Решение и конструирование уравнений и неравенств с параметрами, сводящихся к квадратным

Размещено на http://www.allbest.ru/

85

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Ярославский государственный университет им. П.Г. Демидова

Математический факультет

Кафедра общей математики

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

ПО СПЕЦИАЛЬНОСТИ ”010100 - МАТЕМАТИКА”

Решение и конструирование уравнений и неравенств с параметрами, сводящихся к квадратным

ЯРОСЛАВЛЬ, 2007

Реферат

квадратный уравнение трехчлен неравенство нестандартный

Объем 113 с., 4гл., 1прил., 3 табл., 84 рис., 16 источников.

Тема работы: решение и конструирование уравнений и неравенств с параметрами, сводящихся к квадратным.

Цель работы: 1) выявить место и роль уравнений (неравенств) с параметрами, сводящихся к квадратным в школьном курсе математики;

2) изучить методы их решения и изучить методы конструирования;

3) проанализировать, как применяются свойства квадратного трехчлена при решении нестандартных заданий (к которым относятся задачи с параметром).

В ходе работы:

1) проанализированы содержания трех комплектов учебников: под редакцией Виленкина Н.Я., Мордковича А.Г., Теляковского А.В. и рассмотрено отношение каждого автора учебника к этим задачам;

2) подобраны и решены задачи на эту тему;

3) рассмотрено использование этих задач в учебном процессе, как в общеобразовательной школе, так и в школе с углубленным изучением математики: это могут быть как обычные уроки, посвященные решению задач по данной теме, факультативы, а также обобщенные уроки для подготовки к экзаменам.

Работа может помочь при подготовке к ЕГЭ, рассматриваться как справочный материал.

Данная работа апробирована в 10 д классе гимназии №1 города Ярославля.

Содержание

Введение

1. Место и роль уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики

1. 1 Задачи с параметрами

1. 2 Обзор литературы по математике в средней школе

1. 3 Основные типы задач, связанные с квадратным трехчленом

1. 4 Основные способы решения задач с параметрами

2. Исследование и решение квадратных уравнений с параметрами

2. 1 Квадратные уравнения с параметрами

2. 2 Уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным, с помощью замены переменной

2. 3 Уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным, в результате равносильных преобразований

3. Исследование и решение квадратных неравенств с параметрами

3. 1 Квадратные неравенства с параметрами

3. 2 Квадратные неравенства с параметрами с начальными условиями

4. Задачи, предлагаемые на ЕГЭ

Заключение

Литература

Приложение

Введение

Функции вида ( - квадратный трехчлен), где в школьном курсе математики придается большое значение. Если не считать самой простой функции - линейной, то это единственная функция, для которой могут быть достаточно строго доказаны основные свойства, знание которых необходимо для решения задач.

Безукоризненное знание необходимых свойств квадратного трехчлена требуется от каждого учащегося старших классов, т.к. квадратные уравнения (неравенства), в том числе и уравнения (неравенства) с параметром, сводящиеся к квадратным, часто включается в письменные работы и в тесты при поступлении в ВУЗы. А сейчас очень часто они входят в число задач ЕГЭ, не только группы С - сложных задач, но и группы В.

Учащиеся не всегда умеют сознательно использовать информацию о свойствах квадратного трехчлена при решении заданий, связанных с исследованием квадратного уравнения (неравенства). К таким задачам относятся: задачи на применение теоремы Виета, задачи на взаимное расположение корней квадратного трехчлена относительно данных чисел, исследование неравенств с параметрами с начальными условиями и решения квадратных уравнений и неравенств с параметром.

Цель моей работы:

1) выявить место и роль уравнений (неравенств) с параметрами, сводящихся к квадратным в школьном курсе математики;

2) изучить методы их решения и изучить методы конструирования;

3) проанализировать, как применяются свойства квадратного трехчлена при решении нестандартных заданий (к которым относятся задачи с параметром).

С этой целью были:

1) проанализированы содержания трех комплектов учебников: под редакцией Виленкина Н.Я., Мордковича А.Г., Теляковского А.В. и рассмотрено отношение каждого автора учебника к этим задачам;

2) подобраны и решены задачи на эту тему;

3) рассмотрено использование этих задач в учебном процессе, как в общеобразовательной школе, так и в школе с углубленным изучением математики.

Работа состоит из четырех глав и приложения. В первой главе рассказывается о решении основных типов квадратного уравнения с параметром, рассматриваются способы и указания, какими руководствуются при решении данных типов задач. В этой главе также проведен обзор литературы по теме «Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к квадратным» и дана сравнительная характеристика места задач с параметрами в школьных учебниках. Также проанализирована динамика появления публикаций по теме «Задачи с параметрами» в журнале «Математика в школе», в газете «Первое сентября, Математика» за 40 лет. Во второй главе рассказывается: о решении и конструировании квадратных уравнений, о использовании теоремы Виета; приведены решения уравнений, сводящихся к квадратным с помощью замены переменной, с использованием теорем о расположении корней квадратного трехчлена относительно заданных чисел, о решении уравнений, сводящихся к квадратным в результате равносильных преобразований. В третьей главе исследуются и решаются квадратные неравенства с параметрами с начальными условиями и без них. В четвертой главе приведены и решены задачи, предлагаемые на ЕГЭ.

