Теоретические основы алгебры и геометрии

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение матрицы. Операции над матрицами и св-ва операций

Матрицей называется прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количество m строк и некоторое количество п столбцов. Числа т и п называются порядками матрицы. В случае, если т = п, матрица называется квадратной, а число m = n -- ее порядком.

или

Для краткого обозначения матрицы часто будет использоваться либо одна большая латинская буква (например, A), либо символ || a _ij || , а иногда с разъяснением: А = || a _ij || = ( a _ij ), где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n).

Числа a _ij , входящие в состав данной матрицы, называются ее элементами. В записи a _ij первый индекс і означает номер строки, а второй индекс j -- номер столбца. В случае квадрат-ной матрицы

1.1

вводятся понятия главной и побочной диагоналей. Главной диагональю матрицы (1.1) называется диагональ а₁₁ а₁₂ … a_nn идущая из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний ее угол. Побочной диагональю той же матрицы называется диагональ а_n1 а_(n-1)2 … a_1n , идущая из левого нижнего угла в правый верхний угол.

Свойства операций над матрицами

Ассоциативность сложения: A + (B + C) = (A + B) + C.

Коммутативность сложения: A + B = B + A.

Ассоциативность умножения: A(BC) = (AB)C.

Вообще говоря, умножение матриц не коммутативно: A*B НЕ РАВНО B*A. Дистрибутивность умножения относительно сложения:

A(B + C) = AB + AC;(B + C)A = BA + CA.

Основные операции над матрицами и их свойства.

Прежде всего, договоримся считать две матрицы равными, если эти матрицы имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операции над матрицами.

Сложение матриц. Суммой двух матриц A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) и В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) одних и тех же порядков т и п называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., т; j = 1, 2, ...., п) тех же порядков т и п, элементы с_ij которой определяются по формуле

, где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.2)

Для обозначения суммы двух матриц используется запись С = А + В. Операция составления суммы матриц называется их сложением. Итак, по определению:

Из определения суммы матриц, а точнее из формул (1.2) непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения веществен-ных чисел, а именно:

1) переместительным свойством: А + В = В + А,

2) сочетательным свойством: (A + B) + С = А + (В + С).

Умножение матрицы на число. Произведением матрицы A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j=1, 2, ..., n) на вещественное число , называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., n), элементы которой определяются по формуле: , где (i = 1, 2, ..., т, j=1, 2, ..., n) (1.3)

Непосредственно из формулы (1.3) ясно, что умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1) сочетательным свойством относительно числового множителя: ( ) A = ( A );

2) распределительным свойством относительно суммы матриц: (A + B) = A + B;

3) распределительным свойством относительно суммы чисел: ( + ) A = A + A

Замечание.

Разностью двух матриц А и В одинаковых порядков т и п естественно назвать такую матрицу С тех же порядков т и п, которая в сумме с матрицей B дает матрицу A. Для обозначения разности двух матриц используется естественная запись:

С = A -- В.

Очень легко убедиться в том, что разность С двух матриц А и В может быть получена по правилу

С = A + (-1) В.

Произведение матриц или перемножение матриц

Произведением матрицы A = || a _ij || , где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) имеющей порядки, соответственно равные т и n, на матрицу В = || b _ij || , где (i = 1, 2, ..., n , j=1, 2, ..., р), имеющую порядки, соответственно равные n и р, называется матрица С = || c _ij || (і =1,2, ..., m; j = 1, 2, ...., р), имеющая порядки, соответственно равные т и р элементы которой определя-ются по формуле

где (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., p) (1.4)

Для обозначения произведения матрицыі А на матрицу В используют запись С = А В. Операция составления произведения матрицы А на матрицу В называется перемножением этих матриц.

Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу А можно умножить не на всякую матрицу В, необходимо, чтобы число столбцов матрицы А было равно числу строк матрицы В.

Формула (1.4) представляет собой правило составления элементов матрицы С, являющейся произведением матрицы А на матрицу В. Это правило можно сформулировать и словесно: элемент c_{i j} стоящий на пвресечении і-й строки и j-го столбца матрицьі С = А В, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов і-й строки матрицы А и j-го столбца матрицы В.

В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка.

=

Из формулы (1.4) вытекают следующие свойства произведения матрицы А на матри-цу В:

1) сочетательное свойство: ( А В ) С = А ( В С );

2) распределительное относительно суммы матриц свойство:

( A + B ) С = А С + В С или A ( В + С ) = A В + А С.

Вопрос о перестановочном (переместительном) свойстве произведения матрицы A на матрицу В имеет смысл ставить лишь для квадратных матриц A и В одинакового порядка.

Приведем важные частные случаи матриц, для которых справедливо и переста-новочное свойство. Две матрицы для произведения которых справедливо перестановочное свойство, принято називать коммутирующими

Среди квадратных матриц выделим класс так называемых диагональных матриц, у каждой из которых элементы, расположенные вне главной диагонали, равны нулю. Каждая диа-гональная матрица порядка п имеет вид

D = (1.5)

где d₁ , d₂ , …, d_n--какие угодно числа. Легко видеть, что если все эти числа равны между собой, т. е. d₁ = d₂ = … = d_n то для любой квадратной матрицы А порядка п справедливо равенство А D = D А.

Среди всех диагональных матриц (1.5) с совпадающими элементами d₁ = d₂ = … = d_n = = d особо важную роль играют две матрицы. Первая из этих матриц получается при d = 1, называется единичной матрицей n-го порядка и обозначается символом Е. Вторая матрица получается при d = 0, называется нулевой матрицей n-го порядка и обозначается символом O. Таким образом,

E = O =

В силу доказанного выше А Е = Е А и А О = О А. Более того, легко показать, что

А Е = Е А = А, А О = О А = 0. (1.6)

Первая из формул (1.6) характеризует особую роль единичной матрицы Е, аналогичную той роли, которую играет число 1 при перемножений вещественных чисел. Что же касается особой роли нулевой матрицы О, то ее выявляет не только вторая из формул (1.7), но и элементарно проверяемое равенство

А + 0 = 0 + А = А.

