Гамма-функция

Министерство образования и науки Украины

Запорожский государственный университет

Пояснительная записка к курсовому проекту

Гамма-функция

К защите допущен зав. каф. "Математический анализ"

д. т. н. проф. Шишканова С.Ф.

Разработал: студент гр. 8221-2 Садигов Р.А.

Руководитель: ст. преподаватель

Кудря В.И.

Запорожье, 2002

Содержание

Реферат

Введение

1. Бета-функция

2. Гамма-функция

3. Производная гамма-функции

4. Вычисление некоторых интегралов. Формула Стирлинга

5. Примеры вычислений интегралов

Вывод

Список литературы

Реферат

Курсовая работа: 24 ст., 5 источников, 1 рис.

Объект исследований: гамма и ее приложения.

В работе идет речь о представлении бета и гамма-функция с помощью интегралов Эйлера соответственно первого и второго рода. И об их применении для вычисления интегралов.

Ключевые слова: гамма и бета-функция, интеграл Эйлера, производная, предел

Введение

Выделяют особый класс функций, представимых в виде собственного либо несобственного интеграла, который зависит не только от формальной переменной, а и от параметра.

Такие функции называются интегралами, зависящими от параметра. К их числу относятся гамма и бета функции Эйлера.

Бета функции представимы интегралом Эйлера первого рода:

гамма функция представляется интегралом Эйлера второго рода:

1. Бета-функция

Бета-функция определяется интегралом Эйлера первого рода:

= (1.1)

сходятся при .Полагая =1 - t получим:

= - =

т. e. аргумент и входят в симметрично. Принимая во внимание тождество

по формуле интегрирования почестям имеем

Откуда

= (1.2)

При целом b = n последовательно применяя (1.2)

Получим

(1.3)

при целых = m,= n, имеем

но B(1,1) = 1,следовательно:

Положим в (1.1) .Так как график функции симметрична относительно прямой , то

и в результате подстановки ,получаем



полагая в(1.1) ,откуда , получим

(1.4),

разделяя интеграл на два в пределах от 0 до 1 и от 1 до , и применение ко второму интегралу подстановки , получим

=

2. Гамма-функция

Гамма функцию определяет интеграл Эйлера второго рода

(a) = (2.1)

сходящийся при 0.Положим =ty,t > 0,имеем

(a) =

и после замены , через и t через 1+t,получим

Умножая это равенство и интегрируя по t и пределах от 0 до, имеем:

или на основании (1.4) и после изменения в правой части порядка интегрирования, получаем:

откуда

(2.2)

заменяя в (2,1) , на и интегрируем по частям

получаем рекуррентную формулу

(2.3)

так как

но при целом имеем

(2.4)

то есть при целых значениях аргумента гамма-функция превращается в факториал. Порядок, которого на единицу меньше взятого значения аргумента. При n=1 в (2.4) имеем

3. Производная гамма-функции

Интеграл

сходится при каждом ,поскольку ,и интеграл при сходится.

В области , где - произвольное положительное число, этот интеграл сходится равномерно, так как и можно применить признак Вейерштрасса. Сходящимся при всех значениях является, и весь интеграл, так как и второе слагаемое правой части является интегралом, заведомо сходящимся при любом.Легко видеть, что интеграл сходится по в любой области, где произвольно. Действительно для всех указанных значений и для всех , и так как сходится, то выполнены условия признака Вейерштрасса. Таким образом, в области интеграл сходится равномерно.

Отсюда вытекает непрерывность гамма функции при.Докажем дифференцируемость этой функции при .Заметим что функция непрерывна при и, и покажем, что интеграл :

сходится равномерно на каждом сегменте , . Выберем число так, чтобы ; тогда при .Поэтому существует число такое, что и на.Но тогда на справедливо неравенство

и так как интеграл сходится, то интеграл сходится равномерно относительно на . Аналогично для существует такое число , что для всех выполняется неравенство . При таких и всех получим , откуда в силу признака сравнения следует, что интеграл сходится равномерно относительно на . Наконец, интеграл

,

в котором подынтегральная функция непрерывна в области

, очевидно, сходится равномерно относительно на . Таким образом, на интеграл

сходится равномерно, а, следовательно, гамма функция бесконечно дифференцируема при любом и справедливо равенство

.

