Карты Карно позволяют решить задачу минимизации логической функции элегантно и просто. Карно был толковым инженером (кстати, за 30 лет я так и не нашёл его биографии: узнал только, что это американец 20-го столетия), но поленился или не сумел описать алгоритм работы со своими картами. Поэтому до сих пор неблагодарное человечество не научилось работать с ними. Алгоритм работы с картами Карно (этот алгоритм не известен ни одному логику в мире) был разработан автором более 30 лет назад [2 - 10]. Здесь алгоритм приводится в сокращённом варианте.

Алгоритм «НИИРТА» графической минимизации булевых функций от 4-х и менее переменных.

1. Заполнить карту Карно (КК) нулями и единицами в соответствии с таблицей истинности или заданным алгебраическим выражением.

Под прямоугольником Карно (этот термин пришлось ввести в 1977г.) для не более чем от 4-х аргументов, можно понимать любую, в том числе и разорванную, симметричную фигуру покрытия, количество клеток (элементарных прямоугольников Карно) в которой составляет целую степень двойки: 1, 2, 4, 8. Все клетки ПК являются соседними, т.е. закодированы соседними кодами. Два кода называются соседними, если они отличаются друг от друга только в одном разряде. Например, коды 1010 и 1011 являются соседними.

На нижеприведённом рисунке даны примеры КК и прямоугольников Карно для различного числа аргументов.

На КК для 4-х переменных представлены два прямоугольника Карно, один из которых (Р) является разорванной фигурой покрытия. На КК для 6 переменных изображены прямоугольники Карно A - G, K, M, N, большинство из которых также являются разорванными фигурами покрытия. Общее для всех свойство - симметричность по Лобанову [2 - 4], необходимое и достаточное условие для определения ПК.

В современной логике появились попытки представить ПК просто фигурой покрытия с 2ⁿ клетками КК. Пример фигур покрытия, содержащих 2³ клеток КК и не являющихся прямоугольниками Карно, представлен на следующем рисунке. Фигуры М и N не обладают симметричностью по Лобанову.

Решение задачи 1.1 с помощью карты Карно представлено на рисунке.

Из карты Карно получено соотношение:

f = x₄x₁ + x₄x₂ + x₄x₃ + x₃x₂x₁

Это выражение представляет собой пример минимальной дизъюнктивной нормальной формы (МДНФ). В некоторых случаях приведение результата минимизации к скобочной форме (вынесение общего множителя за скобки) позволяет уменьшить количество интегральных схем (ИС), необходимых для реализации булевой функции. Скобочная форма для f имеет вид:

f = x₄(x₁ + x₂ + x₃) + x₃x₂x₁

Смысл скобочной формулы прост: за абитуриента должны проголосовать либо все 3 члена комиссии, либо хотя бы один из них, но совместно с председателем.

Формы задания булевых функций.

Об одной форме задания булевых функций мы уже говорили - это таблица истинности. Иногда применяется более компактная запись, использующая двоичные, восьмеричные, десятичные или шестнадцатеричные эквиваленты наборов. Это так называемые обобщённые коды. Например, набор x₄x₃x₂'x₁' может быть представлен обобщённым двоичным кодом 1100 , десятичным эквивалентом которого является число 12. Удобнее всего 8-чные и 16-чные коды. Автором создана Паскаль-программа синтеза псевдослучайных кодов для задания произвольных булевых функций при проведении семинаров или контрольных работ. Эту программу можно разработать самостоятельно или найти её на сайте http://logicrus.ru [7].

Поскольку мы будем работать с функциями не более чем от 4-х переменных, то нам пригодится таблица перевода 10-чисел от 0 до 15 в двоичные коды.

Задание 1.