В заключение заметим, что понятие нулевой матрицы можно вводить и для неквадрат-ных матриц (нулевой называют любую матрицу, все элементы которой равныї нулю).

Транспонирование

Транспортированием называют операцию замены строк на столбцы с сохранением нумерации.Пример 1. Составить транспонированную матрицу, полученную из А:

А=(1 2 3)

0 1 2

Решение: Поменяем местами строки и столбцы, сохраняя порядок

1 0

А”= ( 2 1)

3 2

Cвойства нелинейных операций



2. Метод ГАУССА решения СЛАУ. Ранг матрицы

Суть метода Гаусса-это приведение системы к верх нетреугольному или трапециидальному виду.

Практическое значение правила Крамера для решения системы n линейных уравнений с п неизвестными невелико, так как при его применении приходится вычислять п +1 определителей n-го порядка: , _x1, _x2, …,x_n. Более удобным является так называемый метод Гаусса. Он применим и в более общем случае системы линейных уравнений, т. е. когда число уравнений не совпадает с числом неизвестных

Пусть исходная система выглядит следующим образом

Матрица A называется основной матрицей системы, b -- столбцом свободных членов.

Тогда согласно свойству элементарных преобразований над строками основную матрицу этой системы можно привести к ступенчатому виду(эти же преобразования нужно применять к столбцу свободных членов):Система(1)



При этом будем считать, что базисный минор (ненулевой минор максимального порядка) основной матрицы находится в верхнем левом углу, то есть в него входят только коэффициенты при переменных

Тогда переменные

называются главными переменными. Все остальные называются свободными.

Если хотя бы одно число

где i > r, то рассматриваемая система несовместна.

Пусть для любых i > r.

Перенесём свободные переменные за знаки равенств и поделим каждое из уравнений системы на свой коэффициент при самом левом

Где

Если свободным переменным системы (2) придавать все возможные значения и решать новую систему относительно главных неизвестных снизу вверх (то есть от нижнего уравнения к верхнему), то мы получим все решения этой СЛАУ. Так как эта система получена путём элементарных преобразований над исходной системой (1), то по теореме об эквивалентности при элементарных преобразованиях системы (1) и (2) эквивалентны, то есть множества их решений совпадают.

Следствия:

1: Если в совместной системе все переменные главные, то такая система является определённой.

2: Если количество переменных в системе превосходит число уравнений, то такая система является либо неопределённой, либо несовместной.

Алгоритм решения СЛАУ методом Гаусса подразделяется на два этапа.

1) На первом этапе осуществляется так называемый прямой ход, когда путём элементарных преобразований над строками систему приводят к ступенчатой или треугольной форме, либо устанавливают, что система несовместна. А именно, среди элементов первого столбца матрицы выбирают ненулевой, перемещают его на крайнее верхнее положение перестановкой строк и вычитают получившуюся после перестановки первую строку из остальных строк, домножив её на величину, равную отношению первого элемента каждой из этих строк к первому элементу первой строки, обнуляя тем самым столбец под ним. После того, как указанные преобразования были совершены, первую строку и первый столбец мысленно вычёркивают и продолжают пока не останется матрица нулевого размера. Если на какой-то из итераций среди элементов первого столбца не нашёлся ненулевой, то переходят к следующему столбцу и проделывают аналогичную операцию.

2) На втором этапе осуществляется так называемый обратный ход, суть которого заключается в том, чтобы выразить все получившиеся базисные переменные через небазисные и построить фундаментальную систему решений, либо, если все переменные являются базисными, то выразить в численном виде единственное решение системы линейных уравнений. Эта процедура начинается с последнего уравнения, из которого выражают соответствующую базисную переменную (а она там всего одна) и подставляют в предыдущие уравнения, и так далее, поднимаясь по «ступенькам» наверх. Каждой строчке соответствует ровно одна базисная переменная, поэтому на каждом шаге, кроме последнего (самого верхнего), ситуация в точности повторяет случай последней строки.

Метод Гаусса опирается на 1) Теорема (о приведении матриц к ступенчатому виду).

Любую матрицу путём элементарных преобразований только над строками можно привести к ступенчатому виду

Простейший случай

Обратный ход.

Из последнего ненулевого уравнения выражаем базисную переменную через небазисные и подставляем в предыдущие уравнения. Повторяя эту процедуру для всех базисных переменных, получаем фундаментальное решение.

Пример

Покажем, как методом Гаусса можно решить следующую систему:

Обнулим коэффициенты при Х во второй и третьей строчках. Для этого вычтем из них первую строчку, умноженную на и соответственно:

Теперь обнулим коэффициент при

в третьей строке, вычтя из неё вторую строку, умноженную на 4.

В результате мы привели исходную систему к треугольному виду, тем самым закончив первый этап алгоритма.

На втором этапе разрешим полученные уравнения в обратном порядке. Имеем:

из третьего;

из второго, подставив полученное

из первого, подставив полученные

и

Таким образом исходная система решена.

В случае, если число уравнений в совместной системе получилось меньше числа неизвестных, то тогда ответ будет записываться в виде фундаментальной системы решений.

Ранг матрицы -- наивысший из порядков миноров этой матрицы, отличных от нуля.

Определение

Пусть -- прямоугольная матрица.

Тогда по определению рангом матрицы A является:

1) ноль, если A -- нулевая матрица;

2) число

где Mr -- минор матрицы A порядка r, а Mr + 1 -- окаймляющий к нему минор порядка (r + 1), если они существуют.

