Основные понятия математики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Множество

Множество - является основным понятием математики. Впервые это понятие было введено в 19 веке немецким математиком Георгом Каптером. Он дает определение множеству. Множество есть многое мыслимое нами как единое. Понятие о множестве возникло как абстракция факта, что предметы окружающей действительности встречаются не столько обособленно друг от друга, сколько в совокупности. Множество является неопределенным понятием. Это основное начальное понятие а математике. Любое множество обозначается заглавными буквами (А,В,С). Объекты любой природы, из которых состоит множество, называются элементами данного множества. Записывается: А={а, в, с}, С={1, 2, 3}. Множество считается заданным, если о любом его объекте можно сказать: «принадлежит этому множеству» или «не принадлежит этому множеству». Если элемент принадлежит множеству а ? А, если нет - в ? А. в записи элементов данного множества предъявляются следующие требования: 1) множество может состоять только из различных элементов, 2) элементы множества можно записывать в любом порядке.

Способы задания множеств: 1) перечислением всех его элементов, 2) используя характеристическое свойство - это свойство, которым обладают все элементы данного множества и не обладает ни один элемент ему не принадлежащий: С={х / х ? N, х > 10}; А={-?, 3}.

Виды множеств. Множества бывают конечные и бесконечные. Конечные множества состоят из определенного числа элементов. Это множество можно перечислить. Элементы бесконечного множества перечислить нельзя. Бесконечное множество задается только характеристическим свойством. Множество не содержащее ни одного элемента называется пустым множеством. Универсальное множество - множество, по отношению к которому все остальные множества являются подмножеством, т.е. включены или содержаться в данном множестве.

Отношения между множествами.

1) множества не имеют общих элементов

2) два множества имеют общие элементы

3) одно множество является подмножеством другого. Множество называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А. Также говорят, что множество В включено в множество А

4) два множества равны. Множества называются равными или совпадающими. Если каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот.

Пустое множество является подмножеством любого множества.

а) объединение двух множеств. Объединением двух множеств А и В называется множество С, состоящее из всех тех элементов, которые принадлежат множеству А или множеству В.



Объединение определяется штриховкой и обозначается

1)А U В=С, 2)

3)АU В=А,

4)АUВ=А=В.

б) свойства операции объединения множеств:

· коммутативное свойство: АUВ=ВUА

· ассоциативное свойство: АU (ВUС)=(АUВ) UС

· закон поглощения: АUА=А; АUШ=А; АUУ=У.

2. Пересечение двух множеств

множество высказывание теорема неотрицательный

Пересечением двух множеств А и В называется множество С, содержащее все элементы, которые принадлежат и множеству В одновременно.

1)А?В= Ш, 2)

3)А?В=В,

4)А?В=А=В.



б) свойства пересечения:

· коммутативное свойство: А?В= В?А

· ассоциативное свойство: А?(В?С)=(А?В)?С

· закон поглощения: А?А=А, А? Ш= Ш, А?У=А

Дистрибутивные свойства, связывающие операции объединения и пересечения.

1). АU (В?С)=(АUВ)?(АUС)

2). А?(ВUС)=(А?В) U (А?С)

3. Разность между множествами

Разностью множеств А и В называется множество С, элементы которого принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В. Если множество В является подмножеством множества А, то разность между множествами А и В называется дополнением множества В до множества А.

1) \ - разность

А \ В = А

2) 3) А (В дополнение до А)

4) А \ В = Ш

б) свойство разности и дополнения:

· разность не обладает свойством коммутативности и ассоциативности.

· Дополнение Ш =У (дополнение пустого множества ест универсальное), = Ш (дополнение универсального множества есть пустое множество), А \ Ш = А, UА=У, А = Ш, =А (двойное дополнение множества А до универсального множества)

· Закон де-Моргана

=

=

4. Число элементов в объединении двух конечных множеств и число элементов в дополнении к подмножеству

Мощностью множества называется число или количество элементов в данном множестве. Обозначение п(А), читается «эн от А». n(A)=5.

Если множества не пересекаются. Число элементов объединения двух непересекающихся конечных множеств равно сумме численности этих множеств. Доказательство:

1) Если множества не пересекаются, то n(AUB)=n(A)+n(B)

Пусть заданы множества

А={a1, a2, a3...as} n(A)=s,

B={b1, b2, b3,…bt} n(В)=t

Тогда AUB={a1, a2, a3...as, b1, b2, b3,…bt}

n(AUB)= s+t= n(A)+n(B)

2) Если множества пересекаются. Число элементов объединения двух конечных пересекающихся множеств равно разности между суммой численности этих множеств и численности пересечения данных множеств. Доказательство.

A={a1, a2, a3,…as, as+1, as+2…… as+t } n(A)=s+t

B={a1, a2, a3, …as, bs+1, bs+2, bs+3,…s+k } n(B)=s+k

A?B={a1, a2, a3,…as} n(A?B)=s

AUB={a1, a2,…as…as+t, bs+1, bs+2, bs+3…bs+k}

n(AUB=s+t+k=s+t+k+s-s=(s+t)+(s+k)-s, тогда

n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A?B);

3. Число элементов дополнения конечного множества А до конечного множества В равно разности численности этих множеств. Доказательство.

B={b1, b2, b3…bk}

А={b1, b2, b3,……bm} m<k n(B)=k n(A)=m

(B\A)={bm+1, bm+2,…bk} n(B\A)=k-m

n(B\A)=n(B)-n(A)

5. Разбиение множества на классы

Рассмотрим на примере. Пусть задано множество М (множество выпуклых многоугольников), образуем все подмножества данного множества: А1 - множество треугольников; А2 - множество четырехугольников; А3 - множество пятиугольников; Ак - множество к-угольников. Множество М считается разбитым на классы, если выполняются следующие условия:

1. каждое подмножество А не пусто

2. пересечения любых двух подмножеств является пустым множеством

3. объединение всех подмножеств есть данное множество М

Разбиение множества на классы называется классификацией.