Глава 1. Место и роль уравнений и неравенств с параметрами в школьном курсе математики

1.1 Задачи с параметрами

Задачи с параметрами - это нестандартные задачи, т.е. необычные как по постановке и содержанию, так и по методам решения. Роль таких задач, их важность и польза для развития логического мышления, интуиции, творческих способностей учащихся, формирования у них высокой математической культуры очень велики. Известно, что педагоги сталкиваются с серьезными методическими проблемами при обучении решению таких задач, несмотря на наличие довольно большого количества учебных пособий и журнальных статей. Причина этого достаточно очевидна: основная стратегия математического образования в школе - это развитие умений и навыков решения определенного набора стандартных задач, в большинстве своем связанных с техникой алгебраических преобразований. Уравнения (неравенства) с параметрами относятся к иному типу задач - задач, для решения которых необходимо прежде всего умение проводить - порой довольно разветвленные - логические построения и исследования.

Решение задач с параметрами требует исследования, даже если это слово не упомянуто в формулировке задачи. Недостаточно механического применения формул, необходимо понимание закономерностей, наличие навыка анализа конкретного случая на основе известных общих свойств объекта, системность и последовательность в решении, умении объединить рассматриваемые частные случаи в единый результат. Этим обусловлены трудности, возникающие у учащихся при решении таких задач.

В настоящее время достаточно широкое распространение получила идея совмещения обучения решению задач с обучением их конструированию. Под конструированием задачи - мы будем понимать процесс создания новой задачи. В основе конструирования задачи - лежит умение составлять квадратный трехчлен. При этом используются различные приемы: аналогия, варьирование коэффициентов квадратного трехчлена, варьирование новой переменной, варьирование требования задач. В качестве коэффициентов и новой переменной могут выступать более сложные функции. Тем самым можно использовать такой квадратный трехчлен, который поможет в организации повторения более сложных функций: показательной, логарифмической, тригонометрической. С одной стороны нужно знать свойства квадратного трехчлена, а с другой стороны повторяются свойства функции, тем самым достигается комбинированность задачи.

Выбор задачи с параметрами для обучения их решению и конструированию, можно объяснить следующими обстоятельствами:

1. при решении задач с параметрами происходит повторение, и как следствие, более глубокое, прочное усвоение программных вопросов;

2. решение задач с параметрами расширяет математический кругозор, дает новые подходы к решению задач;

3. происходит развитие математического, логического мышления, умение анализировать, сравнивать, обобщать;

4. приобретаются навыки к исследовательским работам;

5. помощь при подготовке к экзаменам;

6. происходит формирование таких качеств личности, как трудолюбие, целеустремленность, усидчивость, сила воли, точность.

1.2 Обзор литературы по теме: «Задачи с параметрами» в средней школе

Задачи с параметрами по формулировке и математическому содержанию не выходят за рамки школьной программы по математике и, поэтому, допустимы на вступительных экзаменах в вузы. Тот факт, что абитуриент решил или не решил задачу с параметром, свидетельствует об уровне его школьной подготовки и перспективах овладения им математических курсов вуза.

Исходя из этого, я в моей работе проанализировала место уравнений и неравенств с параметрами, сводящихся к квадратным в школьном курсе математики.

При написании работы были изучены требования к математической подготовке учащихся: были рассмотрены «Программы для общеобразовательных учреждений». Было выявлено, что изучение программного материала 5 - 9 классов, ставит своей целью дать учащимся начальное представление о решении уравнений с параметром, сводящимся к линейным и квадратным. А изучение программного материала 10 - 11 классов - ставит своей целью усвоить общую схему решения уравнений и неравенств с параметрами. В то же время, в описание уровня обязательной подготовки, задачи с параметрами не входят. В разделе «Содержание обучения» данного документа есть упоминания о задачах с параметрами 10 - 11 классов общеобразовательной школы и достаточно подробное описание задач с параметрами в классах с углубленным изучением математики, начиная с 8 класса.

Было проанализировано содержание 3-х комплектов учебников: 1. Учебные пособия для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики под редакцией Н. Я. Виленкина; 2. Учебные пособия для общеобразовательных школ «Алгебра» под редакцией Мордкович М.Г; 3. Учебные пособия для общеобразовательных учреждений, под редакцией Теляковского А.В. на предмет соотношения их содержания и требований программы.

1. В учебном пособии под редакцией Н.Я. Виленкина теме “Квадратный трехчлен” посвящено не мало глав, в которых встречаются уравнения и неравенства с параметрами:

В главе 5 “Квадратные уравнения, системы нелинейных уравнений” учебного пособия для 8 класса, когда только ученики начинают знакомиться с квадратными уравнениями и решать их, встречаются уравнения с параметрами. Изучение, конечно же, начинается с самых легких. Приведем примеры:

1). Определите так, чтобы выражение было полным квадратом:

2). При каких значениях квадратное уравнение имеет действительные различные корни с одинаковыми знаками?

3). Разность корней уравнения равна 2. Найдите значение .

Мы видим, что все эти уравнения с параметрами очень просты. Для решения их необходимо уметь вычислять дискриминант квадратного уравнения, и применять теорему Виета. Но они дают представление ученикам о том, что такое параметр и как эти уравнения решаются, применяя теоремы и формулы, связанные с квадратными уравнениями.

Пункт 13 посвящен уравнениям и системам уравнений с параметрами. То есть в нем уже конкретно говорится о том, что такое параметр и что, значит, решить уравнение с параметром. И приводится ряд задач. Так, например:

1). При каких квадрат разности корней уравнения равен 16?

