Размещено на http://www.allbest.ru/

1) Функції

Функцією у = f(x) називається така відповідність між множинами D і Е, при якій кожному значенню змінної х відповідає одне й тільки одне значення змінної у.

х -- незалежна змінна або аргумент;

у -- залежна змінна або функція;

f -- символ закону відповідності;

D -- область визначення функції;

Е -- множина значень функції.

Розрізняють три способи завдання функції: аналітичний, графічний і табличний.

Нехай функція у = f(х) встановлює відповідність між множинами D та Е. Якщо обернена відповідність між множинами Е та D буде функцією, то вона називається оберненою до даної у = f(x) і її позначають

Функція (функціональна залежність змінної у від змінної х) називається неявною, якщо задана рівнянням F(x, у) = 0, яке не розв'язане відносно змінної y.

Функція у = f(x) називається парною (непарною), якщо для будь-якого х D виконується умова f(-x) =f(x) (f(-x) = -f(х)).

Функція буде ні парною, ні непарною, якщо для х D, f(-x)f(x).

Функція у = f(x) називається періодичною, якщо для х D виконується умова f(x+Т) = f(x -T) = f(x), де число Т -- період функції.

Функція у - f(x) називається обмеженою на множині D, якщо для всіх х D виконується умова де М > 0 -- деяке скінченне число.

Функція у - f(x) називається монотонно зростаючою (спадною) на множині D, якщо для всіх х D більшому значенню аргумента відповідає більше (менше) значення функції, тобто

Функція у = F(u), де и = (х), називається складною функцією, або суперпозицією функцій F(u) та (х) і позначається у = F((х)).

1) степенева у = х^а;

1) степенева у = х^а;

2) показникова у = а^х, а > 0, а 1 (рис. 3.8);

3) логарифмічна у = log_а х, а > 0, а 1 (рис. 3.7);

4) тригонометричні: у = cosx (рис. 3.2); у = sinx (рис. 3.9); у = tgx (рис. 3.5); у = ctgx (рис. 3.10);

5) обернені тригонометричні: y = arcsinx (рис. 3.6); y = arccosx (рис. 3.4); у = arctgx (рис. 3.5); у = arcctgx (рис. 3.11).

Рис. 3.10 Рис. 3.11

ф-ія - періодична, якщо існує число T=const таке що f(x+T)=f(x), для дов. х із області визн.

1) Якщо ф-ія y=f(x) - періодична, то ф-ія y=A*f(ax+b) теж періодична

причому T=T/A.

2) Якщо y=f1(x)+-f2(x), і періоди T1, T2, то Т=НСК(Т1,Т2).

Елементарна - ф-ія яка задана явно, за допомогою формули, що містить скінченне число арифметичних дій та суперпозицій основних елемен-тарних ф-ій.

Обмеженою знизу (зверху) називається функція (визначена на сегменті (Х)

M(x) xX:f(x)M (f(x)M)

Обмежена на множині-обмежена зверху і знизу.

Число М =sup(f(x)),якщо

1) xX f(x)M

2) >0 x₂X:f(x₂)>M-

Число М =inf(f(x)),якщо

1) xX f(x)M

2) >0 x₂X:f(x₂)<M+

2) Числова послідовність це закон чи правило, за яким кожному натура-льному числу n відповідає число

Символічно позначається .

Границя числової посл.

Число а-границя числ. посл. x_n, якщо {x_n-a}-н.м.

>0N:nN:{x_n-a}<

a-<x_n<a+

Послідовності, що мають певну властивість стійкості членів, яка виявляється в тому, що їх члени із зростанням стають дедалі ближчими до певного числа - збіжні, а число до якого наближаються її члени - границя відповідної послідовності.

Число А - називається одиницею числової послідовності, якщо для будь-якого Е>0,яким би малим воно не було, можна визначити такий номер N, що нерівність |A-an|<E виконується для всіх n>N. Те, що означена границя числової послідовності має свою границю А записується:

Про послідовність, яка має границю будемо говорити, що вона збігається. Геометрична інтерпретація границі послідовності така, якщо , то який би відрізок [A-E, A+E] (Е окіл.) ми не взяли всі члени послідовності {an} починаючи з деякого номера N залежить Е. (N=NE). границею є О Е = 1/1000, N = 1000, що для всіх n>N маємо нерівність |0 - an|<E. Нехай n = 1002

Якщо послідовність границі немає, то вона розбігається.

Границя функції в точці

f(x) визначена на Х.

Коші:

Гейне:

Ці два визначення еквівалентні

Доведення:

нехай x_n=1/2n 0,n

f(x_n)=cos(2n)=1

f(x_n)=cos(/2+n)=sinn=0



Границя функції на нескінченності та нескінченна границя

1)

2)

Однобічна границя: (ліва)

Якщо функція у = f(х) має границею числа А1, лише при умові, що x>x0 зліва, то використовують такий запис:

,

а число А1 називають однобічною границею функції у = f(x) зліва. Якщо число А2 є границею функції у =f(х) при х>х0 справа, то використовують запис:

,

а число А2 називають однобічною границею функції у = f(х) справа. Цi границі функції називають однобічними.

Для існування границі А функції f(х) i точці х0 необхідно і достатньо, щоб існували в цій точці границі функції зліва та справа і щоб вони були рівні, тобто А1 = А2 = А.

3) Неск. малі і великі функції

Функція н. м., якщо її границя =0.

Зауваження 1:

Для неск. малих функцій властива неск. кількість елементів.

Зауваження 2:

Якщо функція має границю в т. а, тоді в деякому околі цієї точки

f(x)=A+a(x).

Неск малі функції:

1) с<>0, функції мають один порядок.

2) 0 тоді а(х)-неск мала вищого порядку.

3) 1 - еквівалентні

4) 1 -непорівнені

Зміна величина х називається нескінченно малою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого, абсолютна величина змінної х стає і залишається менше будь-якого, скільки завгодно малого, наперед загаданого додаткового числа , тобто |х| < .

Нескінченно малі величини найчастіше позначають літерами .

Розглянемо деякі властивості нескінченно малих величин.

Теорема 1. Алгебраїчна сума будь-якого скінченого числа нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Теорема 2. Добуток обмеженої величини на нескінченно малу величину є величина нескінченно мала.

