Основные понятия математики

Перечисленные системы аксиом называются аксиомами Пеано. Т.О. множество чисел, для которых устанавливается отношение непосредственно следовать за, удовлетворяющее аксиомам Пеано, называется множеством натуральных чисел, а его элемент - натуральным числом. Четвертая аксиома описывает бесконечность натурального ряда чисел и называется аксиомой индукции. На ее основе проводится доказательство различных утверждений методом математической индукции, который заключается в следующем: чтобы доказать, что данное утверждение истинно для любого натурального числа необходимо: 1) доказать, что это утверждение истинно для единицы, 2) из предложения, что утверждение истинно для произвольного числа к, доказать, что оно истинно и для следующего числа к?.

В определении множества N ничего не говорится о природе этого множества, значит оно может быть каким угодно. Выбирая в качестве множества N любое множество, на котором задано отношение непосредственно следовать за и удовлетворяющее аксиомам Пеано получим модель данной системы аксиом. Между всеми такими моделями можно установить взаимно однозначное соответствие. Эти модели будут отличаться только природой элементов, названием и обозначением. Н-р: 1, 2, 3, 4, 5… 0.00,000,0000,00000, … Ѕ, 1/3, ј, 1/5,

15. Аксиоматическое определение сложения натуральных чисел, свойства

По правилам построения аксиоматической теории определение операции сложения вводится используя только отношение непосредственно следующее за. Если к любому натуральному числу прибавить 1, то получим число, непосредственно следующее за а. а+1=а?.

Сложение натуральных чисел это алгебраическая операция, обладающая свойствами: 1) а+1=а? ; 2) а+в?=(а+в)?. Число а и в называют слагаемыми, число (а+в) - суммой.

Теорема. Сложение натуральных чисел существует и определяется единственным образом. Докажем единственность операции сложения. Допустим, что существует две операции сложения, обладающими данными свойствами.

1) а1=а? 1) а+1=а?

2) ав?=(ав)? 2) а+в?=(а+в)?

пусть число а выбрано произвольно, а в - принимает различное натуральное значение. Доказательство проводим методом математической индукции.

Докажем, что для единицы операции совпадают.

Опред сложения 1 опред сложен 2

а+1==============а?==========а1 а+1=а1

Докажем, что если операции совпадают для числа в, то они совпадают для числа в?. предположим, что верно равенство а+в=ав. Докажем, исходя из этого, что а+в?=ав?

Опр слож 1 по предположнию опр слож 2

а+в?=========(а+в)?=============(ав)?=======ав?

Поскольку равенство верно для 1, и из предположения, что оно верно для в следует, что оно верно для в?. Значит равенство верно для любого натурального числа. А значит, операции совпадают и могут отличаться только обозначениями.

Свойства сложения. 1. Ассациотивность. Для любых натуральных чисел а, в, с выполняется свойство а+(в+с)=(а+в)+с. Доказательство. Пусть натуральные числа а и в выбраны произвольно, а число с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех натуральных чисел с, для которых равенство выполняется. 1) докажем, что 1 принадлежит М, т.е с=1.

по опр слож по опр слож опр слож

а+(в+1)=========а+в?=======(а+в)?======(а+в)+1

2) предположим, что равенство а+(в+с)=(а+в)+с - истинно.

Докажем, что равенство а+(в+с?)=(а+в)+с? - истинно.

опр слож опр слож по предполож опр слож

а+(в+с?)======а+(в+с)?======(а+(в+с))?=====((а+в)+с)?=====(а+в)+с?.

Т.О., множество М содержит 1 и из того, что число с содержится во множестве М следует, что и с? содержится в множестве М. следует по аксиоме индукции, что множество М совпадает со множеством натуральных чисел, следовательно равенство истинно для любого натурального числа.

2. Коммутативное свойство сложения (частный случай). Для любого натурального числа а выполняется равенство 1+а=а+1. Доказываем методом математической индукции: 1) докажем, что а=1, равенство выполняется. а=1 1+1=2=1?=1+1 2) предположим, что равенство истинно 1+а=а+1. Докажем, что и верно равенство 1+а?=а?+1.

опр слож по предполож по опр последующ целого числа

по опр последующ

целого числа

1+а?======(1+а)?========(а+1)?==============(а?)?========а?+1.

Получили равенство истинно для 1, а из того, что данное равенство истинно для числа а, доказали истинность для а?, следовательно равенство истинно для любого натурального числа.

3. Коммутативное свойство сложения. Для любых натуральных чисел а и в выполняется равенство а+в=в+а. Доказательство. Пусть а произвольно выбранное натуральное число, в принимает различное натуральное значение. Доказательство проводим по в. 1) докажем, что в=1, равенство выполняется.

