Вопросы высшей математики

, (7.5)

называемому каноническим уравнением прямой. Вектор q при этом называется направляющим вектором прямой. В частности, если прямая проходит через точки М₁(х₁,у₁) и М₂(х₂,у₂), ее направляющим вектором можно считать , и из уравнения (7.5) следует:

- (7.6)

уравнение прямой, проходящей через две заданные точки.

Пример.

Составим уравнение прямой, проходящей через точки М(1,2) и N(5,-3). Уравнение (7.6) примет вид:

- общее уравнение данной прямой.

Обозначив за t значения равных дробей, стоящих в левой и правой частях уравнения (7.5),

можно преобразовать это уравнение к виду:

x = x₀ + lt, y = y₀ + mt - (7.7)

параметрические уравнения прямой.

Для прямой l, не параллельной оси Оу, можно ввести так называемый угловой коэффициент k - тангенс угла, образованного прямой и осью Ох, и записать уравнение прямой в виде:

у = kx + b - (7.8)

уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Действительно, все точки прямой l₁, параллельной l и проходящей через начало координат, удовлетворяют уравнению у = kх, а ординаты соответствующих точек на прямой l отличаются от них на постоянную величину b

№ 15. Решение системы линейных неравенств на плоскости xy графическим методом нахождение границ многогранника, области решений и его угловых точек

№ 16. Векторное произведение и его геометрический смыслы, свойства, символическая формула, условие коллинеарности

Векторным произведением вектора на вектор называется вектор , удовлетворяющий следующим требованиям:

1. Длина вектора равна произведению длин векторов и на синус угла ; между ними:

если , то еще двум условиям:

2. Вектор ортогонален каждому из векторов и

3. из конца вектора c кратчайший поворот от вектора a (первого сомножителя) к вектору b (второму сомножителю) виден против часовой стрелки. (Начала векторов предполагаются совмещенными).

Если два вектора и определены своими прямоугольными декартовыми координатами, а, говоря точнее -- представлены в ортонормированном базисе

,

то иx векторное произведение имеет вид

или

СВОЙСТВА

1. Векторное произведение антикоммутативно, то есть если изменить порядок сомножителей, то векторное произведение меняет направление на противоположное.

2. Для любых векторов a и b и любого числа выполняется равенство:

(

3. Векторное произведение обладает свойством дистрибутивности

4. Площадь параллелограмма, сторонами которого служат векторы a и b, равна модулю их векторного произведения:

5. ТЕОРЕМА

Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b - коллинеарные.

Доказательство.

Из определения векторного произведения получим, что тогда и только тогда, когда, или , или . Из последнего равенства получим, что или , в этом случае векторы a и b коллинеарны. Вспомнив, что нулевой вектор считается коллинеарным любому другому вектору, получим, что предложение верно и при a или b, равных нулю.

№ 17. Понятие множества, терминология символика, примеры множеств, подмножества, универсальное множество, дополнения, пустое множество, операции над множествами и их свойств, геометрическая трактовка множеств и действий над ними (диаграммы Эйлера - Венна)

Множество - совокупность элементов, объединенных по какому-либо общему признаку. Множество в математике принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита - A, B, C, D, а из элементы - соответствующими строчными буквами a, b, c, d.

Множество А считается заданным, если для любого элемента a из множества A всегда можно определить, принадлежит элемент a этому множеству или не принадлежит. Запись этих фактов такова: (a принадлежит A) (не принадлежит).

Приведём примеры конкретных множеств.

1. - множество всех натуральных чисел.

2. Множество Z - множество целых чисел.

3. Множество Q - множество рациональных чисел.

4. Множество точек на плоскости равноудаленных от фиксированной точки (окружность).

5. Множество - отрезок (промежуток, состоящий из вещественных чисел x, заключенных между a и b оси Ох, включая концы a и b).

6. Множество - интервал (промежуток не содержащий его концов). Если или , то получатся бесконечные промежутки, называемые лучами прямой.

