Размещено на http://www.allbest.ru/

24

Размещено на http://www.allbest.ru/

“Выполнение регрессионного и дисперсионного анализа”

Содержание

1. Обзор литературы

1.1 Основные понятия и определения планирования и организации эксперимента

1.2 Задачи регрессионного анализа

1.3 Метод наименьших квадратов

1.4 Полный факторный эксперимент

1.5 Дробный факторный эксперимент

1.6 Дисперсионный анализ

2. Практическая часть

2.1 Построение теоретической функции методом наименьших квадратов

2.2 Построение регрессионной зависимости для полного (ПФЭ) и дробного (ДФЭ) факторного эксперимента и их анализ

2.3 Выполнение дисперсионного анализа по результатам выполненных измерений

Список использованных источников

1 Обзор литературы

1.1 Основные понятия и определения планирования и организации эксперимента

Планирование эксперимента - это процедура выбора числа и условий проведения опытов, необходимых и достаточных для решения поставленной задачи с требуемой точностью.

При планировании эксперимента существенно следующие:

стремление к минимизации общего числа опытов;

одновременное варьирование всеми переменными, определяющими процесс по специальным правилам - алгоритмам;

использование математического аппарата формализующего многие действия экспериментатора;

выбор четкой стратегии, позволяющий принимать обоснованные решения после каждой серии экспериментов.

Фактор - это измеримая переменная величина, принимающая в некоторый момент времени определенное значение и соответствующая одному из возможных способов воздействия на объект исследования

Все факторы, определяющие процесс, изменяются одновре-менно по специальным правилам, а результаты экспери-мента представляются в виде математической модели, об-ладающей некоторыми «хорошими» статистическими свойст-вами. При этом можно выделить следующие этапы:

- сбор и анализ априорной информации;

- выбор входных и выходных переменных, области экспе-риментирования;

- выбор математической модели, с помощью которой будут представляться экспериментальные данные;

- выбор критерия оптимальности и плана эксперимента;

- определение метода анализа данных;

- проведение эксперимента;

- проверка статистических предпосылок для полученных экспериментальных данных;

- обработка результатов;

- интерпретация и рекомендации.

Факторы определяют состояние объекта. Основное требование к фак-торам -- управляемость. Под управляемостью понимается установление нужного значения фактора (уровня) и под-держание его в течение всего опыта. Факторы могут быть количественными и качественными. Примерами количест-венных факторов являются температура, давление, кон-центрация и т. п. Их уровням соответствует числовая шкала. Различные катализаторы, конструкции аппаратов, способы лечения, методики преподавания являются приме-рами качественных факторов. Уровням таких факторов не соответствует, числовая шкала, и их порядок не играет роли.

Дисперсионный анализ - это статический метод анализа результатов наблюдений, зависящих от различных одновременно действующих факторов, выбор наиболее важных факторов и оценка их влияния.

Измерения или наблюдения могут проводиться как в экспериментальных науках (например, в генетике), так и не экспериментальных науках (например, в астрономии). Теория анализа результатов измерений подсказывает, как планировать проведение опыта или наблюдения, то есть приводит к планированию эксперимента. Исторически современный метод дисперсионного анализа развивается, главным образом, в связи с приложениями к задачам сельского хозяйства.

Дисперсионный анализ был развит в значительной мере Р.А. Фишером, который ввел в статистику сами термины дисперсия и дисперсионный анализ.

Полный факторный эксперимент (ПФЭ) - это эксперимент, в котором реализуются все возможные со-четания уровней факторов.

Дробный факторный эксперимент (ДФЭ) - это эксперимент, представляющий дробные реплики (матрицы планирования) полного факторного эксперимента.

Различают регулярные и нерегулярные дробные реплики, Регулярные реплики образуются из полного факторного экспе-римента 2ⁿ делением пополам, на четыре части, восемь частей и т. д., в. общем, на число частей кратное двум. Они называют-ся соответственно: полуреплика, четверть-реплика, у₈-реплика и т. д. Реплики типа ³Д, ⁵/а и т. д. называются нерегулярными.

Матрицей планирования называется таблица, содержащая условия про-ведения всех опытов в соответствии с выбранным планом.

1.2 Задачи регрессионного анализа

Регрессия -- зависимость среднего значения какой-либо величины от некоторой другой величины или от нескольких величин.

Задача регрессионного анализа заключается в восстановлении функциональной зависимости y(x) по результатам измерений.

В регрессионном анализе предполагается, что можно прямо или косвенно контролировать одну или нескольких переменных x₁ , x₂….x_n, и их значение вместе с множеством параметров Q₁,Q₂….Q_n определяющие математическое ожидание зависимой переменной i . Задача состоит в вычислении оценок параметров с помощью выборочных данных.

Постулаты регрессионного анализа:

1 постулат: Параметр оптимизации y есть случайная величина с нормальным законом распределения.

Дисперсия воспроизводимости - одна из характеристик этого закона распределения.

2 постулат: Дисперсия y не зависит от абсолютной величины y.

3 постулат: Значения факторов суть неслучайной величины.

1.3 Метод наименьших квадратов

Этот метод был развит усилиями Лежандра и Гаусса, более 150 лет назад. Метод наименьших квадратов (МНК) является самым распространенным, хотя не единственным метом усреднения.

Если дано у=b₀+b₁*x₁ - уравнение прямой линии. Надо вычислить коэффициенты b₀,b₁.

Для этого уравнение приравнивается к нулю y_i - b₀-b₁*x₁*x_i=0, где i=1,2,…N (N-номер опыта) или y_i - b₀-b₁*x₁*x_i=Е_i, где Е_i - невязка, то есть разность между экспериментальным и вычисленным по уравнению регрессии значениям у в i-й экспериментальной точке. Невязка возникает по двум причинам: из-за ошибки эксперимента и из-за модели.

Надо найти коэффициенты регрессии, при которых невязка будет минимальной:

U= Е²_i=min, который приводит к методу наименьших квадратов.