Связанные определения

1)Ранг матрицы M размера

называют полным, если

2) Базисный минор матрицы A -- любой ненулевой минор матрицы A порядка r, где

Строки и столбцы, на пересечении которых стоит базисный минор, называются базисными строками и столбцами. (Они определены неоднозначно в силу неоднозначности базисного минора.)

Теорема Кронекера -- Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы. В частности:

1)Количество главных переменных системы равно рангу системы.

2)Совместная система будет определена (её решение единственно), если ранг системы равен числу всех её переменных.

3. Взаимное расположение прямых на плоскости

Угол между прямыми с угловыми коэффициентами k₁ и k₂ определяется формулой:



Условие параллельности прямых: k₁ = k₂. Условие перпендикулярности прямых: k₁·k₂ = ?1.

Расстояние от точки плоскости M(x₀, y₀) до прямой на плоскости, заданной уравнением

Ax + By + C = 0 , где A² + B² ? 0,

4. Уравнение прямой на плоскости

Уравнение вида

Ax + By + C = 0 ,

где A² + B² ? 0, называется общим уравнением прямой на плоскости.

Любой вектор, перпендикулярный прямой, называется нормальным вектором прямой и обозначается n, n = (A, B).

Уравнение y = kx + b называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Здесь b -- ордината точки пересечения прямой с осью 0y, k -- угловой коэффициент прямой, k = tgб , где б -- угол наклона прямой к оси 0x, (0 ? б < р).

Уравнением прямой в отрезках называется уравнение вида

Здесь a -- абсцисса точки пересеченияпрямой с осью 0x, b -- ордината точки пересечения прямой с осью 0y.

Уравнение прямой, проходящей через две точки M₁(x₁, y₁) и M₂(x₂, y₂), имеет вид

5. Переход от одного базиса пространства к другому

Матрицей перехода от базиса [e]=(e1,e2,…,en) к базису [e']=(e'1,e'2,…,e'n) линейного пространства V называется квадратная матрица порядка n (dimV=n) в j-том столбце которой стоит столбец координат вектора e'j в базисе [e]

[Теорема]: Пусть V-n-мерное линейное пространство. Невырожденные матрицы порядка n и только они являются матрицами перехода от одного базиса к другому.

[Док-во]: 1) Пусть [e] и [e'] - базисы пространства V, Т-матрица перехода от [e] к [e'] порядка n. ([e]=(e1,e2…en), [e']=(e'1,e'2…e'n)). Т состоит из столбцов координат векторов e'j в базисе [e] т.к. e1,e2,…,en - линейно независимы ([e]-базис), то столбцы матрицы Т тоже линейно независимы => detT№0, что означает то, что матрица невырождена.2) Пусть Т-матрица, detT№0 Рассмотрим вектора (e'1,e'2,…,e'n)=(e1,e2,…,en)T. e'j=( e1,e2,…,en)(t1j,t2j,…,tnj) j=1,…,n - j-й столбец координат e'j в [e]. Т.к. detT№0, то столбцы матрицы линейно независимы => dimV=n=> векторы e1,…,en образуют базисы в V.

6. Проекции вектора на ось. Базис, координаты вектора, точки

Проекция вектора на ось есть скалярная величина, равная произведению модуля проектируемого вектора на косинус угла между положительными направлениями оси и вектора.

Проекция вектора ? на ось обозначается через a_l или np_j?, а угол между осью и вектором ? будем обозначать так: .

Таким образом, a_l = npj? = a cosц

Если б,в,? - углы, образованные вектором ? с координатными осями Ox, Oy и Oz прямоугольной системы координат, то проекции вектора на координатные оси будут равны

В дальнейшем предполагается, что система координат - прямоугольная.

Модуль вектора через его проекции на оси прямоугольной системы координат вычисляется по формуле

т. е. модуль вектора равен арифметическому значению квадратного корня из суммы квадратов его проекций.

Вектор равен нулю, если все три его проекции равны нулю.

7. Перестановки и подстановки

Определение

Перестановка из N элементов, это расположение этих эл-тов в произвольном фиксированном порядке. кол-во перестановок равно

n(n-1)(n-2)….1=n!

Инверсия в перестановке - это пара чисел в которых большее число предшествует меньшему

(Ак ;Ac) k<j Ak>Aj

Перестановка считается четной если кол-во инверсий четное в противном случае перестановка нечетная.

Подстановка-это взаимооднозначное отображение мн-ва из N элементов самого себя.

Подстановка считается четной если четности этажей совпадают в противном случае подстановеа нечетная.

Матрица перестановки имеет в точности одну единицу в каждой строке и в каждом столбце; на всех прочих местах у нее стоят нули. Пример матрицы перестановки:

Симметрическая матрица удовлетворяет условию A = A^T. Такая матрица, например:

8. Миноры, алгебраические дополнения. Теорема Лапласа и следствия

Минор-это определитель матрицы составленный из эл-тов на пересечении строк и столбцов.

Дополнительный минор произвольного элемента квадратной матрицы aij равен определителю матрицы, полученной из исходной вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца.

Миноры матрицы

Пусть дана квадратная матрица А, n - ого порядка. Минором некоторого элемента аij , определителя матрицы n - ого порядка называется определитель (n - 1) - ого порядка, полученный из исходного путем вычеркивания строки и столбца, на пересечении которых находится выбранный элемент аij. Обозначается Мij.

Рассмотрим на примере определителя матрицы 3 - его порядка:



тогда согласно определению минора, минором М12, соответствующим элементу а12, будет определитель:

При этом, с помощью миноров можно облегчать задачу вычисления определителя матрицы. Надо разложить определитель матрицы по некоторой строке и тогда определитель будет равен сумме всех элементов этой строки на их миноры. Разложение определителя матрицы 3 - его порядка будет выглядеть так:

знак перед произведением равен (-1)n, где n = i + j.