7. Множество R - множество всех вещественных (или действительных) чисел.

8. Множество всех многочленов степени n с вещественными коэффициентами.

9. - пустое множество, т.е. множество, не содержащее ни одного элемента. Например, множество вещественных корней квадратного уравнения пусто, что может быть записано в виде:

Логические символы:

- любой, каждый.

- существует.

- операция логического следования.

- операция равносильности.

- А есть подмножество В.

- множества равны: .

Если существуют некоторые множества, которые являются подмножествами одного и того же множества U, то множество U -универсальное.

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ТРАКТОВКА

Для неё используют диаграммы Эйлера-Венна.

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Графическое изображение универсального множества U в виде плоского прямоугольника.

2. Расположение множеств A, B, C, D.

3. .

Действия над множествами:

1. Сумма множеств А и В из U (объединение). Это множество C, состоящее из всех элементов обоих множеств А и В и не содержащее других элементов.

Запись: или . (4)

Тема 3. Математический Анализ. Дифференциальное исчисление.

№ 17. Понятие множества. Терминология, символика, примеры множеств: подмножества, универсальное множество, дополнения, пустое множество; операции над множествами и их свойства; геометрическая трактовка множеств и действий над ними (диаграммы Эйлена- Венна)

Смешанным произведением трёх векторов () называют число, равное

Здесь первые два вектора умножаются векторно, и затем полученный вектор умножается скалярно на вектор

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЙ СМЫСЛ

Смешанное произведение abc некомпланарных векторов равно объему параллелепипеда, сторонами которого служат векторы a, b, c, взятому со знаком "+", если векторы образуют правую тройку, и со знаком "-", если - левую.

Доказательство. Пусть . По геометрическому смыслу векторного произведения равен площади параллелограмма, сторонами которого служат векторы b и c.

Правая тройка Левая тройка

По свойству скалярного произведения:

Следует, что

Пусть - высота параллелепипеда

Если a,b,c -- правая тройка векторов, то , если a,b,c -- левая тройка, то . Так как - объем параллелепипеда, то из формулы , получим .

СВОЙСТВА

Смешанное произведение линейно по каждому аргументу.

Линейность операции по какому-то аргументу означает выполнение двух условий:

1) если аргумент умножить на число, то и результат умножится на это число, то есть числовой множитель аргумента можно вынести за знак операции;

2) если аргумент заменить суммой двух слагаемых, то результат будет равен сумме результатов для каждого слагаемого.

В частности, утверждение, что смешанное произведение линейно по второму аргументу, означает:

1.

2.

линейный алгебра аналитический геометрия дифференциальный

ТЕОРЕМА

Смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда сомножители a,b,c компланарны

Доказательство.

В силу свойства скалярного произведения (тогда и только тогда, когда векторы a и b ортогональны) тогда и только тогда, когда векторы a и ортогональны. Если , то вектор ортогонален плоскости векторов b,c, и, следовательно, a лежит в плоскости векторов b,c. Если , то в силу предложения (о том, что: Векторное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы a и b - коллинеарные) векторы b и c коллинеарны, но тогда векторы a,b,c компланарны.

№ 18. Функциональная зависимость: понятие абстрактной функции, символика, терминология, способы задания функции, понятия графика числовой функции; композиция, обратная функция. Примеры графиков основных элементарных функций

Функциональная зависимость

Абстрактная функция

Если для каждого элемента Х из множества Х сопоставлен 1 и только 1 элемент У из множества У, то в этом случае задано отображение элементов Х на элементы У. символизирует запись Х=D_f, Y=E _f

Обратная функция

Пусть y=f(x) есть функция от независимой переменной x, определенной на множестве X с областью значений Y. Поставим в соответствие каждой y є Y единственное значение x є X, при котором f(x)=y. Тогда получиться функция x=ц(y), определенная на множестве Y c областью значений X, называется обратной.

