Производные и их приложения

1

ПРОИЗВОДНЫЕ И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

Теоретическая часть

Введение

1. Теоремы о пределах

2. Второй замечательный предел

3. Исследование функции на экстремумы

4. Свойства непрерывных функций

5. Производные функций cosx, tgx, ctgx

6. Производные функций arccosx, arctgx, arcctgx

7. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Лагранжа, Коши)

8. Таблица производных с примерами

9. Биография ученых внёсших вклад в развитие дифференциалов

10. Литература

Введение

Возникновение дифференциальной геометрии относится к XVIII веку и связано с именами Ньютона и Лейбница. С тех пор дифференциальная геометрия перестала быть только приложением анализа и заняла самостоятельное место в математике.

Дифференциальное исчисление было создано Ньютоном и Лейбницем в конце 17 столетия на основе двух задач:

1) о разыскании касательной к произвольной линии;

2) о разыскании скорости при произвольном законе движения.

Еще раньше понятие производной встречалось в работах итальянского математика Тартальи (около 1500 - 1557 гг.) - здесь появилась касательная в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая дальность полета снаряда.

Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения и др.

В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развивалась кинематическая концепция производной. Различные изложения стали встречаться в работах у Декарта, французского математика Жиля Роберваля, английского ученого Джеймса Грегори. Большой вклад в изучение дифференциального исчисления внесли Бернулли, Лагранж, Эйлер, Гаусс.

Возникновение дифференциального исчисления оказало мощное влияние на дальнейшее развитие математики как науки.

Без дифференциального исчисления развитие математики было бы невозможным. Возникновение и развитие дифференциального исчисления сыграло важную роль в истории математики.

1. Теоремы о пределах

Теорема 1. Предел алгебраической суммы двух, трех и вообще определенного числа переменных равен алгебраической сумме пределов этих переменных:

Доказательство. Проведем доказательство для двух слагаемых, так как для любого числа слагаемых оно проводится так же. Пусть . Тогда на основании теоремы 1 о бесконечно малых величинах можем написать:

где a₁ и a₂--бесконечно малые. Следовательно,

u₁ + u₂ = (a₁ + a₂) + ( + ).

Так как (а₁ + a₂) есть постоянная величина, а ( + )-- величина бесконечно малая, то снова по теореме 1 заключаем, что

lim (u₁+u₂) = а₁ + а₂ = lim u₁ + lim и₂.

Пример.

Теорема 2. Предел произведения двух, трех и вообще определенного числа переменных равен произведению пределов этих переменных:

Доказательство. Для сокращения записи приведем доказательство для двух множителей. Пусть

Limu₁ = a_1, limu₂ = ₂. Следовательно,

Произведение a_xa₂ есть величина постоянная. Величина

есть величина бесконечно малая. Следовательно,

.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела.

Действительно, если lim u₁ = a₁, с - постоянная и, следовательно, limc = c, то

lim(cu₁) =,

что и требовалось доказать.

Пример.

Теорема 3. Предел частного двух переменных равен частному пределов этих переменных, если предел знаменателя отличен от нуля:

Доказательство.

Пусть

Следовательно,

-

бесконечно малые.

Напишем тождества

Дробь есть постоянное число, а дробь

есть бесконечно малая величина, т.к.

есть бесконечно малая, а знаменатель имеет пределом b² .Следовательно,

Теорема 4. Если между соответствующими значениями трех функций и = и(х), z = z(x), v = v(x) выполняются неравенства uzv, при этом и(х) u v(х) при ха (или при х)Стремятся к одному и тому же пределу b, то z = z(x) при ха (или при x) стремится к тому же пределу.

Доказательство. Для определенности будем рассматривать изменение функций при ха. Из неравенств uzv следуют неравенства

;

по условии

u = b, =b.

Следовательно, при любом >0 найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство

;

так же найдется некоторая окрестность с центром в точке а, в которой будет выполняться неравенство

.

В меньшей из указанных окрестностей будут выполняться неравенства

,

а следовательно, будут выполняться неравенства

, т. е. = b.

Теорема 5. Если между соответствующими значениями двух функций

,

стремящихся к пределам при x,выполняется неравенство , то имеет место .

Доказательство. По условию

, или

, т.е.

.

Теорема 6. Если при xфункция y принимает неотрицательные значения y и при этом стремится к пределу b, то b есть неотрицательное число (b ).

Доказательство. Предположим, что , тогда , т.е. модуль разности больше положительного числа и, следовательно, не стремится к 0 при x.Но тогда y при x не стремится к b, что противоречит условию теоремы. Значит, предположение, что , неверно. Следовательно, b .

Теорема 7. Если переменная величина возрастающая и если она ограничена, т.е. <M, то эта переменная величина имеет предел .Аналогично и для убывающей ограниченной переменной величины.

2. Второй замечательный предел

Определение: Вторым замечательным пределом называется предел

.

Число , заданное этим пределом, играет очень большую роль как в математическом анализе, так и в других разделах математики. Число часто называют основанием натуральных логарифмов.

Теорема .1 Второй замечательный предел существует. Его значение  -- число, лежащее между и 3. Более подробное изучение числа показывает, что - иррациональное число, несколько первых десятичных знаков которого таковы:

Для доказательства теоремы 1 нам понадобится следующая лемма; формула, в ней полученная, называется формулой бинома Ньютона.

Лемма 1 Пусть и - натуральное число. Тогда имеет место формула

(1.1)

Заметим, что в дроби

очевидно, сокращаются все сомножители в числителе и знаменателе, так что эта дробь равна 1. Аналогично, в предыдущем (не выписанном) слагаемом после сокращения получается коэффициент, равный , в третьем справа слагаемом - равный

,

и т.д. Таким образом, коэффициенты в слагаемых, стоящих на одинаковых местах, считая слева и справа от края формулы, совпадают.

