Решение и конструирование уравнений и неравенств с параметрами, сводящихся к квадратным

Функция принимает отрицательные значения при и строго

убывает на промежутке Тогда в точке функция имеет максимум

Ответ:

Глава 3. Исследование и решение квадратных неравенств с параметрами

3.1 Квадратные неравенства с параметрами

I.

Графическая иллюстрация + х1 х2 + - х	Решение

Графическая иллюстрация + + х	Решение

Графическая иллюстрация + + + x	Решение любое число



Графическая иллюстрация + х -	Решение

Графическая иллюстрация + - х	Решение

Графическая иллюстрация х1 + х2 - - х	Решение



Графическая иллюстрация х - -	Решение Нет решений

Графическая иллюстрация + - - - х	Решение Нет решений

II.

Графическая иллюстрация + х1 х2 + - х	Решение

Графическая иллюстрация + + - - х	Решение Нет решений

Графическая иллюстрация + + + x -	Решение Нет решений

Графическая иллюстрация + - х	Решение

Графическая иллюстрация + - х	Решение

Графическая иллюстрация х2 + х1 - - х	Решение

Графическая иллюстрация х - -	Решение

Графическая иллюстрация х - - -	Решение х - любое число

Приведем ряд задач, с использованием исследований, приведенных выше:

Задача 1. Для каждого параметра решить неравенство

I. Если то:

а) тогда

б) тогда

т.е. - есть решение;

в) тогда - любое число ().

II. Если то т.е.

III. Если тогда

Ответ: 1) При

2) При

3) При

4) При - есть решение.

5) При - есть решение.

Задача 2. Для каждого параметра решить неравенство

а) Если тогда

б) Если то или

в) Если

г) Если то и

д) Если то

Ответ: 1) При

2) При

3) При

4) При

5) При

Задача 3. Для каждого параметра a решить неравенство

Тогда - корни уравнения

Выясним, при каких значениях параметра

или

Тогда при

при

I. Если то

при следует, что

II. Если то тогда

III. Если то тогда

IV. Если тогда

Ответ: 1) При

2) При

3) При

4) При

5) При

Задача 4. Найти все значения параметра a, при которых неравенство выполняется при любых х. В ответе записать длину интервала полученных значений параметра.

Решение:

Преобразуем неравенство:

Т.к. дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе, отрицателен, следовательно, знаменатель положителен для всех х.

Чтобы значение дроби было положительно, числитель должен быть всегда положителен. А это возможно, когда дискриминант отрицателен, т.к. коэффициент при больше нуля.

, длина этого интервала равна 8.

Ответ: 8

Задача 5. При каких целых значениях параметра а неравенство

верно для любого значения х?

Решение:

Преобразуем данное неравенство:

Неравенство выполняется для любого х, если дискриминант неравенства отрицателен.

Т.е.

Отсюда получаем

Ответ: 1;2;3;4;5;6;7

Задача 6. Найти все значения параметра а, при которых из неравенства следует неравенство

Решение:

1). Если а=0, то - не удовлетворяет условию задачи

2). Если , то при , либо при

(если )

Т.е. при из не следует, что

3). Если , то нам нужно найти все значения параметра а, при которых оба корня принадлежат отрезку [0;1].

Т.е. по теореме 4 (о расположении корней квадратного трехчлена относительно двух данных чисел) получаем:

Ответ:

Задача 7. Найти все значения параметра а, при которых каждое решение неравенства (1) является решением неравенства (2).

Решение:

Неравенство (1) равносильно системе: . Решением этой системы является объединение двух промежутков:

Решением неравенства (2) является:

Понятно, что каждое решение неравенства (1) будет являться и решением неравенства (2), если:

Ответ:

Задача 8. При каких значениях параметра а в множестве решений неравенства

содержится пять целых чисел?

Решение:

Найдем дискриминант данного неравенства:

Т.о.