Отношение на множестве Х называется эквивалентным, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. На графе такого отношения есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы: если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Например. Пусть задано отношение - жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а) каждый класс не пуст, т.к. в каждой квартире хотя бы 1 человек, но прописан, б) классы не пересекаются (1 человек не прописан в двух разных квартирах), в) объединение всех классов, т.е. жильцов каждой квартиры, и составляет множество жильцов дома.

6. Декартово произведение множеств

Для введения понятия декартово произведение множеств рассмотрим понятие кортежа. Это понятие, как и понятие множество, является основным неопределенным понятием. Для кортежа важен порядок следования элементов. Элементы в кортеже могут повторяться. Число элементов в заданном кортеже называется его длиной. Кортеж длины 2 называется упорядоченной парой. Картеж обозначается ( ) или < >. Ч - обозначение декартового произведения множеств. (а,в,а); (а,в,с) ? (в,а,с); (а,е,с)=(а,е,с).

Декартовым произведением множеств А и В называется множество, состоящее из всех упорядоченных пар, в которых первая компонента является элементом первого множества, а вторая компонента элементом второго множества. А={а,в,с} В={1,2} АЧВ={(а,1),(а,2), (в,1),(в,2),(с,1),(с,2)}

Свойство декартова произведения множеств (ДПМ). ДПМ не обладает свойством коммутативности и ассоциативности: АЧВ?ВЧА. Выполняются свойства дистрибутивности ДПМ:1) относительно объединения множеств АЧ(В?С)=(АЧВ)?(АЧС); 2) относительно пересечения множеств АЧ(В?С)=(АЧВ)?(АЧС). Чтобы найти число элементов в ДП в двух и более множеств нужно знать число элементов в каждом множестве. Если число элементов равно n. Если n(A)=n, а n(B)=m, то n(AЧB)=n*m. Пусть А={а1,а2,а3,…аn} В={в1,в2,в3,…вm}. Составим ДПМ А и В:

(а1,в1) (а1,в2) (а1,в3) …(а1, вm)

(а2,в1) (а2,в2) (а2,в3) …(а2, вm)

(а3,в1) (а3,в2) (а3,в3) …(а3,вm)

___________________________

(аn, в1) (аn,в2) (аn,в3) …(аn,вm)

В каждой строчке эм-пар, таких строчек эн, значит всего перечислено эм на эн пар, следовательно число элементов в ДПМ А и В равно произведению числа элементов во множестве А на число элементов во множестве В.

7. Соответствие между элементами двух множеств

Соответствием эф между элементами множеств Х и У называют тройка множеств (Х;У; джи эф), джи от эф это подмножество ДП. Множество Х называется областью отправления, множество У называется областью прибытия джи от эф - называется графиком данного соответствия. Областью определения соответствия эф называется множество тех элементов первого множества (т.е. области отправления), которым соответствуют элементы второго множества (т.е. области прибытия). Множеством значения соответствия эф называется множество элементов области прибытия, которым поставлены в соответствие некоторые элементы области отправления. Способы задания соответствий: перечисление его элементов, с помощью графика, с помощью графа, при помощи таблицы, словесно, алгебраически, т.е. уравнением, неравенством.

Виды соответствий. Соответствия называются всюдуопределенным, если область отправления совпадает с областью определения. На графе такого соответствия от каждого элемента первого множества отходит хотя бы одна стрелка. Соответствие называется сюръективным, если его множество значений совпадает с областью прибытия. На графе такого соответствия к каждому элементу 2-ого множества подходит хотя бы 1 стрелка. Соответствие называется инъективным, если никаким разным элементам 1-ого множества не соответствует один и тот же элемент 2-го множества. На графе такого соответствия ни к какому элементу 2-го множества не подходит более 1 стрелки. Соответствие называется функциональным, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие называется функцией. Среди всех функциональных соответствий выделяют всюдуопределительные соответствия, которые называют отображением. Соответствие называется взаимнооднозначным, если выполняются условия: 1) любым двум различным элементам множества Х соответствуют различные элементы множества У, 2) любому элементу множество У соответствует хотя бы один элемент множества Х. Два соответствия между множествами Х и У называются противоположными, если их графики взаимно дополняют декартово произведение Х на У. Соответствие называется обратным к данному соответствию, если данное соответствие выполняется в том и только том случае, когда выполняется обратное. Если данное соответствие есть подмножество декартова произведения множеств Х и У, то обратное соответствие - это подмножество декартового произведения множеств Х и У. Чтобы получить соответствие обратное данному. На его графе необходимо поменять направление стрелок.

8. Отношения на множестве

Отношение - это соответствие, заданное между элементами одного и того же множества. Соответствие, заданное между равными множествами называется бинарным отношением. Отношение на множестве Х - это упорядоченная пара «икс» и «джи», где «джи» - это подмножество декартового произведения множества Х само на себя (Х*Х). Свойства отношений. 1) отношение называется рефлексивным, если любой элемент из множества Х находится в отношении сам с собой (а ? Х, а R а, где R - находиться в отношении). На графе такого отношения от каждого элемента будет отходить петля. 2) отношение называется симметричным, если для любых двух элементов множества Х (а и в) из того, что а находится в отношении с в, будет следовать, что в находится в отношении с а (а, в ? Х, а R в > в R а). На графе такого отношения два элемента будут соединены взаимно обратной стрелкой. 3) отношение называется транзитивным, если для любых элементов а, в, с из того, что а R в и в R с > что а R с, а, в, с ? Х. На графе такого отношения три элемента связаны треугольной стрелкой. 4) отношение называется антирефлексивным, если любой элемент из множества Х не находится в отношении с самим собой (а ? Х, а R а). 5) отношение называется антисимметричным, если из того, что а находится в отношении с в не следует, что в находится в отношении с а (а, в ? Х, а R в > в R а). 6) отношение называется антитранзитивным, если из того, что а, в, с ? Х, а R в и в R с> а R с. 7) отношение называется ассиметричным, если а R в и в R а, только при условии, что а = в.