в=1 а+1=1+а доказано в свойстве 2. 2) предположим, что для в равенство истинно а+в=в+а. Докажем истинность для в? а+в?=в?+а.

опр слож по предпол опр слож опр слож по свойст 2 свойст 1 опр слож

а+в?====(а+в)?======(в+а)?====в+а?=====в+(а+1)======в+(1+а)===(в+1)+а====в?+а

Доказали, что для 1 равенство истинно. И из предположения, что равенство истинно для в, доказали истинность равенства для в?, следовательно равенство истинно для любого натурального числа.

4. Аддитивность суммы. Для любых натуральных чисел а, в, с, из того, что а=в а+с=в+с. Доказательство методом математической индукции. Пусть а и в произвольно выбранные натуральные числа, а с принимает различные натуральные значения. 1) с=1

а+1========а?====в?========в+1

2) предположим, что равенство истинно для с.

а+с=в+с

а+с?=в+с?

опр слож по предполож опр слож

а+с?======(а+с)?=========(в+с)?====в+с?

Доказали, что равенство истинно для любого натурального числа.

16. Аксиоматическое определение умножения натуральных чисел

Свойства умножения. Алгебраическая операция, которая паре натуральных чисел а и в ставит в соответствие число а и в называется произведением, для которого выполняются условия: 1) а·1=а; 2) а·в?=ав+а.

Свойства умножения. 1. Дистрибутивное свойство сложения относительно умножения. Для любых натуральных чисел а, в, с выполняется равенство (а+в) ·с=а·с+в·с. Доказательство. Пусть натуральные числа а и в выбраны произвольно, а число с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех натуральных чисел с, для которых данное равенство верно. 1) докажем, что 1 принадлежит М, с=1.

по опред умножения опр умножения

(а+в) ·1===============а+в===========а·1+в·1

2) предположим, что с принадлежит М, т.е., равенство (а+в) ·с=а·с+в·с - истинно. Докажем, что с? тоже принадлежит М. (а+в) ·с?=а·с?+в·с?

(а+в)·с?=(а+в)·с+(а+в)=а·с+в·с+а+в=(а·с+а)+(в·с+в)=а·с?+в·с?

Доказали, что 1 содержится во множестве М и с каждым числом с во множестве М содержится число с? по аксиоме индукции, множество М совпадает со множеством натуральных чисел данное равенство верно для любого натурального числа.

2. Ассоциативное свойство умножения. Для любых натуральных чисел а, в, и с выполняется равенство а*(в*с)=(а*в)*с. Доказательство. Пусть натуральные числа а и в выбраны произвольно, а число с принимает различные натуральные значения. Обозначим через М множество всех тех натуральных чисел с , для которых равенство верно. 1) докажем, что 1 принадлежит М, с=1.

опр умножен опр умножен

а· (в·1)===========а·в============(а·в) ·1

2) предположим, что с принадлежит М, то а· (в·с)=(а·в) ·с - истинно. Докажем, что равенство истинно для с?. а· (в·с?)=(а·в) ·с?.

опр умножен по дистрибут св по предполож опр

а· (в·с?)======== а· (в·с+в) ======= а· (в·с)+а·в ========(а·в)с+а·в

умножен

========(а·в) ·с?

Получили, что М содержит 1 и наряду с каждым числом с во множестве М содержится число с?по аксиоме индукции М совпадает с множеством натуральных чисел, а значит данное свойство выполняется для любого натурального числа.

3. Коммутативное свойство (частный случай). 1·в=в·1. Доказательство проведем методом математической индукции. 1) докажем, что для 1 равенство истинно. в=1

1·1=1====1·1 (определение умножения). 2) предположим, что для в равенство истинно. 1*в=в*1. Докажем, что для в? равенство верно: 1·*в?=в?·1. Доказательство:

1·в?=====1· (в+1)=====1·в+1=====в·1+1=====в+1======в?=====в?·1

Общий вид. а·в=в·а. Пусть в произвольно выбранное число , а а принимает различные натуральные значения. Доказательство проводится по а. 1) а=1, доказать, что равенство верно. 1·в=в·1 (доказано в коммутативном свойстве частный случай). 2) предположим, что для а а·в=в·а - истинно. Докажем истинность а?·в=в·а?

а?·в====(а+1) ·в=====а·в+в======в·а+в=======в· (а+1)=======в·а?

Из того , что данное равенство верно для 1 и из предположения верности равенства для а, доказана истинность равенства для а, а значит равенство верно для любого натурального числа.

