Размещено на http://www.allbest.ru/

38

Размещено на http://www.allbest.ru/

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

По теме: "Классы Фиттинга конечных групп"

Оглавление

• Введение 3
• Глава 1. Используемые обозначения, определения и известные результаты 7
• §1. Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы 8
• §2. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы 13
• §3. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп 15
• Глава 2. Классы Фиттинга и их свойства 17
• §1. Простейшие свойства классов Фиттинга 17
• §2. F-радикалы и F-инъекторы. Нормальные классы Фиттинга 21
• 1. F-радикалы и F-инъекторы 22
• 2. Нормальные классы Фиттинга 28
• §3. Произведение классов Фиттинга 30
• §4. Практические примеры 33
• Заключение 37
• Библиография 38

Введение

Абстрактная алгебра изучает множества с заданными на них алгебраическими операциями и отношениями. С древнейших времён математики имели дело с конкретными множествами (числа, векторы, матрицы и т.д.) не изучая глубоко абстрактные множества и их свойства.

Возникновение понятия группы стало новым витком в алгебре и началом абстрактной алгебры как таковой. Истоки понятия группы обнаруживаются в нескольких дисциплинах, главная из которых - теория решений алгебраических уравнений в радикалах. В 1771 г. французские математики Ж. Лагранж и А. Вандермонд впервые для нужд этой теории применили подстановки. Затем, в ряде работ итальянского математика П. Руффини (1799 г. и позднее), посвященных доказательству неразрешимости уравнения пятой степени в радикалах, систематически используется замкнутость множества подстановок относительно их композиции и по существу описаны подгруппы группы всех подстановок пяти символов. Глубокие связи между свойствами группы подстановок и свойствами уравнений были указаны норвежским математиком Н. Абелем (1824) и французским математиком Э. Галуа (1830). Галуа принадлежат и конкретные достижения в теории групп: открытие роли нормальных подгрупп в связи с задачей о разрешимости уравнений в радикалах, установление свойства простоты знакопеременных групп степени n?5 и др.; он же ввёл термин "группа", хотя и не дал строгого определения. Важную роль в систематизации и развитии теории групп сыграл трактат французского математика К. Жордана о группе подстановок (1870).

Идея группы независимо возникла и в геометрии, когда в середине 19 в. на смену единой античной геометрии пришли многочисленные "геометрии" и остро встал вопрос об установлении связей и родства между ними. Выход из создавшегося положения был намечен исследованиями по проективной геометрии, посвященными изучению поведения фигур при различных преобразованиях. Постепенно интерес в этих исследованиях перешёл на изучение самих преобразований и поиск их классификации. Таким "изучением геометрического родства" много занимался немецкий математик А. Мёбиус. Заключительным этапом на этом пути явилась "Эрлангенская программа" немецкого математика Ф. Клейна (1872), положившая в основу классификации геометрий понятие группы преобразований: каждая геометрия определена некоторой группой преобразований пространства, и только те свойства фигур принадлежат к данной геометрии, которые инвариантны относительно преобразований соответствующей группы.

Третий источник понятия группа - теория чисел. Уже Л. Эйлер, изучая "вычеты, остающиеся при делении степеней", по существу пользовался сравнениями и разбиениями на классы вычетов, что на теоретико-групповом языке означает разложение группы на смежные классы по подгруппе. К. Гаусс в "Арифметических исследованиях" (1801), занимаясь уравнением деления круга, фактически определил подгруппы его группы Галуа. Там же, изучая "композицию двоичных квадратичных форм", Гаусс по существу доказывает, что классы эквивалентных форм образуют относительно композиции конечную абелеву группу. Развивая эти идеи, немецкий математик Л. Кронекер (1870) вплотную подошёл к основной теореме о конечных абелевых группах, хотя и не сформулировал её явно.

Осознание в конце 19 в. принципиального единства теоретико-групповых форм мышления, существовавших к тому времени независимо в разных областях математики, привело к выработке современного абстрактного понятия группы. Уже в 1895 г. Ли определял группу как совокупность преобразований, замкнутую относительно их композиции, удовлетворяющей некоторым условиям. Изучение групп без предположения их конечности и без каких бы то ни было предположений о природе элементов впервые оформилось в самостоятельную область математики с выходом книги О. Ю. Шмидта "Абстрактная теория групп" (1916).

Во второй половине XX века (в основном, между 1955 и 1983 гг.) была проведена огромная работа по классификации всех конечных простых групп.

Новым витком развития алгебры стало изучения классов групп, т.е. множеств, элементами которых являлись уже не отдельные элементы, а группы.

Абстрактная алгебра довольно долго использовала в теории конечных групп такие классы групп как формации. В 1963 г. работа Гашюца дала сильный толчок в направлении изучения формаций. Возникла отдельная теория формаций. Значительные результаты были получены уже в первые годы использования этой теории.

Классы Фиттинга впервые упоминаются в статье Fischer B. Klassen konjugirter Untergruppen in endlichen auflosbaren Gruppen, Habilitationsschrift, Universitat Frankfurt am Main в 1966 году. В статье Fischer, B., Gaschutz, W. und Hartly, B. Injektoren endlicher auflosbarer Gruppen (Math. Z. 102, 1967 год) впервые рассматриваются классы Фиттинга конечных групп.

В первой статье (1966) классы Фиттинга были введены двойственным образом к формациям, классам групп, замкнутым относительно фактор-групп и относительно подпрямого произведения. Классы Фиттинга замкнуты относительно нормальных подгрупп и прямого произведения нормальных X-подгрупп.

Двойственность заключалась в том, что определение классов Фиттинга получалось из определения формаций заменой фактор-групп на нормальные подгруппы. В силу двойственности формацию называют корадикальным классом (класс Фиттинга - радикальный класс). Двойственность наблюдается и в теории F-проекторов (формации) и F-инъекторов (классы Фиттинга).