Относительно интеграла можно повторить те же рассуждения и заключить, что



По индукции доказывается, что Г-функция бесконечно дифференцируема прии для ее я -ой производной справедливо равенство

Изучим теперь поведение - функции и построим эскиз ее графика .

Из выражения для второй производной -функции видно, что для всех . Следовательно, возрастает. Поскольку , то по теореме Роля на сегменте [1,2]производная при и при , т. е. Монотонно убывает на и монотонно возрастает на . Далее, поскольку , то при . При из формулы следует, что при .

Равенство , справедливое при , можно использовать при распространении - функции на отрицательное значение .

Положим для, что . Правая часть этого равенства определена для из (-1,0). Получаем, что так продолженная функция принимает на (-1,0) отрицательные значения и при , а также при функция .

Определив, таким образом, на , мы можем по той же формуле продолжить ее на интервал (-2,-1). На этом интервале продолжением окажется функция, принимающая положительные значения, и такая, что при и . Продолжая процесс, определим функцию , имеющую разрывы в целочисленных точках (см. рис.1)

Отметим еще раз, что интеграл

определяет Г-функцию только при положительных значениях , продолжение на отрицательные значения осуществлено нами формально с помощью формулы приведения .

(рис.1)

4. Вычисление некоторых интегралов. Формула Стирлинга

Применим гамма функцию к вычислению интеграла:

где m > -1,n > -1.Полагая, что , имеем

и на основании (2.2) имеем

(3.1)

В интеграле

Где k > -1,n > 0,достаточно положить

Интеграл

Где s > 0,разложить в ряд

=

где дзета-функция Римана

Рассмотрим неполные гамма функции (функции Прима)

связанные неравенством

Разлагая, в ряд имеем

Переходя к выводу формулы Стирлинга, дающей в частности приближенное значение n! при больших значениях n, рассмотрим предварительно вспомогательную функцию

(3.2)

Непрерывна на интервале (-1,) монотонно возрастает от до при изменении от до и обращаются в 0 при u = 0.Так как



то при u > 0 и при u < 0, далее имеем

И так производная непрерывна и положительна во всем интервале , удовлетворяет условию

Из предыдущего следует, что существует обратная функция, определенная на интервале непрерывная и монотонно возрастающая в этом интервале, обращающаяся в 0 при v=0 и удовлетворяющая условие

(3.3)

Формулу Стирлинга выведем из равенства

полагая , имеем

Положим далее введенная выше обратная функция, удовлетворяющая условиям u = -1при ,и при .Замечая что(см.3.2)

имеем

,

полагая на конец, , получим

или

в пределе при т.е. при (см. 3.3)

откуда вытекает формула Стирлинга

которую можно взять в виде

(3.4)

где , при

для достаточно больших полагают

(3.5)

вычисление же производится при помощи логарифмов

если целое положительное число, то и (3.5) превращается в приближенную формулу вычисления факториалов при больших значениях n

приведем без вывода более точную формулу

где в скобках стоит не сходящийся ряд.

5. Примеры вычисления интегралов

Для вычисления необходимы формулы:

Г()

Вычислить интегралы

Вывод

Гамма функции являются удобным средством для вычисления некоторых интегралов в частности многих из тех интегралов, которые не представимы в элементарных функциях.

Благодаря этому они широко применяются в математике и ее приложениях, в механике, термодинамике и в других отраслях современной науки.

Список литературы

1. Специальные функции и их приложения: Лебедев И.И., М., Гостехпериоиздат, 1953

2. Математический анализ часть 2: Ильин О.А., Садовничий В.А., Сендов Б.Х., М., "Московский университет", 1987

3. Сборник задач по математическому анализу: Демидович Б.П., М., Наука, 1966

4. Интегралы и ряды, специальные функции: Прудников А.П., Брычков Ю.А., М., Наука, 1983

5. Специальные функции: Кузнецов, М., "Высшая школа", 1965