МНК обладает следующим свойством: он делает определенной любую произвольную систему уравнений равную числу неизвестных коэффициентов. Для определения двух неизвестных коэффициентов требуется два уравнения, например, для уравнения y= a₀+a₁*x, с двумя неизвестными коэффициентами используется система уравнений:

a₀*N +a_i x_i= y_i

a₀ x_i + a_i x² _i = x_i*y_i

Для определения трех неизвестных коэффициентов требуется три уравнения, например, для уравнения y = a₀+a₁*x+ a*x² , с тремя неизвестными коэффициентами используется система уравнений:

a₀*N +a_i x_i+а₂ x² _i = y_i

a₀ x_i + a_i x² _i +a₂ x³ _i = x_i*y_i

a₀ x² _i + a_i x³ _i +a₂ x⁴ _i = x²_i*y_i

МНК для обратной зависимости

y= a₀+a₁/x.

Чтобы найти два неизвестных коэффициента используется система уравнении:

a₀*N +a_i 1/x_i= y_i

a₀ 1/x_i + a_i 1/x² _i =y_i/х_i

Порядок расчета задач методом наименьших квадратов:

Строится таблица (таблица 1)

Таблица 1 Пример, построения таблицы для данных задачи МНК

N	xi	y1i	…	ymi	yi	S2{y}	yi	E,%
1	х1
2	х2
3	х3
4	х4
…	…
N	хN

где x_i- входные величины,

у_i- выходные величины,

N - количество уровней варьирования фактора,

M - количество параллельных опытов,

y_1i - первый опыт,

y_i - среднее в серии,

S²{y} - дисперсия в серии.

Строится экспериментальный график, по которым делается предположение о виде линии регрессии.

Решается система уравнений, и определяются оценку и коэффициентов регрессионной зависимости

Считается теоретическое значение выходной величины (y_i)

5) Считается относительная погрешность по формуле:

E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

1.4 Полный факторный эксперимент

В факторных экспериментах, в отличие от классических, происходит одновременное варьирование всеми независимыми переменными. Эксперимент, в результате которого все независимые переменные варьируются на всех выбранных уровнях, называется полным факторным экспериментом (ПФЭ). Количество опытов при ПФЭ подсчитывается так

N=kⁿ,

где k- количество уровней, п -- число факторов.

Если эксперименты проводятся только на двух уровнях (при двух значениях факторов), это будет ПФЭ типа 2ⁿ, а для k уровней - ПФЭ типа kⁿ . Условия эксперимента представлены в таблице - матрицы планирования, где строки соответствуют опыту, а столбцы значениям факторов.

Например, матрица планирования для ПФЭ 2² (таблица 2)

Таблица 2 Матрица планирования для ПФЭ 2²

	х1	х2	у
1	-1	-1	у1
2	+1	+1	у2
3	-1	+1	у3
4	+1	-1	у4

Геометрически план такого эксперимента интерпретируется точками, расположенными в вершинах квадрата. Для плана 2² задается вершинами квадрата, для плана 2³ задается координатами вершин куба, а при п>3 задается координатами вершин гиперкуба.

ПФЭ типа 2ⁿ обладает следующими свойствами:

Симметричность относительно центра эксперимента. Это значит, что алгебраическая сумма элементов вектор-столбца для каждого фактора равна нулю, то есть x_ij=0,

где j - номер фактора (j=1,2,…K)

i - номер опыта (i=1,2,…N)

Нормировка - это сумма квадратов элементов каждого столбца равна числу опытов, то есть x²_ij=N

Сумма почленных произведений любых двух вектор-столбцов матрица равна нулю, то есть x_ij*х_ui=0, j=u, j,u=1,2,…k

Это важное свойство для обработки и интерпретации данных называется ортоганальностью матриц планов типа 2ⁿ.

ПФЭ позволяет количественно оценить все линейные эффекты факторов и их взаимодействия. Взаимодействие возникает в том случае, если эффект одного фактора зависит от уровня, на котором находится другой фактор.

Для ПФЭ типа 2² матрица планирования (таблица 3) с учетом свободного члена b₁₂ вычисляется так

Таблица 3 Матрица планирования для ПФЭ типа 2² с учетом свободного члена b₁₂

N опыта	х0	х1	х2	х1*х2	у
1	+1	-1	-1	+1	у1
2	+1	+1	+1	+1	у2
3	+1	-1	+1	-1	у3
4	+1	+1	-1	-1	у4

Этот план соответствует модели y=b₀*x₀+b₁*x₁+b₂*x₂+b₁₂*x₁*x₂

Столбцы x₁ и x₂ задают планирование - определяют условия проведения опытов.

Столбцы x₀ и x₁*x₂ служат для расчета. Эффект взаимодействия двух факторов называется эффектом взаимодействия первого порядка, трех факторов - второго порядка и так далее.

Обработка результатов эксперимента.

Основной целью регрессионного анализа является получение по результатам активного эксперимента модели, адекватно описывающей поведение исследуемого объекта. Проведение эксперимента должно строго соответствовать выбранному случайному порядку. Установка уровней факторов X_j должна происходить в соответствии с теоретическими предпосылками регрессионного анализа и быть, возможно, более точной. Регистрация результатов измерения выхода Y должна соответствовать реально обеспечиваемой в опыте точности измерения. Если нет уверенности, что условия проведения опытов остаются постоянными, то опыты в каждой точке факторного пространства дублируются (проводится серия опытов). Предположим, что в каждой точке факторного пространства, которой соответствует одна из строк матрицы планирования, проводится серия из опытов. Для любой 1-й точки вычисляется среднее значение выходной величины

у= y_iu/m

и построчную дисперсию выходной величины (точнее ее оценку):

S²{y}= (y_i-y)²/m-1

Найденные таким образом построчные дисперсии используются для проверки воспроизводимости опытов, заключающейся в проверке однородности построчных дисперсии -- одной из основных предпосылок множественного регрессионного анализа.

Среди всей совокупности рассчитанных построчных дисперсии выбирается максимальная S²{y}max и берется отношение данной дисперсии к сумме всех построчных дисперсий S²{y}, то есть определяют расчетное значение коэффициента Кохрэйна

G_р = S²{y}max/ S²{y},

который показывает, какую долю общей сумме построчных дисперсий занимает максимальная из них - эта доля взята как мера различия между дисперсиями. Расчетное значение коэффициента Кохрэйна сравнивается с табличным (критическим) значением G-критерия, которое выбирается из таблиц. Если выполняется условие G_р < G_т, то с выбранным уровнем статистической значимости все построчные дисперсии признаются однородными. В противном случае следует отвергнуть гипотезу об однородности построчных дисперсии, что является нарушением одной из главных предпосылок регрессионного анализа - дальнейшая статистическая обработка результатов не имеет смысла.

