Методика проведения факультативных занятий по математике

49

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

I МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ

1.1. Общая характеристика факультативных занятий по математике

1.2. Цели факультативных занятий по математике

1.3. Организация факультативных занятий по математике

1.4. Основные формы и методы проведения факультативных занятий по математике

II СОДЕРЖАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

II.1. Комплексные числа в алгебраической форме

II.1.1. Определение комплексных чисел и операций над ними

II.1.2. Сопряженные комплексные числа

II.1.3. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел

II.2. Тригонометрическая форма комплексных чисел

II.2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел

II.2.2. Полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел

II.2.3. Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

II.2.4.Формула Муавра. Применения комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств

II.2.5. Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

II.3. Основная теорема алгебры многочленов

II.4. Комплексные числа и геометрические преобразования. Функции комплексного переменного

III. Методические рекомендации

Содержание

Литература

ВВЕДЕНИЕ

На современном этапе развития общеобразовательная школа большое внимание уделяет проблеме обеспечения глубокого и прочного овладения учащимися учебным материалом, повышению эффективности обучения, развитию у школьников стремления к учению. Именно поэтому учителя постоянно ищут пути совершенствования учебно-воспитательного процесса. Учёные - педагоги, занимавшиеся проблемой исследования уровня знаний учащихся в средней школе по математике, пришли к выводу, что состояние знаний у учащихся средней школы по математике желает быть лучше.

Правильная организация по предмету факультативных занятий - это есть внеурочная деятельность школьников, которая может быть логическим продолжением учебных занятий, главное назначение которой - развитие интереса к предмету, склонностей школьников и разумная организация их свободного времени.

В данной работе представлена методика проведения факультативного курса по математике по изучению комплексных чисел. При проведении факультативного курса учителю необходимо знать уровень мотивации обучения учащихся, что актуально при обучении учащихся не только по данной теме.

Целью данной работы является в соответствии с выявленной у учащихся мотивацией учения разработать методику изучения комплексных чисел на факультативных занятиях для учащихся 11-го класса основной школы, позволяющую активизировать учебную деятельность школьников.

Для реализации поставленной цели необходимо решить следующие частные задачи: 1) отработать и систематизировать материал по содержанию темы «Комплексные числа» и организовать факультатив по теме «Комплексные числа»; 2) в ходе практической работы со школьниками разработать методические рекомендации для проведения факультативных занятий по теме «Комплексные числа».

Данная работа содержит две главы.

В первой главе излагается методика проведения факультативных занятий.

Во второй главе приводится содержание факультативного курса «Комплексные числа», как необходимого теоретического материала курса и даются методические рекомендации по проведению факультатива. Предлагаемый факультатив полезен учащимся старших классов интересующихся математикой. Занятия по этому курсу позволяют учащимся овладеть основными идеями теории аналитических функций.

ГЛАВА I. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ФАКУЛЬТАТИВНЫХ ЗАНЯТИЙ

1.1. Общая характеристика факультативных занятий по математике

1.1. Вторая половина ХХ века характеризуется бурной математизацией научного знания и практической деятельности человека. Являясь с незапамятных времён фундаментом естествознания и техники, математика в последнее время необычно расширила сферы своей применимости. Математическое образование стало значительным средством повышения уровня подготовки будущих специалистов по большинству как естественно - научных и техническ5их, так и гуманитарных дисциплин. Математика - один из ведущих предметов школьного цикла.

В связи с этим процессы обновления содержания образования и повышения научно - теоретического уровня программ являются необходимым. Но это связано с учебной нагрузкой учащихся, с доступностью и посильностью возрастного содержания общего образования. В этой связи перед педагогической наукой, со всей очевидностью и остротой, встала задача: найти правильное решение в преодолении серьёзного противоречия - неизбежности внесения нового материала в программы и необходимости предупреждения учебной перегрузки школьников. Среди путей решения этой сложной проблемы одно из ведущих мест принадлежит введению в общеобразовательную школу факультативных занятий.

Факультативные занятия - форма учебной работы, предусмотренная постановлением ЦК КПСС и советом министров СССР от 10 ноября 1966 года "О мерах дальнейшего улучшения работы средней общеобразовательной школы" по разным учебным предметам, в том числе и по математике. [1]

Эффективность учебного процесса, в ходе которого формируются умственный и нравственный облик человека, во многом зависит от успешности усвоения одинакового, обязательного для всех членов общества содержания образования и всемирного удовлетворения и развития духовных запросов, интересов и способностей каждого школьника в отдельности. Без факультативных занятий такой переход осуществлять крайне сложно.

Разделение учебного материала на основной - обязательный для всех учащихся, и на дополнительный, рассчитанный на удовлетворение повышенных интересов отдельных школьников (не является обязательным), даёт замечательную возможность повышать уровень общего образования, отвечающий требованиям научно - технического прогресса, не допуская перегрузки ребят обязательными учебными занятиями.