Алгебраические дополнения.

Алгебраическим дополнением элемента аij называется его минор, взятый со знаком "+", если сумма (i + j) четное число, и со знаком "-", если эта сумма нечетное число. Обозначается Аij.

Аij = (-1)i+j Ч Мij.

Тогда можно переформулировать изложенное выше свойство. Определитель матрицы равен сумме произведение элементов некторого ряда (строки или столбца) матрицы на соответствующие им алгебраические дополнения. Пример:

Теорема Лапласа….

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Убедимся в справедливости теоремы Лапласа на примере определителя матрицы третьего порядка. Разложим его вначале по элементам первой строки

Что совпадает с определением определителя матрицы третьего порядка.

Пример 1. Вычислить определитель третьего порядка

Решение. Находим алгебраические дополнения элементов первой строки:

Пример 2. Вычислить определитель предыдущего примера, используя его разложение по элементам второго столбца.

Решение. Находим алгебраические дополнения элементов второго столбца:

Значения первого и второго примеров совпали, что говорит о том, что можно выбирать разложение по любой строке или любому столбцу.

Пример 3. Вычислить определитель четвертого порядка треугольной матрицы:

Решение: Выполним разложение по первому столбцу:

Значение теоремы Лапласа состоит в том, что она позволяет свести вычисление определителей n-го порядка к вычислению определителя меньшего порядка, то есть (n-1)-го порядка.

Обратная матрица - это матрица, обратная к данной. Для ее нахождения есть свои алгоритмы.

Матрица называется обратной матрицей для квадратной матрицы А, если

Из определения следует, что обратная матрица В

будет квадратной матрицей того же порядка, что и матрица А (иначе одно из произведений АВ или ВА было бы не определено).

Обратная матрица для матрицы А обозначается Таким образом, если существует, то

Из определения обратной матрицы следует, что матрица А явл-ся обратной для матрицы то есть

.

Про матрицы А и можно говорить, что они обратны друг другу или взаимно обратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует!!!!!!!!!!!!!!

Так как для нахождения обратной матрицы важно, равен ли определитель матрицы нулю или нет, то введем следующие определения.

Определение 1

Квадратную матрицу А назовем вырожденной или особенной матрицей, если

и невырожденной или неособенной матрицей, если

Утверждение. Если обратная матрица существует, то она единственна.

Утверждение.

Если квадратная матрица А является невырожденной, то обратная для нее существует и

где алгебраические дополнения к элементам .

Теорема.

Обратная матрица для квадратной матрицы А существует тогда и только тогда, когда матрица А - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула (1).

Замечание. Следует обратить особое внимание на места, занимаемые алгебраическими дополнениями в формуле обратной матрицы: первый индекс показывает номер столбца, а второй - номер строки, в которые нужно записать вычисленное алгебраическое дополнение.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы

Решение. Находим определитель

Так как то матрица А - невырожденная, и обратная для нее существует. Находим алгебраические дополнения:



Составляем обратную матрицу, размещая найденные алгебраические дополнения так, чтобы первый индекс соответствовал столбцу, а второй - строке:

Полученная матрица (2) и служит ответом к задаче.

Замечание. В предыдущем примере было бы точнее ответ записать так:

(3)

Однако запись (2) более компактна и с ней удобнее проводить дальнейшие вычисления, если таковые потребуются. Поэтому запись ответа в виде (2) предпочтительнее, если элементы матриц - целые числа. И наоборот, если элементы матрицы - десятичные дроби, то обратную матрицу лучше записать без множителя впереди.

Замечание. При нахождении обратной матрицы приходится выполнять довольно много вычислений и необычно правило расстановки алгебраических дополнений в итоговой матрице. Поэтому велика вероятность ошибки. Чтобы избежать ошибок следует делать проверку: вычислить произведение исходной матрицы на итоговую в том или ином порядке. Если в результате получится единичная матрица, то обратная матрица найдена правильно. В противном случае нужно искать ошибку.

Пример. Найдите обратную матрицу для матрицы

Существует

Ответ:

Вывод. Нахождение обратной матрицы по формуле (1) требует слишком много вычислений. Для матриц четвертого порядка и выше это неприемлемо. Реальный алгоритм нахождения обратной матрицы будет приведен позже.

Свойства обратной матрицы

где det обозначает определитель.

9. Определение вектора. Основные операции с векторами и определения

Определение вектор - упорядоченная пара точек пространства.

- Вектора называются коллинеарными а ¦в , если прямые, которые через них проходят, параллельны.

- вектора называются прямоколлинеарными АВ ^^ CD, если точка А и С лежат по одну сторону от прямой, проходящей через B и D.

- вектора называются противоколлинеарными АВ ^v CD, если точки А и С по разные стороны от прямой, проходящей через B и D.

Длина вектора - длина отрезка, определяющего вектор. Обозначается длина РаР , ¦АВ¦. Вектор а называется единичным, если РаР =1.

Два вектора называются равными, если они прямоколлинеарны и имеют одинаковую длину.

Векторы называются компланарны, если они параллельны одной плоскости.

Геометрический вектор - направленный отрезок. |AB|=|a| - длинна.

2 вектора наз. коллинеарными, если они лежат на 1 прямой или ||-ных прямых.

Векторы наз. компланарными, если они лежат в 1-ой плоскости или в ||-ных плоскостях.

2 вектора равны, когда они коллинеарны, сонаправленны, и имеют одинак-ую длину.

AB = CD PQ ? PR EF ? GH

Действия над векторами

1) умножение на число: произведение вектора А на число наз. такой вектор В, который обладает след. св-ми:

а) А||В.