Так как традиционно независимую переменную обозначают через x, а функцию через y, то функция, обратная к функции y=f(x), примет вид y=ц(x). Например, для функции y=a^x обратной будет функция x=log_a y или (в обычных обозначениях зависимой и независимой переменной) y=log_a x.

Для любой строго монотонной функции y = ц(x) существует обратная функция.

Сложная функция

Пусть функция y=f(u) есть функция от переменной u, определенной на множестве U с областью значений Y, а переменная u в свою очередь является функцией u=ц(x) от переменной x, определенной на множестве X с областью значений U. Тогда заданная на множестве X функция y=f[ц(x)] называется сложной функцией (или композицией функций, суперпозицией функции, функцией от функции).

Способы задания функций

а) Аналитический способ, если функция задана формулой вида y=f(x). Этот способ наиболее часто встречается на практике.

б) Табличный способ состоит в том, что функция задаётся таблицей, сод-щей значения аргумента x и соответствующие значения функции f(x), например таблица логарифмов.

в) Графический способ состоит в изображении графика функции - множества точек (x,y) плоскости, абсциссы которых есть значения аргумента x, а ординаты - соответствующие им значения функции y=f(x).

г) Словесный способ, если функция описывается правилом её состояния, например, функция Дирихле: f(x)=1, если x-рационально; f(x)=0, если x-иррационально.

(некоторые элемент/ функции) sinx, cosx, tgx, ctgx, arctgx, arcctgx, a^x, log_ax



Графиком функции f(x) называют множество Г, элементами которого являются пары чисел (x;f(x)), т.е. точки на плоскости x0y вида: Г={(x;y): y=f(x), }.

№ 19. Неэлементарные функции: модуль х, целая часть х, знак х; и их определения, графики и свойства

Неэлементарные функции

Элементарной функцией y = f(x) называется функция, заданная с помощью основных элементарных функций и построенная с помощью конечного числа арифметических операций и взятия функции от функции (sinx, cosx, tgx, ctgx, arcsinx, arccosx, arctgx, arcctgx, a^x, log_ax, x^б (бR)).

Функция “модуль x” или “абсолютная величина x” определяется так:

f(x)=|x|= {x, если x>=0; и -x, если x<0.

Эта функция задана на всей оси 0x и обладает следующими свойствами:

1) |x|?0,x-любое; |x|=0 - x=0.

2) |x₁·x₂|=|x₁|·|x₂|; |x₁/x₂|=|x₁|/|x₂|.

3) |x₁|-|x₂| ? |x₁+x₂| ? |x₁|+|x₂|.

Функция f(x)=sign(x) определяется формулой f(x)=sign(x)={-1, x<0. 0, x=0.

+1, x>0.

№ 20. Понятие окрестности точки М_о. Предел числовой последовательности и функции в точки М_о. Геометрическая трактовка в терминах окрестностей. Правый и левый пределы f(x) в точке Х_о ; скачок f(x) в точке Х_о

В определении предела функции используют понятие окружности точки.

Пусть задано число д>0, которое может быть достаточно мало. Тогда д - окружностью точки x0 называют множество точек {x}, удовлетворяющих неравенству |x- x0|<д. Геометрически д- окружность, трактуется как симметрический интервал длинны 2д, с центром в точке x0 и с концами x0-д и x0+д

Аналогично вводят понятие е - окружности точки А на оси 0y.

Постоянная А называется пределом функции f(x) в т. x0, если по любому, сколь угодно малому числу е>0 можно найти зависящее от него число де>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству: 0<|x- x0|<де, соответствующие значения f(x) удовлетворяют неравенству: |f(x)-A|<е. Символически этот факт можно записать таким образом: lim (при x>x0) f(x)=A.

Дадим геометрическую трактовку предела функции f(x) в т. x0: как только значения аргумента x опадают в выколотое д - окружность т. x0, так соответствующие им значения f(x) попадают в е - окружность т. А на оси 0y.