Найти минимальную форму полностью определённых булевых функций, заданных 10-чными рабочим наборами (число в скобках указывает количество переменных):

1-1) РН(4) = 0, 1, 5, 7 - 9, 13, 15

1-2) РН(4) = 4, 6, 8, 10, 13

1-3) РН(4) = 1 - 8

1-4) РН(4) = 7 - 15

1-5) РН(4) = 3 - 15

1-6) РН(3) = 1, 3, 5, 7

1.5 Минимизация недоопределённых булевых функций

Суждение - это повествовательное предложение, которое может быть истинным или ложным. Логика суждений изучает законы правильных рассуждений. Автор не открывает здесь ничего нового, но, излагая данный материал, хочет показать всю простоту выводов данных законов, следовательно, и их никчёмность: незачем заучивать десятки правил, если доказательство столь примитивно. Всё дело в том, что в классической логике доказательство построено на громоздком аппарате таблиц истинности, а мы будем использовать формулу импликации и карту Карно.

Алгоритм «Импульс».

Алгоритм инженерного анализа законов логики суждений чрезвычайно прост:

1)произвести замену всех знаков импликации на символы дизъюнкции в соответствии с известной формулой x

y = x' + y;

2)привести полученное выражение к ДНФ;

3)занести ДНФ в карту Карно и убедиться, что она вся покрыта единицами - это свидетельствует об истинности проверяемого закона или суждения.

Воспользуемся перечнем импликативных законов для проверки алгоритма «Импульс».

Законы импликативных выражений.

1.Закон исключённого третьего: p или неверно, что p.

В переводе на язык логики этот закон выглядит так:

p + p' = 1.

Проверяется простой подстановкой.

2.Закон непротиворечивости: неверно, что [р и не р].

На языке логики: p & p' = 0. Это равенство также проверяется тривиальной подстановкой.

3.Закон двойного отрицания: если [не (не р)], то р.

Необходимо доказать, что (p')' p = 1.Доказательство основано на двойном отрицании и импликации:

(p')' p = p p = p' + p = 1.

4.Обратный закон двойного отрицания: если р, то [не (не р)].

p (p')'= p' + p = 1.

5.Закон контрапозиции: если (если р, то q), то [если (не q), то(не р)].

(p q) (q' p') = (p' + q) (q + p') = pq' + p' + q = 1.

6.Законы, характеризующие конъюнкцию.

6.1.Если (р и q), то (q и р): pq qp = (pq)' + pq = 1.

6.2.Если (р и q),то р: (pq) p = (pq)' + p = p' + q' + p = 1.

6.3.Если (р и q), то q: (pq) q = (pq)' + q = p' + q' + q = 1.

6.4.Если р, то [если q, то (p и q)]: p (q pq) = p' + q' + pq = 1.

7.Законы импликативных суждений.

7.1.Если [(если р, то q) и (если р,то r)], то [если р, то(q и r )].

[(p q)(p r)] (p qr) = [(p' + q)(p' + r)]' + p' + qr =

= (p'+qr)'+p'+qr = 1.

7.2.Если [(если р, то q) и (если r,то s)],то [если(р и r),то (q и s)].

[(pq)(rs)] (prqs) = [(p'+q)(r'+s)]'+p'+r'+qs = pq'+rs'+p'+r'+qs = 1.

7.3.Если [(если р, то q) и (если q, то r)],то (если р, то r).

[(pq)(qr)] (pr) = pq'+qr'+p'+r = 1.

7.4.Если [(если р, то q) и (если r, то q)],то [если (р или r), то q].

[(pq)(rq)] [(p+r) q] = pq'+rq'+p'r'+q = 1.

8.Законы, характеризующие дизъюнкцию.

8.1.Если (р или q), то (q или p).

(p+q) (q+p) = (p+q)'+(p+q) = 1.

8.2.Если (р или q), то (если не р, то q).

(p+q) (p'q) = p'q'+p+q = 1.

Закон Лобановой С.В.

Сокращение на общий множитель или отбрасывание общих частей в левой и правой половинах логического уравнения недопустимо.

Проверим Русскую логику (РЛ) на задачах Катречко (Катречко С.Л. Введение в логику. - М.: УРАО, 1997.):

Задача 2.1.