2). Определить так, чтобы уравнения , имели общий корень. Найти этот корень.

В 9 классе, в §3 “Функции и их графики “ тоже встречаются параметры:

При каких значениях прямая и парабола имеют две точки пересечения?

А в §5 “Квадратичная функция и ее график “ приводится очень интересный пример, в котором используется теорема Виета и разложение квадратного трехчлена на множители:

Не находя корней квадратного трехчлена , подберите значения параметра так, чтобы его корни и удовлетворяли неравенству: .

А далее в п. 20 разбирается зависимость свойств квадратичной функции от коэффициентов и . Как известно, они так же являются параметрами. В этом пункте строятся графики в зависимости от параметров.

В §8 применяют свойства квадратичной функции к решению задач на нахождение наибольших и наименьших значений:

Определите так, чтобы сумма квадратов корней уравнения была наименьшей:

В §7, так же посвященному уравнениям с параметрами, в заданиях просят решить уравнение: .Также рассматриваются уравнения, приводимые к квадратным. Например, иррациональные: решить уравнение

В 11 классе, завершая изучение математики, обобщаются все задачи связанные с параметрами. Так, рассматриваются рациональные уравнения: Найти все значения , при которых один из корней уравнения больше 1, а второй - меньше 1. Помимо этого рассматриваются иррациональные, трансцендентные уравнения.

2. В учебном пособии под редакцией Мордкович А.Г., так же как и в учебнике для углубленного изучения математики, квадратные уравнения и неравенства, квадратный трехчлен начинают изучать в 8 классе.

Задачам с параметрами здесь посвящен §41, который так и называется “Задачи с параметрами “. Здесь приводится сравнительно несложный пример:

Решить уравнение , для которого приводится 2 способа решения:

1 способ состоит в том, чтобы найти дискриминант данного квадратного уравнения и с помощью него найти корни.

2 способ - “устный “, если заметить, что , то с помощью т. Виета так же находим корни.

Еще один пример: Решить уравнение , рассматривается тремя способами.

1 способ - по стандартной схеме: возведение обеих частей в квадрат, нахождение дискриминанта, корней. Но здесь же говорится о том, чтоб проверить удовлетворяют ли корни уравнению, нужно их подставить, что сделать очень трудно и не удобно. Тем самым автор учебника с одной стороны предлагает ученикам проделать этот путь, но предупреждает, что он плох. И предоставляет еще 2 способа, потому что очень часто стандартная схема не приводит быстро к желаемому результату.

2 способ - графический: построение в координатной плоскости ОХУ. Он разбивает уравнение на два графика: и .В зависимости от того, какое : положительное, отрицательное или равно нулю, строит их, находит точки их пересечения.

3 способ - замена переменной: . И далее автор решает данное уравнение относительно новой переменной.

В задачнике 8 класса уравнения с параметрами встречаются нередко:

· В §13 “Функция , ее свойства и график “: Найдите значение коэффициента и постройте график функции , если известно, что наименьшее значение функции равно 1.

· В §14: при каких уравнение имеет 2 корня?

· Глава 4. §19 “Квадратные уравнения”: При каких значениях параметра уравнение имеет корень равный 4?

· §24 «Теорема Виета»: При каких значениях произведение корней квадратного уравнения равно 0?

В 11 классе обобщаются все задачи, которые изучали раньше:

· Решить уравнение

· При каких значениях параметра корни уравнения меньше 1?

· При каких значениях графики функций имеют общие точки ,

· При каких неравенство

а) выполняется при любых х;

б) не имеет решений.

· При каких значениях уравнение имеет хотя бы один корень ?

3. В учебном пособии под редакцией Теляковского А.В. данной теме практически не уделяется никакого внимания. Если вдруг и встречаются такие задачи, то они не входят в обязательную программу обучения, а предложены как задание для внеклассной работы, и уровень сложности их недостаточен для приобретения навыков в решении подобных задач. Так, например:

В уравнении один из корней равен 7. Найдите другой корень и коэффициент р. Здесь мы видим, что просто необходимо знать теорему Виета.

А такая задача как, при каком а сумма квадратов корней уравнения равна 9 - вообще является задачей повышенной трудности! Хотя здесь также необходимо знать теорему Виета.

Вывод: Тем самым мы видим огромное отличие учебников для школ, с углубленным изучением математики и учебников для общеобразовательных школ. Исключением является учебник под редакцией Мордковича М.Г., он соответствует требованиям, предъявляемым к математической подготовке учащихся, в соответствии с программой.

Исходя из изложенных требований к математической подготовке и из анализа учебных пособий по теме «Уравнения и неравенства с параметрами, сводящиеся к квадратным», можно сделать вывод, что с одной стороны таким задачам в общей школе уделяется недостаточно внимания, а, с другой стороны, - задачи с параметрами входят в содержание ЕГЭ. Все это ставит в неравное положение при сдаче экзамена учащихся общеобразовательных школ и учащихся классов с углубленным изучением математики. Маловероятно, что учащийся общеобразовательного класса решит задачи типа С в ЕГЭ, только если он не занимается дополнительно математикой на более высоком уровне.

Я считаю, что вводить задачи такого типа необходимо постепенно, начиная с 7 - 8 класса, курса алгебры. Тогда к окончанию школы учащиеся овладеют твердыми навыками решения целого класса задач такого типа!

