Классы Фиттинга конечных групп
Основные понятия из теории групп, и классов Фиттинга. Определение классов Фиттинга и их основные свойства, F-радикалы и F-инъекторы. Произведение классов Фиттинга как средство для построения новых классов с помощью операции их радикального произведения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | дипломная работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 19.04.2011 |
| Размер файла | 226,5 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Лемма 2.12.
Пусть N - нормальная абелева подгруппа ц-сплетения X?цY, где ц является точным представлением группы Y перестановками на множестве Щ. Если NX*= и в X?цY имеется элемент kX* такой, что (Nx*)k=Nx* для всех x*X*, то группа X абелева.
Теорема 2.5.
Если F - неединичный нормальный S-класс Фиттинга, то NF.
§3. Произведение классов Фиттинга
В этом параграфе мы рассмотрим как их двух G-классов Фиттинга можно построить новый G-класс Фиттинга с помощью радикального произведения классов групп, а так же рассмотрим некоторые основные свойства таких произведений.
О.2.14. Пусть X и L - непустые классы групп и Z - непустой X-класс Фиттинга. Класс групп Z?L = {G | GX, G/GZL} назовём радикальным произведением классов Z и L в классе X. Полагаем Z?L = , если хотя бы один из классов Z или L является пустым.
Теорема 2.6.
Пусть Z, L и V являются G-классами Фиттинга. Тогда справедливы следующие утверждения:
а) Z?L является G-классом Фиттинга;
б) если L?, то ZZ?L;
в) если Z ? ? L и GG, то GZ?L/GZ = (G/GZ)L;
г) (Z?L)?V=Z?(L?V)
? а) Пусть Z ? ? L, GZ?L и K нормальна в G. Так как GG, то KG. Тогда по лемме 2.6.б) KZ=GZ?K, и, значит, K·GZ/GZK/K?GZ=K/KZ. Так как K·GZ/GZ нормальна в G/GZ и по О.2.14. G/GZL, то в силу замкнутости класса L относительно нормальных подгрупп следует, что K·GZ/GZL, и, значит, K/KZL. Тогда по О.2.14 следует, что KZ?L, и, значит, класс Z?L является замкнутым относительно нормальных подгрупп.
Пусть KiZ?L и Ki нормальна в группе GG для любого i=1, 2, … , t и G=K1K2…Kt. По лемме 2.6.б) (Ki)Z=GZ?Ki. Тогда Ki·GZ/GZKi/Ki?GZ. Так как KiZ?L, то по О.2.14. Ki/(Ki)ZL, и, значит, KiGZ/GZL для любого i=1, 2, … , t. Рассмотрим фактор-группу G/GZ. Так как G/GZ=K1GZ/GZ·K2GZ/GZ·…·KtGZ/GZ, и класс L замкнут относительно произведения нормальных подгрупп, то G/GZL, и, значит, по О.2.14. GZ?L. Следовательно, класс Z?L является замкнутым относительно произведения нормальных подгрупп. Тогда по О.2.5. класс Z?L является G-классом Фиттинга.
б) Пусть L? и GL. Так как единичная подгруппа E нормальна в G и класс L замкнут относительно нормальных подгрупп, то EL. Пусть BZ. Тогда BZ=B и EB/BZL. Следовательно, по О.2.14. BZ?L, и, значит, ZZ?L.
в) Пусть Z ? ? L и GG. По лемме 2.6.а) GZ и GZ?L являются характеристическими подгруппами группы G, причём GZZ и GZ?LZ?L. В силу О.2.7. имеем GZGZ?L. По лемме 2.6.б) GZ является Z-радикалом группы GZ?L. Тогда по О.2.14. GZ?L/GZL. Так как GZ?L/GZ нормальна в группе =G/GZ, то GZ?L/GZ. Пусть =R/GZ. Так как R нормальна в G, то по лемме 2.6.б) RZ=GZ. Теперь из R/RZL и по О.2.14. следует, что RZ?L. Тогда RGZ?L, и, значит, GZ?L/GZ=, т.е. GZ?L/GZ=(G/GZ)L.