Если в суффиксе данного полного прилагательного или причастия пишется два н, то они пишутся и в соответствующем наречии. Неверно, что в суффиксе данного наречия пишется два н. Следовательно, в суффиксе полного прилагательного или причастия, из которого образовалось наречие, пишется одно н.

Решение.

X - в причастии два н,

Y - в полном прилагательном два н,

Z - в наречии два н.

((x+y) z)z' x'y' = (x'y'+z)z' x'y' = x'y'z' x'y' = x+y+z+x'y' = 1.

Мы доказали заданное заключение.

Задача 2.2.

Он сказал, что придёт, если не будет дождя (а на его слова можно полагаться). Но идёт дождь. Значит, он не придёт.

Решение.

X - он придёт,

Y - нет дождя.

М = (y x)y' x' = (y'+x)y' x' = y' x' = y+x' 1.

Следовательно, вывод был опрометчивым.

Задача 2.3.

Если равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, не равна 0, то оно движется неравномерно или непрямолинейно, так как известно, что если эта равнодействующая равна 0, то тело движется равномерно и прямолинейно.

На этом примере покажем важность правильной и полной формулировки задачи.

Решение.

Проверим это утверждение. Введём следующие обозначения:

X - равнодействующая всех сил равна 0,

Y - движение равномерно, Z - движение прямолинейно.

Тогда по алгоритму “Импульс” получим:

 (x yz) (x' (y'+z')) = (x'+yz) (x+y'+z') = x(y'+z')+x+y'+z' =

= x+y'+z' 1.

Т.е. мы доказали несостоятельность данного утверждения. Однако, это не согласуется с механикой. Почему так вышло? Дело в том, что в исходных условиях мы не отразили существование второго закона: если тело движется равномерно и прямолинейно, то равнодействующая всех сил, действующих на движущееся тело, равна 0. Учитывая оба закона, получим следующее доказательство:

(x yz)(yz x) (x' (y'+z')) = (x'+yz)((yz)'+x) (x+y'+z')=

= x(yz)'+x'yz+x+y'+z' = 1.

В данном случае результат соответствует законам физики.

Большое количество примеров и задач по логике суждений можно найти в [5].

2.1 Практикум по логике суждений

Задача 2.1.1.

Джонс утверждает, что не встречал этой ночью Смита. Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал его этой ночью, а убийство было совершено после полуночи. Если убийство было совершено после полуночи, то либо Смит был убийцей, либо Джонс лжёт. Следовательно, убийцей был Смит.

Решение.

X - Джонс не встречал Смита, Y - Смит - убийца,

Z - убийство было совершено после полуночи.

(x ( y+x'))(y' xz)(z (y+x')) y = (x'+y)(y+xz)(z'+y+x') y =

xy'+y'(x'+z')+xy'z+y = 1.

Т. е. Смит - убийца.

Задача 2.1.2 [12, с.79, №78].

По обвинению в ограблении перед судом предстали А, В и С. Установлено следующее:

1. Если А не виновен или В виновен, то С виновен.

2. Если А не виновен, то С не виновен.

Можно ли установить виновность каждого из трёх подсудимых?

Решение.

Обозначим через a, b, c виновность А, В и С. Тогда получим полную единицу системы в виде:

M = ((a'+b) > c)(a' > c') = (ab'+c)(a+c') = ab'+ac.

Подозреваемый А виновен безусловно.

Задача 2.1.3.

Прямые a и b или параллельны, или пересекаются, или скрещиваются. Если прямые a и b лежат в одной плоскости, то они не скрещиваются. Прямые a и b лежат в одной плоскости и не пересекаются. Следовательно, прямые a и b параллельны.

Решение.

X - прямые параллельны,

Y - прямые пересекаются,

Z - прямые скрещиваются,

U - прямые лежат в одной плоскости.

(xy'z'+x'yz'+x'y'z)(u z')uy' x = (xy'z'+x'yz'+x'y'z)(u'+z')uy' x (xy'z'+x'yz'+x'y'z)'+uz+u'+y+x = 1.