Убедившись в однородности, переходят к определению оценок коэффициентов по формулам

а₀= y_i /N

a_j= =x_i* y_i /N,

где j - номер вектора столбца.

Найденные таким образом коэффициенты регрессии необходимо оценит на статистическую значимость. Оценка производится по t-критерию Стъюдента. Для каждого коэффициента а_j вычисляется коэффициент

t_р= t_р= S{а_к},

S{а_к}-оценка среднего квадратичного отклонения погрешности определения коэффициента (дисперсия адекватности)

S{а_к}= S²_в/N*m,

где S²_в- дисперсия воспроизводимости,

S²_в= S²{y}/N

При выбранном уровне статистической значимости по таблицам распределения Стъюдента при числе степеней свободы f=N*(m-1) находят табличное значение коэффициента t_т. Найденное табличное значение сравнивается с расчетным значением коэффициента. Если выполняется неравенство

t_т> t_р,

то принимается нуль-гипотеза, то есть с принятым уровнем статистической значимости (статистической достоверностью 1- ) и числе степеней свободы f считается, что найденный коэффициент а_к является статистическим незначительным и его следует исключить из уравнения регрессии.

Затем рассчитывают теоретическое значение у для каждого из экспериментов и относительную погрешность по формуле:

E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

Полученное уравнение регрессии необходимо проверить на адекватность исследуемому объекту, то есть установить, насколько хорошо оно аппроксимирует полученные экспериментальные данные. Для этой цели необходимо оценить, насколько отличаются средние значения у выходной величины, полученной в точках факторного пространства в результате проведения опытов, и значении у, полученного из уравнения регрессии в тех точках факторного пространства.

Для этого вычисляют остаточную дисперсию, которую чаще называют дисперсией адекватности

S²_ад =m/N-L (y_i-y_i)²,

где m - число параллельных опытов i-й точке факторного пространства; l- число определенных в результате проведения N опытов значимых коэффициентов.

Отличие S²_ад от нуля объясняется тем, в общем случае, двумя причинами: действительно неадекватность уравнения регрессии физическому объекту и наличием случайной погрешности восприятия, характеризуемой S²_в.

Адекватность полученной модели проверяют путем сравнения оценок двух дисперсий S²_ад и S²_в и F-критерию Фишера

F_р= S²_ад/ S²_в ,

Найденное расчетным путем F_р сравнивают с табличным значением F_т, которое определяется при уровне статистической значимости и числе степеней свободы f _ад =N-l и f_в= N*(m-1). Если

F_р< F_т,

то полученная математическая модель с принятым уровнем статистической значимости адекватна экспериментальным данным, и ее можно использовать для дальнейших исследований.

1.5 Дробный факторный эксперимент

В полном факторном эксперименте число опытов соответствует N= 2ⁿ. Поэтому при большом числе факторов n реализация ПФЭ становится практически невозможной. В действительности эффектами взаимодействия факторов больших порядков в большинстве случаев можно пренебречь (так как влияние их незначительно) или априори известно, что некоторые из них отсутствуют. Известно, что число опытов, по которым определяются оценки коэффициентов аппроксимирующего полинома -- уравнении регрессии, должно быть равно числу определяемых коэффициентов или быть хотя бы на единицу больше. Исходя из изложенных предпосылок, число опытов для нахождения оценок неизвестных коэффициентов такого уравнения для большинства практических случаев может быть существенно уменьшено. Это достигается с помощью дробных факторных планов, или дробных факторных экспериментов (ДФЭ) представляющих дробные реплики полного факторного эксперимента. Если в ПФЭ наблюдения производятся во всех вершинах N-мерного гиперкуба, то при использовании дробных реплик наблюдения проводятся в некоторых из них.

Пример построения дробной реплики, с условием, что эффекты взаимодействий отсутствуют, то есть модель имеет вид:

у =а₀+а₁*х₁+а₂*х₂+а₃*х₃

При таком виде зависимости неизвестными являются четыре коэффициента, для определения которых достаточно, как минимум, четыре опыта. Рассмотрим матрицу ПФЭ типа 2³ (таблица 4).

Таблица 4 Матрица планирования для ПФЭ типа 2³

N опыта	х1	х2	х3
1	-1	-1	-1
2	+1	-1	-1
3	-1	+1	-1
4	+1	+1	-1
5	-1	-1	+1
6	+1	-1	+1
7	-1	+1	+1
8	+1	+1	+1

Для оценки коэффициентов а_j , j=0,3 достаточно четырех опытов (строк). Выберем строки 5,2, 3, 8 и построим матрицу плана

х₁ х₂ х₃

-1 -1 +1

Х= +1 -1 -1

-1 +1 -1

+1 +1 +1

в которой первые два столбца являются матрицей плана двухфакторного эксперимента вида 2². Следовательно, число опытов в данном плане будет N = 2²=2^3-1 или N= 2³*2^-1 Построенная таким образом матрица обладает тремя свойствами: ортогональностью, нормировкой и симметричностью. Но раз матрица плана обладает данными свойствами, то, следовательно, она выбрана не произвольным образом, а по какому-то расчету. Показатель степени в выражении для числа опытов (3 -- 1) показывает дробность матрицы плана ПФЭ N = 2³, то есть дробная матрица планирования составляет полуреплику плана ПФЭ. Если сопоставить матрицу Х дробного факторного эксперимента 2^3-1 и ПФЭ 2³, то можно заметить, что переменная х, в точках плана удовлетворяет уравнению

х₃=х₁*х₂

которое имеет свой определенный смысл и называется генерирующим соотношением (ГС).

Таким образом, дробным факторным экспериментом называется эксперимент, реализующий строго определенную часть ПФЭ. Матрицу, получаемую при ДФЭ, называют дробной матрицей планирования (ДМП) Число строк ДМП в общем случае определяется соотношением

N 2^n-p,

где n -- число линейных факторов; p -- показатель дробности.

