Вища математика

Основні поняття й означення.

Означення. Рівняння називається диференціальним відносно деякої функції, якщо воно містить хоча б одну похідну цієї функції.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в диференціальне рівняння.

Означення. Розв'язком (або інтегралом) диференціального рівняння називається будь-яка дійсна функція , визначена на деякому інтервалі (a; b), яка разом зі своїми похідними перетворює дане диференціальне рівняння у тотожність (при цьому похідні функції припускаються існуючими).

Диференціальні рівняння 1-го порядку.

У загальному випадку диференціальне рівняння першого порядку може бути записано у вигляді

.

Рівняння виду

(1)

Або

, (2)

а також рівняння, котрі за допомогою алгебраїчних перетворень приводяться до рівнянь (1) або (2), називаються рівняннями з відокремлюваними змінними.

Відокремлювання змінних в рівняннях (1), (2) виконується за таким способом. Припустимо, що , і розділимо обидві частини рівняння (1) на . Для рівняння (2) обидві його частини помножимо на dx і розділимо на . В результаті отримаємо рівняння з відокремленними змінними

, ,

котрі інтегруються за формулою

, .

Означення. Диференціальне рівняння

(3)

називається однорідним відносно змінних і , якщо задовільняє умові

.

Рівняння (3) за допомогою заміни зводиться до рівняння з відокремлюваними змінними відносно x і нової змінної u(x):

, .

Означення. Рівняння

, (4)

лінійне стосовно невідомої функції y та її похідної , називається лінійним диференціальним рівнянням першого порядку.

Такого типу рівняння може бути розв'язано методом варіації довільної сталої за таким способом. Замість сталої C в розв'язку однорідного рівняння введемо нову функцію , і в якості розв'язку неоднорідного ріняння (1) будемо розглядувати

, (5)

де будемо розшукувати невідому функцію .

Диференціювання (5) дає

. (6)

Підставляючи (5) і (6) в дане рівняння, одержимо

,

Тобто

.

Інтегруванням останнього результату знаходимо

.

Отже, загальний розв'язок рівняння (4) завжди може бути записаний у вигляді

, (7)

де C довільна стала.

Диференціальні рівняння 2-го порядку.

Лінійне диференціальне рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами має вигляд:

уґґ+р уґ+qy=0, (1)

де р і q - сталі дійсні числа.

Будемо шукати частинний розв'язок у вигляді y = e^kx, тоді

уґ= k e^kx , уґґ= k² e^kx

к² e^kx+рк e^kx+ q e^kx=0

e^kx(к²+ pk+ q)=0

k²+pk+ q=0 (2)

Рівняння (2) називається характеристичним. Розв'язавши його, знайдемо два частинні розв'язки рівняння (1):

.

Розглянемо 3 випадки:

Корні характеристичного рівняння дійсні, різні.

Тоді у₁ = e^k1x , у₂ = e^k2x і загальний розв'язок:

у=С₁ e^k1x + С₂ e^k2x, с_1, с₂ - довільні сталі.

Корені характеристичного рівняння дійсні і рівні, кратні. Якщо k є двократний корінь характеристичного рівняння, то йому відповідають два різних частинних розв'язки, а сааме

у₁ = e^kx , у₂ = хe^kx.\

Загальний розв'язок буде

у= e^kx(С₁+ С₂х), с_1, с₂ - довільні сталі.

Корені характеристичного рівняння комплексні:

к₁=б+ві; к₂= б-ві,

де .

Тоді частинні розв'язки:

у₁ = e^(б+ві)х, у₂ = e^(б-ві)х.

Користуючись показниковою формою комплексного числа і його похідними, можемо записати

у₁ = e ^бхcosвх, у₂ = e ^бхsіnвх.

Загальний розв'язок: у=e ^бх(с₁ cosвх+ с₂sіnвх), с_1, с₂ - довільні сталі.

Питання для самоконтролю

1. Яке рівняння називають диференціальним?

2. Що називається порядком диференціального рівняння?

3. Наведіть приклад диференціального рівняння 1-го порядку, яке містить функцію .

4. Наведіть приклад диференціального рівняння 1-го порядку, яке містить функцію .

5. Наведіть приклад диференціального рівняння 1-го порядку, яке містить функцію .