Пределом слева функции f(x) в т. x0 называется пост. L, если по любому наперёд заданному е>0 существует де>0 такое, что при любом x: 0<x0-x<де > |L-f(x)|<е.

Пределом справа функции f(x) в т. x0 называем пост. R, если при любом x таких, что 0<x-x0<де, соответствующее значения f(x) удовлетворяют неравенству : |f(x)-R|<е, где число е>0 м. б. произвольно малым.

Символическая запись с использованием стандартных обозначений для L и R такова:

L = lim (при x>x0-0) f(x) = f(x0-0); R = (при x>x0-0) f(x) = f(x0+0).

Разность пределов R-L=f(x0+0)-f(x0+0)=S называют скачком функции f(x) в точке x0.

№ 22. Бесконечно малые и бесконечно большие величины: определения, основные свойства, связь между ними. Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших величин; запись порядков сравнения величин обоих типов

Бесконечно малые величины

Функция б(x) называется бесконечно малой величиной при x>x₀, или при x>?, если её предел равен 0

Свойства бесконечно малых величин:

1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая.

2. Произведение бесконечно малой величины на ограниченную функцию (в том числе на постоянную, на другую бесконечно малую) есть величина бесконечно малая.

3. Частное от деления бесконечно малой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно малая

Бесконечно большие величины

Функция б(x) называется бесконечно большой величиной при x>x₀, или при x>?, если её предел равен ?.

Свойства бесконечно больших величин:

1. Произведение бесконечно большой величины на функцию, предел которой отличен от 0, есть величина бесконечно большая.

2. Сумма бесконечно большой величины и ограниченной функции есть величина бесконечно большая.

3. Частное от делителя бесконечно большой величины на функцию, имеющую предел, есть величина бесконечно большая.

Связь между бесконечно малой и бесконечно большой величинами

Если функция б(x) есть бесконечно малая величина при x>x₀ (x>?), то функция f(x)=1/ б(x) является бесконечно большой при x>x₀ (x>?). И обратно, если функция f(x) бесконечно большая при x>x₀ (x>?), то функция б(x)=1/f(x) есть величина бесконечно малая при x>x₀ (x>?).



№ 23. Основные теоремы о свойствах предела функции f(x) в виде суммы А+а(х), где A=const и а(х) - бесконечно малая при X X_o, предел постоянной С, предел суммы, произведения и частного; теоремы: о предельном переходе в неравенстве, и о пределе сжатой переменной

Основные теоремы о пределах.

Пусть f(x) и ц(x) - функции, для которых существуют пределы при x>x₀ (или при x>?): lim (при x>x₀ (?)) f(x) =A, lim (при x>x₀ (?)) ц(x) =B. Сформулируем основные теоремы о пределах



1. Предел алгебраической суммы конечного числа функций = такой же сумме пределов этих функций, т.е. lim (при x>x₀ (?)) [f(x)+ ц(x)]=A+B.

2. Предел произведения конечного числа функций = произведению пределов этих функций, т.е. lim (при x>x₀ (?)) [f(x)ц(x)]=AB.

В частности, постоянный множитель можно выносить за знак предела, т.е. lim (при x>x₀ (?)) (cf(x))=сА.

3. Предел частного двух функций равен частному пределов этих функций (при условии, что предел делителя не равен 0), т.е. lim (при x>x₀ (?)) f(x) / ц(x)=А/B (B?0).

4. число А является пределом функции f(x) при х>х₀ (x>?) тогда и только тогда, когда она представима в виде суммы f(x)=A+б(x), где б(х) - б.м. величина

5. предел константы = самой константе. если f(x)=C=const в д-окружности точки х₀, то и lim f(x)=limC=C (при х>х₀)

Теорема о предельном переходе в неравенстве.