Доказательство. Доказывать утверждение леммы будем по индукции по параметру . При формула (1.1) равна:

Заметим, что при и формула также хорошо известна:

и

.

Предположим, что она верна для , и докажем, что тогда она верна и при .

При этом в квадратных скобках получается:

и так далее, то есть как раз то, что должно получиться в качестве коэффициентов формулы бинома Ньютона при

Доказательство теоремы 1. Рассмотрим последовательность

и применим к формулу бинома Ньютона при и . Получим

Докажем, что последовательность ограничена сверху. Для этого заменим все дроби , , ..., на 1. Все эти дроби меньше 1, так что сумма в правой части формулы увеличится:

Далее, заменим все числа в знаменателях этих слагаемых на 2; от этого правая часть ещё увеличится. Получим:

В правой части получилась сумма членов геометрической прогрессии. Она равна

Поэтому

что и означает ограниченность последовательности сверху числом 3. Покажем теперь, что последовательность не убывает. Действительно, запишем в виде

В аналогичной формуле, написанной для вместо , во-первых, увеличится каждое из выражений в круглых скобках (так как вычитаемое уменьшится) и, значит, увеличатся все слагаемые, содержащие такие скобки. Во-вторых, число слагаемых увеличится на одно: добавится положительное слагаемое

Следовательно, при росте номера члены последовательности строго возрастают: при всех . Применим теперь к возрастающей ограниченной сверху последовательности теорему о пределе монотонной ограниченной функции и получим, что существует предел

причём число не больше постоянной 3, ограничивающей последовательность. Осталось заметить, что

Так как все последующие члены ещё больше, то и предел , на основании теоремы о переходе к пределу в неравенстве, не меньше числа

,что и завершает доказательство теоремы.

3.Исследование функции на экстремумы

(рис.1)

Рассмотрим график непрерывной функции y=f(x), изображенной на рисунке1. Значение функции в точке x₁ будет больше значений функции во всех соседних точках как слева, так и справа от x₁. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₁ максимум. В точке x₃ функция, очевидно, также имеет максимум. Если рассмотреть точку x₂, то в ней значение функции меньше всех соседних значений. В этом случае говорят, что функция имеет в точке x₂ минимум. Аналогично для точки x₄.

Функция y=f(x) в точке x₀ имеет максимум, если значение функции в этой точке больше, чем ее значения во всех точках некоторого интервала, содержащего точку x₀, т.е. если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x?x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)<f(x₀).

Функция y=f(x) имеет минимум в точке x₀, если существует такая окрестность точки x₀, что для всех x?x₀, принадлежащих этой окрестности, имеет место неравенство f(x)>f(x₀).

Точки, в которых функция достигает максимума и минимума, называются точками экстремума, а значения функции в этих точках экстремумами функции.

Обратим внимание на то, что функция, определенная на отрезке, может достигать максимума и минимума только в точках, заключенных внутри рассматриваемого отрезка.

Отмети, что если функция имеет в точке максимум, то это не означает, что в этой точке функция имеет наибольшее значение во всей области определения. На рисунке, рассмотренном выше, функция в точке x₁ имеет максимум, хотя есть точки, в которых значения функции больше, чем в точке x₁. В частности, f(x₁) < f(x₄) т.е. минимум функции больше максимума. Из определения максимума следует только, что это самое большое значение функции в точках, достаточно близких к точке максимума.

Теорема1. (Необходимое условие существования экстремума.) Если дифференцируемая функция y=f(x) имеет в точке x= x₀ экстремум, то ее производная в этой точке обращается в нуль.

Доказательство. Пусть для определенности в точке x₀ функция имеет максимум. Тогда при достаточно малых приращениях Дx имеем

f(x₀+ Дx)<f(x₀), т.е.

Но тогда

Переходя в этих неравенствах к пределу при Дx> 0 и учитывая, что производная f '(x₀) существует, а следовательно предел, стоящий слева, не зависит от того как Дx > 0, получаем: при Дx > 0 - 0 f'(x₀) ? 0 а при Дx > 0 + 0 f'(x₀) ? 0.

Так как f '(x₀) определяет число, то эти два неравенства совместны только в том случае, когда f '(x₀) = 0.

Доказанная теорема утверждает, что точки максимума и минимума могут находиться только среди тех значений аргумента, при которых производная обращается в нуль.

Мы рассмотрели случай, когда функция во всех точках некоторого отрезка имеет производную. Как же обстоит дело в тех случаях, когда производная не существует? Рассмотрим примеры.

Примеры.

y=|x|.(рис.2).

Функция не имеет производной в точке x=0 (в этой точке график функции не имеет определенной касательной), но в этой точке функция имеет минимум, так как y(0)=0, а при всех x? 0y > 0.

(рис.2)

Функция

(рис.3) не имеет производной при x=0, так как

обращается в бесконечность при x=0. Но в этой точке функция имеет максимум.

(рис.3)

Функция (рис.4) не имеет производной при x=0, так как

при x>0. В этой точке функция не имеет ни максимума, ни минимума. Действительно, f(x)=0 и при x<0f(x)<0, а при x>0f(x)>0.

(рис.4).

Таким образом, из приведенных примеров и сформулированной теоремы видно, что функция может иметь экстремум лишь в двух случаях: 1) в точках, где производная существует и равна нулю; 2) в точке, где производная не существует.

