Алгебраїчні многовиди та поля алгебраїчних функцій над псевдоскінченними полями

Теорема 3.5.1. Припустимо, що 0 n 3. Тодi групи Hn+2(X,p) i H1(X,p) скiнченнi i iснує невироджений добуток Hn+2(X,p) H1(X,p) p.

Позначимо через К поле функцiй на кривiй Х, i для скiнченного Gal(Ksep/K)-модуля М позначимо через Шi(M)=Ker(Hi(K,M) ПvVKHi(Kv,M)), де VK - множина всiх нормувань поля К, тривiальних на полi k.

Теорема 3.5.12. В умовах попередньої теореми групи Шn+2(p) та Ш1( Z/pZ) скiнченнi i існує невироджений добуток Шn+2(p)Ш1(Z/pZ) Z/pZ, який визначає двоїстiсть цих груп.

У випадку n=0, тобто у випадку поля функцій K на кривій X, визначенiй над псевдоскінченним полем k, для поля K існує аналог точної послідовності Тейта-Пуату. Для глобальних полів точні послідовності такого типу були відкриті Тейтом.

Теорема 3.5.14. Нехай К - псевдоглобальне поле, p - просте число, (p,charK)=1. Припустимо, що p K. Тоді iснує точна послiдовнiсть 0 Z/pZ v X0(p)v \widehat{(BrK)p} H1(K,p) П'vX0H1(Kv,p) \widehat{H1(K,p)} (BrK)p

ПvX0Br(Kv)p p 0, де ПvX0H1(Kv,p) - підгрупа добутку П'vX0H1(Kv,p), що складається з таких наборів (xv), для яких xv H1nr(Kv,p) для майже всіх v X0, X0 - мнoжинa вciх замкених тoчoк кривoї X з полем функцій K.

Основним результатом четвертого роздiлу дисертацiї є явне обчислення добутку Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих, визначених над псевдолокальними полями, характеристика поля лишкiв яких дорiвнює 2 або 3 i доведення його невиродженоcтi злiва у всiх випадках, за виключенням елiптичних кривих з адитивною редукцією, визначених над псевдолокальними полями з характеристикою 2 поля лишкiв. Випадок характеристики 3 розiбраний у § 1 четвертого роздiлу, а у § 2 розглядаються елiптичнi кривi над локальними та псевдолокальним полями з характеристикою 2 поля лишкiв. Пiдсумком обчислень перших двох параграфiв четвертого роздiлу є наступна теорема 4.2.2.

Теорема 4.2.2 Добуток Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над псевдолокальним полем k невироджений злiва, якщо характеристика поля лишкiв поля k не дорiвнює 2 i, якщо характеристика поля лишкiв дорiвнює 2, а елiптична крива має один з типiв (a), (b) за Нероном.

У § 3 четвертого роздiлу показано, що для елiптичної кривої А, визначеної над псевдолокальним полем k, і яка задовольняє умовам теореми 4.2.2, зберiгають свою силу звичайнi наслiдки двоїстостi Тейта-Шафаревича в елiптичних кривих над локальним полями.

§5 четвертого роздiлу присвячений доведенню теореми про те, що як для елiптичних кривих, так i для абельових многовидiв довiльної розмiрностi з невиродженою редукцiєю, визначених над загальним локальним полем, добуток Тейта-Шафаревича iндукує двоїстiсть скiнченних груп A(k)/nA(k) i H1(k,A)n.

ВИСНОВКИ

У дисертацiї побудована теорія полів класiв для полів алгебраїчних функцій від однієї змінної з псевдоскінченним полем констант. Доведено, що для таких полів вiрний aналoг теореми щiльностi Чеботарьова. Це дає потужний iнструмент для вивчення групи Брауера псевдоглобального поля тагруп Брауера полів раціональних функцій над псевдоглобальними полями.

Побудована теорія полів класiв використовується до вивчення скінченновимірних центральних простих алгебр над псевдоглобальним полем. Доведенo, що вони є циклічними, причому для них індекс збігається з експонентою.

