43

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОНЯТИЙ.

МЕТОДИКА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ПОНЯТИЙ

СОДЕРЖАНИЕ

1. Качества научного мышления. Математическое мышление

2. Понятие. Содержание и объем понятия. Зависимость между объемами понятий

3. Определение понятия

4. Классификация понятий

5. Методика введения математических понятий

6. Формирование математических понятий

Литература

1. Качества научного мышления. Математическое мышление

Современное обучение характеризуется стремлением сделать развитие мышления школьников управляемым процессом, а основные приемы мышления - специальным предметом усвоения.

Научное мышление характеризуют следующие качества:

гибкость -- умение целесообразно варьировать способы решения познавательной проблемы, легкость перехода от одного пути решения проблемы к другому; способность выходить за границы привычного способа действия, находить новые способы решения проблемы при изменении задаваемых условий; умение перестраивать систему усвоенных знаний по мере овладения новыми знаниями и накопления опыта;

оригинальность -- высший уровень развития нешаблонного мышления, необычность способов решения учащимися известных задач. Оригинальность мышления -- следствие глубины мышления;

глубина -- способность проникать в сущность каждого изучаемого факта, в его взаимосвязь с другими фактами, выявлять специфические, скрытые особенности в изучаемом материале; умение конструировать модели конкретных ситуаций и т.д.;

целесообразность -- стремление осуществлять разумный выбор действий при решении какой-либо проблемы, постоянно ориентируясь на поставленную этой проблемой цель, а также стремление отыскать кратчайшие пути ее достижения;

рациональность -- склонность к экономии времени и средств для решения поставленной проблемы, стремление отыскать оптимально простое в данных условиях решение задачи, использовать в ходе решения схемы, символику и условные обозначения;

широта - способность к формированию обобщенных способов действий, имеющих широкий диапазон переноса и применения к частным, нетипичным случаям; умение охватить проблему в целом, обобщить ее, расширить область приложения результатов, полученных в процессе ее разрешения; а также умение классифицировать и систематизировать изучаемые математические факты и использовать аналогию и обобщение как методы решения задач;

активность -- постоянство усилий, направленных на решение некоторой проблемы, желание обязательно решить данную проблему, изучить различные подходы к ее решению и др.;

критичность -- умение оценить правильность выбранных путей решения поставленной проблемы и получаемые при этом результаты с точки зрения их достоверности и значимости; умение найти и исправить собственную ошибку, проследить заново все выкладки или ход рассуждения, чтобы выявить противоречие, помогающее понять причину ошибки;

доказательность -- умение терпеливо относиться к собиранию фактов, достаточных для вынесения какого-либо суждения; стремление к обоснованию каждого шага решения задачи; умение отличать достоверные результаты от правдоподобных;

организованность памяти -- способность к запоминанию, долговременному сохранению, быстрому и правильному воспроизведению учебного материала. При обучении учащихся математике следует развивать как оперативную, так и долговременную память, обучать учащихся запоминанию наиболее существенного, общих методов и приемов решения задач, доказательству теорем; формировать умения систематизировать свои знания и опыт. Организованность памяти формируется у школьников особенно эффективно, если запоминание каких-либо фактов основано на их понимании.

Не нуждаются в комментариях такие качества научного мышления, как ясность, точность, лаконичность устной и письменной речи. Совокупность всех указанных качеств мышления называют научным стилем мышления.

Мышление есть активный процесс отражения объективного мира в сознании человека. Специфика предмета математики такова, что ее изучение существенно влияет на развитие мышления школьников, тесно связанное с формированием приемов мышления в процессе учебной деятельности. Эти приемы мышления (анализ, синтез, обобщение и др.) выступают также как специфические методы научного исследования, особенно ярко проявляющиеся при обучении математике как одного из базовых школьных предметов.

Основными целевыми компонентами математического образования в школе являются:

усвоение учениками системы математических знаний;

овладение школьниками определенными математическими умениями и навыками;

развитие мышления учащихся.

Мыслительная деятельность школьников выполняется с помощью мыслительных операций: сравнения, анализа и синтеза, абстракции, обобщения и конкретизации.

Различают три вида мышления:

1. Наглядно-действенное (познание объектов совершается в процессе практических действий с этими объектами).

2. Наглядно-образное (мышление с помощью наглядных образов).

3. Теоретическое (в форме абстрактных понятий и суждений).

С развитием математики как науки и методики преподавания математики изменилось содержание, которое вкладывалось в понятие математическое мышление, существенно возросла роль проблемы развития мышления в процессе обучения математике.