г) Пусть F1=(Z?L)?V и F2=Z?(L?V). Если хотя бы один из классов Z или L, или V является пустым, то F1= и F2=, и, значит, F1=F2. Поэтому будем считать, что ни один из классов Z, L и V не является пустым.
Пусть GF1. Тогда по О.2.14. имеем G/GZ?LV. Так как (G/GZ)/(GZ?L/GZ)G/GZ?LV и по в) GZ?L/GZ=(G/GZ)LL, то по О.2.14. G/GZL?V, и, значит, GZ?(L?V)=F2. Следовательно, F1F2.
Пусть HF2. Тогда по О.2.14. =H/HZL?V. Так как /=(H/HZ)/(H/HZ)LV и по в) (H/HZ)L=HZ?L/HZ, то
(H/HZ)/(HZ?L/HZ)H/HZ?LV. Тогда по О.2.14. H(Z?L)?V=F1. Следовательно, F2F1. Из включений F1F2 и F2F1 следует, что F1=F2. Теорема доказана. ¦
Следствие 2.6.
Если Z, L, V являются S-классами Фиттинга, то Z?L является S-классом Фиттинга, и (Z?L) ?V=Z?(L?V).
? Так как Z, L, V являются S-классами Фиттинга, то они являются
G-классами Фиттинга. Тогда по теореме 2.6. Z?L является G-классом Фиттинга и (Z?L) ?V=Z?(L?V). Так как расширение разрешимой группы с помощью разрешимой является разрешимой группой, то Z?LS, и, значит, Z?L является S-классом Фиттинга. Следствие доказано. ¦
Теорема 2.7.
Если Z и L являются нормальными G-классами Фиттинга, то Z?L является нормальным G-классом Фиттинга.
? По теореме 2.6.а) F=Z?L является G-классом Фиттинга. Пусть GG и V является F-инъектором группы G. Покажем, что подгруппа V нормальна в G. Так как GF нормальна в G и GFF, то по О.2.12. GFV. По теореме 2.6.б) ZZ?L, и, значит, GZGFV. Так как Z является нормальным G-классом Фиттинга, то GZ является Z-инъектором группы G и GZ является Z-максимальной подгруппой группы G. Далее, GZVZZ, и, значит, GZ=VZ. Так как VF=Z?L, то V/VZL. Рассмотрим группу =G/GZ. По теореме 2.6.в) =GF/GZ. Так как L является нормальным G-классом Фиттинга, то является L-инъектором группы , и, значит, является L-максимальной подгруппой группы . Далее, GF/GZV/VZL. Следовательно, GF/GZ=V/GZ, и, значит, V=GF нормальна в G. Теорема доказана. ¦
Теорема 2.8.
Если Z и L являются нормальными S-классами Фиттинга, то Z?L является нормальным S-классом Фиттинга.
? По следствию 2.6. F=Z?L является S-классом Фиттинга. Пусть GS и V является F-инъектором группы G. Тогда так же как и при доказательстве теоремы 2.7. можно показать, V=GF. Следовательно, F является нормальным
S-классом Фиттинга. Теорема доказана. ¦
§4. Практические примеры
В данном параграфе мы рассмотрим несколько примеров на нахождение F-радикалов и F-инъекторов групп для конкретных F и конкретных групп.
Пример 1. Для группы G = A4 найти N-радикал и N-инъектор.
Группа A4 - знакопеременная группа подстановок четвёртой степени.
Порядок |A4|=12. Построим для группы A4 композиционные ряды (композиционный ряд - это субнормальный ряд без повторений, не допускающий дальнейшего уплотнения):
EVA4; EVA4; EVA4 , где , и - группы порядка 2, порождаемые элементами a, b и ab соответственно.
Выпишем все нормальные нильпотентные подгруппы в A4. Это будут V и E, где V - четверная группа Клейна порядка 4. Сама группа A4 не является нильпотентной. Понятно, что в этом случае N-радикалом группы A4 будет являться группа V.