Для (п -- р) факторов, условно называемых основными, строится матрица полного факторного эксперимента, а для р факторов, называемых дополнительными, уровни варьирования в опытах выбираются на основании генерирующего соотношения. Генерирующее соотношение--это формальное равенство, показывающее, знаки каких основных переменных, стоящих в правой части равенства, необходимо перемножить для получения знака дополнительного фактора (уровня варьирования), чтобы ДМП оказалась ортогональной, нормированной и симметричной.

Разрешающей способностью плана ДФЭ называется его способность получать такие оценки коэффициентов а_j при независимых переменных, в которых идеальные коэффициенты а_j (их математические ожидания) смешаны с коэффициентами взаимодействий наиболее высокого порядка. Чем с большим порядком взаимодействий смешаны факторы, тем большей разрешающей способностью обладает данный план. Данное определение основывается на том, что в опытах связи сразу между всеми факторами менее вероятны, чем между какими-либо их комбинациями. Поэтому можно считать, что тем выше порядок взаимодействия, тем менее он значим и тем большей уверенностью им можно пренебречь.

Статистическая обработка результатов ДФЭ аналогична обработке при ПФЭ.

1.6 Дисперсионный анализ

Дисперсионный анализ - первый статистический метод отсеивания факторов в активном эксперименте. Он основан на представлении о том, что значимость фактора опре-деляется его вкладом в дисперсию параметра оптимизации. Это обусловило широкое применение дисперсионного анализа при изучении точности различных методов измерений. Он позволяет указать те факто-ры, которые вызвали ошибку, и отсеять незначимые, на улуч-шение которых нецелесообразно затрачивать инженерные усилия.

Дисперсионный анализ нужно использовать при оценке воспроизводимости результатов опытов. Воспроизводимость во времени служит харак-теристикой качества изготовления установки, по которой за-казчик должен принимать установку от изготовителя.

В дисперсионный анализ введена, количественная мера раз-личимости двух дисперсии, называемая - критерием Фишера, которую используют почти во всех схемах планирования эксперимента.

Однофакторный эксперимент

Это простейший вариант задачи, который состоит в том, что оценить результаты измерений, то есть влияние на выходную величину одного фактора х и случайной погрешности Е.

Таким образом, для вычисления соответствующих дисперсии S²_(x) и S²_(E) необходимо вычислить отклонение от средних.

Основная трудоемкость заключается в том, что вычисление квадратов отклонения средних величин от их средних с учетом соответствующей степени свободы. Математически это выглядит так

Q²_х= S²_(х)/f _(х) и Q²_Е= S²_(Е)/f_(Е),

где Q²_х, Q²_Е - это квадрат отклонения

S²_(х),S²_(Е) - это дисперсии

f _(х) , f_(Е) - это степень свободы.

Двухфакторный эксперимент. Иерархическая и перекрестная классификации

При однофакторном дисперсионном анализе данные только группируются по различным уровням единственного фактора. Для случая двух факторов необходимо учитывать и способ их взаимодействия, то есть вид модели. Существуют два вида взаимодействия факторов х₁ и х₂ -- иерархическое и перекрестное, либо иерархическая и перекрестная классификации.

При иерархической классификации различают факторы основной группы и факторы подгрупп. Каждый уровень одного основного фактора может быть связан с множеством уровней второго фактора -- фактора подгруппы.

При перекрестной классификации каждый уровень одного фактора может сочетаться со всеми уровнями другого фактора и упорядочение в этом случае, в отличие от иерархической классификации, невозможно.

Надо отметить, что для отсеивающих экспериментов применяют и более поздние моди-фикации дисперсионного анализа. К ним относятся такие схемы планирования, как латинский квадрат, греко-латинский квадрат и гипер-греко-латинский квадрат. Эти схемы позволяют проводить m² опытов при m^к различимых состояниях.

эксперимент квадрат факторный регрессионная зависимость

2. Практическая часть

2.1 Построение теоретической функции методом наименьших квадратов

Задание 1

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x. Данные приведены в таблице 5.

Таблица 5 - Данные для задания 1

N	x	y	x2 i	xi*yi	y	Е,%
1	1,00	-2,57	1	-2,57	-2,58	0,39
2	2,00	1,51	4	3,02	1,44	4,64
3	3,00	5,23	9	15,69	5,46	4,21
4	4,00	9,62	16	34,48	9,48	1,46
5	5,00	13,49	25	67,45	13,5	0,07
		27,28	55	122,07

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x, с помощью системы уравнений:

a₀*N +a_i x_i= y_i

a₀ x_i + a_i x² _i = x_i*y_i

4a₀ +15a₁=27,28

15a₀ +55a₁=122,07

a₀=27,28-15a₁ /5

15*(27,28-15a₁)/5+55 a₁=122,07

15*(27,28-15a₁)/5+275 a₁=610,35

409,2-225a₁+275a₁=610,35

50a₁=201,15

a₁=4,02 и следовательно из системы уравнения a₀= - 6,6

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины у_i:

у₁=-6,6+4,02*1=-2,58

у₂=-6,6+4,02*2=1,44

у₃=-6,6+4,02*3=5,46

у₄=-6,6+4,02*4=9,48

у₅=-6,6+4,02*5=13,5

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= -2,57-(-2,58) /-2,58*100%=0,39 %

E₂= 1,51-1,44/1,51*100%=4,64 %

E₃=5,23-5,46/5,46*100%=4,21 %

E₄=9,62-9,48/9,62*100%=1,46 %

E₅=13,49-13,5/13,5*100%=0,07 %

4) Построим графики у_i и у_i

Рисунок 1 - График регрессионной зависимости y= a0+a1*x.

Задание 2

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x+ a*x². Данные приведены в таблице 6.