Математическое мышление является одним из важнейших компонентов процесса познавательной деятельности учащихся, без целенаправленного развития которого невозможно достичь высоких результатов в овладении школьниками системой математических знаний, умений и навыков. К сожалению, в настоящее время нет единого подхода к трактовке понятия мышления, к объяснению тех механизмов, которые им управляют.

Формирование математического мышления школьников предполагает целенаправленное развитие всех качеств, присущих естественнонаучному мышлению, комплекса мыслительных умений, лежащих в основе методов научного познания, в органическом единстве с формами проявления мышления, характеризующихся спецификой предмета математики.

Выделяют следующие признаки математического мышления:

-- доминирование логической схемы рассуждения;

-- лаконизм мышления: предельная скупость, суровая строгость мысли и ее изложения;

-- четкая расчлененность хода рассуждения;

-- точность символики.

Основным определяющим признаком культуры математического мышления считается полноценность аргументации, которая предполагает:

-- освоение учеником идеи доказательства;

-- умение пользоваться определениями понятий (осознавать их логическую структуру, уметь выполнять действия подведения под понятие и выведение следствий);

-- умение работать с теоремами (понимать их логическое строение, сущность прямой и обратной теорем и т.д.);

-- владение общими логическими методами доказательства: аналитическим, синтетическим, методом от противного, полной индукцией, математической индукцией;

-- владение частными методами и приемами, характерными для той или иной темы.

Органическое сочетание и повышенная активность различных компонентов мышления проявляются в особых способностях человека (математических, организаторских, педагогических и т.д.), что дает ему возможность успешно осуществлять творческую деятельность в самых разнообразных областях.

Математические способности -- это определенная совокупность некоторых качеств творческой личности, сформированных в процессе математической деятельности.

Математическая одаренность школьников характеризуется быстрым схватыванием математического материала; тенденцией мыслить сокращенно, свернутыми структурами, стремлением к своеобразной экономии умственных усилий; наличием ярких пространственных представлений.

2. Понятие. Содержание и объем понятия. Зависимость между объемами понятий

Всякое явление, любой процесс представляет собой единство содержания и формы. Структуру отдельных мыслей и их особых сочетаний называют формами мышления. Основными формами мышления являются понятия, суждения, умозаключения. Понятия -- одна из главных составляющих содержания любого предмета, в том числе и предметов математического цикла. Полноценное изучение математических понятий систематизирует знания учащихся, способствует более глубокому освоению предмета. Первостепенная задача учителя математики при изучении любой темы -- формирование понятийного аппарата темы.

Понятие - это такая форма мышления, в которой выделены существенные свойства объектов, отделенные и абстрагированные от несущественных свойств. Понятийное мышление, т. е. мышление в понятиях, - высшая стадия развития интеллекта. Мышление в индивидуальном сознании развивается от практически-действенного к наглядно-образному и далее к словесно-логическому. Образование понятий в сознании является и условием, и сутью, и показателем общего интеллектуального развития.

По мере формирования понятийного мышления наблюдается изменение каждой познавательной функции. Восприятие становится наглядным мышлением. Запоминание из механического превращается в опосредованное логическое, внимание становится произвольным. Происходит коренная перестройка интеллектуальной деятельности.

В понятийные структуры включается весь опыт индивида: чувственный, мнемический, визуально-пространственный, операционно-логический, словесный.

Знание об объекте на понятийном уровне - это знание разнокачественных свойств (существенных и несущественных), знание закономерностей возникновения и связей с другими объектами, т. е. это интегральная структура. Понятийное мышление позволяет индивидуальному сознанию познавать мир и себя.

Отдельные элементы процесса образования понятий проявляются на самых ранних стадиях развития индивидуального сознания. Если ребенок овладевает словом, называет какой-то объект соответствующим термином, то это говорит о том, что в его сознании имеют место операции, связанные с выделением понятия и являющиеся компонентами понятийного мышления. Педагогическая психология утверждает, что мышление в понятиях формируется в подростковом возрасте.

Почему математика имеет большое значение для развития интеллекта? Как ни в одном другом школьном предмете, в математике учащиеся сталкиваются с необходимостью конструировать, формулировать и применять определения понятий, осознавать закономерности их построения, устанавливать порядок на множестве понятий: приводить их в систему, проводить классификацию понятий. Все эти действия, входя в структуру умственного опыта, обогащают его.

В понятии отражены существенные свойства объектов и абстрагированы от несущественных. Существенные свойства составляют содержание понятия. Существенными свойствами понятия (разные авторы называют их по-разному: существенными признаками, характеристическими свойствами) называются такие, каждый из которых необходим, а все вместе достаточны, чтобы выделить определенный класс объектов, чтобы некоторый объект отнести к определенному понятию.