Наслідок 1. Добуток постійної величини на нескінченно малу є величина нескінченно мала.

Наслідок 2. Добуток скінченної кількості нескінченно малих величин є величина нескінченно мала.

Змінна величина х називається нескінченно великою, якщо в процесі її зміни наступить такий момент, починаючи з якого абсолютна величина х стає і залишається більше будь-якого, скільки завгодно великого, наперед загаданого додатного числа N , тобто |x| > N.

Між нескінченно великими і нескінченно малими величинами існує простий зв'язок: якщо х нескінченно велика величина, то - нескінченно

мала, і навпаки, якщо у - нескінченно мала і у 0, то буде нескінченно великою величиною.

4)Теореми про границі функцій

Теорема 1. Нехай послідовності (х_п) і (у_п) мають відповідно границі а і b. Тоді послідовність (x_n+y_n) має границю а + b.

Теорема 2. Нехай послідовності (х_п) і (у_п) мають відповідно границі а, b. Тоді послідовність (х_п * у_п) має границю, яка дорівнює а * b, тобто

Теорема 3. Нехай послідовності (х_п) і (у_п) мають скінченні границі, які відповідно дорівнюють , причому . Тоді послідовність має скінченну границю, яка дорівнює

Теорема 4 (Вейєрштрасса). Зростаюча або спадна обмежена послідовність має границю.

Теорема 5. Якщо послідовність (х_п) має границю а, то ця границя єдина.

5) Перша чудова границя

Возьмем круг радиуса 1, обозначим

радианную меру угла MOB через Х.

Пусть 0 < X < р/2. На рисунке |АМ| = sin x, дуга МВ численно равна центральному углу Х, |BC| = tg x. Тогда

Разделим все на и получим:

Т.к. , то по признаку существования пределов следует .

6) Друга чудова границя

Пусть х>?. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами:

Если x>?, то n>?, тогда

По признаку о существовании пределов:

7) Неперервність функції в точці

Нехай функція y = f (x) визначена в точці х0 і в деякому околі цієї точки. Функція y = f (x) називається неперервної в точці х0, якщо існує межа функції в цій точці і він дорівнює значенню функції в цій точці:

Це означає:

- Функція визначена в точці х0 і в її околі;

- Функція має межу при х > х0

- Межа функції в точці х0 дорівнює значенню функції в цій точці, тобто виконується рівність.

Це означає, що при знаходженні межі неперервної функції f (x) можна перейти до межі під знаком функції, тобто у функції f (x) замість аргументу х підставити граничне значення х0

Точки розриву функції - це точки в яких порушується неперервність функції.

Точка розриву х0 називається точкою розриву 1 роду функції y = f (x), якщо в цій точці існують скінченні межі функції зліва і справа (односторонні межі)

Функція називається неперервною на відрізку ] ; [ b a , якщо вона неперервна в інтервалі

) ; ( b a та неперервна справа в точці a x ѓ­ і неперервна зліва в точці b x ѓ­ .

Теорема 1. (Вейєрштрасса) Ѓ›

Неперервна на відрізку функція обмежена на цьому відрізку. Ѓњ

Теорема 2. (Вейєрштрасса) Ѓ›

Якщо функція ) (x f неперервна на відрізку ] ; [ b a , то серед її значень на цьому

відрізку існує найменше і найбільше значення.

Теорема 3. (Больцано-Коші) Ѓ›

Якщо функція ) (x f неперервна на відрізку ] ; [ b a і якщо значення цієї функції на

кінцях цього відрізка протилежні за знаком, то існує принаймні одна точка ); ( b a c „Ў,

значення функції в якій дорівнює нулю: 0 )

Теорема 4. (Больцано-Коші) Ѓ›

Якщо функція ) (x f неперервна на відрізку ] ; [ b a і ) ( ) ( b f a f „j , то для будь-якого

числа A , що знаходиться між числами ) (a f і ) (b f , існує точка ) ; ( b a c „Ў така, що A c f ѓ­ )

8) Аргумент, функція, похідна

Різниця між двома аргументами називається приростом аргументу.

Приростом функції називається різниця між двома значеннями функції. Нехай в деякому околі точки x₀ визначена функція f. Якщо ми візьмемо довільне число x в цьому околі, то приріст аргументу (позначається Дx) в цьому випадку визначається як x?x₀, а приріст функції (Дy) -- як f(x)?f(x₀). Тоді, якщо існує границя , то її звуть похідною функції f в точці x₀. Похідною функцією даної функції називається функція, що в будь-якій точці області визначення дорівнює похідній даної функції в цій точці.

Фізичний зміст похідної

Похідна від шляху за часом дорівнює миттєвій швидкості руху матеріальної точки.

Геометричний зміст

Значення похідної f'(x₀) функції f у точці x₀ дорівнює значенню кутового кофіціента дотичної до кривої y = f(x) у точці з абсцисою x₀. Рівняння дотичної до кривої y = f(x) у точці M(x₀,y₀) має вигляд:

y=fм(x)=tga

Приклад знаходження похідної за означенням. Нехай є функція y=c, де c -- деяка константа. Тоді при будь-якому x0 та при будь-якому Дx зміна (приріст) функції дорівнюватиме нулю, отже і похідна такої функції дорівнюватиме нулю.

9) Правила диференціювання

Операція знаходження похідної від даної функції називається диференціюванням цієї функції. Доведемо ряд теорем, які дають основні правила знаходження похідних від функцій.

Похідна від суми.

Теорема. Якщо функції в точці мають похідні, то функція також в цій точці має похідну і ця похідна дорівнює

. (6.16)

Похідна від суми скінченого числа функцій дорівнює сумі похідних від цих функцій, якщо похідні даних функцій існують,

Пусть U(х) и V(х) дифференцируемы в точке х.

(U(x) + V(x))` = U`(x) + V`(x)

(U(x) * V(x))` = U`(x) * V`(x) + V`(x) * U`(x)

(C*U(x))` = CU`(x), C - const

(U(x) / V(x))` = [U`(x) * V(x) - V`(x) * U(x)]/ V²(x)

Похідна складеної ф-ії

Ф-ія f(t) визначена на множині Т, а ф-ія t=g(x) визначена на множ. Х.

Доведення.