17. Вычитание и деление в аксиоматической теории, свойства

Вычитание и деление в аксиоматической теории вводится через введенные ранее операции умножение и сложение. Разностью натуральных чисел а и в называется натуральное число с, такое, что а=в+с. Теорема: разность натуральных чисел существует, только тогда, когда а>в. Доказательство. 1) докажем, что если а>в, то разность а-в существует. По условию а>в, а значит по определению отношения «больше» существует натуральное число с, такое, что а=в+с. Фактически это значит, что число с всегда существует, а из равенства а=в+с следует по определению разности, что существует натуральное число с=а-в. 2) Докажем, что если существует разность а-в, то а>в. По определению разности чисел а и в существует такое натуральное число с, что выполняется равенство а=в+с, отсюда по определению отношения «больше» следует что а>в.

Теорема. Если разность а-в существует, то она находится единственным образом. Доказательство. допустим противное: пусть

а-в=с | отсюда по определению разности получается а=в+с | в+с=в+с1

а-в=с1 | а=в+с1 |

Из свойства аддитивности суммы получаем с=с1, т.о разность находится единственным образом.

Свойства разности. 1. Вычитание суммы из числа. а-(в+с)=(а-в)-с. Доказательство: обозначим разность а-(в+с)=к, тогда по определению разности

а=к+(в+с)=к+(с+в)=(к+с)+в

а-в=к+с к=(а-в)-с

а-(в+с)=(а-в)-с

2. Вычитание числа из суммы: (а+в)-с=а+(в-с). Обозначим разность в-с=х, в=с+х

(а+в)-с=(а+(с+х))-с=(а+с+х)-с=а+х+с-с=а+х=а+(в-с)

3. Вычитание разности из числа. а-(в-с)=(а-в)+с

4. Вычитание суммы из суммы. (а+с)-(в+с)=а-в

Частным натуральных чисел а и в называется натуральное число с, удовлетворяющее условию: а=в*с

Деление часто называют операцией, обратной умножению.

Теорема. Для того, чтобы существовало частное двух натуральных чисел а и в необходимо, чтобы а?в. Данный признак не является достаточным, т.е. из условия а?в не всегда находится а и в.

Доказываем: 1) докажем, что если частное существует, то а?в. По условию частное двух чисел существует, тогда по определению частного, выполняется равенство а+в*с, где с?1. Домножим последнее неравенство на в, т.к в число натуральное, то знак неравенства сохранинся. в·с?1·в в·с?в а?в.

2) Докажем, что если частное а:в существует, то оно находится единственным образом. Допустим противное, пусть существуют два числа с1 и с2, которые являются частным чисел а и в. тогда по определению частного

а=в·с1 а=в·с2 в·с1=в·с2с1=с2.

Свойства деления. 1. Деление суммы на число: (а+в):с=а:с+в:с.

Доказываем. Из условия равенства , что существует частное чисел а и с, в и с. Пуст а:с=х в:с=у . По определению частного а=с·х в=с·у. Найдем сумму а и в.

а+в=с·х+с·у по дистрибутивному свойству с· (х+у). Отсюда по определению частного (а+в):с=х+у (а+в):с=а:с+в:с.

2. Деление разности на число: (а-в):с=а:с-в:с. Докажем по аналогии деления суммы на число, заменив + на -.

3. Деление произведения на число (а·в):с=(а:в)·в

Существуют и другие свойства.

4. (а:в)·(с:д)=(а·с):(в·д)

5. (а:в):с=а:(в·с)

6. а:(в·с)=(а:в):с

7. а:(в:с)=(а:в)·с

18. Признаки делимости на 2 и 5, на 3 и 9, на 4 и 25

Любое натуральное число можно представить в виде суммы разнорядных слагаемых:

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

В данной записи ан, ан-1, ан-2, ..а0 - это цифры в записи данного числа, а 10н, 10н-1, …100 - разрядные числа (или разрядные единицы).

Признак делимости на 2 и 5. Если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа делится на 2 или 5, то и все число разделится на 2 или5. Доказательство. Запишем данное число а в виде суммы разрядных слагаемых: а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100. . В данной сумме каждое слагаемое, кроме последнего, содержит степень числа 10, а значит каждое из этих слагаемых, будет делиться на 2 или 5. Последнее слагаемое а0*100=а0*1=а0 есть последняя цифра в записи данного числа. И если число, обозначаемое последней цифрой в записи данного числа, будет делиться на 2 или 5, то по достаточному признаку делимости и все число будет делиться на 2 или 5.

Признак делимости на 4 и 25. Если число, образованное двумя последними цифрами в записи данного числа а, делится на 4 или 25, то и все число будет делиться на 4 и 25. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

В данной сумме каждое слагаемое кроме последних двух содержит степень числа 10, которая будет делиться на 4 или 25. Последние два слагаемых а1*101+а0 есть число записанное двумя последними цифрами в записи данного числа а, а значит, если сумма а1*101+а0 делится на 4 или 25, то и все число а будет делиться на 4 или 25.