Задача 2.1.4 [12, с.76, №72].

Подозреваемые А, В и С были вызваны для допроса. Установлено следующее:

1. Никто, кроме А, В и С, в хищении не замешан.

2. А никогда не идёт на дело без по крайней мере одного соучастника.

3. С не виновен.

Виновен или не виновен В?

Решение.

Обозначим через a, b, c виновность А, В и С. Тогда получим полную единицу системы в виде:

M = (a+b+c)(a > (abc'+ab'c+abc))c' = (a+b+c)(a'+b+c)c' = (a+b+c)(a'c'+bc') = bc'.

Итак: В виновен безусловно, но, возможно, виновен и А.

Задача 2.1.5.

Известно, что, если данный многоугольник правильный, то в него можно вписать окружность.

Данный многоугольник правильный, следовательно, в него можно вписать окружность.

В данный многоугольник нельзя вписать окружность, следовательно, он неправильный.

В данный многоугольник можно вписать окружность, следовательно, он правильный.

Проверить эти утверждения.

Решение.

X - многоугольник правильный, Y - в многоугольник можно вписать окружность.

(x y)x y = (x'+y)x y = xy y x'+y'+y = 1.

(x y)y' x' = (x'+y)y' x' = x'y'+x' x+y+x' = 1.

(x y)y x = (x'+y)y x = y x y'+x 1.

Действительно, в некоторые трапеции можно вписать окружность, но от этого они не станут правильными многоугольниками.

Задача 2.1.6.

Если число делится на 4, то оно чётное. Число - чётное. Значит, оно делится на 4.

Решение.

X - число делится на 4, Y - число чётное.

(x y)y x = (x'+y)y x = y x = y'+x 1.

Задача 2.1.7.

Если бы он не пошёл в кино, то он не получил бы двойки. Если бы он подготовил домашнее задание, то не пошёл бы в кино. Он получил двойку. Значит, он не подготовил домашнее задание.

Решение.

x - пошёл в кино, y - получил двойку, z - подготовил домашнее задание.

(x' y')(z x')y z' = (x+y')(z'+x')y z' = x'y+xz+y'+z' = 1.

Задача 2.1.8.

Если аргументы некоторого рассуждения истинны, а его тезис не является таковым, то рассуждение не является правильным. Данное рассуждение правильно и его аргументы истинны. Следовательно, его тезис является истинным.

Решение.

X - аргументы верны, Y - тезис верен, Z - рассуждение верно.

(xy' z')xz y = (x'+y+z')xz y = xyz y = x'+y'+z'+y = 1.

Задача 2.1.9 [12, с.27, №29].

На острове живут только лжецы и рыцари. Рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Смаллиан спросил у жителей А и В, кто они. Предположим, что А ответил: « Или я лжец, или В рыцарь». Кто из двух персонажей А и В рыцарь и кто лжец?

Решение.

a - А - рыцарь, b - В - рыцарь .

Вар.1.

a(a'+b) a'(a'+b)' = ab a'ab' = ab.

Вар.2.

[a (a'+b)][a' (a'+b)'] = (a'+a'+b)(a+ab') = (a'+b)a = ab.

Оба варианта дали правильный ответ: персонажи А и В - рыцари. Каждый вариант решения занимает всего одну строчку. У Смаллиана эта процедура растягивается на две страницы [12, c.33 - 35], что говорит о безграмотности и бестолковости Смаллиана: весь использованный нами математический аппарат в его время был уже известен. Кроме того, Смаллиан просит связку ИЛИ-ИЛИ считать обыкновенной дизъюнкцией, хотя на самом деле это разделительное ИЛИ, т.е. «сумма по модулю 2».

Задача 2.1.10.

Если Джон - автор этого слуха, то он глуп или беспринципен. Следовательно, если Джон не глуп или не лишён принципов, то он не является автором этого слуха.

Решение.

X - Джон - автор слуха, Y - Джон глуп, Z - Джон беспринципен.