В настоящий момент теория классов Фиттинга насчитывает всего 44 года, за которые были получены довольно значительные результаты. Данная теория является «молодой», актуальной для современных алгебраистов и хранит в себе ещё много нераскрытых фактов и неизученных вопросов.

Цель данной работы в том, чтобы привести последовательное и доступное изложение основной теории по классам Фиттинга и рассмотреть некоторые практические примеры. Работа может быть полезной для студентов математических факультетов при написании курсовых и дипломных работ, учителям математики при разработке факультативных занятий и элективных курсов.

Глава 1. Используемые обозначения, определения и известные результаты

X - класс групп

A - класс всех абелевых групп

N - класс всех нильпотентных групп

S - класс всех разрешимых групп

U - класс всех сверхразрешимых групп

G - класс всех конечных групп

{б | в} - множество всех б, для которых выполняется в.

G - группа

|G| - порядок группы G

e - единичный элемент группы G

E - единичная подгруппа, единичная группа

р(n) - множество всех простых делителей натурального числа n

р(G) - множество всех простых делителей порядка группы G

Z(G) - центр группы G

F(G) - подгруппа Фиттинга группы G

Ф(G) - подгруппа Фраттини группы G

G' - коммутант группы G

Soc G - цоколь группы G

C_G(H) - централизатор подгруппы H в группе G

N_G(H) - нормализатор подгруппы H в группе G

Aut G- группа всех автоморфизмов группы G

H ? G - H является подгруппой группы G

H < G - H является собственной подгруппой группы G

M <· G - M является максимальной подгруппой группы G

HG - H является нормальной подгруппой группы G

HG - H является субнормальной подгруппой группы G

HG - H является минимальной нормальной подгруппой группы G

G/N - факторгруппа группы G по подгруппе H

|G:H| - индекс подгруппы H в группе G

A?B- прямое произведение подгрупп A и B

AB- полупрямое произведение нормальной подгруппы A и подгруппы B

- подгруппа, порожденная некоторым множеством элементов

[x, y] = x^-1y^-1xy - коммутатор элементов x, yG

AB - группы A и B изоморфны

X?_цY - ц-сплетение групп X и Y

X?Y - регулярное сплетение групп X и Y

S_n- симметрическая группа степени n

A_n- знакопеременная группа степени n

- множество всех простых чисел

? - начало доказательства

¦ - конец доказательства

О.1.1. - первое определение в первой главе

§1. Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы

Для того, чтобы ввести определение группы, введём определения декартового произведения множеств и бинарной алгебраической операции.

О.1.1. Декартовым произведением множеств A и B называется множество

C = {(a, b) | aA bB}, и обозначается A?B = C. То есть, С представляет собой множество всех пар, в которых первый элемент принадлежит множеству A, а второй - множеству B.

О.1.2. Декартовым квадратом множества A называется декартово произведение самого множества A на себя, то есть A?A = {(a₁, a₂) | a₁, a₂A}.

О.1.3. Бинарной алгебраической операцией (сокращённо б.а.о.) на множестве Х называют отображение декартова квадрата X?X в X. Если ц: X?X>X - бинарная алгебраическая операция на множестве X, то каждой упорядоченной паре (a, b) элементов из X соответствует однозначно определённый элемент c = ц(a, b) из X.

Бинарную алгебраическую операцию на множестве X обозначают одним из следующих значков: +, *, ?, •, ?,,, и т.д.

Чаще всего используют две формы записи операций: аддитивную и мультипликативную. При аддитивной форме записи операцию называют сложением и вместо c = a?b пишут c = a+b. При мультипликативной форме записи операцию называют умножением и вместо c = a?b пишут с = a•b или проще c = ab.

В дальнейшем, в данной работе мы будем пользоваться мультипликативной формой записи операции.

Теперь введём определение группы.

О.1.4. Множество G с заданной на нём бинарной алгебраической операцией (умножением) называется группой, если выполняются следующие условия:

1) заданная операция полностью определена на G, т.е. abG для любых для любых a, b G;

2) операция ассоциативна, т.е. a(bc) = (ab)c для любых a, b, c G;

3) в G существует единичный элемент, т.е. такой элемент eG, что ea = ae = a для любых aG;

4) для каждого элемента из G существует обратный элемент из G, т.е. для любого aG существует такой элемент a^-1G, что aa^-1 = a^-1a = e.

Если операция коммутативна, т.е. ab = ba для любых a, bG, то группа называется коммутативной или абелевой.

О.1.4. Порядком группы G называется число элементов в группе и обозначается |G|=n, если группа имеет конечное число элементов и |G|=?, если группа имеет бесконечное число элементов.

В дальнейшем, в данной работе мы будем рассматривать конечные группы, т.е. группы с конечным порядком. Простейшим примером конечной мультипликативной группы может служить группа {-1, 1} с алгебраической операцией умножения. Порядок такой группы будет равен двум.

О.1.5. Подмножество H группы G называется подгруппой G, если H является группой относительно той же операции, что и группа G, и обозначается H ? G (H подгруппа G). Так же, используется обозначение H < G - H собственная подгруппа в G, т.е. H ? G и H ? G.

При выявлении подгрупп важную роль играет следующая теорема:

Теорема 1.1. (Критерий подгруппы).

Непустое подмножество H группы G является подгруппой в том, и только в том случае, когда h₁h₂H и h₁^-1H для любых h₁, h₂H.

О.1.6. Две группы G и G₁ являются изоморфными, если существует биекция (взаимно однозначное отображение) f: G > G₁ такая, что f(ab) = f(a)f(b) для любых a, bG. Запись GG₁ означает, что группа G изоморфна группе G₁.

О.1.7. Пусть G - группа, H - подгруппа в G и gG. Тогда множество

Hg = {hg | hH} называется правым смежным классом группы G по подгруппе H.

Аналогично определяется левый смежные класс gH = {gh | hH}.

Приведём некоторые свойства смежных классов, полагая, что G - группа, а H - её подгруппа:

Теорема 1.2.