б) >0, то АВ, <0, то АВ.

в)>1, то А<В, )<1, то А>В

2) Разделить вектор на число n значит умножить его на число, обратное n: а/n=a*(1/n).

3) Суммой неск-их векторов а и в наз. соединяющий начало 1-го и конец последнего вектора.

4) Разностью векторов а и в наз-ся вектор c, который, будучи сложенным с вектором в даст вектор а.

Операции с векторами.

Сложение векторов:

Свойства операции сложения :

1) коммутативность а + b = b + a ;

2) ассоциативность (a + b) + c = a + (b + c);

Из свойства ассоциативности следует, что в сумме векторов, содержащей три и более слагаемых, можно скобки не ставить.

a + b + c = a + (b + c)

a + b + c = (a + b)+ c



Разность a ? b

векторов аи b = вектору c который в сумме с вектором b дает вектор а

3) а + 0 = а;

4) для любого вектора а существует противоположный вектор (-а), что а +(-а) = 0.

Умножение вектора на число. Произведение вектора a(a1; a2) на число л называется вектор (лa1; лa2), т.е. (a1; a2) л = (лa1; лa2).

Для любого вектора a и чисел л, м

Для любого вектора a и b и числа л



Свойства умножения на число:

5) 1*а = а;

6) ассоциативность по умножению чисел

л (µа) = (лµ) а, л, µ є ?;

7) дистрибутивность по сложению чисел

(л + µ) a = лa + µa, л, µ є ?;

8) дистрибутивность по сложению векторов

л( a + b ) = лa + лb , л є ?;

9) для любых векторов а и b существует такой вектор х, что а + х = b (называется разностью векторов а и b);

10) (-1) x a = - a.

10. Векторное и смешанное произведения векторов. Их свойства и выражение в координатах

Векторное произведение векторов.

левая ----- правая

Тройка векторов а,в,с наз. правоориентированной (правой), если с конца 3го вектора с кратчайший поворот от 1го ко 2му вектору мы будем видеть против час. стрелки. Если кратчайший поворот от 1го ко 2му по час. стрелки - левая. Векторным произведением 2х векторов а и в наз. такой вектор с, который удовлетворяет условиям: 1. |c|=|a|*|b|*sin. 2. ca и cb. 3. тройка а,в,с-правая.

Геометрические свойства векторного произведения

* Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного произведения.

* Модуль векторного произведения [ab] равняется площади S параллелограмма, построенного на приведённых к общему началу векторах a и b

* Если e - единичный вектор, ортогональный векторам a и b, а S -- площадь параллелограмма, построенного на них (приведённых к общему началу), то для векторного произведения справедлива формула: [a,b]=Se

* Если c - какой-нибудь вектор, р - любая плоскость, содержащая этот вектор, e - единичный вектор, лежащий в плоскости р и ортогональный к c, g - единичный вектор, ортогональный к плоскости р и направленный так, что тройка векторов ecg является правой, то для любого лежащего в плоскости р вектора a справедлива формула: [a,c]=Pr_ea|c|g.

Смешанное произведение векторов и его свойства.

Смешанным произведением векторов наз. векторно-скалярное произведение, являющееся числом:

a*b*c=[a*b]*c=a*[b*c], где

a={a_x,a_y,a_z}

b={b_x,b_y,b_z}

c={c_x,c_y,c_z}

Св-ва:1. При перестановке 2х сомножителей:

a*b*c=-b*c*a

2. не меняется при перестановке циклических сомножителей:

a*b*c=c*a*b=b*c*a

3.а)(Геометрич. смысл) необходимым и достаточным условием компланарности 3х векторов явл. равенство a*b*c=0

б)если некомпланарные вектора a,b,c привести к 1 началу, то |a*b*c|=Vпараллепипеда, построенного на этих векторах

если a*b*c>0, то тройка a,b,c - правая

если a*b*c<0, то тройка a,b,c - левая

11. Определение линейного пространства. Свойства

Линейное, или векторное пространство L(P) над полем P - это непустое множество L, на котором введены операции:

1. сложения, то есть каждой паре элементов множества x,y Є L ставится в соответствие элемент того же множества, обозначаемый

x + y Є L.

2. умножения на скаляр (то есть элемент поля P), то есть любому элементу л Є P и любому элементу x Є L ставится в соответствие элемент из L(P), обозначаемый лx Є L(P).

При этом на операции накладываются следующие условия:

1. x+y=y+x, для любых x,y Є L (коммутативность сложения);

2. x+(y+z)=(x+y)+z, для любых x,y,z Є L (ассоциативность сложения);

3. существует такой элемент и Є L, что x+и=x для любого x Є L (существование нейтрального элемента относительно сложения), в частности L не пусто;

4. для любого x Є L существует такой элемент -x Є L, что x+(-x)=и (существование противоположного элемента).

5. б(вx)=(бв)x (ассоциативность умножения на скаляр);

6. 1 • x = x (умножение на нейтральный (по умножению) элемент поля P сохраняет вектор).

7. (б + в)x = бx + вx (дистрибутивность умножения на вектор относительно сложения скаляров);

8. б(x + y) = бx + бy (дистрибутивность умножения на скаляр относительно сложения векторов).

Элементы множества L называют векторами, а элементы поля P -- скалярами. Свойства 1-4 совпадают с аксиомами абелевой группы.

Свойства:

1. Векторное пространство является абелевой группой по сложению.

2. Нейтральный элемент и Є L является единственным, что вытекает из групповых свойств.

3. 0 • x = и для любого x Є L.

4. Для любого x Є L противоположный элемент -x Є L является единственным, что вытекает из групповых свойств.

5. (-1)x = -x для любого x Є L.