6. Сформулюйте задачу Коши для диференціального рівняння 1-го порядку.

7. Що називається загальним розв'язком диференціального рівняння 1-го порядку.

8. Що називається розв'язком диференціального рівняння?

9. Який вигляд має диференціальне рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними?

10. Який вигляд має лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку?

11. Який вигляд має однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку?

12. Метод розв'язання диференціального рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними.

13. Метод розв'язання лінійного диференціального рівняння 1-го порядку.

14. Метод розв'язання однорідного диференціального рівняння 1-го порядку.

15. Який вигляд має ЛОР 2-го порядку?

16. Який вигляд має загальний розв'язок ЛОР 2-го порядку?

17. Який вигляд має ЛНР 2-го порядку?

18. Який вигляд має загальний розв'язок ЛНР 2-го порядку?

19. Який вигляд має загальний розв'язок ЛОР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами у випадку додатного дискримінанта характеристичного рівняння.

20. Який вигляд має загальний розв'язок ЛОР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами у випадку нульового дискримінанта характеристичного рівняння.

21. Який вигляд має загальний розв'язок ЛОР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами у випадку від'ємного дискримінанта характеристичного рівняння.

22. Серед наведених диференціальних рівнянь вказати диференціальні рівняння 1-го порядку з відокремленими змінними: ; ; .

23. Серед наведених диференціальних рівнянь вказати лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку:

; ; .

24. Серед наведених диференціальних рівнянь вказати лінійне диференціальне рівняння 1-го порядку:

; ; .

25. Серед наведених диференціальних рівнянь вказати однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку:

; ; .

26. Серед наведених диференціальних рівнянь вказати однорідне диференціальне рівняння 1-го порядку:

; ; .

27. Метод розв'язаних ЛОР 2-го порядку з постійними коефіцієнтами.

28. До якого типу належить диференціальне рівняння ?

29. До якого типу належить диференціальне рівняння ?

30. До якого типу належить диференціальне рівняння ?

31. До якого типу належить диференціальне рівняння ?

32. До якого типу належить диференціальне рівняння ?

Розділ 8. Числові і функціональні ряди

Тема. Числові ряди та їх збіжність

Поняття числового ряду та його суми. Необхідна умова збіжності числового ряду. Еталонні ряди: ряд геометричної прогресії і гармонійний ряд. Ознаки порівняння і Даламбера збіжності числового ряду з додатними членами. Знакопочерговий ряд (ряд Лейбніца) та умови його збіжності. Абсолютна та умовна збіжність знакозмінного ряду.

Тема. Функціональні ряди

Поняття функціонального ряду та області його збіжності. Рівномірна збіжність функціонального ряду та ознака Вейєрштрасса. Поняття степеневого ряду. Теорема Абеля і радіус збіжності степеневого ряду. Ряди Тейлора і Маклорена.

Розвинення функцій у степеневі ряди. Формули Ейлера. Розвинення функцій у степеневі ряди. Застосування степеневих рядів. Поняття ряду Фур'є.

Нехай дана нескінченна послідовність чисел , , , . . .. Складений з цих чисел символ

,

називається числовим рядом, а числа , , , членами цього ряду.

Довільний член ряду називається загальним членом. Сам по собі символ реального сенсу не має, бо вимагає визначення самого поняття суми нескінченного ряду чисел.

Сума n перших членів ряду

називається n-ою частинною сумою ряду.

Розглянемо послідовність частинних сум ряду

;

;

;

Означення. Якщо існує границя послідовності часткових сум ряду, то ця границя називається сумою ряду, а ряд збіжним і пишуть

.

Якщо ж границя послідовності часткових сум ряду не існує, то ряд називається розбіжним.

n-м лишковим членом ряду називають різницю між сумою ряду та його n-ой частинною сумою, тобто

.

1. Якщо до ряду приписати або відкинути кілька перших членів, то характер збіжності ряду не зміниться.

2. Якщо кожний член ряду помножити на одне й те ж число, то характер збіжності ряду не зміниться.

3. Збіжні ряди

,

можна почленно додавати і віднімати, так що ряд

, (5)

збігатиметься, а його сума відповідно дорівнюватиме .

Необхідна ознака збіжності рядів.

Якщо ряд (6)

збігається, то границя його загального члена дорівнює нулю, тобто .