Рассмотрим три случая:

1). Если то решением неравенства будет . Тогда пять целых чисел, принадлежащих этому отрезку должны быть такими: 1, 0, -1, -2, -3. Значит тогда как Это выполняется при условии

2). Если то решение неравенства состоит из одной точки что не подходит.

3). Если , то решением неравенства будет Тогда пять целых чисел, принадлежащих этому отрезку должны быть такими: 1, 2, 3, 4, 5. Это выполняется при условии

Ответ:

Задача 9. При каких значениях неравенство выполняется только для одного действительного значения

Решение:

Рассмотрим несколько случаев:

1). Если тогда имеем Понятно, что этот случай нам не подходит.

2). Если рассмотрим квадратичную функцию

а) Если то ветви параболы направлены вниз, и очевидно исходное неравенство не может иметь единственное решение.

б) Если тогда дискриминант квадратного трехчлена должен принимать только нулевое значение:

Ответ: или

Задача 10. При каких значениях параметра а множество решений неравенства

будет интервал длины 5?

Решение: .

Заметим, что при любых значениях параметра а дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства, положителен.

Пусть и - корни этого квадратного трехчлена. По условию должно иметь место равенство

Имеем Применяя теорему Виета, получим

Ответ:

3.2 Исследование неравенств с параметрами с начальными условиями

I. Найти все значения параметров, при которых неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем все возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

M N х2 х1 х

2.

х2 х1 х M N

3.

х1 х2 M N x

4.

5.

6.

Примечания.

а) объединяет случаи 5 и 6.

б) В дальнейшем при решении задач мы не будем в случаях 2 и 3 требовать выполнения условия , так как при условия 2 и 3 становятся частными случаями условий 4, 5 и 6.

7.

а)

б)

8.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

II. При каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем все возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2.

Примечание. Аналогично задаче I, мы далее не будем требовать выполнения условия .

3.

4.

5.

6.

Примечание.

- условие, объединяющее 5 и 6 случай.

7.

а)



б)

8.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

III. При каких значениях параметров неравенство справедливо для

Проиллюстрируем возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2. Если , то неравенство решений не имеет, так как

3.

4.

5.

а)

б)

Неравенство решений не имеет, так как

6.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство для

IV. При каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2.

3. Если , то неравенство решений не имеет, так как

4.

5.

а)

Неравенство решений не имеет, так как

б)

6.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для

V. При каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2. Если то неравенство решений не имеет, так как

3.

4.

5.

а) Неравенство решений не имеет, так как

б) .

6.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

VI. При каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2.

3. Если то неравенство решений не имеет, так как

4.

5.

а)

б) Неравенство решений не имеет, так как

6.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

VII. При каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2. Если то неравенство решений не имеет, так как

3.

4.

5.

а)

Но значит

б)



Но значит

6.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

VIII. При каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Проиллюстрируем возможные случаи и запишем условия их выполнения.

1.

2. Если то неравенство решений не имеет, так как

3.

4.

5.

а)

Но значит

б)

тогда

6.

Вывод. Объединяя решения всех случаев, получим ответ на вопрос, при каких значениях параметров неравенство справедливо для любого значения

Приведем ряд задач, с использованием исследований, приведенных выше:

Задача 1.

При каких значениях параметра неравенство

справедливо для

По теореме I:

а) т.е.

б) т.е.

в) т.е.

г) т.е.

- корни уравнения

тогда получаем

д) т.е.

е) т.е.

Нет необходимости рассматривать случай, когда

ж) так как при

Ответ:

Задача 2

При каких значениях параметра неравенство

справедливо для

По теореме II:

а) т.е.

б) т.е.



в) т.е.

Убеждаясь, что числа и - корни уравнения

изобразим решение системы неравенств графически.

г) т.е.

т.е.

д) т.е.

е) т.е.

Ответ:

Задача 3

При каких значениях параметра неравенство

справедливо для

По теореме III:

а) т.е.

б) т.е.

в) т.е.

г) т.е.

