Математичний аналіз

Приклад. Еліпс із великою піввіссю і малою піввіссю робить один оберт навколо великої осі і вдруге - навколо малої осі. Визначити поверхню обертання еліпса в кожному з двох випадків.

Розв`язок. Досить розглянути лише половину еліпса:

В результаті обертання навколо великої осі одержимо за (11.7)

де - ексцентриситет еліпса.

За допомогою підстановки матимемо

У випадку обертання навколо малої осі для обчислення поверхні обертання одержуємо інтеграл

В обох випадках поверхня еліпсоїда виразилась через елементарні функції.

Площа поверхні обертання

Довжина дуги, що обмежує смужку зверху

Ця дуга в разі обертання утворить поверхню обертання, площа якої дорівнюватиме бічній поверхні конуса, який має висоту, а радіуси основ його. Тоді площа поверхні цього конуса нескінченно малої висоти

Нескінченно малою вищого порядку нехтуємо і в результаті одержимо

Звідки



29) За відомою швидкістю можна знайти закон руху та довжину шляху за формулою Ньютона-Лейбніца:

У математичному аналізі виводиться формула для обчислення роботи, що здійснюється змінною силою:

Де - проекція змінної сили на вісь ОХ.

Залежність швидкості від часу руху тіла, що виконує гармонійні коливання, має вигляд: х(t) = 24cos600t. Знайти зміщення цього тіла від положення рівноваги в момент часу t =0.01c. Розв'язання:

Обчислення шляху, який пройшла точка. Нехай потрібно визначити шлях S, який пройшла матеріальна точка, що рухається в одному напрямі із змінною швидкістю V(t) за час від t₀ до T.

Поділимо проміжок часу T-t₀ на n частин: Дt₁,Дt₂,…,Дt_n.

Позначимо через довільний момент часу із проміжку Дt_k, а значення швидкості у цій точці позначимо

.



Точка, що рухається з постійною швидкістю V_k на проміжку часу Дt_k, проходить за цей час шлях а за час T - t₀ вона пройде шлях

Будемо вважати, що шлях S, пройдений точкою, наближено дорівнює цій сумі. Коли Дt_k>0, тоді змінна швидкість на проміжку Дt_k мало відрізняється від постійної V_k. Тому дійсне значення шляху, пройденого точкою за час T - t₀ буде дорівнювати границі цієї суми при max Дt_k> 0, тобто

(2)

До аналогічної суми зводиться задача про роботу змінної сили, що направлена по прямій лінії -- траєкторії руху точки, до якої прикладена ця сила та інші задачі.

Обчислити роботу, яку треба затратити, щоб тіло маси підняти з поверхні Землі вертикально вверх на висоту , якщо радіус Землі дорівнює . Згідно з законом Ньютона, сила притягання тіла Землею дорівнює

де -- маса Землі; -- гравітаційна стала; х -- відстань від центра тіла до центра Землі. Покладемо сталу , тоді , де . При сила дорівнює вазі тіла , тобто , звідки . За формулою (1) маємо

Знайти тиск рідини на вертикально занурений в рідину півкруг, діаметр якого дорівнює 2R і знаходиться на поверхні рідини.

Нехай елементарна площадка знаходиться на глибині х (рис.3).

Рис 3

Вважаючи її прямокутником з оновою 2у і висотою, знайдемо за законом Паскаля диференціал тиску:

звідси

30) Числові ряди

Означення: числовим рядом є вираз, який має вигляд суми нескінченої послідовності доданків: U₁+U₂+U₃+…+U_n+…(1), де U₁ - перший член ряду, U₂ - другий, а U_n - n-член, або загальний член ряду.

Утворимо так звані часткові суми ряду:

S₁=U₁

S₂=U₁+U₂

S_n=U₁+U₂+U₃+…+U_n+...



Означення: Ряд (1) називають збіжним, якщо:

тобто сума існує. Ряд (1) коротко можна записати:

(1')

Якщо ряд (1) збіжний, то пишуть:

Означення: якщо:

то ряд (1) називають розбіжним рядом, такий ряд суми не має.

Різницю між сумою S ряду і n-початковою сумою називають залишком ряду і позначають:

Rn=S-Sn. Якщо ряд збіжний, то:

Гармонічний ряд має вигляд



Властивості збіжних рядів

1. Нехай ряд

збігається до суми S. Тоді для будь-якого ряд

теж збігається и має суму cS, тобто

Доведення випливає з означень.

2. Нехай ряди

та

збігаються до сум S' та S'' відповідно. Тоді ряд

збігається до суми S' + S'', тобто

Означення. Для ряду

та числа ряд

називається залишком вихідного ряду. Якщо ряд (2) збігається, то r_m -- сума залишку.

3. Якщо ряд (1) збігається до суми S, то збігається будь-який його залишок, причому

Якщо для деякого збігається залишок (2), то ряд (1) збігається.

4. Критерій Коші збіжності числового ряду. Для того щоб ряд (1) збігався, необхідно і достатньо, щоб

.

Цей критерій являє собою критерій Коші для числовой послідовності

31)Теорема: Якщо ряд

збіжний, то:

Доведення: Оскільки ряд збіжний, то:

поряд з цією рівністю для збіжного ряду можна записати:

Ця ознака є лише необхідною умовою збіжності. Якщо вона не виконується, то ряд розбіжний, якщо виконується, то ряд може бути як збіжним, так і розбіжним.

1) Ознака порівняння рядів.