Надамо т. x0 приросту , так, щоб Тоді ф-ія t=g(x) одержить в т. х0 приріст t, який дорівнює g(x0+x)-g(x0)=t. Одержане значення t будемо розглядати як приріст аргументу t в т. t0. Тоді ф-ія f(t) в т. t0 одержить приріст

Це є приріст складеної ф-ії в т. х0.

1) Оскільки ф-ія f(t) диференційовна в т. t0 то за т. про приріст ф-ії що має похідну:

2) Оскільки існує похідна ф-ії g в

т. х0 то за необхідною умовою існування похідної, ф-ія g(x) в т. х0 неперервна. Звідси за означ. неперервності ф-ії в т. на мові приростів маємо

Розглянемо відношення

Переходячи до границі при х0, маємо:

Що і треба було довести.

Похідна оберненої ф-ії

Т. Якщо існує похідна прямої ф-ії в т. х0 і вона 0, тоді буде існувати похідна оберненої ф-ії x=g(y) в т. y0=f(x0), -

Доведення.

Надамо точці х0 приросту х так щоб (х+х) Х, тоді ф-ія y=f(x) набуває в т. х0 приросту y=f(x0+x)-f(x0).

Розглянемо відношення Оскільки за умовою існує похідна ф-ії в т. х0, то за необхідною умовою існування похідної

Перейдемо в рівнянні (1) до границі

C` = 0, C - const.

x` = 1

(x^б)` = б x^б - ¹, б Є R

(a^x)` = a^x lnx, a>0 , a?1

(ln x)` = 1/x

(sin x)` = cos x

(cos x)` = - sin x

(tg x)` = 1/(cos x)²

(ctg x)` = - 1/(sin x)²

(arcsin x)` = 1/²)

(arccos x)` = - 1/²)

(arctg x)` = 1/(1 + x²)

(arcctg x)` = - [1/(1 + x²)]



10) Операція знаходження похідної називається диференціюванням

Диференціал функції y = f (x) в точці х називається головна частина її приросту, рівна добутку похідної функції на приріст аргументу, і про-значущих dy (або df (x)).

Інакше. Диференціал функції дорівнює добутку похідної цієї функції на диференціал незалеж-Сімою змінної.

Геометричний зміст диференціала

Диф.ф. в т.дорівнює приросту ординати дотичної проведеної до графіка функції в цій т.

Похідні вищих порядків

Похідною n-го порядку називається похідна від похідної n-1 порядку.

Властивості похідних вищих порядків

Якщо ф-ї U=U(x) та V=V(x) мають в т. х похідні n-го порядку, то ф-ї UV, CU, UV теж мають похідні n-го порядку.

11) Похідна неявної ф-ії

Якщо існує неперервна ф-ія однієї змінної y=f(x) така, що відповідні пари (x;y) задовольняють умову F(x;y), тоді ця цмова називається неявною формою ф-ії f(x), сама ф-ія f(x) називається неявною ф-ією, яка задовольняє умову F(x;y)=0.

Припустимо, що неперервна ф-ія y=f(x) задана в неявній формі F(x;y)=0 і що Похідна знаходиться за формулою:

Аналогічно частинні похідні ф-ії двох незалежних змінних z=f(x;y), яка задана за допомогою рівняння F(x;y;z)=0 де F(x;y;z) - диференційовна ф-ія змінних x,y,z, можуть бути обчислені за формулами:

за умови, що

Похідна ф-ії заданої параметри-чними рівняннями

Нехай задані дві ф-ії від одної змінної:

Припустимо, що ф-ія строго монотонна і неперервна, тоді ф-ія х буде мати обернену Ф(х)

y=(Ф(х)).Тобто у - складена ф-ія від від х.

12) Теорема Ферма

Якщо ф-я диф. в деякому околі

т. х₀ і досягає в ній екстремума, то похідна = 0.

Доведення:

Нехай ф. досягає в екстремума в т. х₀, тоді існує окіл т. х₀, такий, що

для х околу знач. ф.

y=f(x)-f(x₀)<0



Оскільки f`(x<sub>0</sub>), то f`(x+0₀)

f`(x<sub>0</sub>-0), та f`(x+0₀)=f`(x₀-0)

=> f`(x₀)=0 (що й треба дов.)

Теорема Ролля

Нехай f(x) неперер. на [a,b] і диф. на (a,b),

а(ф)=а(и)б тоді с хфбиъЖаэ(с)=0ю

Доведення:

за 2-ю теор. Вейєрштрасса вона досягає inf (m) i sup (M), тоді:

1) Ь=ь =Ю а(ч)-сщтые =Ю аэ(ч)=0

2) M>m f(a)=f(b) => M

чи m внурішній частині сегмента, тоді за теор. Ферма f`(x)=0.

Пусть ф-ция f(x) удовл. сл. усл.

А)Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) принимает на коцах отрезков равные значения f(a)=f(b), тогда на (a,b) т-ка такая что f`(c)=0, т.е. с-крит. т-ка.

Док-во. Р-рим сначала, тривиальный случай, f(x) постоянная на [a,b] (f(a)=f(b)), тогда f`(x)=0 x (a,b), любую т-ку можно взять в кач-ве с. Пусть f const на [a,b], т.к. она непрер. на этом отрезке, то по т-ме Вейерштрасса она достигает своего экстрем. на этом отрезке и max и min. Поскольку f принимает равные знач. в гранич. т-ках, то хотя бы 1- экстр. - max или min обязательно достигается во внутр. т-ке. с(a,b) (в противном случае f=const), то по т-ме Ферма, тогда f`(c)=0, что и требовалось д-ть.

Теорема Ла-Гранжа

Нехай f(x) неперер.на [a,b] і диф. на (a,b), тоді

с(a,b): f`(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Доведення:

Введем допоміжну ф-ю:

вона задовольняє умови теор. Ролля

1) непер. на [a,b]

2) диф. на (a,b)

3) (a)=(b)=0

тоді

с(a,b): `(c)=0

`(x)=f`(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)

`(c)=f`(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)

f`(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)

Пусть ф-ция f(x) непрер. на отрезке [a,b] и диф. на интервале (a,b), тогда т. х и x+?x ? [a,b] ? т-ка С лежащая между х и х+?х такая что спаведлива ф-ла (f(x+?x)-f(x))=f(c)??x (7) => при сравнении с ф-лой приращения ф-ций с диф. заметим, что (7) явл. точной ф-лой, однако теперь пр-ная фолжна считаться в некоторой средней т-ке С «алгоритм» выбора которой неизвестен. Крайнее значение (a,b) не запрещены.