Ответ:

Задача 4

При каких значениях параметра неравенство

справедливо для

По теореме IV:

а) т.е.

б) т.е.

Убеждаясь, что числа и являются решениями уравнения

получаем решение системы

в) т.е.

г) т.е.

Ответ:

Задача 5

При каких значениях параметра неравенство справедливо для

По теореме V:

а) т.е. .

б) т.е.

Убеждаясь, что числа и - корни уравнения , получаем решение системы

в) т.е.

г) т.е.

Ответ:

Задача 6

При каких значениях параметра неравенство справедливо для

По теореме VI:

а) т.е.

б) т.е.

Убеждаясь, что числа и - корни уравнения , получаем решение системы

в) т.е.

г)

Ответ:

Задача 7

При каких значениях параметра неравенство справедливо для

По теореме VII:

а) ; т.е. ; ;

б) т.е.

Убеждаясь, что числа и - корни уравнения , получаем решение системы

в) т.е.

Ответ:

Задача 8

При каких значениях параметра неравенство

справедливо для

По теореме VIII:

а) т.е. ;;; .

б), т.е. ;;.

в), т.е. ;

г), так как при .

Ответ:

Задача 9

Найти все значения параметра а, при которых для любого х выполняется неравенство

Решение:

Сделаем замену: , где

Т.е. нам нужно найти все значения параметра а, при которых

, где

По теореме VI:

1. т.е. ;

2.

3. т.е.

Ответ:

Задача 10. При каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех х?

Решение:

Преобразуем данное неравенство:

Сделаем замену: где

Т.е. нам нужно найти все значения параметра а, при которых

где

По теореме 1:

Ответ:

Задача 11. При каких значениях параметра а неравенство

выполняется при всех действительных х?

Решение:

Сделаем замену: где

Т.е. нам нужно найти все значения параметра а, при которых

где

По теореме 2:

1.

2.

3.

4.

5.

Ответ:

Глава 4. Задачи, предлагаемые на ЕГЭ

В ЕГЭ используется три формы заданий: с выбором ответа (форма А), с кратким ответом (форма В) и с развёрнутым ответом (форма С). В форме С задания высокого уровня сложности и подобны наиболее сложным заданиям, которые предлагаются на экзамене в школе и на вступительных экзаменах в большинстве вузов. Задания с развёрнутым ответом даются с целью проверить, умеет ли ученик не только найти ответ на поставленный вопрос, но и обосновать свои выводы, построить логическую цепочку рассуждений и математически грамотно записать решение. При их выполнении надо следить за тем, чтобы сделанные выкладки были последовательны и логичны, основные шаги решения, выводы подкреплены ссылками на изученные свойства или признаки математических объектов, формулы, и математические термины и символы использованы корректно.

Так в наиболее сложных заданиях , типа С, присутствует параметр, относительно которого и ставится основной вопрос задания. Приведем примеры таких задач:

Задача 1.При каких значениях параметра а, выражение не равно нулю не при каких значениях х?

Решение:

При каких а уравнение не имеет решений.

. Так как не является решением, следовательно: . Чтобы уравнение не имело решений, необходимо, чтобы D<0, тогда

Ответ: .

Задача 2 . Найти все значения параметра а, при каждом из которых уравнение

имеет два различных корня, равноудаленных от точки .

Решение:

Сделаем замену:

Следовательно: и

Чтоб были равноудалены от точки , надо:

Ответ: .

Задача 3. Найти все значения параметра а, при каждом из которых либо число корней уравнения равно числу корней уравнения , либо оба эти уравнения не имеют решений.

Решение:

Так как уравнение является линейным, то у него может быть либо: один корень, бесчисленное множество корней или вообще не имеет решений, в зависимости от параметра а.

А квадратное уравнение может иметь: один корень, два корня или не имеет решений, также в зависимости от параметра а.

Исходя из этого нам нужно найти такие значения параметра а, при которых оба эти уравнения имеют один корень, либо не имеют решений.