1) H = He;

2) gHg для любого gG;

3) если aH, то Ha = H; если bHa, то Hb = Ha;

4) Ha = Hb тогда и только тогда, когда ab^-1H;

5) Два смежных класса либо совпадают, либо из пересечение пусто;

6) Если H - конечная подгруппа, то |Hg| = |H| для любого gG

О.1.8. Число различных правых смежных классов группы G по подгруппе H называется индексом подгруппы H в G и обозначается |G : H|.

Теорема 1.3. (Лагранжа).

Если H - подгруппа конечной группы G, то |G| = |H||G : H|. В частности, порядок конечной группы делится на порядок каждой своей подгруппы.

О.1.9. Подгруппа H группы G называется нормальной подгруппой группы G, если xH = Hx для любых xG, и обозначается HG (H - нормальная подгруппа группы G).

В каждой группе G тривиальные подгруппы являются нормальными подгруппами.

О.1.10. Группа G называется простой, если в неединичной группе G нет других нормальных подгрупп.

Единичную группу Е считают непростой.

О.1.11. Нормальная подгруппа N группы G называется минимальной, если она не имеет нетривиальных подгрупп группы G и обозначается NG.

О.1.12. Цоколем группы G называется подгруппа, являющаяся произведением всех минимальных нормальных подгрупп группы G и обозначается Soc G.

О.1.13. Пусть Т -- непустое подмножество группы G. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом множества Т, называется централизатором множества Т в группе G и обозначается через C_G(T).

О.1.14. Центром группы G называется совокупность всех элементов группы G, перестановочных с каждым элементом группы G. Центр группы G обозначается через Z(G).

Ясно, что Z(G) = C_G(G), т.е. центр группы G совпадает с централизатором подмножества G в группе G. Кроме того, Z(G)=.

О.1.15. Если Т - непустое подмножество группы G и gG, то gT={gt | tT} и Tg={tg | tT}.Элемент gG называется перестановочным с подмножеством Т, если gT=Tg.

Равенство gT=Tg означает, что для любого элемента t₁T существует такой элемент t₂T, что gt₁=t₂g. Если элемент g перестановочен с подмножеством Т, то gT=Tg и T=g^-1Tg=T^g.

О.1.16. Совокупность всех элементов группы G, перестановочных с подмножеством Т называется нормализатором подмножества Т в группе G и обозначается через N_G(T).

И так, N_G(T)={gG | gT = Tg} = {gG | T^g=T}.

О.1.17. Совокупность ={xH | xG} всех левых смежных классов группы G по нормальной подгруппе H с операцией (xH)(yH)=xyH образует группу с единичным элементом eH = H и обратным элементом (aH)^-1 = a^-1H. Группа G называется фактор-группой группы G по подгруппе H и обозначается G/H.

Если группа конечная, то фактор-группа любой группы G по нормальной подгруппе H так же будет группой конечного порядка, равного индексу подгруппы H в группе G, т.е. |G/H| = |G:H| = |G|/|H|.

О.1.18. Пусть H - подгруппа группы . Цепь подгрупп , в которой для любого i=1, 2, … , t, называется субнормальной (G-H)-цепью, а число t - длиной этой цепи. Наименьшее t, при котором существует хотя бы одна субнормальная (G-H)-цепь длины t, называется дефектом подгруппы H в G и обозначается через |G-H|.

О.1.19. Пусть - подгруппа группы H. Если существует хотя бы одна субнормальная (G-H)-цепь, то подгруппа называется субнормальной и означается HG.

Теорема 1.4. (Силова).

Пусть конечная группа G имеет порядок p^ms, где p - простое число и p не делит s. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) в группе G существует подгруппа порядка pⁱ для любого i = 1, 2, … , m;

2) если H - p-подгруппа и P - подгруппа порядка p^m, то существует такой элемент aG, что H ? P^a;

3) любые две подгруппы порядка p^m сопряжены;

4) число подгрупп порядка p^m в группе G сравнимо с единицей по модулю p и делит s.

О.1.20. Силовской p-подгруппой конечной группы G называется такая

p-подгруппа, индекс которой не делится на p.

Следствие 1.1.

Пусть конечная группа G имеет порядок p^ms, где p - простое число и p не делит s. Тогда:

1) существует силовская p-подгруппа и её порядок равен p^m;

2) каждая p-подгруппа содержится в некоторой силовской p-подгруппе;

3) любые две силовские p-подгруппы сопряжены;

4) число силовских p-подгрупп сравнимо с единицей по модулю p и делит s.

Лемма 1.1. (Фраттини)

Если K - нормальная подгруппа конечной группы G и P - силовская

p-подгруппа из K, то G=N_G(P)K.

§2. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы

О.1.21. Группа называется нильпотентной, если все её силовские подгруппы нормальны.

О.1.22. Группа называется нильпотентной, если обладает нормальным рядом E=G₀ ? G₁ ? … ? G_n = G, где G_iG для всех i=0, 1, … , n-1 и G_i/G_i-1 содержится в центре группы G/G_i-1 для всех i=1, 2, … , n.

Нильпотентная группа является прямым произведением своих силовских подгрупп.

О.1.23. Коммутатором элементов a и b называется элемент a^-1b^-1ab, и обозначается через [a, b].

О.1.24. Подгруппа группы G, состоящая из коммутаторов всех элементов группы G называется коммутантом группы G и обозначается G'.

О.1.25. Для группы G можно построить цепочку коммутантов:

G ? G' ? G” ? … G⁽ⁱ⁾ ? G⁽ⁱ⁺¹⁾ ? … Если существует номер n, такой что G⁽ⁿ⁾=E, то группа G называется разрешимой. Наименьшее натуральное число n, для которого G⁽ⁿ⁾=E, называется производной длиной группы G и обозначается через d(G).