Придадим ф-ле (7) классический вид

=> x=a x+?x=b+>

тогда ф-ла (7)

=(f(b)-f(a))/(b-a)=f`(c) (7`)

- ф-ла конечных приращений Логранджа.

(f(b)-f(a))/(b-a)=f`(c) (1)

Док-во сводится к сведению к т-ме Ролля. Р-рим вспом. ф-цию

п(ч)=а(ч)-а(ф)-(а(и)-а(ф)).(и-ф) ? (ч-ф)

Пусть ф-ция g(x) удовл. всем усл. т-мы Ролля на [a,b]

А) Непрерывна на [a,b]

Б) Дифференц. на (a,b)

В) g(a)=g(b)=0

Все усл. Ролля соблюдены, поэтому ? т-ка С на (a,b) g`(c)=0 g`(c)=f`(x)-(f(b)-f(a))/(b-a). Ф-ла (1) наз-ся ф-лой конечных приращений.

Теорема Коші

Нехай f(x),g(x) неперер.на [a,b] і диф. на (a,b), g(x)0 x(a,b), тоді

g(b)=g(a),тоді ф-я задав. умови теор. Ролля => (a,b): g()=0, це суперечіть умові => g(b)-g(a)0.

Введем допоміжну ф-ю:

вона задовольняє умови теор. Ролля

1) непер. на [a,b]

2) диф. на (a,b)

3) (a)=(b)=0

тоді с(a,b): `(c)=0

13) Правило Лапіталя

Рассмотрим способ раскрытия неопределенностей 0 / 0 и ? / ?, который основан на применении производных.

Правило Лапиталя, при 0 / 0.

Пусть функции f(x) и ц(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ и обращается в нуль в этой точке: .

Пусть ц ?(x) ? 0 в окрестности точки x₀

Если существует предел

, то

Применим к функциям f(x) и ц(x) теорему Коши для отрезка [x₀;x], лежащего в окрестности точки x₀ , тогда

,

где с лежит между x₀ и х.

Размещено на http://www.allbest.ru/

При x>x₀ величина с также стремится к х₀; перейдем в предыдущем равенстве к пределу:

Так как

, то .

Поэтому

(предел отношения двух бесконечно малых равен пределу отношения их производных, если последний существует)

Правило Лопиталя, при ? / ?.

Пусть функции f(x) и ц(x) непрерывны и дифференцируемы в окрестности точки x₀ (кроме точки x₀), в этой окрестности

Если существует предел

, то

Неопределенности вида 0•? ; ?-? ; 1^? ; ?⁰ ; 0⁰ сводятся к двум основным.

Например, 0•?

Пусть f(x)>0, ц(x)>? при х>х₀

функція рівняння інтегральний диференціальний

14) Функція спадає на множині , якщо для будь-яких x₁ і x₂ з множині , таких, що x₂ > x₁, виконується нерівність .

Функція зростає на множині , якщо для будь-яких x₁ і x₂ з множині , таких, що x₂ > x₁, виконується нерівність .

Інтервали, на яких функція зростає (спадає), називаються інтервалами монотонності функції. Згідно з доведеним, у диференційованої функції на інтервалі зростання , на інтервалі спадання . Якщо похідна функції неперервна, то розділяти інтервали монотонності можуть лише точки, в яких , оскільки зміна знаку неперервної функції можлива лише при переході через її нуль. Точка, в якій , називається точкою стаціонарності функції . Зауважимо, що кожна точка стаціонарності розділяє інтервали монотонності (наприклад, функції і мають точку стаціонарності; ця точка для розділяє, а для не розділяє інтеграли монотонності похідної функції , то інтервали монотонності можуть розділяти не лише точки стаціонарності . Наприклад, для точка розділяє інтервали монотонності, в цій точці і похідна функції не існує. Обмежимося розглядом функцій, диференційованих скрізь, крім, можливо, скінченого числа точок, в їх областях визначення і які мають не більше скінченого числа точок стаціонарності. Якщо функція розглянутого класу, то доводиться, що її інтервали монотонності розділяються або точками стаціонарності , або точками, в яких похідна функції не існує. Але ж не кожна така точка буде розділяти інтервали монотонності (рис. 6.11).

Точка x₀ називається точкою мінімуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x₀ виконана нерівність

Означення. Точка x₀ називається точкою максимуму функції f, якщо для всіх x з деякого околу x₀ виконана нерівність Для точок максимуму і мінімуму функції прийнята загальна назва -- їх називають точками екстремума. Значення функції в цих точках називають відповідно максимумами і мінімумами функції

Необходимое условие экстремума

Если ф-ция f(x) имеет в т.х₀ лок экстремум и диф-ма в этой точке, то производная ф-ции в этой точке =0.

F(x) диф-ма в т х₀ f'(x₀)=0 - ?

Док-во: пусть ф-я имеет в т х₀ максимум. Она диф-ма в т => в этой т сущ конечная пр-ная.

Дx= x-x₀

f(x)-f(x₀)<0, x<x₀=>(f(x)-f(x₀))/Дx<0

x>x₀ (f(x)-f(x₀))/Дx<0

Т.к. одностор произв-е должны быть равными между собой, следует что f'(x₀)=0

Равенство нулю произв-й в точке явл необходимым, но недостаточн для сущ-я экстремума ф-и в этой точке.

Первое достаточное условие экстремума.

Х₀- т возмлжного экстремума и f(x)-диф-ма в некот окрестн х₀

Тогда, если при переходе через х₀ слева направо пр-я ф-ции меняет знак с «+» на «-», то ф-я имеет в этой точке максимум. Если с «-»на «+», то мимнимум. Если знак не меняется, то ф-я в этой точке экстремума не имеет.

Док-во:

1)х<х₀, f'(x)>0 по формуле Лангранжа:

а(ч₀)-а(ч)=аэ(о)(ч₀-ч) оє(чбч₀)

F(x₀)-f(x)>0, f(x)<f(x₀)

x>x₀ f'(x)<0 f(x)-f'(x₀)=f'(о)(x-x₀), оє(x₀,x)

f(x)-f(x₀)<0 => f(x)<f(x₀)

из подчёркнутых неравенств следует, что ф-я f(х) имеет в т х₀ максимум.