Назначение факультативных занятий состоит в развитии способностей и интересов учащихся в сочетании с общеобразовательной подготовкой по избранному предмету и на её основе. Положение факультативов в ряду форм углубленного изучения отдельных учебных предметов описывается следующим образом: "Факультативы продолжают оставаться одним из основных средств дифференциации обучения в условиях всеобщего среднего обязательного образования, помогают решать задачи совершенствования содержания и методов обучения, воспитания учащихся, их подготовки к жизни, к труду". [1]

Ещё до введения факультативных занятий в нашей стране сложился определённый комплекс форм математической подготовки учащихся. Повсеместное развитие получили не только кружки и школы юных натуралистов, математические олимпиады, но и школы, и классы с математической специализацией. Повышенная математическая подготовка предоставляла возможность учащимся, проявляющим склонность и способности в области математики, поднять уровень своего математического развития, получить дополнительные, по сравнению с требованиями обязательного курса, знания, умения и навыки. К сожалению, школьные программы не безграничны и не могут в себя вместить все разделы математики. Среди путей решения этой проблемы одно из ведущих мест принадлежит введению в общеобразовательную школу факультативных занятий. Общеобразовательные функции факультативных занятий заключается в предоставлении возможностей учащимся, проявляющим интерес и склонности к предмету, получить дополнительные знания, умения и навыки по этому предмету. В этом смысле факультативные занятия входят в систему повышенной подготовки учащихся, являясь одним из её компонентов. Факультативы являются средним между уроками и внеклассной работой. С первым их объединяет наличие программы, а со вторым - свободный выбор их учащимися.

Факультативные занятия по математике ведутся в школе с VII класса со следующим числом недельных часов: VIII - 1 часа, IX - 2 часа, Х - 2 часа и XI - 2 часа.

1.2. Цели организации факультативных занятий по математике

Главной целью факультативных занятий по математике является углубление и расширение знаний, развитие интереса учащихся к предмету, развитие их математических способностей, привитие школьникам интереса и вкуса к самостоятельным занятиям математикой, воспитание и развитие их инициативы и творчества. [1]

Факультативные занятия содействуют профессиональной ориентации учащихся в области математики и её приложений, облегчая тем самым выбор специальности и дальнейшее совершенствование в ней. Факультативные занятия - массовая форма повышения математической подготовки учащихся. Они играют большую роль в совершенствовании школьного, в том числе и математического образования. Такие занятия позволяют производить поиск и экспериментальную проверку нового содержания, новых методов обучения, в широких пределах варьировать объём и сложность изучаемого материала.

Эту черту факультативов, позволяющую учителю проявить творческий подход к работе, отметил М. А. Прокофьев: "Факультативы есть " средство обкатки " большого знания. Затем содержание выбранного факультатива, должно будет войти в образовательные программы. Таков один из путей к качеству нового образования". [2]

Программа основного курса математики вместе с программой факультативных занятий по математике для средней школы составляют программу повышенного уровня по данному предмету для учащихся данного класса.

Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы ее могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. В тех случаях, когда в данном классе основной курс математики ведет один учитель, а факультативный - другой, изучение тем факультатива может проводиться независимо от основного курса программы (в этом случае изучение тем можно проводить с некоторым запозданием по отношению к основному курсу программы).

Для того чтобы факультативные занятия по математике были эффективными, необходимо их организовать там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно - методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Если школа имеет классы с небольшой наполняемостью, то группы учащихся для факультативных занятий можно комплектовать по параллелям или из учащихся смежных классов (VIII - IX классы, X-XI классы и т. п.). Запись учащихся на факультативные занятия производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные предметы. По окончании факультативного курса учащиеся сдают зачет (с оценкой), о чем делается отметка в аттестате.

Учитель математики несет полную ответственность за качество факультативных занятий; факультативные занятия вносятся в расписание и оплачиваются учителю.

Проведение факультативных занятий по математике не означает отказа от других форм внеклассной работы (математические кружки, вечера, олимпиады и т. д.). Они должны дополнять эти формы работы с учащимися, которые интересуются математикой. Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математике - дифференцированного обучения.

1.3. Организация факультативных занятий по математике

В настоящее время признано, факультативные занятия начинать с 8-го класса. Обучение на факультативных занятиях ведётся по программам, рекомендованным Министерством просвещения. К настоящему времени разработаны пособия по многим темам факультативных занятий. Программа факультативных занятий по математике составлена так, что все вопросы её могут изучаться синхронно с изучением основного курса математики в школе. Порядок тем факультатива не случаен. Он продуман и по возможности связан с построением общего курса математики. Таким образом, факультативные занятия роднит с основным курсом и разделяет с разными видами внеклассной работы наличие программы факультативных занятий, лежащих в их основе. [3] Для того, чтобы факультативные занятия по математике были эффективными необходимо их организованность там, где есть:

1) высококвалифицированные учителя или другие специалисты, способные вести занятия на высоком научно - методическом уровне;

2) не менее 15 учащихся, желающих изучать данный факультативный курс.

Запись учащихся на факультативные курсы производится на добровольных началах в соответствии с их интересами. Не следует принуждать учащихся обязательно изучать факультативные курсы. Особенно внимательно следует относиться к тем учащимся, которые встречают трудности в изучении математики или совмещают обучение в школе с другими видами занятий (спорт, музыка и так далее). К достоинствам факультативных занятий следует отнести и то обстоятельство, что их содержание в значительной мере определяется учителем. [1]

При выборе факультативного курса большая часть школьников ставит на первое место по значимости мотив, связанный с наличием интереса к предмету, подготовленность себя к будущей профессии, желание узнать новое, занимательное. Опора на устойчивый интерес и склонность старшеклассников к математике является той фундаментальной особенностью, которая характеризует факультативные занятия по предмету.

Практика проведения факультативов показывает, что при наличии общего интереса к математике, интересы школьников, посещающих данный факультатив, могут существенно различаться. [4] Поэтому построение любого факультативного курса по математике должно учитывать всесторонние интересы школьников к предмету. Это в свою очередь позволит значительно расширить и разнообразить форму и методы проведения занятий, повысить эффективность, самостоятельность работы учащихся. Кроме этого, интерес к одному или нескольким аспектам будет перерастать в интерес ко всей математике. Требования к ученику, участвующему в работе факультатива, такие же, как и в отношении любого учебного предмета: обязательное посещение занятий, выполнение домашнего задания и других поручений, собранность, дисциплинированность в учёбе и так далее. Возможность 1-2 часа в неделю дополнительно работать со школьниками, проявляющими повышенный интерес и способности к математике, представляет собой одно из проявлений новой формы обучения математики - дифференциация обучения.