Однако если в некоторой точке x₀ мы знаем, что f '(x₀)=0, то отсюда нельзя делать вывод, что в точке x₀ функция имеет экстремум.

Например:

Но точка x=0 не является точкой экстремума, поскольку слева от этой точки значения функции расположены ниже оси Ox, а справа выше.

Значения аргумента из области определения функции, при которых производная функции обращается в нуль или не существует, называются критическими точками.

Из всего вышесказанного следует, что точки экстремума функции находятся среди критических точек, и, однако, не всякая критическая точка является точкой экстремума. Поэтому, чтобы найти экстремум функции, нужно найти все критические точки функции, а затем каждую из этих точек исследовать отдельно на максимум и минимум. Для этого служит следующая теорема.

Теорема2. (Достаточное условие существования экстремума.). Пусть функция непрерывна на некотором интервале, содержащем критическую точку x₀, и дифференцируема во всех точках этого интервала (кроме, быть может, самой точки x₀). Если при переходе слева направо через эту точку производная меняет знак с плюса на минус, то в точке x = x₀ функция имеет максимум. Если же при переходе через x₀ слева направо производная меняет знак с минуса на плюс, то функция имеет в этой точке минимум.

Таким образом, если

f '(x)>0 при x<x₀ и f '(x)<0 при x> x₀, то x₀ - точка максимума;

при x<x₀ и f '(x)>0 при x> x₀, то x₀ - точка минимума.

(рис.5)

Доказательство. Предположим сначала, что при переходе через x₀ производная меняет знак с плюса на минус, т.е. при всех x, близких к точке x₀

f '(x)>0 для x< x₀, f '(x)<0 для x> x₀.

Применим теорему Лагранжа к разности

f(x) - f(x₀) = f '(c)(x- x₀),

где c лежит между x и x₀.

Пусть x < x₀. Тогда c< x₀ и f '(c)>0. Поэтому

f '(c)(x- x₀)<0

и, следовательно,

f(x) - f(x₀)<0,т.е. f(x)< f(x₀).

Пусть x > x₀. Тогда c> x₀ и f '(c)<0. Значит

f '(c)(x- x₀)<0.

Поэтому

f(x) - f(x₀)<0,т.е.f(x) < f(x₀).

Таким образом, для всех значений x достаточно близких к

x₀ f(x) < f(x₀).

А это значит, что в точке x₀ функция имеет максимум.

Аналогично доказывается вторая часть теоремы о минимуме.

Проиллюстрируем смысл этой теоремы на рисунке 5. Пусть f '(x₁)=0 и для любых x, достаточно близких к x₁, выполняются неравенства

f '(x)<0 при x< x₁, f '(x)>0 при x> x₁.

Тогда слева от точки x₁ функция возрастает, а справа убывает, следовательно, при x = x₁ функция переходит от возрастания к убыванию, то есть имеет максимум.

Правило исследования функции y=f(x) на экстремум:

1) Найти область определения функции f(x).

2) Найти первую производную функции f '(x).

3) Определить критические точки, для этого:

4) Найти действительные корни уравнения f '(x)=0;

5) Найти все значения x при которых производная f '(x) не существует.

6) Определить знак производной слева и справа от критической точки. Так как знак производной остается постоянным между двумя критическими точками, то достаточно определить знак производной в какой-либо одной точке слева и в одной точке справа от критической точки.

7) Вычислить значение функции в точках экстремума.

4. Свойства непрерывных функций

Теорема 1. Если функция y = f(x) непрерывна на некотором отрезке [a, b] (ax b), то на отрезке [а, b] найдется, по крайней мере, одна точка x = x₁ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

.

где х--любая другая точка отрезка, и найдется по крайней мере одна точка х₂ такая, что значение функции в этой точке будет удовлетворять соотношению

.

Значение функции будем называть наибольшим значением функции y = f(x) на отрезке [а, b], значение функции (х₂) будем называть наименьшим значением функции на отрезке [а, b].

Коротко эту теорему формулируют так:

Непрерывная на отрезке a х b функция достигает на этом отрезке, по меньшей мере, один раз наибольшего значения М и наименьшего значения т.

Смысл этой теоремы наглядно иллюстрируется на рисунке.

Замечание. Утверждение теоремы о существовании наибольшего значения функции может оказаться неверным, если рассматривать значения функции на интервале а<х<b. Так, например, если мы будем рассматривать функцию у = х на интервале 0<x<1, то среди ее значений нет наибольшего и нет наименьшего. Действительно, на интервале нет ни наименьшего, ни наибольшего значений х. (Нет крайней левой точки,_t/так как, какую бы ни взяли точку х*, найдется точка левее взятой, например точка х*/2; также нет крайней правой, а следовательно, нет ни наименьшего, ни наибольшего значений функции у = х.)

Теорема 2. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [а, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков, тогда между точками а и b найдется по крайней мере одна точка х = с, в которой функция обращается в нуль:

f(c)=0 a<c<b.

Эта теорема имеет простой геометрический смысл. График непрерывной функции y = f(x), соединяющий точки

,

где f(a)<0 и f(b)>0 (или наоборот), пересекает ось Ох по крайней мере в одной точке (2-й рисунок).

Теорема 3. Пусть функция y = f{x) определена и непрерывна на отрезке [а, b]. Если на концах этого отрезка функция принимает неравные значения f(a) = A, f(b)=B, то, каково бы ни было число , заключенное между числами А и В, найдется такая точка х = с, заключенная между а и b, что f (с) = . Смысл данной теоремы отчетливо иллюстрируется на рис.6. В данном случае всякая прямая у = пересекает график функции у = f(x).