Таблица 6 - Данные для задания 2

N	x	y	х2	х3	x*y	х4	х2*y	y	E,%
1	1,00	6,68	1	1	6,68	1	6,68	6,86	2,6
2	1,50	11,26	2,25	3,38	16,89	5,06	25,34	11	2,31
3	2,00	16,37	4	8	32,74	16	65,48	16,45	0,48
4	2,50	23,18	6,25	15,63	57,95	39,06	144,88	23,2	0,086
5	3,00	31,29	9	27	93,87	81	281,61	31,26	0,096
6	3,50	40,53	12,25	42,88	141,86	150,06	496,49	40,62	0,22
7	4,00	51,53	16	64	206,12	256	824,48	51,29	0,47
8	4,50	63,10	20,25	91,13	283,95	410,06	1277,78	63,26	0,25
9	5,00	76,58	25	125	382,9	625	1914,5	76,54	0,05
	27	320,52	96	378,02	1222,96	1583,24	5037,24

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a₀+a₁*x+ a*x², с помощью системы уравнений:

a₀*N +a_i x_i+а₂ x² _i = y_i

a₀ x_i + a_i x² _i +a₂ x³ _i = x_i*y_i

a₀ x² _i + a_i x³ _i +a₂ x⁴ _i = x²_i*y_i

9a₀ +27a₁ +96а₂ = 320,52

27a₀ +96a₁ +378,02a₂ =1222,96

96a₀ + 378,02a₁+1583,24a₂ = 5037,24

a₀ = 320,52-27a₁ -96а₂ /9

27*(320,52-27a₁-96а₂ /9)+ 96a₁+378,02a₂=1222,96

961,56-81a₁-288а₂ + 96a₁+378,02a₂=1222,96

15а₁+90,02а₂=261,4

а₁=261,4-90,02а₂/15

96*(320,52-27*(261,4-90,02а₂/15)-96а₂)/9+378,02*(261,4-90,02а₂)/15+1583,24а₂= =5037,24

19а₂=49,61

а₂=2,61 и следовательно из системы уравнения a₁= 1,76, a₀= 2,49

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины у_i:

у₁=2,49+1,76*1+2,61*(1)²=6,86

у₂=2,49+1,76*1,5+2,61*(1,5)²=11

у₃=2,49+1,76*2+2,61*(2)²=16,45

у₄=2,49+1,76*2,5+2,61*(2,5)²=23,2

у₅=2,49+1,76*3+2,61*(3)²=31,26

у₆=2,49+1,76*3,5+2,61*(3,5)²=40,62

у₇=2,49+1,76*4+2,61*(4)²=51,29

у₈=2,49+1,76*4,5+2,61*(4,5)²=63,26

у₉=2,49+1,76*5+2,61*(5)²=76,54

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= 6,68-6,86/6,86*100%=2,6 %

E₂= 11,26-11/11,26*100%=2,31 %

E₃=16,37-16,45/16,45*100%=0,48 %

E₄=23,18-23,2/23,2*100%=0,086 %

E₅=31,29-31,26/31,29*100%=0,096 %

E₆= 40,53-40,62/40,62*100%=0,22 %

E₇= 51,53-51,29/51,33*100%=0,47 %

E₈=63,10-63,26/63,26*100%=0,25 %

E₉=76,58-76,54/76,58*100%=0,05 %

Построим графики у_i и у_i

Рисунок 2 - График для у_i и у_i

Задание 3

Используя метод наименьших квадратов найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а₀+а₁/х. Данные приведены в таблице 7.

Таблица 7 - Данные для задания 3

N	X	Y=U	V	V2	U*V	U=Y	E,%
1	1,00	5,16	1	1	5,16	5,34	3,37
2	1,25	4,24	0,8	0,64	3,39	3,9	8,02
3	1,50	2,88	0,67	0,45	1,93	2,98	3,36
4	1,75	1,90	0,57	0,32	1,08	2,27	16,3
5	2,00	1,88	0,5	0,25	0,94	1,77	5,85
6	2,25	1,55	0,44	0,19	0,68	1,34	13,55
		17,61	3,98	2,85	13,18

Решение:

1) Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости y= a₀+a₁/x, с помощью системы уравнений:

a₀*N +a₁ v= u

a₀ v + a₁ v² = v*u

при этом заменим y=u и v=1/x, тогда уравнение регрессионной зависимости запишется u= a₀+a₁/x

6а₀+3,98а₁=17,61

3,98а₀+2,85а₁=13,18

а₀= 17,61-3,98а₁/6

3,98*(17,61-3,98а₁)/6 +2,85а₁=13,18

11,68-2,64а₁+2,85а₁=13,18

0,21а₁=1,5

а₁= 7,14 и, следовательно, из системы уравнения a₀= - 1,8

2) Рассчитаем теоретическое значение выходной величины u_i:

u₁=-1,8+7,14*1=5,34

u₂=-1,8+7,14*0,8=3,9

u₃=-1,8+7,14*0,67=2,98

u₄=-1,8+7,14*0,57=2,27

u₅=-1,8+7,14*0,5=1,77

u₆=-1,8+7,14*0,44=1,34

3) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= 5,16-5,34/5,34*100%=3,37 %

E₂= 4,24-3,9/4,24*100%=8,02 %

E₃=2,88-2,98/2,98*100%=3,36 %

E₄=1,9-2,27/2,27*100%=16,3 %

E₅=1,88-1,77/1,88*100%=5,85 %

E₆= 1,55-1,34/1,55*100%=13,55 %

4) Построим графики у_i и у_i:

Рисунок 3 - Графики для у_i и у_i:

2.1 Построение регрессионной зависимости для полного (ПФЭ) и дробного (ДФЭ) факторного эксперимента и их анализ

Задание 4

Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а₀+а₁*х₁+а₂*х₂+а₁₂*х₁*х₂ ,и проверить регрессионную зависимость на адекватность для двухфакторного полнофакторного эксперимента. Данные приведены в таблице 8.

Таблица 8 - Данные для задания 4

N	x1	x2	у1	у2	у3	y	S2{y}	y	E,%
1	-1	-1	-1,88	-1,84	-1,97	-1,897	0,00444	-1,929	1,66
2	1	-1	4,16	4,04	4,19	4,13	0,00635	1,105	0,6
3	-1	1	-5,99	-5,99	-5,84	-5,94	0,0075	-5,909	0,52
4	1	1	8,08	8,09	8,02	8,06	0,00145	8,085	0,31

Решение:

Рассчитаем коэффициент Кохрэйна

G_р = S²{y}max/ S²{y}, при этом G_т=0,77

S²{y}= (y_i-y)²/m-1

S²₁{y}= (-,897+1,88)²+(-1,897+1,84)²+(-1,897+1,97)²/2=0,00444

S²₂{y}= (4,13-4,16)²+(4,13-4,04)²+(4,13-4,19)²/2=0,00635

S²₃{y}= (-5,94+5,99)²+(-5,94+5,99)²+(-5,94+5,84)²/2=0,0075

S²₄{y}= (8,06-8,08)²+(8,06-8,02)²+(8,06-8,02)²/2=0,00145

G_р =0,0075/0,00444+0,00635+0,0075+0,00145=0,381

Так как G_т=0,77 и G_р < G_т, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.

Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости

а₀= y_i /N

а₀= -1,897+4,13-5,94+8,06/4=1,088

a_j= =x_i* y_i /N

a₁=-1*(-1,897) + 1*4,13 + (-1)*(5,94) + 8,06*1/4=5,007

а₂=-1*(-1,897) - 1*4,13 +1*(-5,94) +1*8,06/4=-0,028

а₁₂=(-1)*(-1)*(-1,897) + 1*(-1)*4,13 - 1*1*(-5,94)/4=1,99

Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)

t_р= а_к / S{а_к}, притом t_т=2,3

S{а_к}- дисперсия адекватности, S{а_к}= S²_в/N*m

S²_в- дисперсия воспроизводимости, S²_в= S²{y}/N

S²_в=0,001974/4=0,0049

S{а_к}= 0,0049/12=0,02

t_р0=1,088/0,02=54,4

t_р1=5,007/0,02=250,35

t_р2= -0,028/0,02 =1,4

t_р12=1,99/0,02=99,5

Так как t_р2 < t_т ,то коэффициент а₂ исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид

у=а₀+а₁*х₁+а₁₂*х₁*х₂

Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов

у₁= 1,088+5,007*(-1)+1,99*1=-1,929

у₂= 1,088+5,007*1+1,99*(-1)= 4,105

у₃= 1,088+5,007*(-1)+1,99*(-1)= -5,909

у₄= 1,088+5,007*1+1,99*1= 8,085

5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= -1,897-(-1,929)/-1,929*100%=1,66 %

E₂= 4,13-4,105/4,13*100%=0,6 %

E₃=-5,94-(-5,909)/-5,94*100%=0,52 %

E₄=8,06-8,085/8,085*100%=0,31 %

6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера

F_р= S²_ад/ S²_в , где S²_ад - дисперсия адекватности F_т=5,32

S²_ад =m/N-L (y_i-y)², где m=3,N=4,L=2

S²_ад =1,5*((-1,897+1,929)²+(4,13-4,105)²+(-5,94+5,909)²+(8,06-8,085)²)=0,0048

F_р= 0,0048/0,0049=0,99

Так как F_р< F_т., то модель адекватна.

Задание 5

Найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости у=а₀+а₁*х₁+а₂*х₂+а₃*х₃+а₁₂*х₁*х₂+а₁₃*х₁*х₃+а₂₃*х₃,, и проверить регрессионную зависимость на адекватность для трехфакторного полнофакторного эксперимента. Данные приведены в таблице 9.

Таблица 9 - Данные для задания 5

N	х1	х2	х3	у1	у2	у3	y	S2{y}	y	E,%
1	-1	-1	-1	6,92	6,93	6,91	6,92	0,0001	7,06	1,98
2	1	-1	-1	-13,36	-13,39	-13,39	-13,38	0,0003	-13,257	0,89
3	-1	1	-1	-7,06	-7,01	-6,95	-7,01	0,00305	-7,15	1,96
4	1	1	-1	-7,35	-7,42	-7,32	-7,36	0,00265	-7,495	1,8
5	-1	-1	1	-2,95	-3,08	-2,97	-3	0,0049	-3,12	3,85
6	1	-1	1	4,84	4,50	4,59	4,64	0,03105	4,5	3
7	-1	1	1	-9,02	-9,04	-8,90	-8,99	0,005	-8,87	1,3
8	1	1	1	18,66	18,64	18,58	18,63	0,00175	18,74	0,59

Решение:

Рассчитаем коэффициент Кохрэйна

G_р = S²{y}max/ S²{y}, при этом G_т=0,77

S²{y}= (y_i-y)²/m-1

S²₁{y}= (6,92-6,92)²+(6,92-6,93)²+(6,92-6,91)²/2=0,0001

S²₂{y}= (-13,38+13,36)²+(-13,38+13,39)²+(-13,38+13,39)²/2=0,0005

S²₃{y}= (-7,01+7,06)²+(-7,01+7,01)²+(-7,01+6,95)²/2=0,00305

S²₄{y}= (-7,36+7,35)²+(-7,36+7,42)²+(-7,36+7,32)²/2=0,00265

S²₅{y}= (-3+2,95)²+(-3+3,08)²+(-3+2,97)²/2=0,0049

S²₆{y}= (4,64-4,84)²+(4,64-4,50)²+(4,64-4,59)²/2=0,03105

S²₇{y}= (-8,99+9,02)²+(-8,99+9,04)²+(-8,99+8,90)²/2=0,005

S²₈{y}= (18,63-18,66)²+(18,63-18,64)²+(18,63-18,58)²/2=0,00175

G_р =0,03105/0,0001+0,0005+0,00305+0,00265+0,0049+0,005+0,00175=0,63

Так как G_т=0,77 и G_р < G_т, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.

Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости

а₀= y_i /N

а₀= 6,92-13,38-7,01-7,36-3+4,64-8,99+18,63/8=-1,194

a_j= =x_i* y_i /N

a₁= ((-1)*6,92+(-13,38)*1+(7,01)*(-1)+(-7,36)*1+(-3)*(-1)+4,64*1+

+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=1,826

а₂= (6,92*(-1)+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*1+(-7,36)*1+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+

+(-8,99)*1+18,63*1)/8=0,0013

а₃= (6,92*(-1)+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*(-1)+(-3)*1+4,64*1+

+(-8,99)*1+18,63*1)/8=4,014

а₁₂= (6,92*1+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*1+(-3)*1+4,64*(-1)+

+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=4,99

а₁₃= (6,92*1+(-13,38)*(-1)+(-7,01)*1+(-7,36)*(-1)+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+