У дисертацiї обчислені когомології Галуа алгебраїчних торів та скінченних модулів над псевдоглобальними полями. Встановлено, що основні когомологічні властивості цих об'єктів залишаються в силі при переході від глобального до псевдоглобального поля визначення. Одержані результати про групу Тейта-Шафаревича алгебраїчного тора над псевдоглобальним полем. Цi результати застосовуються до дослідження принципу Гассе для не обов'язково нормальних розширень псевдоглобального поля. Встановленi властивостi алгебраїчних торів над псевдоглобальними полями дозволяють довести двоїстiсть ядер гомоморфiзмiв локалiзацiї в когомологіях Галуа скінченних модулів над псевдоглобальними полями.

Доведені у дисертацiї теореми двоїстості в етальних когомологіях кривих та алгебраїчних многовидів над квазіскінченними та псевдоскінченними полями вiдкривaють шлях до побудови теорiї полів класiвдля цих многовидів. У дисертацiї розглядaються застосування цих результатів до вивчення груп Брауера алгебраїчних поверхонь над квазіскінченними та псевдоскінченними полями .

У деяких випадках одержано аналоги результатів К.Като з теорії полів класів n-вимірних локальних полів та результатів Ж.-К. Дуе про алгебраїчні криві над n-вимірними локальними полями.

Зoкремa, для алгебраїчнoї кривoї X над n-вимірним псевдолокальним полeм (n 3) доведена двоїстість в етальних когомологіях H1(X,p) та Hn+2(X,p), дe p - пучoк кoрeнiв p-гo степеня з 1, p не дiлить характериcтику oстанньoго поля лишкiв. Встановленo icнування точнoї поcлiдoвнocтi Тейта - Пуaту для когомологій скінченних модулів над псевдоглобальними полями.

Доведена невиродженість зліва добутку Тейта - Шафаревича в еліптичних кривих над псевдолокальними полями з характериcтикою 2 абo 3 поля лишкiв.

РОБОТИ АВТОРА ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1.Андрійчук В.І. Когомології групи класів іделів і узагальнених якобіанів. // Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат. 1985. 24. C.69-73.

2.Андрійчук В.І. Деякі питання, зв'язані з добутком Тейта-Шафаревича в еліптичних кривих над псевдолокальними полями. // Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат. 1985. 24. C. 74-78.

3.Андрійчук В.І. Про добуток Тейта-Шафаревича в еліптичних кривих над псевдолокальними полями характеристики 3. // Укр. Мат. Журн. T.44. №9. 1992. C.1157-1165.

4.Андрійчук В.І. Псевдоскінченні поля і закон взаємності .//Матем. студії. 1993. Вип.2. С.14-20.

5.Андрійчук В.І. Про еліптичні криві над локальними та псевдолокальними полями з полями лишків характеристики 2.//Алгебра і топологія: Тематичний збірник наук. праць. К.:ІСДО. 1993. С. 3-13.

6.Андрійчук В.І. Алгебраїчні тори над псевдоглобальними полями. // Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат. 1994. 40. С. 34-36.

7.Андрійчук В.І. Про когомології Галуа алгебраїчних торів над псевдоглобальними полями.//Алгебра і топологія: Тематичний збірник наук. праць. Львів. 1996. С. 3-8.

8. Andriychuk V., Stakhiv L. On the Brauer groups of rational function fields over pseudoglobal fields. // Матем. студiї. 1997. Т.8. №2. С.129-135.

9.Андрійчук В.І. Когомології Галуа скінченних модулів над псевдоглобальними полями.// Вісник державного університету "Львівська політехніка". Прикладна математика. №337. 1998. C.5-7.

10.Андрійчук В.І., Стахів Л.Л. Про групи Брауера еліптичних кривих.// Вісник Київського університету. Серія : фіз.- мат. науки. 1999. №2. C.10-13.

11.Андрійчук В.І. Двоїстість в етальних когомогіях кривих над псевдоскінченним полем.// Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат. 1999. C.10-13.