Пусть существуют пределы А= lim (при x>x₀) f(x) и В= lim (при x>x₀) g(x) и в д- окрестности точки x₀ справедливо неравенство: f(x)?g(x). Тогда в этом неравенстве допустим предельный переход при x>x₀, т.е. в результате получим неравенство того же смысла: lim (при x>x₀) f(x) ? lim (при x>x₀) g(x) - A?B.

Теорема о пределе сжатой переменной.

Пусть в достаточно малой д_е- окружности точки x₀ функции f(x), g(x) и h(x) удовлетворяют неравенству: f(x)?g(x)?h(x) и существуют одинарные пределы: A = lim (при x>x₀) f(x) и А= lim (при x>x₀) g(x). Тогда существует предел функции h(x) в т. x_0, причём тот же самый: lim (при x>x₀) h(x)=A.

№ 24. Непрерывность f(x) в точке X_o. Три равносильных определения непрерывности, области их практического применения

Понятие непрерывности функции является 1 из основных понятий математического анализа

Определение.

1. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

1) определенна в точке x₀ (т.е. существует f(x₀));

2) имеет конечный предел функции при x>x₀;

3) этот предел равен значению функции в т. x₀, т.е. lim (при x>x₀) f(x)=f (x₀)

Сформулируем 2е определение непрерывности.

Дадим аргументу x₀ приращение ?x. Тогда функция y=f(x) получит приращение ?y, определяемое как разность наращенного и исходного значения функции: ?y=f (x₀+?x)-f(x₀).

Определение

2. Функция y=f(x) называется непрерывной в т. x₀, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малому приращению функции: lim (при ?x>0) ?y=0.

Определение

3. Функция f(x) называется непрерывной в т. x₀, если по любому е найдётся д_е>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x- x₀|<д_е, соответствующие им значения f(x) удовлетворяют неравенству: |f(x)- f(x₀)|< е.

Все 3 определения эквивалентны, поэтому при доказательстве теорем, в случае необходимости, можно использовать любое из них.. Определение 3 используют, если нужны точные вычисления оценки для ?x и ?f. Определение 1 незаменимо в практических приложениях в силу своего конструктивного характера: непрерывность f(x) в смысле этого определения означает, что lim f(x)=f (lim x)=f(x₀) при x>x₀.

№ 25. Глобальные свойства непрерывных функций. Определение функции, непрерывной в замкнутом интервале. Теоремы Вейерштрасса (1 и 2) и теоремы Коши (1 и 2). Замечательные пределы: первый второй и третий, их геометрическая трактовка, следствия из них - соотношения эквивалентности

Определение.

1. Функция f(x) называется непрерывной в точки x₀, если она удовлетворяет следующим трём условиям:

1) определена в точке x₀ (т.е. существует f(x₀));

2) имеет конечный предел функции при x>x₀;

3) этот предел равен значению функции в точке x₀, т.е. lim (при x>x₀) f(x)=f (x₀).

Определение.

2. Функция y=f(x) называется непрерывной в точке x₀, если она определенна в этой точке и бесконечно мала приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции: lim (при ?x>0) ?y=0.

Определение

3. Функция f(x) называется непрерывной в точке x₀, если по любому е найдётся д_е>0 такое, что для всех x, удовлетворяющих неравенству |x- x₀|<д_е, соответствующие им значения f(x) удовлетворяют неравенству: |f(x)- f(x₀)|< е.

определение.

Если f(x) непрерывна в каждой точке x в интервале [a;b], то говорят f(x) непрерывна в замкнутом интервале.

Теоремы о свойствах непрерывной функции.



Т1.Вейерштрасса

Если f(x) непрерывна [a;b] оси x , то существует постоянная А и В, такие что А? f(x) ?B для любых x из [a;b] .