По существу, факультативные занятия являются наиболее динамичной разновидностью дифференциации обучения. Одним из важных моментов факультативных занятий является использование информационных схем. Информационные схемы могут использоваться при изучении новой темы и организации повторения пройденного материала. Такая схема может содержать теоретический материал большого объёма, отражать различные изучаемые понятия и свойства во взаимосвязи. Поэтому их использование на занятиях позволяет формировать у учащихся умение логически мыслить, анализировать представляемую им зрительную информацию, систематизировать у ребят имеющиеся знания.

1.4. Основные формы и методы проведения факультативных занятий по математике

Факультативные занятия по математике должны строиться так, чтобы быть для учащихся интересными, увлекательными, а подчас и занимательными. Необходимо использовать естественную любознательность школьника для формирования устойчивого интереса к своему предмету. Известный французский физик Луи де Бройль писал, что современная наука - «дочь удивления и любопытства, которые всегда являются ее скрытыми движущими силами, обеспечивающими ее непрерывное развитие».

Основными формами проведения факультативных занятий по математике являются в настоящее время изложение узловых вопросов данного факультативного курса учителем (лекционным методом), семинары, собеседования (дискуссии), решение задач, рефераты учащихся (как по теоретическим вопросам, так и по решению цикла задач), математические сочинения, доклады учащихся и т. д.

Однако учителю не следует отдавать предпочтение какой-либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, памятуя о том, что на факультативных занятиях по математике самостоятельная работа учащихся должна занять ведущее положение, следует все же чаще применять решение задач, рефераты, доклады, семинары дискуссии, чтение учебной и научно-популярной литературы и т.п.

Одной из возможных форм ведения факультативных занятий по математике является разделение каждого занятия на две части. Первая часть посвящается изучению нового материала и самостоятельной работе учащихся по заданиям теоретического характера. По окончании этой части занятия учащимся предлагается домашнее задание по изучению теорий и ее приложений. Вторая часть каждого занятия посвящена решению задач повышенной трудности и обсуждению решений особенно трудных или интересных задач. Решая последовательно все задачи самостоятельно или при незначительной помощи преподавателя, школьники постепенно изучают курс при большом личном участии, проявляя активность и самостоятельность, овладевая техникой математического мышления.

Полезно также широко использовать задачи проблемного характера.

В настоящее время факультативные занятия по математике проводятся по двум основным направлениям: а) изучение курсов по программе «Дополнительные главы и вопросы курса математики»; б) изучение специальных математических курсов.

Содержание программы «Дополнительные главы и вопросы» систематического курса математики позволяет решить и углубить изучение программного материала, ознакомить учащихся с некоторыми общими современными математическими идеями, раскрыть приложение математики в практике, готовит учителя к работе по новой программе.

При выборе методов и приёмов обучения на факультативных занятиях необходимо учитывать содержание факультативного курса, уровень развития и подготовленности учащихся, их интересы к тем или иным разделам программы. Одно из главных требований к методам состоит в активизации мышления учащихся, развитию самостоятельности в различных формах её проявления. Также необходимо учесть цели и задачи обучения, воспитания, развития, которые будут реализовываться на данном занятии (или на каком - то из его этапов) и на протяжении изучения всего материала факультативного курса. Методы обучения играют первостепенную роль в формировании не только знаний, но и умений, и навыков учащихся.

На факультативном занятии следует уделять внимание развитию следующих умений и навыков:

1) умению слушать объяснение нового материала, вести конспект занятий.

2) умению работать с учебником по математике, учебно- методической и научной литературой.

3) умению написать реферат на определённую тему.

4) умению подготовить доклад или сообщение по прочитанному материалу.

5) умению проводить самостоятельные исследования поставленных проблем.

6) умению решать задачи, доказывать теоремы, определённые программой факультатива.

Выбор учителем методов обучения должен опираться на учёт возрастных и индивидуальных особенностей учащихся. Для старшеклассников особенно эффективными являются методы обучения, ориентированные на самостоятельную и творческую работу.

При разработке данного факультативного курса опирались в основном на следующие методы обучения:

1. Алгоритмический метод, при котором обеспечивается возможность выполнения упражнений с необходимыми пояснениями в определённой последовательности. Но не следует прибегать к этому методу слишком часто, прежде всего, необходимо сочетание этого метода с применением образца ответа.

2. Объяснительно - иллюстративный метод состоит в том, что учитель посредством слова, учебника, предметов, изобразительных средств, показа действий организует деятельность учащихся на восприятие готовой информации, объясняет её смысл. Преимущество этого метода в экономии времени, даёт учащимся образцы логических рассуждений.

3. Исследовательский метод предназначен для развития творческих возможностей учащихся и формирование у них умения применять знания в новых ситуациях. При использовании этого метода необходимо ответственно подходить к организации процесса управления творческого поиска учащихся для того, чтобы школьники почувствовали " напряжённость поиска и радость открытия ". Для чего необходимо подобрать задачи посильные для решения, но требующие самостоятельного поиска решения, а также доказательства правильности найденного решения. [4]

На факультативах можно использовать разнообразные формы проведения занятий: лекции, практические работы, обсуждение заданий по дополнительной литературе, доклады учеников, составление рефератов, лабораторные работы, самостоятельное изучение литературы.

