Алгебраїчні многовиди та поля алгебраїчних функцій над псевдоскінченними полями

Размещено на http://www.allbest.ru/

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

імені ТАРАСА ШЕВЧЕНКА

АНДРІЙЧУК Василь Іванович

УДК 513.6

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня

доктора фізико-математичних наук

АЛГЕБРАЇЧНІ МНОГОВИДИ ТА ПОЛЯ АЛГЕБРАЇЧНИХ ФУНКЦІЙ НАД ПСЕВДОСКІНЧЕННИМИ ПОЛЯМИ

01.01.06.- алгебра і теорія чисел

КИЇВ - 2002

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана у Львівському національному університеті імені Івана Франка.

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук,

професор Дрозд Юрій Анатолійович,

Київський національний університет

імені Тараса Шевченка,

професор кафедри алгебри і математичної логіки;

доктор фізико-математичних наук,

Новіков Борис Володимирович,

Харківський національний університет

імені В.Н.Каразіна,

старший науковий співробітник;

доктор фізико-математичних наук,

професор Янчевський В'ячеслав Іванович,

Інститут математики НАН Білорусії,

завідувач відділу алгебри.

Провідна установа: Ужгородський державний університет, кафедра алгебри.

Захист відбудеться 14 червня 2002 року о 14 годині на засіданні

спеціалізованої вченої ради Д 26001.18 при Київському національному

університеті імені Тараса Шевченка за адресою: 01017, м.Київ,

проспект акад.Глушкова, 6, Київський національний університет ім. Т.Шевченка, механіко-математичний факультет.

З дисертацією можна ознайомитись в бібліотеці Київського національного

університету імені Тараса Шевченка (вул. Володимирська, 58).

Автореферат розіслано 7 травня 2002 року.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради В.В.Плахотник

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми: Об'єкт дослiдження даної роботи - арифметичнi властивостi алгебраїчних многовидiв над псевдоскiнченними полями.

Поле k називають псевдоскiнченним, якщо воно має такi властивостi:

1) k - досконале;

2) k має єдине розширення степеня n для кожного натурального числа n;

3) k - псевдоалгебраїчно замкнене, тобто кожний непорожнiй абсолютно незвiдний многовид, визначений над полем k, має k - рацiональну точку.

Зазначимо, що якщо поле k має лише властивостi 1) i 2), то його називають квазiскiнченним.

Псевдоскiнченнi поля були введенi Дж.Аксом у 1968 роцi. Дж.Акс зауважив, що з гiпотези Рiмана для кривих над скiнченними полями випливає, що неголовнi ультрадобутки скiнченних полiв є псевдоалгебраїчно замкненими полями i, використовуючи це, показав, що теорiя скiнченних полiв є рекурсивно розв'язною. Крiм ультрадобуткiв у якостi прикладiв псевдоскiнченних полiв можна назвати нескiнченнi алгебраїчнi розширення скiнченних полiв, якi мають скiнченний p-примарний степiнь для кожного простого числа p. М.Жарден показав, що коли поле k є скiнченно породженим розширенням поля рацiональних чисел Q, то для майже всiх (вiдносно мiри Хаара) у Gal(/k) пiдполе kу, що складається з iнварiантних вiдносно у елементiв алгебраїчного замикання поля k, є псевдоскiнченним. Тому псевдоскiнченнi поля є корисними i при вивченнi класичних полiв. Першим термiн “псевдоалгебраїчно замкнене поле” ввiв Г.Фрей у роботi, присвяченiй вивченню псевдоалгебраїчно замкнених полiв з нормуваннями.

Одним з перших застосувань псевдоскiнченних полiв та ультрадобуткiв локальних полiв було доведення“з точнiстю до скiнченного числа простих чисел” вiдомої гiпотези Артiна: для кожного натурального числа d>0 iснує скiнченний набiр А (залежний вiд d) простих чисел, такий, що для кожного простого числа p A в полi p-адичних чисел Qp кожна форма степеня d вiд n>d2 змiнних має нетривiальний нуль.

Глибокi зв'язки теорiї псевдоалгебраїчно замкнених (i, зокрема, псевдоскiнченних полiв) з теорiєю чисел обумовленi теоремою щiльностi Чеботарьова.

Наприклад, ймовiрнiсть того, що задане елементарне висловлення Ф вiрне в полi Qу (полi iнварiантних вiдносно автоморфiзму у Gal(/Q) елементiв алгебраїчного поля Q) дорiвнює щiльностi Дiрiхле множини простих чисел, для яких висловлення Ф вiрне в полях Fp.

У дисертацiї розглядаються алгебраїчнi многовиди, визначенi над псевдоскiнченними полями. Оскiльки псевдоскiнченнi поля - це нескiнченнi моделi скiнченних полiв, то багато властивостей алгебраїчних многовидiв над псевдоскiченними полями аналогiчнi вiдповiдним властивостям многовидiв над скiнченними полями. Напрямок нашого дослiдження многовидiв над псевдоскiнченними полями суттєво використовує методи i результати теорiї полiв класiв. Iсторично першими i найпростiшими алгебраїчними многовидами є алгебраїчнi кривi. Поле функцiй К на незвiднiй алгебраїчнiй кривiй, визначенiй над скiнченним полем k, є полем алгебраїчних функцiй вiд однiєї змiнної з полем констант k. Це поле має багато спiльних властивостей з полем алгебраїчних чисел. Вже давно цi два типи полiв вивчають разом i називають глобальними полями. Одною з вершин теорiї глобальних полiв є теорiя полiв класiв цих полiв, яка дає описання всiх скiнченних розширень Галуа глобального поля з абельовою групою Галуа. Основи цiєї теорiї були закладенi Кронекером, Вебером i Гiльбертом ще в кiнцi XIX ст. Фундаментальний крок у побудовi теорiї полiв класiв числового поля належить Е.Артiну, який зрозумiв важливiсть явної побудови канонiчного iзоморфiзму вiдносної групи класiв дивiзорiв на групу Галуа вiдповiдного абельового розширення. Вiн показав, що цей iзоморфiзм одержується за допомогою вiдповiдностей мiж класами простих дивiзорiв i так званими автоморфiзмами Фробенiуса розширення L/К числового поля К вiдносно дивiзорiв v. В даний час згаданий iзоморфiзм визначають за допомогою символу Артiна, означення якого мiститься в роздiлi I основного тексту дисертацiї. У щойно згаданiй роботi Артiн довiв закон взаємностi, використавши iдеї Чеботарьова, якi дозволили одержати посилення теореми Фробенiуса.

Посилення Чеботарьова теореми Фробенiуса тепер називають теоремою щiльностi Чеботарьова. Вiдомо, що не лише числовi поля мають властивiсть, сформульовану в теоремi Фробенiуса чи теоремi щiльностi Чеботарьова.

У роздiлi I дисертацiйної роботи доведено, що для полiв алгебраїчних функцiй з псевдоскiнченними полями констант вiрнi певнi аналоги теореми щiльностi Фробенiуса та теореми щiльностi Чеботарьова.

Г.Гассе у другiй половинi 20-их рокiв XX ст. та на початку 30-их рокiв дав означення символу норменного лишку для локального поля, виявив його зв'язки з символом Гiльберта, та з теорiєю алгебр над числовими i локальними полями. Для числового поля Г.Гассе довiв теорему, яку тепер називають теоремою Гассе про норми, i яка узагальнюється, як показано в роздiлi I цiєї дисертацiйної роботи, i на випадок полiв функцiй з псевдоскiнченними полями констант.