Виды отношений. 1) Отношение на множестве Х называется эквивалентным, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. На графе такого отношения есть петли, взаимно обратные стрелки и треугольные стрелки. Отношение эквивалентности, и только оно, связано с разбиением множества на классы. Это утверждение можно сформулировать в виде теоремы: если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то это отношение разбивает множество Х на классы, и наоборот, если множество Х разбито на классы, то на заданном множестве выполняется отношение эквивалентности. Например. Пусть задано отношение - жить в одном доме. Покажем, что множество жильцов в доме будет разбито на классы. А каждый класс, это отдельная квартира. Для данного разделения будут выполняться все необходимые условия разбиения множества на классы: а) каждый класс не пуст, т.к. в каждой квартире хотя бы 1 человек, но прописан, б) классы не пересекаются (1 человек не прописан в двух разных квартирах), в) объединение всех классов, т.е. жильцов каждой квартиры, и составляет множество жильцов дома.

2) отношение на множестве Х называется отношением строго порядка, если оно антисимметрично и транзитивно. Например: отношение «больше, меньше». Множество, на котором задано отношение строгого порядка, называется упорядоченным множеством.

3) отношение на множестве Х называется отношением не строгого порядка, если оно рефлексивно, ассиметрично и транзитивно. Например: отношение ? ?. Если отношение порядка обладает свойством связности, то говорят, что оно является отношением линейного порядка. Отношение называется связанным на множестве Х, если для любых элементов х и у выполняется условие: из того, что х ? у следует, что х R у или у R х. Если на множестве задано отношение линейного порядка, то оно линейно упорядочивает данное множество.

Соответствие называется функциональным, если к каждому элементу 1-го множества соответствует не более 1 элемента 2-го множества. На графе такого соответствия от каждого элемента 1-го множества, если будет отходить, то только 1 стрелка. Функциональное соответствие заданное на числовом множестве называется числовой называется функцией.

Свойства числовых функций.

1. каждая функция имеет область определения и множество значений.

2. функция может быть возрастающей или убывающей. Функция называется возрастающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 х1 > х2 следует f (x1) > f (x2). Функция называется убывающей на промежутке а в, если для любых х1 и х2 из этого промежутка, из того, что х1 > х2 следует f (x1) < f (x2).

3. функции могут быть четными или не четными. Функция называется четной, если она задана на симметричной области определения и выполняется условие f(-x)=f(x). Функция называется не четной, если на симметричной области определения выполняется условие f(-x)=-f(x). График четной функции симметричен относительно оси ОУ, не четной - симметричен относительно начала координат.

у = х2 у = х3

Четная не четная

На практике часто встречаются функции, которые не являются четными и не четными.

4. функции могут быть периодичными. Функция называется периодичной, если существует такое число Т, что выполняется условие f(x+Т)=f(x). К периодичным относятся все тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс).

5. функции могут иметь особые точки. Это точки пересечения с осями координат и точки экстремумов, т.е. точки минимума и максимума. Точка х0 называется точкой минимума функции, если для всех Х из окрестности х0 выполняется условия f (x) > f (x0). Точка х0 называется точкой максимума функции, если для всех х из окрестностях х0 f(x)< f (x0).

6.

функции могут иметь промежутки знаков постоянства, т.е. это те подмножества, области определения, элементы которых обращают функцию либо только в положительную, либо только в отрицательную.

7. функция может иметь точки разрыва, т.е. те значения переменной х, в которых у не существует (функции обратной пропорциональности).

у = , если х = 0

9. Понятие, объем и содержание понятий, определение понятий

Математика как и другие науки использует понятийный аппарат. Термин «понятие» применяется для обозначения целого класса объектов любой природы. Которые обладают одним или некоторыми характеристическими свойствами, т.е. свойствами, которые присущи только этому классу объектов. Понятие часто отожествляется со словом или со словосочетанием, которые фактически и обозначают данный класс объектов. При написания понятий, их обозначают маленькими буквами, как и элементы множеств. Множества объектов, которые можно назвать данным словом называют объемом понятия. Встречаются единичные понятия, равные 1, а также конечные и бесконечные понятия. К единичному понятию относится цифра. Понятие многоугольника имеет бесконечный объем. Существуют понятия носящие всеобщий характер. Им трудно дать определения, их называют категориями. Множество всех свойств, каждое из которых присуще только элементам а из множества объемов понятия А, называется содержанием этого понятия. Для треугольников в содержание понятия будут входить такие свойства: иметь 3 угла, иметь 3 стороны. Определить понятие, значит дать способ, позволяющий отделить объекты, охватываемые данным понятием, от всех других понятий. Т.о, определение понятия - это логическая операция, в результате которой выясняется содержание понятий. Различают вербальные (словесные) и не вербальные способы определения понятий. Не вербальные определение - это определение значения слов путем непосредственной демонстрации предметов или указания части текста, в котором применяется то или иное слово. Не вербальное определение может быть остенсивным или контекстуальным. Остенсивные определения даются с помощью показа предмета или демонстрации объекта. Простой показ, название. Контекстуальное определение дается по ходу контекста или части текста (часто используется в начальных классах). Например: чтобы определить, что значит «больше», дается пояснение «больше на 3» - это столько же и еще 3. пояснение, небольшой текст.

В математике как и в других науках используется определение неизвестных понятий через известные. Такое определение называется вербальным. К вербальным относятся определения через род и видовые отличия, а также генетические и рекурсивные определения. Определение понятия через род и видовые отличия заключаются в следующем: в данных определениях выделяется опорное, исходное понятие, а затем указываются свойства, которые присущи только данному понятию. Например: прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые. В данном определении исходное понятие - четырехугольник, его называют родовым понятием. Свойство, которое присуще только прямоугольникам - иметь все углы прямые, называется видовым отличием. Одно и то же понятие можно определить, используя различные родовые понятия и указав видовые отличия. Генетические определения являются частным случаем определения через род и родовые отличия. В них вместо видовых свойств указывается происхождение или способ построения. Например: угол - это фигура, образованная лучами, исходящими из одной точки. В этом примере понятие фигура является родовым и вместо видовых отличий, дан способ образования этой фигуры. Рекурсивные определения. В данных определениях указываются некоторые основные базисные элементы определяемого множества и правила, позволяющие получить новые элементы данного множества.