+(-8,99)*(-1)+18,63*1)/8=6,989

а₂₃= (6,92*1+(-13,38)*1+(-7,01)*(-1)+(-7,36)*(-1)+(-3)*(-1)+4,64*(-1)+

+(-8,99)*1+18,63*1)/8=2,114

Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)

t_р= а_к / S{а_к}, при этом t_т=2,3

S{а_к}- дисперсия адекватности,

S{а_к}= S²_в/N*m

S²_в- дисперсия воспроизводимости,

S²_в= S²{y}/N

S²_в=0,04955/8=0,0062

S{а_к}= 0,0062/24=0,0161

t_р0= -1,194/0,0161 =74,16

t_р1= 1,826/0,0161 =113,14

t_р2= 0,0013/0,0161 =0,081

t_р3= 4,014/0,0161 =249,32

t_р12= 4,99/0,0161 = 309,94

t_р13= 6,989/0,0161 = 434,099

t_р23= 2,114/0,0161 = 131,3

Так как t_р2 < t_т ,то коэффициент а₂ исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид у=а₀+а₁*х₁+а₃*х₃+а₁₂*х₁*х₂+а₁₃*х₁*х₃+а₂₃*х₃

4) Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов

у₁= -1,194+1,826*(-1)+4,014*(-1)+4,99*1+6,989*1+2,114*1= 7,06

у₂= -1,194+1,826*1+4,014*(-1)+4,99*(-1)+6,989*(-1)+2,114*1= -13,257

у₃= -1,194+1,826*(-1)+4,014*(-1)+4,99*(-1)+6,989*1+2,114*(-1)= -13,257

у₄= -1,194+1,826*1+4,014*(-1)+4,99*1+6,989*(-1)+2,114*(-1)= -7,495

у₅= -1,194+1,826*(-1)+4,014*1+4,99*1+6,989*(-1)+2,114*(-1)= -3,12

у₆= -1,194+1,826*1+4,014*1+4,99*(-1)+6,989*1+2,114*(-1)= 4,5

у₇= -1,194+1,826*(-1)+4,014*1+4,99*(-1)+6,989*(-1)+2,114*1= -8,87

у₈= -1,194+1,826*1+4,014*1+4,99*1+6,989*1+2,114*1= 18,74

5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= 6,92-7,06/7,06*100%=1,98 %

E₂= -13,38-(-13,26)/-13,38*100%= 0,6 %

E₃= -5,94-(-5,909)/-5,94*100%= 0,89 %

E₄= -7,01-(-7,15)/-7,15*100%= 1,8 %

E₅= -3-(-3,12)/-3,12*100%=3 ,85 %

E₆= 4,64-4,5/4,64*100%= 3 %

E₇= -8,99-(-8,87)/-8,99*100%= 1,3 %

E₈= 18,63-18,74/18,74*100%= 0,59 %

6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера

F_р= S²_ад/ S²_в , где S²_ад - дисперсия адекватности F_т=5,32

S²_ад =m/N-L (y_i-y)², где m=3,N=8,L=3

S²_ад =0,6*((6,92-7,06)²+(-13,38+13,26)²+(-7,01+7,15)²+(-7,36+7,495)²+

+(-3+3,12)²+(4,64-4,5)²+(-8,99+8,87)²+(18,63-18,74)²)=0,079

F_р= 0,079/0,0062=12,74

Так как F_р > F_т., то модель не адекватна.

Задание 6

Упростить регрессионную зависимость, найти оценки коэффициентов регрессионной зависимости

у=а₀+а₁*х₁+а₂*х₂+а₃*х₃+а₄*х₄+а₁₂*х₁*х₂+а₁₃*х₁*х₃+а₁₄*х₁*х₄+а₂₃*х₁*х₃+

+а₂₄*х₂*х₄+а₃₄*х₃*х₄, и проверить регрессионную зависимость на

адекватность для четырехфакторного дробнофакторного эксперимента с генерирующим соотношением х₄=х₁*х₃. Данные приведены в таблице 10.

Таблица 10 - Данные для задания 6

N	х1	х2	х3	у1	у2	у3	y	S2{y}	y	Е,%	х4
1	-1	-1	-1	4,55	4,46	4,47	4,49	0,00245	4,49	0	1
2	1	-1	-1	-9,51	-9,41	-9,58	-9,5	0,0073	-9,52	0,21	-1
3	-1	1	-1	-13,47	-13,53	-13,58	-13,53	0,00305	-13,53	0	1
4	1	1	-1	-7,56	-7,58	-7,51	-7,55	0,0013	7,52	0,39	-1
5	-1	-1	1	-1,41	-1,51	-1,5	1,47	0,00305	-1,49	2	-1
6	1	-1	1	4,59	4,44	4,48	4,5	0,00605	4,49	0,22	1
7	-1	1	1	-3,52	-3,54	-3,5	-3,52	0,0004	-3,5	0,57	-1
8	1	1	1	22,43	22,5	22,59	22,51	0,00645	22,51	0,04	1

Решение:

х₄=х₁*х₃ /*х₄

х²₄ = х₄*х₁*х₃

1= х₄*х₁*х₃

Отсюда х₃= х₁*х₄

х₁=х₃*х₄

Тогда регрессионная зависимость запишется

у=а₀+а₁*х₁+а₂*х₂+а₃*х₃+а₄*х₄+а₁₂*х₁*х₂+а₂₃*х₁*х₃+а₂₄*х₂*х₄

Рассчитаем коэффициент Кохрэйна

G_р = S²{y}max/ S²{y}, при этом G_т=0,77

S²{y}= (y_i-y)²/m-1

S²₁{y}= (4,55-4,49)²+(4,46-4,49)²+(4,47-4,49)²/2=0,00245

S²₂{y}= (-9,51+9,5)²+(-9,41+9,5)²+(-9,58+9,5)²/2=0,0073

S²₃{y}= (-13,47+13,53)²+(-13,53+13,53)²+(-13,58-13,53)²/2=0,00305

S²₄{y}= (-7,56+7,55)²+(-7,58+7,55)²+(-7,51+7,53)²/2=0,0013

S²₅{y}= (-1,41+1,47)²+(-1,51+1,47)²+(-1,5+1,47)²/2=0,00305

S²₆{y}= (4,59-4,5)²+(4,44-4,5)²+(4,48-4,5)²/2=0,00605

S²₇{y}= (-3,52+3,52)²+(-3,54+3,52)²+(-3,5+3,52)²/2=0,0004

S²₈{y}= (22,43-22,51)²+(22,5-22,51)²+(22,59-22,51)²/2=0,00645

G_р =0,0073/ 0,00245+0,0073+0,00305+0,0013+0,00305+0,00605+0,0004+0,00645=0,24

Так как G_т=0,77 и G_р < G_т, следовательно, опыты воспроизводимы, регрессионный анализ можно продолжить.

