Вопросы высшей математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Тема 1. Линейная алгебра

№ 1. Понятие определителей 1 - ого и 2 - ого порядков. Определитель N - ого порядка N>2, его запись. Минор Ии алгебраическое дополнение A_ik элемента a_ik

Формула вычисления определителя в терминах этих величин. Основные свойства определителя и их практическое применение

№ 2. Алгебраическая система линейных уравнений размерности символическая запись, теорема Крамера

№ 3. Понятие матрицы, классификация матриц, действия над матрицами и их свойства, умножение на матрицу E, трактовка матрицы А в уравнении AX=D как линейного оператора в пространстве N-мерных столбцов

№ 4. Определение обратной матрицы , условия ее существования, формула , Решение матричных уравнений AX=D, XA=D применением обратной матрицы

№ 5. N-мерное линейное векторное евклидово пространство, линейная независимость системы векторов, пример ортогональный и нормированный базис, метод гаусса, финальная матрица, система с базисом, классификация переменных, построение базисного и иных частных решений, вид формулы общего решения однородной и неоднородной систем

№ 6. 2 определителя ранга матрицы, подпространство , определение базиса

Теорема структура общего решения

1. однородной линейной системы

2. неоднородной линейной системы

№ 7. Матрицы системы - основанная - и расширенная -

Их ранги и способы их нахождения, теорема Кронекера - Капели о разрешимости линейных систем однородных и неоднородных, в зависимости от соотношений между рангами , и числом неизвестных N

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве и в N - мерном пространстве

№ 10. Декартовы координаты точки М задание вектора в системе координат, действия над векторами в координатной форме, скалярное произведение, его геометрический смысл, его свойства, координатная формула его вычисления, ортогональность, формула построения единичного вектора n по заданному вектору N проекция векторана вектор N

№ 11. Коллинеарность векторов, ее геометрический смысл аналитическая запись уравнения прямой в пространстве (и на плоскости- как частный случай)

Проходящей через точку в направлении вектора :

Векторное параметрическое каноническое

№ 12. Уравнение прямой в пространстве (и на плоскости (xy) - как частный случай) Проходящий через 2 заданные точки и

Векторное параметрическое каноническое

№ 13. Уравнение плоскости в пространстве (через точку с вектором нормали ), векторное координатное частные случаи, геометрический смысл коэффициентов уравнения, плоскости общего вида

№ 14. Уравнение прямой на плоскости (ху) через точку перпендикулярной вектору , Векторное координатное, трактовка коэффициентов уравнения прямой общего вида на плоскости xy, расстояние от точки до прямой и в частности, от начала координат до этой прямой

№ 15. Решение системы линейных неравенств на плоскости xy графическим методом нахождение границ многогранника, области решений и его угловых точек

№ 16. Векторное произведение и его геометрический смыслы, свойства, символическая формула, условие коллинеарности

№ 17. Понятие множества, терминология символика, примеры множеств, подмножества, универсальное множество, дополнения, пустое множество, операции над множествами и их свойств, геометрическая трактовка множеств и действий над ними (диаграммы Эйлера - Венна)

Тема 3. Математический Анализ. Дифференциальное исчисление

№ 17. Понятие множества. Терминология, символика, примеры множеств: подмножества, универсальное множество, дополнения, пустое множество; операции над множествами и их свойства; геометрическая трактовка множеств и действий над ними (диаграммы Эйлена- Венна)

№ 18. Функциональная зависимость: понятие абстрактной функции, символика, терминология, способы задания функции, понятия графика числовой функции; композиция, обратная функция. Примеры графиков основных элементарных функций

№ 19. Неэлементарные функции: модуль х, целая часть х, знак х; и их определения, графики и свойства

№ 20. Понятие окрестности точки М_о. Предел числовой последовательности и функции в точки М_о. Геометрическая трактовка в терминах окрестностей. Правый и левый пределы f(x) в точке Х_о ; скачок f(x) в точке Х_о

№ 22. Бесконечно малые и бесконечно большие величины: определения, основные свойства, связь между ними. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин; запись порядков сравнения величин обоих типов

№ 23. Основные теоремы о свойствах предела функции f(x) в виде суммы А+а(х), где A=const и а(х) - бесконечно малая при X X_o, предел постоянной С, предел суммы, произведения и частного; теоремы: о предельном переходе в неравенстве, и о пределе сжатой переменной

№ 24. Непрерывность f(x) в точке X_o. Три равносильных определения непрерывности, области их практического применения

№ 25. Глобальные свойства непрерывных функций. Определение функции, непрерывной в замкнутом интервале. Теоремы Вейерштрасса (1 и 2) и теоремы Коши (1 и 2). Замечательные пределы: первый второй и третий, их геометрическая трактовка, следствия из них - соотношения эквивалентности