Складаємо геометричний прогресію або гармонійний ряд і порівнюємо. Якщо порівняємо з розбіжним рядом, всі члени якого менше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд - теж розбіжний, якщо більшіші, то шуканий ряд - збіжний. Якщо порівнюємо із збіжним рядом, всі члени якого більше відповідних членів шуканого ряду, то шуканий ряд - теж збіжний, якщо менші, то шуканий ряд є розбіжним.

Гармонійний ряд - ряд вигляду:

Приклад:

Порівнюємо з гармонійним рядом, який є розбіжний.

маємо:

Ряд розбіжний

2) Ознака Даламбера:

Якщо для знакододатного ряду

Існує

то, якщо:

а)D>1, ряд - розбіжний

б)D<1, ряд - збіжний

в)D=1, -???

3) Інтегральна ознака Коші.

Беремо від Un-члена ряду. Якщо невласний інтеграл збіжний, то ряд - збіжний, якщо ж розбіжний, то ряд - розбіжний.



32) Означення: Знакопочерговий ряд - ряд вигляду:

Для дослідження знакопочергового ряду на абсолютну і умовну збіжність складається ряд з абсолютних величин.

Означення: Знакозмінний ряд називається абсолютно збіжним, якщо збігається ряд із абсолютних величин членів знакозмінного ряду.

Означення: Знакозмінний ряд називається умовно збіжним, якщо цей ряд збігається, а ряд із абсолютних величин його членів розбігається.

Ознака Лейбніца

Теорема: Якщо члени знакопочергового ряду спадають по абсолютній величині і границя абсолютної величини загального члена ряду = 0, то ряд збігається. Коротко цю теорему можна записати так:

Наслідок 1:

Знак суми збіжного знакопочергового ряду такий же, як і знак першого члену ряду.

Наслідок 2:

Якщо знакопочерговий ряд збігається, то його сума за абсолютною величиною не перевищує перший член ряду, тобто |S|<|U₁|.

Наслідок 3:

Якщо при обчисленні суми збіжного знакопочергового ряду обмежитись тільки першими n членами, а всі інші відкинути, то похибка за абсолютною величиною не перевищить першого із відкинутих членів.

Наслідок 4:

Якщо для ряду не виконується умова теореми Лейбніца:

то ряд є розбіжним, оскільки не виконується необхідна умова збіжності.

33) Інтервал і радіус збіжності степеневого ряду

Як наслідок із теореми Абеля для Степ. Р. існує інтервал збіжності з центром в точці х₀.

Означення: Інтервалом збіжності Степ. Ряду називається такий інтервал, у всіх внутрішніх точках якого ряд збігається абсолютно, а для всіх точок |x|>R ряд є розбіжним, при цьому число R>0 називається радіусом збіжності ряду.

Зауваження:

На кінцях інтервалу збіжності, тобто в точках x=-R, x=R ряд може як збігатись, так і розбігатись. Це питання потребує спеціального дослілження в кожному випадку.

Означення: Ряд вигляду U₁(x)+U₂(x)+…+U_n(x)+…, де членами рядуU_n(x) є ф-ції від аргументу х, називається функціональним рядом. При х=х₀ функціональний ряд перетворюється на на числовий ряд.

Означення: Всі значення аргументу х, при яких функціональний ряд збігається, називаються областю збіжності функціонального ряду.

Степеневі ряди:

Означення: Функціональний ряд вигляду a₀+a₁x+a₂x²+…+a_nxⁿ+… називається степеневим рядом, його загальний член U_n(x)=a_nxⁿ, а числа а₀,а₁,а_2,...,а_n,... - називають коефіцієнтами степеневого ряду. Степеневий ряд можна записати як:

Степеневий ряд може мати вигляд: a₀+a₁₍x-с)+a₂₍x-с)²+…+a_n(x-с)ⁿ+… Такий ряд за допомогою заміни х-с=у зводиться до звичайного степеневого ряду.

34) Ряд Темйлора -- розклад функції у нескінченну суму степеневих функцій.

Нехай функція нескінченно диференційована в деякому околі точки тоді ряд

має назву ряда Тейлора функції у точці . У випадку, якщо a = 0 цей ряд іноді зветься рядом Маклорена.

Якщо є аналітичною функцією, то її ряд Тейлора у будь-якій точці області визначення збігається до в деякому околі .

35) Обчислення значень функції

Якщо функцію f(х) можна розвинути у ряд Тейлора і точка x₀ належить його області збіжності, то для обчислення наближеного значення функції у точці х₀ залишають перших п членів, а останні відкидають, тобто, якщо

і x₀ належить області збіжності цього ряду, то приймають

Оцінка похибки такого наближення, тобто оцінка

зводиться до оцінки модуля суми відкинутих членів ряду, тобто до оцінки залишку ряду

Якщо ряд знакосталий, то його, як правило, порівнюють з геометричною прогресією. Якщо він знакопереміжний, то використовують оцінку . І, нарешті, у загальному випадку оцінюють залишковий член формули Тейлора.

У тому випадку, коли треба знайти з наперед заданою точністю, то, оцінюючи залишок ряду, визначають число членів частинної суми (по можливості якомога менше), яке гарантує таку точність.

36. Обчислення границь та наближене обчислення інтегралів

Приклад 3

Знайти

Розв'язування

Скориставшись розвиненнями функцій sinx та е^x у степеневі ряди, одержимо:

Размещено на Allbest.ru