від неї.
Аналогічне означення - для мінімуму.
Максимум або мінімум функції називаються екстремумом.
Необхідна ознака екстремуму. В точках екстремуму функції кількох змінних її частинні похідні першого порядку або дорівнюють нулю, або не існують:
. (1)
Точки, в точки виконуються рівності (1), називаються стаціонарними. Рівності (1) є необхідними, але не достатніми умовами існування екстремуму. Це означає, що не усі точки, при яких виконується умова (1), є точками екстремуму.
Достатня умова екстремуму функції двох змінних.
Щоб визначити екстремум функції z=f(x,y) двох незалежних змінних, треба:
а) Знайти стаціонарні точки (x;y), в яких функція може досягти екстремуму, для чого треба розв'язати систему рівнянь
б) Обчислити значення частинних похідних 2-го порядку в кожній стаціонарній точці (x,y), одержані числа позначити відповідно А, В, С:
в) Скласти вираз ?=АС-В2.
Якщо ?0, то екстремум в стаціонарній точці є, причому при А0 - min, а при А<0 - max.
Якщо ?0, то екстремуму в стаціонарній точці немає.
Якщо ?=0, то маємо сумнівний випадок і для його з'ясування треба проводити додаткові дослідження, які знаходяться поза навчальною програмою.
Питання для самоконтролю
1. Знайти область визначення функції
2. Не виконуючи побудови, знайдіть точки перетину графіків функцій y=Lgx та y=2
3. Знайдіть точку перетину графіка функції з віссю ординат
4. Знайти найбільше значення функції
5. Знайдіть точку екстремуму функції , що належить проміжку
6. Для функції знайдіть точку максимуму
7. Для функції визначте проміжок, на якому вона зростає
8. Знайдіть точку екстремуму функції
9. Знайдіть точку максимуму функції
10. Знайти проміжки зростання функції у=3х2 -6х+7.
11. Як виглядає рівняння похилої асимптоти до графіка заданої функції?
12. Сформулюйте достатні умови монотонності функції однієї змінної.
13. Сформулюйте достатні умови екстремуму функції однієї змінної.
14. Сформулюйте достатні умови точки перегину функції однієї змінної.
15. Сформувати в загальному вигляді задачу на умовний екстремум.
16. Записати функцію Лагранжа задачі на умовний екстремум.
17. Як знайти стаціонарні точки функції двох змінних?
18. Що називається точкою мінімуму функції двох змінних?
19. Як встановити для точки екстремуму функції двох змінних, чи є вона точкою максимуму (мінімуму)?
Розділ 7. Інтегральне числення функції однієї і кількох змінних
Тема. Невизначений інтеграл, його властивості та найпростіші методи обчислення
Первісна функції та невизначений інтеграл. Властивості невизначеного інтеграла. Таблиця невизначених інтегралів. Найпростіші методи обчислення невизначеного інтеграла: метод зведення до табличних на основі незалежності його від вибору змінної інтегрування, метод підстановки, метод інтегрування частинами. Застосування невизначеного інтеграла в економічному аналізі: загальні витрати, маргінальні витрати, середні витрати; загальний дохід, маргінальний дохід, середній дохід.
Означення. Первісною функцією для заданої функції f(x) називають таку функцію F(x), похідна якої дорівнює F(x).
Означення. Сукупність усіх первісних F(x)+С для заданої функції f(x) називають невизначеним інтегралом і позначають f(x) dx. Отже, f(x) dx = F(x)+С.
Знак означає операцію інтегрування, вираз f(x) dx називають підінтегральним виразом, функцію f(x) - підінтегральною, змінну x - змінною інтегрування.
Таблиця основних невизначених інтегралів
зокрема,
Якщо інтеграл І = f(x) dx не може бути обчислений безпосередньо за основними формулами, то введенням нової незалежної змінної у багатьох випадках вдається перетворити підінтегральний вираз f(x)dx, при якому інтеграл зводиться до табличного або до такого, спосіб обчислення якого уже відомий. Заміна змінної інтегрування і складає сутність методу, який називається методом підстановки.
Нехай треба обчислити інтеграл . Зробимо підстановку де - функція, яка має неперервну похідну. Тоді , звідки одержуємо формулу заміни змінної у невизначеному інтегралі
.
Вкажемо окремі важливі випадки використання цієї формули.
1. Невизначені інтеграли вигляду
,
вилученням повного квадрату у квадратному тричлені і введенням нової змінної зводяться до одного з табличних інтегралів.