10. Высказывания

Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно называется высказыванием. Вопросительные и восклицательные предложения к высказываниям не относятся. Высказывания обозначают заглавными буквами, как множества. Высказывания могут быть простыми и составными. Простые высказывания - это такие, которые не состоят из других высказываний. Составные можно разбить на другие, причем эти составляющие соединены логическими союзами (и, или, если, то, либо, неверно что, хотя бы одно из). Два высказывания называются равносильными или эквивалентными, если всегда, когда истинно одно высказывание, истинно и другое.

Понятие предиката (высказывательная форма). Предикаты по форме построения похожи на высказывания, но ими не являются, т.к. о них сразу нельзя сказать истины они или ложны. Предложение с одним или несколькими переменными, обращающиеся в высказывания при подстановке вместо переменных их значений, называется предикатом или высказывательной формой. Например: «икс больше 5» нельзя сказать истинно или ложно, но если х=7, то получается предиката. Предикаты, имеющие одну переменную, называют - одноместным, две переменной - двуместным и т.д. Один и тот же предикат, при подстановке в него значения переменной, принимает только одно значение или истинно, или ложно. Множество Х, на котором задан предикат, называется областью определения предиката. Область определения предиката делится на два подмножества: 1 - область истинности предиката ИА(х) или ТА(х) - это множество тех значений переменных, которые обращают предикат в истинное высказывание. 2 - множество, тех значений переменной, которое обращает предикат в ложное высказывание. Добавление к предикату квантора называется операцией навешивания квантора. Навешивание квантора всегда обращает предикат в высказывание. Например. Предикат «х больше 5» обратится в высказывание, если добавим квантор существования - существует х больше 5.

А(х): «х>5» это дано

это высказывание

Два предиката, имеющие одну и ту же область истинности и заданные на одном и том же множестве называют эквивалентными или равносильными.

А(х): «х2 = 4»

В(х): «(х-2)*(х+2)=0

Отрицанием предиката Р(х) называется предикат , область истинности которого является множество тех значений переменной х, которое обращает данный предикат Р(х) в ложное высказывание.

Конъюнкцией двух предикатов G(х) и Р(х) называется предикат, область истинности которого равна пересечению областей истинности данных предикатов.

ИР(х)G(х) = ИР(х)ИG(х)

Дисъюнцией двух предикат Q(х) и Р(х) называют предикат, область истинности которого равна объединению областей истинности данных предикатов.

ИР(х) Q(х)= ИР(х) ИQ(х).

Импликацией двух предикат Р(х) и В(х) есть предикат, область которого равна объединению областей истинности предиката и В(х).

ИР(х) В(х)= ИИВ(х).

Логические операции.

1). Отрицание высказывания. Если задано высказывание, то отрицание этого высказывания можно сформулировать следующим образом: «не верно, что». Если заданное высказывание истинно, то отрицание его всегда ложно и наоборот. .

2). Конъюнкция высказываний. Составное высказывание А и В, в котором используется логический союз «и», называется конъюнкцией высказывания и записывается следующем образом: . Конъюнкцией двух высказываний называется высказывание А и В, которое истинно тогда и только тогда, когда истины оба высказывания, и ложно тогда и только тогда, когда хотя бы одно высказывание ложно. Конъюнкция данного высказывания и его отрицание всегда ложна.

3). Дизъюнцией двух высказываний А и В называется высказывание С, которое истинно тогда и только тогда, когда хотя бы одно из высказываний истинно, и ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания ложны.

Свойство дизъюнции:

· коммутативное

· ассоциативное

· дистрибутивное

· закон поглощения

· Закон исключенного третьего (И) означает, что утверждение выполняется, если выполняется хотя бы одно из высказываний. Высказывание А или отрицание высказывания А всегда истинно, какое бы высказывание А мы не рассматривали. В математике это часто встречается при разборе каких-то взаимно исключающих друг друга случаях. Например: при решении квадратных уравнений разбираются два случая: дискриминант больше или равно 0; дискриминант меньше 0. Если обозначить каждый случай за высказывание, то первое высказывание А, а второе - отрицание А. Поскольку других случаев А и А- не существует, задача о решении квадратного трехчлена и разложение его на линейные множители либо решается, когда А - истинно, или не решается, когда истинно отрицание А. Отрицанием дисъюнции двух высказываний будет конъюнкция отрицаний этих высказываний. .

Высказывания. Повествовательное предложение, о котором можно сказать, истинно оно или ложно называется высказыванием. Вопросительные и восклицательные предложения к высказываниям не относятся. Высказывания обозначают заглавными буквами, как множества. Высказывания могут быть простыми и составными. Простые высказывания - это такие, которые не состоят из других высказываний. Составные можно разбить на другие, причем эти составляющие соединены логическими союзами (и, или, если, то, либо, неверно что, хотя бы одно из). Два высказывания называются равносильными или эквивалентными, если всегда, когда истинно одно высказывание, истинно и другое.

Понятие предиката (высказывательная форма). Предикаты по форме построения похожи на высказывания, но ими не являются, т.к. о них сразу нельзя сказать истины они или ложны. Предложение с одним или несколькими переменными, обращающиеся в высказывания при подстановке вместо переменных их значений, называется предикатом или высказывательной формой. Например: «икс больше 5» нельзя сказать истинно или ложно, но если х=7, то получается предиката. Предикаты, имеющие одну переменную, называют - одноместным, две переменной - двуместным и т.д. Один и тот же предикат, при подстановке в него значения переменной, принимает только одно значение или истинно, или ложно. Множество Х, на котором задан предикат, называется областью определения предиката. Область определения предиката делится на два подмножества: 1 - область истинности предиката ИА(х) или ТА(х) - это множество тех значений переменных, которые обращают предикат в истинное высказывание. 2 - множество, тех значений переменной, которое обращает предикат в ложное высказывание. Добавление к предикату квантора называется операцией навешивания квантора. Навешивание квантора всегда обращает предикат в высказывание. Например. Предикат «х больше 5» обратится в высказывание, если добавим квантор существования - существует х больше 5.