О.1.26. Группа называется разрешимой, если она обладает нормальным рядом E=G₀ ? G₁ ? … ? G_n = G, где G_iG для всех i=0, 1, … , n-1 и факторы G_i/G_i-1 абелевы для всех i=1, 2, … , n.

О.1.27. Группа, которая не является разрешимой называется неразрешимой.

О.1.28. Группа G называется сверхразрешимой, если она имеет нормальный ряд с циклическими факторами, то есть E ? G₀ ? G₁ ? … ? G_n-1 ? G_n = G, где G_iG для любого i, i=0, …, n и G_i/G_i-1 - фактор-группы, i=1, …, n.

Пусть - множество всех простых чисел, а р - некоторое множество простых чисел, т.е. р. Дополнение к р на множестве будем обозначать через р', т.е. р'=\р.

Также, будем использовать функцию р(m) - множество всех простых чисел, делящих натуральное число m. Если G - группа, то вместо р(|G|) будем писать р(G).

О.1.29. Зафиксируем множество простых чисел р. Если р(m)р, то число m называется р-числом.

О.1.30. Подгруппа H группы G называется р-подгруппой, если |H| есть р-число.

О.1.31. Подгруппа H называется р-холловой подгруппой, если |H| является

р-числом, а индекс |G:H| - р'-числом.

О.1.32. Подгруппа H группы G называется холловой подгруппой, если H - р-холлова подгруппа для некоторого множества р.

Другими словами, H является холловой подгруппой в том, и только в том случае, когда (|H|,|G:H|)=1, т.е. порядок H взаимно прост с индексом группы G по подгруппе H.

§3. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп

О.1.33. Пусть G - группа, A и B - подгруппы группы G. Произведение G=AB={ab | aA, bB} называется прямым произведением своих подгрупп A и B, если A и B нормальны в G и AB=E, и обозначается G=A?B.

О.1.34. Пусть A нормальная подгруппа группы G и B - такая подгруппа группы G, что A?B=E и G=A·B. Тогда группа G называется полупрямым произведением нормальной подгруппы A и подгруппы B, и обозначается G=AB.

Элементы из B через сопряжённость индуцируют автоморфизмы на группе A.

О.1.35. Пусть X и Y - группы и ц - представление группы Y перестановками на множестве Щ. Группа X?_цY={(f, ц(y))| yY, f - отображение Щ в X} с операцией умножения (f₁, ц(y₁))·(f₂, ц(y₂))=(g, ц(y₁y₂)), где g(i)=, iЩ называется ц-сплетением групп X и Y.

Операция умножения ассоциативна, элемент (e, e_Щ) с e(i)=1X для всех iЩ является единичным элементом группы X?_цY, и обратным к элементу (f, ц(y)) является элемент (h, ц(y^-1)) c h(i)=, iЩ.

Пусть |Щ|=n. Тогда ц-сплетение X?_цY обладает нормальной подгруппой X^*=X₁?X₂?…?X_n с X_i={(f, e_Щ) | f(j)=1 для j?i}X и Y₁={(e, ц(y)) | yY, e(i)=1X для любого iЩ} является дополнением к X^* в X?_цY, причём Y₁Y, |X?_цY|=|X|ⁿ·|Y|, при трансформировании элементом y₁=(e, ц(y))Y₁ прямые сомножители из X^* переставляются следующим образом . Отождествляя Y₁ с Y, получим X?_цYX^*Y и для любого yY.

О.1.36. Группа X^* называется базой сплетения X?_цY.

О.1.37. Сплетение X?_цY называется регулярным или стандартным, если ц - регулярное представление Y, и коротко записывается X?Y.

Тогда |X?Y|=|X|^|Y|·|Y|.

Если Z - подгруппа группы Y, то X^*ZX?_ц|ZZ, где ц|Z - ограничение ц на Z. Для регулярного сплетения имеем X^*Z(X?X?…?X)?Z, где X берётся сомножителем |Y:Z| раз.

Пусть U - подгруппа группы X и U^*=. Тогда U^*YU?_цYX?_цY. Если U - нормальная подгруппа группы X, то U^* является нормальной подгруппой группы X?_цY и (X?_цY)/U^*(X/U)?_цY.

Если конечная группа G является расширением группы X с помощью группы Y, то сплетение X?Y содержит подгруппу изоморфную группе G.

Глава 2. Классы Фиттинга и их свойства

§1. Простейшие свойства классов Фиттинга

В этом параграфе мы приводим определение классов групп, классов Фиттинга и простейшие свойства классов Фиттинга.

О.2.1. Класс групп - это множество групп, которое вместе с каждой своей группой содержит все изоморфные ей группы. Например, A - класс всех абелевых групп, G - класс всех конечных групп.

О.2.2. Если X и F классы групп, причём FX, то F называют подклассом класса X, или, коротко, X-классом.

Если р - некоторое множество простых чисел и X - класс групп, то через X_р обозначается класс всех р-групп из X. X_р=XG_р. Группы из класса X_р называют также р-группами.

О.2.3. Класс X называется нормально наследственным или классом, замкнутым относительно нормальных подгрупп, когда выполняется требование: если GX и NG, то NX.

Очевидно, что если класс X замкнут относительно нормальных подгрупп, то X замкнут относительно субнормальных подгрупп, т.е. если GX и NG, то NX.

О.2.4. Класс X называется замкнутым относительно произведений нормальных подгрупп, когда выполняется требование: если N₁, N₂G и N₁, N₂X, то N₁N₂X.

О.2.5. Классом Фиттинга называется класс X, замкнутый относительно нормальных подгрупп и произведений нормальных X-подгрупп. Класс Фиттинга называется так же радикальным, а формацию, являющуюся классом Фиттинга - радикальной.

Теорема 2.1.

Если класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп, то каждая субнормальная X-подгруппа группы G содержится в некоторой нормальной X-подгруппе.