Замечание. Отметим, что теорема 2 является частным случаем этой теоремы, так как если А и В имеют разные знаки, то в качестве можно взять 0 и тогда = 0 будет заключено между числами А и В.

Следствие теоремы 3. Если функция у = f(х) непрерывна на некотором интервале и принимает наибольшее и наименьшее значения, то на этом интервале она принимает по крайней мере один раз любое значение, заключенное между ее наименьшими и наибольшими значениями.

Действительно, пусть

f(x₁) = M, f(x₂) = m.

Рассмотрим отрезок [x₁, х₂]. Тогда по теореме 3 на этом отрезке функция у = f(х) принимает любое значение , заключенное между М и m. Но отрезок [х_1, х₂] заключен внутри рассматриваемого интервала, на котором определена функция f(x) (рис.7).

(рис. 6) (рис. 7)

5.Производные функций cosx, tgx, ctgx

Теорема 1. Производная от cosx есть -sinx, т.е. если y=cosx, то = -sinx.

Доказательство. Дадим аргументу x приращение x, тогда

Учитывая, что sinx есть непрерывная функция, окончательно получим:

.

Теорема 2. Производная от функции tgx равна

.

Доказательство. Так как

,

то по правилу дифференцирования дроби получаем:

Теорема 3. Производная от функции ctgx равна

.

Доказательство. Так как

, то

6.Производные функций arccosx, arctgx, arcctgx

Теорема 1. Производная от функции arccosx равна

.

Доказательство. Рассмотрим функцию x = cosy. Находим

Следовательно,

.

Но cosy = x, поэтому

В равенстве

перед корнем берется знак плюс, т.к. значения функции заполняют отрезок и, следовательно, .

Теорема 2. Производная от функции arctgx равна

.

Доказательство. Рассмотрим функцию x = tg y. Находим

.

Следовательно,

Так как tg y =x, то окончательно получаем:

Теорема 3. Производная от функции arcсtgx равна

.

Доказательство. Рассмотрим функцию x = сtg y. Находим

.

Следовательно,

Так как сtg y =x, то окончательно получаем:

7. Теоремы о дифференцируемых функциях (Ролля, Лагранжа, Коши)

1. Теорема Ролля

Знание производной некоторой функции позволяет судить о характерных особенностях в поведении этой функции. В основе всех таких исследований лежат некоторые простые теоремы, называемые теоремами о среднем в дифференциальном исчислении.

Начнем рассмотрение таких теорем с теоремы, связываемой с именем французского математика Ролля (1652-1719).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке , дифференцируема во всех его внутренних точках, а на концах отрезка , обращается в ноль, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой .

Доказательство. Так как функция непрерывна на отрезке , то, она должна достигать хотя бы один раз на этом отрезке своего минимума и максимума (рис. 9).

Если , функция постоянна, то есть . Но в этом случае для любого .

В общем случае , и хотя бы одно из этих чисел не равно нулю. Предположим для определенности, что . Тогда существует точка , в которой .

(рис.8).

Так как рассматриваемое значение является максимальным, то для него справедливо, что

для и .

Рассмотрим пределы

для

и для .

Так как оба предела равны производной функции в одной и той же точке , то они равны между собой. Значит, из одновременности и следует, что , что и требовалось доказать.

Следует отметить, что данная теорема справедлива и в том случае, когда на концах отрезка функция не обращается в ноль, но принимает равные значения . Доказательство проводится аналогично.

Геометрический смысл данной теоремы следующий: если непрерывная кривая пересекает ось в двух точках , или принимает в них равные значения, то, по крайней мере, в одной точке между и касательная к кривой параллельна оси .

Необходимо отметить, что если не во всех точках у рассматриваемой функции существует производная, то теорема может не выполняться. Это касается, например, функции

(рис.9).

Данная функция непрерывна на отрезке и обращается в ноль на его концах, но, ни в одной точке внутри отрезка производная не равна нулю.

2. Теорема Лагранжа

Результаты теоремы Ролля используются при рассмотрении следующей теоремы о среднем, принадлежащей Лагранжу (1736-1813).

Теорема. Если функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой

.

Доказательство. Рассмотрим график функции (рис. 10).

Проведем хорду, соединяющую точки

и ,

и запишем ее уравнение. Воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки на плоскости, получим:

,откуда:

и .

(Рис.10)

Составим теперь вспомогательную функцию, вычтя из уравнения кривой уравнение хорды:

.

Полученная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление в точках и показывает, что . Значит, функция на отрезке удовлетворяет требованиям теоремы Ролля. Но в этом случае существует такая точка , в которой .

Вычислим производную функции :

.

Согласно теореме Ролля в точке производная , то есть

и,

что и требовалось доказать.

Геометрический смысл теоремы Лагранжа следующий: внутри отрезка существует, по крайней мере, одна точка, в которой касательная параллельна хорде, стягивающей кривую на данном отрезке. В частности, при теорема переходит в теорему Ролля.

Теорему Лагранжа часто записывают в следующем виде:

,

то есть приращение функции равно приращению аргумента, умноженному на производную функции в некоторой внутренней точке. В связи с этим теорему Лагранжа называют также теоремой о конечных приращениях.

3. Теорема Коши

Рассмотрим, наконец, третью теорему о среднем, принадлежащей Коши (1789-1859), которая является обобщением теоремы Лагранжа.

Теорема. Если функции и непрерывны на отрезке и дифференцируемы во всех его внутренних точках, причем не обращается в ноль ни в одной из указанных точек, то существует, по крайней мере, одна точка , в которой

.

Доказательство. Так как во всех точках , то отсюда следует, что . В противном случае, как следует из теоремы Ролля, существовала хотя бы одна точка , в которой .