Например, существенными свойствами понятия арифметический квадратный корень из данного числа являются следующие: 1) это - неотрицательное число; 2) квадрат его равен данному числу. Несущественными свойствами понятия арифметический квадратный корень является принадлежность этого числа различным числовым множествам: натуральных, дробных, иррациональных чисел.

Существенными свойствами понятия параллелограмм являются: это - четырехугольник, противоположные стороны его равны, противоположные стороны - параллельны, противоположные углы равны, углы, прилежащие к одной стороне, в сумме составляют 180° и т. д. Несущественными свойствами понятия параллелограмм являются величины сторон и углов, цвет изображения, положение на плоскости и другие.

Естественный процесс образования понятий в сознании происходит в результате многократного столкновения с объектами, являющимися представителями этого понятия, в результате мыслительных операций анализа, синтеза, абстрагирования, сравнения, обобщения. Понятие абстрагируется от индивидуальных признаков отдельных восприятий и представлений. В этом процессе психологи выделяют следующую последовательность: восприятие - представление - понятие. Например, понятие прямая является результатом анализа, сравнения, абстрагирования и обобщения таких реальных объектов, как натянутая нить, луч света, железная или шоссейная дорога без поворотов. Эти объекты, их образы анализируются, сопоставляются по мере обогащения опыта. Воспринимается один объект, мысленно воспроизводится другой, известный ранее, происходит сравнение, выделяется сходное. В чем заключается продвижение сознания в рамках упомянутой схемы восприятие - представление - понятие? Это есть продвижение от ощущений, которые первоначально не дифференцируется и которые лишены однозначности, к постепенному осознанию существенных свойств, которые могут быть выявлены уже и при отсутствии ощущений, к абстрагированию существенных свойств в понятии, содержащем в себе все многообразие объектов, входящих в состав понятия.

Вне школьного обучения выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных в сознании индивида происходит самостоятельно. Однако на этот процесс может быть затрачено длительное время. Например, абстрактное понятие числа потребовало от человечества для своего формирования тысячелетий. В школе этот процесс специально организован и протекает, естественно, быстрее.

Заметим, что общее и существенное в понятии - не всегда одно и то же. Например, наличие у каждого школьника школьных принадлежностей - общее свойство всех учащихся, но не это свойство является сущностью понятия школьник и не оно отличает школьника, например, от студента. Мягкая мочка уха - принадлежность только человека, но не это свойство отражает основную суть вершины божественного создания. Общим и существенным для человека являются сознание, речь, труд. Общность - понятие диалектическое, общее всегда различно. Речь различна у разных людей и у разных народов.

В формальной логике принято различать понятия двух видов: понятия об объектах и понятия об отношениях между объектами. Примеры отношений: больше, меньше, равенство для чисел; эквивалентность для суждений; равенство, конгруэнтность для фигур и т. д.

В понятиях кроме содержания можно выделить вторую характеристику - их объем, т.е. множество объектов, подпадающих под это понятие. В объем понятия уравнение входят линейные, квадратные, кубические, биквадратные и другие уравнения. Можно по-другому представить объем понятия уравнение: трансцендентные и алгебраические, последние в свою очередь делятся на рациональные и иррациональные и т. д.

Содержание понятия четко определяет его объем, а объем понятия вполне определяет его содержание. Таким образом, изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в его объеме, и наоборот. Между содержанием и объемом понятия существует обратная связь: с увеличением содержания понятия параллелограмм (диагонали взаимно перпендикулярны) сразу уменьшается его объем (остаются лишь ромб и квадрат); если уменьшить содержание этого понятия (потребовать параллельности только двух противоположных сторон), увеличится его объем (к названным четырехугольникам добавится трапеция).

Если объем одного понятия содержится в объеме другого, то второе понятие называется родовым по отношению к первому понятию, а первое называется видовым по отношению ко второму. Например, понятие ромб является родовым по отношению к понятию квадрат. Родовое и видовое понятия относительны. Понятие призма является видовым по отношению к понятию многогранник и родовым по отношению к понятию параллелепипед.

Введение понятия через ближайший род и видовые отличия заключается в следующем:

-- указывается род, в который входит определяемое понятие;

-- указываются видовые отличия и связь между ними.