Наслідок. Якщо границя загального члена відрізняється від нуля або не існує, то ряд розбігається.

Достатні ознаки збіжності рядів з додатними членами

1. Ознака порівняння. Нехай дани два ряда з додатними членами

, (1)

. (2)

Якщо починаючи з деякого значення n має місто нерівність

, (3)

то 1. якщо ряд (2) збігається, то і ряд (1) збігається; 2. якщо ж ряд (1) розбігається, то і ряд (2) розбігається.

2. Ознака Д'аламбера.

Нехай дан ряд з додатними членами . Якщо існує скінчена границя відношення наступного члена ряду до попереднього, то

1. при ряд збігається;

2. при ряд розбігається;

3. при має місто сумнівний випадок.

3. Інтегральна ознака Коші. Якщо функція неперервна, додатна і не зростає на півінтервалі , то ряд збігається або розбігається одночасно з невластивим інтегралом .

Знакозмінні ряди

Оззначення. Ряд називається знакозмінним, якщо два будь-яких суміжних членів суть числа протилежних знаків.

Знакозмінний ряд, для якого , прийнято записувати так:

,

де додатні числа.

Теорема. (Ознака Лейбница). Якщо абсолютні величини членів знакозмінного ряду

утворюють убутну послідовність, тобто

, (1)

що має границею нуль, то ряд збігається.

Ряди з членами довільного знаку. Абсолютна та умовна збіжність

Теорема. Нехай дан ряд

. (3)

Якщо ряд збігається, то і даний ряд збігається. При цьому має місто нерівність

.

Означення. Степеневим називається ряд вигляду:

, (1)

де числа називають коефіцієнтами степеневого ряду.

Зокрема, при маємо степеневий ряд виду:

(2)

Означення. Множина усіх значень x, для яких степеневий ряд збігається, називається областю збіжності даного ряду.

Наприклад, геометрична прогресія є степеневим рядом, члени якого визначені на всій осі. Областю збіжності ряду є інтервал або . Для кожної точки x, для якої , сума ряду дорівнює . При цей ряд розбігається.

Теорема. Для кожного степеневого ряду (2) існує таке число , що ряд (2) абсолютно збігається в інтервалі < і розбігається при > .

Що стосується значень і , то тут можуть бути різні випадки.

Означення. Вказане число називається радіусом збіжності ряду (2).

Інтервал < або є інтервалом збіжності; точка називається центром збіжності степеневого ряду (2).

Через те, що ряд (1) за допомогою підстановки зводиться до ряду (2), все, що було сказано про ряд (2), відноситься до ряду (1). Різниця лише в тому, що центром збіжності ряду (1) буде не , а .

Дійсно, ряд абсолютно збігається в інтервалі < , тому ряд (1) абсолютно збігається в інтервалі , або , або .

В багатьох випадках радіус збіжності степеневого ряду (1) або (2) може бути визначений за допомогою ознаки Д'аламбера.

Питання для самоперевірки

1. Що називається числовим рядом?

2. Що називається степеневим рядом?

3. Що називається функціональним рядом?

4. Який числовий ряд називається збіжним?

5. Який числовий ряд називається розбіжним?

6. Що називається сумою числового ряду?

7. Який числовий ряд називається знакододатним?

8. Який числовий ряд називається знакозмінним?

9. Який числовий ряд називається знакопочережним?

10. Що називається загальним членом числового ряду?

11. Що можна сказати про збіжність числового ряду , якщо .

12. Що можна сказати про збіжність числового ряду , якщо .?

13. Що можна стверджувати про загальний член збіжного ряду?

14. Вкажіть назви ознак, за якими можна досліджувати на збіжність знакододатні числові ряди.

15. Ознака Даламбера.

16. Ознака Коши (радикальна).

17. Інтегральна ознака Коши.

18. Порівняльна ознака.

19. Для дослідження якого типу числових рядів використовують ознаку Даламбера.

20. Для дослідження якого типу числових рядів використовують теорему Лейбніца.

21. Теорема Лейбніца.

22. Чи може бути розбіжним знакозмінний числовий ряд, якщо відповідний ряд, складений з модулів, є збіжним?