№ 26. Производная. Определение производной в точнее X_o от функции f(x). Геометрическая, механическая и экономическая трактовки; правила дифференцирования, производная композиция, логарифмическая производная

№ 27. Производная обратной функции; производная параметрически заданной функции. Производные некоторых элементарных функций. Не равносильность понятий: непрерывность и дифференцируемость функции. Теорема о равносильности утверждений «существует f'(x) в точке x» и «выполняется равенство для приращения ?f(X)=A*?X+O(?x) где A=const

№ 28. Дифференциал. Определение и формула дифференциала df(x), его геометрический смысл, свойства, инвариантность формы первого дифференциала при замене независимой переменной; применение в приближенных вычислениях

№ 29. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и ихриложения. Теоремы Ферма, Ролля, Лангранжа, Коши, правило Лопиталя

№ 30. Определение возрастающей функции на интервале; необходимое условие возрастания, достаточное условие возрастания (убывания). Определение локального экстремума функции в точки X_o, геометрическая трактовка. Определения max f(x) и min f(x) в терминах знака ?f (X_o). Необходимое условие экстремума функции в точке Х_o

№ 31. Достаточное условие экстремума функции в терминах знака f `(x). Достаточное условие экстремума в терминах знака f'' (x) , основанное на формуле ?f (X_o), полученной из формулы Тейлора (n=3)

№ 32. Определения: «выпуклость вверх (вниз)» и «точки перегиба» функции f(x); достаточное условие выпуклости вверх (вниз). План исследования функции с целью построения графика; асимптоты

Тема 1. Линейная алгебра

№ 1. Понятие определителей 1 - ого и 2 - ого порядков. Определитель N - ого порядка N>2, его запись. Минор Ии алгебраическое дополнение A_ik элемента a_ik

Формула вычисления определителя в терминах этих величин. Основные свойства определителя и их практическое применение

Определитель - число, характеризующее матрицу.

Определителем матрицы 1-го порядка А=(а₁₁) является единственный элемент этой матрицы.

Определителем 2-го порядка называется число, характеризующее матрицу 2-го порядка.

Определителем квадратной матрицы n-ого порядка называется число, равное алгебраической сумме n членов, каждый из которых является произведением n-элементов матрицы, взятых по одному из каждой строки или столбца (причём знак каждого члена определяется как (-1)^r(j), где r(j)-число инверсий).

Теорема Лапласа: определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов к.-л. строки или столбца на их алгебраические дополнения.

Минором квадратной матрицы n-го порядка для элемента a_ik называется определитель (n-1)-ого порядка, полученный с данного вычёркиванием i-ой строки и k-ого столбца.

Алгебраическим дополнением А_ik для элемента квадратной матрицы а_ik называется минор этого элемента, взятый со знаком (-1)^i+j.

Свойства:

1) Если какая-либо строка или столбец в матрице состоит из одних нолей, то определитель этой матрицы равен 0.

2) При транспонировании матрицы её определитель не изменяется.

3) Если все элементы какой-либо строки или столбца матрицы умножить на одно и то же число, то и определитель этой матрицы умножится на это же число.

4) При перестановке местами 2-х строк или столбцов матрицы её определитель меняет свой знак на противоположный.

5) Если квадратная матрица содержит две одинаковых строки или столбца, то её определитель равен 0.

6) Если 2 строки или 2 столбца матрицы пропорциональны, то её определитель равен 0.

8) Определитель матрицы не изменяется если к элементам одной строки или столбца прибавить элементы другой строки или столбца, умноженный на одно и то же число.

9) Если какой-либо столбец или строка матрицы представляет собой сумму 2-х элементов, то определитель этой матрицы может быть представлен в виде суммы 2-х определителей.

№ 2. Алгебраическая система линейных уравнений размерности символическая запись, теорема Крамера

Линейным уравнением относительно неизвестных x₁,x₂,…,x_n называется выражение вида a₁x₁+a₂x₂+…+a_nx_n=b, где a₁,a₂,…,a_n и b- простые числа, причём a₁,a₂,…,a_n называются коэффициентами при неизвестных, а b- свободным коэффициентом. Последовательность чисел k1, k2, …, k_n называется решением уравнения, если при подстановке этих чисел в уравнение оно обращается в верное равенство.

Два линейных уравнения называются равносильными, если их решения совпадают.

Чтобы получить равносильное уравнение из заданного, необходимо осуществить следующие преобразования:

1) перенос слагаемых из одной части уравнения в другую;

2) поэлементное умножение всего уравнения на одно и то же число, отличное от ноля.