Составим вспомогательную функцию

.

Данная функция непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках. Кроме того, вычисление ее в точках и дает: . Значит, функция удовлетворяет требованиям теоремы Ролля, то есть существует хотя бы одна точка , в которой .

Вычислим производную

: .

Из условия следует, что

и

,

что и требовалось доказать.

В случае, когда , теорема Коши переходит в формулировку теоремы Лагранжа.

8. Таблица производных с примерами

ПРОИЗВОДНЫЕ	ПРИМЕРЫ
1.	5'=0
2.
3.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.

9. Биография ученых внёсших вклад в развитие дифференциалов

Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646-14.11.1716)

Немецкий математик, физик и философ, организатор и первый президент Берлинской АН (1700), чл. Лондонского королевского о-ва (1673), чл. Парижской АН (1700). Род. в Лейпциге. В 1661 Лейбниц поступил на юридический факультет Лейпцигского ун-та. Кроме юридических наук изучал философию и математику. В ун-те ознакомился с работами Аристотеля и Р. Декарта. Защитил диссертацию на степень бакалавра (1663), магистра философии (1664) и доктора права (1666). Состоял на юридической и дипломатической службе при дворе Майнцского курфюрста. Из Майнца он выезжал с дипломатической миссией в Париж. Творческая деятельность Лейбница развернулась именно в этот период в Париже, где он много работал и лично познакомился со многими математиками, в частности с X. Гюйгенсом, под руководством которого изучал работы Г. Галилея, Р. Декарта, П. Ферма, Б. Паскаля и самого Гюйгенса. В 1673 из Парижа Лейбниц выезжает в Лондон для демонстрации своей счетной машины в королевском о-ве. Там он познакомился с И. Барроу, а также с трудами И. Ньютона, "Логарифмотехникой" Г. Меркатора. Возвратясь в 1676 в Париж, Лейбниц разрабатывает важные вопросы дифференциального исчисления. В том же году Лейбниц уезжает в Ганновер, где работает сначала библиотекарем, а потом историографом двора Ганноверского герцога. Однако деятельность Лейбниц выходила далеко за пределы официальных обязанностей. Он занимается и вопросами химии, геологии, конструирует ветряной двигатель для насосов, выкачивающих воду из шахт. Особенно плодотворной была научная деятельность Лейбница в области математики.

В 1666г. Лейбниц опубликовал свою первую математическую работу "Размышление о комбинаторном искусстве". Сконструированная им счетная машина выполняла не только сложение и вычитание, как это было у Б. Паскаля, но и умножение, деление, возведение в степень и извлечение квадратного и кубического корней. Свыше 40 лет Лейбниц посвятил усовершенствованию своего произведения. Лейбниц заложил также основы символической логики. Разработанные им логика классов и исчисление высказываний в алгебраической форме лежат в основе современной математической логике. Исследовал свойства некоторых кривых (в частности, цепной линии), занимался разложением функций в ряды, ввел понятие определителя и выдвинул некоторые идеи, касающиеся теории определителей; впоследствии их развивал А. Вандермонд, О. Коши, К. Гаусс и окончательно разработал К. Якоби. Важнейшей заслугой Лейбница является то, что он одновременно с И. Ньютоном, но независимо от него, завершил создание дифференциального и интегрального исчисления. Изучение работ Б. Паскаля и собственные исследования привели Лейбница в 1673-1674гг. к идее характеристического треугольника, который теперь используется при введении понятий производной и дифференциала в каждом учебнике дифференциального исчисления. Лейбниц сделал и дальнейший шаг в создании нового исчисления - установил зависимость между прямой и обратной задачах о касательных. Через год он пришел к выводу, что из "обратного метода касательных выходит квадратура всех фигур". В октябре 1675г. Лейбниц уже пользуется обозначением Sl для суммы бесконечно малых и операцию, противоположную суммированию, обозначает, подписывает букву d под переменной (x/d), а затем рядом с ней dx. Знак интеграла в современной форме впервые встречается в работе Лейбница "О скрытой геометрии…" (1686г). Лейбниц решил проблему касательных с помощью дифференциального исчисления, сформулировал правила дифференцирования произведения, степени, неявной функции. Эти результаты Лейбниц опубликовал только в 1684г. в статье "Новый метод максимум и минимумов", впервые назвав свой алгоритм дифференциальным исчисление. В 1693г. Лейбниц опубликовал первые образцы интегрирования дифференциальных уравнений с помощью бесконечных рядов. Лейбниц ввел много математических терминов, которые теперь прочно вошли в научную практику: функция, дифференциал, дифференциальное исчисление, дифференциальное уравнение, алгоритм, абсцисса, ордината, координата, а также знаки дифференциала, интеграла, логическую символику.

Вклад Лейбница в развитие символической логики

Большинство логических произведений Лейбница не печаталось при его жизни. Они были извлечены из его колоссального рукописного архива и опубликованы разными издателями много времени спустя после его смерти. В настоящем томе помещаются лишь некоторые из них, как нам представляется, наиболее показательные для его творчества. При этом целостность общего впечатления создают работы довольно различного свойства. Одни относительно законченные, содержат разработанные фрагменты логических систем. Другие ограничиваются изложением или обсуждением основ таких систем. Третьи - не содержащие каких-либо итогов, незаконченные, обрывающиеся на полуслове, интересны как свидетельства неустанного биения мысли Лейбница, поиска им путей и средств реализации своих замыслов. Вместе с тем, написанные в разное время, они отражают и различные подходы Лейбница к логике, к построению Calculus ratiocinator -- исчисления рассуждений, над которым он размышлял всю жизнь, но которого ему так и не удалось создать.