2. Якщо підінтегральна функція є добутком двох множників, один з яких залежить від деякої функції ц(х), а другий є похідною ц(х), (з точністю до сталого множника), то доцільно зробити заміну змінної за формулою ц(х)=t.
Метод інтегрування частинами
Якщо u=u(x), v=v(x) - диференційовні функції від х, то з формули для диференціала добутку двох функцій d(uv)=udv+vdu одержимо формулу інтегрування частинами
Ця формула застосовується у випадку, коли підінтегральна функція є добутком алгебраїчної та трансцендентної функцій. В якості u, як правило, обирається функція, яка спрощується диференціюванням, в якості dv - частина підінтегрального виразу, що залишилася, яка містить dx та з якої можна визначити v шляхом інтегрування.
В деяких випадках формула застосовується декілька разів. Іноді шуканий інтеграл визначається з алгебраїчного рівняння, що одержане в результаті застосування формули інтегрування частинами.
Інтегрування раціональних функцій
Розглянемо невизначені інтеграли, які мають вигляд де R(x) - правильний раціональний дріб, тобто
Знаходження указаних інтегралів побудовано на розкладанні раціонального дробу у суму елементарних дробів, тобто дробів, які мають вигляд
де б, в - натуральні числа; a, p, q, A, B, C - дійсні числа ; p2-4q<0 (корені тричлена є комплексними).
Питання для самоконтролю
1. Означення первісної.
2. Означення невизначеного інтеграла.
3. Формула заміни змінної у невизначеному інтегралі.
4. Формула інтегрування частинами у невизначеному інтегралі.
5. Яку кількість різних первісних може мати неперервна функція?
6. Заповнити пусте місце .
7. Заповнити пусте місце .
8. Назвіть метод, за яким можна обчислити інтеграл .
9. Назвіть метод, за яким можна обчислити інтеграл .
10. Назвіть метод, за яким можна обчислити інтеграл .
11. Назвіть метод, за яким можна обчислити інтеграл .
12. Назвіть метод, за яким можна обчислити інтеграл .
13. Назвіть метод, за яким можна обчислити інтеграл .
14. Записати дві різні первісні від функції .
15. Записати дві різні первісні від функції .
16. Записати дві різні первісні від функції .
17. Записати будь-яку первісну від функції .
18. Записати будь-яку первісну від функції .
19. Записати будь-яку первісну від функції .
20. Записати будь-яку первісну від функції. .
21. Яка функція називається раціональним дробом?
22. Який вигляд має елементарний дріб 1-го типу?
23. Який вигляд має елементарний дріб 2-го типу?
24. Запишіть (без підрахунку коефіцієнтів) розкладання дробу на елементарні дроби.
25. Запишіть (без підрахунку коефіцієнтів) розкладання дробу на елементарні дроби.
26. Запишіть (без підрахунку коефіцієнтів) розкладання дробу на елементарні дроби.
27. Який раціональний дріб називається правильним?
28. Який раціональний дріб називається неправильним?
29. Яку заміну треба виконати для обчислення інтеграла .
30. Серед трьох запропонованих підкресліть інтеграл, який можна обчислити за допомогою універсальної тригонометричної підстановки:
; ; .
31. Яку заміну треба виконати для обчислення інтеграла .
32. За допомогою якої тригонометричної формули можна обчислити інтеграл
.
33. Як виглядає універсальна тригонометрична підстановка?
34. За допомогою якої заміни можна обчислити інтеграл, який містить вираз ?
Тема. Визначений інтеграл, його властивості та обчислення
Поняття інтегральної суми і визначеного інтеграла. Геометричний та економічний зміст визначеного інтеграла. Властивості визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца обчислення визначеного інтеграла. Метод підстановки та інтегрування частинами у визначеному інтегралі. Поняття невласних інтегралів. Поняття кратних інтегралів.
Тема. Застосування визначеного інтеграла.
Обчислення площі криволінійної трапеції. Обчислення об'єму тіла обертання. Обчислення додаткового загального доходу. Нарощування капіталу. Прибуток від процентів вкладу. Споживче активне сальдо. Застосування невласних інтегралів у фінансах.
Означення визначеного інтеграла
Нехай на відрізку задано функцію . Розіб'ємо відрізок на довільних частин точками
().
На кожному відрізку () оберемо довільну точку () і утворимо суму
,
де . Ця сума називається інтегральною сумою функції .