Символическая запись

(ВНИМАНИЕ! ВМЕСТО М НУЖНО ПОСТАВИТЬ N)

Решить линейное уравнение - это значит найти все его решения или установить, что их нет.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система уравнений называется определённой, если она имеет одно единственное решение, и неопределённой, если решений множество. Неизвестное x₁ называется разрешённым, если какое-нибудь уравнение системы содержит неизвестное x₁ с коэффициентом, равным 1, а во все другие уравнения системы неизвестное x₁ не входит. Если каждое уравнение системы содержит разрешённое неизвестное, то такую систему называют разрешённой. Неизвестные СЛУ, которые не входят в разрешённый набор, называются свободными.

Теорема Крамера: Если в системе n линейных уравнений с n неизвестными , то система имеет решение и притом единственное. Это решение задается формулами:

Док-во: Используем формулу из теоремы об обратных матрицах:

где A_ij - алгебраические дополнения. Тогда согласно матричному способу решения уравнений (), следует, что:

Заметим, что по формуле

разложение определителя по первому столбцу в точности совпадает с первым элементом матрицы-столбца в правой части последнего равенства, разложение определителя по второму столбцу дает второй элемент матрицы-столбца и т.д. Поэтому

,

откуда и следует утверждение теоремы.

№ 3. Понятие матрицы, классификация матриц, действия над матрицами и их свойства, умножение на матрицу E, трактовка матрицы А в уравнении AX=D как линейного оператора в пространстве N-мерных столбцов

Матрицей размеров называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m строк и n столбцов. Числа, составляющие матрицу, называются элементами матрицы.

Обычно принято обозначать матрицы большими буквами, а саму таблицу чисел заключать в круглые скобки. Иногда вместо круглых скобок в записи матрицы используют квадратные или двойные прямые линии.

Если элементы матрицы обозначаются буквами, то для этого обозначения используется та же буква, что и для обозначения матрицы, только не большая, а малая, и эта буква снабжается двумя индексами. Например, матрицу размеров можно записать в виде:

В записи первый индекс указывает номер строки, а второй - номер столбца.

Укажем основные типы матриц.

1. Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной. Число строк или число столбцов в ней называется порядком матрицы.

2. Если все элементы матрицы равны нулю, то матрица называется нулевой. Нулевая матрица обозначается обычной цифрой 0. Как правило, из контекста ясно, является ли этот 0 числом или матрицей.

3. Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

4. Квадратная матрица называется верхней треугольной (нижней треугольной), если все ее элементы, стоящие ниже (выше) главной диагонали, равны нулю.

5. Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все элементы главной диагонали равны 1. Для обозначения единичной матрицы обычно используется буква E.

6. Две матрицы называются равными, если они имеют одинаковые размеры и элементы, стоящие на одинаковых местах, равны друг другу.

7. Матрица A называется симметричной, если A^T = A.

8. Матрица A называется трехдиагональной, если все элементы, не находящиеся на главной диагонали и ее соседних диагоналях (наддиагонали и поддиагонали), равны нулю.

ДЕЙСТВИЯ НАД МАТРИЦАМИ

Сложение матриц.

Определено только для матриц одинаковых размеров.

Суммой матриц A и B размеров является матрица C таких же размеров.

Каждый элемент матрицы C является результатом сложения соответствующих элементов матриц A и B.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы A размеров на число называется матрица C таких же размеров, у которой все ее элементы равны соответствующим элементам матрицы A, умноженных на это число.

Вычитание матриц.

Можно определить следующим способом:



что соответствует вычитанию элементов, стоящих на одинаковых местах.

Операции сложения матриц и умножения матрицы на число, называемые линейными операциями и обладают следующими свойствами:

1. - свойство коммутативности.

2. - свойство ассоциативности.

3.

4.

5. - свойство дистрибутивности

6.

7.

8.

Умножение матриц.

Произведением матрицы A размеров на матрицу B размеров называется матрица C размеров , элементы которой вычисляются по формуле:

где ,

Во-первых, в этом определении нужно обратить внимание на то, что важен порядок сомножителей, нужно знать, какой сомножитель первый, а какой - второй.

Во-вторых, нужно отметить, что произведение определено только в том случае, если число столбцов первого сомножителя равно числу строк второго. Если это условие не выполняется, то произведение не определено.

В-третьих, размеры результата умножения определяются следующим образом: число строк результата равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов результата равно числу столбцов второго сомножителя.

Свойства умножения матриц:

(Предполагается, что все указанные произведения имеют смысл)

-ассоциативность умножения.

, где- число.

- дистрибутивность умножения.

, где - единичная матрица соответствующего порядка.

Транспонирование матриц.

Пусть A - матрица размеров . Тогда транспонированной матрицей A называется такая матрица B размеров , что , , .