Рассчитаем коэффициенты регрессионной зависимости

а₀= y_i /N

а₀= 4,49-9,5-13,53-7,55-1,47+4,5-3,52+22,51/8=-0,509

a_j= =x_i* y_i /N

a₁= ((-1)*4,49+(-9,5)*1+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*1+(-1,47)*(-1)+4,5*1+

+(-8,99)*(-1)+22,51*1)/8=3

а₂= (4,49*(-1)+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*1+(-7,55)*1+(-1,47)*(-1)+4,5*(-1)+

+(-3,52)*1+22,51*1)/8=-0,014

а₃= (4,49*(-1)+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*1+4,5*1+

+(-3,52)*1+22,51*1)/8=6,01

а₄= (4,49*1+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*1+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*(-1)+4,5*1+

+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=5

а₁₂= (4,49*1+(-9,5)*(-1)+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*1+(-1,47)*1+4,55*(-1)+

+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=5,004

а₂₃= (4,49*1+(-9,5)*1+(-13,53)*(-1)+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*(-1)+4,5*(-1)+

+(-3,52)*1+22,51*1)/8=4,004

а₂₄= (4,49*(-1)+(-9,5)*1+(-13,53)*1+(-7,55)*(-1)+(-1,47)*1+4,5*(-1)+

+(-3,52)*(-1)+22,51*1)/8=0,011

Определим оценку значимости коэффициентов регрессионной зависимости (критерии Стъюдента)

t_р= а_к / S{а_к}, при этом t_т=2,3

S{а_к}- дисперсия адекватности, S{а_к}= S²_в/N*m

S²_в- дисперсия воспроизводимости, S²_в= S²{y}/N

S²_в=0,0301/8=0,0038

S{а_к}= 0,0038/32=0,011

t_р0= -0,0509/0,011 =4,63

t_р1= 3/0,011 =272,73

t_р2= -0,014/0,011 =1,27

t_р3= 6,01/0,011=546,36

t_р4= 5/0,011=454,55

t_р12= 5,004/0,011=454,9

t_р23= 4,004/0,011=364

t_р24= 0,011/0,011=1

Так как t_р2 < t_т и t_р24 < t_т, то коэффициент а₂ и а₂₄ исключается. Тогда регрессионная зависимость будет иметь вид у=а₀+а₁*х₁+а₃*х₃+ +а₄*х₄+а₁₂*х₁*х₂+а₂₃*х₃

4) Рассчитаем теоретическое значение у для каждого из экспериментов

у₁= - 0,509-6,01+5+5,004+4,004= 4,49

у₂= - 0,509+3-6,01-5-5,004+4,004= -9,52

у₃= -0,509-3-6,01+5-5,004-4,004=-13,53

у₄= -0,509+3-6,01-5+5,004-4,004=-7,52

у₅= -0,509-3+6,01-5+5,004-4,004=-1,49

у₆= -0,509+3+6,01+5-5,004-4,004= 4,49

у₇= -0,509-3+6,01-5-5,004+4,004= -3,5

у₈= -0,509+3+6,01+5+5,004+4,004= 22,51

5) Рассчитаем относительную погрешность по формуле: E= у_i-у_i / max{y_i,y_i}

E₁= 4,49-4,49/4,49 *100%=0 %

E₂= -9,5+9,52/-9,52 *100%= 0,21 %

E₃= -13,53+13,53/-13,53 *100%= 0 %

E₄= -7,55+7,52/7,55 *100%= 0,39 %

E₅= -1,47+1,49/-1,49 *100%=2 %

E₆= 4,5-4,49/4,5 *100%= 0,22 %

E₇= -3,52-3,5/-3,52 *100%= 0,57 %

E₈= 22,5-22,51/22,51*100%= 0,04 %

6) Проверка адекватности модели по критерию Фишера

F_р= S²_ад/ S²_в , где S²_ад - дисперсия адекватности F_т=5,32

S²_ад =m/N-L (y_i-y)², где m=3,N=8,L=4

S²_ад =0,75*((4,49-4,49)²+(-9,5+9,52)²+(-13,53+13,53)²+(-7,55+7,52)²+

+(-1,47+1,49)²+(4,5-4,49)²+(-3,52+3,5)²+(22,5-22,51)²)=0,0017

F_р= 0,0017/0,0038=0,45

Так как F_р< F_т., то модель адекватна.

2.3 Выполнение дисперсионного анализа по результатам выполненных измерений

Задание 7

Определить влияние качественного фактора при однофакторном дисперсионном анализе. Данные приведены в таблице 11.

Таблица 11 - Данные для задания 7

	1	2	3	4	5	yi
1	-3	3	-16	1	1	-2,8
2	8	16	35	33	32	24,8
3	20	7	-8	-4	7	4,4

Решение:

Расчитаем среднюю по группам по формуле:

y_i = y_il /m, где

y_il - это результаты измерения в каждой ячейке

m - это количество столбцов

Рассчитаем общую среднюю по формуле

y= y_i /N, где N - количество строк

y = -2,8+24,8+4,4/3=8,8

Расcчитаем квадрат отклонения фактора по формуле:

Q²_x= m* (y_i-y)²

Q²_x= 5*((-2.8-8.8)²+(24.8-8.8)²+(4.4-8.8)²)=2049,6

4) Рассчитаем квадрат отклонения случайной погрешности по формуле:

Q²_e= (y_il- y_i)²

Q²_e= ((-3+2,8)²+(3+2,8)²+(-16+2,8)²+(1+2,8)²+(1+2,8)²+(8-24,8)²+(16-24,8)²+

+(35-24,8)²+(33-24,8)²+(32-24,8)²+(20-4,4)²+(7-4,4)²+(-8-4,4)²+(-4-4,4)²+