Пусть H - субнормальная X-подгруппа группы G. Применим индукцию по индексу |G : H|. Заметим, что H ? N_G(H) и N_G(H) ? G. Выберем подгруппу L в группе G, обладающую следующим свойством: подгруппа L порождается всеми субнормальными подгруппами X группы G такими, что H ? X ? N_G(H).

Ясно, что H ? L ? N_G(H). Так как подгруппа, порождённая субнормальными подгруппами является субнормальной подгруппой, то L субнормальна и существует субнормальная подгруппа M в группе G такая, что LM и M ? L. По выбору L подгруппа M не содержится в N_G(H). Значит, существует элемент xM\N_G(H). Ясно, что H?H^x, H^xX и H^x - субнормальная подгруппа группы G. Поскольку HL, то H^xL^x = L. Теперь HH^x - подгруппа группы L и HH^xX согласно второму требования определения класса Фиттинга. Кроме того, HH^x ?H, поэтому к подгруппе HH^x применима индукция. По индукции в группе G существует нормальная подгруппа N такая, что NX и HH^x ? N. Значит, H ? N. ¦

Следствие 2.1.

Пусть класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп. Если H₁, H₂ - субнормальные X-подгруппа группы G, то H₁, H₂ - субнормальная X-подгруппа.

Пусть M =H₁, H₂. По теореме 2.1. в группе М существуют нормальные

X-подгруппы N₁ и N₂ такие, что H₁ ? N₁, H₂ ? N₂. Согласно второму требования определения класса Фиттинга произведение N₁N₂X. Поэтому

М=H₁, H₂? N₁N₂ ? М и М = N₁N₂X. ¦

Следствие 2.2.

Пусть класс X замкнут относительно произведения нормальных X-подгрупп. Если Н - субнормальная X-подгруппа группы G, то Н^GX.

? Подгруппа Н^G порождается всеми сопряжёнными с Н подгруппами группы G, т.е. Н^G =H^g | gG. На основании следствия 2.1. получаем, что Н^GX. ¦

Пусть X - класс Фиттинга. Произведение всех нормальных X-подгрупп группы G называется X-радикалом группы G и обозначается через G_X. Ясно, что X-радикал G_X является наибольшей нормальной подгруппой группы G, содержащейся в X.

Лемма 2.1.

Пусть X - класс Фиттинга, G - группа и HG. Подгруппа HX тогда и только тогда, когда H ? G_X.

Необходимость. Пусть HG и HX. По следствию 2.2. из теоремы 2.1. получаем, что H ? H^GX и H^G ? G_X.

Достаточность. Пусть HG и H ? G_X. Так как G_XX и X - класс Фиттинга, то HX. ¦

Лемма 2.2.

Если X - класс Фиттинга и NG, то N_X = G_X?N.

Так как G_X?NG_X и G_XX, то G_X?NX. Поскольку G_X?NN, то G_X?NN_X.

Обратно, N_XNG, поэтому N_XG и N_XG_X согласно лемме 2.1.

Итак, G_X?N = N_X. ¦

Лемма 2.3.

Пусть группа G содержит нормальную подгруппу N индекса p, где p - простое число. Если Z - циклическая группа порядка p, то прямое произведение G?Z содержит нормальную подгруппу K, изоморфную G и отличную от G.

Так как (G?Z)/N, где - элементарная абелева группа порядка p², то в (G?Z)/N существует p²-1 элементов порядка p, которые распадаются на

(p²-1)/(p-1) = p+1 подгрупп порядка p. Поэтому в (G?Z)/N существует подгруппа K/N порядка p такая, что K/N ? G/N и Z не является подгруппой в K. Подгруппа K нормальна в группе G?Z, K?G. Кроме того, G?Z=K?Z и (G?Z)/ZG(K?Z)/ZK. ¦

Лемма 2.4.

Если F - класс X-класс Фиттинга, то класс F замкнут относительно субнормальных подгрупп.

Пусть GF и H - субнормальная подгруппа группы G. Тогда существует конечная (G-H)-цепь подгрупп G=G₀G₁…G_k=H, такая, что G_i нормальна в G_i-1 для любого i=1, 2, … , k. Индукцией по длине цепи k докажем, что HF. Если k=1, то H нормальна в G и по О.2.5. получим, что HF. Пусть k>1. Так как G₁ нормальна в G, то G₁F. Далее, H субнормальна в G₁, причём существует субнормальная (G₁-H)-цепь длины k-1. Тогда по индукции HF. Лемма доказана. ¦

Лемма 2.5.

Пусть F - G-класс Фиттинга. Если H_i является субнормальной F-подгруппой конечной группы G для любого i=1, 2, … , t , то H_i | i=1, 2, … , tF.

Допустим, что группа G - контрпример минимального порядка. Пусть

K=H_i | i=1, 2, … , t. Тогда H_i субнормальна в K. Если |K|<|G|, то по индукции KF. Пусть G=K. Так как H_i субнормальна в G, то в G существует нормальная подгруппа G_i такая, что H_iG_iG для любого i=1, 2, … , t. Тогда H_i^g является

F-подгруппой и субнормальна в G_i для любого gG и любого i=1, 2, … , t. Так как |G_i|<|G|, то по индукции H_i^g | gG=H_i^GF. Значит

G=H_i | i=1, 2, … , tH_i^G | i=1, 2, … , tF. Так как H_i^GG_iG, то

G=H_i^G | i=1, 2, … , t, и, значит, H_i | i=1, 2, … , tF. Лемма доказана. ¦

Теорема 2.2.

Пусть F - S-класс Фиттинга. Если pр(F), то F содержит все конечные

p-группы, т.е. N_pF.