Транспонированная матрица A обозначается или . Операция транспонирования заключается в том, что строки и столбцы в исходной матрице меняются ролями. В транспонированной матрице первым столбцом служит первая строка исходной матрицы, вторым столбцом - вторая строка исходной матрицы и т.д.

Свойства:

, если произведение определено.

Возведение в степень: возводить в степень можно только квадратные матрицы; целой положительной степенью квадратной матрицы А^m называется произведение m-матриц, равных А.

ТРАКТОВКА МАТРИЦЫ А В УРАВНЕНИИ AX=D

КАК ЛИНЕЙНОГО ОПЕРАТОРА В ПРОСТРАНСТВЕ N-мерных СТОЛБЦОВ

Если задан закон (правило), по которому каждому вектору x пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) , действующий из в и записывают:

Оператор называют линейным, если для любых векторов и пространства и любого числа выполняются соотношения:

- свойство аддитивность оператора.

- свойство однородности оператора.

Матрица называется матрицей оператора в базисе .

Каждому линейному оператору соответствует матрица в данном базисе. Или всякой матрице n-ого порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства.

Связь между вектором и его образом можно выразить уравнением Y=AX, где A - матрица линейного оператора, - матрицы-столбцы из координат векторови.

№ 4. Определение обратной матрицы , условия ее существования, формула , Решение матричных уравнений AX=D, XA=D применением обратной матрицы

Обратная матрица.

Матрица B называется обратной матрицей для квадратной матрицы A, если AB=BA=E.

Матрицы и - взаимнообратны.

Если определитель матрицы равен нулю, то обратная к ней не существует.

Если обратная матрица существует, то она единственна.

Если квадратная матрица A является невырожденной, то обратная для нее существует.

Обратная матрица для квадратной матрицы A существует тогда и только тогда, когда матрица A - невырожденная, обратная матрица единственна, и справедлива формула для обратных матриц:

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ПРИ РЕШЕНИИ МАТРИЧНЫХ УРАВНЕНИЙ

Рассмотрим матричное уравнение

A · X = B ,

где A -- квадратная невырожденная (det A ? 0) матрица порядка n , B -- матрица размера n Ч m и X -- неизвестная матрица.

Так как матрица A -- невырожденная, то существует обратная матрица A^?1 . Умножим обе части уравнения слева (операция умножения матриц некоммутативна!) на матрицу A^?1 . По определению обратной матрицы, получим

( A^?1 · A ) · X = A^?1 · B

E · X = A^?1 · B

X = A^?1 · B .

Таким образом, искомое решение матричного уравнения определяется формулой

X = A^?1 · B

Обратите внимание на то, что количество строк матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .

2. Рассмотрим матричное уравнение

X · A = B ,

где A -- квадратная невырожденная ( det A ? 0 ) матрица порядка n , B -- матрица размера m Ч n и X -- неизвестная матрица.

Так как матрица A -- невырожденная, то существует обратная матрица A?1 . Умножим обе части уравнения справа на матрицу A^?1 . По определению обратной матрицы, получим

X · ( A · A^?1 ) = B · A^?1

X · E = B · A^?1

X = B · A^?1 .

Таким образом, искомое решение матричного уравнения:

X = B · A^?1 .

Обратите внимание на то, что количество столбцов матрицы B должно быть равно порядку матрицы A .

№ 5. N-мерное линейное векторное евклидово пространство, линейная независимость системы векторов, пример ортогональный и нормированный базис, метод гаусса, финальная матрица, система с базисом, классификация переменных, построение базисного и иных частных решений, вид формулы общего решения однородной и неоднородной систем

N-мерным вектором называется упорядоченная совокупность n действительных чисел, записываемых в виде:, где - i-я компонента вектора.

Свойства линейных операций над любыми векторами:

1. - коммутативное (переместительное) свойство.

2. - ассоциативное (сочетательное) свойство.

3. - ассоциативное относительно числового множителя свойство

4. - дистрибутивное (распределительное) относительно суммы векторов свойство.

5. - дистрибутивное относительно суммы числовых множителей свойство.

6. Существует нулевой вектор такой, что для любого вектора x (особая роль нулевого вектора)

7. Для любого вектора x существует противоположный вектор (-x) такой, что x+(-x)=0.

8. , для любого вектора x (особая роль числового множителя 1).

Множество векторов с действительными компонентами, в котором определены операции сложения векторов и умножения вектора на число, удовлетворяющее приведенным выше восьми свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется векторным пространством.

Скалярным произведением двух векторов и называется число .

Свойства скалярного произведения:

1. - коммутативное свойство.

2. - дистрибутивное свойство.

3. - для любого действительного числа

4. , если - ненулевой вектор. , если - нулевой вектор.

Линейное (векторное) пространство, в котором задано скалярное произведение векторов, удовлетворяющее указанным четырем свойствам (рассматриваемым как аксиомы), называется евклидовым пространством.