Например, ромб -- это параллелограмм, две смежные стороны которого равны. Родовым понятием выступает понятие параллелограмма, из которого определяемое понятие выделяется посредством одного видового отличия (равенство смежных сторон). В отношении объемов различают следующие виды понятий: равнозначные, объемы которых полностью совпадают; пересекающиеся, объемы которых частично пересекаются; находящиеся в отношении включения: объем одного понятия содержится в объеме другого понятия. Изобразим эти отношения в виде кругов Эйлера-Венна на рис. 1-4.

На рис. 1 представлено отношение рода и вида, отношение подчинения, объем одного понятия полностью входит в объем другого. В таком отношении находятся, например, понятия призмы и прямой призмы, целого и натурального числа, тождественного преобразования и сокращения дробей и т. д.

В отношении частичного совпадения (рис. 2) находятся понятия прямоугольник и ромб (пересечением этих двух множеств является множество квадратов), числа вида k² и 2k, равнобедренные и прямоугольные треугольники и т. д.

В отношении соподчинения (рис. 3) два понятия являются видовыми по отношению к одному и тому же родовому и между ними нет отношения частичного совпадения, например, параллелограмм и трапеция по отношению к четырехугольникам; призма и пирамида по отношению к многогранникам; сфера, конус, цилиндр по отношению к телам вращения.

На рис. 4 представлено отношение тождественного совпадения, когда объемы двух понятий полностью совпадают, например, ромбы с прямыми углами и прямоугольники с равными сторонами, треугольники с соответственно равными элементами и треугольники, совмещающиеся при движении.

3. Определение понятия

Определением называется такая логическая операция, при помощи которой раскрывается содержание вводимого в рассмотрение понятия. Содержание понятия это совокупность его существенных свойств.

Определение необходимо для того, чтобы разные люди понимали друг друга, вкладывая в определенные термины один и тот же смысл. Определение понятий является одним из способов введения в математические дисциплины новых понятий, наделенных необходимыми качествами для включения их в логические операции. Определения сводят определяемые понятия к уже известным. Рассмотрим определение действия вычитания: вычесть из одного числа другое значит найти такое число, которое в сумме со вторым дает первое число. Это определение позволяет вновь вводимое незнакомое понятие о действии вычитания свести к уже известному понятию - сложению двух чисел.

Становится понятным, что восходящий процесс определения неизвестного через известное когда-нибудь должен закончиться и встретятся такие понятия, определения которым будет дать невозможно. Тогда становится необходимым введение неопределяемых понятий. В математике это точка, прямая, плоскость, число, множество, элемент множества и некоторые другие. Вне математики также имеют место неопределяемые понятия. Это такие категории, как материя и сознание, общее и частное, форма и содержание и т. д., которые можно пояснить только друг через друга, что в формальной логике считается ошибкой «порочного круга».

Необходимость введения неопределяемых понятий осознается учащимися благодаря специально организованной работе учителя. Эта работа может заключаться в составлении генеалогических деревьев для некоторых понятий. Например, понятие треугольник определяется с помощью понятий точка и отрезок; отрезок определяется с помощью понятий прямая, точка и отношения «лежать между» для трех точек прямой. Отношение «лежать между» определяется с помощью понятия длина отрезка. Итак, понятие треугольник оказалось сведенным к неопределяемым понятиям точка, прямая, длина отрезка.

Определение понятия -- это предложение, в котором раскрывается содержание понятия, т.е. совокупность условий, необходимых и достаточных для выделения класса объектов, принадлежащих определяемому понятию.

Явные и неявные определения различаются в зависимости от своей структуры. Явные определения содержат прямое указание на существенные признаки определяемого понятия; определяемое и определяющее в них выражены четко и однозначно. Например: «Углом называется фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Дескрипциями называются определения математических объектов путем указания их свойств («То число, которое, будучи умножено на длину диаметра, дает длину его окружности» -- дескрипция числа ).

Неявные определения объектов не содержат четкого и однозначного определяющего элемента, в них содержание определяемого может быть установлено через некоторый контекст.

Определения через род и видовые отличия. Это классические определения, в которых определяемое выделяется из предметов некоторой области, которая при этом явно упоминается в определении (род), путем указания характеристического свойства определяемого (видовое отличие). Например: «Квадрат -- прямоугольник с равными сторонами»; «Ромб -- параллелограмм, у которого все стороны равны»; «Параллелограммом называется четырехугольник, противоположные стороны которого параллельны»; «Прямоугольник есть параллелограмм с прямым углом».

Рассмотрим структуру определения. Большинство определений строится с помощью указания ближайшего рода и видовых отличий вводимого понятия от других объектов этого же рода. Рассмотрим, например, определение равнобедренного треугольника как треугольника, у которого две стороны равны. Родовое понятие в этом определении - треугольник, а видовое отличие одно - наличие пары равных сторон. Вообще определение понятия через ближайший род и видовое отличие устанавливает отношение включения для множества объектов, указывая тем самым порядок на множестве определяемых понятий. Например, С В А , где А -многоугольники, В - четырехугольники, С- параллелограммы.