Починаючи з 50-их рокiв 20 столiття, теорія полів класів локальних та глобальних полів збагатилася в результатi проникнення в неї методiв теорiї когомологiй груп завдяки роботам Хохшiльда, Накаями, Тейта та iнших математикiв. Стало зрозумiлим, що локальна i глобальна теорiї описуються за допомогою декiлькох простих аксiом так званої формацiї класiв.

Видiлення аксiом формацiї класiв вiдразу ж стимулювало пошук полiв, для яких цi аксiоми виконуються. Спочатку було помiчено, що значна частина локальної теорiї полiв класiв може бути побудована для так званих загальних локальних полiв, тобто повних дискретно-нормованих полiв з квазiскiнченними полями лишкiв. Нагадаємо, що поле k називають квазiскiнченним, якщо воно досконале i його абсолютна група Галуа iзоморфна проскiнченному поповненню групи цiлих чисел. Основними прикладами квазiскiнченних полiв є скiнченнi поля i поля формальних степеневих рядiв k((t)), де k - алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль. Розглядаючи квазiскiнченне поле, мають на увазi, що задана фiксована твiрна його абсолютної групи Галуа, як частина структури такого поля.

А.Н.Паршин означив поняття n-вимiрного локального поля, по вiдношеню до якого звичайнi локальнi поля є одновимiрними: n-вимiрне локальне поле F - це послiдовнiсть полiв F0,F1,..., Fn = F , для якої кожне поле Fi є повним дискретно нормованим полем з полем лишкiв Fi-1 для i>1, а поле F0 - скiнченне. Виявилось, що n-вимiрнi локальнi поля є дуже зручними для постановки багатьох важливих задач багатовимiрної алгебраїчної геометрiї. Крiм цього А.Н. Паршин показав, що для n-вимiрних локальних полiв можна побудувати точний аналог локальної теорiї полiв класiв, який дає повне описання абельових розширень. Це описання дається в термiнах вищих К-груп Мiлнора. А саме, на n-iй К-групi Мiлнора Kn(F) n-вимiрного локального поля F природнiм чином вводиться топологiя; цю топологiзовану групу позначають Kntop(F). Пiсля цього будується iн'єктивний гомоморфiзм Kntop(F) Gal(Fab/F) взаємностi з групи Kntop(F) в групу Галуа максимального абельового розширення поля F зi щiльним образом. Це узагальнює звичайну локальну теорiю полiв класiв в такому сенсi: для скiнченного поля F, яке можна вважати 0-вимiрним локальним полем, згаданий гомоморфiзм - це просто вкладення K0(F)=Z Ћ; а для 1-вимiрного локального поля за звичайною локальною теорiєю полiв класiв гомоморфiзм K1(F) = F* Gal(Fab/F) iн'єктивний i має щiльний образ.

Варто зауважити, що поле лишкiв повного n-вимiрного локального поля, якщо його розглядати як одновимiрне дискретно нормоване поле з полем лишкiв Fn-1 , є недосконалим у випадку n>1, char(Fn-1)>0. Тому локальна теорiя полiв класiв n-вимiрних локальних полiв дає описання абельових розширень дискретно нормованaних полiв з недосконалими полями лишкiв.

Незалежно вiд А.Н.Паршина, n-вимiрна локальна теорiя полiв класiв була побудована K.Kaто, який дав детальне когомологiчне описання цiєї теорiї. К.Като розглядає групи когомологiй Hn(F)=lim Hn(F,µn(m-1)), де µn-група всiх коренiв n-ого степеня з одиницi в сепарабельному замиканнi поля F. Група H1(F) для довiльного поля F iзоморфна групi всiх неперервних гомоморфiзмiв з групи Gal(Fab/F) у Q/Z, а група H2(F) iзоморфна групi Брауера поля F. Iндукцiєю за розмiрнiстю n поля F доводиться, що Hn+1(F) Q/Z, а тодi з канонiчного добутку H1(F) Kn(F) H1(F) Hn(F) Hn+1(F) Q/Z одержується гомоморфiзм Kn(F) Gal(Fab/F), який збiгається з гомоморфiзмом взаємностi Паршина з точнiстю до проекцiї Kn(F) Ktopn(F). Додамо, що ми описали тут конструкцiю Като лише у випадку char F=0. Якщо char F>0, то означення груп Hn(F) дещо громiздкiше.

Перейдемо тепер до питань, зв'язаних з узагальненнями класичної глобальної теорiї полiв класiв. Ми вже згадували, що першим узагальненням локальної теорiї було її узагальнення на загальнi локальнi поля з квазiскiнченними полями лишкiв. Тому природньо розглянути поле алгебраїчних функцiй К вiд однiєї змiнної з квазiскiнченним полем констант k, i це було зроблено Д. Рiмом i Г. Уепзлом у 1966 роцi. Вони знайшли критерiй можливостi такого узагальнення: воно можливе тодi i лише тодi, коли якобiан J кривої, яка є моделлю поля К, має лише тривiальнi головнi однорiднi простори над k, iнакше кажучи, коли одновимiрна група когомологiй H1(k,J) тривiальна. Виявилось також, що, на вiдмiну вiд випадку локальних полiв з квазiскiнченними полями лишкiв, глобальну теорiю полiв класiв для поля функцiй К з квазiскiнченним полем констант можна побудувати не завжди. Наприклад, якщо k0 -алгебраїчно замкнене поле характеристики нуль, а k - квазiскiнченне поле формальних степеневих рядiв k0((t)), то iснують такі елiптичнi кривi Е над k, що H1(k,E) 0.

Важливу роль в теорiях класичних глобальних полів, багатовимiрних глобальних полiв та в теорiї алгебраїчних груп вiдiграє, так званий, принцип Гассе. Для глобального поля К принцип Гассе означає, що коли елемент а поля К є локальною нормою в усiх поповненнях поля К, то цей елемент є нормою в самому полi К. Виконання локально-глобального норменного принципу для циклiчних розширень числового поля було доведене Гассе у 1930 роцi. Тейт вiдкрив критерiй виконання принципу Гассе для розширень Галуа глобальних полiв. У роздiлi II цiєї дисертацiї критерiй Тейта перенесений на випадок розширень Галуа полiв функцiй над псевдоскiнченними полями констант i на випадок алгебраїчних торiв над такими полями.

Когомологiї Галуа та принцип Гассе для скiнченних комутативних груп над глобальними полями описуються теоремами Тейта-Пуату. Аналоги цих теорем для випадку псевдоглобального поля розглянуті у третьому роздiлi дисертацiї.