Векторы a₁, a₂,…,a_m векторного пространства R называются линейно зависимыми, если существуют такие числа , не равные одновременно нулю, что .

Система векторов называется линейно независимой, если равенство a₁, a₂,…,a_m называются линейно независимыми, если возможно только при

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю. Нулевой вектор ортогонален любому вектору.

Нормированный базис

Система векторов , для которой

называется ортонормированной

МЕТОД ГАУССА

Пусть дана система линейных уравнений с неизвестными . Требуется найти ее общее решение, если она совместна, или установить ее несовместность.

Предлагаемый алгоритм называется методом Гаусса или методом последовательного исключения неизвестных.

Выпишем расширенную матрицу системы

Назовем элементарными операциями следующие действия с матрицами:

1. Перестановка строк.

2. Умножение строки на число, отличное от нуля.

3. Сложение строки с другой строкой, умноженной на число.

Отметим, что при решении системы уравнений, в отличие от вычисления определителя и нахождения ранга, нельзя оперировать со столбцами.

Цель алгоритма - с помощью применения последовательности элементарных операций к матрицедобиться, чтобы каждая строка, кроме, быть может, первой, начиналась с нулей, и число нулей до первого ненулевого элемента в каждой следующей строке было больше, чем в предыдущей.

Шаг алгоритма заключается в следующем. Находим первый ненулевой столбец в матрице. Пусть это столбец с номером Находим в нем ненулевой элемент и строку с этим элементом меняем местами с первой строкой. Чтобы не нагромождать дополнительных обозначений, будем считать, что такая смена строк в матрицеуже произведена, то есть. Тогда ко второй строке прибавим первую, умноженную на число , к третьей строке прибавим первую, умноженную на число, и т.д. В результате получим матрицу:

Если в матрице встретилась строка с номером , в которой все элементы равны нулю, а , то выполнение алгоритма останавливаем и делаем вывод, что система несовместна. Действительно, восстанавливая систему уравнений по расширенной матрице, получим, что-ое уравнение будет иметь вид:

Этому уравнению не удовлетворяет ни один набор чисел

Матрицуможно записать в виде:

По отношению к матрице выполняем описанный шаг алгоритма. Получаем матрицу

Где . Эту матрицу снова можно записать в виде:

и к матрице снова применим описанный выше шаг алгоритма.

Процесс останавливается, если после выполнения очередного шага новая уменьшенная матрица состоит из одних нулей или если исчерпаны все строки. Заметим, что заключение о несовместности системы могло остановить процесс и ранее.

Если бы мы не уменьшали матрицу, то в итоге пришли бы к матрице вида:

Далее выполняется так называемый обратный ход метода Гаусса. По матрице составляем систему уравнений. В левой части оставляем неизвестные с номерами, соответствующими первым ненулевым элементам в каждой строке, то есть . Заметим, что . Остальные неизвестные переносим в правую часть. Считая неизвестные в правой части некоторыми фиксированными величинами, несложно выразить через них неизвестные левой части. Теперь, придавая неизвестным в правой части произвольные значения и вычисляя значения переменных левой части, мы будем находить различные решения исходной системы .Чтобы записать общее решение, нужно неизвестные в правой части обозначить в каком-либо порядке буквами , включая и те неизвестные, которые явно не выписаны в правой части из-за нулевых коэффициентов, и тогда столбец неизвестных можно записать в виде столбца, где каждый элемент будет линейной комбинацией произвольных величин (в частности, просто произвольной величиной). Эта запись и будет общим решением системы.

Если система была однородной, то получим общее решение однородной системы. Коэффициенты при , взятые в каждом элементе столбца общего решения, составят первое решение из фундаментальной системы решений, коэффициенты при - второе решение и т.д.

Фундаментальную систему решений однородной системы можно получить и другим способом. Для этого одной переменной, перенесенной в правую часть, нужно присвоить значение 1, а остальным -- нули. Вычислив значения переменных в левой части, получим одно решение из фундаментальной системы. Присвоив другому переменному в правой части значение 1, а остальным -- нули, получим второе решение из фундаментальной системы и т.д.

№ 6. 2 определителя ранга матрицы, подпространство , определение базиса

Теорема структура общего решения

1. однородной линейной системы

2. неоднородной линейной системы

РАНГ МАТРИЦЫ

- максимальное число её линейно независимых столбцов.

- максимальный порядок среди всех её миноров отличных от нуля.

Множество L векторов из Rⁿ , такое, что для любых и из L и любого числа справедливо , называется линейным подпространством в Rⁿ.

Пример. Множество L арифметических векторов из Rⁿ, у которых последние компоненты -- нулевые, образует линейное подпространство в Rⁿ:

Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в L существует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора -- линейно зависимы; обозначаем dimL=k.