Видовых отличий в определении может быть несколько, и они могут быть связаны между собой по-разному: конъюнктивно, дизъюнктивно и в сочетаниях конъюнкции и дизъюнкции.

Примером понятия, у которого существенные свойства в определении связаны дизъюнктивно, может быть понятие рационального выражения как выражения, составленного с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления над переменной. Другой пример - что значит решить уравнение.

Примером определения понятия, у которого существенные свойства связаны конъюнктивно, может быть понятие решения системы уравнений с двумя переменными как упорядоченной пары значений переменных, которые удовлетворяют как первому, так и второму уравнению.

Тогда при подведении некоторого объекта под определение понятия, существенные свойства которого связаны конъюнктивно, необходимо проверить у объекта наличие каждого существенного свойства и только в этом случае можно сделать заключение о принадлежности объекта к понятию. Если же существенные свойства в определении связаны дизъюнктивно, то положительный ответ о принадлежности к понятию может быть дан в случае, если имеет место хотя бы одно из этих существенных свойств (примеры приведите самостоятельно).

Определения в математике нередко содержат кванторы общности или существования, что усложняет структуру определения и затрудняет их применение. Например, в определении предела функции в точке имеют место два квантора общности и один - существования.

Ближайшее родовое понятие в определении выбирается для краткости самого определения. Для ответа на вопрос, почему так принято, достаточно сравнить, какое из определений параллелограмма, через четырехугольник или через многоугольник, будет короче.

Суть процесса определения понятия сводится к тому, что из некоторого множества А объектов х выбирается подмножество , такое, которое дополнительно обладает свойством Р: . Но при этом одновременно выделяется множество , которое этим свойством не обладает, причем и . Из логической структуры определения следует, что полезно вводить сразу два определения для множества объектов и , особенно если для них имеются соответствующие термины. Например, можно сразу ввести определения дробного и целого выражения, рационального и иррационального числа, выпуклого и невыпуклого многоугольника и т. д. Это естественный способ введения понятий.

Что собой представляют видовые отличия? В видовом отличии может указываться происхождение понятия. Тогда говорят о генетическом определении. Например, конусом называется фигура, образованная вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов. В рекурсивном или индуктивном определении, которое является разновидностью генетического (пример - определение арифметической и геометрической прогрессии), указывается, как каждый последующий член последовательности может быть получен из предыдущего.

В качестве видовых отличий могут быть приведены некоторые соотношения, законы, просто перечислены свойства нового понятия. Вспомните, например, определения эллипса как фигуры, заданной соответствующим уравнением, и прямой, перпендикулярной плоскости.

В школьном курсе математики через род и видовое отличие определяются: длина ломаной; периметр многоугольника (прямоугольника, квадрата); квадрат; куб; круг; радиус окружности (круга); биссектриса угла; развернутый угол; прямой угол; градус; острый угол; тупой угол; виды треугольников по величине углов; фигуры, симметричные относительно точки (центр симметрии); перпендикулярные и параллельные прямые.

Генетические определения - это такие определения, в которых описывается или указывается способ происхождения, образования, возникновения, построения понятия. Генетические определения представляют собой разновидность определения через род и видовые отличия. Например: «Сферой называется поверхность, полученная вращением полуокружности вокруг своего диаметра»; «Шар -- это геометрическое тело, образованное вращением полукруга вокруг диаметра».

В школьном курсе математики можно выделить следующие генетические определения понятий: отрезок; луч; равносторонний треугольник; координатный луч; равные фигуры; площадь прямоугольника; площадь квадрата; объем прямоугольного параллелепипеда; окружность; дуга окружности; сектор; угол и его элементы; равные углы; длина окружности; площадь круга.

Определение через абстракцию. Такое название получили определения, связанные с выделением объектов через установление между ними отношений равенства, равнозначности, тождества. В определении через абстракцию математическое понятие определяется как семейство классов эквивалентности по некоторому отношению эквивалентности. Например, натуральное число п -- это характеристика класса эквивалентных конечных множеств, состоящих из n элементов.

Остенсивные определения. Это определения значений слов путем непосредственного показа, демонстрации предметов. Часто применяются в начальной школе (понятия отрезка, окружности, угла и др.). Постепенно с развитием математического опыта и накоплением определенного числа понятий на смену остенсивным понятиям приходят вербальные понятия. Вербальные понятия -- это понятия, в которых значения неизвестных выражений определяются через выражения, с известным значением.

