Послідовність експериментів
Поняття послідовних незалежних експериментів та схеми Бернуллі. Приклади застосування локальної та інтегральної теорем Лапласа. Відхилення відносної частоти від постійної ймовірності в незалежних експериментах. Скінченний однорідний ланцюг Маркова.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | украинский |
| Дата добавления | 13.06.2010 |
| Размер файла | 132,3 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
ПОСЛІДОВНІСТЬ ЕКСПЕРИМЕНТІВ
(реферат)
1. Послідовність незалежних експериментів
Якщо наслідок кожного наступного експерименту послідовності з n експериментів не залежить від наслідків попередніх експериментів, то говорять про послідовність незалежних експериментів, або про схему незалежних експериментів.
Послідовність експериментів можна розглядати як один експеримент із своїми наслідками.
Приклад 1.1. Послідовність з двох кидань монети можна розглядати як один експеримент з можливими наслідками ЦЦ (першого разу випала цифра, другого разу також цифра), ГЦ (першого разу випав герб, другого цифра), ЦГ, ГГ. Якщо експерименту S відповідає ймовірнісний простір , то послідовності експериментів відповідає ймовірнісний простір , n кількість повторень експерименту S, (n разів) множина наслідків послідовності експериментів, які є впорядкованими n-ками , множина підмножин множини . Ймовірності множини можуть бути визначені на довільними способами. Для послідовності незалежних експериментів за теоремою множення ймовірностей незалежних подій необхідно прийняти
(1.1)
Приклад 1. Якщо S експеримент, при якому кидається монета, то для послідовності з 3-х експериментів
,
, і т.д.
Послідовність незалежних експериментів з двома можливими наслідками E1, E2 називається схемою Бернуллі. Один із наслідків E1 називають успіхом (подія А відбулася), інший E2 невдачею (подія А не відбулася), а відповідні ймовірності позначають та . У схемі Бернуллі множина Un має елементів.
Приклад 1.3. Послідовність кидань грального кубика є схемою Бернуллі, якщо за успіх вважати, наприклад, випадання одного очка, а за невдачу випадання 2, 3 ,…, 6 очок (невипадання одного очка).
Основною задачею при вивченні схеми Бернуллі є знаходження ймовірності того, що у серії з n експериментів успіху буде досягнуто рівно k разів. Це можна зробити за формулою Бернуллі
. (1.2)
Доведення. Нехай подія у серії з n експериментів успіху досягнуто рівно k разів. Через те, що немає значення, в яких саме експериментах досягається успіх, події Ak сприяють n-ки наслідків , в яких успіх зустрічається рівно k разів. Таких n-нок є . Іх ймовірності однакові і дорівнюють . Тому , що й треба було довести.
Формулу Бернуллі називають ще біноміальною формулою. Остання назва зумовлена тим, що ймовірність (1.2) є загальним членом розкладу бінома Ньютона:
.
Саме з цієї причини коефіцієнти називаються біноміальними.
З формули (1.2) слідує, що ймовірність події у схемі Бернуллі з n експериментів не буде досягнуто жодного успіху дорівнює
, (1.3)
а ймовірність досягнення хоча б одного успіху
. (1.4)
Приклад 1.4. Імовірність того, що витрата електроенергії на протязі доби перевищить норму, дорівнює . Знайти ймовірність того, що у наступні 6діб витрати електроенергії на протязі 4 діб не будуть більшими ніж встановлена норма.
Розв'язування. За умовою задачі , , , . За формулою Бернуллі (1.2)
.
2. Локальна теорема Лапласа
При обчисленнях за формулою Бернуллі необхідно виконувати арифметичні дії над великими числами (при великих n), що досить важко. Тому користуються наближеною формулою, яку можна одержати з локальної граничної теореми Лапласа, згідно якої
. (1)
Функція
(2)
називається функцією ймовірностей (додаток 1.1). Її значення наведені у таблиці 1 (додаток 1).
З рівності (1) слідує наближена рівність
, (3)
яка тим точніша, чим більше n.
Приклад 1. Обчислити ймовірність того, що подія А настане рівно 80 разів у 400експериментах, якщо імовірність події дорівнює .
Розв'язування. За умовою задачі кількість експериментівє великою, тому можна скористатися наближеною формулою (3), в якій і :
, .
Із таблиці 1 (Додаток1)
, тому .
З використанням точної формули Бернуллі можна обчислити .
Отже, похибка наближеної формули Лапласа незначна 0.00006.
3. Інтегральна теорема Лапласа
Згідно цієї теореми
, (3.1)
ймовірність того, що у схемі Бернуллі з n експериментів подія А (успіх) настане не менше і не більше разів, , .
З рівності (3.1) слідує наближена рівність
. (3.2)
Функція
(3.3)
називається функцією (інтегралом) Лапласа. З її використанням наближену рівність (3.2) можна переписати у вигляді
. (3.4)
Крім (3.2) та (3.4) на практиці використовується ще одна форма запису інтегральної теореми Лапласа, а саме:
. (3.5)
Оцінка наближеної рівності (3.2) показує, що вона забезпечує достатню точність, якщо .