Определение. Любая линейно независимая система из k векторов k-мерного линейного подпространства L образует базис линейного подпространства L.

Свойства:

1. Если , то

2. Если и , то

3.

Базисом линейного пространства называется такая конечная упорядоченная линейно независимая система векторов, что любой вектор пространства является линейной комбинацией этих векторов.

Однородная система уравнений

всегда является совместной.

Доказательство. Для этой системы набор чисел является решением.

Следствия:

1. Сумма решений однородной системы линейных уравнений является решением этой системы. Решение, умноженное на число, тоже является решением.

2. Если однородная система линейных уравнений имеет ненулевое решение, то она имеет бесконечно много различных решений.

Пусть - фундаментальная система решений однородной системы Тогда , где - число неизвестных в системе.

Систему неоднородных уравнений запишем в матричном виде

,

где матрица A имеет размеры

1

Пусть и -- решения неоднородной системы . Тогда их разность является решением однородной системы с той же матрицей, то есть решением системы

2

Пусть с - решение неоднородной системы , - любое решение однородной системы . Тогда - решение неоднородной системы.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Пусть -- некоторое решение неоднородной системы линейных уравнений , -- общее решение однородной системы . Тогда выражение называется общим решением неоднородной системы.

Учитывая запись общего решения однородной системы через фундаментальную систему ее решений , получаем для общего решения неоднородной системы формулу:

Из двух последних предложений следует, что любое решение неоднородной системы может быть получено из общего решения при некоторых числовых значениях коэффициентов

Теорема 15.4 Система линейных уравнений может иметь либо бесконечно много решений, либо одно решение, либо не иметь решений.

Доказательство. Пусть система имеет решение . Если однородная система имеет только одно решение, то из формулы общего решения будет следовать, что - единственное решение неоднородной системы. Если однородная система имеет хотя бы одно ненулевое решение, то ее фундаментальная система решений будет состоять не менее, чем из одного решения. В формуле общего решения неоднородной системы будет произвольный коэффициент , и при различных его значениях мы будем получать различные решения неоднородной системы.

№ 7. Матрицы системы - основанная - и расширенная -

Их ранги и способы их нахождения, теорема Кронекера - Капели о разрешимости линейных систем однородных и неоднородных, в зависимости от соотношений между рангами , и числом неизвестных N

Коэффициенты и свободные члены СЛАУ запишем в виде матриц и назовем их: A - матрица системы, а - расширенная матрица системы.

Однородной системой линейных уравнений называется система, правая часть которой равна нулю:

Матричный вид однородной системы: Ax=0.

Однородная система всегда совместна, поскольку любая однородная линейная система имеет, по крайней мере, одно решение: x₁=0 , x₂=0 , ..., x_n=0.

Если однородная система имеет единственное решение, то это единственное решение -- нулевое, и система называется тривиально совместной. Если же однородная система имеет более одного решения, то среди них есть и ненулевые и в этом случае система называется нетривиально совместной.

Доказано, что при m=n для нетривиальной совместности системы необходимо и достаточно, чтобы определитель матрицы системы был равен нулю.

Рассмотрим неоднородную систему m линейных алгебраических уравнений относительно n неизвестных

x₁ , x₂ , ..., x_n:

В отличие от однородной системы, эта система совместна не всегда.

Справедливо следующее утверждение (теорема Кронекера-Капелли).

Для того, чтобы неоднородная система линейных алгебраических уравнений была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы системы совпадал с рангом матрицы системы.

Теорема Кронекера-Капелли: Система линейных алгебраических уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг её основной матрицы равен рангу её расширенной матрицы,причём система имеет единственое решение если ранг матрицы равен числу неизвестных и бесконечное множество решений если ранг матрицы меньше числа неизвестных. Система называется совместной если имеет решения.

Необходимость

Пусть система совместна. Тогда существуют числа такие, что . Следовательно, столбец b является линейной комбинацией столбцов матрицы A . Из того, что ранг матрицы не изменится, если из системы его строк (столбцов) вычеркнуть или приписать строку (соответственно столбец), которая является линейной комбинацией других строк (соответственно столбцов) следует, что .

Достаточность

Пусть . Возьмем в матрице A какой-нибудь базисный минор. Так как , то он же и будет базисным минором и матрицы B. Тогда согласно теореме о базисном миноре последний столбец матрицы B будет линейной комбинацией базисных столбцов, то есть столбцов матрицы A. Следовательно, столбец свободных членов системы является линейной комбинацией столбцов матрицы A.