6. (-б)x = б(-x) для любых б Є P и x Є L.

7. б • и = и для любого б Є P.

12. Линейная зависимость и независимость векторов. Базис

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно зависимой, если существует ненулевой набор чисел л1, л2,...,лn, при котором линейная комбинация векторов л1*A1+л2*A2+...+лn*An равна нулевому вектору, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn = И имеет ненулевое решение.

Набор чисел л1, л2,...,лn является ненулевым, если хотя бы одно из чисел л1, л2,...,лn отлично от нуля.

Система векторов A1, A2,...,An называется линейно независимой, если линейная комбинация этих векторов л1*A1+л2*A2+...+лn*An равна нулевому вектору только при нулевом наборе чисел л1, л2,...,лn, то есть система уравнений: A1x1+A2x2+...+Anxn = И имеет единственное нулевое решение.

Свойство (1)

Если система векторов линейно зависимая, то хотя бы один из векторов разлагается по остальным и, наоборот, если хотя бы один из векторов системы разлагается по остальным, то система векторов линейно зависимая.

Свойство (2)

Если какая-либо подсистема векторов линейно зависимая, то и вся система линейно зависимая.

Свойство (3)

Если система векторов линейно независимая, то любая ее подсистема линейно независимая.

Свойство (4)

Любая система векторов, содержащая нулевой вектор, линейно зависимая.

Свойство (5)

Система m-мерных векторов всегда является линейно зависимой, если число векторов n больше их размерности (n>m).

Базисом системы векторов A1 , A2 ,..., An называется такая подсистема B1, B2 ,...,Br (каждый из векторов B1,B2,...,Br является одним из векторов A1, A2 ,..., An), которая удовлетворяет следующим условиям:

1. B1,B2,...,Br линейно независимая система векторов;

2. любой вектор Aj системы A1 , A2 ,..., An линейно выражается через векторы B1,B2,...,Br

r -- число векторов входящих в базис.

Алгоритм нахождения базиса системы векторов:

Для того, чтобы найти базис системы векторов A1 ,A2 ,...,An необходимо:

Составить соответствующую системе векторов однородную систему уравнений A1x1+A2x2+...+Anxn = И

13. Определитель (детерминант). Свойства определителя

Пусть дана матрица размера n.

Определение: Определитель матрицы А-\А\;detA, Это число равное n! Слагаемых где каждое слагаемое это произведения n эл-тов взятых из каждой строки и каждого столбца

А)перед слагаемым + если подстановка индексов чётна

Б)перед слагаемым - если подстановка индексов нечётна.

Определитель 2 порядка

=А11*А22-А12*А21

Каждой квадратной матрице A ставится в соответствие число /А/, называемое ее определителем, так, что выполняются следующие свойства:

1) если к матрице применить элементарное преобразование строк первого типа, то определитель изменит знак на противоположный;

2) если к матрице применить элементарное преобразование строк второго типа, то определитель не изменится;

3) если строку матрицы умножить на число, то определитель умножится на это число;

4) определитель верхнетреугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на ее главной диагонали.

Существуют различные способы вычисления определителей. Приведем способ, основанный на приведении матриц к ступенчатому виду при помощи элементарных преобразований строк. Пример. Вычислить определитель матрицы.



Определителем второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число, обозначаемое символом

и определяемое равенством det А = а₁₁а₂₂ - а₁₂а₂₁

Диагональ, образованная элементами а₁₁ и а₂₂ называется главной.

Диагональ, образованная элементами а₁₂ и а₂₁ называется побочной. Таким образом, чтобы вычислить определитель второго порядка, надо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов побочной диагонали Приведем два правила для вычисления определителя третьего порядка матрицы размерами 3 Ч 3

Первое правило -- разложение определителя по элементам первой строки

Определитель третьего порядка можно разложить и по второй, и по третьей строке, но эти формулы мы опустим.

Второе правило вычисления определителя следующее



Чтобы запомнить, какие произведения в правой части формулы брать со знаком «+» и какие со знаком «--», полезно следующее правило.

Один их трех членов определителя, входящих в его выражение со знаком «+», является произведением элементов главной диагонали, два других -- произведением элементов, стоящих на параллелях к главной диагонали, и элемента из противоположного угла. Члены, входящие со знаком «--», строятся таким же образом, но относительно второй диагонали. Изобразим это правило схематически:

Пример. Вычислить определитель матрицы

Вычислим определитель первым способом

Вычислим определитель вторым способом



Свойства определителей.

Сначала опишем основные свойства определителей относительно преобразования матриц. Знание этих свойств поможет упрошать вычисления и находить определители произвольного порядка.

Свойство 1. Определитель не меняется при транспонировании. Это означает, что определитель матрицы равен определителю транспонированной матрицы (матрицы, в которой строки заменены соответствующими столбцами).

Исходя из первого свойства, в остальных свойствах мы можем говорить только о строках, подразумевая, что эти свойства применимы также и к столбцам.

Свойство 2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.

Свойство 3. От перестановки двух строк определитель меняет свой знак.

Свойство 4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.

Свойство 5. Если все элементы некоторой строки умножить на некое число, то сам определитель умножится на это число.

Свойство 6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.

Свойство 7. Если все элементы i-й строки определителя n-го порядка представлен в виде суммы двух слагаемых: a_ij=b_j+c_j, j = 1, ..., n, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки, кроме i-й, - такие же, как и в заданом определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов b_j, в другом - из элементов c_j.

Свойство 8. Если одна из строк определителя есть линейная комбинация его других строк, то определитеь равен нулю..

Свойство 9. Определитель не меняется, если к одной из его строк прибавляется любая линейная комбинация других строк.