? Так как pр(F), то в F существует группа G такая, что p | |G|. Тогда G обладает композиционным фактором H/K порядка p. По лемме 2.4. HF. Рассмотрим группу B=HA, где |A|=p. Так как B/K - элементарная абелева группа порядка p², то B/K содержит p+1 подгруппу порядка p. Пусть H₁/K - подгруппа порядка p из B/K, отличная от H/K и AK/K. Тогда B=H₁A и H?H₁. Так как HB/AH₁, то HH₁, и, значит, H₁F. Далее B=H·H₁, и, значит, по О.2.5. BF. Так как A нормальна в B, то AF. Следовательно, F содержит все группы порядка p. Покажем, что F содержит циклическую p-группу порядка pⁿ для любого n. Предположим, что F содержит циклическую группу C порядка p^n-1. Рассмотрим сплетение D=C?A, которое является расширением прямого произведения p циклических групп порядка p^n-1 с помощью группы порядка p.

Тогда группа D порождается p+1 подгруппой, каждая из которых субнормальна в D и принадлежит F. Тогда по лемме 2.5. DF. Пусть D=, где |C_i|=p^n-1 для любого i=1, 2, … , p, |a|=p, C_ia=C_i+1 для любого i=1, 2, … , p-1 и C_pa=C₁. Рассмотрим элемент C=C₁a^-1. Тогда

C₂=C₁a^-1·C₁a^-1=C₁C₂a^-2; C₃=C₁C₂a^-2·C₁a^-1=C₁C₂C₁a²a^-3=C₁C₂C₃a^-3 и C_p=C₁C₂…C_p. Отсюда следует, что |C|=pⁿ. Следовательно, D содержит циклическую группу L порядка pⁿ. Так как L субнормальна в D и DF, то по лемме 2.4. LF. Следовательно, F содержит все конечные циклические

p-группы. Так как любая конечная p-группа P порождается конечным числом циклических p-подгрупп, которые субнормальны в P и принадлежат F, то по лемме 2.5. PF. Следовательно, N_pF. Теорема доказана. ¦

§2. F-радикалы и F-инъекторы. Нормальные классы Фиттинга

В этом параграфе мы рассмотрим некоторые приложения классов Фиттинга к теории групп. В частности, установим существование и сопряжённость в конечной разрешимой группе F-инъекторов для любого непустого класса Фиттинга F.

Так же, мы обзорно рассмотрим некоторые свойства нормальных классов Фиттинга, занимающих важное место в теории радикальных классов.

1. F-радикалы и F-инъекторы

Для изложения этого пункта нам потребуются некоторые сведения из теории формаций.

О.2.6. Класс групп F называется формацией, если выполняются следующие условия:

1) каждая фактор-группа любой группы из F так же принадлежит F;

2) из H/AF, H/BF всегда следует H/A?BF.

О.2.7. Пусть F - непустая формация групп. Обозначим через G^F и назовём

F-корадикалом группы G пересечение всех нормальных подгрупп M из G таких, что G/MF.

О.2.8. Пусть F - непустой класс групп. F-подгруппа H группы G называется F-проектором в G, если из HUG и U/U₀F всегда следует, что U=H·U₀.

О.2.9. Подгруппа K группы G называется подгруппой Картера (или картеровской подгруппой), если K нильпотентна и N_G(K)=K.

Теорема 2.3.

Для любой конечной разрешимой группы G справедливы утверждения:

а) множество подгрупп Картера группы G совпадает с множеством всех

N-проекторов группы G.

б) G обладает по крайней мере одной подгруппой Картера и любые две из них сопряжены в G.

О.2.10. Пусть F - непустой X-класс Фиттинга. F-радикалом X-группы G называется группа G_F, порождённая всеми нормальными F-подгруппами из G.

Лемма 2.6.

Пусть F является X-классом Фиттинга, К - нормальная X-подгруппа

X-группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) G_F является характеристической F-подгруппой группы G.

б) K_F= G_F?K.

? а) Пусть F является X-классом Фиттинга и G есть X-группа. Если N - нормальная F-подгруппа группы G и ц - автоморфизм G, то N^цN, и, значит, N^ц является нормальной F-подгруппой группы G. Если J является множеством всех нормальных F-подгрупп группы G, то G_F=N | NJ. Так как N^ц пробегает всё множество J, когда N пробегает всё множество J, то G_F^ц=N^ц | NJ=G_F, то G_F является характеристической подгруппой в G, причём по О.2.3. G_FF.

б) Пусть K - нормальная X-подгруппа X-группы G. Так как G_F?K нормальна в G_F и G_FF, то в силу замкнутости F относительно нормальных подгрупп, получим G_F?KF. Далее G_F?K нормальна в K и G_F?KF, значит по О.2.3. G_F?KK_F. Так как K_F характеристична в K, то K_F нормальна в G. Далее K_FF. Следовательно, по О.2.3. K_FG_F, и, значит, K_FG_F?K. Из включений G_F?KK_F и K_FG_F?K следует, что K_F=G_F?K. ¦

О.2.11. Пусть X - класс групп. Подгруппа H группы G называется

X-максимальной в G, если HX и не существует X-подгруппы K в G, такой, что HK.

О.2.12. Пусть X - класс групп. Подгруппа V группы G называется

X-инъектором в G, если для любой субнормальной подгруппы N в группе G пересечение V?N является X-максимальной подгруппой в N.

Лемма 2.7.

Пусть X - класс групп и б - автоморфизм группы G. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если V является X-инъектором группы G, то и V^б тоже является

X-инъектором группы G.

б) если V является X-максимальной подгруппой группы G, то и V^б тоже является X-максимальной подгруппой группы G.

? а) Пусть N - субнормальная подгруппа группы G. Так как V является

X-инъектором в G, то по О.2.12. V?N является X-максимальной подгруппой группы N. Тогда (V?N)^б= V^б?N^б является X-максимальной подгруппой группы N^б. Действительно, допустим, что существует X-подгруппа H в N^б такая, что (V?N)^бHN^б. Так как б - автоморфизм группы G, то б^-1 тоже является автоморфизмом группы G. Следовательно, или . Так как H и HX, то X, что противоречит тому, что V?N является X-максимальной подгруппой в N. Следовательно, V^б?N^б является X-максимальной подгруппой в N^б. Так как N^б пробегает все субнормальные подгруппы группы G, когда N пробегает все субнормальные подгруппы группы G, то V^б является X-инъектором группы G.