Рассмотрим уравнение

1. Если , то , то есть один корень; посмотрим сколько корней имеет уравнение, при , мы видим, что оно также имеет один корень . Следовательно удовлетворяет условию задачи.

2. Если . Нам нужно найти такие значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений, следовательно D<0.

Преобразуем теперь уравнение , имеем

. При и , уравнение не имеет решений.

Объединяя оба этих решения, получаем, что при , оба уравнения не будут иметь решения.

3. Найдем теперь такие значения параметра а, при которых уравнения и имеют одно решение.

Чтобы уравнение имело один корень, нужно чтобы D=0, то есть . Проверим, будет ли при этих значениях параметра а, уравнение иметь один корень.

, тогда подставим и видим, что , но такого не может быть, так как знаменатель исходного линейного уравнения обратится в нуль.

, тогда подставим и видим, что , то есть - удовлетворяет условию задачи.

Ответ:

Задача 4. Найти все значения параметра при которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение:

Сделаем замену: , получаем

Рассмотрим 2 случая:

1) Данное уравнение имеет единственный корень, если дискриминант равен нулю.

Если - не подходит

Если - подходит

2) Уравнение будет иметь единственный корень и в том случае, если дискриминант больше нуля, но корни разных знаков.

По Т. Виета:

Учитывая оба случая, получаем:

Ответ:

Задача 5. Найти все значения а, при которых область определения функции

есть вся числовая прямая.

Решение:

Область определения функции будет вся числовая прямая, если знаменатель данной функции будет отличен от нуля.

Т.е.

Сделаем замену: где и уравнение примет вид (1)

Рассмотрим несколько случаев:

1). Если то . Данный случай нам не подходит, т.к. область определения функции, по условию, должна быть вся числовая прямая.

2). Если и , т.е. , то область определения функции есть вся числовая прямая.

3). Если т.е. . Данный случай нам так же не подходит.

Ответ:

Задача 6. Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство

выполняется для любого значения а, принадлежащего промежутку

Решение:

Решим задачу тремя способами:

Способ 1. Преобразуем левую часть данного неравенства следующим образом:

Данное неравенство примет вид:

Если получаем

Если то и исходное неравенство запишем в виде:

Так как то решением этого неравенства будет промежуток числовой оси, расположенный между корнями соответствующего неравенству уравнения.

Выясним взаимное расположение чисел а и , учитывая при этом условие

1.

2.

3.

Представим во всех рассмотренных случаях решения данного неравенства в зависимости от значений параметра:

Получим, что только является решением данного неравенства при любом значении параметра

Ответ: -1

Способ 2. Решим задачу с помощью теоремы 2 (теорема о исследовании неравенств с параметром с начальными условиями):

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. - не подходит

Ответ: -1

Способ 3.

Мы уже знаем, что дискриминант данного неравенства равен:

Исходя из этого найдем корни квадратного трехчлена

Т.о. исходное неравенство примет вид:

Решим теперь задачу: Найдите все значения х, для каждого из которых неравенство

выполняется для любого значения а, принадлежащего промежутку , графически в координатной плоскости «переменная - параметр»:

Мы видим, что два множества пересекаются в одной точке:

Ответ: -1.

Задача 7. Найдите все значения х, которые удовлетворяют неравенству при любом значении параметра а, принадлежащего промежутку (1;2).

Решение:

Способ 1. 1). Неравенство в котором левая часть рассматривается как функция от а, есть линейная функция.

2). Для положительности линейной функции на промежутке (1;2) необходимо, чтобы она была положительна или равнялась нулю при каждом из двух значений а=1 и а=2, т.е.:

3). Для выполнения требования задачи функция не должна равняться нулю при обоих значениях а=1 и а=2 одновременно, т.е. не выполняется система:

Ответ:

Способ 2.