Далее, выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в A4. Это будут группы порядков 4, 3 и 2. Проверим, какие из этих групп будут являться
N-инъекторами в группе A4.
Очевидно, что при пересечении подгрупп порядка 2 с A4 мы не получим
N-максимальных подгрупп в A4, так как они будут собственно содержаться в
N-подгруппе V.
Рассмотрим группу G3 порядка 3. G3?V=E. E не является N-максимальной подгруппой в V, такой подгруппой является V.
Теперь проверим группу V. V?A4=V, V?V=V, V?Z2 = Z2, где Z2 - любая из субнормальных подгрупп порядка 2 в A4. Группа G3 не является субнормальной в A4 , поэтому она не подлежит проверке. Мы пришли к выводу, что все пересечения с V образуют N-максимальные подгруппы в соответствующих субнормальных подгруппах A4. Следовательно, группа V является N-инъектором группы A4.
Пример 2. Для группы G = S3 найти N-радикал и N-инъектор.
S3 - симметрическая группа подстановок третьей степени.
Порядок |S3|=6. Построим для группы S3 композиционный ряд: EG3S3.
Выпишем все нормальные нильпотентные подгруппы в S3. Это будут G3 и E, где G3 группа порядка 3. Сама группа S3 не является нильпотентной. Понятно, что N-радикалом группы S3 будет являться группа G3.
Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в S3. Это будут группы порядков 3 и 2. Проверим, какие из этих групп будут являться N-инъекторами в группе S3. G2?G3=E, где G2 - группа порядка 2. E не является N-максимальной подгруппой в G3, так как такой подгруппой является сама G3. Следовательно, G2 не является N-инъектором группы S3.
Проверим подгруппу G3: G3?S3=G3, G3?G3=G3, G3?E=E, т.е. при пересечении субнормальных подгрупп из S3 с G3 мы получаем N-максимальные подгруппы в соответствующих подгруппах. Следовательно, G3 будет являться N-инъектором в группе S3.
Пример 3. Для группы G = S4 найти N-радикал и N-инъектор.
S4 - симметрическая группа подстановок четвёртой степени.
Порядок |S4|=24. Построим для группы S4 композиционные ряды:
EVA4S4; EVA4S4; EVA4S4.
Выпишем все нормальные нильпотентные подгруппы в S4. Это будут группы E и V, где V - четверная группа Клейна. Сама группа S4 и ее нормальная подгруппа A4 не являются нильпотентными. Следовательно, N-радикалом в группе S4 будет являться группа V.
Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в S4. Это будут подгруппы порядков 8, 4, 3 и 2. Проверим, какие из этих подгрупп будут являться N-инъекторами в группе S4. Понятно, что при пересечении с группой S4 подгруппы порядков 2 и 4 не будут давать N-максимальных подгрупп, так как собственно содержатся в N-подгруппе порядка 8. Проверим группу G3 порядка 3. G3?V=E, где G2 - силовская 2-подгруппа порядка 8. Так как E не является
N-максимальной подгруппой в V, то G3.не является N-инъектором в группе G. Проверим силовскую 2-подгруппу G2: G2?S4=G2, G2?A4=V, G2?V=V, G2?=, G2?=, G2?=, то есть при пересечении субнормальных подгрупп из S4 с G2 мы получаем N-максимальные подгруппы в соответствующих субнормальных подгруппах. Следовательно, G2 является
N-инъектором в группе S4.
Пример 4. Для группы G = A5 найти N-радикал и N-инъектор.
A5 - знакопеременная группа подстановок пятой степени.
Порядок |A5|=60. Построим для группы A5 композиционный ряд: EA5.
Выпишем нормальные нильпотентные подгруппы в A5. Такой подгруппой будет являться только E (A5 не нильпотентна), и, значит, N-радикалом группы A5 будет являться единичная группа E.
Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в A5. Это будут подгруппы порядков 3, 4 и 5. Можно показать, что каждая из этих подгрупп является N-максимальной в A5. Следовательно, пересечения этих подгрупп с A5 будут давать N-максимальные подгруппы в этих группах. Следовательно,
N-инъекторами в A5 будут являться силовские 2-подгруппы порядка 4, силовские
3-подгруппы порядка 3 и силовские 5-подгруппы порядка 5.
Пример 5. Для группы G = S5 найти N-радикал и N-инъектор.
S5 - симметрическая группа подстановок пятой степени.
Порядок |S5|=120. Построим для группы S5 композиционный ряд: EA5 S5.
Выпишем нормальные нильпотентные подгруппы в S5. Такой подгруппой является только E (S5 и A5 не являются нильпотентными), и, значит,
N-радикалом группы S5 является единичная группа E.
Выпишем все неединичные нильпотентные подгруппы в S5. Это будут подгруппы порядков 3, 5, 8. Можно показать, что каждая из этих подгрупп является N-максимальной в S5. Следовательно, пересечения этих групп с S5 будут давать N-максимальные подгруппы в этих группах. Подгруппы порядков 3 и 5 при пересечении с A5 будут так же давать N-максимальные подгруппы в соответствующих группах. Проверим группу порядка 8 - силовскую 2-подгруппу G2 в S5: G2?A5=H, где H - силовская 2-подгруппа порядка 4 в A5, и H является N-максимальной подгруппой в A5. Следовательно, N-инъекторами в группе S5 будут являться силовские 2-подгруппы порядка 8, силовские 3-подгруппы порядка 3 и силовские 5-подгруппы порядка 5.
Заключение
В первой главе данной работы мы вспомнили основные понятия из теории групп, необходимые для понимания работы читателем. При этом мы старались излагать факты последовательно, так, чтобы читателю пришлось как можно реже обращаться к дополнительным источникам.
Во второй главе мы рассмотрели основные позиции теории классов Фиттинга.
В первом параграфе мы дали определение классов Фиттинга и рассмотрели их основные свойства, помогающие исследовать группы на принадлежность различным классам Фиттинга.
Во втором параграфе мы рассмотрели F-радикалы и F-инъекторы (с обзорным рассмотрением нормальных классов Фиттинга) как приложение классов Фиттинга к теории групп и привели их некоторые свойства.
В третьем параграфе мы рассмотрели произведение классов Фиттинга, как средство для построения новых классов Фиттинга с помощью операции радикального произведения классов и некоторые свойства таких произведений.
Так же, нами были рассмотрены некоторые практические примеры на нахождение F-радикалов и F-инъекторов конкретных групп и конкретных F, подкрепляющие теорию по классам Фиттинга, что должно способствовать пониманию данной теории другими читателями.
Таким образом, мы выполнили поставленные в начале работы задачи, и можем утверждать, что цель данной работы нами достигнута.
класс группа фиттинг радикал
Библиография
Белоногов, В.А. Задачник по теории групп [Текст] / В.А. Белоногов.- М.: Наука, 2000.- 239 с.
Богопольский, О.В. Введение в теорию групп [Текст] / О.В. Богопольский.- М.; Ижевск: Ин-т компьютерных исследований, 2002.- 148 с.
Ведерников, В.А. Элементы теории классов групп [Текст] : Учебное пособие по спецкурсу / В.А. Ведерников.- Смоленск: Смоленский гос. пед. ин-т, 1988.- 95 с.
Винберг, Э.Б. Курс алгебры [Текст] / Э.Б. Винберг.- М.: Факториал, 1999.- 528 с.
Горенстейн, Д. Конечные простые группы [Текст]: Введение в их классификацию / Д. Горенстейн.- М.: Мир, 1985.- 352 с.
Каморников, С.Ф. Подгрупповые функторы в теории классов конечных групп [Текст] / С.Ф. Каморников, М.В. Селькин.- Гомель: Гомельский гос. ун-т, 2001.- 238 с.
Каргаполов, М.И. Основы теории групп [Текст] / М.И. Каргаполов, Ю.И. Мерзляков.- М.: Наука, 1982.- 288 с.