2) аналогично доказ и второе утверждение.

3) чБч₀ аэ(ч)Ю0 а(ч₀)-а(ч)=аэ(о)(ч₀-ч) оє(чбч₀)

F(x₀)-f(x)>0 => f(x)<f(x₀)

x>x₀ f'(x)>0 f(x)-f'(x₀)=f'(о)(x-x₀), оє(x₀,x) f(x)-f(x₀)>0 => f(x)>f(x₀)

из подчеркнутого следует, что ф-я возрастает и справа и слева от точки.

Второе достаточное условие экстремума.

Пусть в т х₀ (точка возможног экстремума) сущ вторая произвдная

Если f''(x₀)<0, max, f''(x₀)>0, min



F'(x)>0, x-x₀<0, f'(x)<0, x-x₀>0

х₀- точка максимума

аналогично для мимнимума.

Третье достаточное условие экстремума.

Пусть f(x) n раз диф-ма в некот окрестности т х₀ и n-1раз диф-ма в самой точке.

F'(x₀)=f''(x₀)-f⁽ⁿ⁾(x₀)=0 f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)?0

N=2k-1 kєN

Тогда в точке х₀ ф-я принимает екстремума, min f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)<0-max.

Док-во:

Нехай n?3, а f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)>0

це означає, що в околі т. х₀ ф-я зростає.

f⁽ⁿ⁾(x)<0, при x<x₀

f⁽ⁿ⁾(x)>0, при x>x₀

c(x,x₀) або с(х₀,х)

(х-х₀)^n-1 >0

Тоді f'(x) та f''(x) мають один знак

f(x)<0, при x<x₀

f(x)>0, при x>x₀

Приклад:

y=x⁴

y'=4x³=0 => x₀=0

y⁽⁴⁾=24

y'(0)=y''(0)=y'''(0)=0

y⁽⁴⁾=24>0

Отже х₀ - min.

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба:

1) знайти стаціонарні точки даної функції (для цього слід розв'язати рівняння , причому з його коренів вибрати тільки дійсні і ті, які є внутрішніми точками області існування функції).

2) знайти точки, в яких похідна не існує (функціяв цих точках існує);

3) у кожній критичній точці перевірити зміну знака похідної першого порядку.

Щоб дослідити функцію на екстремум, треба знайти:

1) стаціонарні точки заданої функції

2) похідну другого порядку в стаціонарній точці.

3) якщо то в цій точці функція має максимум, якщо мінімум

15)

1. Нехай на відрізку задана неперервна функція , яка за теоремою Вейерштрасса на даному відрізку сягає свого найбільшого і свого найменшого значення. Проте теорема Вейерштрасса не дає способу знаходження тих точок відрізка, в яких функція дорівнює своєму найбільшому (найменшому) значенню. Теорема тільки стверджує, що такі точки існують. Це можуть бути як внутрішні точки відрізка, так і його кінці. Щоб знайти найбільше (найменше) значення неперервної функції на відрізку , треба знайти максимуми і мінімуми і порівняти їх із значеннями функції, яких вона набуває на кінцях відрізка. Найбільше (найменше) число серед утвореної множини і буде найбільшим (найменшим) значенням функції, заданої на відрізку .

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції

на відрізку.

Розв'язок. Знаходимо стаціонарні точки. Для цього обчислимо похідну

Прирівнюючи цю похідну до нуля і розв'язуючи рівняння дістаємо стаціонарні точки Точок, в яких похідна не існує, немає.

Обчислимо значення функції в точках (ці точки належать відрізку), а також на кінцях відрізка, тобто в точках. Маємо

Отже, найбільше значення становить , найменше -

Щоб знайти найбільше (найменше) значення функції замкненій області , потрібно знайти значення функції у всіх критичних точках і порівняти їх з найбільшими (найменшими) значеннями функції на границях області: найбільше і найменше із цих значень і буде найбільшим і найменшим значенням функції в даній області.

Приклад. Знайти найбільше і найменше значення функції

в трикутнику (рис. 6.14), обмеженому прямими

Знайдемо критичні точки функції:

;

У критичній точці функція приймає значення

.

Дослідимо поведінку функції на границях області.

На прямих і. На прямій ця функція є функцією однієї змінної, оскільки;

.

Знайдемо найбільше і найменше значення функції на відрізку:

Критична точка. В цій точці . На кінцях відрізка . Отже, функція досягає найбільшого значення в точці , а найменшого - в точці . Найбільше значення , найменше значення .До знаходження відповідно найбільшого чи найменшого значення певної функції зводиться цілий ряд практичних задач.

16) Напрям опуклості графіка функції

f(x)- диференційовна на (a,b) => в точці дотична на парал. OY.

Графік f(x) опуклий вниз(вгору) на (a,b), якщо він розташований не нижче (не вище) своєї дотичної.

Теорема:

Нехай функція f(x) двічі диференційована на (a,b). Якщо x(a,b)

f''(x)0 (f''(x) 0)

то графік функції опуклий вниз (вгору).

Доведення:

x(a,b) f''(x)0

Зробимо деякі геометричні побудови.

x(a,b), xс

MB-дотична.

MD||CX

AN=y, AB=Y, AD=f(c)

y-Y0

Одержимо рівняння дотичної



BD/MD=tgBMD =(Y-f(c))/(x-c)=

f'(c) => Y=f(c)+f'(c)(x-c) (1)

Розкладемо f(x) в околі т. x=c за ф. Тейлора:

Y=f(x)=f(c)+(f'(c)(x-c))/1!+

+(f''()(x-c)²)/2! (2)

З (1) та (2) => y-Y=(f''()(x-c)²)/2!0

=> y-Y0

Точки перегину

Означення:

Точкою перегину називається точка х₀, якщо:

1) в т. х₀ f(x) є диференційовною

2) при переході через х₀ графік зміноє напрям опуклості на протилежний.

Теорема 1:(необхідна умова)

Якщо графік ф-ції має перегин при х=х₀, то 2-а похідна =0 або не .