б) Пусть V является X-максимальной подгруппой группы G. Полагая в пункте а) N=G получим, что V^б является X-максимальной подгруппой группы G^б=G. ¦

Лемма 2.8.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G, G - конечная разрешимая группа, N - нормальная группа в G, такая, что G/N нильпотентна. Если W является

F-максимальной подгруппой в N, а V₁ и V₂ являются F-максимальными подгруппами в G с WV₁?V₂ , то V₁ и V₂ сопряжены в G.

? Допустим, что группа G - контрпример минимального порядка. Так как V_iF, i=1, 2 и N?V_i нормальна в V_i , то N?V_iF для любого i=1, 2. По условию WN?V_i для любого i=1, 2. Так как W является максимальной F-подгруппой группы N, то N?V₁=W=N?V₂.

Предположим, что W не является нормальной подгруппой в G. Тогда T=N_G(W) является собственной подгруппой группы G, причём V₁ , V₂T. Так как TN/NG/N, то TN/N нильпотентна. Следовательно, T/T?NTN/N нильпотентна. Далее, V₁ и V₂ являются F-максимальными подгруппами группы T, и W является максимальной подгруппой в T?N. Так как |T|<|G|, то по индукции V₁ и V₂ сопряжены в группе T, а значит, сопряжены и в группе G. Получили противоречие.

Следовательно, W нормальна в G. Пусть M_i/W=N_G/W(V_i/W) и С_i/W - подгруппа Картера группы M_i/W, i=1, 2. Так как M_iN/NM_i/M_i?N нильпотентна, то существует натуральное число r - класс нильпотентности группы G/N такое, что = M_i?N/M_i?N.

Отсюда следует, что M_i?N. Так как V_i нормальна в M_i , то

[V_i , M_i]V_i и V_i?(M_i?N)=V_i?N=W, i=1, 2. Следовательно, =W/W, и, значит, V_i/W содержится в гиперцентре группы M_i/W, i=1, 2. Так как подгруппа картера C_i/W группы M_i/W самонормализуема в M_i/W, то Z(M_i/W)C_i/W и индукцией по длине нильпотентности нетрудно показать, что и гиперцентр группы M_i/W содержится в подгруппе Картера C_i/W, i=1, 2. Следовательно, V_i/WC_i/W, причём V_i нормальна в C_i, i=1, 2. Покажем, что C_i/W, i=1, 2 является подгруппой Картера группы G/W. Пусть XN_G(G_i), т.е. C_i^x=C_i, i=1, 2. Тогда V_i^xC_i^xC_i. Так как V_i, V_i^xF и V_i, V_i^x нормальны в C_i, то V_iV_i^xF, i=1, 2. Так как V_i является F-максимальной подгруппой в G, то V_iV_i^x=V_i, и, значит, V_i^x=V_i, т.е. xN_G(V_i). Следовательно, xWM_i/W. Так как C_i/W самонормализуема в M_i/W и (C_i/W)^xW=C_i^x/W=C_i/W, то xCi, i=1, 2. Следовательно, C_i/W самонормализуема в G/W, и, значит, C_i/W является подгруппой Картера группы G/W для любого i=1, 2. Тогда по теореме 2.3. С_i/W и C₂/W сопряжены в G/W. Следовательно, существует элемент yWG/W такой, что (C₁/W)^yW=C₂/W. Тогда C₁^y=C₂, где yG, и, значит, V₁^yC₁^yC₂. Так как V₂ и V₁^y являются нормальными F-подгруппами группы C₂, то V₂V₁^yF. По условию V₂ является F-максимальной подгруппой группы G. Следовательно, V₂V₁^y=V₂ . Отсюда следует, что V₁^yV₂. Так как V₁ является F-максимальной подгруппой группы G, то по лемме 2.6 V₁^y тоже является F-максимальной подгруппой группы G. Тогда V₁^y =V₂, где yG, и, значит, V₁ и V₂ сопряжены в G. Получили противоречие. Лемма доказана. ¦

Теорема 2.3.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G. Если G - конечная разрешимая группа, то G обладает F-инъекторами и любые два F-инъектора группы G сопряжены в G.

? Допустим, что группа G - контрпример минимального порядка. Тогда |G|>1. Пусть M - собственная нормальная подгруппа группы G, такая, что G/M - нильпотентная группа. Так как |M|<|G|, то по индукции в M существует

F-инъектор U, и любые два F-инъектора группы M сопряжены в M. Пусть V₁ - F-максимальная подгруппа группы G, содержащая U. Покажем, что V₁ является F-инъектором группы G. Для этого достаточно показать, что V₁?G₁ является

F-инъектором группы G₁ для любой максимальной нормальной подгруппы G₁ группы G. В самом деле, если H субнормальна в G, то H субнормальна в некоторой максимальной нормальной подгруппе G₁ группы G. Тогда (V₁?G₁)?H=V₁?H - F-максимальная подгруппа группы H, и, значит, V₁ является F-инъектором группы G. Следовательно, осталось показать, что V₁?G₁ -

F-инъектор группы G₁. Пусть N=G₁?M. Так как G/MN, G/G₁N и N является формацией, то G/M?G₁?N, то есть G/N является нильпотентной группой. Так как |G₁|<|G|, то по индукции в G₁ существует F-инъектор V, и любые два

F-инъектора группы G₁ сопряжены в G₁. Тогда V?N и U?N являются

F-максимальными подгруппами группы N. Пусть N₁ субнормальна в N. Тогда N₁ субнормальна в G₁. Так как V является F-инъектором группы G₁, то по О.2.12. V?N₁=(V?N)?N₁ является F-максимальной в N₁. Поэтому V?N является