Другий роздiл цiєї дисертацiї присв'ячений, в основному, вивченню принципу Гассе дляалгебраїчних торiв та скiнченних модулiв, визначених над псевдоглобальними полями. Алгебраїчнi тори поряд з напiвпростими лiнiйними алгебраїчними групами складають один з двох дуже важливих класiв алгебраїчних груп. Численнi задачi загальної теорiї алгебраїчних груп над глобальними полями зводяться до теорiї алгебраїчних торiв. Значний внесок в теорiю алгебраїчних торiв над глобальними полями зробив В.Е.Воскресенський. Воскресенський, зокрема, вiдкрив коротку точну послiдовнiсть, яка зв'язує групу Шафаревича-Тейта та групу-перешкоду до властивостi слабої апроксимацiї в торах. У другому роздiлi дисертацiї ми показуємо, що згадана точна послiдовнiсть зберiгається i для випадку алгебраїчних торiв, визначених над псевдоглобальними полями.М.Кнезер довiв, що для напiвпростих однозв'язних лiнiйних алгебраїчних груп, визначених над числовим полем, перешкода до властивостi слабої апроксимацiї є тривiальною i, що дослiдження слабої апроксимацiї в напiвпростих групах зводиться до питань когомологiй Галуа скiнченних модулiв. Це стало однiєю з мотивацiй дослiдження когомологiй Галуа скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями у другому роздiлi дисертацiї. Крiм цього, результати про скiнченнi модулi є корисними i для вивчення груп Шафаревича-Тейта абельових многовидiв.Вивчення когомологiй Галуа скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями проводиться за допомогою методики, яку застосував Ж.-К. Дуе для дослiдження скiнченних модулiв над полями функцiй, полями констант яких є поля формальних степеневих рядiв k=k0((t)) з алгебраїчно замкненим полем k0 характеристики 0. Ж.-К. Дуе розглянув поле функцiй К на проективнiй, незвiднiй, неособливiй кривiй, визначенiй над k , з k- рацiональною точкою i довiв теорему двоїстостi в етальних когомологiях Hi(X,F) i H3-i(X,), де двоїстий пучок, для локально сталих, конструктивних пучкiв F Z/nZ - модулiв. Звiдси, в якостi наслiдку, вiн одержав, що групи Тейта-Шафаревича Ш1(M) i Ш2() для скiнченного Gal(/K)-модуля М є скiнченними i двоїстими одна однiй. Крiм цього, вiн одержав для випадку M=q аналог точної послiдовностi Тейта-Пуату i показав зв'язок одержаних ним результатiв з проблемами стабiльної редукцiї елiптичних кривих.

Аналог теореми двоїстостi в етальних когомологiях для скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями доводиться у третьому роздiлi цiєї дисертацiї. Що стосується двоїстостi груп Ш1(M) i Ш2() для скінченних модулiв над псевдоглобальними полями, то вона доводиться у другому роздiлi за допомогою технiки, розробленої А.В.Яковлєвим, для розв'язання так званої задачi занурення.

У роботi Ж.-К.Дуе розглянув n-вимiрне локальне поле k i криву Х над k , яка задовольняє деяким умовам хорошої редукцiї, i довiв, що групи етальних когомологiй Hn+2(X, q) i H1(X, q) двоїстi одна однiй (тут q -пучок коренiв q-го степеня з 1). Звiдси вiн знову вивiв двоїстiсть груп Шn+2(X, q) i Ш1(X,Z/nZ) i аналог точної послiдовностi Тейта-Пуату. У третьому роздiлi дисертацiї показано, що аналогiчнi результати вiрнi i для випадку n-вимiрного псевдолокального поля, тобто такого поля, у вищезгаданому означеннi якого поле F0 є псевдоскiнченним.

У 1975-1978 роках В.П. Платонов у серiї робiт показав, що у багатьох випадках пiдгрупа SL1(A) елементiв з приведеною нормою 1 в мультиплiкативнiй групi A* центральної простої алгебри А не збiгається з комутантом [A*,A*]. Фактор-групу цiєї пiдгрупи за комутантом називають приведеною групою Уайтхеда i позначають SK1(A).

З 1943 року до 1975 року iснувала гiпотеза Таннаки-Артiна про те, що ця група тривiальна завжди, аж поки не з'явились вищезгаданi результати Платонова. Все ж, видiлення класу полiв, для яких ця група тривiальна, є цiкавою задачею. SK1(D)=0 для тiл над локальними та глобальними полями. Це доведено У. Мацусiмою i Т. Накаямою для тiл над локальними p-адичними полями та С.Вангом для тiл над глобальними полями. В.П.Платонов i В.I.Янчевський у роботi довели, що група SK1(D) тривiальна

для скiнченновимiрних тiл D над повними дискретно нормованими полями з досконалими полями лишків когомологiчної розмiрностi 1.

У першому розділі дисертації показано, використовуючи один результат В.І.Янчевського, що приведена група Уайтхеда тривіальна для тіл над псевдоглобальними полями.

У першому та третьому роздiлах дисертацiї вивчаються групи Брауера алгебраїчних многовидiв, визначених над псевдоскiнченними полями.

Групи Брауера чисто трансцендентних розширень глобальних полiв обчисленi у серiї робiт Б. Фейна, М.Шахера i Дж. Сонна. Метод обчислення грунтується на теорiї полiв класiв глобального поля та на теоремi Ауслендера-Брюмера-Фаддєєва, доведенiй Д.К.Фаддєєвим у 1951 роцi i узагальненiй М. Ауслендером i А.Брюмером у 1968 роцi, яка стверджує, що група Брауера поля рацiональних функцiй K(t) є прямою сумою групи Брауера поля К i груп характерiв скiнчених розширень поля К. Виявилося, що група Брауера поля рацiональних функцiй з глобальним полем констант не залежить вiд степеня трансцендентностi цього поля.

У роботах автора i Л.Л.Стахiв показано, що методи Фейна i Шахера можна використати i для описання групи Брауера поля рацiональних функцiй з псевдоглобальним полем констант. Деякi результати з цiєї тематики, що належать автору, наведенi у першому роздiлi дисертацiї.

У роботi Дж. Тейта була вивчена група Брауера алгебраїчної поверхнi Х, визначеної над скiнченним полем. Зокрема, тут було доведено, що з точнiстю до p-компоненти, на групi Брауера поверхнi Х iснує канонiчний кососиметричний добуток, ядро якого складається з подiльних елементiв. Звiдси випливає, що коли група Брауера поверхнi скiнченна, то вона самодвоїста, а її порядок є квадратом або подвоєним квадратом. У третьому роздiлi дисертацiї доведено, що цi факти вiрнi i для поверхонь, визначених над псевдоглобальним полем.

Елiптичнi кривi над псевдолокальними полями вивчаються у четвертому роздiлi дисертацiї.

Дж. Тейт означив у 1957 роцi добуток мiж групою головних однорiдних просторiв абельового многовиду, визначеного над локальним полем, i групою рацiональних над цим полем точок двоїстого многовиду i показав, що цей добуток двобiчно невироджений за модулем компоненти, вiдповiдної характеристицi основного поля. Аналогiчнi результати незалежно одержав I.Р.Шафаревич у 1959 роцi для елiптичних кривих, визначених над локальним полем.

О.М. Введенський обчислив у явному виглядi добуток Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над локальним полем для циклiчних розширень простого степеня основного поля. Використовуючи це явне обчислення, вiн довiв двобiчну невиродженiсть добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над локальним полем, а для елiптичних кривих з мультиплiкативною редукцiєю i над загальним локальним полем. Важливiсть цiєї роботи О.М.Введенського полягає, по-перше, у тому, що розробленi тут методи вiдкрили можливiсть для доведення невиродженостi добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих, визначених над ширшими класaми полiв, i, по-друге, у тому, що явне обчислення цього добутку важливе i саме по собi. У згаданій роботі О.М.Введенський показав, що клас загальних локальних полiв занадто широкий для збереження невиродженoстi злiва добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих, i поставив питання про видiлення пiдкласу загальних локальних полiв для якого цей добуток невироджений злiва. Автором було доведено, що таким пiдкласом є клас загальних локальних полiв з псевдоскiнченними полеми лишкiв.