Преобразуем неравенство :

Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части данного неравенства:

Тогда корни:

Т.о. наше неравенство будет выглядеть следующим образом:

Решим теперь задачу: Найдите все значения х, которые удовлетворяют неравенству при любом значении параметра а, принадлежащего промежутку (1;2)., графически в координатной плоскости «переменная - параметр»:

Ответ считывается с графика:

Ответ:

Заключение.

В ходе работы:

1. Проанализированы содержание 3 комплектов учебников: и рассмотрено отношение каждого автора учебника к этим задачам.

2. Рассмотрено использование этих задач в учебном процессе, как в основной школе, так и в школе с углубленным изучением математики: это могут быть как обычные уроки, посвященные решению задач по данной теме, факультативы, а также обобщенные уроки для подготовки к экзаменам.

Работа может помочь при подготовке к ЕГЭ, рассматриваться как справочный материал.

Данная работа апробирована в 10 д классе гимназии №1 города Ярославля.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бестужева Л.П. Решение и конструирование задач с параметрами. - Ярославль: ЯрГУ,2003.

2. Денищева Л.О., Глазков Ю.А. Единый государственный экзамен 2007. Математика. Учебно-тренировочные материалы для подготовки учащихся. ФИПИ - М.: Интеллект-Центр, 2007

3. Дорофеев Г.В. О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы.// Математика в школе. №4 , 1983.

4. Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах//Квантор, 1991.

5. Колесникова С. И. Математика, Решение сложных задач ЕГЭ. - М.: Айрис-Пресс, 2006.

6. Корешкова Т.А., Мирошин В.В., Шевелева Н.В. ЕГЭ-2007. Математика. Тренировочные задания. - М.: Просвещение; Эксмо, 2007

7. Марков В. К. Задачи с параметрами. - М.: МГУ, 1968.

8. Мордкович А.Г. Беседы с учителями математики. - М.: Школа - Пресс, 1985

9. Родионов Е.М. Справочник по математике для поступающих в вузы. Решение задач с параметрами. - М.: МЦ «Аспект», 1992

10. Севрюков П. Ф., Смоляков А. Н. Школа решения задач с параметрами. - Москва, Ставрополь, 2007

11. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Уравнения и неравенства. - Ярославль , 2000.

12. Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами. - СПб.: Петроглиф, 2006

13. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. - М.: Просвещение. 1972.

14. Комплекты учебников/ Под ред. Н.Я. Виленкина, А.Г. Мордковича, А.В. Теляковского.

15. //Математика в школе №2, 2003; № 11, 18 , 2004; № 1, 4, 2005.

16. Приложение математика//Первое сентября № 36, 2002.

Приложение

1. Журнал математика в школе

1. 1974 г. №3 «Графическое решение уравнений с параметрами» Окунев А. А. стр. 68-71

2. 1978 г. №3 «Как развивать “графическое мышление”» Болтянский В. Г. стр. 16-24

3. 1980 г. №1 «О расположении корней квадратного уравнения, коэффициенты которого зависят от параметров» Крыстев В. стр. 49-50

4. 1983 г. №4 «О задачах с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах в вузы» Дорофеев Г. В. стр. 36-41

5. 1988 г. №6 «Применение графической наглядности при изучении квадратного трехчлена» Ли Чанмин стр. 38-39

6. 1994 г. №1 «Об уравнениях с параметром» Кормихин А. А. стр. 33-35

7. 1995 г. №5 «Нахождение области значения функции через введение параметра» Борисова С. М. стр.20

8. 1996 г. №3 «Об одном классе параметрических задач» Кожухов С. К. стр.45-49

9. 1998 г. №6 «Различные способы решения задач с параметром» Кожухов С. К. стр. 9-12

10. 1999 г. №6 «Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами» Горбачев В. И. стр. 60-69

11. 2000 г. №2 «Общие методы решения уравнений и неравенств с параметрами не выше второй степени» Горбачев В. И. стр. 61-69

12. 2001 г. №5 «Задачи с параметром, сводящиеся к квадратным уравнениям» Мещерякова Г. П. стр. 60-62