Т2.Вейерштрасса

Если f(x) непрерывна на [a;b] оси x ,то найдется по крайней мере 2 точки: x₁ и x₂ из [a;b], в которых функция достигает своего наименьшего (m) и наибольшего M) значений; m= f(x1) ?f(x) ?f(x2)=M

Т1.Коши

Если f(x) непрерывна на [a;b] и имеет значения разности знаков на его концах: f(a)*f(b)<0, то внутри отрезка найдется по крайней мере 1 точка с такая, что f(c)=0

T2.Коши Если f(x) непрерывна на отрезке, то она принимает на нем любое значение м, лежащее между наименьшими и наибольшими значениями функции: f(о)=м; m?м?M

Три замечательных предела.

1. => sinx~x при x>0 2. (для геом. трактовки)

3. ln(1+x)~x при x>0

Геометрическая трактовка: при очень малом x графики практически совпадают

№ 26. Производная. Определение производной в точнее X_o от функции f(x). Геометрическая, механическая и экономическая трактовки; правила дифференцирования, производная композиция, логарифмическая производная

Рассмотрим функцию y=f(x), заданную в окружности точки х₀.

Определение: Если существует конечный предел , то он называется производной функции f в т. х₀.Обозн-е: .

Разность ?х=х-х₀ называется приращением аргумента, а ?y=f(x)-f(x₀) - приращением функции. Таким образом, можно определить производную как .

Геометрический смысл производной.

значение производной при данном значении х равно tg угла, образуемого касательной к графика функции в точке с соответствующим значением х с положительным направлением оси Ох.

Механический смысл производной.

Производная любой функции при данном значении аргумента равна скорости изменения этой функции при рассматриваемом х.

Экономический смысл производной.

скорость изменения прибыли в зависимости от величины используемого ресурса

Правила дифференцирования.

Пусть при рассматриваемых значениях х существуют произведение функций f(x) и g(x), т. е. эти функции являются дифференцируемыми при данных значениях аргумента.

1. (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

2. (kf(x))'=kf'(x) где k=const.

3. (f(x)*g(x))'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

4. Если g(x)?0, то

Доказательство:

Производная сложная функции.

Если функция u = ц(x) имеет при некотором значении х производную u_xґ=цґ(x), а функция y = f(u) имеет при соответствующем значении u производную y_uґ= fґ(u), то сложная функция y = f(ц(x)) тоже имеет при данном значении х производную, равную yґ(x) = fґ(u)?uґ(x).

Доказательство. Т. к. то по определению предела можно представить где б>0 при ?u>0. Тогда ?y=y'(u)?u+б?u. Разделив обе части равенства на Дх, получим: .

Переходя к пределу при Дх>0, получаем: y'(x)=f'(u)*u'(x) т. к.

Логарифмическое дифференцирование.

Пусть f(x)>0 на некотором множестве значений аргумента и дифференцируема на этом множестве. Тогда по формуле производной сложной функции

откуда fґ(x)=f(x)(ln f(x))ґ.

Эту формулу удобно использовать в тех случаях, когда производную натурального логарифма данной функции найти проще, чем производную самой функции.

№ 27. Производная обратной функции; производная параметрически заданной функции. Производные некоторых элементарных функций. Не равносильность понятий: непрерывность и дифференцируемость функции. Теорема о равносильности утверждений «существует f'(x) в точке x» и «выполняется равенство для приращения ?f(X)=A*?X+O(?x) где A=const

Производная обратной функции; производная параметрически заданной функции. Производные некоторых элементарных функций. Не равносильность понятий: непрерывность и дифференцируемость функции.

Производная обратной функции

Пусть  -- непрерывная функция, монотонная на интервале .

Функция имеет обратную функцию , которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале , в который функция переводит интервал . Пусть  -- фиксированная точка и  -- точка, ей соответствующая. Тогда .

Теорема. Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

Доказательство. Дадим аргументу приращение , такое что , и рассмотрим соответствующее приращение , определяемое равенством . Тогда, очевидно, ; при этом , а из монотонности функции следует, что . Поскольку как функция , так и функция непрерывны, то условия и эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:

Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом тоже стремится к 0:



Чтд.

Заметим, что, очевидно, из формулы следует, что

если  -- функция, обратная к .

