Диофантовы уравнения
Теория делимости чисел как инструмент решения задач. Нахождение целочисленных решений алгебраических уравнений с тремя неизвестными (диофантовый анализ). Попытки найти решение нелинейного диофантова уравнения или доказать невозможность такого решения.
| Рубрика | Математика |
| Вид | реферат |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 28.06.2009 |
| Размер файла | 23,8 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
С помощью теории делимости чисел можно легко показать, что уравнения вида bx+(b+1)y = az , где aN, bN, не имеют решения, например, если b или (b+1) имеет общий делитель с а. Всегда можно наложить существенные ограничения на показатели степеней. Затем, эти ограничения можно использовать при доказательстве другими методами или в дальнейшем анализе. Стоит заметить, что все решения тривиальны, возможно, справедливо утверждение: «max {x,y,z} <= max{a,b,c}, cx+by = az» Если удастся это доказать, то уравнения этого вида можно будет решать, простым перебором конечного числа вариантов.
Приложение.
Малая теорема Ферма.
ap-a делится на простое p для любого натурального а. В частности, если
a и p взаимнопростые, то аp-1-1 делится на p.
(Доказательство см. Диофантовы уравнения Д.Ф. Базылев. стр.20)
Бином Ньютона.
(x-a)n=xn+C1naxn-1+…+an, nN.
Отсюда
1. для n=2k+1 kZ+. (x-1)n=lx-1 ,где l-некоторое натуральное число.
2. для n=2k kN. (x-1)n=lx+1, где l-некоторое натуральное число.
3. для любого n. (x+1)n=lx+1, где l-некоторое натуральное число.
Формулы сокращенного умножения.
am-bm=(a-b)(am-1+am-2b+…+abm-2+bm-1),mN.
Отсюда (akm-1)= (akm-1k)=(am-1)(…) делится на (am-1) .
Решение уравнеия 3y=2x-1.
3y=2x-1. 2x-1. делится на 3. 2x при делении на 3 дает остатки: 2;1.
Отсюда x=2m. Имеем 3y=22m-1 2m-1=3a
2m+1=3b, b>a, a+b=у.
Тогда 2m+1=3a+3b, b=1, a=0- его решение. Если а>0 , тогда 2m+1=3(3a-1+3b-1), откуда 2m+1:3, что невозможно.
Ответ: (2;1)
Список литературы
1. «Олимпиады. Алгебра. Комбинаторика.» Ответственный редактор Л.Я. Савельев. Издательство «Наука». Сибирское отделение. 1987г.
2. «Диофантовы уравнения » Справочное пособие к решению задач Базылев Д.Ф. Мн.: НТЦ «АПИ», 1990г.- 160 с.
Подобные документы
Теория решения диофантовых уравнений. Однородные уравнения. Общие линейные уравнения. Единственности разложения натурального числа на простые множители. Решение каждой конкретной задачи в целых числах с помощью разных методов. Основные неизвестные х и у.
материалы конференции [554,8 K], добавлен 13.03.2009Дифференциальные уравнения Риккати. Общее решение линейного уравнения. Нахождение всех возможных решений дифференциального уравнения Бернулли. Решение уравнений с разделяющимися переменными. Общее и особое решения дифференциального уравнения Клеро.
курсовая работа [347,1 K], добавлен 26.01.2015Подход к решению уравнений. Формулы разности степеней. Понижение формы члена уравнения. Компьютерный поиск данных чисел. Система Диофантовых уравнений. Значения натурального ряда. Уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах.
доклад [166,1 K], добавлен 26.04.2009Историческая справка о возникновении и развитии теории неопределенных уравнений. Числовые сравнения и их свойства, а также линейные сравнения с одним неизвестным и методы их решения. Методы решения линейных диофантовых уравнений с двумя неизвестными.
курсовая работа [320,8 K], добавлен 01.07.2013Диофант и история диофантовых уравнений. О числе решений линейных диофантовых уравнений (ЛДУ). Нахождение решений для некоторых частных случаев ЛДУ. ЛДУ c одной неизвестной и с двумя неизвестными. Произвольные ЛДУ.
курсовая работа [108,7 K], добавлен 13.06.2007Культ античной Греции. Вопросы элементарной геометрии. Книга Диофанта "Арифметика". Решение неопределенных уравнений, диофантовых уравнений высоких степеней. Составление системы уравнений. Нахождение корней квадратного уравнения, метод Крамера.
реферат [49,0 K], добавлен 18.01.2011Методы решения одного нелинейного уравнения: половинного деления, простой итерации, Ньютона, секущих. Код программы решения перечисленных методов на языке программирования Microsoft Visual C++ 6.0. Применение методов к конкретной задаче и анализ решений.
реферат [28,4 K], добавлен 24.11.2009Понятие Диофантовых уравнений, их сущность и особенности, методика и этапы решения. Великая теорема Ферма и порядок ее доказательства. Алгоритм решения иррациональных уравнений. Метод поиска Пифагоровых троек. особенности решения уравнения Каталана.
учебное пособие [330,2 K], добавлен 23.04.2009Понятие волнового уравнения, описывающего различные виды колебаний. Рассмотрение явной разностной схемы "крест" для решения данной задачи. Нахождение решений на нулевом и первом слоях с помощью начальных условий. Виды и решения интегральных уравнений.
презентация [240,6 K], добавлен 18.04.2013Приближенные значения корней. Метод дихотомии (или деление отрезка пополам), простой итерации и Ньютона. Метод деления отрезка пополам для решения уравнения. Исследование сходимости метода Ньютона. Построение нескольких последовательных приближений.
лабораторная работа [151,3 K], добавлен 15.07.2009