Слiд пiдкреслити, що добуток Тейта-Шафаревича в абельових многовидах над локальними полями можна трактувати як певний аналог локальної теорiї полiв класiв, у якому група головних однорiдних просторiв грає роль групи Галуа максимального абельового розширення. Маючи невиродженiсть цього добутку, ми одержуємо, що група головних однорiдних просторiв абельового многовиду iзоморфна групi характерiв групи точок двоїстого многовиду, тобто тут обчислюється група головних однорiдних просторiв, як у теорiї полiв класiв обчислюється група Галуа максимального абельового розширення.

У вищезгаданій роботi О.М.Введенського аналог теорiї полiв класiв для елiптичних кривих над локальними полями виглядає так: двоїстiсть Тейта-Шафаревича, яка явно обчислює групу характерiв групи головних однорiдних просторiв; взаємодiя фiльтрацiй об'єктiв, якi беруть у нiй участь, та двоїстiсть у скiнченних когомологiях Галуа елiптичної кривої. Що стосується до взаємодiї фiльтрацiй, то О.М. Введенський висловив припущення, що результати схожi на тi, якi вiн одержав для елiптичних кривих над локальними полями, повиннi бути вiрними для абельових многовидiв довiльної розмiрностi. Це припущення було пiдтверджене у 1990 роцi у роботi В. Макколума, який у свою чергу висловив припущення, що згадану взаємодiю можна узагальнити на випадок довiльних алгебраїчних груп.

На вiдмiну вiд випадку локального поля, неясно як довести невиродженiсть злiва добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над псевдолокальними полями, використовуючи вiдому двобiчну невиродженiсть добутку Тейта в когомологiях Галуа скiнченних модулiв над загальними локальними полями. Ми можемо цим методом лише довести (див. третій та четвертий роздiли дисертацiї), що добуток Тейта-Шафаревича для довiльного абельового многовиду А над загальним локальним полем К iндукує iзоморфiзм групи i пiдгрупи n-скруту H1(K,A)n для довiльного натурального n, взаємно простого з характеристикою поля К.

Всi чотири роздiли дисертацiї зв'язанi мiж собою по-перше тим, що їх тематику можна вiднести до теорiї полiв класiв або до одного з аналогiв цiєї теорiї, і по-друге тим, що у всiх роздiлах ми розглядаємо поля, в структуру яких входять псевдоскiнченні поля та многовиди над такими полями.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертаційноїроботи пов'язана з тематикою досліджень кафедри алгебри і топологіїЛьвівського національного університету імені Івана Франка " Алгебро-топологічніконструкції та їх застосування" (номер державної реєстрації 0195V009660

Мета i зaдaчi роботи. Метою роботи є дослiдження полiв алгебраїчних функцiй вiд однiєї змiнної з псевдоскiнченними полями констант (псевдоглобальних полiв), a caмe:

доведення основних теорем теорiї полiв класiв для таких полiв, встановлення властивостей груп розкладу нормувань псевдоглобальних полiв, доведення аналогу теореми щiльностi Чеботарьова для псевдоглобальних полiв;

вивчення властивостей алгебраїчних торiв над псевдоглобальними полями, зокрема, доведення критерiю виконання норменного принципу Гассе, вивчення групи Тейта-Шафаревича алгебраїчних торiв та групи вiдхилення вiд властивостей слабої апроксимацiї, дослiдження R-еквiвалентностi на алгебраїчних торах, визначених над псевдоглобальними полями;

oбчиcлення когомологiй Галуа скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями, доведення двоїстостi одновимiрної та двовимiрної груп Тейта-Шафаревича скiнченних модулiв, доведення двоїстостi в етальних когомологiях Галуа скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями та n-вимiрними псевдолокальними полями;

доведення невиродженостi злiва добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над псевдолокальнимм полями з полями лишкiв характеристики 2 i 3

Наукова новизна. В дисертацiйнiй роботi автором отриманi новi теоретичнi результати, зокрема:

1) доведено, що класи iделiв S-розширень псевдоглобального поля утворюють формацiю класiв, одержано наслідки з цього факту;

2) вивчено властивостi нормувань псевдоглобального поля, доведено аналог теореми щiльностi Чеботарьова для таких полiв;

3) дослiджено властивостi групи Брауера псевдоглобального поля, обчислено когомологiї Галуа його мультиплiкативної групи;

4) доведено циклiчнiсть скiнченовимiрних тiл над псевдоглобальними полями, тривiальнiсть їх приведених груп Уайтхеда i рiвнiсть iндексу та експоненти;

5) на основi теорем Тейта-Накаями для алгебраїчних торiв над псевдоглобальними полями обчислені групи Тейта-Шафаревича алгебраїчних торiв у термiнах тривимiрних когомологiй групи цiлих чисел;

6) доведено, що для алгебраїчних торiв над псевдоглобальними полями iснує аналог точної послiдовності В.Є.Воскресенського в глобальному випадку, яка зв'язує групу Тейта-Шафаревича та групу-перешкоду слабої апроксимацiї;

7) oтримано деякi властивостi R-еквiвалентностi в алгебраїчних торах над псевдоглобальними полями;

8) дослiджено властивостi когомологiй Галуа скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями, доведено двоїстiсть одновимiрної та двовимiрної груп Тейта-Шафаревича для скiнченних модулiв;

9) доведено теореми двоїстостi для етальних когомологiй скiнченних модулiв над псевдоглобальними полями та алгебраїчних кривихнад n-вимiрними псевдолокальними полями;

10) oтримано властивостi групи Брауера алгебраїчної поверхнi, визначеної над псевдоскiнченим полем;

11) доведено невиродженiсть злiва добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над псевдолокальними полями лишкiв з полями лишкiв характеристики 2 i 3.

Всi цi результати отримано вперше.

Теоретична та практична цiннiсть дисертацiї. Робота має теоретичний характер. Результати i методи можуть бути використанi в теорiї полiв, алгебраїчнiй геометрiї, теорiї Галуа та теорiї моделей.

Апробацiя результатiв дисертацiї. Результати дисертацiйної роботи у рiзний час доповiдалися:

на 9 Всесоюзному симпозiумi з теорiї груп (м. Москва, 1984 р.),

на 6 Всесоюзному симпозiумi з теорiї кiлець (м. Львiв, 1990 р.),

на Мiжнароднiй конференцiї з алгебри (м. Барнаул, 1991 р.),

на Мiжнароднiй алебраїчнiй конференцiї (м. Казань, 1994 р.),

на розширеному алгебраїчному семiнарi Київського унiверситету, присвяченому 80-рiччю Л.А.Калужнiна (м. Київ, 1994 р.),

на 5 Мiжнароднiй конференцiї iм. ак. М.Кравчука (м. Київ, 1996 р.),

на 4 Мiжнароднiй конференцiї "Групи i груповi кiльця" (м. Львiв, 1996 р.),

на Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї "Алгебраїчна геометрiя, комутативна алгебра i комп'ютерна алгебра" (м. Констанца, Румунiя, 1996 р.),

на Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пaм'ятi Д.К.Фаддєєва (С.Петербург, 1997 р.),

на Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй пам'ятi проф. Л.М.Глускiна (м. Слов'янськ, 1997 р.),

на Мiжнароднiй конференцiї, присв'яченiй 70-рiччю з дня народження акад. Я.С.Пiдстригача (м. Львiв, 1998 р.),

на 2 Мiжнароднiй науковiй конференцiї, присвяченiй пам'ятi проф. Л.А. Калужнiна (м. Вiнниця, 1999 р.),

на II Всеукраїнській науковій конференції "Нелінійні проблеми аналізу" (м. Івано-Франківськ, 2000 р.),

на Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї (м. Суми, 2001 р.)

на Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї (м. Ужгород, 2001 р.)

Крiм того, результати дисертацiйної роботи неодноразово доповiдалися на алгебраїчних семiнарах Львiвського нацiонального унiверситету iм. Iвана Франка та Київського унiверситету iм. Тараса Шевченка, на алгебраїчних семiнарах вiддiлу алгебри Iнституту прикладних проблем математики i механiки НАН України, і доповідалися на алгебраїчному семiнарi вiддiлу алгебри Iнституту математики Академiї наук Бiлорусiї та на алгебраїчному семiнарi Інституту математикиВаршавського університету.

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiковано в 26 наукових роботах, - це публiкацiї [1]-[25] зi списку робiт, наведеногo в кiнцi автореферату. З них 22 надрукoвaнi у видaннях з пeрeлiку,зaтвeрджeнoгo ВAK України, у тoму чиcлi 3 cтaттi у cпiвaвтoрcтвi [8, 10, 24].

Особистий внесок автора. Усi результати, якi виносяться на захист отриманi автором самостiйно. У трьох роботах, написаних зi спiвавтором, на захист виносяться лише результати, отриманi автором. У роботі [8] автору належить доведення теореми А, лем 1-4 та теореми 2. Доведення теорем 1 i 3 належить Л.Л.Стахiв . У текст дисертацiї цi теореми включенi для повноти викладу. У роботi [10] спiвавтору Л.Л.Стахiв належить доведення леми 2 та теореми 2, якi у текст дисертацiї не включенi.У роботі [24] спiвавтору Л.Л.Стахiв належить доведення тверджень 1 і 3, які включені у текст дисертації для повноти викладу.

Структура та об'єм дисертацiї. Робота починається зi вступу, який мiстить iсторiю дослiдження та пояснення взаємозв'язкiв результатiв дисертацiї з дослiдженнями iнших математикiв, iнформацiю про публiкацiї, особистий внесок здобувача та апробацiю роботи. Змiстовна частина дисертацiї складається з чотирьох роздiлiв: "Теорiя полiв класiв псевдоглобального поля", "Алгебраїчнi тори та скiнченнi модулi над псевдоглобальними полями", "Когомологiї алгебраїчних многовидiв над квазіскiнченними та псевдоскінченними полями", та "Елiптичнi кривi над псевдолокальними полями",кожний з яких складається з 5 параграфiв.

Загальний обсяг дисертацiйної роботи складає 323 сторiнки. Обсяг роботи без висновкiв та списку лiтератури - 229 сторiнок. Список лiтератури складається з 283 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Ми називаємо поле алгебраїчних функцiй вiд однiєї змiнної з псевдоскiнченним полем констант псевдоглобальним, а повне дискретно нормоване поле з псевдоскiнченним полем лишкiв псевдолокальним.

Перший роздiл дисертацiї присвячений, в основному, питанням, зв'язаним з побудовою теорiї полiв класiв псевдоглобального поля. У перших двох параграфах першого розділу вивчаються властивостi груп розкладу нормувань псевдоглобального поля K у скiнченних розширеннях Галуа L/K.

Аналiз властивостей нормувань псевдоглобального поля та використання результатiв М.Фрiда дозволяє довести наступну теорему, яку можна назвати аналогом теореми щiльностi Чеботарьова для псевдоглобальних полiв, i яка є одним з основних результатiв першого роздiлу дисертацiї.

Теорема 1.2.1 Нехай L/K - скiнченне розширення Галуа псевдоглобального поля К, gGal(L/K) - довiльний елемент групи Галуа розширення L/K. Тодi iснує нескiнченна множина нормувань поля К, нерозгалужених у полi L, групи розкладу яких є циклiчними з твiрною g.

У третьому параграфi першого роздiлу розглядається поняття S-псевдоскiнченного поля. Якщо S-пiдмножина простих чисел, то поле k називають S-псевдоскiнченним, якщо воно алгебраїчно замкнене, досконале i його абсолютна група Галуа iзоморфна групi pSZp. Нехай N[S]={ n N | n=p1k1, …, pmkm, p1, … , pmS}. Розширення l/k поля k назвемо S - розширенням , якщо [l:k] N[S]}. Максимальним S-розширенням поля k назвемо композит усiх скiнченних S-розширень, що мiстяться у фiксованому алгебраїчному замиканнi поля k.

Нехай k -- повне дискретно нормоване поле з S-псевдоскiнченим полем лишкiв, k[S] - максимальне сепарабельне S-розширення у заданому сепарабельному замиканнi поля k, G=Gal(k[S] /k) -- його група Галуа, F={ l|k l k[S] [l:k]<}, Gl=Gal(k[S]/l) для l F. Через Br l позначимо групу Брауера поля l. Для групи А нехай A(S)={ a A | n N[S], an=id} .

Теорема 1.3.1 Для l F iснують iзоморфiзми invl(S): (Brl)(S) (Q/Z)(S), такi що {G,{Gl|l F}, k[S]*}, invl(S)} є формацiєю класiв.

Означення Скажемо, що закон взаємностi виконується для S- розширень над полем k, якщо для кожного поля К алгебраїчних функцiй з полем констант k, гомоморфiзм норменного лишку iндукує iзоморфiзм L/K: CK/NL/KCL Gal(L/K) для всiх скiнченних абельових S-розширень L/K. Тут CK (вiдп. CL ) група класiв iделiв поля К (вiдп. L).

До основних результатiв перших двох роздiлів вiдносяться наступнi двi теореми

Теорема 1.3.2 Закон взаємностi виконується для S-розширень над S-псевдоскiнченним полем k.

Теорема 2.1.2 Класи iделiв псевдоглобального поля утворюють формацiю класiв.

З мiркувань, наведених у доведеннi теореми 1.3.2 випливає важливий наслiдок, який у стислiй формi описує значну частину результатiв теорiї полiв класiв псевдоглобального поля.

Наслiдок 1.3.3 Нехай V - множина всiх нормувань псевдоглобального поля К, тривiальних на полi констант, Kv - поповнення поля К вiдносно нормування vV. Iснує точна послiдовнiсть 0 Br KvVBr Kv invK Q/ Z 0,(1)

де Br K (вiдп. Br Kv) -- група Брауера поля К (вiдп. Kv).

Для скінченного розширення L/K з групoю Галуа G, ядро гоморфізму K*/NL/KL*?H0(G,L*)> H0 (G,JLvVk Kv*/NLv/Kv}Lv*, називають перешкодою до виконання принципу Гассе.

Твердження 1.4.12 Нехай L/K -- скінченне розширення Галуа, G=Gal(L/K). Тоді перешкода до виконання принципу Гассе для L/K ізоморфна ядру гомоморфізму H3(G,Z) > ПvVK H3(Gv, Z), де Gv - одна з груп розкладу Gw нормування w поля L, яке продовжує нормування v.