Производные некоторых элементарных функций

1.Линейная функция

2. Рассмотрим функцию . Дадим аргументу приращение и найдём приращение функции: .

Поэтому

3. Найдём производную функции в точке . Преобразуем приращение функции следующим образом:

Поэтому



поскольку вследствие непрерывности элементарной функции в любой точке . Получили в итоге формулу

№ 28. Дифференциал. Определение и формула дифференциала df(x), его геометрический смысл, свойства, инвариантность формы первого дифференциала при замене независимой переменной; применение в приближенных вычислениях

Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно Дx часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной. dy = f?(x)Дx. Геометрический смысл: дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции y = f(x) в данной точке, когда x получает приращение Дx. Свойства: dc=0, d(cu)=cdu, d(u+v)=du+dv, d(uv)=vdu+udv, d(u/v)=(vdu-udv)/vv. Инвариантность: если вместо функции от независимой переменной x рассматривать функцию от зависимой переменной u, то формула дифференциала не меняется. Так как истинное значение приращения функции отличается от ее дифференциала на бесконечно малую более высокого порядка, чем Дх, при приближенных вычислениях можно заменять Ду на dy, то есть считать, что f(x₀ + Дx) ? f(x₀) + dy = f(x₀) + f`(x₀)(x -x₀). При этом функция f(x) для значений х, близких к х₀, приближенно заменяется линейной функцией. Эта операция называется линеаризацией функции. Найдем приближенное значение Пусть Тогда

№ 29. Основные теоремы о дифференцируемых функциях и ихриложения. Теоремы Ферма, Ролля, Лангранжа, Коши, правило Лопиталя

Т. Коши. Если f(x) и g(x) - функции, непрерывные на [ab] и дифференцируемые на (ab), и g?(x)?0 на (ab), то на (ab) найдется такая точка x=c, a<c<b, что .

Т. Лопиталя. Пусть функции f(x) и g(x) удовлетворяют на отрезке [ab] условиям теоремы Коши и f(a)=g(a)=0. Тогда, если существует , то существует и , причем .

Д-во. Выберем Из т. Коши следует, что такое, что . По условию теоремы f(a)=g(a)=0, поэтому . При . При этом, если существует, то существует и . Поэтому

Т. Лагранжа. Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке [ab] и дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка, то внутри отрезка [ab] найдется хотя бы одна точка c, a < c < b, что f(b) - f(a) = f?(c) (b - a)

Д-во. Обозначим и рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = f(x) - f(a) - (x - a)Q. Эта функция удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля: она непрерывна на [ab], дифференцируема на (ab) и F(a)=F(b)=0. Следовательно, на интервале (ab) есть точка с, в которой F?(c)=0. Но F?(x)=f?(x) - Q, то есть F?(c) = f?(c) - Q. Подставив в это равенство значение Q, получим откуда непосредственно следует утверждение теоремы.

Т. Ролля. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [ab]; дифференцируема во всех внутренних точках этого отрезка; принимает равные значения на концах этого отрезка, то есть f(a) = f(b), то внутри интервала (ab) существует, по крайней мере, одна точка х = с, a < c < b, такая, что f?(c) = 0.

Д-во. Пусть M и m - наибольшее и наименьшее значения f(x) на [ab]. Тогда, если m = M, то f(x) = m = M - постоянная функция, и f?(x)=0 для любой точки отрезка [ab]. Если же m<M, то хотя бы одно из значений m или M достигается во внутренней точке с отрезка [ab] (так как на концах отрезка функция принимает равные значения). Тогда по теореме Ферма f?(c) = 0.

Т.Ферма. Если функция y = f(x) определена в некоторой окрестности точки х₀, принимает в этой точке наибольшее (наименьшее) значение в рассматриваемой окрестности и имеет в точке х₀ производную, то f?(x₀)=0.