Теорема 2:(1-а дост. умова)

Нехай виконані умови:

1) y=f(x) двічі диф. в деякому околі т. х_0.

2) f'(x) - cкінченна або нескінченна.

3)При переході через х₀ f''(х) змінює знак на протилежний.

Тоді графік ф. y=f(x) в т. M(х₀,f(х₀)) має перегин.

Теорема 3:(2-а дост. умова)

Нехай виконані умови:

1) f''(x)=0

2) f'''(x)0



Тоді графік ф. y=f(x) в т. M(х₀,f(х₀)) має перегин.

Теорема 4:(3-а дост. умова)

Нехай виконані умови:

1) f(x) n-раз диф. в деякому околі т. х_0. f(x) n+1 -раз диф. в т. х_0.

2) f''(x₀)=f'''(x₀)=…=f⁽ⁿ⁾(x₀)=0

f⁽ⁿ⁺¹⁾(x₀)0

3) n=2k, kN

Тоді графік ф. y=f(x) в т. M(х₀,f(х₀)) має перегин.

Наочне уявлення про хід зміни функції дає її графік, тому його побудова повинна бути заключним етапом дослідження функції, в якому мають використовуватися всі результати її дослідження. Для зручності дослідження функції рекомендуємо вести в деякій певній послідовності.

1. Знайти область існування функції. Це дає змогу визначити ті точки осі абсцис, над якими пройде чи не пройде графік функції.

2. Знайти точки перетину графіка з координатними осями. Для цього треба розв'язати дві системи рівнянь

Перша система дає точки перетину з віссю, друга - з віссю

3. Дослідити функцію на періодичність, парність і непарність. Розв'язання цього питання полегшить побудову графіка в тому розумінні, що її доведеться виконувати не в усій області існування функції, а тільки в її частині. Так, якщо - періодична функція з періодом, то графік достатньо побудувати на відрізку числової осі, довжина якого дорівнює, а потім цю частину графіка повторити на кожному відрізку довжини. Якщо функція парна, то графік функції симетричний відносно осі, якщо не тільки при, а потім симетрично відобразити і на від'ємні.

4. Знайти точки розриву функції та дослідити їх характер. Це допоможе встановити вигляд графіка функції поблизу цих точок.

5. Знайти значення функції на кінцях відрізків, де визначена функція. Якщо область існування функції є інтервал (півінтервал) або кілька інтервалів (півінтервалів), то треба знайти граничне значення функції, коли наближається до одного з кінців розглядуваних проміжків.

6. Визначити інтервали монотонності функції.

7. Знайти екстремальні точки і побудувати їх на площині.

8. Знайти інтервали вгнутості та опуклості кривої, яка є графіком функції.

9. Знайти точки перетину і побудувати їх на площині.

10. Знайти асимптоти графіка функції.

11. Побудувати графік функції.

Приклад. Дослідити функцію та побудувати її графік

Розв'язок

1. Оскільки задана функція дробово-раціональна, то вона не існує в точках, де знаменник дорівнює нулю: звідки .

Отже, область існування є об'єднання множин .

2. Нехай, тоді. Нехай, тоді. Отже, графік перетинає координатні осі в точці, тобто графік проходить через початок координат.

3. Функція не періодична. Проте вона є непарною, тому розглядатимемо тільки.

4. Чисельником і знаменником є многочлени, неперервні на всій числовій осі. Тому точкою розриву при є тільки одна точка. Дослідимо її характер. Знайдемо односторонні границі

Отже, є точка розриву другого роду; пряма є вертикальною асимптотою.

5. Досліджуємо функцію на кінцях проміжків, вона визначена. В точці ми її дослідили, тепер знайдемо

6. Обчислимо

.

Розв'яжемо нерівність

Звідси, в інтервалі функція зростає, а в інтервалах - спадає.

7. Знайдемо екстремальні точки. Розв'яжемо рівняння

,

звідки матимемо стаціонарні точки.

При переході через точку похідна знака не змінює, а при переході через точку - змінює знак “-” на “+”. Тому не є екстремальною точкою, а є точкою мінімуму:

8. Знаходимо інтервали вгнутості та опуклості графіка функції

.

Розв'яжемо нерівність :



Ця нерівність справджується при. Отже, в інтервалі крива вгнута, а в інтервалі - опукла.

9. Знаходимо точку перегину. Для цього розв'язуємо рівняння:

, звідки

При проходженні через точку похідна змінює знак “+” на “-”. Точка є точка перегину.

10. Знаходимо похилі асимптоти:

;

Отже,

Рівняння похилої асимптоти: .

11. Будуємо графік функції (рис.6.22).

17) Означення ф-ії багатьох змінних

Якщо кожній точці Р(х₁, х₂,..., х_n) множини D n-вимірного простору поставлено у відповідність з деяким законом одне і тільки одне число z E R, то кажуть, що в області D Rⁿ задано функцію n незалежних змінних z=f(x₁, x₂,…, x_n). При цьому D називають областю ф-ії, Е- областю значень ф-ії. Визначення. Значення змінних, на яких задається функція , називають допустимими значеннями змінних.

Визначення. Значення змінних, при яких алгебраїчний вираз має смисл, називають допустимими значеннями змінних. Множину всіх допустимих значень змінних називають областю допустимих значень змінних .

Визначення. Областю визначення рівняння називають множину всіх тих значень зміної x, при яких алгебраїчні вирази і одночасно мають смисл. Якщо функція задана формулою, то область визначення складається зі всіх значень незалежної змінної, при яких формула має смисл.

Часткова похідна (частинна похідна) функції кількох змінних -- це похідна по одній із змінних, причому інші змінні приймаються як аргументи.

Як і звичні похідні, часткова похідна означається як границя. Нехай U -- відкрита підмножина функції Rⁿ та f: U > R. Частковою похідною функції f в точці a = (a₁, ..., a_n) ? U за i-ю змінною x_i є

Навіть якщо всі часткові похідні ?f/?x_i(a) в точці a існують, функція не обов'язково є в ній неперервною. Та якщо всі часткові похідні існують в околі точки a і є в ньому неперервними, то f є диференційовною в цьому околі і повна похідна є неперервною. В такому разі кажуть, що f належить простору функцій C¹. Цей факт можна використати для узагальнення в простір векторних функцій (f : U > R^m), покомпонентно вибираючи аргумент. Часткову похідну можна розглядати як іншу функцію на області U і частково диференціювати ще раз. Якщо всі мішані часткові похідні другого порядку неперервні в точці (чи проміжку), кажуть, що f в точці (або на проміжку) належить простору функцій C²; за таких умов часткова похідна може бути замінена за теоремою Клеро:

18) Поняття первісної

Означення: Функція F(x) називається первісною для ф-ії f(x) на проміжку І, якщо на цьому проміжку F`(x)=f(x) або dF(x)=f(x)dx.