В основе логических исследований Лейбница лежала мотивированная его рационалистическими установками программа представления человеческого знания в виде некоего универсального символического языка. В рамках такого символизма Лейбниц мыслил свести все человеческие рассуждения к формальному исчислению, которое служило бы средством, как доказательства установленных истин, так и открытия новых, насколько это можно сделать исходя из того, что уже известно; в случае же если имеющиеся сведения недостаточны, этот метод должен был давать приближенный ответ и определять в соответствии с исходными данными, что является наиболее вероятным. В таком универсальном символическом языке, своего рода всеобщей алгебре, рассуждали бы посредством вычислений, а вместо того чтобы спорить, говорили бы: «посчитаем».

Создание этого метода, или «универсальной характеристики», как назвал его Лейбниц, предполагало разработки в целом ряде направлений. Во-первых, надо было уметь разлагать все сложные понятия на простые, составляющие некий «алфавит человеческих мыслей», и на этой основе получать точные определения всех понятий. И всякий, кто знакомится с трудами Лейбница, не может не обратить внимания на его постоянное стремление анализировать и определять всевозможные понятия. Во-вторых, надо было найти подходящие символы, или «характеры», которые могли бы представлять и замещать понятия, или термины, естественного языка. В-третьих, надо было сформулировать организующие принципы этого всеобщего символизма -- правила употребления и комбинаций символов. Этот грандиозный метафизический проект, который Лейбниц неоднократно обсуждает в своих работах, не был -- да и не мог быть -- осуществлен в том виде, в каком он рисовался его воображению. Но он подсказал те пути исследования, которые привели Лейбница к ряду важных математических открытий, в том числе к открытию начал математической логики.

В наше время, когда имеется разработанная система математической, или символической, логики, в историко-логических исследованиях стало преобладать стремление отыскивать в логическом наследии прошлого, прежде всего элементы таких воззрений, которые согласуются с ее понятиями и положениями. Современность отбрасывает в прошлое свою тень. У древних стоиков усматривают развитую систему пропозициональной логики, у средневековых схоластиков -- теорию логического следования и теорию семантических парадоксов, не чуждаясь при этом и реконструкции дошедшего до нас исторического материала. Однако собственно математическая логика начинается с Лейбница. Его отношение к логике принципиально иное, чем даже его непосредственных предшественников -- Т. Гоббса, И. Юнга, А. Гейлинкса. Лейбниц продуманно и целенаправленно применял математические методы в логике и тщательно строил конкретные логические исчисления; и именно эта его работа, а не только формулировка тех или иных логических принципов и приверженность к «луллиеву искусству» дает основание назвать его создателем математической логики. Конечно, все эти исследования стимулировал проект «универсальной характеристики». Но было бы ошибкой думать, что надежда осуществить его надолго пережила Лейбница.

Еще И. Кант в своей работе 1755 г. «Новое освещение первых принципов метафизического познания» остроумно заметил, что видит в этом замысле великого философа лишь нечто подобное завещанию того отца из басни Эзопа, который перед смертью поведал детям, что якобы зарыл в поле клад, не указав, однако, точного места, и этим побудил сыновей к неустанному перекапыванию земли, благодаря чему они, хотя и обманутые в своих надеждах отыскать клад, разбогатели, так как улучшили плодородие почвы.

Цикл логических работ Лейбница открывается произведениями, датированными апрелем 1679 г. Их пять. Все они не окончены. Все они посвящены поискам путей реализации идеи характеристики. Идея состояла в том, чтобы всякому термину (предложения, силлогизма) приписывать определенное число, соблюдая условие, чтобы термину, составленному из других терминов, соответствовало число, образованное произведением чисел этих терминов. Далее, установив общее свойство таких «характеров» (и используя лишь такие числа, которые соответствуют этому свойству), можно было бы устанавливать, корректны ли те или иные выводы по форме. В работах апреля 1679 г. Лейбниц испытывал в качестве «характеров» простые числа. Их он приписывал простым терминам, а произведения соответствующих простых чисел -- сложным терминам, составленным из простых. Объектом приложения «характеристики» являлись формы аристотелевской логики, традицию которой он высоко чтил и стремился продолжить.

В «Элементах универсальной характеристики» Лейбниц предлагает следующие правила применения числовых обозначений к категорическим предложениям: для истинного общеутвердительного предложения необходимо, чтобы число субъекта точно делилось на число предиката; для истинного частноутвердительного предложения достаточно, чтобы или число субъекта точно делилось на число предиката, или число предиката -- на число субъекта; для истинного общеотрицательного предложения необходимо, чтобы ни число субъекта точно не делилось на число предиката, ни число предиката -- на число субъекта; для истинного частноотрицательного предложения необходимо, чтобы число субъекта точно не делилось на число предиката.

Предложения записываются в виде равенств и изображаются обобщенными формулами, где символы оptimi имеют определенные численные значения. Но эта числовая интерпретация не является удовлетворительной. Он оправдывает выводы обращения и логического квадрата» уже для первой фигуры силлогизма -- лишь модус Barbara. Позднее Лейбниц по-иному сформулирует условие истинности общеотрицательного и частноутвердительного предложений: для общеотрицательною -- число субъекта точно делится на число, обозначающее отрицание предиката, для частноутвердительного -- точно не делится. Камнем преткновения для числовой интерпретации стала проблема выражения отрицания и отрицательных терминов. В работах «Элементы универсального исчисления» и «Исследования универсального исчисления» Лейбниц рассматривает возможности их характеристического выражения посредством обратных математических операций, но так и не находит удовлетворительного решения 3.