(x (y+z)) ((y'+z') x') = (x'+y+z) (yz+x') = xy'z'+yz+x' 1.

Джон может быть автором вздорного слуха, т.е. заключение неверно.

3.Силлогистика

Силлогистика - раздел логики, занимающийся анализом и синтезом силлогизмов. Силлогизм - это логическое рассуждение, состоящее из двух посылок, связанных друг с другом общим (средним) термином, и следующего из посылок заключения. В силлогизме обязательно присутствуют 3 термина: один средний и два крайних. Заключение определяет связь крайних терминов друг с другом.

Под анализом мы будем понимать проверку правильности заданного заключения, а под синтезом - нахождение заключения при заданных посылках.

Рассмотрим достаточно очевидный пример силлогизма:

Все люди талантливы.

Все школьники - люди.

Все школьники талантливы.

Здесь общим термином является слово «люди», крайние термины - «талантливые» и «школьники». Это очень простой силлогизм: полученное заключение, связывающее крайние термины, «Все школьники талантливы» не вызывает сомнений. Чуть посложнее задачка - и все «логики» (по саркастическому определению Кэрролла) пасуют. Чтобы ввести математику в силлогистику, пришлось создать скалярные диаграммы (диаграммы Лобанова). На их основе были получены математические соотношения для всех силлогистических функторов (кванторов). Классическая логика различает общеутвердительный (Аху), общеотрицательный (Еху), частноутвердительный (Ixy) и частноотрицательный (Oxy) функторы. Частноотрицательный функтор не имеет смысла, поэтому он нигде не используется. Вышеуказанные обозначения «переводятся на русский язык» следующим образом:

Аху - Все Х суть У. Еху - Ни один Х не есть У.

Ixy - Некоторые Х суть У. Oxy - Некоторые Х не суть У.

Автор в 1995г., создавая Русскую логику, не подозревал (а современные логики и до сих пор не подозревают), что 125 лет тому назад формулы для Axy, Exy очень красиво вывел П.С.Порецкий[11] без всяких диаграмм. На рисунке показаны диаграммы Лобанова, переход к ним от диаграмм Венна и процесс вывода соотношений для Аху, Еху и Ixy.

На диаграммах символ U обозначает универсум. Под универсумом подразумевается мир вещей, понятий и т.п., в среде которых и находятся термины (множества) силлогизма. В вышеприведённом силлогизме в качестве универсума можно выбрать либо млекопитающих, либо всех животных, либо весь животный и растительный мир. Поэтому, задавая силлогизм, нужно обязательно оговаривать универсум.

Рассмотрим, как выполняется переход от скалярных диаграмм Лобанова к таблицам истинности на примере синтеза Axy. Из скалярной диаграммы для Axy видно, что аргументы х и y образуют следующие наборы: 00, 01 и 11. Поэтому против них в таблице истинности в графе Axy записаны единицы. Набора 10 не существует, поэтому против него в графе Axy записан нуль. После занесения таблицы истинности в карту Карно и минимизации была получена формула

Axy = x'+y.

Аналогично были получены формулы для Exy, Ixy.

Решение этой же задачи Порецким на основе формулы равнозначности выглядит так:

Axy = (x = xy) = x(xy)+x'(xy)' = xy+x'(x'+y') = xy+x' = x'+y.

Здесь (x = xy) означает, что множество Х является пересечением множеств Х и Y. Аналогично по Порецкому

Exy = (x = xy') = xy'+x'(xy')' = xy'+x' = x'+y'.

Кстати, отсюда видно, что общеотрицательный функтор не нужен, т.к. Exy = Axy' = Ayx', т.е. вполне можно обойтись одним общеутвердительным функтором.

Этих формул до сих пор нет ни в одном учебнике логики.

Из анализа полученных соотношений следует весьма жёсткий вывод.

Логика суждений и логика предикатов (силлогистика) - это одно и то же. Дело в том, что общеутвердительный силлогистический функтор описывается по Порецкому и по Лобанову формулой:

Axy = x' + y.

Импликация имеет тот же математический вид:

x> y = x' + y.