Цей результат допускає узагальнення для норменних торів, визначених над псевдоглобальним полем K (теорема 2.1.9). У четвертому параграфi першого роздiлу вивчається група Брауера псевдоглобального поля. Це вивчення базується на розглядi точної послiдовностi (1) i є просто розшифруванням фактiв, якi ця точна послiдовнiсть у стислiй формi вiдображає.

Виявляється, що клас псевдоглобальних полiв -- єдиний природнiй клас функцiональних полiв з квазiскiнченними полями констант, для якого можна побудувати глобальну теорiю полiв класiв. Це випливає з твердження 1.4.10, в якому сформульовано декiлька еквiвалентних мiж собою умов, при виконаннi яких побудова теорiї полiв класiв можлива. Наведемо деякі з цих умов: це виконання норменного принципу Гассе для циклiчних розширень; тривiальнiсть групи головних однорiдних просторiв якобiану кривої Х, що є моделлю поля К; тривiальнiсть групи Брауера кривої Х; є й iншi умови.

Таким чином, для псевдоглобальних полiв можна побудувати досить повний аналог теорiї полiв класiв. Прикрим недолiком цiєї теорiї є вiдсутнiсть зручного описання норменних пiдгруп групи класiв iделiв; ми не можемо сформулювати "теорему iснування" у такiй простiй для використання формi, як це зроблено у класичному випадку.

Нагадаємо, що скiнченновимiрна, проста, центральна К-алгебра А називається циклiчною, якщо iснує строго максимальне пiдполе L алгебри А, яке є циклiчним розширенням поля К.

Теорема 1.4.16 Кожна скiнченновимiрна, центральна, проста алгебра А над псевдоглобальним полем К - циклiчна, i iндекс Шура алгебри А дорiвнює експонентi алгебри А.

Теорема 1.4.16 є одним з основних результатiв першого роздiлу дисертацiї. Для її доведення використовується один результат Салтмана про iснування абельових роширень полiв з нормуваннями, який вiдiграє у її доведеннi таку саму роль, як теорема Грюнвальда-Ванга у доведеннi циклiчностi простих алгебр над глобальними полями. Крiм того, суттєве значення у доведеннi має та обставина, що для псевдоглобальних полiв виконується закон взаємностi.

Майже безпосередньо з означення псевдоглобального поля та результатiв С.Ленга про Ci-поля випливає, що псевдоглобальне поле К є C2-полем, тобто кожна форма степеня d вiд n>d2 змiнних зображає нуль в полi К. Зокрема, звiдси випливає, що кожна квадратична форма вiд 5 i бiльше змiнних з коефiцiєнтами iз псевдоглобального поля К зображає нуль у полi К (наслiдок 1.4.19), а також бiльш загальний факт про те, що гомоморфiзм редукованої норми Nred: A > K сюр'єктивний. Використовуючи результати В.I.Янчевського про редуковані норми, звiдси легко одержується, що SK1(A)=0 для алгебр над псевдоглобальними полями (твердження 1.4.20).

У п'ятому параграфі першого роздiлу розглядається питання про групу Брауера поля рацiональних функцiй над псевдоглобальним полем. Основними результатами цього параграфу є твердження 1.5.16 та теореми 1.5.2 та 1.5.21.

Твердження 1.5.16 Нехай L - скiнченне сепарабельне розширення поля K(t1,…,tn), де К - псевдоглобальне поле, алгебраїчно замкнене у полi L i n -- степiнь трансцендентності розширення L/K. Тодi для кожного натурального числа i для кожного простого числа p ? charK - iнварiанти Ульма p-компонент груп Брауера полiв L i K збiгаються.

Описання групи Брауера поля раціональних функцій над псевдо глобальним полем констант суттєво використовує наступний результат, який має самостiйне значення.

Теорема 1.5.2 Нехай К -- псевдоглобальне поле, VK - множина всiх нормувань поля К (тривiальних на полi констант). Припустимо, що S - скiнченна пiдмножина множини VK i n - натуральне число, взаємно просте з характеристикою поля K. Тодi iснує лише скiнченна кiлькiсть абельових розширень L/K показника n, нерозгалужених у всiх нормуваннях множини VK\S.

Теорему 1.5.2 можна трактувати як послаблений варiант (бо йдеться про абельовi розширення ) класичної теореми Ермiта.

У наступній теоремі розглядаються поля раціональних функцій над псевдоглобальним полем K, поле констант k якого має тип (F): поле k є псевдоскінченним полем Fs(у), де Fs - сепарабельне замикання скінченнопородженого над простим підполем поля F, а Fs(у) - поле інваріантних елементів деякого автоморфізму уGal(Fs/F).

Теорема 1.5.21 Нехай Kn - чисто трансцедентне розширення псевдоглобального поля K степеня трансцедентності n. Припустимо, що поле констант поля K має тип (F). Тоді група Брауера поля Kn не залежить від n, тобто Br(Kn) ?Br(Km) для всіх m ? 1, n ? 1.

У другому роздiлi роботи розглядаються алгебраїчнi тори та скiнченнi модулi над псевдоглобальними полями. Використовуючи той факт, що глобальна теорiя полiв класiв узагальнюється на випадок псевдоглобальних полiв ми показуємо, що теореми, доведенi Дж.Тейтом для торiв над глобальними полями, вiрнi i для торiв над псевдоглобальними полями. Крiм цього, доведено, що iснує точна послiдовнiсть (вiдкрита В.Воскресенським у випадку глобального поля), яка зв'язує групу Тейта-Шафаревича тора, визначеного над псевдоглобальним полем, з перешкодою до властивостi слабої апроксимацiї цього тора. На випадок псевдоглобального поля перенесенi також деякi результати про R-еквiвалентнiсть на алгебраїчному торi над глобальним полем.

Вiдомо, що спiвставлення розкладному над розширенням Галуа L/K тору Т його Gal(L/K) - модуля характерiв Ќ є контраварiантною еквiвалентнiстю категорiй, при якiй пiдкатегорiї торiв, розкладних над L/K, вiдповiдає категорiя скiнченно породжених Gal(L/K)-модулiв без кручень. Завдяки цьому алгебраїчний тор можна задавати, вказавши вiдповiдний йому модуль характерiв.

Справедлива наступна теорема (вiдома як теорема Тейта-Накаями у випадку торiв над глобальним полем).

Теорема 2.1.3 в) Нехай К-псевдоглобальне поле, Т - тор, визначений над К i розкладний над скiнченним розширенням Галуа L/K, CL(T)=Hom (Ќ,CL) - група класiв iделiв тора Т над полем L. Тодi для всiх цiлих n iснують iзоморфiзми Hn(L/K,CL(T))? H2-n(L/K, Ќ).

Сформулюємо деякi наслiдки з теореми Тейта-Накаями для торiв над псевдоглобальними полями, тобто, по сутi, наслiдки з аналогу глобальної теорiї полiв класiв для псевдоглобальних полiв.

Теорема 2.1.4 Нехай Т - алгебраїчний тор, визначений над полем К i розкладний над його скiнченним розширення Галуа L/K. Тодi

1) групи Hn(L/K,T(L)) скiнченнi, якщо К - загальне локальне поле;

2) групи Шn(L/K,T) = Ker(Hn(L/K,T)>П VKHn(L/K,T)) скiнченнi, якщо К - псевдоглобальне поле.