Остановимся на некоторых из них:

1) Лекция учителя предполагает систематическое изложение материала, позволяющее проследить внутрипредметные и межпредметные связи, ознакомить с историей вопроса, перспектив его развития, показать значение изучаемого в практике. На лекции учащиеся получают возможность слышать логически стройную и грамотную роль учения. Опираясь на психологические закономерности, можно добиться того, чтобы во время рассказа учителя максимально активизировать деятельность(мыслительную) школьников. Следовательно, школьную лекцию наряду с другими формами можно использовать при изложении нового материала. При проведении лекции возможны беседы с учениками, обсуждение возникших по ходу рассказа вопросов, постановка задач и так далее.

2) Подготовка учениками рефератов - выполнение таких заданий важно прежде всего в отношении развития навыков самообразования, удовлетворение индивидуальных интересов учащихся. Одновременно индивидуальное задание должно иметь ценность для всей факультативной группы. Следует стремиться к тому, чтобы подготовленные рефераты заслушивались и обсуждались. К подготовке доклада можно привлечь несколько ребят, заранее изучивших его. Для рефератов нужно подбирать темы, по которым имеются легко доступные источники.

3) Семинары уместно проводить для углубления и систематизации знаний по какой-либо теме. В ходе подготовки к семинару школьники приобретают навыки научного исследования и его оформления, учатся защищать свои умозаключения и убеждения, рецензировать выступления товарищей.

4) Практикумы относятся к числу активных форм учебных занятий. Они проводятся при завершении крупных разделов курса и имеют главной целью закрепление и углубление теоретического материала, изложенной лекции.

Однако не следует отдавать предпочтение какой - либо одной форме или методу изложения. Вместе с тем, помня о том, что на факультативном занятии по математике самостоятельная работа должна занять ведущее положение, при организации данного факультативного курса рекомендуется проведение проблемных лекций, семинаров, собеседований, где учащиеся будут выступать со своими сообщениями, практических занятий.

ГЛАВА 2. СОДЕРЖАНИЕ ФАКУЛЬТАТИВНОГО КУРСА «КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА»

II.1. Комплексные числа в алгебраической форме

II.1.1. Определение комплексных чисел и операций над ними

До сих пор мы рассматривали лишь действительные числа. С помощью положительных действительных чисел можно выразить результат любого измерения, а с помощью произвольных действительных чисел - изменение любой величины. Арифметические операции (сложение, вычитание, умножение и деление на число, отличное от нуля) над действительными числами снова дают действительные числа. Отсюда следует, в частности, что рациональная функция с действительными коэффициентами принимает действительные значения при всех действительных значениях аргумента, для которых она определена.

Операция же извлечения квадратного корня определена не для всех действительных чисел, а лишь для неотрицательных - из отрицательного числа квадратный корень извлечь нельзя. Поэтому в теории квадратных уравнений приходится рассматривать три случаи: если то уравнение имеет два различных действительных корня, при оно имеет лишь один действительный корень (второй кратности), а при это уравнение действительных корней не имеет.

Ряд вопросов, возникших при решении уравнений третьей и четвертой степеней, привел математиков к необходимости расширить множество действительных чисел, присоединив к нему новое число i такое, что Поскольку действительных чисел с таким свойством не существует, новое число назвали «мнимой единицей» - оно не выражало ни результатов измерения величин, ни изменений этих величин. Но включение числа потребовало дальнейшего расширения множества чисел - пришлось ввести произведения этого числа на все действительные числа, т.е. числа вида , где , а также суммы действительных чисел и таких произведений, т.е. чисел вида где Получившиеся при этом числа были названы комплексными, так как они содержали действительную часть a и чисто мнимую часть

Поскольку выражение напоминает многочлен первой степени от (с той существенной разницей, что не является переменной), то производили операции над такими выражениями по тем же правилам, что и над многочленами, причем, когда у них появлялось выражение его заменяли на -1. Например, сумму и произведение комплексных чисел определяли следующим образом:

(1)

(2)

Частное двух многочленов первой степени не выражается, вообще говоря, в виде многочлена. Но для комплексных чисел частное снова выражается в виде комплексного же числа. Именно,

(3)

Из формулы (2) вытекает, что

, то , отсюда

Например,

.

Неясности, связанные с преждевременным употреблением знаков сложения и умножения, устраняются весьма просто. Ведь в записи нас интересуют лишь действительные числа и идущие в определенном порядке. Поэтому введем следующее определение:

Определение. Комплексным числом называют пару действительных чисел и , взятых в определенном порядке. Две пары и задают одно и то же комплексное число в том и только в том случае, когда они совпадают, т.е. когда и .

Из этого определения следует, что одно равенство для комплексных чисел равносильно двум равенствам и для действительных чисел. Если - комплексное число, то называют его действительной частью, а - мнимой частью. Приняты обозначения (от французских слов reele означает действительный и imaginaire - мнимый). Числа , для которых , называют мнимыми числами, а числа вида , - чисто мнимыми числами.

Определим теперь операции сложения и умножения комплексных чисел (т.е. пар) в соответствии с «наивными» формулами (1) и (2) п.1:

если и , то

(1) . (2)

Итак, мы ввели понятие комплексного числа и определили для этих чисел операции сложения и умножения. Теперь можно перейти к записи комплексных чисел в виде , о которой говорилось выше. Для этого заметим следующее:

а) для пар вида определенные выше операции сложения и умножения сводятся к соответствующим операциям над действительными частями, т.е. имеют место равенства:

(3)

; (4)

(5)

. (6)

Эти утверждения непосредственно вытекают из формул (1) и (2).

Из утверждения а) следует, что пару можно кратко обозначить через . Тогда равенство (6) примет вид: . Наконец, обозначим пару через . В этих обозначениях равенство (5) принимает вид: . Поскольку , то получаем, что пару можно обозначить :

.