Теорема (о разложении определителя по строке): определитель равен сумме произведений всех элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения. Это означает, что определитель матрицы nЧn равен

(алгебраическое дополнение A_ij=(-1)^i+jM_ij Здесь минор M_ij - определитель получаемый из основного определителя вычеркиванием i-й строки и j-го столбца)

Теорема о разложении определителя по строке позволяет свести вычисление определителя матрицы nЧn к вычичлению n определителей матриц (n-1)Ч(n-1). Таким образом, вычисление определителей с порядком выше третьего сводится к разложению на сумму определителей третьего порядка.

С помощью описанных выше свойств определителей можно провести предварительные преобразования матрицы, облегчающие дальнейшие вычисления. Например, если перед разложением определителя n-го порядка по какой-либо строке накопить в этой строке нули, то разложение приводит к меньшему количеству определителей порядка n-1. Ниже приводится пример, в котором сначала из первой строки вычитается вторая (при этом появляются два нуля), а затем идет разложение по первой строке (из-за двух нулей получается не четыре определителя третьего порядка, а только два)

14. Системы уравнений. Метод Крамера. Матричный метод

Системы ур-ий, 1. Основные понятия.

В самом общем случае система линейных уравнений имеет следующий вид:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + …+ a_1n x_n = b₁;

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + …+ a_2n x_n = b₂; (1)

……………………………………

a_m1x₁+ a_m2x₂ + …+ a_mnx_n = b_m;

где х₁, х₂, …, х_n - неизвестные, значения которых подлежат нахождению. Как видно из структуры системы (1), в общем случае число неизвестных не обязательно должно быть равно числу уравнений самой системы. Числа а₁₁, а₁₂, …, а_mn называются коэффициентами системы, а b₁, b₂, …, b_m - её свободными членами. Для удобства коэффициенты системы а_ij (i=1, 2,..., m; j = 1, 2,...,n) и свободные члены b_i (i=1, 2,...,m) снабжены индексами. Первый индекс коэффициентов а_ij соответствует номеру уравнения, а второй индекс - номеру неизвестной х_i, при которой коэффициент поставлен. Индекс свободного члена b_i соответствует номеру уравнения, в которое входит b_i.

Дадим определения некоторых понятий, необходимых при изучении системы уравнений.

1)Решением системы уравнений (1) называется всякая совокупность чисел б₁, б₂, б_n, которая будучи поставлена в систему (1) на место неизвестных х₁, х₂, …, х_n, обращает все уравнения системы в тождества.

2) Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение, и несовместной, если не имеет решений.

3) Совместная система уравнений называется определенной, если она имеет одно единственное решение, и неопределенной, если она имеет по крайней мере два различных решения.

4) Две системы уравнений называются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и тоже множество решений.

Теорема: Крамеровская система совместна и имеет единственное решение. Док-во: Существование

Так как А-невырожденная, тогда

И рассмотрим С столбик

Подставляем в систему вместо неизвестных

B=B,

тоесть С-решение системы.

Пусть Х-произвольное решение системы

А*Х=В

отсюда следует что решение единственное.

Метод КРАМЕРА

Данный метод так же, как и матричный, применим только для систем линейных уравнений, у которых число неизвестных совпадает с числом уравнений. Метод Крамера основан на одноимённой теореме:

Теорема Система линейных уравнений с неизвестными



основная матрица которой невырожденная, имеет единственное решение, которое может быть получено по формулам

где определитель матрицы, полученной из основной матрицы системы уравнений заменой её го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Найдём решение системы линейных уравнений, рассмотренной в предыдущем примере, методом Крамера. Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку Вычислим определители

По формулам, представленным в теореме , вычислим значения неизвестных: Матричный метод решения систем линейных уравнений Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными:



Будем предполагать, что основная матрица невырожденная.

Тогда, существует обратная матрица Помножив матричное уравнение на матрицу слева, воспользовавшись определением а также утверждением

получим формулу, на которой основан матричный метод решения систем линейных уравнений:

Замечание. Отметим, что матричный метод решения систем линейных уравнений в отличие от метода Гаусса имеет ограниченное применение: этим методом могут быть решены только такие системы линейных уравнений, у которых, во-первых, число неизвестных равно числу уравнений, а во-вторых, основная матрица невырожденная.

Пример. Решить систему линейных уравнений матричным методом.

Задана система трёх линейных уравнений с тремя неизвестными



Основная матрица системы уравнений невырожденная, поскольку её определитель отличен от нуля:

Обратную матрицу составим одним из методов, описанных в пункте 3.

По формуле матричного метода решения систем линейных уравнений получим

15. Скалярное произведение векторов. Свойства. Выражение в координатах

матрица вектор плоскость гаусс

Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство

[линейность скалярного произведения по первому аргументу];

2. для любых и справедливо равенство

где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];

3. для любого имеем

Причем только при [положительная определенность скалярного произведения]. Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное -- унитарным. Скалярное произведение в координатах

Если

то

Угол между векторами

Векторное произведение

Векторное произведение векторов и

вектор, обозначаемый

или для когорого:

1) ( - угол между векторами а и б, );

2)

3) тройка ,,-правая.

Определение 2: Скалярное произведение ставит в соответствие паре векторов a и b число (a,b)=|a|·|b|·cosцa,b.

Свойства скалярного произведения:

1. коммутативность: (a,b)=(b,a)

2. (а,а)= |а|2(в квадрате)

3. (a,b)=0 <=> a перпенд b

4. Дистрибутивность: (a1+а2,b)= (a1,b)+ (a2,b)

5. (а, л·b)= л·(a,b) л R.

Утверждение 1: В декартовом базисе если а={x1,y1,z1}, b={x2,y2,z2}, то (a,b)=x1·x2+y1·y2+z1·z2.

Скалярное произведение векторов.