23. Чи може бути збіжним знакозмінний числовий ряд, якщо відповідний ряд, складений з модулів, є розбіжним? (Відповідь поясніть)

24. У якому випадку знакозмінний числовий ряд є абсолютно збіжним?

25. У якому випадку знакозмінний числовий ряд є умовно збіжним?

26. Як досліджувати на збіжність знакопочережний числовий ряд, у якого ряд, складений з модулів, є розбіжним?

27. Формула для обчислення радіуса збіжності степеневого ряду.

28. Що називається областю збіжності степеневого ряду?

29. Вкажіть множину із запропонованих, яка не може бути областю збіжності жодного степеневого ряду .

Рекомендована література

Основна література

1. Барковський В.В., Барковська Н.В. Математика для економістів. Вища математика. - К.: Національна академія управління, 1999 р. - 399 с.

2. Валєєв К.Г., Джалладова І.А. Вища математика: Навч. посібник: У 2-х ч. - Ч.1. - К.: КНЕУ, 2001. - 546 с.

3. Васильченко І.П. Вища математика для економістів. - Видавництво "Знання", 2007 - 456c.

Додаткова література

1. Бобик О.І., Гладунський В.Н., Засадна Х.О. Математика для економістів: Вища математика. Навч. посібник у 3-х ч. - Ч.1. - Львів: Вид-во УБС НБУ, 2007. - Ч.2. - Львів: Вид-во УБС НБУ, 2008.

2. Бугір М.К. Математика для економістів. Навч. посібник.- К.: Альма Матер, 2003.

3. Бондарев Б.В., Шурко И.Л. Финансовая математика. Учебное пособие. - Донецк: Кассіопея, 1998.

4. Бакаев Л.О. Кількісні методи в управлінні інвестиціями: Навч. Посібник. - к,: КНЕУ, 2000.

5. Башарин Г.П. Начала финансовой математики. М.: ИНФРОА - М, 1997

6. Вітлінський В.В. Моделювання економіки: Навч. посібник. - К.: КНЕУ, 2003.

7. Гладунський В.Н. Вища математика й елементи логіки: означення, формули, приклади. Навч. посібник. - Львів: Афіша, 2005.

8. Григулецький В.Г., Ященко З.В. Высшая математика для экономистов. - Фенікс, 2004.

9. Єлейко Я.І., Кандибко О.М., Лапішко М.Л., Смовженко Т.С. Основи фінансового аналізу. - Львів: ЛБІ НБУ, 2000.

10. Замков О.О., Толстопятенко А.В., Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике: Учебник; МГУ им. М.В.Ломоносова. - 4-е изд., стереотип. - М.: Изд-во «Дело и сервис», 2004.

11. Кленко В.Ю., Голець В.Л. Вища математика в прикладах і задачах. Видання друге перероблене і доповнене. Навчальний посібник. - К.: УНЛ, 2006.

12. Кремер Н.Ш. и др. Высшая математика для экономистов -- М.: Банки и биржи, ЮНИТИ, 1997.

13. Козицький В.А., Лавренюк С.П., Оліскевич М.О. Основи математичної економіки. Теорія споживання: Навч. посібник. - Львів: Видавництво «Піраміда». 2004.

14. Красс М.С., Чупрынов Б.П. Основы математики и ее приложения в экономическом образовании: Учеб. - 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2001. - 688с.

15. Козицький В.А., Лавренюк С.П., Оліскевич М.О. Основи математичної економіки. Теорія фірми: Навч. посібник. - Львів: Видавництво «Піраміда». 2004.

16. Ляшенко И.Н., Ляшенко Е.И. Математика для экономистов. Уч. пособие для подготовки бакалавров экономического профиля. - Донецк, 1998.

17. Солодовников А.С., Бабайцев В.А., Браилов А.В. Математика в экономике: Учебник: В 2-х ч. Ч.1. - М.: Финансы и статистика, 2001. - 224 с.

18. Тевяшев А.Д., Литвин О.Г. Вища математика. Загальний курс: Збірник задач та вправ. - Х.: Рубікон, 1999. - 320 с.

19. Тріщ Б.М. Основи вищої математики. - Львів: Вид. центр ЛНУ ім. Ів. Франка, 2006.

20. Четыркин Е.М. Финансовая математика: Учебник. - 5-е изд., испр. - М.: Дело 2005.

Размещено на Allbest.ru