Теперь уже операции сложения и умножения в правой части равенства имеют смысл.

В дальнейшем мы будем записывать комплексные числа в виде . Формулы (1) и (2) принимают в этих обозначениях вид:

() ()

Свойства операций сложения и умножения для комплексных чисел такие же, как и для действительных чисел. Имеют место тождественные равенства:

1) , ) ,

2), ,

3) , ,

4) .

Кроме того, каждое комплексное число имеет противоположное ему число , а именно . В самом деле,

.

Наконец, каждое отличное от нуля комплексное число имеет обратное ему число, т.е. такое число , что . Действительно, будем искать число в виде . Равенство принимает при этом вид , т.е.

. (7)

Но комплексные числа равны в том и только в том случае, когда у них одинаковы как их действительные части, так и мнимые части. Поэтому из равенства (7) получаем два уравнения для отыскания и :

Решая эту систему уравнений, получаем, что (при этом так как число предполагается отличным от нуля, а следовательно, хотя бы одно из чисел отлично от нуля).

Мы доказали, что если , то

.

Итак, все 9 основных свойств операций сложения и умножения действительных чисел, на которых основана алгебра, верны и для комплексных чисел. Отсюда следует, что любое алгебраическое тождество остается справедливым и в комплексной области. Например, для комплексных чисел и верны тождества

.

и т.д.

Операции вычитания и деления комплексных чисел определяются равенствами

и .

Из этих равенств вытекает, что

и

что совпадает с формулой (3) п.1. На практике вместо полученной формулы используют указанный в п.1. прием: умножают числитель и знаменатель дроби на [5].

II.1.2. Сопряженные комплексные числа

Введем следующее определение:

Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются лишь знаком мнимой части. Число, сопряженное комплексному числу , обозначаем .

Таким образом, если , то . Например, . Число, сопряженное числу , равно : .

Число, сопряженное действительному числу , совпадает с , а число, сопряженное чисто мнимому числу , противоположно ему:

,

.

Докажем следующие утверждения о сопряженных комплексных числах:

Теорема 1. Число, сопряженное с суммой комплексных чисел, равно сумме чисел, сопряженных со слагаемыми:

.

Доказательство. Пусть , . Тогда , и потому



Теорема 2. Число, сопряженное с произведением комплексных чисел, равно произведению чисел, сопряженных с множителями:

.

Доказательство: Если , то

.

С другой стороны,

.

Получили одинаковые результаты, что и доказывает наше утверждение.

Теорема 3. Если , то число, сопряженное с числом, обратным , обратно числу, сопряженному с :

, (т.е. )

Доказательство: Из равенства по теореме 2 следует, что . Но тогда .

Из доказанных утверждений вытекают следствия:

Следствие 1. Число, сопряженное натуральной степени комплексного числа, равно степени с тем же показателем числа, сопряженного данному: .

Это утверждение вытекает из теоремы 2 и того, что степень - произведение равных множителей.

Следствие 2. Если заменить в многочлене с комплексными коэффициентами значение на сопряженное значение , а все коэффициенты - сопряженными им числами, то значение многочлена заменится на сопряженное.

Если положить и , то утверждение записывается следующим образом: .

Для его доказательства достаточно заметить, что в силу теорем 1 и 2 и следствия имеем:

Поскольку действительные числа сами себе сопряжены, то из следствия 2 получаем:

Следствие 3. При замене в многочлене с действительными коэффициентами значения на сопряженное число значение многочлена заменяется на сопряженное.

Утверждения, аналогичные следствиям 1,2,3 верны для любых рациональных функций от .

Теорема 4. Сумма и произведение двух сопряженных комплексных чисел являются действительными числами.

Доказательство. Имеем:

.

II.1.3. Извлечение квадратных корней из комплексных чисел

Введем следующее определение: Число называется квадратным корнем из комплексного числа , если его квадрат равен : .

Квадратный корень из обозначают . Так как равенство выполняется лишь при , то . Таким образом, из числа 0 можно извлечь лишь один квадратный корень. Если - квадратный корень из числа , то и - является квадратным корнем из : из следует . Мы покажем сейчас, что квадратных корней из иного вида не существует.

Теорема. Пусть - отличное от нуля комплексное число. Тогда существуют два взаимно противоположных комплексных числа, квадраты которых равны , а иных квадратных корней из не существует. Если , то эти числа выражаются формулой

, (1)

где

При имеем: , а при имеем: .

Доказательство: Пусть и . Тогда выполняется равенство , т.е. . Но два комплексных числа равны в том и только в том случае, когда соответственно равны их действительные и мнимые части. Поэтому для отыскания и получаем систему уравнений второй степени:

Если , то либо , либо . При имеем , и потому .

Если же , то , и потому . Разберем теперь случай, когда . В этом случае , и из второго уравнения находим, что . Подставляя это выражение в первое уравнение, получаем уравнение . Оно имеет лишь два действительных корня:

и .

Первому значению для соответствует значение

.

Но значит,

и потому

Второму значению соответствует противоположное значение для Теорема доказана.

Пример 1. Вычислить

Решение: Положим в формуле (1) Так как знак числа отрицателен, то

II.2.1. Геометрическое изображение комплексных чисел

Мы дали определение понятию комплексного числа и научились выполнять над комплексными числами арифметические действия, а также извлекать из них квадратные корни. Как отмечалось, одним из важнейших является вопрос о практическом значении комплексных чисел. Чтобы ответить на него, нужно сначала научиться изображать эти числа геометрически подобно тому, как изображаются действительные числа точками на координатной прямой.

Комплексное число задается парой действительных чисел. Та же пара чисел может рассматриваться в качестве координат точки на координатной плоскости. Поэтому поставим в соответствие каждому числу точку и обозначим ее (рис.1).