Так же в ходе работы я просмотрела журнал «Математика в школе» [приложение 1], газету «Первое сентября, Математика»[приложение 2] и книги, посвященные задачам с параметрами[приложение 3]. Видно, что количество статей и книг с 1960-1990 г. очень мало. Т. е. такая тема, как «Задачи с параметрами» в то время почти не рассматривалась. Усиление интереса к данной теме произошло с 1992 года. Это обусловлено тем, что данные задачи все больше стали включать в задания вступительных экзаменов в ВУЗЫ, особенно в таком как МГУ. Поэтому неудивительно, что большинство книг, выпускавшихся в это время, (по данной теме) были написаны преподавателями МГУ.

Заметно увеличивается количество статей и книг в настоящее время. Это связано с тем, что выпускной экзамен по математике за среднюю школу, начал проводиться в форме ЕГЭ, в содержании которого включены задачи с параметрами. Решение задач с параметрами дает возможность учащимся проводить небольшую исследовательскую работу.

1.3 Основные типы задач, связанные с квадратным трехчленом

Среди задач с параметрами выделим систему задач, где в качестве системообразующего понятия будет рассмотрено понятие «квадратный трехчлен». Среди задач с параметрами доля задач, в которых используется это понятие, очень велика. Кроме того, эти задачи позволяют использовать основные приемы конструирования задач.

Рассмотрим квадратный трехчлен с параметром :

р₁(а)х² + р₂(а)х + р₃(а), где р₁(а), р₂(а), р₃(а) - функции параметра.

Сформулируем первый основной тип задач:

Для каждого значения параметра найти все решения квадратного уравнения:

р₁(а)х² + р₂(а)х + р₃(а)=0

Замечание: Если в условии не оговорено, что уравнение квадратное, необходимо рассматривать отдельно те значения параметра , при которых р₁(а)=0.

Сформулируем некоторые наиболее распространенные варианты задач второго основного типа.

· При каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет корни, равные по абсолютной величине и противоположные по знаку?

· При каких значениях параметра сумма (сумма квадратов, сумма кубов) корней х_1, х₂ квадратного уравнения принимает наибольшее (наименьшее) значение?

· При каких значениях параметра корни х_1,х₂ квадратного уравнения удовлетворяют условию (б- данное число)

· х₁ х₂ ;

· х₁ х₂;

· х₁ х₂?

Эти задачи назовем задачами исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно данного числа .. Частный случай = 0, как правило, рассматривается отдельно:

· При каких значениях параметра корни х₁, х₂ квадратного уравнения:

- положительны;

- отрицательны;

- разных знаков;

- разных знаков, но положительный корень меньше (больше) абсолютной величины отрицательного корня?

Эти задачи назовем задачами исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно 0.

· При каких значениях параметра а корни х₁, х₂ квадратного уравнения удовлетворяют условию (, - данные числа)

- х₁ х₂ ;

- х₁ х₂;

- х₁ х₂ ;

- х₁ х₂;

- х₁ х₂ ;

- х₁ х₂?

Эти задачи назовем задачами исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно данных чисел и .

Пусть дано уравнение

а х² + b х + с = 0 , где а,b, с R, а 0 (1)

D = b² - 4 а с - дискриминант уравнения (1)

- абсцисса вершины параболы

f(x) = a x² + b x + c = 0

Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена

относительно данного числа .

Теорема 1. Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения (1) были больше некоторого заданного числа , т. е. x₁ x₂ ,необходимо и достаточно, чтобы:

Теорема 2. Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения (1) были меньше некоторого

заданного числа ,т.е. x₁ x₂ , необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 3. Для того чтобы некоторое заданное число лежало между корнями

x₁, x₂ уравнения (1), т.е. x₁ x₂, необходимо и достаточно, чтобы

.

Замечание. Рассмотрим частный случай =0, тогда заключения теорем 1,2 и 3 принимают вид:

1., т.е.

2. , т.е.

3. , т.е.

Таким образом, для решения задачи исследования расположения корней уравнения (1) относительно нуля целесообразно пользоваться теоремой Виета.

Теоремы о расположении корней квадратного трехчлена относительно двух чисел и (<).

Теорема 4. Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения (1) принадлежали заданному промежутку, т.е. < x₁ x₂ < , необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 5. Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения (1) удовлетворяли условию x₁< < < x₂, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 6. Для того чтобы только меньший корень x₁ уравнения (1) принадлежал заданному промежутку, т.е. < x₁< < x₂, необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 7. Для того чтобы только больший корень x₂, уравнения (1) принадлежал заданному промежутку (,), т.е. x₁< < x₂ < ,необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 8. Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения (1) были расположены правее промежутка (,), т.е. < < x₁ x₂ , необходимо и достаточно, чтобы

Теорема 9. Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения (1) были расположены левее промежутка (,), т.е. x₁ < x₂ < < , необходимо и достаточно, чтобы

1.4 Основные способы решения задач с параметром

Способ 1 (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

По моему мнению, аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ 2(графический в ХОУ). В зависимости от задачи рассматриваются семейства графиков, зависящих от параметра, в координатной плоскости (х; у). (Уравнение представляется в виде f(x) = g(x; а)).