В работе «Элементы исчисления» излагается интенсиональная трактовка отношений между понятиями и соответственно субъектно-предикатной структуры предложений. В отличие от экстенсионального подхода схоластической логики, где понятия рассматривались по объему (например, общеутвердительное предложение понималось как выражение того, что множество индивидов, отвечающих понятию субъекта, включается как часть в множество, охватываемое предикатом), Лейбниц видовое понятие рассматривает как более содержательное целое, чем родовое, включающее родовое понятие в качестве своей части. Это вполне соответствовало основной установке его «характеристики» представлять все термины как составленные из более простых терминов и соответственно понятия -- как комбинации более общих понятий, а также его философскому убеждению, что общие понятия не зависят от существования индивидуальных предметов и могут принадлежать в отличие от них разным возможным мирам.

Наиболее интересным изобретением Лейбница является модель силлогистики, основывающаяся на соответствии между терминами и упорядоченными парами взаимно простых натуральных чисел. Она изложена им в работе «Правила, по которым можно с помощью чисел судить о правильности выводов, о формах и модусах категорических силлогизмов». Согласно этой интерпретации, субъект предложения изображается одной парой взаимно простых чисел (+я --Ь), предикат -- другой (+с --d). Общеутвердительное предложение истинно тогда и только тогда, когда +а делимо на +с и --b делимо на --d. В противном случае истинно частноотрицательное. Частноутвердительное предложение истинно тогда и только тогда, когда --а и --d, --b и +с являются взаимно простыми числами. В противном случае истинно общеотрицательное. Оказывается, что если терминам правильных силлогистических умозаключений так приписать пары взаимнопростых чисел, чтобы они выражали истинность посылок, то они выразят и истинность заключения. Лейбниц проверил изобретенную им модель на законах логического квадрата и обращения. В других работах он применил ее к нескольким модусам силлогизма. Можно показать, что этой интерпретации удовлетворяют все правильные модусы силлогизма. Однако в модели выполнимы и неправильные модусы. Приведем пример самого Лейбница (модус АОО третьей фигуры): Всякий благочестивый есть счастливый +=10 -3 +5 --1. Некоторый благочестивый не есть богатый +10 --3 +8--11 След. Некоторый богатый не есть счастливый +8 --11 +5 --1.

Здесь взяты такие пары чисел, которые выражают истинность, как посылок, так и заключения. Между тем этот силлогизм неправильный: такое заключение с необходимостью из посылок не следует. Возможно подобрать пары чисел, которые покажут ложность этого заключения: Всякий благочестивый есть счастливый +12 --5 +4 --1 Некоторый благочестивый не есть богатый +12 -5 +8--11 След. Некоторый богатый не есть счастливый +8--11 +4 --1.

Это обстоятельство, конечно, не опровергает модель Лейбница. Аналогичная ситуация имеет место и при интерпретации силлогизмов на круговых схемах, которые, кстати, Лейбниц применял задолго до Эйлера. Для правильных силлогизмов расположение кругов однозначно определяет заключение, для неправильных -- наглядно показывает возможность противоречащих друг другу заключений. Подобной наглядности нет в случае арифметической модели Лейбница. Дело в том, что для неправильного силлогизма должна существовать тройка упорядоченных пар взаимно простых чисел, которая, выражая истинность его посылок, обнаруживает ложность заключения. Но эту тройку надо отыскать среди бесчисленного множества, включающего и такие тройки, которые представляют неправильный силлогизм как правильный. В случае формального доказательства, а именно такое доказательство Лейбниц признает истинно логическим, задача сводится к тому, чтобы найти такие две тройки упорядоченных пар взаимно простых чисел, которые подтвердили бы два противоречащих друг другу заключения. Найти методом проб. Таким образом, для проверки силлогизмов модель оказалась неэффективной. Может быть, поэтому Лейбниц в дальнейшем к ней уже не возвращался.

Лейбниц указал путь для перевода логики из словесного царства, полного неопределенностей, в царство математики, где отношения между объектами или высказываниями определяются совершенно точно. Он предложил использовать в логике математическую символику и впервые высказал мысль о возможности применения в ней двоичной системы счисления, которая позднее нашла применение, а автоматических вычислительных машинах.

В своих логических исследованиях Лейбниц предвосхитил многое из того, что впоследствии составило фундамент символической логики. Можно даже сказать, что своими исследованиями он предвосхитил саму эту логику. Он не только сформулировал ряд ее принципов и законов, но и выработал понятие формализованного логического языка и, преодолевая неудачи и трудности, в конце концов, дал примеры его построения. Логики XVIII столетия (X. Вольф, И. Зегнер, Г. Плуке, И. Ламберт, Ф. Кастильон), выступившие с идеями, аналогичными тем, которые развивал Лейбниц, в принципе не пошли дальше того, на чем он остановился. Лейбниц первый попытался арифметизировать логический вывод, приписать различным логическим объектам различные натуральные числа, чтобы обнаружить соответствие законов логики законам чисел. Ему же принадлежит и глубокая идея алгебраизации логики, впервые систематически реализованная лишь полтора столетия спустя и до сих пор являющаяся одним из основных источников новых логических изысканий. Его работы близки современной логике и по стилю мышления, и по приемам постановки и решения задач.