Да и общеразговорные значения этих операторов одинаковы. Мы говорим: «Все люди талантливы». Этот же смысл сохранится в суждении: «Если ты человек, то ты талантлив». «Во всяком равнобедренном треугольнике углы при основании равны» или «Если треугольник равнобедренный, то углы при основании равны».

Часто задают вопрос:«Почему

x> y = x' + y ?».

Именно потому,что x> y ? Axy. Но Порецкий П.С. доказал, что

Axy = x' + y, поэтому и x> y = x' + y.

Следовательно, разделение на логику суждений и логику предикатов бессмысленно и свидетельствует о бестолковости современных матлогиков. Ну а математик, не знающий логики - по меньшей мере невежда и, вполне вероятно, что бестолочь. Во всяком случае, ни один математик не возмутился алгеброй множеств, логикой предикатов, кванторным исчислением и другими «находками» матлогиков. Дело в том, что алгебра множеств - это и есть алгебра логики, поскольку логика оперирует и множествами. Кванторное исчисление ничего не исчисляет, т.к. является обыкновенной мнемоникой. А логика предикатов, как мы только что сейчас доказали, и логика суждений - синонимы.

Для решения задач силлогистики автором были разработаны различные алгоритмы. Самый прозрачный и эффективный из них алгоритм «ТВАТ» (Тушинский вечерний авиационный техникум).

Алгоритм «ТВАТ» (графический синтез силлогизмов)

1.Изобразить все возможные ситуации для исходных посылок с помощью скалярных диаграмм.

2.Занести в таблицу истинности все значения f(x,y) для входных наборов xy: 00,01,10,11.

3.Выполнить минимизацию логической функции заключения f(x,y).

4.Полученный результат представить в виде силлогистического функтора.

В случае получения многовариантного заключения можно ограничиться выполнением лишь п.1 алгоритма «ТВАТ».

Проиллюстрируем возможности Русской логики на конкретном примере. Бертран Рассел в своей работе «История западной философии» (М.:2000 -768с.) на стр.194 приводит силлогизм:

Все люди разумны.

Некоторые животные - люди.

Некоторые животные - разумны.

Покажем на этом примере недостатки мышления Б.Рассела. Во-первых, отсутствие дисциплины мышления проявляется в отсутствии универсума, хотя даже 100 лет назад Льюис Кэрролл не позволял себе такого невежества. Определим, например, в качестве универсума для силлогизма Рассела весь животный и растительный мир. Во-вторых, последняя посылка с позиции русской логики просто бестолкова. Дело в том, что частноутвердительный функтор обладает симметрией. Мы можем высказать четыре равноценных суждения:

1. Некоторые студенты - молодые люди.

2. Некоторые студенты - немолодые люди.

3. Некоторые молодые люди - студенты.

4. Некоторые немолодые люди - студенты.

В силу симметрии частноутвердительного функтора мы должны при выбранном нами универсуме считать, что некоторые люди - животные, а остальные - деревья, кусты, грибы, цветы или другие растения.

В соответствии с Русской логикой и здравым смыслом вторую посылку необходимо заменить суждением «Все люди - животные», поскольку именно это утверждение соответствует истине.

В-третьих, по теории великого русского физиолога И.П. Павлова, а Рассел придерживался именно этой господствующей до сих пор теории, разумными могут быть люди и только люди, т.е. «люди» и «разумные существа» - равнозначные понятия.

Следовательно, и первая посылка некорректна.

Устранив ошибки невежества и бестолковости Б.Рассела, получим следующие посылки.

Все люди(m) и только люди разумны(x).

Все люди(m) - животные(y).

F(x,y) = ?

Решение.

Пусть x - разумные существа, m - люди, y - животные. Универсум - животный и растительный мир.

Представим полную единицу системы М в виде произведения исходных посылок:

M = (x~m)Amy = (xm+x'm')(m'+y) = m'x'+xmy+x'm'y = m'x'+xmy

F(x,y) = M(x,y) = x'+y = Axy.