Способ 3 (графический в ХОа, где а параметр). Аналогично в зависимости от задачи рассматриваются графики в координатной плоскости (х; а), где х -неизвестное, а - параметр. ( Решение уравнения F(х; а) = 0 - это абсциссы точек пересечения графика уравнения с прямыми параллельными оси ОХ)

Поэтому при решении некоторых задач с параметрами удобно использовать графический метод не только как основной, но и как вспомогательный к аналитическому решению. Несомненно, с формальной точки зрения, результат, снятый с " картинки", не подкреплённый аналитически, получен нестрого. Более того, графический метод всего лишь одно из средств наглядности, а она может быть обманчивой, т. е. при использовании графического метода в решении, впрочем как и аналитического, может быть допущена ошибка. Поэтому, в тех случаях, когда результат "прочитанный" с рисунка вызывает сомнения, следует подкрепить выводы аналитически. Но главное, ответ, полученный графически, требует затрат, по крайней мере, не больше, чем соответствующее аналитическое решение. Для графического решения задач необходимо умение изображать графически заданные формулами функциональные зависимости, что также особенно важно для успешного усвоения курса высшей математики.

В качестве примера рассмотрим задачу:

Решить уравнение

Решение:

Уравнение равносильно системе:

1 способ:

Корни квадратного уравнения:

Выясним, при каких значениях а они лежат в области

;

Ответ: при решений нет;

при

2 способ:

Так как уравнение равносильно системе , следовательно корни данного уравнения (один или два) должны быть больше или равны 1.

Решим данное уравнение с помощью теорем о расположении корней квадратного трехчлена относительно данного числа (в нашем случае это число равно 1).

По теореме 1 получаем: Для того чтобы корни x₁, x₂ уравнения были больше некоторого заданного числа , т. е. x₁ x₂ ,необходимо и достаточно, чтобы:

решений нет

По теореме 3 получаем: Для того чтобы некоторое заданное число лежало между корнями x₁, x₂ уравнения , т.е. x₁ x₂, необходимо и достаточно, чтобы

.

Ответ: при решений нет;

при

3 способ (графический в плоскости XOY)

Преобразуем исходное уравнение

Построим графики функций Решением уравнения будут абсциссы точек пересечения графиков функций. Количество решений - количество точек пересечения.

При исходное уравнение решений не имеет. При линии пересекаются в единственной точке.

Ответ: при решений нет;

при

4 способ (графический в плоскости XOa)

Исходное уравнение равносильно системе:.

Решение системы - это точки параболы для которых Как видно из рисунка решение существует при , причем каждому значению соответствует одно решение.

Ответ: при решений нет;

при

Учитель должен владеть различными способами решения задач. Овладение ими дает ему возможность:

1). По-разному определять место задачи в учебном процессе (т.е. использовать в разных темах школьного курса математики).

2). Сравнивать и выбирать оптимальный способ решения для конкретной задачи.

3). Проверки правильности ответа.

4). Учитывать предпочтения ученика с одной стороны, с другой стороны способствует его развитию.

Ученик должен владеть различными способами решения задач. Овладение ими дает ему возможность:

1). Выбирать оптимальный способ решения;

2). Учитывать индивидуальные особенности задачи, относящейся к определенному классу;

3) Развития.

Глава 2. Исследование и решение квадратных уравнений с параметрами

2.1 Квадратные уравнения с параметрами

Рассмотрим запись квадратного трехчлена в виде р₁(а)х² + р₂(а)х + р₃(а). На основе анализа учебных пособий, сборников задач и собственного опыта решения задач с параметрами можно сделать вывод о том, что в качестве функций р₁(а), р₂(а), р₃(а) чаще всего используются многочлены степени не выше второй и значительно реже встречаются другие элементарные функции (показательная, логарифмическая, тригонометрическая).

В основе конструирования задач лежит умение составлять квадратный трехчлен по его корням (обратная теорема Виета).

Отметим так же, что практика показала то, что школьники в основном решают квадратное уравнение с параметром напрямую. Т.е. ищут дискриминант, и с помощью его находят корни. И решают уравнение в зависимости от конкретной цели. Поясним:

Задача: При каких значениях a оба корня уравнения больше 3?

х₁ = a + 1

х₂ = а + 3

Понятно, что для выполнения условия достаточно, чтобы a + 1>3, т.е. а > 2

Ответ: а > 2.

Задача: Найти все значения а, при которых корни уравнения больше а

Ответ: .

Все эти уравнения имеют “хороший” дискриминант (полный квадрат), и решаются несложно. Но если бы уравнения имели “плохой” дискриминант (неполный квадрат), решение уравнения намного бы усложнилось. Поясним:

Задача: При каких значениях а оба корня уравнения

больше 4?

Если D>0, то уравнение имеет два различных корня: а > 1, т.е.

Ответ: .

Приведем примеры уравнений с “хорошим” дискриминантом:

1)

2)

3) Приведем примеры уравнений с “плохим” дискриминантом:

1)

2)

3)

Проиллюстрируем процесс составления уравнения в соответствии с требованиями задачи. Рассмотрим задачу “При значениях параметра а квадратное уравнение не имеет действительных корней, имеет два различных корня, имеет два равных корня?”, которая сводится к вычислению дискриминанта D и решению неравенств: D<0, D>0 и уравнения D=0. Изучение какой-либо темы в школе, как правило, завершается решением задач комбинированного типа для того, чтобы закрепить знания, относящиеся к другому разделу. Так, например, при изучении в школе темы “Логарифмические уравнения и неравенства”, возникает необходимость в задачах, решение которых сводилось бы к решению этих уравнений и неравенств.

Составим квадратное уравнение по его корням с

Уравнение имеет вид: . Заменив p на , получим уравнение и соответствующее задаче неравенство (уравнение): Заметим, что D неоднозначно определяет вид корней. Например, можно было бы положить Уравнение имеет вид: .