Исаак Ньютон

Первые математические открытия Ньютон сделал ещё в студенческие годы: классификация алгебраических кривых 3-го порядка (кривые 2-го порядка исследовал Ферма) и биномиальное разложение произвольной (не обязательно целой) степени, с которого начинается ньютоновская теория бесконечных рядов -- нового и мощнейшего инструмента анализа. Разложение в ряд Ньютон считал основным и общим методом анализа функций, и в этом деле достиг вершин мастерства. Он использовал ряды для вычисления таблиц, решения уравнений (в том числе дифференциальных), исследования поведения функций. Ньютон сумел получить разложение для всех стандартных на тот момент функций.

Ньютон разработал дифференциальное и интегральное исчисление одновременно с Г. Лейбницем (немного раньше) и независимо от него. До Ньютона действия с бесконечно малыми не были увязаны в единую теорию и носили характер разрозненных остроумных приёмов Создание системного математического анализа сводит решение соответствующих задач, в значительной степени, до технического уровня. Появился комплекс понятий, операций и символов, ставший отправной базой дальнейшего развития математики. Следующий, XVIII век, стал веком бурного и чрезвычайно успешного развития аналитических методов.

Возможно, Ньютон пришёл к идее анализа через разностные методы, которыми много и глубоко занимался. Правда, в своих «Началах» Ньютон почти не использовал бесконечно малых, придерживаясь античных (геометрических) приёмов доказательства, но в других трудах применял их свободно.

Отправной точкой для дифференциального и интегрального исчисления были работы Кавальери и особенно Ферма, который уже умел (для алгебраических кривых) проводить касательные, находить экстремумы, точки перегиба и кривизну кривой, вычислять площадь её сегмента. Из других предшественников сам Ньютон называл Валлиса, Барроу и шотландского учёного Джеймса Грегори. Понятия функции ещё не было, все кривые он трактовал кинематически как траектории движущейся точки.

Уже будучи студентом, Ньютон понял, что дифференцирование и интегрирование -- взаимно обратные операции. Эта основная теорема анализа уже более или менее ясно вырисовывалась в работах Торричелли, Грегори и Барроу, однако лишь Ньютон понял, что на этой основе можно получить не только отдельные открытия, но мощное системное исчисление, подобное алгебре, с чёткими правилами и гигантскими возможностями.

Ньютон почти 30 лет не заботился о публикации своего варианта анализа, хотя в письмах (в частности, к Лейбницу) охотно делится многим из достигнутого. Тем временем вариант Лейбница широко и открыто распространяется по Европе с 1676 года. Лишь в 1693 году появляется первое изложение варианта Ньютона -- в виде приложения к «Трактату по алгебре» Валлиса. Приходится признать, что терминология и символика Ньютона по сравнению с лейбницевской довольно неуклюжи: флюксия (производная), флюэнта (первообразная), момент величины (дифференциал) и т. п. Сохранились в математике только ньютоновское обозначение «o» для бесконечно малой dt (впрочем, эту букву в том же смысле использовал ранее Грегори), да ещё точка над буквой как символ производной по времени.

Достаточно полное изложение принципов анализа Ньютон опубликовал только в работе «О квадратуре кривых» (1704), приложенной к его монографии «Оптика». Почти весь изложенный материал был готов ещё в 1670--1680-е годы, но лишь теперь Грегори и Галлей уговорили Ньютона издать работу, которая, с опозданием на 40 лет, стала первым печатным трудом Ньютона по анализу. Здесь у Ньютона появляются производные высших порядков, найдены значения интегралов разнообразных рациональных и иррациональных функций, приведены примеры решения дифференциальных уравнений 1-го порядка.

В 1707 году выходит книга «Универсальная арифметика». В ней приведены разнообразные численные методы. Ньютон всегда уделял большое внимание приближённому решению уравнений. Знаменитый метод Ньютона позволял находить корни уравнений с немыслимой ранее скоростью и точностью (опубликован в «Алгебре» Валлиса, 1685). Современный вид итерационному методу Ньютона придал Джозеф Рафсон (1690).

В 1711 году наконец напечатан, спустя 40 лет, «Анализ с помощью уравнений с бесконечным числом членов». В этом труде Ньютон с одинаковой лёгкостью исследует как алгебраические, так и «механические» кривые (циклоиду, квадратрису). Появляются частные производные. В этом же году выходит «Метод разностей», где Ньютон предложил интерполяционную формулу для проведения через (n+1) данные точки с равноотстоящими или неравноотстоящими абсциссами многочлена n-го порядка. Это разностный аналог формулы Тейлора.

В 1736 году посмертно издаётся итоговый труд «Метод флюксий и бесконечных рядов», существенно продвинутый по сравнению с «Анализом с помощью уравнений». Приводятся многочисленные примеры отыскания экстремумов, касательных и нормалей, вычисления радиусов и центров кривизны в декартовых и полярных координатах, отыскания точек перегиба и т.п. В этом же сочинении произведены квадратуры и спрямления разнообразных кривых.

Надо отметить, что Ньютон не только достаточно полно разработал анализ, но и сделал попытку строго обосновать его принципы. Если Лейбниц склонялся к идее актуальных бесконечно малых, то Ньютон предложил (в «Началах») общую теорию предельных переходов, которую несколько витиевато назвал «метод первых и последних отношений». Используется именно современный термин «предел» (лат. limes), хотя внятное описание сущности этого термина отсутствует, подразумевая интуитивное понимание. Теория пределов изложена в 11 леммах книги I «Начал»; одна лемма есть также в книге II. Арифметика пределов отсутствует, нет доказательства единственности предела, не выявлена его связь с бесконечно малыми. Однако Ньютон справедливо указывает на большую строгость такого подхода по сравнению с «грубым» методом неделимых. Тем не менее, в книге II, введя «моменты» (дифференциалы), Ньютон вновь запутывает дело, фактически рассматривая их как актуальные бесконечно малые.