Этот результат получен аналитически простым удалением аргумента m из М. Более надёжным является графическое решение.

Из диаграмм Лобанова видно, что для аргументов х и y существуют следующие наборы: 00, 01 и 11. Поэтому против них в таблице истинности в графе f(x,y) записаны единицы. Набора 10 не существует, поэтому против него в графе f(x,y) записан нуль.

Таким образом мы получили правильное заключение «Все разумные - животные», что вполне согласуется со здравым смыслом и математикой. Б.Рассел в монографии «Искусство мыслить» (М.:1999) на с. 38 приводит такой силлогизм: «Если А находится вне В и В находится вне С, то А находится вне С». Данный силлогизм - образец безграмотности и глупости. По алгоритму ТВАТ построим диаграммы.

В результате мы получили трёхвариантное заключение: Aca, Iac, Eac. Кстати, если мы зададим количественные характеристики терминов: U=10, A=4, B=4, C=3, то получим двухвариантное заключение. Здесь не будет места для Eac: будут лишь Aca и Iac. Рассмотренные примеры демонстрируют не только дремучее невежество и вопиющую безграмотность Б.Рассела, но и его бестолковость.

При решении второй задачи Б.Рассела в классической логике мы получили бы так называемое интегрированное (обобщённое) заключение Iac. В настоящее время такие заключения никого не интересуют.

Нам нужно знать абсолютно точно все варианты полученного решения и вероятности этих вариантов.

В данном примере получены 3 варианта решения силлогизма: Eac, Aca, Iac. Это самое важное: найти все варианты заключений.

Поиск вероятностей - дело техники, т.е. для средней школы дело второстепенное и необязательное.

Кроме того, для определения вероятностей нужно иметь количественные характеристики всех терминов.

Если в силлогизме получается лишь единственный вариант заключения, количественные характеристики терминов не нужны.

Приведём пример задачи на поиск заключения в силлогизме с заданными количественными характеристиками.

Задача 3.1.

В кафе оказались вместе 5 юношей. Один из них спортсмен, два отличника, два школьника и 3 студента. Известно, что спортсмен является студентом отличником и что все спортсмены - студенты.

Найти все варианты заключения.

Решение.

Пусть U=5 - кол-во юношей, M=1 - кол-во спортсменов, X=2 - кол-во отличников, Y=3 - кол-во студентов.

Краткая запись условия задачи выглядит так: AmxAmy.

Из скалярных диаграмм видно, что либо все отличники - студенты, либо один школьник и один студент оказались отличниками.

Более основательную информацию по силлогистике и Русской вероятностной логике можно получить из [5 - 10].

3.1 Практикум по силлогистике

Большинство задач позаимствовано из книги Кэрролла (Кэрролл Л. История с узелками. - М.:Мир,1973). Для английского логика характерен дурной тон в постановке исходных посылок: иногда весьма трудно понять, что подразумевает автор под той или иной фразой. Поэтому учащийся имеет право на подсказку-перевод с невразумительного языка логика-сказочника на чёткий математический язык.

Задача 3.1.1.

Проверить корректность 1-го правила посылок классической силлогистики. Решение.

Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть утвердительным суждением. Из двух отрицательных посылок заключение с необходимостью не следует». Подберём контр-пример на 1-е правило посылок.

Ни один человек(m) не является бессмертным(x).

Ни один человек(m) не является счастливым(y).

F(x,y) = ?

В данном силлогизме универсумом(U=5) является множество существ: смертных и бессмертных богов (х). Пусть х=1. Количество счастливых (у) в нашем случае равно 3. Пусть множество смертных состоит из людей (m=2) и 3-х медведей.

Запись условия задачи:

M = EmxEmy

По алгоритму ТВАТ получим графическое решение .

Мы получили двухвариантное заключение:

Бог несчастлив (счастливы только 3 медведя).

Бог счастлив (счастливы и какие-то 2 медведя из 3-х).

Мы доказали, что первое правило посылок некорректно.