Із означення виходить, що первісна F(x) - диференційована, а значить неперервна функція на проміжку І, і її вигляд суттєво залежить від проміжку, на якому вона розглядається.

Невизначений інтеграл. Задача інтегрування

Означення: Операція знаходження первісних для ф-ії f(x) називається інтегруванням.

Задача інтегрування функції на проміжку полягає в тому, щоб знайти всі первісні функції на цьому проміжку. Для розв'язання задачі інтегрування функції достатньо знайти одну будь-яку первісну на розглядуваному проміжку, наприклад F(x), тоді (за теоремою про множину первісних) F(x)+С - загальний вигляд всієї множини первісних на цьому проміжку.

Властивості невизначеного інтеграла

Властивості, що випливають із означення невизн. інт:

І. похідна від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральній ф-ії:

ІІ. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює підінтегральному виразу.



ІІІ.

Властивості, що відображають основні правила інтегрування:

Метод безпосереднього інтегрування

В цьому методі використ. формула

варіанту заміни змінної, але саму змінну не записують (роблять усно) При цьому використовують операцію внесення ф-ії під знак диференціала.

Через це, якщо:

,

то:

Під знак диференціала можна вносити будь-який сталий доданок - значення диференціалу від цього не зміниться.

V. Сталий множник, що не дорівнює нулю, можна виносити з-під знака інтеграла.

V. Невизн. інтеграл від суми функцій дорівнює сумі невизначених інтегралів від цих функцій, якщо вони існують

19) метод замены переменной (метод подстановки)

Базируется на утверждении:

Пусть ф-я t=f(x) определена и диф на {x}, и пусть {t}--мн-во всех зн-й ф-ции. Пусть далее для g(t) на {t} сущ первообр равная: G(t)+C=?g(t)dt;

Тогда всюду на {x} для ф-ции g(f(x))f'(x) сущ первообр, равная G[f(x)] т.е.

?пха(ч)ъаэ(ч)вч=Пха(ч)ъ+Сю

Для док-ва восп. прав диф сложн ф-ции.

d(G(f(x)))/dx=G'(f(x))f'(x);

и учесть что G'(t)=g(t).Этот прием применим не ко всякому интегралу. Но в ряде случаев он существенно упрощает процедуру интегр.

Метод підстановки

Мета - перетворити інтеграл до такого вигляду, який простіше інтегрувати.

Теорема. Якщо f(x) - неперервна, а x=(t) має неперервну похідну, то:

Наслідок

20) Метод интегрирования частями

Основывается на утверждении:

Пусть кажд из ф-й u(x) и v(x) диф на множ. {x} и, кроме этого, на этом множ. сущ первообр для ф-ции v(x)u'(x). Тогда сущ и первообр для u(x)v'(x), при чем справедливо:

?г(ч)мэ(ч)вч=г(ч)м(ч)-?м(ч)гэ(ч)вчю

Можно записать ф-лу в виде: ?udv=u(x)v(x)- ?vdu.

Для док-ва возьмем ф-лу производной произведения, домножим на dx, и возьмем интеграл от прав и лев части. Получим необходимое.

Ф-ла сводит вопрос о нахождении ?vdu к нахождению ?udv. В ряде опред случаев ?udv вычисляется без труда.

Інтегрування частинами

Теорема: Якщо функції u(x) та v(x) мають неперервні похідні, то:

На практиці ф-ії u(x) та v(x) рекомендується вибирати за таким правилом: при інтегруванні частинами підінтегральний вираз f(x)dx розбивають на два множники типу udv, тобто f(x)dx=udv; при цьому ф-ія u(x) вибирається такою, щоб при диференціюванні вона спрощувалася, а за dv приймають залишок підінтегрального виразу, який мітить dx, інтеграл від якого відомий, або може бути просто знайдений.

Деякі типи інтегралів і їх заміни:

v(x):

де Р(х) - многочлен, Q(x) - алгебраїчна ф-ія.



21) Інтегрування тригонометричних функцій

Розглянемо R(sin x,cos x)dx, де R - раціональна ф-ія відносно sin, cos, тобто над sin, cos викон. лише арифметичні дії та піднесення до цілого степеня. Існують такі підстановки, що за їх допомогою інтеграл R(sinx,cosx)dx завжди може бути зведений до інтеграла від раціональної ф-ії R*(t)dt, загальна схема інтегрування якої розроблена.

1) Універсальна тригонометрична підстановка . На практиці універсальну тригонометричну підстановку використовують, якщо sin x, cos x входять в невисокому степені, інакше підрахунки будуть складні.

2) Підінтегральна ф-ія - непарна відносно sin x, тоді роблять підстановку cos x = t.

3) Підінтегральна ф-ія - непарна відносно cos x раціоналізується за допомогою підстановки sin x = t.

4) Підінтегральна ф-ія R(sin x, cos x) - парна по sinx, cosx сукупно, тобто R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx). В цьому випадку використовують підстановку tgx=t або ctgx=t.

5) Підінтегральна ф-ія R(tgx) раціоналізується підстановкою tgx=t.

В інтегралах sin²ⁿxcos^2mxdx рекомендується скористатися формулами зниження степеня.

22) Інтегрування раціональних ф-ій

Означення: Відношення двох многочленівназивається раціональним дробом.

Означення: Раціональний дріб правильний, якщо степінь многочлена в чисельнику менший степеня многочлена в знаменнику, тобто n<m. Якщо ж nm, то дріб неправильний.

Найпростіші раціональні дроби (4 типи):

1. 2. 3. 4.