Приклад 3.1. Імовірність того, що деталь не пройде перевірку ВТК, дорівнює . Знайти ймовірність того, що серед 400 випадково вибраних деталей виявиться неперевіреними від 70 до 100 деталей.
Розв'язування. За умовою задачі , , , , . Кількість деталей велика, тому можна скористатись наближеною формулою (3.4):
, ,
,
(значення функції Лапласа взято із (Додатку1, таблиці 2).
4. Імовірність відхилення відносної частоти від постійної ймовірності у незалежних експериментах
З інтегральної теореми Лапласа можна одержати вираз для ймовірності того, що відхилення відносної частоти події A від її ймовірності за абсолютною величиною не перевищує заданого числа ,
, (4.1)
яким (виразом) можна скористатися для обгрунтування статистичного означення ймовірностей.
Доведення. Нерівність
рівносильна нерівностям
.
Домножаючи обидві нерівності на , можна переписати її у вигляді
.
За інтегральною теоремою Лапласа у формі (3.5)
.
Отже, остаточно
,
що і треба було довести.
При , а ймовірність для будь-яких відхилень . Це означає, що при великій кількості експериментів відхилення відносної частоти від ймовірності випадкової події на значну величину є практично неможливою подією.
Приклад 4.1. Знайти ймовірність того, що серед випадково відібраних 400деталей, відносна частота появи нестандартних деталей відхилиться від ймовірності за абсолютною величиною не більше, ніж на 0.03.
Розв'язування. За умовою задачі , , , . За формулою (4.1)
.
5. Ланцюги Маркова
Означення ланцюга Маркова
Поняття ланцюга Маркова є узагальненням послідовності незалежних подій на випадок послідовності залежних подій. Ланцюгом Маркова називають послідовність експериментів, наслідком кожного з них є одна з подій повної групи подій, і в якій умовна ймовірність того, що в s-експерименті настане подія , за умови, що в- експерименті настала подія , не залежить від наслідків попередніх експериментів.
При вивченні ланцюгів Маркова використовуються поняття системи та її станів.
Приклад 5.1.1. При кидані монети системою є сама монета, а її станами герб або цифра на верхній стороні.
Нехай деяка система у кожний момент часу знаходиться в одному із k станів (стани нумерують цілими числами, починаючи з 0 або 1). В окремі моменти часу у результаті експериментів стан системи змінюється (система переходить із одного стану в інший). Отже, у такій термінології події називаються станами системи, експерименти змінюють стани системи і означення ланцюга Маркова таке: ланцюгом Маркова називається послідовність експериментів, після кожного із них система перебуває в одному із k станів, і в якій умовна ймовірність (того, що після s-експерименту система перейде у стан j, за умови, що після - експерименту вона знаходилася в стані і), не залежить від станів системи, в яких вона перебувала після -експериментів. Відповідно до цього, умовні ймовірності називаються ймовірностями переходів.
Можна навести ще одне означення ланцюга Маркова. Ланцюгом Маркова називається послідовність експериментів, для яких подальший розвиток системи залежить від стану системи у даний момент часу, і не залежить від того, як система потрапила у цей стан.
Ланцюги Маркова розділяються на ланцюги Маркова із дискретним часом та ланцюги Маркова із неперервним часом. Ланцюгом Маркова із дискретним часом називають ланцюг, зміна станів системи в якому відбувається у деякі дискретні моменти часу (детерміновані чи випадкові). Ланцюгом Маркова із неперервним часом називають ланцюг, зміна станів системи в якому відбувається у будь-які моменти часу деякого часового відрізка.
Приклад 5.1. В експериментах з гральним кубиком системою є кубик, кількість очок, яка випала є станом системи. Стан цієї системи змінюється при киданнях кубика у випадкові дискретні моменти часу.
Якщо кількість станів системи скінченна, то ланцюг Маркова скінченний, і нескінченний у протилежному випадку.
Скінченний однорідний ланцюг Маркова
Скінченним однорідним називають ланцюг Маркова, в якому ймовірності переходів системи не залежать від номера s експерименту. Тому у цьому випадку ймовірності переходів позначаються просто .
Сукупність ймовірностей переходу утворює матрицю
,
яка називається матрицею переходів системи.
З означення матриці переходів слідує, що сума елементів кожного рядка дорівнює одиниці (це означає, що система не змінила свого стану, або перейшла у будь-який інший, що є достовірною подією).
.
Приклад 5.1. Випадкове блукання із поглинанням. Нехай частинка може рухатися на прямій (яку можна вибрати за вісь 0х) під дією випадкових поштовхів. І нехай у точках на вісі 0х знаходяться поглинаючі екрани (при попаданні частки у ці точки вона залишається там і надалі). Під дією випадкового поштовху частинка може переміститися на одиницю довжини вправо із ймовірністю p, вліво із ймовірністю q, . Положення частки (яка є системою) на вісі 0х є її станами. Імовірність переходу частки під дією випадкового поштовху із точки xi в одну із сусідніх точок не залежить від того, як частинка потрапила у цю точку. Тому випадкове поглинання є ланцюгом Маркова із дискретним часом. Очевидно, що ймовірності переходів дорівнюють , , , , для решти i, j. Матриця переходів має вигляд
.
