Диофантовы уравнения

17

БГУИР

РЕФЕРАТ

«Диофантовы уравнения»

Халецкий Андрей Викторович

Черкас Леонид Антонович

Доктор физико-математических наук,

профессор

МИНСК 2004

Цель этой работы, рассмотреть незаслуженно забытую проблему, которая не была решена. Явно недостаточное количество литературы по этому вопросу не позволяет многим людям попытаться внести свой вклад в эту область знаний. Предмет исследования одновременно прост и сложен. Метод диафантова анализа, по своей сути предельно прост, но приемы, которые применяются, зачастую далеко не очевидны. Теория делимости чисел, как инструмент при решении задач используется не так часто, как например дифференциальное исчисление, но она предельно проста, многие ее положения просто очевидны, остальные легко понятны всем. Но выводы, которые мы можем получать при решении задач, могут быть просто невероятными.

На некоторые уравнения, приведенные в этой работе, было обращено внимание в книге «Диофантовы уравнения» (Базылев Д.Ф.). Так решение уравнения 2^x+3^y=5^z приводится по книге. Однако 2^x+3^y=7^z в этой же книге решено не верно. Уравнение 2^x+3^y=11^z в литературе не встречалось, при решении этого уравнения было использовано огромное количество методов ранее не известных автору.

При решении уравнений выяснилось, что решения таких уравнений, есть небольшие числа. Выдвинуто предположение «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, c^x+b^y = a^z» которое, может вовсе снять проблему целого класса диафантовых уравнений.

Сейчас в приложениях ничтожное количество объектов и явлений которые описываются формулами с переменными натурального типа в показатели степеней (например, формула описывающая радиусы орбит планет Солнечной системы) однако не стоит забывать, что развитие математики ради математики, зачастую давало результаты которые нашли свое применение лишь через сотни лет.

«Чтобы дойти до цели,

надо прежде всего идти»

О. Бальзак

Введение

Во многих сборниках математических головоломок конца XIX в. приводиться такая задача. Один фермер потратил 100 долларов на покупку 100 домашних животных. Каждая корова обошлась ему в 10 долларов, свинья--в 3 доллара, а овца--по 50 центов за голову. Предполагая, что фермер купил, по крайней мере, одну корову, одну свинью, одну овцу, подсчитать, сколько голов скота каждого вида он купил.

На первый взгляд кажется, что это обычная задача из элементарной алгебры, однако, начав ее решать, мы быстро обнаруживаем, что у нас получается система из двух уравнений с тремя неизвестными, каждое из которых должно быть положительным целым числом. Нахождение целочисленных решений алгебраических уравнений с тремя неизвестными в наши дни называется обычно диофантовым анализом. В прошлые столетия такой анализ допускал использование в качестве переменных и рациональные дроби, однако сейчас он ограничивается только целыми числами.

Термин «диофантов» берет свое начало от имени выдающегося греческого математика Диофанта из Александрии. К сожалению, до сих пор не известно точно в каком веке он жил, однако большинство ученых относят его работы к III в. О его жизни практически ничего не известно, за исключением нескольких незначительных фактов, которые упоминаются в одной стихотворной задаче, вошедшей в один более поздний греческий сборник математических головоломок. Судя по этим фактам, у Диофанта был сын, умерший в среднем возрасте, а сам Диофант дожил до 84 лет. До нашего времени дошла примерно половина его главного труда - математического трактата «Арифметика». Поскольку в большинстве задач в этой книге предусматривает решение в целых числах, то для анализа подобного рода стал применяться термин «диофантов». Сам Диофант не предпринимал никаких попыток создать систематическую теорию таких задач, точно так же как нет почти никаких свидетельств использования методов диофантова анализа математиками, жившими до него.

Сегодня диофантов анализ--это обширная, сложная область теории чисел, которой посвящена многочисленная научная литература. При этом полная теория разработана лишь для линейных уравнений. Неизвестен (а, может, и не существует) общий метод решения уравнений второй и более высокой степеней. Анализ даже простейшего нелинейного диофантова уравнения может представить огромнейшие трудности. Такое уравнение может вообще не иметь решения, может иметь бесконечное множество решений или, наконец, может обладать произвольным конечным числом решений. Множество таких уравнений -- причем порой настолько простых, что они понятны даже ребенку, -- упорно сопротивляется всем попыткам найти их решение или доказать, что такое решение невозможно.

В этой работе мы будем рассматривать уравнения вида 2^x+3^y=a^z , где x,y,z--неизвестные натуральные числа, a- данное натуральное число.

I. Решение уравнений 2^x+3^y=a^z

1. Решение уравнения 2^x+3^y=1^z или 2^x+3^y=1 (1^a=1)

2^x+3^y=1,

2^x>1, 3^y>1 , где x,y--натуральные , тогда

2^x+3^y=1>2,

получили противоречие.

Ответ: .

2. Решение уравнения 2^x+3^y=(2k)^z, kN.

3. Решение уравнения 2^x+3^y=(3k)^z, kN.

4. Решение уравнения 2^x+3^y=5^z (Диофантовы Уравнения. Базылев Д.Ф.)

1) Если x=1, тогда 2+3^y=5^z, (1;1;1)--решение уравнния 2^x+3^y=5^z. Пусть y>1, тогда (5^z-2):9 5^z2(mod 9). Рассмотрим остатки от деления 5^z на 9: 5;7;8;4;2;1 z=6k+5, (k Z₊);