Определения могут быть разбиты на два класса: конструктивные и дескриптивные (описательные). В первом случае в определении указывается способ построения определенных объектов. Тем самым решается вопрос о существовании понятия. В описательных определениях лишь перечисляются свойства нового понятия. Но из определения еще не следует, что такие объекты существуют. При изучении описательных определений необходимо рассматривать доказательство существования определенных понятий. Например, описательными определениями являются определения прямой, перпендикулярной плоскости, геометрического места точек и другие.

Аксиомы, описывающие основные отношения между неопределяемыми понятиями, являются по сути описательными определениями этих понятий. Аксиомы косвенно настолько определяют эти понятия, что их можно использовать в доказательствах.

При определении понятий необходимо выполнять ряд требований.

В определение через род и видовое отличие должен включаться ближайший род, что обеспечивает краткость определения.

Определяемое (то, которое определяем) и определяющее (то, через которое определяем) понятия должны быть соразмерны, т. е. равны по объему. Нарушение этого правила имеет место в том случае, если определяющее понятие включает в себя недостаточно существенных свойств и получается более широкое понятие, чем определяемое. Если определяющее понятие включает в себя какие-то дополнительные существенные свойства, то получается более узкое понятие, чем определяемое (приведите самостоятельно примеры более узких и более широких определяющих понятий, чем определяемое).

Следующее требование к определению - независимость существенных свойств друг от друга. Другими словами, одни свойства, включенные в определение, не должны быть логическим следствием других. Это требование краткости вводимого определения. В школьном курсе математики это требование, к сожалению, не выдерживается. Пример: определения прямоугольника и ромба в школьном курсе геометрии.

Еще одно требование - определение не должно содержать порочного круга. Порочный круг заключается в том, что одно понятие определяется через второе, а второе через первое. Примером порочного круга является следующая последовательность определений: вычитание определяется как действие нахождения разности двух чисел, а разность - как результат вычитания. Этот круг может быть сложнее. Первое понятие определяется через второе, второе - через третье, третье - снова через первое.

Желательно, чтобы определение не было отрицательным, т. е. таким, в котором отрицается наличие некоторого свойства. Но иногда этого не избежать. Когда некоторое множество делится на два класса по наличию и отсутствию какого-либо свойства и это фиксируется в определении, то получается, что определение содержит отрицание. Например, прямые на плоскости можно разделить на пары прямых, имеющих общую точку и не имеющих таковую.

И, наконец, определение не должно содержать метафор. Определение «архитектура - застывшая музыка» мало что проясняет в этом понятии, хотя звучит ярко и образно.

Формальная логика требует неизменности определений, сохранения их смысла, но в то же время вследствие движения процесса познания требуется смена определений. В этом проявляется диалектика процесса познания. Например, в начале изучения понятия функции - это зависимость между величинами с определенным свойством, в дальнейшем - это уже соответствие между двумя множествами. В начале изучения понятия угол - это фигура, состоящая из двух лучей, имеющих общее начало, потом - это часть плоскости, ограниченной такими лучами, а потом это и вовсе некоторое число, соответствующее результату вращения подвижного радиуса вокруг неподвижной точки.

В плане изучения определений с точки зрения формальной логики специального разговора требует эквивалентность определений. В определения отдельных понятий, как правило, включаются не все существенные свойства, а лишь те, из которых остальные могут быть получены с помощью логического вывода. И этот набор существенных свойств может быть выбран по-разному.

Например, существенными свойствами касательной к окружности являются наличие единственной общей точки с окружностью, перпендикулярность к радиусу в точке, лежащей на окружности. Но любое из этих существенных свойств может быть получено из оставшегося с помощью логического вывода. Поэтому в разных учебниках встречаются различные определения понятия касательной к окружности.

4. Классификация понятий

Процесс выяснения объема понятия называется классификацией. Классификация понятий -- разделение множества объектов, составляющих объем родового понятия, на виды. Это разделение основано на сходстве объектов одного вида и отличии их от объектов других видов.

В классификации понятий различают три компонента:

- классифицируемое понятие или понятие, подлежащее классификации - это понятие, объем которого требуется раскрыть;

- основание классификации, т.е. признак, по которому проводится классификация;

- члены классификации, т.е. образованные в результате классификации классы.

Например, классификация обыкновенных дробей на правильные и неправильные. Здесь классифицируемое понятие - это множество обыкновенных дробей; основание классификации - отношения больше, меньше или равно между числителем и знаменателем; члены классификации - правильные и неправильные дроби.