Означення. Якщо існує границя , що не залежить від способу розбиття відрізка на частини та від способу обрання точок , то ця границя називається визначеним інтегралом від функції на відрізку і позначається .
Число називається нижньою межею інтегрування, число -- верхньою межею, називається підінтегральною функцією, проміжок Ї проміжком інтегрування, Ї змінною інтегрування. Вираз називається підінтегральним виразом.
Якщо визначений інтеграл існує, то функція називається інтегровною на відрізку .
Зауваження. Будь-яка неперервна на функція інтегровна на цьому відрізку.
Основні властивості визначеного інтеграла.
1) ==,
тобто визначений інтеграл не залежить від позначення змінної інтегрування.
2) .
3) = -.
4) =+
(якщо кожний з вказаних інтегралів існує).
5) =,
де Ї число.
6) =+,
де точка Ї довільна точка осі ОХ (якщо кожний з цих інтегралів існує).
7) Теорема про оцінку визначеного інтеграла.
Нехай і Ї найменьше та найбільше значення на , тобто для всіх . Тоді
.
8) Теорема про середнє для визначеного інтеграла.
Нехай функція неперервна на відрізку . Тоді на знайдеться точка така, що
=, (тобто ).
Значення називається середнім значенням функції на відрізку .
Формула Ньютона-Лейбниця.
Нехай Ї первісна для функції на відрізку , тобто = для . Тоді
=-=¦.
Методи обчислення визначеного інтеграла.
При обчисленні визначеного інтеграла (за допомогою формули Ньютона-Лейбніца) використовують ті ж методи, що і для невизначеного інтеграла. Розглянемо основні з них.
1)Метод заміни змінної. Нехай виконуються умови :
а)функція є неперервною на ; б)функція та ії похідна є неперервними на відрізку , причому ; в) є монотонною на . Тоді
=.
Зауваження. 1. При переході до нової змінної у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування. 2. При заміні змінної у визначеному інтегралі немає потреби (на відміну від невизначеного інтеграла), повертатися до старої змінної.
2) Метод інтегрування частинами. Формула інтегрування частинами для визначеного інтеграла має вигляд:
Геометричні застосування визначених інтегралів.
Обчислення площин плоских фігур.
Площа S криволінійної трапеції, обмеженої зверху графіком неперервної і невідємної функції y=f(x), заданої на а; b, знизу - відрізком а; b, з боків-вертикальними прямими х = а та х = b (мал.1), обчислюється за формулою:
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Мал.1.
У загальному випадку, коли фігура обмежена зверху кривою
знизу кривою з боків - прямими х = а, х = b (див.мал.2), її площа обчислюється за формулою
(1)
Размещено на http://www.allbest.ru/
Размещено на http://www.allbest.ru/
Обчислення довжин дуг кривих
Довжина дуги кривої у = f (x) обчислюється за формулою
(2)
Питання для самоконтролю
1. Формула для обчислення площі криволінійної трапеції.
2. Формула для обчислення площі плоскої фігури загального вигляду.
3. Формула для обчислення довжини дуги.
4. Формула для обчислення об'єму тіла обертання.
5. Формула для обчислення визначеного інтеграла частинами.
6. Формула для обчислення визначеного інтеграла заміною змінної.
7. Якщо змінити місцями межі інтегрування у визначеному інтегралі.
8. Якщо межі інтегрування у визначеному інтегралі співпадають, то…
9. Основна формула для обчислення визначеного інтеграла.
10. Формула Ньютона-Лейбніца.
11. Геометричний зміст визначеного інтеграла.
12. Економічний зміст визначеного інтеграла.
13. Означення невластивого інтеграла.
14. Який невластивий інтеграл називається збіжним?
15. Який невластивий інтеграл називається розбіжним?
16. Геометричний зміст невластивого інтеграла.
17. Вкажіть відмінність визначеного інтеграла від невизначеного.
18. За яким методом можна обчислити визначений інтеграл ?
19. За яким методом можна обчислити визначений інтеграл ?
20. За яким методом можна обчислити визначений інтеграл ?
21. За яким методом можна обчислити визначений інтеграл ?
22. За яким методом можна обчислити визначений інтеграл ?
23. Вказати інтеграл, який можна обчислити методом інтегрування частинами:
; ; .
24. Вказати інтеграл, який можна обчислити методом інтегрування частинами:
; ; .