F-инъектором группы N. Аналогично U?N - F-инъектор группы N. Так как по индукции любые два F-инъектора группы N сопряжены в N, то существует aN такой, что U?N=(V?N)^a=V^a?N. Так как V₁?N нормальна в V₁ и V₁F, то V₁?NF, причём U?NV₁?N. Учитывая, что U?N является F-максимальной подгруппой в N, получим U?N=V₁?N=W. Пусть V₂ F-максимальная подгруппа группы G, содержащая V^a. Так как G/N нильпотентна, W - F-инъектор группы N, а V₁ и V₂ являются F-максимальными подгруппами группы G, такими, что WV₁?V₂, то по лемме 2.8. V₁ и V₂ сопряжены в G. Следовательно, V₁^x=V₂ для некоторого x из G. Тогда (V₁?G₁)^x=V₁^x?G₁=V₂?G₁=V^a, и, значит, V₁?G₁=. Так как V является F-инъектором группы G₁ и элемент ax^-1 индуцирует через сопряжение автоморфизм группы G₁, то по лемме 2.7. является

F-инъектором группы G₁, и, значит, V₁?G₁ является F-инъектором группы G. Получили противоречие.

Пусть W₁ и W₂ являются F-инъекторами группы G. Докажем, что W₁ и W₂ сопряжены в G. Так как M нормальна в G, то по О.2.12. W_i?M, i=1, 2 является

F-максимальной подгруппой группы M. Если L субнормальна в M, то L субнормальна в G, и, значит, L?W_i=L?(W_i?M), i=1, 2 является F-максимальной подгруппой группы L. Следовательно, W₁?M и W₂?M являются F-инъекторами группы M. Так как |M|<|G|, то по индукции W₁?M и W₂?M сопряжены в M. Следовательно, (W₁?M)^y=W₂?M, где yM. Тогда W₁^y?M=W₂?M. Так как W₁^y и W₂ являются F-максимальными подгруппами группы G, G/M нильпотентна и V₂?M - F-инъектор группы M, то по лемме 2.8. W₁^y и W₂ сопряжены в G, а значит W₁ и W₂ сопряжены в G. Получили противоречие. Теорема доказана. ¦

Следствие 2.3.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G и E=G₀G₁…G_n=G - субнормальный ряд конечной группы G, такой, что G_i+1/G_i - нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Подгруппа V группы G тогда и только тогда является F-инъектором в G, когда V?G_s F-максимальная подгруппа группы G_s для любого s=0, 1, 2, … , n.

? Необходимость. Пусть V является F-инъектором группы G. Тогда по О.2.12. V?G_s является F-максимальной подгруппой группы G_s для любого s=0, 1, 2,…, n.

Достаточность. Пусть V?G_s является F-максимальной подгруппой группы G_s для любого s=0, 1, 2, … , n. Если |G|=1, то V=G является F-инъектором группы G. Поэтому |G|?1. Можем считать, что |G_n-1|<|G|. Тогда по индукции V?G_n-1 является F-инъектором группы G_n-1. По теореме 2.3. существует F-инъектор W. Тогда W?G_n-1 является F-инъектором группы G_n-1. По теореме 2.3. V?G_n-1=(W?G_n-1)^a, где aG_n-1. Далее (W?G_n-1)^a=W^a?G_n-1 и по лемме 2.7. W^a является F-инъектором группы G. По лемме 2.8. V и W^a сопряжены в группе G, то по лемме 2.6. V тоже является F-иньектором G. Следствие доказано. ¦

Следствие 2.4.

Пусть F - непустой класс Фиттинга в G. Если V является F-инъектором конечной разрешимой группы G и VHG, то и V является F-инъектором группы H.

? Пусть V - F-инъектор конечной разрешимой группы G и VHG. Пусть E=G₀G₁…G_n=G - субнормальный ряд группы G, такой, что G_i+1/G_i - нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Тогда V?G_s является

F-инъектором группы G_s для любого s=0, 1, 2,… , n. Пусть H_s=G_s?H, s=0, 1, 2,… , n. Тогда E=H₀H₁…H_n=H является субнормальным рядом группы H, причём H_i+1/H_i=G_i+1?H/G_i?H(G_i+1?H)G_i/G_i - нильпотентная группа для любого i=0, 1, 2, … , n-1. Так как V?H_s=V?G_s?H=V?G_s - является F-максимальной подгруппой группы G_s , а значит и H_s для любого s=0, 1, 2, … , n, то по следствию 2.3. V является F-инъектором группы H. Следствие доказано. ¦

2. Нормальные классы Фиттинга

О.2.13. Пусть X - класс групп. Непустой X-класс Фиттинга F называется нормальным, если любая X-группа обладает нормальным F-инъектором.

Лемма 2.9.

Пусть U является группой нечётного порядка, V - нормальная подгруппа из U, ц - автоморфизм группы U, который оставляет каждый элемент U/V неподвижным. Для того, чтобы ц являлась чётной как перестановка на U необходимо и достаточно, чтобы ц являлась чётной как перестановка на V.

Теорема 2.4.

Пусть G₀={G | GG и внутренние автоморфизмы группы G индуцируют лишь чётные перестановки на О(G)}. Тогда G₀ является нормальным классом Фиттинга в G, причём E?G₀?G.

Следствие 2.5.

Пусть S₀={G | GS и внутренние автоморфизмы группы G индуцируют лишь чётные перестановки на О(G)}. Тогда S₀ является нормальным классом Фиттинга, причём E?S₀?S.

Лемма 2.10.

Пусть F - нормальный S-класс Фиттинга, E?GF и Z - группа порядка p, где pP. Тогда существует натуральное число m такое, что для всех натуральных n имеем ?ZF.

Лемма 2.11.

Пусть F - X-класс Фиттинга, G - X-группа с нормальными X-подгруппами N₁, N₂, … , N_r и G=N₁N₂…N_r. Тогда G_F/(N₁)_F(N₂)_F…(N_r)_FZ(G/(N₁)_F(N₂)_F…(N_r)_F).