12. Andriychuk V. On the algebraic tori over some function fields . // Матем. студiї. 1999. Т.12. №2. С.115-126.

13.Андрійчук В.І. Алгебраїчні групи над квазіскінченними полями. // Вісник державного університету "Львівська політехніка". Прикладна математика. №411. 2000. C.3-6.

14.Андрійчук В.І. Когомології алгебраїчних многовидів над квазіскінченними та псевдоскінченними полями. // Мат. Методи і фіз.-мех. поля. 2000. т. 43. 2. C.52-57.

15.Андрійчук В.І. Невироджений добутoк в ядрах локалізацій над псевдоглобальними полями. //Матем. студiї. 2001. т. 15. 1. C.3-8.

16.Андрійчук В.І. Скінченні модулі над псевдоглобальними полями.// Вісник Київського університету. 2000. 1. С. 23-27.

17.Андрійчук В.І. Про групи розкладу нормувань псевдоглобальних полів.Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат. 2000. 57. C. 24-29.

18.Андрійчук В.І. Про властивості нормувань псевдоглобальних полів. Вісник ЛДУ. Сер. мех-мат. 2000. 58. C. 70-75.

19.Андрійчук В.І. Аналог теореми щільності Чеботарьова. // Вісник Київського університету. 2000. 4. C.11-16.

20.Андрійчук В.І. Про скінченновимірні алгебри над псевдоглобальними полями. // Вісник Київського університету. 2000. 3. C.11-16.

21.Андрійчук В.І. Принцип Гассе для скінченних розширень псевдоглобальниих полів. // Вісник Київського університету. 2001. 2. C. 18-27.

22. Андрийчук В.И. О гомоморфизме Като - Паршина для n - мерных общих локальных полей. // Вестник Гомельского университета. 2001. 3(6). C.46-52.

23.Andriychuk V. Algebraic curves over n - dimensional general local fields. // Мат. студії. 2001. т. 15. 2. C. 209-214.

24.Andriychuk V., Stakhiv L. On the character group and Brauer group of rational function fields over pseudoglobal field. // Известия АН Республики Молдова. Математика. 2001. 1 (35). С. 61-70.

25. Andriychuk V. On the Tate-Shafarevich groups of finite modules over n-dimensional pseudolocal fields. // Матем. студiї. 2002. Т.17. №1. С.109-112.

26.Андрийчук В.И. О группе главных однородных пространств. // 9 Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы сообщений. Москва. 1984.

27.Андрийчук В.И. Поля функций с псевдоконечными полями констант . // 6 Всесоюзный симпозиум по теории колец. Тезисы сообщений. Львов. 1990.

28.Андрийчук В.И. Квазиконечные поля и поля классов. // Международная конференция по алгебре. Тезисы сообщений. Барнаул. 1991.

29.Андрийчук В.И. Об алгебраических торах над псевдоглобальными полями . // Международная алгебраическая конференция. Тезисы сообщений. Казань. 1994.

30.Андрійчук В.І. Про двоїстїсть ядер гомоморфізмів локалізації для скінченних модулів над псевдоглобальними полями. // Всеукраїнська наукова конфер. присвячена 70-річчю від дня народження проф. П.С. Казімiрського. Тези доповідей. Львів. 1995. С.10.

31.Андрійчук В.І. Про когомології кривих над псевдоскінченним полем для. // 5 Міжнародна наукова конфер. ім. акад. М. Кравчука. Тези доповідей. Київ. 1996. С.11.

32. Andriychuk V. On Galois cohomology of finite modules over function fields with pseudofinite constant fields . // Международная алгебраическая конференция памяти Д.К.Фаддеева. Тезисы докладов. Санкт-Петербург. 1997. С. 6-7.

33. Andriychuk V. Duality relative to curves over n-pseudolocal fields.// Міжнародна алг. конфер. присв. пам'яті проф. Л.М.Глускіна. Матеріали. Слов'янськ, Київ. 1997. С.95.