Наслiдок 2.1.5 Група Шафаревича-Тейта Ш(T)=Ker(H1(K,T) > ПVK H1(K,T)) скiнченна для тора Т, визначеного над псевдоглобальним полем К.

Теорема 2.1.8 Iснують iзоморфiзми Шn(L/K,T) ? Ker(H3-n(L/K, Ќ)> П V H3-n( L/K,Ќ)).

Доведення теорем 2.1.3, 2.1.4 та 2.1.8 проводиться за тою ж схемою, що i в класичному випадку, але з використанням того факту, що для псев доглобальних полiв вiрнi аналоги глобальної теорiї полiв класiв та теореми Тейта-Накаями для псевдоглобального поля К.

Одним з основних результатiв другого роздiлу є наступна теорема, у якій A(T) означає групу - перешкоду до властивості слабої апроксимації, а Pic VL(T) - модуль з канонічної послідовності Воскресенськoго для тора T.

Теорема 2.1.11 Для торiв Т над псевдоглобальним полем К iснує точна послiдовнiсть 0> A(T)> (H1(G,Pic VL(T)))*> Ш(T)> 0, де (H1(G,Pic VL(T)))* = Hom(H1(G,Pic VL(T)), Q/ Z).

У випадку глобальних полiв точнiсть цiєї послiдовностi була доведена В.Є.Воскресенським. Зауважимо, що H1(G,Pic VL(T)) є бiрацiональним iнварiантом i H1(G,Pic VL(T)) = 0 для рацiональних торiв.

Кажуть, що для алгебраїчного тора Т виконується принцип Гассе, якщо група Шафаревича-Тейта Ш(Т) є тривiальною. Принцип Гассе для торiв є узагальненням добре вiдомого класичного принципу Гассе для розширень глобальних полiв: виконання класичного принципу Гассе для розширення L/K глобального поля екiвалентне виконанню принципу Гассе для норменного тора RL/K1(Gm), вiдповiдного розширенню L/K.

Дослiдження принципу Гассе для скiнченних алгебраїчних розширень полiв алгебраїчних чисел, проведене у роботах В.П.Платонова, Ю.А.Дракохруста i А.С. Рапiнчука, грунтується на теорiї полiв класiв та введеному у цих роботах поняттi першої перешкоди для виконання принципу Гассе: так називають групу NL/K(JL) K*/(NM/K(JM) K*)NL/K(L*), де K L M - башта розширень, M/K - розширення Галуа. Повною перешкодою для виконання принципу Гассе для розширення L/K називають групу NL/K(JL) K*/NL/K(L*).

Використовуючи методи вищезгаданих робiт, у другому роздiлі дисертацiї доведено, що принцип Гассе виконується для розширень простого степеня псевдоглобального поля. Крiм цього показано, що для псевдоглобального поля К вiрнi наступнi теореми 2.2.2 i 2.2.4, доведенi Ю.А.Дракохрустом i В.П. Платоновим для числових полiв.

Теорема 2.2.2 Нехай K L M - башта розширень псевдоглобального поля К, причому M/K - розширення Галуа, G i H - групи Галуа розширень M/K i M/L вiдповiдно, Gv - група розкладу нормування v поля К у полi L, Hiv=H xivGv(xiv)-1 (i=1, … ,rv), xiv - представники всіх рiзних подвiйних сумiжних класів у розкладi групи G за пiдгрупами G_v i H. Тодi iснує комутативна дiаграма

H/[H,H] 1 G/[G,G]

2 4

v(i=1r_vHiv/[Hiv,Hiv]) 3 v Gv/[Gv,Gv],

у якiй 1,2,4 - гомоморфiзми, iндукованi вкладеннями, 3(hiv/[Hiv,Hiv]=Пi=1rv(xiv)-1 hixiv[Gv, Gv], i перша перешкода до виконання принципу Гассе iзоморфна фактор-групi Ker1/2(Ker3).

Теорема 2.2.4 Нехай у позначеннях попередньої теореми 2.2.2, 3nr - обмеження гомоморфiзму 3 на пiдгрупу v'(i=1r_v'Hiv'/[Hiv',Hiv']),де v' пробiгає всi нормування поля К, нерозгалуженi у полi М. Тодi 2(Ker3nr)=ФG(H)/[H,H], де ФG(H)={[h,x]|h H xHx-1,x G}.

Наслiдок 2.2.8 Якщо степiнь розширення L/K не дiлиться на квадрат простого числа, то перша перешкода до принципу Гассе збiгається з повною.

Когомологiї Галуа алгебраїчних торiв над глобальними та псевдоглобальними полями тiсно пов¦язанi з когомологiями Галуа скiнченних модулiв. Застосовуючи теорiю полiв класiв псевдоглобального поля та аналог теореми щiльностi Чеботарьова, у третьому та четвертому параграфах другого роздiлу дисертацiї показано, що результати про когомологiї Галуа скiнченних модулiв, одержанi для випадку глобального поля А.Борелем, Ж.-П. Серром i Дж. Тейтом допускають узагальнення на випадок скiнченних модулiв над псевдоглобальним полем.Нехай VK - множина всiх нормувань псевдоглобального поля К, KS - максимальне пiдполе поля Ksep, що розгалужене тiльки у нормуваннях пiдмножини S VK. Для розширення Галуа L/K з групою Галуа G через Hi(L/K,M) позначимо когомологiї Галуа G-модуля М, Hi(K,M)=Hi (Ksep/K,M). Для пiдмножини S VK розглянемо такi групи (i=1,2).ШSi (L/K,M)=Ker(Hi (L/K,M)>ПvSHi (L_w/K_v,M)),

ШSi (M)=Ker(Hi (K,M)> ПvSHi (Kv,M)),

ЧS1(M)=Coker(H1(K,M)>ПvSH1(kv,M)),

Ш1(M)=lim ШS1(M), Ч1(M)=lim ЧS1(M), Ш1(M)=Ш1(M) .

Вважаємо, що порядок модуля М взаємно простий з характеристикою поля К.

Теорема 2.4.1 Нехай М - скiнченний модуль над псевдоглобальним полем К, (|M|,charK)=1, MD=Hom(M,Ksep*) - двоїстий модуль, SVK - скiнченна множина нормувань поля К.

Група Ч S1(MD) iзоморфна групi, двоїстiй з Ш S1(M)/Ш1(M).

Скiнченні групи Ч1 (MD) i Ш1(M)/Ш1(M) двоїстi одна однiй.

Iснує точна послiдовнiсть скiнченних груп

0 Ч1(M^D) Ш1(M) Ш1(M) 0, де A =Hom(A, Q/Z).

4) Ч1(M)=ЧS01(M), де S0 - скiнченна пiдмножина нормувань поля К, що складається з розгалужених нормувань з нециклiчними групами розкладу в скiнченному розширеннi Галуа, над яким модуль MD стає постiйним.

5) Якщо S складається з нормувань, що мають циклiчнi групи розкладу в скiнченому розширеннi Галуа, над яким модуль MD стає постiйним, то ЧS1(M)=0.

У п'ятому параграфі другого роздiлу дисертацiї доведено один з основних результатiв цього роздiлу - теорему 2.5.2 про двоїстiсть груп Ш1(M) та Ш2(MD) для скiнчених модулiв М над псевдоглобальним полем К. У випадку глобального поля К ця двоїстiсть була доведена Дж.Тейтом. Для доведення згаданої двоїстостi над псевдоглобальним полем використовуються методика, застосована А.В.Яковлєвим, для дослiдження проблеми занурення числових полiв та М.I.Башмаковим для доведення згаданої двоїстостi надглобальним полем, а також теорема Тейта-Накаями (теорема 2.1.3) для алгебраїчних торiв над псевдоглобальними полями.