Д-во. Пусть f(x₀) - НБ значение функции, то есть для любой точки выбранной окрестности выполняется неравенство f(x) ? f(x₀). Тогда, если x < x₀ , а если x > x₀ , Переходя к пределу в полученных неравенствах, находим, что из первого из них следует, что f?(x₀) ? 0, а из второго - что f?(x₀) ? 0. Следовательно, f?(x₀) = 0.

№ 30. Определение возрастающей функции на интервале; необходимое условие возрастания, достаточное условие возрастания (убывания). Определение локального экстремума функции в точки X_o, геометрическая трактовка. Определения max f(x) и min f(x) в терминах знака ?f (X_o). Необходимое условие экстремума функции в точке Х_o

Если f(x) непрерывна на [ab] и дифференцируема на (ab), причем f ?(x) > 0 для a < x < b, то эта функция возрастает на отрезке [ab]. Необходимое условие возрастания: Если функция возрастает на некотором промежутке X, то можно лишь утверждать, что производная неотрицательна на этом промежутке. Достаточное условие убывания: если производная дифференцируемой функции отрицательна внутри некоторого промежутка X, то она убывает на этом промежутке. Экстремум функции часто называют локальным, т.к. понятие экстремума связано с достаточно малой окрестностью точки x_0. НМ и НБ: нахождение: 1. найти производную, 2. найти критические точки функции, в которых f ?(x) = 0 или не существует. 3. найти значения функции в критических точках и на концах отрезка и выбрать из них НБ и НМ. Необходимое условие экстремума: пусть функция f(x) задана в некоторой окрестности точки х₀. Если х₀ является точкой экстремума функции, то f ?(x₀) = 0 или не существует.

№ 31. Достаточное условие экстремума функции в терминах знака f `(x). Достаточное условие экстремума в терминах знака f'' (x) , основанное на формуле ?f (X_o), полученной из формулы Тейлора (n=3)

Пусть функция f(x) непрерывна в некоторой окрестности точки х₀, дифференцируема в проколотой окрестности этой точки и с каждой стороны от данной точки f ?(x) сохраняет постоянный знак. Тогда: если f ?(x) > 0 при x < x₀ и f ?(x) < 0 при x > x₀ , точка х₀ является точкой максимума; если f ?(x) < 0 при x < x₀ и f ?(x) > 0 при x > x₀ , точка х₀ является точкой минимума; если f ?(x) не меняет знак в точке х₀ , эта точка не является точкой экстремума. Пусть f ?(x₀) = 0 и у рассматриваемой функции существует непрерывная вторая производная в некоторой окрестности точки х₀. Тогда х₀ является точкой максимума, если f ??(x₀) < 0, или точкой минимума, если f ??(x₀) > 0. Пусть функция y = f(x) n раз дифференцируема в точке х₀ и f ^(k)(x₀) = 0 при k = 1,2,…, n-1, а f ⁽ⁿ⁾ (x₀) ? 0. Тогда, если n - четное число (n = 2m), функция f(x) имеет в точке х₀ экстремум, а именно максимум при f ^(2m)(x₀) < 0 и минимум при f ^(2m)(x₀) > 0. Если же n - нечетное число (n = 2m - 1), то точка х₀ не является точкой экстремума.

№ 32. Определения: «выпуклость вверх (вниз)» и «точки перегиба» функции f(x); достаточное условие выпуклости вверх (вниз). План исследования функции с целью построения графика; асимптоты

Кривая называется выпуклой/вогнутой (обращенной выпуклостью вверх/вниз) на интервале (ab), если все точки кривой лежат ниже/выше любой ее касательной на этом интервале. Условие вып./вогн.: если f ??(x) < 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) выпукла на этом интервале. Если f ??(x) > 0 во всех точках интервала (ab), то кривая y = f(x) вогнутаа на этом интервале. Точка, отделяющая выпуклую часть непрерывной кривой от вогнутой, называется точкой перегиба.

Размещено на Allbest.ru