34.Andriychuk V., Stakhiv L. On the Brauer groups of function fields over pseudofinite fields. // Міжнародна алг. конфер. присв. пам'яті проф. Л.М.Глускіна. Матеріали. Слов'янськ, Київ. 1997. С.95-96.

35.Андрійчук В.І. Про когомології алгебраїчних многовидів над псевдоскінченними полями. // Сучасні проблеми математики і механіки. Міжнар. конф., присв. 70-річчю з дня народж. Я.С. Підстригача, 25-28 травня 1998~р. Матеріали. C.273.

36.Андрійчук В.І. Скінченні модулі над псевдоглобальними полями. // 2 Міжнародна наукова конфер. присвячена пам'яті проф. Л.А.Калужніна. 9-16 травня 1999.Тези доповідей. Київ. С.53.

37.Андрійчук В.І. Алгебраїчні криві над n-вимірними загальними локальними полями.

// 3 Міжнародна алгебраїчна конференція в Україні. Суми. 2-8 липня 2001.Тези доповідей. Суми. С. 122-124.

38.Андрійчук В.І. Про абельові розширення багатовимірних локальних полів. // Міжнародна алгебраїчна конференція. Ужгород. 27-29 серпня 2001.Тези доповідей. Ужгород. С. 25.

АНОТАЦІЇ

Андрійчук В.І. Алгебраїчні многовиди та поля алгебраїчних функцій над псевдоскінченними полями. - Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський національний університет імені Тараса Шевченка, Київ, 2002.

Доведено, що для поля алгебраїчних функцій від однієї змінної з псевдоскінченним полем констант виконується закон взаємності, а його група Брауера має, в основному, ті ж властивості, що і група Брауера глобального поля. Показано, що при певних обмеженнях групи Брауера полів раціональних функцій над псевдоглобальними полями не залежать від степеня трансцендентності поля функцій. Виявляється також, що скінченновимірні центральні прості алгебри над псевдоглобальним полем K є циклічними, причому для них індекс збігається з експонентою. Використовуючи ці результати, обчислені когомології Галуа алгебраїчних торів та скінченних модулів над псевдоглобальними полями.

Одержані результати про групу Тейта-Шафаревича алгебраїчного тора над псевдоглобальним полем застосовуються до дослідження принципу Гассе для не обов'язково нормальних розширень псевдоглобального поля.

Доведені теореми двоїстості в етальних когомологіях кривих та алгебраїчних многовидів над квазіскінченними та псевдоскінченними полями і одержані деякі застосування цих результатів до вивчення груп Брауера. У деяких випадках одержано аналоги результатів К.Като з теорії полів класів n-вимірних локальних полів та результатів Ж.-К. Дуе про алгебраїчні криві над n-вимірними локальними полями.

Доведена невиродженість зліва добутку Тейта - Шафаревича в еліптичних кривих над псевдолокальними полями.

Ключові слова: квазіскінченне поле, псевдоскінченне поле, поле алгебраїчних функцій, n-вимірне загальне локальне поле, теорія полів класів, когомології Галуа, етальні когомології, група Брауера, група Тейта-Шафаревича, еліптична крива.

Andriychuk V.I. Algebraic varieties and algebraic function fields over pseudofinite fields. - Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of doctor of sciences

in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2002.

It is proved that for an algebraic function field in one variable over pseudofinite constant feld (we call it pseudoglobal field) the reciprocity law holds and its Brauer group has, essentially, the same properties as the Brauer group of a global field. With some restrictions, we show that the Brauer groups of rational function field over pseudoglobal field does not depend on the transcedence degree of function field. Also it turn out that any finite dimensional, central, simple algebra A over a pseudoglobal field is cyclic, and besides its index and exponente are the same.

These results are used for the calculation of Galois cohomology of algebraic tori and finite modules over pseudoglobal fields.

The obtained results about Tate-Shafarevic group of an algebraic torus over a pseudoglobal field are used for investigation of the Hasse principle for not neccesarily normal extensions of pseudoglobal field.