де k2, kN, D=p²-4q<0

23)Теорема: Будь-який правильний раціональний нескоротний дріб можна представити у вигляді скінченого числа найпростіших дробів використовуючи такі правила:

1) Якщо Q_m(x)=(x-a)^kg_m-k(x), то:

3) Якщо Й_ь(ч)=(ч²+зч+й)^лп_ь-2л(ч)б тоЖ

де А_і, В_і, - деякі коефіцієнти, та правильні раціональні дроби.

Методика інтегрування раціональних ф-ій:

1. Якщо підінтегральна ф-ія - неправильний раціональний дріб, то за допомогою ділення його розкладають на суму многочлена і правильного раціонального дробу.

2. Знаменник правильного раціон. дробу розкладають на множники. По вигляду знаменника, правильний раціон. дріб представляють у вигляді найпростіших дробів, використовуючи метод невизначених коефіцієнтів.

3. Інтегрують цілу частину і найпростіші дроби.



24) Поняття визначеного інтеграла

Означення: Якщо існує скінченна границя інтегральних сум S_n при _і0 і не залежить ні від способу розбиття [a;b] на частини х_і, ні від вибору точок _і, то ця границя називається визначеним інтегралом від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] і позначається:

За означенням, визначений інтеграл - число, яке залежить від типу ф-ії f(x) та проміжку [a;b]; він не залежить від того, якою буквою позначена змінна інтегрування.

Ф-ія, для якої на інтервалі існує визначений інтеграл називається інтегровною.

2. Властивості визначеного інтеграла

1) Якщо f(x)=c=const, то

2) Сталий множник можна виносити з-під знака визначеного інтеграла.

3) Якщо f₁(x) та f₂(x) інтегровні на [a;b], то:

4) Якщо у визначеному інтегралі поміняти місцями межі інтегрування, то інтеграл лише змінить свій знак на протилежний.

5) Визначений інтеграл з однаковими межами інтегрування дорівнює нулю.

6) Якщо f(x) - інтегровна в будь-якому із проміжків [a;b], [a;c], [c;b], то:

7) Якщо f(x)0 і інтегровна для x[a,b], b>a, то

8) Якщо f(x), g(x) - інтегровні та f(x)g(x) для x[a;b], b>a, то:

9) Якщо f(x) - інтегровна та mf(x)M, для x[a;b], b>a, то

10) (Теорема про середнє): Якщо ф-ія f(x) - неперервна для x[a;b], b>a, то знайдеться така точка x= c [a;b], що:

25) Поняття визначеного інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування, формула Ньютона-Лейбніца

Теорема: Якщо ф-ія f(x) неперервна для будь-якого x[a;b], то похідна від інтеграла із змінною верхньою межею інтегрування по цій межі дорівнює підінтегральній ф-ії від верхньої межі інтегрування, тобто:

Наслідки: 1) Визначений інтеграл із змінною верхньою межею від ф-ії f(x) є одна із первісних для f(x). 2) Будь-яка неперервна ф-ія на проміжку [a;b] має на цьому проміжку первісну, яку, наприклад, завжди можна побудувати у вигляді визначеного інтеграла із змінною верхньою межею.

Теорема (Ньютона-Лейбніца): Якщо ф-ія f(x) - неперервна для x [a;b], то визначений інтеграл від ф-ії f(x) на проміжку [a;b] дорівнює приросту первісної ф-ії f(x) на цьому проміжку, тобто:

де F'(x)=f(x)

Зв'язок між визначеним та невизначеним інтегралами можна представити такою рівністю:

Наслідок: Для обчислення визначеного інтеграла достатньо знайти одну із первісних підінтегральної ф-ії і виконати над нею подвійну підстановку.



26) Метод підстановки у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо: 1) f(x) - неперервна для x[a;b]; 2) ()=а, ()=b; 3) x=(t) та `(t) - неперервні для t [;]; 4) при t [;]x [a;b], то

Зауваження: При заміні змінної інтегрування у визначеному інтегралі змінюються межі інтегрування і тому нема потреби повертатись до початкової змінної.

27) Інтегрування частинами у визначеному інтегралі

Теорема: Якщо ф-ії u(x) та v(x) мають неперервні похідні для x[a;b], то

Нехай у прямокутній системі координат фігура обмежена кривими

Виділимо у фігурі смужку шириною. Її довжина дорівнюватиме. Тоді площа смужки

.

Звідси Отже,

Обчислимо тепер площу криволінійної трапеції у випадку, коли крива задана рівняннями в параметричній формі

Нехай рівняння визначають деяку функцію на відрізку а тому площа криволінійної трапеції може бути обчислена за формулою

Зробивши заміну в цьому інтегралі

і враховуючи, що

одержимо

Довжина дуги

Це питання для кривої, заданої рівнянням , вже розглядалося в п.9.1. Там була знайдена формула

Якщо крива задана параметрично, тобто у вигляді

то

Для просторової кривої, заданої параметрично

,

довжина дуги обчислюється за формулою

(10.11)

аналогічно формулі (10.10). Виведення цієї формули базується на розгляді елемента дуги, кінці якої збігаються з кінцями діагоналі паралелепіпеда, а саме, діагональ є хордою елемента дуги.

У випадку задання кривої в полярній системі координат матимемо

Пропонується вивести цю формулу, узявши до уваги, що рівняння кривої в полярних координатах можна записати як параметричні з параметром

q :

і використавши формулу

Приклад 1. Обчислити довжину кривої, заданої рівнянням .

Розв`язок: Досить обчислити довжину дуги, що обмежує зверху заштриховану на рис.10.7 фігуру, а потім помножити її на 8. Користуючись формулою (10.12), одержимо

28) Площа циліндричної поверхні

На рис. 10.10 зображено циліндричну поверхню з твірними, паралельними осі. Нехай ця поверхня задана рівняннями

Рис.9 Рис.10

Виділивши смужку так, як показано на рис. 10.10 , знайдемо її площу

(10.8)

Зауваження 1. При одержанні формул (10.1) - (10.2), (10.4) - (10.8) виділені елементи фігур вважалися прямокутниками (див. рис. 10.1, 10.4,10.5 ), сектором з центральним кутом ( рис. 10.2), тонким циліндричним шаром (рис. 10.3), що не вплинуло на остаточний результат, бо такі заміни реальних фігур здійснюються нехтуванням нескінченно малих величин вищих порядків. Цей факт можна було б строго довести.