Рис.1

Ясно, что при этом каждая точка координатной плоскости изображает одно и только одно число, а каждое число изображается одной и только одной точкой. Действительным числам соответствуют точки оси абсцисс, а чисто мнимым - точки оси ординат. Сопряженные числа изображаются точками координатной плоскости, симметричными относительно оси абсцисс.

Часто вместо точек на плоскости берут их радиус-векторы, т.е. векторы , идущие из начала координат в точку . Разумеется, вместо радиус-векторов можно брать любые векторы, имеющие то же направление и ту же длину.

Изображение комплексных чисел с помощью векторов удобно тем, что при этом получают простое геометрическое истолкование операции над ними. Мы знаем, что при сложении комплексных чисел отдельно складываются их действительные и мнимые части

.

Точно так же при сложении векторов отдельно складываются их координаты: если и , то . Это означает, что при указанном соответствии операциям сложения и вычитания комплексных чисел соответствуют те же операции над векторами. Иными словами, если числу соответствует вектор , а числу - вектор , то числу соответствует вектор , а числу вектор .

Аналогично при умножении комплексного числа на действительное число соответствующий ему вектор умножается на это же число. Иными словами, числу соответствует вектор . В самом деле, на умножаются как обе координаты вектора , так и действительная и мнимая части числа .

II.2.2. Полярная система координат и тригонометрическая форма комплексных чисел

Положение точки на координатной плоскости можно задавать не только ее декартовыми координатами. Можно задать это положение, указав расстояние этой точки до фиксированной точки (полюса) и направление луча . Последнее задается величиной угла , образованного лучом с фиксированным лучом , выходящим из точки . При этом угол отсчитывают против хода часовой стрелки.

Пару чисел называют полярными координатами точки . Мы видим, что для задания полярной системы координат на плоскости надо задать полюс , полярный луч и выбрать единицу измерения длин и углов (Рис.2). Углы обычно измеряются в радианах. В дальнейшем мы будем называть число длиной радиус-вектора , а - величиной полярного угла (или полярным углом, если это не вызывает недоразумений). Значение неотрицательного числа однозначно определено для всех точек плоскости, а значение определяется с точностью до слагаемого, кратного , для всех точек, отличных от полюса, и не определено для точки .

В случае, когда на плоскости задана декартова система координат, в качестве полюса выбирают обычно начало этой системы координат, а в качестве полярного луча - положительное направление оси абсцисс. При таком взаимном расположении декартовой и полярной систем координат выполняются равенства:

(1)

(2)

В самом деле, луч пересекает координатную окружность в точке , декартовые координаты которой равны и (рис. 2). Координаты же точки лежащей на луче и находящейся от точки на расстоянии в раз больше.

Из равенств (1) и (2) вытекают соотношения

(3)

(4)

Кроме того, из треугольника видим, что

(5)

Рис. 2

Полученные соотношения позволяют находить декартовые координаты точки по ее полярным координатам и обратно. Из формул (3) и (4) вытекает, что

(6)

По этому равенству можно найти значение с точностью до слагаемого, кратного . Знаки и позволяют установить четверть, где расположена точка, и тем самым значение с точностью до слагаемого, кратного .

Пример 1. Найдем полярные координаты точки .

Решение. По формулам (3), (4), (5) имеем:

,

. По заданным значениям и находим, что . Значит, полярные координаты точки равны .

Определение. Длина радиус-вектора точки , изображающей число , называется модулем этого числа, а полярный угол точки - аргументом или фазой числа . Модуль числа обозначают , аргумент этого числа обозначают .

Таким образом, в записи

(7)

число является модулем , а число - аргументом этого числа. Запись (7) называют тригонометрической формой числа .

Модуль любого комплексного числа есть неотрицательное действительное число, равное нулю лишь при . Аргумент числа имеет бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на слагаемые, кратные .

В случае если хотят получить однозначно определенное значение аргумента, выбирают значение, лежащее между числами и , и обозначают его , . При переходе через отрицательную полуось значение меняется скачком - выше этой полуоси оно равно , а ниже нее оно равно .

Замечание 1. Так как при , и , то справедливо равенство . (8) Замечание 2. Для действительных чисел аргумент действительного числа равен , если , и равен , если .

В заключение выясним геометрический смысл выражения . Мы знаем, что число изображается разностью векторов и , изображающих числа и соответственно, т.е. вектором (рис. 2).

Число же равно длине этого вектора, т.е. расстоянию между точками и . Итак, число равно расстоянию между точками и (Рис.3).

Пример 5. Найдем множество точек , для которых:

1) ; 2) .

Решение.

1) Данное множество является окружностью радиуса 6 с центром в точке .

2) Это множество является кругом радиуса 6 с центром в точке .

х

Рис. 3

II.2.3. Умножение, возведение в степень и деление комплексных чисел в тригонометрической форме

В то время как сложение и вычитание комплексных чисел удобнее выполнять в алгебраической форме, умножать и делить эти числа удобнее, используя тригонометрическую форму записи.

Возьмем числа и , заданные в тригонометрической форме:

,

.

Перемножая эти числа, получим:

Но по формулам п.1

,

,

и потому

.

Таким образом, при умножении комплексных чисел их модули перемножаются, а аргументы складываются.

При этом модули и аргументы преобразуются отдельно друг от друга. Выполнение умножения в тригонометрической форме проще, чем в алгебраической форме. Поскольку , то полученный результат можно записать следующим образом:

, (1)

. (2)

Смысл равенства (2) состоит в том, что аргумент числа отличается от суммы аргументов чисел и лишь на кратное .