Правильная классификация понятий предполагает соблюдение следующих условий:

-- классификация должна проводиться по определенному признаку, остающемуся неизменным в процессе классификации (основание классификации);

-- понятия, получающиеся в результате классификации, должны быть взаимно независимые, т.е. образованные подмножества (классы) должны быть непересекающимися;

-- сумма объемов понятий, получающихся при классификации, должна равняется объему исходного понятия, т.е. классификация должна быть соразмерной (объединение всех подмножеств (классов) образует все множество;

-- в процессе классификации переходят к ближайшему в данном родовом понятии виду, т.е. классификация должна быть непрерывной.

Натуральное число подразделяют на простое число, единицу и составные числа.

Различают два вида классификации: классификация по видоизмененному признаку и дихотомическая классификация.

Классификация по видоизмененному признаку.

Элементы понятия, подлежащего классификации, обладают несколькими признаками. В качестве основания классификации могут использоваться различные признаки классифицируемого понятия. Изменяя основание классификации, получаем классификацию по видоизмененному признаку (видоизмененному основанию).

Например, если за основание классификации треугольников принять величину внутренних его углов, то треугольники делятся на остроугольные, прямоугольные и тупоугольные. Если же за основание принять соотношение между длинами его сторон, то треугольники делятся на разносторонние и равнобедренные, которые в свою очередь могут быть равносторонними и равнобедренными неравносторонними.

Часто в математике и практике классификация одного и того же понятия производится одновременно по нескольким признакам. Например, алгебраические уравнения можно классифицировать, приняв за основание количество переменных (уравнение с одной, двумя, тремя и т.д. переменными) или наибольшую степень переменных (уравнения первой, второй и т.д. степеней). В случае при одновременном использовании двух оснований классификации получаем, например, класс уравнений второй степени с одной переменной, с двумя переменными и т.д.

В случае с треугольниками получаем следующую классификацию:

	Остроугольные	Прямоугольные	Тупоугольные
Разносторонние
Равнобедренные
Равносторонние		не существуют	не существуют

Схема. Классификация треугольников

Важнейшим требованием к признаку (основанию) классификации является его объективность.

Дихотомическая классификация.

Дихотомическая классификация представляет собой деление объема классифицируемого понятия на два противоречащих друг другу видовых понятия, одно из которых обладает данным признаком, а другое не обладает им. Например, классификация четырехугольников может проводиться следующим образом (продолжите классификацию самостоятельно):

Сравнивая дихотомическую классификацию с классификацией по видоизмененному признаку, можно выявить ряд преимуществ дихотомии. Эта классификация всегда удовлетворяет требованию соизмеримости, образованные классы всегда исключают друг друга, а разбиение производится только по одному основанию.

Однако, дихотомическая классификация не лишена недостатков: разделив объем понятия на два противоречащих друг другу видовых понятия, часто остается весьма неопределенным видовое понятие, которое содержит частицу «не».

В школьной практике часто применяются последовательно оба вида классификации - дихотомия и по видоизмененному признаку. Первоначально объем классифицируемого понятия разбивается на базе дихотомии на два противоположных друг другу видовых понятия, одно из которых владеет данным признаком, а второе - нет. Потом дальнейшему исследованию в большинстве случаев подвергается то видовое понятие, которое владеет признаком разбиения.

Например, с помощью дихотомии множество многоугольников разбивается на выпуклые и невыпуклые. После этого переходят к боле подробному изучению выпуклых многоугольников и их видов: треугольников, четырехугольников и т.д.

Особенно полезна классификация при повторении, так как при этом систематизируется изучаемый материал. Ученики получают более полное представление о взаимосвязях между понятиями и системе математических понятий.

В качестве примера рассмотрим взаимное расположение двух прямых в пространстве:

Основанием первого разбиения является существование плоскости, в которой лежат обе прямые, основанием второго разбиения является наличие общей точки.

5. Методика введения математических понятий

Понятие- форма мышления, в которой выделены существенные свойства и отделены от несущественных. Иметь понятие о некотором объекте, явлении означает понимать сущность этого объекта, явления. Непосредственным выражением понимания являются полнота, разносторонность, существенность взаимосвязей рассматриваемого понятия с ранее усвоенными, с имеющейся системой знаний.

Организуемый учителем процесс усвоения понятия (делания понятия своим) может быть представлен в виде следующей последовательности этапов: подготовка к введению нового понятия, мотивация введения понятия, организация восприятия и понимания, применение в стандартных и нестандартных ситуациях.