Признак делимости на 3. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 3, то и все число будет делиться на 3. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых:

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

Рассмотрим разрядные единицы или степени числа 10 и представим каждое из них по теореме делимости с остатком в виде равенств.

100=0·3+1

101=3·3+1

102=33·3+1

103=333·3+1

10н=33…3*3+1

Заменим в данном числе каждую степень числа 10 на полученные суммы:

а=ан·(333…н раз 3·3+1)+ан-1· (33…н-1 раз 3·3+1)+…+а2· (33·3+1)+а1· (3·3+1)+а0· (0·3+1)=(ан·333…н раз 3·3+ан-1·33…п-1 раз 3·3+а2·33·3+а1·3·3+а0·0·3)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)

первое слагаемое в данной сумме, записанное в первой скобке, будет делиться на 3 по достаточному признаку делимости суммы, т.к. каждое из слагаемых, записанных в первой скобке, содержит множитель 3 и по достаточному признаку делимости произведения будет делиться на 3. Значит, для того чтобы все число а делилось на 3 достаточно, чтобы второе слагаемое, записанное во второй скобке, делилось на 3. Это второе слагаемое есть сумма цифр в записи данного числа.

Признак делимости на 9. Если сумма цифр в записи данного числа делится на 9, то и все число делится на 9. Доказательство. Пусть дано число а. Представим его в виде суммы разрядных слагаемых.

а=ан·10н+ан-1·10н-1+ан-2·10н-2+…а2·102+а1·101+а0·100.

Рассмотрим разрядные единицы (степень числа 10). Каждая разрядная единица при делении на 9 дает в остатке 1, тогда по теореме о делимости с остатком, каждую степень числа 10 представим в виде равенства:

100=0·9+1

10=9+1

100=99+1

1000=999+1

10н=99…н раз 9+1

Заменим степень числа 10 полученными равенствами, тогда:

а=ан·(99…н раз 9+1)+ан-1·(99…н-1 раз 9+1)+…+а2·(99+1)+а1·(9+1)+а0·(0·9+1)=ан·99…н раз 9+ан-1·99…н-1 раз 9+а2·99+а1·9+а0·0·9)+(ан+ан-1+…+а2+а1+а0)

По достаточному признаку делимости произведения каждое слагаемое записанное в первой скобке делится на 9, следовательно по достаточному признаку делимости суммы все выражение записанное в первой скобке, будет делиться на 9. Значит, для того, чтобы все число делилось на 9 необходимо и достаточно, чтобы выражение, записанное во второй скобке, делилось на 9. Это выражение есть сумма цифр в записи данного числа.

19. Деление с остатком. Существование и единственность деления с остатком

Отыскание пары чисел q и r для заданных чисел а и в, для которых выполняется равенство а=в·q+r называется делением с остатком числа а на число в.

Теорема. Для любой пары чисел а и в существует единственная пара чисел q и r, для которых выполняется равенство а=в· q+r 0?r<в. Доказательство:1) Докажем, что если деление с остатком существует, то r<в. При делении а на в возможны три случая: а) а=в, тогда в·1+0, где q=1, r=0, б) а<в, тогда а=в·0+а, где q=0, r=а, в) а>в, тогда можно найти целый ряд чисел, которые являются произведением в·q, в·1, в·2, в·3, в·4, в·q, в· (q+1). И в данном случае а либо равно одному из перечисленных чисел ряда, тогда выполняется деление на целое число, либо расположено между двумя числами, тогда выполняется деление с остатком. Пусть а расположено между числами: в·q?а<в· (q+1). Вычтем из обеих частей неравенства в·q. Получим 0?а-в·q<в. Если обозначить разность (а- в·q) за r, то получим 0? r<в. Получили а=в·q+r , r<в ,где q - неполное частное, r - остаток от деления числа а на число в. Докажем, что если деление с остатком существует, то пара чисел q и r определяется единственным образом. Допустим противное. Пусть существуют две пары чисел q и r - q1 и r1. а=в·q1+r1 и а =в·q2+r2; в·q1+r1=в·q2+r2 в·q1-в·q2=r2-r1 в(q1-q2)=r2-r1. Так как в левой части равенства есть множитель в, то произведение в(q1-q2) делится на в. Если левая часть равенства делится на в, то и правая должна делится на в, т.е (r2-r1) должна делится на в. Так как r1 <в и r2 <в, то и (r2 -r1 )<в. Получили, что меньшее число должно разделиться на большее. Такое деление существует только тогда, когда делимое равно 0. r2 -r1 =0 r2 =r1 . Если остатки равны, то подставив их значение в равенство в·q1 +r1 =в·q2 +r2 q1 =q2 . Показали, что r и q находятся единственным образом.

Размещено на Allbest.ru