А(х): «х>5» это дано

это высказывание

Два предиката, имеющие одну и ту же область истинности и заданные на одном и том же множестве называют эквивалентными или равносильными.

А(х): «х2 = 4»

В(х): «(х-2)*(х+2)=0

Отрицанием предиката Р(х) называется предикат , область истинности которого является множество тех значений переменной х, которое обращает данный предикат Р(х) в ложное высказывание.

Конъюнкцией двух предикатов G(х) и Р(х) называется предикат, область истинности которого равна пересечению областей истинности данных предикатов.

ИР(х)G(х) = ИР(х)ИG(х)

Дисъюнцией двух предикат Q(х) и Р(х) называют предикат, область истинности которого равна объединению областей истинности данных предикатов.

ИР(х) Q(х)= ИР(х) ИQ(х).

Импликацией двух предикат Р(х) и В(х) есть предикат, область которого равна объединению областей истинности предиката и В(х).

ИР(х) В(х)= ИИВ(х).

Логические операции.

Отрицание высказывания. Если задано высказывание, то отрицание этого высказывания можно сформулировать следующим образом: «не верно, что». Если заданное высказывание истинно, то отрицание его всегда ложно и наоборот. .

Импликацией двух высказываний А и В называется высказывание «если А, то В», которое ложно тогда и только тогда, когда первое высказывание истинно, а второе - ложно. В остальных случаях импликация истина. В импликации связка «если А, то В» не означает ни каких причинно-следственных связей. Например: если 2*2=4, то сегодня хорошая погода.

Свойства импликации:

5). Эквиваленцией высказываний А и В называется высказывание «А если и только если В», которое истинно тогда т только тогда, когда оба высказывания истины или оба высказывания ложно. В остальных случаях эквиваленция ложна.

Свойство эквивалентности:

Высказывание с кванторами и их отрицание. Предложение, которое содержит слова «любой, всякий, все, существует, некоторые», называется высказывание с кванторами. Слова «любой всякий, все» называются квантором общности и обозначают .

Слова «существуют, найдется, для некоторых» называются квантором существование и обозначают . Чтобы построить отрицание высказывания с квантором общности нужно квантор общности заменить на квантор существования, а высказывание А на его отрицание . Чтобы построить отрицание высказывания с квантором существования нужно заменить квантор существования на квантор общности, а высказывание А на его отрицание. .

Например. 1) дано высказывание: «все ученики класса занимаются теннисом». Построим отрицание этого высказывания: «существуют ученики в классе, которые не занимаются теннисом». 2) существуют числа, которые делятся на 2. отрицанием этого высказывания будет высказывание - все числа не делятся на 2.

11. Структура теоремы. Виды теоремы

Теорема - это высказывание, истинность которого необходимо доказать. С логической точки зрения теорема это высказывание вида : А(х)В(х).

В теореме можно выделить 3 части: 1) преамбула. В ней описываются множества, относительно которых задана теорема. Это области определения высказывания А и высказывания В.2) условия теоремы. Это предложение А или то что дано в теореме. 3) заключение теоремы. Это предложение В или то что нужно доказать в теореме.

Различают 4 вида теорем:

1. Данная теорема - А (х)В (х) (если А, то В). Например: вертикальные углы равны. Если углы вертикальные, то они равны.

2. Теорема обратная данной - В (х)А(х) (если В, то А). Например: если углы равны, то они вертикальные (данная теорема - ложна).

3. Теорема противоположная данной - . Если углы не вертикальные, то они не равны (данная теорема ложна).

4. Теорема противоположная обратной - и . Если углы не равны, то они не вертикальные. (Истинная теорема.)

Из истинности данной теоремы не следует истинность обратной и противоположной данной теорем. Для каких бы теорем мы не формулировали теорему противоположную обратной, она всегда будет истинной. Т.о., теорема данная и теорема противоположная обратной равносильны. Эту равносильность называют законом контропозиции . Согласно этому закону, вместо данной теоремы можно доказывать теорему противоположную данной. И это доказательство называется доказательством от противного. Если дана теорема из А(х)В(х), то в этом случае А(х) является достаточным условием для В, а В(х) необходимым условием для А. Если А является необходимым и достаточным условием для В, то в этом случае одновременно истины два высказывания - из А следует В и из В следует А. Если высказывание А необходимо и достаточно для В, то говорят, что А и В равносильны. В любом утверждении о необходимости и достаточности содержатся два независимых друг от друга высказывания. Поэтому, если мы хотим доказать такое утверждение, то сначала доказывается достаточность, а затем необходимость. Н-р: для того чтобы прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы перпендикуляр, проведенный к одной из них, был перпендикулярен ко второй прямой. В данной теореме два высказывания: 1) если прямые параллельны, то перпендикуляр, проведенный к одной из них, является перпендикуляром к другой прямой (это необходимость). 2) если перпендикуляр проведенный к одной прямой перпендикулярен ко второй прямой, то такие прямые параллельны (это достаточность). Для доказательства теоремы в целом следует сначала доказать достаточность (достаточное условие), а затем необходимость (необходимое условие).

18. Теоретико-множественный подход к построению теории целых неотрицательных чисел. Два множества А и В называются эквивалентными или равномощными, если между ними можно установить взаимнооднозначное соответствие, т.е., если каждому элементу множества А ставится в соответствие единственный элемент множества В и наоборот. Мощность или кардинальное число - это такое свойство, которое присуще любому множеству В, равномощному множеству А и не присуще ни какому другому множеству не равномощному множеству А. А~В n (А)=а - это мощность. Отношение равномощности является отношением эквивалентности, т.е. для него выполняются свойства рефлексивности, симметричности и транзитивности. Отношение равномощности разбивает множество всех множеств на классы эквивалентности. Для определения понятия натурального числа и нуля рассмотрим разбиение всех конечных множеств.