Угол между ненулевыми векторами AB и CD - это угол, образованный векторами при их параллельном переносе до совмещения точек A и C. Скалярным произведением векторов a и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:

Если один из векторов нулевой, то их скалярное произведение в соответствии с определением равно нулю:( a , 0 ) = ( 0 , b ) = 0 .

Если оба вектора ненулевые, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

Скалярное произведение ( a , a ), равное | a | 2, называется скалярным квадратом. Длина вектора a и его скалярный квадрат связаны соотношением:

Скалярное произведение двух векторов:

- положительно, если угол между векторами острый ;

- отрицательно, если угол между векторами тупой .

Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда угол между ними прямой, т.е. когда эти векторы перпендикулярны (ортогональны):

Свойства скалярного произведения. Для любых векторов a , b , c и любого числа m справедливы следующие соотношения:

I. ( a , b ) = ( b , a ) . ( П е р е м е с т и т е л ь н ы й закон )

II. ( m a , b ) = m ( a , b ) .

III. ( a + b , c ) = ( a , c ) + ( b , c ). ( Р а с п р е д е л и т е л ь н ы й закон )

Единичные ортогональные векторы. В любой прямоугольной системе координат можно ввести единичные попарно ортогональные векторы i, j и k, связанные с координатными осями: i - с осью Х, j - с осью Y и k - с осью Z. В соответствии с этим определением:

( i , j ) = ( i , k ) = ( j , k ) = 0,

| i | = | j | = | k | = 1.

Любой вектор a может быть выражен через эти векторы единственным образом: a = x i + y j + z k . Другая форма записи: a = ( x, y, z ). Здесь x, y, z - координаты вектора a в этой системе координат. В соответствии с последним соотношением и свойствами единичных ортогональных векторов i, j , k скалярное произведение двух векторов можно выразить иначе.

Пусть a = ( x, y, z ); b = ( u, v, w ). Тогда ( a , b ) = xu + yv + zw.

Скалярное произведение двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Длина (модуль) вектора a = ( x, y, z ) равна:

Кроме того, теперь мы получаем возможность проведения алгебраических операций над векторами, а именно, сложение и вычитание векторов можетвыполняться по координатам:

a + b = ( x + u , y + v , z + w ) ;

a - b = ( x - u , y - v , z - w ) .

16. Взаимное расположение 2х плоскостей, угол между ними, расстояние до плоскости

р₁: A₁ x+B₁ y+C₁ z+D₁ =0

р₂ : A₂ x+B₂ y+C₂ z+D₂ =0

1. Хотя бы один из определителей

?_х = B₁ B₂ ?_y = A₁ A₂ ?_z = A₁ A₂ ?0

C₁ C₂ C₁ C₂ B₁ B₂

r_осн =2 r_расш =2,

система совместна, решений бесконечно много, т.к. r<n. р₁ и р₂ пересекаются по прямой.

2. когда ?_х = ?_y = ?_z = 0

r_осн =1 r_расш =2, система не совместна, общих точек нет; р₁ и р₂ параллельны.

3.

r_осн =r_расш =1, р₁ и р₂ совпадают.

Если плоскости пересекаются можно определить угол между ними - это угол между нормалями к плоскости

17. Уравнение прямой в пространстве. Сведение общего уравнения к каноническому

параметрические.

Прямую можно задать, как пересечение 2х плоскостей.

общие

Задача: из общего уравнения прямой получить каноническое.

1.Найдем точку принадлежащую прямой. Пусть z=0. Решаем систему из 2х уравнений с 2мя неизвестными.

2. Пусть (x₀,y₀,z₀) - решение системы. Тогда

A₁(x-x₀)+B₁(y-y₀)+C₁(z-z₀)=0 / *C₂ и вычтем

A₂(x-x₀)+B₂(y-y₀)+C₂(z-z₀)=0 / *C₁

(A₁C₂ - A₂C₁)(x-x₀)+(B₁C₂ - B₂C₁)(y-y₀)=0

(A₁C₂ - A₂C₁)(x-x₀)= - (B₁C₂ - B₂C₁)(y-y₀)

18. Эллипс

Опр. Пусть на плоскости заданы 2 точки F₁ и F₂ и а - это некоторое число | F₁ F₂| <2a

Эллипс - это множество точек на плоскости сумма расстояний от которых до F₁ и F₂ постоянна и равна 2а.

2с<2а

c<a MЄ эллипсу, если r₁ +r₂=2a



r₁ = 2a - r₂ / возводим в квадрат

x²+2xc+c²+y²=4a²-4ar₂+x²-2xc+c²+y² приведя подобные получим: 4ar₂ = 4a² -4xc

ar₂=a²-xc / в квадрат

a²(x²-2xc+c²+y²)=a⁴-2a²xc+x²c²

(a²-c²)x²+a²y²=a²(a²-c²) a²-c²=b²

b²x²+a²y²=a²b² \: a²b²

=1 уравнение эллипса

Исследование уравнения эллипса.

1.Эллипс симметричен относительно оси Ох, Оу, и начала координат.

2. 1 x²?a² |x|?a

y²?b² |y|?b

3. y²=b²(1- ) в 1 четверти у=

Х изменится от 0 до а, у изменяется от b до 0

F₁ и F₂ - фокусы эллипса, а - большая полуось, b- малая полуось

4. е= - эксцентриситет

5. прямые х= - директрисы эллипса. Теорема. Точка принадлежит эллипсу когда отношение расстояний до фокуса и расстояния до соответствующей директрисы постоянно и равно е.

6. а=b =1 x²+y²=a²=R² c=0, F₁ и F₂ - совпадают, е=0

7. параметрич. ур-я

19. Гипербола

Пусть на плоскости заданы F₁ и F₂ , а - это некоторое число | F₁ F₂| >2a>0