Тема 2. Элементы аналитической геометрии на прямой, плоскости, в трехмерном пространстве и в N - мерном пространстве

№ 10. Декартовы координаты точки М задание вектора в системе координат, действия над векторами в координатной форме, скалярное произведение, его геометрический смысл, его свойства, координатная формула его вычисления, ортогональность, формула построения единичного вектора n по заданному вектору N проекция векторана вектор N

Декартовыми координатами точки М называются проекции радиус-вектора r на X, Y и Z.

Радиус-вектором точки М называется отрезок, имеющий начало в точке «0» и конец в точке «М».

Вектором называется направленный отрезок.

Задание вектора в системе координат:

Если есть вектор а, то а=a_xi=a_yj=a_zk

Вектор называется свободным, если его можно перемещать параллельно самому себе или по линии его действия, не меняя его длины и направления.

Длина вектора - число, равное длине отрезка, изображающего вектор.

Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину (модуль) и одинаковое направление.

Действия над векторами в координатной форме:

1.Произведением вектора а на число называется вектор b=a, имеющий длину |b|=|||a|, коллинеарный вектору а и направленный так же, как вектор а, если >0, и противоположный по направлению, если <0.

2. Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.

3. Разностью а - b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.

Скалярное произведение двух векторов:

ab = |a||b| cosц

Обозначения скалярного произведения: ab, (ab), a·b .

Геометрический смысл: ab = |a| пр_аb (проекция b на а, умноженная на длину а)

Свойства скалярного произведения:

1. ab = 0 a b.

2. ab = ba .

3. (ka)b = k(ab).

4. (a + b)c = ac + bc .

5. a² = aa = |a|² , где а² называется скалярным квадратом вектора а.

6. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X₁, Y₁, Z₁}, b = {X₂, Y₂, Z₂}, то ab = X₁X₂ + Y₁Y₂ + Z₁Z₂ .

8. cosц = .

Два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.

Чтобы построить единичный вектор достаточно вычислить длину вектора N и все его координаты поделить на длину (длина вектора - квадратный корень из суммы квадратов его координат).

Проекция вектора на вектор N.

Размещено на http://www.allbest.ru/



№ 11. Коллинеарность векторов, ее геометрический смысл аналитическая запись уравнения прямой в пространстве (и на плоскости- как частный случай)

Проходящей через точку в направлении вектора :

Векторное параметрическое каноническое

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

a и b - коллинеарны

Прямая в пространстве.

Замечание. Прямую в пространстве невозможно задать одним уравнением. Для этого требуется система двух или более уравнений.

Прямую можно представить как пересечение двух непараллельных плоскостей, заданных уравнениями A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 и A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0, где коэффициенты A₁,B₁,C₁ и A₂,B₂,C₂ не пропорциональны:

A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0 (8.10)

A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0.

1. Векторно-параметрическое уравнение прямой где

- фиксированная точка, лежащая на прямой.

- направляющий вектор

уравнения прямой, проходящей через точку М₀(x₀,y₀,z₀) параллельно вектору a={l,m,n}.

Определение. Любой ненулевой вектор, параллельный данной прямой, называется ее направляющим вектором.

Для любой точки М(x,y,z), лежащей на данной прямой, вектор М₀М = {x - x₀,y - y₀,z - z₀) коллинеарен направляющему вектору а. Поэтому имеют место равенства:

(8.11) называемые каноническими уравнениями прямой в пространстве.

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ = {x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения (8.11) принимают вид:

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

Для того, чтобы перейти от уравнений (8.10) к каноническим или параметрическим уравнениям прямой, требуется найти направляющий вектор этой прямой и координаты любой точки, принадлежащей ей. Направляющий вектор прямой ортогонален нормалям к обеим плоскостям, следовательно, он коллинеарен их векторному произведению. Поэтому в качестве направляющего вектора можно выбрать [n₁n₂] или любой вектор с пропорциональными координатами. Чтобы найти точку, лежащую на данной прямой, можно задать одну ее координату произвольно, а две остальные найти из уравнений (8.10), выбрав их так, чтобы определитель из их коэффициентов не равнялся нулю.

Пример. Составим канонические уравнения прямой

Найдем [n₁n₂]. n₁ = {2,1,-3}, n₂ = {1,-5,4}. Тогда [n₁n₂] = {-11,-11,-11}. Следовательно, направляющим вектором прямой можно считать вектор {1,1,1}.

Будем искать точку на прямой с координатой z₀=0. Для координат х₀ и у₀ получим систему уравнений , откуда х₀=2, у₀=1. Теперь можно составить канонические уравнения прямой:

.

Параметрические уравнения той же прямой имеют вид:

.

Замечание. Если какая-либо из координат направляющего вектора равна 0, то предполагается, что для любой точки прямой числитель соответствующей дроби в канонических уравнениях тоже равен 0.