Пусть М это множество всех конечных множеств. М=К0 Ка Кв, где Ко - это класс пустых множеств, Ка - это множество, содержащее равномощные множества а1,а2, а3 и т.д., Кв - это множество, содержащее равномощные множества в1, в2, в3 и т.д. Множество М может содержать и другие подмножества К различной природы, которые состоят из равномощных множеств. У каждого класса эквивалентности К есть общее то, что они состоят из одинакового количества элементов, других общих свойств нет. Целое неотрицательное число с теоретико-множественной точки зрения, есть общее свойство класса конечных равномощных множеств. Натуральное число есть общее свойство класса не пустых конечных равномощных множеств. Каждому классу приписывается кардинальное число (мощность). Классу пустое множество приписывается кардинальное число 0. Классу состоящему из множеств, имеющих 1 элемент приписывается число1. Классу, состоящему из множеств, имеющих 2 элемента приписывается число 2. (n(К0)=0, n(К1)=1, n(К2)=2, n(Ка)=а).

Отношение равенства. Целые неотрицательные числа а и в называются равными, если множества А и В, численность которых они выражают, равномощны (А; n(А)=а, n(В)=в, А ~ В n(А)=n(В)а=в).

Теорема: отношение равенства во множестве целых неотрицательных чисел является отношением эквивалентности. Доказательство. Докажем, что отношение равенства обладает свойствами симметричности, транзитивности и рефлексивности.

1. свойство рефлексивности. Докажем, что а=а. Известно, что любое множество равномощно самому себе. Если множества равномощны, то их мощности равны (А~А; n(А)=n(А); а=а).

2. свойство симметричности. Докажем, что если а=в, то в=а. Дано: А и В такие, что А~В, т.к. для отношения равномощности выполняется свойство симметричности, то А~ВВ~А; n(А)=n(В) а=в; n(В)=n(А) в=а.

3. свойство транзитивности. Докажем, что если а=в и в=с, то а=с. Дано: А, В, С, где А~В и В~С. Для отношения равномощности выполняется свойство транзитивности А~ВВ~СА~С; n(А)=n(В)n(В)=n(С)n(А)=n(С); а=вв=са=с.

Т.к. свойства рефлексивности, симметричности, транзитивности выполняются, то отношение равенства является отношением эквивалентности.

Отношение меньше. Целое неотрицательное число а<в, если множество А равномощно собственному подмножеству В1 множества В. а<в; n(А)=а; n(В)=в; В1В n(В1)<n(В); В1~Аn(В1)=n(А); n(А)<n(В)а<в.

Теорема: отношение меньше во множестве целых неотрицательных чисел является отношением строго порядка. Доказательство: Докажем, что отношение меньше обладает свойствами анти симметричности и транзитивности.

1. свойство антисимметричности. Если а<в, то ва; Если а<в, то по определению А~В1, где В1 является подмножеством В, т.е. В1В. Т.к. ВВ1, то n(В)n(В1) вв1. Т.к. А~В1 n(А)=n(В1), n(В)n(А); ва. Получили а<в, то ва.

2. свойство транзитивности. а<в и в<с, то а<с. По условию а<вА~В1 и В1подмножество В. а<в А~В1 В1В. Т.к в<с, то выделяем С1 такое что В~С1 С1С. Во множестве С1 можно выделить такое подмножество С2, которое будет равномощно подмножеству В1 и соответственно равномощно А.

С2С1 С2~В1 С2~А n(А)=n(С2) n(С2)<n(С1)n(А)<n(С1). Т.к. n(С1)<n(С) с1<с, то n(А)<n(С)а<с

Доказали, что отношение меньше является отношением строго порядка.



12. Сложение и вычитание в количественной теории целых неотрицательных чисел

Их свойства. Суммой двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью объединения двух непересекающихся множеств А и В, мощности которых соответственно равны а и в. а+в=с, n(С)=n(АUВ), n(АUВ)=n(А)+n(В).

Свойства сложения. 1. Сложение во множестве целых неотрицательных чисел всегда существует и определяется единственным образом. Докажем, что сумма всегда существует. Рассмотрим А и В, такие, что их пересечение пустое множество и число элементов А есть а, а мощность В есть - в. найдем объединение А и В. Так как объединение двух непересекающихся множеств всегда существует, а значит существует и сумма, а из определения суммы следует, что сложение всегда существует.

Докажем, что сумма определяется единственным образом. Существует С1 и С2 - неотрицательные целые числа. С1=а+в и С2=а+в. Сумма чисел а и в не зависит от того, какие множества А и В мы выбрали из класса равномощных множеств, а следовательно и объединение А и В, взятых из класса равномощных множеств не зависит от выбора множеств А и В, т.к мощности в каждом классе одинаковы, то С1=С2.

2. Каммутотивность сложения. Для любых целых неотрицательных чисел а и в выполняется свойство а+в=в+а. Из теории множеств знаем, что для АUВ=ВUА. Если равны множества, равны их численные значения. n(АUВ)=n(ВUА). Из теории множеств знаем, что мощность объединения равна сумме мощностей. N(А)+n(В)=n(В)+n(А).

3. Свойство ассоциативности. Для любых чисел а, в, с выполняется свойство: а+(в+с)=(а+в)+с. Из теории множеств известно, что для объединения множеств выполняется свойство ассоциативности: АU(ВUС)=(АUВ)UС, если равны множества, то равны их численные значения, n(АU(ВUС))=n((АUВ)UС). Из теории множеств известно, что мощность объединения равна сумме мощностей этих множеств, n(А)+n(ВUС)=n(АUВ)+n(С) n(А)+(n(В)+n(С))=(n(А)+n(В))+n(С) а+(в+с)=(а+в)+с.

Разностью целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью дополнения множества В до множества А, таких, что В принадлежит А , n(А)=а, n(В)=в.