Розділ.7. Диференціальні рівняння
Тема. Диференціальні рівняння першого порядку
Поняття диференціального рівняння першого порядку, його частинного і загального розв'язку. Задача Коші. Диференціальні рівняння з відокремлюваними змінними. Однорідне диференціальне рівняння та зведення його до рівняння з відокремлюваними змінними. Лінійне диференціальне рівняння та його інтегрування методом варіації сталої. Застосування диференціальних рівнянь першого порядку в економічному аналізі: неоплачена модель зростання, модель природного зростання випуску, зростання випуску в умовах конкуренції, динаміка ринкових цін.
Тема. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку
Поняття диференціального рівняння другого порядку та його частинного і загального розв'язків. Лінійне однорідне диференціальне рівняння другого порядку та властивості його розв'язків. Структура загального розв'язку лінійного однорідного диференціального рівняння другого порядку та його знаходження методом Ейлера у випадку рівняння зі сталими коефіцієнтами. Структура загального розв'язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку та його знаходження методом варіації сталих. Метод невизначених коефіцієнтів знаходження часткового розв'язку лінійного неоднорідного диференціального рівняння 2-го порядку зі сталими коефіцієнтами. Застосування диференціальних рівнянь 2-го порядку в економічному аналізі: модель ринку з прогнозованими цінами і т.п.
Подобные документы
Класифікація та типи чисельних методів розв’язування систем лінійних рівнянь і обернення звернення матриць точні, ітераційні та комбіновані. Їх порівняльна характеристика та умови використання в окремих випадках. Вектори та операції над ними, норми.
презентация [85,6 K], добавлен 06.02.2014Вивчення теорії наближених обчислень і чисельних методів лінійної алгебри. Опис прямих і ітераційних методів вирішення систем лінійних рівнянь, алгоритмізація і точність наближених обчислень функції. Чисельна інтеграція звичайних диференціальних рівнянь.
лекция [103,6 K], добавлен 06.02.2014Теорія обернених матриць та їх знаходження за формулою. Оберненні матриці на основі яких складається написання програми обчислення оберненої матриці до заданої. Побудова матриць та їх характеристика. Приклади проведення розрахунків при обчисленні матриць.
курсовая работа [96,8 K], добавлен 06.12.2008Історія створення теорії алгебраїчних рівнянь. Сутність системи лінійних алгебраїчних рівнянь в лінійній алгебрі. Повна характеристика методів розв'язання рівнянь: точні, ітераційні та ймовірнісні. Особливості теорем Гауса-Жордана та Габріеля Крамера.
реферат [543,7 K], добавлен 23.04.2015Сумісність лінійних алгебраїчних рівнянь. Найвищий порядок відмінних від нуля мінорів матриці. Детермінант квадратної матриці. Фундаментальна система розв’язків та загальний розв'язок системи лінійних однорідних рівнянь. Приклади розв’язання завдань.
курсовая работа [86,0 K], добавлен 15.09.2008Основні поняття чисельних методів розв’язання систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Алгоритм Гаусса зведення системи до східчастого виду послідовним застосуванням елементарних перетворень. Зворотній хід методу Жордана-Гаусса. Метод оберненої матриці.
курсовая работа [165,1 K], добавлен 18.06.2015Рішення основних систем лінійних рівнянь. Визначники другого та третього порядку. Властивості визначників, теорема розкладання. Теорема Крамера для систем рівнянь. Доцільність рішення задачі автоматизованим способом. Ймовірність допущення помилок.
курсовая работа [386,2 K], добавлен 18.12.2010Дослідження системи лінійних алгебраїчних рівнянь на стійкість. Одержання характеристичного многочлена методом Левур’є, в основу якого покладено обчислювання слідів степенів матриці А. Приклад перевірки на стійкість систему Аx=B за допомогою програми.
курсовая работа [33,0 K], добавлен 29.08.2010Огляд складання програми на мові програмування С++ для обчислення чотирьох лінійної системи рівнянь матричним методом. Обчислення алгебраїчних доповнень до елементів матриці. Аналіз ітераційних методів, заснованих на використанні повторюваного процесу.
практическая работа [422,7 K], добавлен 28.05.2012Системи лінійних алгебраїчних рівнянь, головні означення. Коротка характеристика головних особливостей матричного способу, методу Жордано-Гаусса. Формули Крамера, теорема Кронекера-Капеллі. Практичний приклад розв’язання однорідної системи рівнянь.
курсовая работа [690,9 K], добавлен 25.04.2013