Поскольку деление - действие, обратное умножению, то при имеем: ,

и потому , (3)

. (4)

Иными словами, модуль частного равен отношению модулей делимого и делителя, а аргумент частного - разности аргументов делимого и делителя.

Наконец, поскольку возведение в степень с натуральным показателем сводится к умножению равных множителей, имеет место формула

. (5)

Таким образом,

, (6)

. (7)

Иными словами, модуль степени с натуральным показателем равен степени с тем же показателем модуля основания, аргумент этой же степени - аргументу основания, умноженному на .

Пример 1. Вычислим значение выражения

.

Решение. Раскрывая скобки, мы получили бы очень громоздкое выражение, вычисление которого было бы затруднительно. Поэтому поступим иначе - преобразуем все числа к тригонометрической форме:

; ,

;

.

Данное выражение можно записать в виде:

Отсюда получаем,

что

II.2.4. Формула Муавра. Применения комплексных чисел к доказательству тригонометрических тождеств

Если положить что , то получим частный случай этой формулы, называемый формулой Муавра:

. (1)

Этой формулой можно воспользоваться для выражения синусов и косинусов аргумента через синусы и косинусы аргумента . Для этого применим к левой части формулу бинома Ньютона и учтем формулы для степеней числа . Получаем, что

Отсюда следуют равенства

Суммирование ведется до тех пор, пока показатель при не обратится в 0 или в 1 (в зависимости от четности ). Поскольку в выражение для входят лишь четные степени , то их можно выразить через и получить выражение для лишь через . Для при нечетном можно получить выражение лишь через , а при четном - в виде произведения на выражение от . Найдем такие выражения для некоторых значений .

При получаем:

При получаем:

II.2.5. Извлечение корня из комплексного числа в тригонометрической форме

Как и для действительных чисел, корнем n - й степени из комплексного числа , где - натуральное число, называют такое комплексное число , что Число будем искать в . Корень n - й степени из обозначают .

Таким образом, если , то .

Покажем, что из любого комплексного числа можно извлечь корень n - й степени, причем, если , то принимает различных значений.

Будем записывать числа в тригонометрической форме. Пусть . виде . В силу формулы (5) п.3 равенство принимает вид:

.

Но два комплексных числа равны в том и только в том случае, когда их модули равны, а аргументы отличаются лишь слагаемым, кратным . Значит,

Поскольку число должно быть неотрицательным, получаем, что

, (1) . (2)

Итак, для модуля искомого числа мы получили определенное значение. Что же касается аргумента этого числа, он может принимать различные значения в зависимости от значения целого числа . Выясним, при каких значениях и получаются значения , отличающиеся друг от друга на кратное (т.е. одинаковые значения ). Для этого разность

должна быть кратна . Это имеет место в том и только в том случае, когда - делится на . Отсюда следует, что при значениям соответствуют различные значения корня, а дает то же значение корня, что , при получаем то же значение корня, что и при и т.д. Число различных значений корня равно .

Мы доказали, таким образом, следующее утверждение:

Теорема. Для любого натурального числа и любого отличного от нуля комплексного числа существуют различных значений корня n -й степени.

Если , то эти значения выражаются формулой

, (3)

где .

Все точки лежат на окружности радиусом с центром в начале координат. Аргументы соседних точек отличаются друг от друга на , а потому указанные точки делят окружность на равных частей. Иными словами, они являются вершинами правильного - угольника, вписанного в эту окружность (рис. 4).

Рис. 4

Рассмотрим некоторые частные случаи:

1) Квадратный корень из комплексного числа. При формула (3) определяет два значения для :

,

.

Эти значения оказываются взаимно противоположными. Применяя формулы, выражающие и через , то легко преобразовать эти формулы.

2) Корень - й степени из положительного действительного числа. Если - положительное действительное число, то . Формула (3) принимает в этом случае вид:

.

При получим положительное действительное значение , т.е. арифметическое значение корня. Если - четное число, , то при получаем еще одно действительное (отрицательное) значение корня:

.

Если же - нечетное число, то найденное выше значение корня при является единственным действительным значением для корня - й степени.

К извлечению корней сводится решение так называемых двучленных уравнений, т.е. уравнений вида

.

В самом деле, такое уравнение равносильно уравнению , и потому для его решения надо лишь найти все значения для .

К извлечению корней сводится и решение так называемых трехчленных уравнений, т.е. уравнений вида . Здесь надо сначала сделать подстановку , решить квадратное уравнение , а потом решить уравнения и , где - корни квадратного уравнения.

Пример 3. Решим уравнение

.

Решение. Подстановка приводит к квадратному уравнению , имеющему корни 1 и 8. Решая уравнения и , получаем корни данного уравнения:

.

II.3. Основная теорема алгебры многочленов

Во всех примерах, разобранных в предыдущем пункте, уравнение - й степени имело корней (действительных или мнимых). Аналогично обстоит дело для уравнения , если считать каждый корень столько раз, какова его кратность, - оно имеет пять корней: корень - 4 третьей кратности и корень 3 второй кратности. И здесь число корней совпадает со степенью уравнения. Подмеченная закономерность не случайна, она имеет место для всех алгебраических уравнений, причем не только для уравнений с действительными коэффициентами, но и для уравнений с комплексными коэффициентами. Доказательство этого утверждения основано на следующей теореме, которую называют основной теоремой алгебры многочленов:

Теорема 1. Любое уравнение с комплексными коэффициентами, степень которого больше нуля, имеет хотя бы один комплексный корень.

Отметим, что в формулировке этой теоремы действительные числа рассматриваются как частный случай комплексных, и потому из нее следует, что любое уравнение с действительными коэффициентами имеет хотя бы один (быть может, комплексный) корень.