We prove the duality theorems in etale cohomology of curves and algebraic varieties over quasifinite and pseudofinite fields and presente some applications of obtained dualities to investigating of the Brauer groups. In some cases we prove for n-dimensional general local fields the counterparts of Kato's results on the class field theory of n-dimensional local fields and of Douai's results on the algebraic curves over an n-dimensional local field.

It is showed that the Tate-Shafarevich pairing in elliptic curves over pseudolocal fields with residue field characteristic 2 or 3 is nondegenerate on the left for a wide class of elliptic curves.

Key words: quasifinite field, pseudofinite field, algebraic function field, n-dimensional general local field, class field theory, Galois cohomology, etale cohomology, Brauer group, Tate-Shafarevich group, elliptic curve.

алгебраїчний многовид псевдоскінченне поле

Андрийчук В.И. Алгебраические многообразия и поля алгебраических функций над псевдоконечными полями. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2002.

Доказано, что для псевдоглобального поля, т.е. для поля алгебраических функций от одной переменной с псевдоконечным полем констант выполняется закон взаимности, а его группа Брауера имеет, в основном, те же свойства, что и группа Брауэра глобального поля. Показано, что при некоторых ограничениях, группы Брауэра полей рациональных функций над псевдоглобальными полями не зависят от степени трансцендентности поля функций. Оказывается также, что конечномерные, центральные, простые алгебры над псевдоглобальным полем K являются цикличными, причем для них индекс совпадает с экспонентой. Используя эти результаты, вычислены когомологии Галуа алгебраических торов и конечных модулей над псевдоглобальными полями. Установлено, что основные когомологические свойства этих объектов остаются в силе при переходе от глобального к псевдоглобальному полю определения.

В частности, для алгебраического тора T, определенного над псевдолокальным

полем, справедлив аналог теоремы Тэйта-Накаямы и имеет место точная последовательность, открытая В.Е.Воскресенским в случае тора над глобальным полем, которая связывает группу-препятствие к свойству слабой аппроксимации для тора T с группой Шафаревича-Тэйта этого тора посредстовом одномерной группы когомологий группы Пикара тора T.

Полученные результаты о группе Тэйта-Шафаревича алгебраического тора над псевдоглобальним полем ипользуются для исследования принципа Хассе для не обязательно нормальных расширений псевдоглобального поля, а аналог теоремы Тэйта-Накаямы используется также для доказательства двойственности в ядрах гомоморфизмов локализации в когомологиях Галуа конечных модулей над псевдоглобальным полем.

Доказаны теоремы двойственности в этальных когомологиях кривых и алгебраических многообразий над квазиконечными и псевдоконечными полями и получены некоторые применения этих результатов к изучению групп Брауэра.

Для n-мерних общих локальних полей получены аналоги результатов К.Като по теории полей классов n-мерных локальных полей и результатов Ж.-К. Дуе об алгебраических кривых над n-мерными локальными полями. Для конечного абелевого расширения L/K n-мерного общего локального поля K гомоморфизм Като-Паршина индуцирует изоморфизм факторгруппы n -ой группы Милнора по соотвeтствующей норменной подгруппе и группы Галуа расширения L/K. Для n 3 доказана теорема двойственности в этальных когомологиях проективной, неособенной, абсолютно неприводимой кривой над n-мерным общим локальным полем с псевдоконечным полем вычетов и двойственность групп Шафаревича-Тэйта для постоянных модулей p над полем функций кривой X. Для случая кривой, определенной над псевдоконечним полем, доказано cуществование точных последовательностей типа Тэйта-Пуату.

Доказана невырожденость слева спаривания Тэйта - Шафаревича в эллиптических кривых над псевдолокальными полями, приведены стандартныеследствия с этой невырожденности и некоторые свойства эллиптических кривых над общими локальными полями.

Ключевые слова: квазиконечное поле, псевдоконечное поле, поле алгебраических функций, n-мерное общее локальное поле, теория полей классов, когомологии Галуа, этальные когомологии, группа Брауэра, группа Тэйта-Шафаревича, эллиптическая кривая.

Размещено на Allbest.ru