Комбинируя выражение для D с выражениями для p, получим серию уравнений для сформулированной задачи. Таким образом, уравнение можно рассматривать как элемент таблицы, стоящий на пересечении строки - выражения для D и столбца - выражения для p.

Составим 3 таблицы.

1. Задача: “При каких значениях параметра а, квадратное уравнение не имеет действительных корней “, т.е. D<0.

			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
а			…
2а			…
			…
			…

2. Задача: “При каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет два различных корня”, т.е. >0

			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
а			…
2а			…
			…
			…
			…

3. Задача: “При каких значениях параметра а квадратное уравнение имеет два различных корня”, т.е. =0

			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
			…
а			…
2а			…
			…
			…
			…
…	…	…	…

Так создаются наборы уравнений с параметром. Как известно, располагая комплектами задач в достаточном количестве, преподаватель имеет возможность организовывать самостоятельную работу учащихся, давая каждому индивидуальное задание.

2.2 Уравнения с параметрами, сводящиеся к квадратным, с помощью замены переменной

Решим серию уравнений.

Задача. Для каждого значения параметра а найти все решения уравнения.

Размещено на http://www.allbest.ru/

85

Все уравнения соответствующей заменой переменной сводятся к квадратному уравнению Далее находим множество значений новой переменной и в зависимости от этого исследуем расположение корней квадратного уравнения относительно числа 0 (уравнения 1-4). Относительно числа 1 (уравнение 5). Относительно чисел -1 и 1 (уравнение 6).

Исследование расположения корней квадратного уравнения относительно числа 0.

Исследуем расположение корней:

,

квадратного уравнения относительно числа 0, для чего используем необходимые и достаточные условия, сформулированные в замечании к теоремам 1-3.

Результаты исследования отметим на числовой оси:

а

Используем их для того, чтобы написать решение уравнений 1-4

Уравнение 1. Ответ:

если уравнение имеет 1 решение:

еслиуравнение имеет 2 решения:

если уравнение не имеет решений

если уравнение имеет 1 решение:

если уравнение имеет 1 решение:

если уравнение имеет 1 решение:

Уравнение 2. Ответ:

если уравнение имеет 2 решения:

еслиуравнение имеет 4 решения:

если уравнение не имеет решений

если уравнение имеет 3 решения:

если уравнение имеет 2 решения:

если уравнение имеет 2 решения:

Уравнение 3. Ответ:

если уравнение имеет 1 решение:

еслиуравнение имеет 2 решения:

если уравнение не имеет решений

если уравнение имеет 2 решения:

если уравнение имеет 1 решение:

если уравнение имеет 1 решение:

Уравнение 4. Ответ:

если уравнение имеет 2 решение:

еслиуравнение имеет 4 решения:

если уравнение не имеет решений

если уравнение имеет 3 решения:

если уравнение имеет 2 решения:

если уравнение имеет 2 решения:

Исследование расположения корней квадратного уравнения относительно числа 1.

Исследуем расположение корней квадратного трехчлена относительно 1, используя необходимые и достаточные условия, сформулированные в теоремах 1-3:

Результаты исследования отметим на числовой оси:

Используем их для того, чтобы записать решение уравнения 5.

Уравнение 5. Ответ:

если уравнение имеет 2 решения:

еслиуравнение не имеет решений

еслиуравнение имеет 4 решения:

если уравнение 1 решение:

если уравнение имеет 2 решения:.

Исследование расположения корней квадратного уравнения относительно чисел -1 и 1.

Исследуем расположение корней квадратного трехчлена относительно чисел -1 и 1, используя необходимые и достаточные условия, сформулированные в теоремах 4 - 9:

1) Ш

2)

3)

4)Ш

5)

6)Ш

Результаты исследования отметим на числовой оси:

0 Ш 1

Используем их для того, чтобы записать решение уравнения 6:

Уравнение 6. Ответ:

если уравнение не имеет решений

если

если

если и т.д.

Как результат решения этой цепочки уравнений возникает обобщение - уравнения

, где - функции параметра а, - одна из элементарных функций или их суперпозиция.

Приведем примеры уравнений, с использованием другого квадратного уравнения и других функций .

Задача. Для каждого значения параметра а, найти все решения уравнения:

Решим эти уравнения

1). . Данное уравнение соответствующей заменой переменной сводится к квадратному уравнению . Далее находим множество значений новой переменной и в зависимости от этого исследуем расположение корней и квадратного уравнения относительно числа 0 (используя необходимые и достаточные условия, сформулированные в замечании к теоремам 1 - 3).

1)

2)

3)

Результаты исследования отметим на числовой оси:

1 2 Ш 10

Используем их для того, чтобы записать решение уравнения:

Ответ:

если уравнение имеет одно решение

если уравнение имеет два решения

если уравнение не имеет решений

если уравнение имеет два решения:

если уравнение имеет одно решение:

если решений нет.

2). . Данное уравнение соответствующей заменой переменной сводится к квадратному уравнению . Далее находим множество значений новой переменной и в зависимости от этого исследуем расположение корней и квадратного уравнения относительно 1 (используя необходимые и достаточные условия, сформулированные в теоремах 1 - 3).

1).

2).

3).