Задача 3.1.2.

Проверить корректность 2-го правила посылок классической силлогистики.

Решение.

Это правило формулируется так: «Если одна из посылок - отрицательное суждение, то и заключение должно быть отрицательным». Контр-пример для этого случая может быть таким.

Все люди(m) - животные(x).

Ни один человек(m) не имеет хвоста(y).

F(x,y) = ?

В качестве универсума(U) примем множество животных. Наиболее наглядным является графическое решение по алгоритму ТВАТ. В этом случае можно не задавать количественные характеристики.

Аналитическая запись условия задачи выглядит так:

M = AmxEmy.

Из скалярных диаграмм видно, что заключение является общеутвердительным: «Все хвостатые существа - животные», что опровергает 2-е правило посылок.

Задача 3.1.3.

Проверить корректность 3-го правила посылок классической силлогистики.

Решение.

Это правило формулируется так: «Хотя бы одна из посылок должна быть общим суждением. Из двух частных посылок заключение с необходимостью не следует». Рассмотрим контр-пример:

Некоторые люди (m) неграмотны (x).

Некоторые люди (m) бескультурны (y).

F(x,y) = ?

Пусть (U=6) - множество животных, люди (m=3) - часть животного мира. Предположим, что бескультурным (у=3) может быть как неграмотный (х=2), так и грамотный. Животные, кроме людей, по определению не могут быть культурными.

Вновь воспользуемся алгоритмом ТВАТ.

Краткая запись условия задачи: M = ImxImy.

Получено трёхвариантное заключение:

1. Все неграмотные культурны.

2. Все неграмотные бескультурны.

3. Некоторые неграмотные культурны.

Такое заключение перечёркивает 3-е правило посылок.

Задача 3.1.4.

Проверим 4-е правило посылок: если одна из посылок - частное суждение, то и заключение должно быть частным. Проведём синтез силлогизма:

Все люди (m) смертны (x)

Некоторые люди (m) неграмотны (y)

f(x,y) = ?

Решение.

Пусть в универсум входят люди, животные и боги. В этой задаче не требуются количественные характеристики. Богов будем считать грамотными. Краткая запись условия задачи:

M = AmxImy.

Полученный результат «Все неграмотные смертны» опровергает 4-е правило посылок.

Задача 3.1.5.

Все люди(x) смертны(m)

Сократ(y) - смертен(m)

f(x,y) = ?

Решение.

Если в силлогизме в качестве универсума примем множество животных, т. е. только смертных, то, не зная, что Сократ - человек, получим следующее решение. В данном случае задание количественных характеристик не обязательно.

Краткая запись условия задачи:

M = AxmAym.

Расшифровывается эта формула так: «Сократ либо человек, либо животное».

Задача 3.1.6.

Все квадраты(m) суть прямоугольники(x)

Все квадраты(m) суть ромбы(y)

f(x,y) = ?

Решение.

Краткая запись условия задачи:

M = AmxAmy.

Если в качестве универсума используем понятие “параллелограммы”, то получим по алгоритму ТВАТ следующий результат:

Заключение в этом случае звучит так: « Некоторые прямоугольники суть ромбы».

Задача 3.1.7.

Найти недостающую посылку:

Все люди (m) смертны (x)

f(m,y) = ?

Все неграмотные (y) смертны (х)

Решение.

Пусть в универсум входят люди, животные и боги, т.е. существа. Богов будем считать грамотными. Поскольку под грамотностью мы понимаем умение читать и писать, то всех животных необходимо признать неграмотными по определению. А поскольку нам известно, что и не все люди грамотные, то количественные параметры терминов нам не нужны. Однако за счёт подбора параметров можно получить искомую посылку в виде Emy.

Краткая запись условия задачи выглядит так:

Amx & f(m,y) > Ayx.

Изобразив на диаграммах Лобанова исходную посылку и заключение, легко найдём недостающую посылку:

Полученная посылка «Некоторые люди неграмотны» в очередной раз опровергает одно из классических правил посылок.