Приклад 5. Випадкове блукання із відбиванням. Розглядається та сама схема, що і у прикладі 5.1, із тією різницею, що тепер у точках знаходяться відбиваючі екрани (якщо частка попаде у точку , то вона обов'язково під дією випадкового поштовху перейде у точку ; аналогічно для точки ). У цьому випадку матриця переходів має вигляд
.
Приклад 5.3. Послідовність незалежних експериментів. У цьому випадку , а матриця переходів
.
Рівність Маркова
Нехай після s - експерименту система знаходиться у стані i. Ймовірність переходу системи у стан j за r кроків (тобто ймовірність переходу системи у стан j після - експерименту) можна обчислити за формулою
, (5.3.1)
де індекс m може набувати будь-якого значення від 1 до r-1.
Доведення. Нехай подія А система перейшла за r кроків із початкового стану i у кінцевий стан j та - гіпотези (за m кроків система перейде із початкового стану i у проміжний стан l. Зрозуміло, що та . Умовна імовірність події А за умови того, що мала місце гіпотеза Br (за кроків система перейде з проміжного стану r у кінцевий стан j) дорівнює
. За формулою повної ймовірності
,
або у прийнятих позначеннях
,
що і треба було довести.
Рівність (5.3.1) називають рівністю Маркова. Її можна записати у матричному вигляді
, (5.3.2)
матриця із елементами , із елементами , із елементами .
Рівність (5.3.2) можна переписати у вигляді
. (5.3.3)
Доведення. При рівність (5.3.2) перепишеться у вигляді
.
При
.
При
і так далі. У підсумку
.
Приклад 5.3.1. Задано матрицю переходу . Знайти матрицю переходу . За формулою (5.3.3)
.
Подобные документы
Характеристика послідовності незалежних випробувань, застосування формул Бернуллі, Пусона, локальної та інтегральної теореми Лапласа. Аналіз моментів біноміального розподілу. Оцінка дисперсії. Математична теорія експерименту у техніко-економічних задачах.
контрольная работа [94,5 K], добавлен 19.02.2010Динаміка розвитку поняття ймовірності й математичного очікування. Закон більших чисел, необхідні, достатні умови його застосування. Первісне осмислення статистичної закономірності. Поява теорем Бернуллі й Пуассона - найпростіших форм закону більших чисел.
дипломная работа [466,6 K], добавлен 11.02.2011Визначення ймовірності виходу приладу з ладу. Розв’язок задачі з використанням інтегральної формули Бернуллі та формулу Пуассона. Визначення математичного сподівання, середньоквадратичного відхилення, дисперсії, функції розподілу випадкової величини.
контрольная работа [84,2 K], добавлен 23.09.2014Формула Бернуллі та її використання при невеликому числі випробувань. Застосування локальної формули Муавра-Лапласа при необмеженому зростанні числа випробувань, коли ймовірність настання події не занадто близька до нуля або одиниці. Формула Пуассона.
курсовая работа [256,9 K], добавлен 21.03.2011Оцінка ймовірності відхилення випадкової величини Х від її математичного сподівання. Знаходження дисперсії випадкової величини за допомогою теореми Бернуллі. Застосування для випадкової величини нерівності Чебишова. Суть центральної граничної теореми.
реферат [88,5 K], добавлен 02.02.2010Предмет теорії ймовірностей. Означення та властивості імовірності та частості. Поняття та принципи комбінаторики. Формули повної імовірності та Байєса. Схема та формула Бернуллі. Проста течія подій. Послідовність випробувань з різними ймовірностями.
курс лекций [328,9 K], добавлен 18.02.2012Знаходження ймовірності настання події у кожному з незалежних випробувань. Знаходження функції розподілу випадкової величини. Побудова полігону, гістограми та кумуляти для вибірки, поданої у вигляді таблиці частот. Числові характеристики ряду розподілу.
контрольная работа [47,2 K], добавлен 20.11.2009Вивчення теорем Чеви та Менелая на площині та в просторі, доведення нетривіальних наслідків цих теорем та розв’язання задач за їх допомогою. Застосування Теореми Менелая при доведенні теорем (наприклад, теорем Дезарга, Паппа, Паскаля, Гаусса та інших).
дипломная работа [4,0 M], добавлен 12.08.2010Означення та властивості перетворення Лапласа, приклади розв'язання базових задач. Встановлення відповідності між двома точками за допомогою оператора. Застосування операційного методу математичного аналізу, проведення дій над логарифмами та числами.
реферат [217,2 K], добавлен 20.12.2010Цепь Маркова как простой случай последовательности случайных событий, области ее применения. Теорема о предельных вероятностях в цепи Маркова, формула равенства Маркова. Примеры для типичной и однородной цепи Маркова, для нахождения матрицы перехода.
курсовая работа [126,8 K], добавлен 20.04.2011