Результаты исследования отметим на числовой оси:

а

Ш -6

Используем их для того, чтобы записать решение уравнения:

Ответ:

если уравнение не имеет решения

если , т. е. два решения

если , т. е. четыре решения

Рассмотрим ряд уравнений с параметрами, сводящихся к квадратным::

1. При каких значениях параметра а уравнение имеет 2 различных отрицательных корня.

Решение:

Т.к. уравнение должно иметь 2 различных действительных корня х₁ и х₂, его дискриминант должен быть больше 0.

2. Найти все значения p, при которых сумма действительных корней уравнения меньше 5.

Решение:

При

3. При каких значениях параметра а оба корня уравнения больше 3?

Решение:

По теореме 1.: , если

4. При каких значениях m уравнение , имеет 2 корня, расстояние между которыми на числовой оси равно 2?

Решение:

Уравнение имеет 2 различных корня, если >0, т.е. Расстояние между корнями на числовой оси равно

Имеем систему:

5. Найти наибольшее значение параметра а, при котором уравнение с целыми коэффициентами имеет 3 различные корня, один из которых равен -2.

Решение:

Так как является корнем уравнения, то подставляя его, выразим b через а

Разделим на

0

Т.е.

Уравнение имеет два различных корня, если D >0, т.е.

Наибольшее целое число из этого промежутка , но при : , т.е. два различных корня.

При - три различных корня.

Ответ: .

6. Найти наибольшее из значений параметра а, для которых существуют числа х и y, удовлетворяющие уравнению:

Решение:

Рассмотрим это уравнение, как квадратное относительно х:

Т.е. , чтобы у этого уравнения были корни, необходимо чтоб D?0

Нужно теперь найти такие а, чтоб неравенство имело хотя бы одно решение. Для этого необходимо чтобы D?0

Ответ: .

7. Найти все значения параметра а, для которых функция является возрастающей на всей числовой прямой и при этом не имеет критических точек.

Решение:

Чтобы функция не имела критических точек, необходимо чтобы производная была положительной

1) Если , то

2) Если , тона всей числовой прямой при условии:

Ответ: .

8. Найти все значения параметра а, для каждого из которых числа не являются последовательными членами арифметической прогрессии ни при каком х.

Решение:

Чтоб числа не являлись последовательными членами арифметической прогрессии, нужно чтобы уравнение не имело решение.

Чтобы выполнялось условие :

Ответ: .

9. При каких значениях параметра а решение уравнения симметрично относительно точки ?

Решение:

Корни симметричны относительно

По условию, по теореме Виета: , то

Ответ: .

10. Найдите все значения параметра а, при которых сумма квадратов корней квадратного уравнения будет наименьшей.

Решение:

Если то уравнение имеет корни

По теореме Виета:

Наименьшей будет при

построим график



Так как функция возрастающая, следовательно значение будет

Ответ: .

11. Найдите все значения параметра а, при которых парабола и прямая не имеют общих точек.

Решение:

Парабола и прямая не имеют общих точек, таким образом

Уравнение не имеет корней, когда D<0

Ответ: .

12. В уравнении определить к так, чтобы один из корней был вдвое больше другого. Оба корня положительны.

Решение:

Подставим в уравнение, то есть

Но по условию , следовательно, решений нет.

Ответ: решений нет.

13. Существуют ли значения а, при которых уравнение

имеет больше двух корней?

Решение:

Квадратное уравнение имеет не более двух корней, если А, В и С одновременно не равны нулю. Более двух корней, точнее бесчисленное множество решений, уравнение может иметь лишь при А=В=С=0. Проверим, возможно ли это:

То есть мы приходим к тому, что при а=3 уравнение имеет более двух корней.

Ответ: а=3.

14. Найти количество целых значений параметра а, при которых абсцисса вершины параболы отрицательна, а ордината - положительна.

Решение:

Если уравнение параболы приведено к виду то абсцисса вершины параболы а ее ордината

У нас:

Из условия задачи следует:

а=4 - единственное целое значение параметра, удовлетворяющее условию задачи.

Ответ: 1

15. Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет единственное решение.

Решение:

Сделаем замену:

и уравнение примет вид: (1)

Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение (1) имеет единственное неотрицательное решение.

Рассмотрим несколько случаев:

1). Если а=0, то

2). Если и , то имеем единственное неотрицательное решение, если корни уравнения (1) имеют разные знаки.

Т.е. (При получаем )

3). Если и

Ответ:

16. При каких значениях параметра а уравнение

имеет решение?

Решение:

Т.к. и всегда, то возможен переход

и уравнение примет вид:

при

Сделаем замену: , где

Тогда получаем

Чтобы уравнение имело решения, нужно чтобы хотя бы один корень этого уравнения находился в промежутке .

Тогда по теоремам о расположении корней квадратного трехчлена относительно двух данных чисел, получаем:

По теореме 4:

По теореме 6:

По теореме 7:

Ответ:

17. При каких значениях параметра а уравнение не имеет корней?

Решение:

Решим задачу двумя способами:

Способ 1.

Сделаем замену: где

Исходное уравнение примет вид (1)

Уравнение (1) не будет иметь корней, если:

1).

2). Если то нам нужно чтобы корни уравнения (1) не принадлежали промежутку . Т.е. по теоремам о расположении корней квадратного трехчлена относительно данных чисел, получаем:

По теореме 5:

По теореме 8:

По теореме 9:

Объединяя все полученное, получаем:

Ответ:

Способ 2.