Теорема 2.5.2 Нехай К - псевдоглобальне поле, М - скiнченний Gal(Ksep/K)-модуль, порядок якого взаємно простий з характеристикою поля К. Iснує невироджений добуток Ш1(M) Ш2(MD) Q/Z, тому скiнченнi групи Ш1(M) та Ш2(MD) є групами характерiв одна одної.

Третiй роздiл дисертацiї присвячений вивченню когомологiй алгебраїчних многовидiв над псевдоскiнченними, псевдоглобальними та багатовимiрними загальними локальними полями. У § 1 третього роздiлу наведенi деякi результати про когомологiї Галуа алгебраїчних груп. Доведено, що тейтiвськi когомологiї Галуа комутативних алгебраїчних груп над псевдоскінченним полем є нульовими. Якщо : A B - iзогенiя абельових многовидiв, визначених над псевдоскiнченним полем k, то група B(k)/ A(k) скiнченна i її порядок збiгається з порядком групи (Ker,) A(k). Звiдси, зокрема, випливає, що |A(k)n|=|A(k)/nA(k)|, де (n,char k) =1. Для поля К алгебраїчних функцiй вiд n змiнних з квазiскiнченним або загальним локальним полем констант та абельового многовиду А, визначеного над полем К, доведено скiнченiсть групи A(k)/mA(k), (m,charK)=1 та скiнченнiсть груп Hi(Gal(K1/K),A(K1)), i>1 для всiх скiнченних розширень Галуа K1/K. Крiм цього, якщо S - скiнченна множина нормувань поля К, яка мiстить всi нормування, в яких абельовий многовид А має вироджену редукцiю, то пiдгрупа m-кручення групи ШS1(A)=Ker(H1(K,A) ПvSH1(Kv,A)) є скiнченною групою.

У § 2 роздiлу 3 доведений один з основних результатiв цього роздiлу теорема про двоїстiсть в етальних когомологiях кривих над псевдоскiнченним полем.

Теорема 3.2.1. Нехай Х - проективна, гладка, незвiдна крива над псевдоскiнченним полем k, Cal F - локально сталий, конструктивний пучок

Z/nZ - модулiв, Cal F= HomZ/nZ(Cal F, Z/nZ). Тодi:

а) групи етальних когомологiй Hr(X,Cal F) кривої Х з коефiцiєнтами в пучку Cal F скiнченнi для 0 r 3 i тривiальнi для r>3;

б) iснує природний невироджений добуток Hr(X, Cal F)H3-r(X,Cal F) Z/nZ, отже, групи Hr(X,Cal F) та H3-r(X, Cal F) двоїстi одна однiй.

§ 3 роздiлу III присвячений доведенню загальної теореми двоїстостi, яка теж є одним з основних результатiв цього роздiлу i дисертацiї в цiлому, i застосуванням цiєї двоїстостi до вивчення груп Брауера алгебраїчних поверхонь над квазiскiнченним полем.

Теорема 3.3.1. Нехай многовид Х розмiрностi d, визначений над квазiскiнченним полем k, n - пучок коренiв n-го степеня з одиницi, (n,char,k) =1. Тодi групи етальних когомологiй Hr(X,n) скiнченнi для всiх rN i iснує природний невироджений добуток Hr(X,n) H2d+1-r(X,n) Z/nZ, що визначає двоїстiсть скiнченних груп Hr(X,n) та H2d+1-r(X,n), 0 r 2d+1. Групи Hr(X,n) є нульовими, якщо r>2d+1.

Зазначимо, що для доведення цiєї теореми використовується метод Дж.Тейта, наведений у роботi для доведення аналогiчного результату для випадку поверхонь (d=2), визначених над скiнченним полем. Для алгебраїчноїповерхні, визначеної над скiнченним полем k, Дж.Тейт побудував у згаданій роботi добуток на компонентi (Br X)(не-р) групи Брауера

поверхнi Х, що складається з елементiв цiєї групи, порядки яких взаємно простi з характеристикою p поля k. Аналiз побудови Тейта показує, що як i у випадку поверхонь над скiнченним полем, вiрна наступна теорема.

Теорема 3.3.4. Нехай Х - поверхня над квазiскiнченним полем. Тодi iснує кососиметричний добуток (BrX)(не-р) (Br,X)(не-р) Q/Z, ядро якого складається з подiльних елементiв.

У §4 третього роздiлу дисертацiї розглядаються n-вимiрні загальні локальні поля. Ми називаємо поле K n-вимірним загальним локальним полем, якщо iснує послiдовнiсть полiв k0,k1,…,kn=K, що має такi двi властивостi:

1) k0 - квазіскiнченне поле;

2) для кожного i=1, … ,n, ki - повне дискретно нормоване поле з полем лишкiв ki-1.

Якщо поле k0 є скінченним (псевдоскінченним), то назвемо поле K n - вимірним

локальним (псевдолокальним) полем. Для n - вимірних локальних полів у роботах А.Н.Паршина, С.В.Востокова, І.Б.Фесенка, К.Като та інших математиків була побудована n-вимірна локальна теорія полів класів. У 1991 році І.Б.Беккер почав розвивати узагальнення цієї теорії у випадку n - вимірних загальних локальних полів ненульової характеристики.

Виявляється, що частина результатів n-вимірної локальної теорії полів класів залишається вірною і для n - вимірних загальних локальних полів довільної характеристики.

А саме, як і у класичному випадку, для n - вимірних загальних локальних полів

можна означити гомоморфізм Ф : Kn(K) Gal(Kab/K), де Kn(K) - n-а група Мілнора, а Gal(Kab/K) - група Галуа максимального абельового розширення поля K так, що вірна наступна теорема.

Теорема 3.4.3 Нехай K - n - вимірне загальне локальне поле. Припустимо, що char k0 = 0. Тоді для кожного скінченного абельового розширення L/K існує канонічний гомоморфізм норми N_{L/K} : Kn(L) Kn(K) такий, що ФK індукує ізоморфізм Kn(K)/NL/KKn(L) Gal(L/K).

Крім цього, існує ін'єктивний гомоморфізм ФK : BrK Hom(Kn-1(K), Q/Z) (твердження 3.4.4), який у випадку n=2 індукує ізоморфізм (BrK)m Hom(K*, 1/m Z/Z) (теорема 3.4.5), причому для W BrK ядро гомоморфізму ФK(W) Hom(K*, Q/Z) збігається з образом редукованої норми Nrd(W/K) K* (теорема 3.4.7).

Останній параграф третього розділу присвячений дослідженню кривих, визначених над n - вимірними псевдолокальними полями.

Нехай k0 - псевдоскінченне поле, p - просте число, p?chark0. Припустимо, що p k0, де p - група всiх коренiв p-го степеня з одиницi. Нехай Х - проективна, неособлива, абсолютно незвiдна крива над n-вимiрним псевдолокальним полем k, Hi(X,p) - етальнi когомологiї кривої Х. У цих позначеннях вiрнi наступнi теореми, якi поширюють на випадок n-вимiрних псевдолокальних полiв результати, одержанi Ж.-К. Дуеля випадку кривих, визначених над n-вимірними локальними полями.