Доказательство основной теоремы алгебры многочленов довольно сложно, и мы его опускаем.

Отметим некоторые следствия из теоремы 1.

Следствие 1. Любой многочлен -й степени с комплексными коэффициентами раскладывается в произведение линейных множителей:

, (1)

где - комплексные числа.

Доказательство: Проведем доказательство по индукции. При утверждение истинно, так как . Предположим, что утверждение верно при . Докажем истинность этого утверждения при . По теореме 1 многочлен

имеет хотя бы один комплексный корень . Но тогда по теореме Безу (см. п. 3 § 3 главы II этот многочлен делится на ), и потому , где - многочлен степени . По предположению индукции имеем:

.

Значит, .

То, что , получаем путем раскрытия скобок и сравнения коэффициентов при .

Итак, в силу принципа математической индукции утверждение истинно для всех .

Следствие 2. Любое уравнение -й степени (где ) с комплексными коэффициентами имеет комплексных корней (при этом каждый корень считают столько раз, какова его кратность).

Доказательство. По следствию 1 уравнение

можно записать в виде

.

Видим, что корнями этого уравнения являются числа и что иных корней оно не имеет.

Пример 1. Составим уравнение наименьшей степени, корнями которого являются числа а старший коэффициент равен 4.

Решение. Искомое уравнение имеет вид:

.

Раскрывая скобки, получаем уравнение

.

В заключение рассмотрим вопрос о разложении на множители многочленов с действительными коэффициентами. Сначала докажем следующее утверждение:

Теорема 2. Если комплексное число является корнем многочлена , имеющего действительные коэффициенты, то и сопряженное с число является корнем того же многочлена.

Доказательство. Для многочленов с действительными коэффициентами верно равенство

.

Так как по условию является корнем многочлена , то , а тогда , и потому - корень многочлена .

Данную теорему можно уточнить: не только является корнем многочлена , но имеет при этом ту же кратность, что и . Отсюда вытекает, что корни многочлена можно разбить на действительные корни и на пары взаимно сопряженных комплексных корней. Действительному корню соответствует в разложении многочлена множитель а паре и сопряженных комплексных корней - два множителя . Если , то

.

При этом очевидно, что квадратичный трехчлен не имеет действительных корней. Тем самым доказана следующая теорема:

Теорема 3. Любой многочлен с действительными коэффициентами может быть представлен в виде

.

где действительные числа, причем множители второй степени не имеют действительных корней.

II.4. Комплексные числа и геометрические преобразования. Функции комплексного переменного

Сложение комплексных чисел отвечает сложение векторов точек, изображающих эти числа на комплексной плоскости. Отсюда следует, что отображение сопоставляющее каждой точке точку имеет простой геометрический смысл - оно является параллельным переносом на вектор, равный радиус-вектору точки .

Выясним теперь геометрический смысл умножения на комплексное число. При этом для простоты речи не будем различать само число и изображающую его точку . Пусть R - положительное число. Мы знаем, что если , то . Таким образом, модуль числа умножается на , а аргумент остается неизменным. Учитывая геометрический смысл модуля и аргумента комплексного числа, видим, что отображение, где является гомотетией с центром в начале координат и коэффициентом .

Далее, пусть . Тогда . Это показывает, что умножению на число с единичным модулем и аргументом соответствует поворот вокруг начала координат на угол . Ясно, что умножению чисел на числа вида соответствует композиция указанных выше преобразований, т.е. последовательное выполнение гомотетии с коэффициентом относительно начала координат и поворота на угол вокруг точки . Более сложное преобразование получается, если поставить каждому числу в соответствие число . Так как

,

то при этом преобразовании точка с полярными координатами переходит в точку с полярными координатами изображено, в какую фигуру переходит при этом преобразовании квадрат

В¹ 1

а) б)

Рис.5

Видим, что форма фигуры изменилась, но углы между линиями остались неизменными (Рис.5).

Преобразования плоскости, при которых сохраняются углы между линиями, называют конформными преобразованиями. Они играют важную роль в картографии, так как позволяют получать карты земной поверхности, на которых углы между линиями такие же, как на этой поверхности. Теория конформных преобразований плоскости тесным образом связана с дифференцируемыми функциями, аргумент которых и значения являются комплексными числами. Понятие дифференцируемости определяется так же, как для функций действительного аргумента.

Конформные отображения используются при решении многих задач теории упругости, аэродинамики и гидродинамики, электростатики и иных областей физики и техники. Для этого сложные области конформно преобразуют в более простые (например, в круг), после чего решают задачу для этой простой области и обратным конформным преобразованием получают решение для исходной области. Комплексные числа находят применение и в квантовой механике [5].

III. Общие методические рекомендации к изучению факультативного курса

Факультативный курс «Комплексные числа» проводится в старших классах. В основе его должны лежать прочные знания свойства операций сложения и умножения для действительных чисел. Учащиеся должны знать тригонометрические тождества и а также школьники должны уметь решать системы линейных уравнений и находить решение трехчленных уравнений.

Форма организации занятий на факультативе может быть различной. Вначале первого занятия необходимо сказать несколько слов о всём факультативном курсе, о его назначении, кратко сказать о его содержании.

Первое занятие целесообразно провести в форме лекции, так как объём теоретического материала велик, а задач к нему недостаточно. Необходимо провести учителю обзорный рассказ по данной теме. Лекция - одна из форм организации обучения. Лекция может быть вводной, обзорной, установочной, текущей, обобщающей. На вводной лекции читается материал ознакомительного плана. Установочная лекция содержит материал, который обязателен для всех учащихся. Обобщающая лекция может быть в конце изученной темы, а обзорная лекция - в конце года. Заключение.