Сделаем замену: где

Исходное уравнение примет вид (1)

Корни уравнения: ,

Т.е. уравнение (1) примет вид: . (2)

Чтобы уравнение (2) не имело корней, необходимо выполнение условий:

Ответ:

18. Найти все значения параметра , при которых уравнение

имеет два различных корня, равноудаленных от точки

Решение:

Сделаем замену:

Тогда исходное уравнение примет вид:

уравнение всегда имеет два корня

Т.к. тогда т.е.

Ответ: а=9,5

19. Числа х, у, z таковы, что Какое наибольшее значение может принимать выражение ?

Решение:

Обозначим через а. Тогда . Подставим вместо z в уравнение Следовательно

(1)

Рассмотрим уравнение (1) как квадратное относительно х. Переформулируем условие задачи: найти наибольшее значение параметра а, при котором уравнение (1) имеет решение.

Это возможно, когда

Рассмотрим как квадратный трехчлен относительно у.

Для того, чтобы этот квадратный трехчлен, старший коэффициент которого отрицателен, принимал неотрицательное значение, нужно чтобы

Наибольшее значение

2.3 Решение и конструирование уравнений, сводящихся к квадратным, в результате равносильных преобразований

Задача исследований расположения корней квадратного трехчлена относительно одного или двух данных чисел является вспомогательной не только для уравнения, которые заменой переменной сводятся к квадратному уравнению, но и для задач, где такое исследование продиктовано необходимостью учитывать условия, налагаемые на переменную, обеспечивающие равносильность преобразований.

Задача. Найти все а, при которых уравнение имеет единственное решение.

Решение:

Данное уравнение равносильно системе:

Нужно выяснить, при каких а уравнение (1) имеет единственный корень, удовлетворяющий неравенству (2).

Это может произойти только в двух следующих случаях:

а) Квадратное уравнение (1) имеет единственный корень и этот корень попадает в промежуток (4;8). Единственность корня обеспечивает равенство нулю дискриминанта.

Заметим, что лишь при

б) Уравнение (1) имеет два различных корня, но из них лишь один попадает в заданный промежуток (2).

Из Теоремы 6 и Теоремы 7 (о расположении корней квадратного трехчлена относительно двух чисел и ), следует

Ответ: .

Задача. Найти все значения параметра а, для которых уравнение

имеет два различных корня.

Решение:

Данное уравнение равносильно системе:

Теперь нужно определить те значения а, при которых оба корня уравнения принадлежат промежутку (-6; а).

По теореме 4 (о расположении корней квадратного трехчлена относительно двух данных чисел) получаем:

Ответ:

Задача. При каких значениях параметра а уравнение имеет только два корня?

Решение:

Исходное уравнение равносильно системе:

По теореме 1 (о расположении корней квадратного трехчлена относительно данного числа) получаем:

Ответ:

Задача. Для каждого значения параметра а найти все решения уравнения:

Уравнение равносильно смешанной системе . Данное уравнение равносильно системе:

Решим задачу графически в координатной плоскости “переменная-параметр”.

Ответ “считывается” с графика:

если - уравнение имеет 2 решения: ;

если - уравнение имеет 1 решение: ;

если - уравнение не имеет решений.

Задача. Для каждого значения параметра а найти все решения уравнения:

Построим график:

Ответ:

если - уравнение имеет 1 решение: ;

если - уравнение имеет 2 решения: ;

если - уравнение не имеет решений.

Задача. Для каждого значения параметра а найти все решения уравнения:

Уравнение

ОДЗ: равносильно

Ответ:

если - уравнение решений не имеет;

если , одно решение ;

если - уравнение имеет 2 решения:

если - уравнение имеет одно решение

Задача. Решите уравнение

Решение:

1 способ.

Найдем ОДЗ:

Исходное уравнение равносильно системе:

Решим уравнение системы

.

Эти корни возможны, если D?0, то есть С учетом условия системы .

Теперь необходимо проверить при каких значениях а корни принадлежат ОДЗ. Здесь возможны следующие случаи:

- оба корня принадлежат Видно, что это невозможно, так как при всех ;

- оба корня принадлежат Но это тоже невозможно, так как при всех .

Один корень принадлежит множеству а другой Решим систему:

Ответ: при

при решений нет.

2 способ.(графический)

Исходное уравнение равносильно системе:

Построим график функций



При решений нет;

при

при

Ответ: при

при решений нет.

Замечание: решение данной задачи в плоскости XOY совпадает с решением в плоскости XOa.

Задача. Найти все значения параметра а, при которых не имеет корней уравнение

1 способ.

Решение:

Данное уравнение равносильно системе:

Исходное уравнение не имеет корней тогда и только тогда, когда не имеет решения полученная система. Это возможно в двух случаях:

1) квадратное уравнение не имеет корней, то есть D<0,

2) корни квадратного уравнения не удовлетворяют условию Достаточно проверить больший корень:

Объединяя полученные результаты, имеем, что при исходное уравнение корней не имеет.

Ответ:

2 способ.(графический в плоскости XOY)

Возведем в квадрат обе части уравнения

Построим графики функций

Для того чтобы уравнение не имело корней нужно, чтобы прямые пучка не имели общих точек с параболой на промежутке

Для прямой угловой коэффициент равен При прямая и парабола имеют общие точки на промежутке При общих точек нет. Значение найдем из того условия, что прямая проходит через точку М

Ответ:

3 способ.(графический в плоскости XOa)

Из уравнения получим систему:

Решение системы - это гиперболы для которых