Кострикин, А.И. Конечные группы [Текст] / А.И. Кострикин // В сб.: Алгебра. Топология. Геометрия / АН СССР. ВИНИТИ.- М., 1964.- (Итоги науки. Математика).- М., 1966.- С. 7-46.
Курош, А.Г. Теория групп [Текст] / А.Г. Курош.- 3-е изд.- М., Наука, 1967.- 648 с.
Монахов, В.С. Введение в теорию конечных групп и их классов [Текст] / В.С. Монахов.- Минск: Вышэйшая шк., 2006.- 207 с.
Фадеев, Д.К. Лекции по алгебре [Текст] / Д.К. Фадеев.- М.: Наука, 1984.- 415 с.
Guo, W. The Theory of Classes of Groups [Текст] / W. Guo.- Beijing; New York; Dordrecht; Boston; London: Science Press-Kluwer Academic Publishers, 2000.- 258 p. Размещено на Allbest.ru
Подобные документы
Группы и их подгруппы. Централизаторы и нормализаторы. Разрешимые, сверхразрешимые, нильпотентные и холловы группы. Прямое, полупрямое произведения и сплетение групп. Простейшие свойства классов Фиттинга. Нормальные классы Фиттинга и их произведение.
дипломная работа [177,3 K], добавлен 19.04.2011Изучение свойств критических групп и субнормальных подгрупп. Нахождение серии наследственных насыщенных формаций Шеметкова (минимальная не F-группа тут группа Шмидта, либо простого порядка) и Фиттинга (замкнутые относительно произведения F-подгрупп).
дипломная работа [272,8 K], добавлен 14.02.2010Этапы возникновения, развития и основы теории исследования величины нильпотентной длины конечных разрешимых групп с известными добавлениями к максимальным подгруппам. Признаки разрешимости конечной группы, подгруппа Фиттинга, ее свойства и теоремы.
дипломная работа [548,6 K], добавлен 18.09.2009Описание свойств наследственных насыщенных формаций Фиттинга (замкнутые относительно произведения F-подгрупп) Шеметкова (где минимальная не F-группа является либо группой Шмидта с ненормальной циклической силовой подгруппой, либо простого порядка).
курсовая работа [204,0 K], добавлен 14.02.2010Рассмотрение методов экстремальных классов (Картер, Фишер, Хоукс), и критических групп (Семенчук). Классификация наследственных насыщенных формаций F, замкнутых относительно произведения обобщенно субнормальных F-подгрупп с взаимно простыми индексами.
курсовая работа [191,3 K], добавлен 14.02.2010Свойства примитивных конечных разрешимых произведений N-разложимых групп. Условия факторизуемости проекторов конечных разрешимых произведений N-разложимых групп для случая. Порядок определения приложений полученных результатов для классических формаций.
дипломная работа [239,8 K], добавлен 14.12.2009Выработка современного абстрактного понятия групп. Простейшие свойства конечных нильпотентных групп. Подгруппа Фраттини конечной группы нильпотентна. Нахождение прямого произведения нильпотентных групп. Бинарная алгебраическая операция на множестве.
курсовая работа [393,4 K], добавлен 21.09.2013Основополагающие понятия теории графов и теории групп. Определение эквивалентности, порождаемой группой подстановок, и доказательство леммы Бернсайда о числе классов такой эквивалентности. Сущность перечня конфигурации, доказательство теоремы Пойа.
курсовая работа [682,9 K], добавлен 20.05.2013Определение и основные свойства конечных групп с условием плотности для F-субнормальных подгрупп. Общие свойства, использующиеся для изучения строения конечных групп с плотной системой F-субнормальных подгрупп. Особенности развития теории формаций.
курсовая работа [155,1 K], добавлен 02.03.2010Разрешимости, сверхразрешимости и изоморфизма конечных групп. Доказательства теорем о произведении двух групп, одна из которых содержит циклическую подгруппу индекса менее или равную двум. Произведение разрешимой и циклической групп, рассмотрение лемм.
курсовая работа [523,5 K], добавлен 26.09.2009