№ 12. Уравнение прямой в пространстве (и на плоскости (xy) - как частный случай) Проходящий через 2 заданные точки и

Векторное параметрическое каноническое

В частности, если требуется получить уравнения прямой, проходящей через две точки:

М₁(х₁, у₁, z₁) и M₂(x₂, y₂, z₂), направляющим вектором такой прямой можно считать вектор М₁М₂ = {x₂ - x₁, y₂ - y₁, z₂ - z₁}, и уравнения (8.11) принимают вид:

- уравнения прямой, проходящей через две данные точки.

Если же принять каждую из равных дробей в уравнениях (8.11) за некоторый параметр t, можно получить так называемые параметрические уравнения прямой:

№ 13. Уравнение плоскости в пространстве (через точку с вектором нормали ), векторное координатное частные случаи, геометрический смысл коэффициентов уравнения, плоскости общего вида

Получим сначала уравнение плоскости, проходящей через точку М₀(х₀ ,у₀ ,z₀) перпендикулярно вектору N = {A,B,C},называемому нормалью к плоскости. Для любой точки плоскости М(х, у, z) вектор М₀М = {x - x₀ , y - y_{0 ,} z - z₀) ортогонален вектору N, следовательно, их скалярное произведение равно нулю:

A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0. (8.1)

Получено уравнение, которому удовлетворяет любая точка заданной плоскости - уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

После приведения подобных можно записать уравнение (8.1) в виде:

Ax + By + Cz + D = 0, (8.2)

где D = -Ax₀ - By₀ - Cz₀. Это линейное уравнение относительно трех переменных называют общим уравнением плоскости.

Векторное уравнение плоскости

Неполные уравнения плоскости.

Если хотя бы одно из чисел А, В, С, D равно нулю, уравнение (8.2) называют неполным.

Рассмотрим возможные виды неполных уравнений:

1) D = 0 - плоскость Ax + By + Cz = 0 проходит через начало координат.

2) А = 0 - n = {0,B,C}Ox, следовательно, плоскость By + Cz + D = 0 параллельна оси Ох.

3) В = 0 - плоскость Ax + Cz +D = 0 параллельна оси Оу.

4) С = 0 - плоскость Ax + By + D = 0 параллельна оси Оz.

5) А = В = 0 - плоскость Cz + D = 0 параллельна координатной плоскости Оху (так как она параллельна осям Ох и Оу).

6) А = С = 0 - плоскость Ву + D = 0 параллельна координатной плоскости Охz.

7) B = C = 0 - плоскость Ax + D = 0 параллельна координатной плоскости Оуz.

8) А = D = 0 - плоскость By + Cz = 0 проходит через ось Ох.

9) B = D = 0 - плоскость Ах + Сz = 0 проходит через ось Оу.

10) C = D = 0 - плоскость Ax + By = 0 проходит через ось Oz.

11) A = B = D = 0 - уравнение Сz = 0 задает координатную плоскость Оху.

12) A = C = D = 0 - получаем Ву = 0 - уравнение координатной плоскости Охz.

13) B = C = D = 0 - плоскость Ах = 0 является координатной плоскостью Оуz.

Если же общее уравнение плоскости является полным (то есть ни один из коэффициентов не равен нулю), его можно привести к виду: называемому уравнением плоскости в отрезках.. Параметры а, b и с равны величинам отрезков, отсекаемых плоскостью на координатных осях.

Геометрическое значение коэффициентов A, B и C в общем уравнении плоскости Ax + By + Cz + D = 0 состоит в том, что они являются проекциями на координатные оси Ox, Oy, Oz вектора, перпендикулярного этой плоскости.

№14. Уравнение прямой на плоскости (ху) через точку перпендикулярной вектору , Векторное координатное, трактовка коэффициентов уравнения прямой общего вида на плоскости xy, расстояние от точки до прямой и в частности, от начала координат до этой прямой

Рассмотрим различные виды уравнений прямой на плоскости.

Пусть прямая проходит через точку М₀ (x₀,y₀) перпендикулярно вектору n = {A,B}. Тогда вектор , где М(х,у) - произвольная точка прямой, ортогонален n. Поэтому координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению

А(х - х₀) + В(у - у₀) = 0 - (7.3)

уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору.

Замечание. Вектор n называется нормалью к прямой.

Преобразуем уравнение (7.3) к виду:

Ах + Ву + (-Ах₀ - Ву₀) = 0.

Обозначив -Ах₀ - Ву₀ = С, получим общее уравнение прямой:

Ах + Ву + С = 0. (7.4)

Получим теперь уравнение прямой, проходящей через точку М₀ (x₀,y₀) параллельно вектору q = {l,m}. Так как вектор , где М(х,у) - произвольная точка прямой, коллинеарен q, координаты любой точки данной прямой удовлетворяют уравнению