Свойства разности. 1. Для того чтобы разность целых неотрицательных чисел существовала, необходимо и достаточно, чтобы а было больше или равно в.

Докажем: 1) достаточное условие существования разности. Дано : а - в = с , доказать: а в. По определению разности следует, что существует дополнение множества В до множества А, и это дополнение имеет мощность, которую можно найти из равенства, известного из теории множеств.

n () = n(А)-n(В). Из того, что В является подмножеством А следует, что число элементов в В меньше числа элементов А. n (В)<n (А), следовательно в<а или а>в; В входит в А; n(В)<n(А).

2). Необходимое условие. Дано а в. доказать существование разности (а-в). Если а>в, по определению отношения «меньше» существует множество А1, такое что А1 входит в А и А1~В. Составим разность А и А1. Эта разность всегда существует (А- А1 =С) , а следовательно существует С, которое является этой разностью. Из этих условий следует, что С является дополнением А1 до А. С = 1А Мощность С есть мощность дополнения А1 до А. n (С)=n(1А )=n(А)-n(А1) , так как А1 ~ В, то n(А1)=n(В), следовательно n(С)=n(А)-n(В), следовательно с=а-в.

2. Разность целых неотрицательных чисел находится единственным образом, так как разность есть мощность дополнения подмножеств до множества, а дополнение определяется единственным образом, то и разность целых неотрицательных чисел определяется единственным образом.

3. Для вычитания не выполняются свойства коммутативности и ассоциативности.

4. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Из теории множеств известно А\(ВUС)=(А\В)\С, причем В А; С А; ВUСА.

n (А\(ВUС))=n((А\В)\С)

n(А)-n(ВUС )=n(А\В)-n(С)

n(А)-(n(В)+n(С))=(n(А)-n(В))-n(С)

а-(в+с)=(а-в)-с.

5. Вычитание числа из разности (а-в)-с=(а-с)-в. Доказательство основывается на свойстве разности множеств (А\В)\С=(А\С)\В.

6. Вычитание числа из суммы (а+в)-с=(а-с)+в. Доказательство опирается на свойство множеств (АUВ)\С=(А\С) UВ.

13. Умножение и деление в количественной теории

Их свойства. Определение умножению целых неотрицательных чисел можно дать дважды:1) произведением двух целых неотрицательных чисел а и в называется целое неотрицательное число с, которое находится по следующим правилам: а) аN; вN, в>1; ав=а+а+а+а+…+а в раз;б) аN, в=1, а*1=а; в) аN, в=0, а*0=0. 2) произведением а и в называется целое неотрицательное число с, которое является мощностью декартового произведения множеств А и В, таких что мощность А=а. n(А)=а, n(В)=в. Из теории множеств мы знаем, что n(АЧВ)=n(А)*n(В) - мощностью декартового произведения есть произведение мощностей.

Свойства произведения. 1. произведение а и в всегда существует и определяется единственным образом. Докажем это свойство, используя первое определение умножения. Так как произведение есть сумма одинаковых слагаемых, и сумма целых неотрицательных чисел всегда существует, то и произведение всегда существует. Так как сумма одинаковых слагаемых а взятых в раз определяется единственным образом, то и произведение находится единственным образом.

2. Для любых а, в, с из того что а=в а*с=в*с. Докажем используя первое определение умножения

а=в

а·с=а+а+а+…+а ==== в+в+в+…+в = в·с

с раз с раз

3. Для любых а, в, с, д, из того что а=в и с=д а·с=в·д

а=в с=д

а·с=а+а+а+…+а==в+в+в+…+в==в+в+в+в+…+в=в·д

с раз с раз д раз

3. Коммутативное свойство умножения. Для любых целых чисел а и в выполняется равенство а·в=в·а. Для доказательства данного свойства рассмотрим несколько случаев: а) а=1, в>1, а·в=1·в=1+1+1+1=…=1=в. Из первого определения умножения, его второго случая знаем, что в·1=в, 1·в=в·1а·в=в·а. б) а=0, в>1, а·в=0·в=0+0+0+…+0=0. Из первого определения умножения, его третьего случая, есть, что в·0=00·в=в·0а·в=в·а. в) а>1, в>1, воспользуемся вторым определением умножения. Дано: А и В. А={а1,а2,а3,…аа}; В={в1, в2,в3,…вв}. Составим декартово произведение этих множеств: АЧВ={(а1в1)(а1в2)(а1в3)…(а1вв)

(а2в1)(а2в2)(а2в3)…(а2вв)

***

(а ав1)(а ав2)(а ав3)…(а авв)}



В этом произведении число столбцов равно в, а число строк равно а. Число элементов в данном произведении можно найти двумя способами: посчитав количество пар во всех столбцах или посчитав количество пар во всех строчках а*в=в*а.

4. Ассоциативное свойство умножения. Для любых целых неотрицательных чисел а, в, с выполняется равенство (а·в) ·с=а· (в·с).

(а·в) ·с = а·в+а·в+а·в+…+а·в = а+а+а+…+а + а+а+а+…+а + …+а+а+а+…+а = а· (в·с).