13. 2001 г. №7 «Квадратный трехчлен в задачах вступительных экзаменов» Неискашова Е. В. стр. 39-42

14. 2002 г. №8 «Уравнения с параметрами на факультативных занятиях» Постникова С. Я. стр. 73-77

15. 2003 г. №3 «Уравнения и системы уравнений с параметрами» Шабунин М. И. стр. 22-28

16. 2003 г. №7 «Уравнения с параметрами» Евсеева А. И. стр. 10-14

2. Газета «Первое сентября»: приложение «Математика»

1. 1994 г. №12 «Задачи с параметрами» Тиняков Г., Тиняков И. стр. 6

2. 1994 г. №34 «Семинар шестой для молодых учителей. Тема: Уравнения и неравенства с параметрами (часть первая)» Мордкович А. стр. 2-3

3. 1994 г. №36 «Семинар седьмой для молодых учителей. Тема: Уравнения и неравенства с параметрами (часть вторая)» Мордкович А. стр. 2-3

4. 1994 г. №38 «Семинар восьмой для молодых учителей. Тема: Уравнения и неравенства с параметрами (часть третья)» Мордкович А. стр. 2-3

5. 1995 г. №21 «Задачи с параметрами» Тиняков Г., Тиняков И. стр. 2-4

6. 1996 г. №5 «Системы алгебраических уравнений и неравенств» Салахов В., Шабунин М. стр. 13-15

7. 1997 г. №40 «Решение задач с параметрами» Кичатова О. стр. 5-6

8. 1997 г. №46 « Задачи по алгебре, 9 класс» Галицкий М. стр. 7-10

9. 1998 г. №3 «Материалы вступительных экзаменов в МГУ. Задачи с параметрами» Алексеев В. и др. стр.12-14

10. 1998 г. №17 «Материалы вступительных экзаменов в МГУ. Задачи с параметрами» Нагорнов О. стр. 15-16

11. 1999 г. №5 «Квадратные трехчлены и параметры» Цыганов Ш. стр. 4-9

12. 1999 г. №21 «Квадратный трехчлен» Антонова Н., Солодовников С. стр. 30-32

13. 1999 г. №24 «Материалы вступительных экзаменов в МГУ. Задачи с параметрами» стр. 24-31

14. 1999 г. №34 «Особенности решения задач с параметрами» Неделяева С. стр. 20-23

15. 1999 г. №37 «Формулы Виета для квадратного трехчлена» Антонова Н., Солодовников С. стр. 44-48

16. 2000 г. №6 «Решение неравенств первой и второй степени с параметрами» Легошина С. стр. 15-17

17. 2000 г. №10 «Уравнения и неравенства с параметрами в курсе алгебры девятилетней школы: алгоритмический подход» Попов В. стр. 6-10

18. 2001 г. №13 «О кратных корнях многочлена (уравнения)» Ардуванова Ф., Галин Э. стр. 28

19. 2001 г. №36 «Линейные и квадратные уравнения с параметрами 9 кл.» Дубич С. стр. 28-31

20. 2002 г. №18 «Десять правил расположения корней квадратного трехчлена» Цыганов Ш. стр. 19-23

21. 2002 г. №22 «Решение квадратных и дробно-рациональных уравнений, содержащих параметры» Косякова Т. стр. 15-18

22. 2002 г. №23 «О задачах с параметрами» Голубев В., Гольдман А. стр. 27-32

23. 2002 г. №27-28 Курс «Уравнений и неравенств с параметрами» Кочагин В. стр. 39-43

24. 2002 г. №33 Курс «Уравнений и неравенств с параметрами» Кочагин В. стр. 24-27

25. 2003 г. №1 «Задачи с параметрами 7-11 классы» Егерман Е. стр. 18-20

26. 2003 г. №2 «Задачи с параметрами 7-11 классы» Егерман Е. стр. 10-14, 19

27. 2003 г. №3 «Задачи с параметрами 7-11 классы» Егерман Е. стр. 17-20

28. 2003 г. №29 «Неравенства и системы неравенств с параметрами 11 класс» Шабунин М. стр. 29-32