L-------- с раз-------- - L----в раз---- L----в раз---- L----в раз-----

¦_________________с раз_______________¦

Частное двух целых неотрицательных чисел будем рассматривать как разбиение множества на классы. Такое разбиение можно продемонстрировать на примере задач. Задача 1. 12 карандашей разложили в 3 коробке поровну. Сколько карандашей в каждой коробке? В данной задаче рассмотрим множество, 12 элементов. Это множество разбивается на равночисленные подмножества и требуется узнать число элементов в каждом подмножестве. Это число можно найти делением 12 на 3, получаем что в каждой коробке по 4 карандаша. Задача 2. В коробке 12 карандашей, их нужно раздать учащимся по 3 карандаша каждому. Сколько учеников получат карандаши? В данной задаче множество из 12 элементов разбивается на подмножества, в каждом из которых по 3 элемента. Требуется узнать число таких подмножеств. Найти его можно делением 12 на 3. В ответе 4 ученика. На примере этих задач, что с теоретико-множественной точки зрения деление чисел оказывается связанным с разбиением множества на равночисленные попарно не пересекающиеся подмножества. С помощью этого разбиения можно решить две задачи: 1) отыскание числа элементов в каждом подмножестве разбиения; 2) отыскание числа таких подмножеств. Определение частного можно дать дважды: 1) деление на равные части. Пусть а число элементов подмножества А, которое разбито на попарно непересекающиеся равномощные подмножества, число которых - в. Тогда частным чисел а и в называется число с, обозначающее мощность каждого подмножества. 2) деление по содержанию. Пусть множество А, содержащее а элементов, разбито на непересекающиеся равномощные подмножества, каждое из которых содержит в элементов. Частным чисел а и в является число с, указывающее на число полученных подмножеств.

Т. о., делением во множестве целых неотрицательных чисел называется: 1) отыскание числа элементов в каждом подмножестве, разбиение данного множества на классы по известному числу элементов в заданном множестве и известному числу подмножества (деление на равные части); 2) отыскание числа подмножеств по известному числу элементов в заданном множестве и известному числу элементов в каждом подмножестве (деление по содержанию).

Свойства частного. 1. Если частное двух целых неотрицательных чисел существует, то оно находится единственным образом. Доказательство. Допустим противное. Пусть существует 2 частных чисел а и в, т.е а:в=с1, а:в=с2. Тогда по известному числу элементов в данном множестве и числу элементов в каждом подмножестве отыскиваются два числа, являющихся числом подмножеств. Следовательно, разбиение заданного множества проходит на не равномощные подмножества, а это противоречит определению операции деления. Следовательно, если частное существует, то находится единственным образом.

2. Связь деления с умножением. Если а:в=с, то а=в·с. доказательство. Пусть а - это число элементов во множестве А. Данное множество разбито на в попарно непересекающихся равномощных подмножеств А1, А1…Ав. Каждое подмножество включено во множество А и по определению деления а:в=с, где с это число элементов в каждом подмножестве с=n(А1)=n(А2)=…=n(Ав). подмножества попарно не пересекаются и объединение всех подмножеств есть множество А. А1 UА2 U…UАв=А. Если равны множества, то рано число элементов данных множеств. n (А1 UА2 U…UАв )=n(А). По определению мощности объединения получим: n(А1)+n(А2)+n(Аn)+…+n(Ав)=n(А). Так как каждое слагаемое в правой части равенства равно с, имеем с+с+с+…+с=а с·в=а в·с=а (по коммутативному свойству).

3. Деление на 0 невозможно. Если а это число элементов в данном множестве и множество не разбито на классы, то о числе полученных подмножеств и числе элементов в каждом подмножестве ничего нельзя сказать. Если число а это число элементов в данном множестве и множество разбито на пустые подмножества, но нельзя определить число таких пустых подмножеств, поэтому о делении на 0 сказать не возможно.

14. Аксиоматическое построение множества натуральных чисел

Требования к системе аксиом, аксиомы Пеано. При аксиоматическом построении какой-либо математической теории соблюдаются определенные правила: 1) некоторые понятия теории выбираются в качестве основных и принимаются без определения; 2) каждому понятию теории, которое не содержится в списке основных, дается определение. В нем разъясняется его смысл с помощью основных и предшествующих данному понятий. 3) формулируется аксиомы, т.е предложения, которое в данной теории принимается без доказательства. В аксиомах раскрываются свойства основных понятий. 4) каждое предложение теории, которое не содержится в списке аксиом должно быть доказано. Такие предложения называются теоремами. Их доказывают на основе аксиом и теорем, предшествующих данной.

Т.О. аксиоматический метод построения математической теории проходит через несколько этапов: 1) введение основных неопределяемых понятий (н-р: множество, элемент множества в теории множеств). 2)введение основных отношений (н-р: отношение принадлежности в теории множеств). 3) через указание основных понятий и основных отношений вводится определение других понятий и отношений (н-р: в теории множеств понятия объединения, пересечения, разности, дополнения).

При аксиоматическом построении теории все утверждения выводятся путем доказательства из аксиом. Основу такой теории составляет система аксиом, и к системе аксиом предъявляются особые требования: 1)система аксиом должна быть непротиворечивой. Систему аксиом называют непротиворечивой, если из нее нельзя логически вывести два взаимоисключающих друг друга предложения. Другими словами, нельзя вывести высказывание и отрицание данного высказывания, так чтобы они одновременно были истинными. Чтобы убедится в непротиворечивости системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 2) система аксиом должна быть независимой. Система аксиом называется независимой, если никакие из аксиом этой системы не являются следствием других аксиом. Другими словами каждая аксиома этой системы не может быть выведена из остальных аксиом. Чтобы доказать независимость системы аксиом достаточно построить модель этой системы. 3) система аксиом должна быть полной, т.е. количество аксиом выбранных в данной теории должно быть достаточно для введения новых понятий, отношений, доказательства теорем, для построения всей теории.

При аксиоматическом построении одной и той же теории можно использовать разные системы аксиом, но они должны быть равносильными. В качестве основного понятия при аксиоматическом построении системы натуральных чисел взято отношение «непосредственно следовать за». Известными так же считаются понятия «множество», «элемент множества», правило логики. Элемент, непосредственно следующий за элементом а, обозначается а - штрих.

Суть отношения «непосредственно следовать за» раскрывается в следующих аксиомах: 1) во множестве натуральных чисел существует элемент, непосредственно не следующий ни за каким элементом этого множества, данный элемент 1 (единица). 2) для каждого элемента а из множества натуральных чисел (N) существует единственный элемент а? , не посредственно следующий за а. 3) для каждого элемента а из N, существует не более одного элемента, за которым непосредственно следует а. 4) всякое подмножество М множества N, обладающего свойствами: 1 М, и из того, что а содержится в М что и а? содержится в М, совпадает со множеством N.