29. 2003 г. №31 «Неравенства и системы неравенств с параметрами 11 класс» Шабунин М. стр. 29-32

30. 2003 г. №32 «Неравенства и системы неравенств с параметрами 11 класс» Шабунин М. стр. 30-32

31. 2003 г. №43 «Задачи с параметрами 10-11 кл.» Красова Е. стр. 20

32. 2003 г. №48 «Задачи с параметрами 7-11 классы» Лебедева В., Хенкин Д. стр. 13-14

33. 2004 г. №2 «О многочленах степени не выше второй» Кривобоков В., Медведев А. стр. 15-18

34. 2004 г. №11 «О многочленах степени не выше второй: Задачи условного параметрического анализа» Кривобоков В., Медведев А. стр. 25-28

35. 2004 г. №34 «Расположение корней квадратного трехчлена при решении задач с параметрами» Кузовлев А. стр. 19-27

36. 2004 г. №43 «О расположении корней квадратного трехчлена» Голубев В. стр. 19-24

37. 2004 г. №44 «О расположении корней квадратного трехчлена» Голубев В. стр. 23-30

38. 2005 г. №2 «Школа решения нестандартных задач» Голубев В. стр. 44-48

39. 2005 г. №3 «Школа решения нестандартных задач: Графические методы решения задач с параметром» Голубев В. стр. 35-40

40. 2005 г. №4 «Решение задач с параметрами» Карасев В., Левшина Г., Данченков И. стр. 38-40

41. 2005 г. №13 «Школа решения нестандартных задач: Сколько корней имеет квадратный трехчлен на луче» Голубев В. стр. 41-48

42. 2006 г. №2 «Школа решения нестандартных задач: Поучительная задача про квадратный трехчлен» Голубев В. стр. 20-22

43. 2006 г. №17 «Осторожно: теорема Виета» Голубев В., Кравцев С., Шавгулидзе Е. стр. 11-14

Библиография

1. Амелькин В., Рабцевич В. Задачи с параметрами. - Минск, 2002.

2. Бестужева Л.П. Решение и конструирование задач с параметрами. - Ярославль:Яр.ГУ,2003.

3. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. - К.: РИА “Текст”; МП “ОКО”, 1992.

4. Локоть В. В. Задачи с параметрами. Линейные и квадратные уравнения, неравенства, системы. - АРКТИ, 2004.

5. Марков В. К. Задачи с параметрами. - М.: МГУ, 1968.

6. Марков В. К. Метод координат и Задачи с параметрами. - М.: МГУ, 1970

7. Моденов В. П. Задачи с параметрами. Координатно-параметрический метод. - Экзамен, 2006.

8. Натяганов В. Л., Лужина Л. М. Методы решения задач с параметрами. - М.: МГУ, 2003

9. Потапов М. К., Олехник С. Н., Нестеренко Ю. В. Уравнения и неравенства с параметрами. - М.: МГУ, 1992.

10. Родионов Е. М. Справочник по математике для поступающих в ВУЗЫ. Решение задач с параметрами. - М.: Аспект, 1992

11. Севрюков П. Ф., Смоляков А. Н. Школа решения задач с параметрами. - Москва, Ставрополь, 2007

12. Чаплыгин В.Ф., Чаплыгина Н.Б. Уравнения и неравенства. - Ярославль , 2000.

13. Шахмейстер А. Х. Уравнения и неравенства с параметрами. - СПб.: Петроглиф, 2006

14. Шестаков С. А., Юрченко Е. В. Уравнения с параметром. - Москва, 1993

15. Ястребинецкий Г. А. Задачи с параметрами. - М.: Просвещение, 1986.

16. Ястребинецкий Г. А. Уравнения и неравенства, содержащие параметры. - М.: Просвещение. 1972.

Размещено на http://www.allbest.ru/