Первый этап заключается в актуализации ранее пройденного материала, в рассмотрении отдельных элементов вновь вводимого материала.

Необходимость второго этапа диктуется тем, что учитель в процессе обучения имеет дело не с индивидуумом и его способностями, но с личностью, у которой есть свои интересы, склонности, цели. Необходимо, чтобы ученик сам захотел сделать предлагаемый учителем материал своим, принял бы цели, которые поставлены учителем. Это можно сделать с помощью организации проблемной ситуации, в результате рассмотрения которой появляется необходимость познакомиться с новым понятием, или с помощью рассказа о важности изучаемого понятия.

Например, учащимся 8-го класса предлагается решить текстовую задачу, решение которой приводит к квадратному уравнению, которое учащиеся пока решать не умеют. Потребность решить задачу диктует необходимость изучения квадратного уравнения. Этим самым организуется первичное восприятие нового понятия.

Начальной ступенью понимания является предвосхищение понимания: еще не осознано то, что воспринимается, но ощущение возможности осознания есть. Вторая ступень - смутное понимание, когда отдельные элементы структуры понятия уже схвачены. На этом этапе еще невозможно дать себе отчет, что понято, что не понято. Дальнейшее понимание характеризуется углублением процесса, преодолением скованности в формулировках, возможностью передачи знания другому лицу, возможностью использования понятия в стандартных, а потом и в нестандартных ситуациях. Индивидуальное сознание проходит путь от выявления отдельных существенных характеристик к выяснению структуры понятия. Эти ступени понимания, усвоения проходит любое знание: и теоремы, и правила, а не только понятия.

Организация усвоения понятий может быть реализована в рамках различных методов обучения: объяснительно-иллюстративного, когда учитель сам вводит новое понятие, и в рамках частично-поискового, когда учащиеся привлекаются к поиску нового определения. Эти методы получили названия соответственно абстрактно-дедуктивного и конкретно-индуктивного.

Схема применения конкретно-индуктивного метода:

- анализируется эмпирический материал (при этом, кроме индукции, привлекаются и другие логические методы: анализ, сравнение, абстрагирование, обобщение);

- выясняются общие признаки понятия, которые его характеризуют;

- формулируется определение;

- определение закрепляется путем привлечения примеров и контрпримеров;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Схема применения абстрактно-дедуктивного метода:

- формулируется определение понятия;

- приводятся примеры и контрпримеры;

- дальнейшее усвоение понятия и его определения происходит в процессе их применения.

Абстрактно-дедуктивный метод применяется обычно в тех случаях, когда введение понятия хорошо подготовлено предшествующим обучением. Например, после введения понятия параллелограмма вводится понятие прямоугольника.

При том и другом методах содержанием обучения является выделение существенных свойств понятия и отделение их от несущественных. Конкретно-индуктивный метод требует больше учебного времени при своем использовании на уроке, но обеспечивает большую активность учащихся и обратную связь, на основании которой учитель делает выводы об эффективности работы по изучению понятий.

Введению определения на уроке предшествует работа учителя по выделению существенных и несущественных свойств понятия, определение которого подлежит изучению, анализу логической структуры этого определения, подбору примеров и контрпримеров для закрепления и возможностей их вариации, анализу ситуаций, в которых наиболее часто встречается вводимое понятие. Анализ заканчивается выбором метода введения определения.

Рассмотрим пример подготовки учителя к уроку по теме «Смежные углы». Определение смежных углов имеет два существенных свойства: наличие у обоих углов общей стороны и то, что вторые стороны этих углов являются дополнительными полупрямыми. Эти свойства связаны между собой конъюнктивно. Объект подпадает под понятие, если имеет место каждое свойство. Это значит, что контрпримеров этому понятию можно привести три: когда отсутствует первое или второе или оба свойства сразу. Какими несущественными свойствами обладает это понятие, т. е. какие свойства допускают вариации? Это соотношения между величинами углов, произвольность расположения на плоскости. В методике Н.Н. Кабановой-Меллер предлагается вместе с учащимися выделять и проговаривать не только существенные свойства, но и несущественные. Такая работа позволяет учащимся легче узнавать объекты в наиболее часто встречающихся задачных ситуациях, в которых участвуют смежные углы. Такими ситуациями для смежных углов являются ситуации, когда две прямые пересечены третьей прямой, в треугольниках, в разных видах четырехугольников.

Поскольку вводимое понятие смежных углов не очень сложное, то учитель может предпочесть частично-поисковый метод введения понятия. При этом цель урока может быть сформулирована по-разному: получить определение смежных углов с помощью учащихся, научить учащихся его формулировать, узнавать смежные углы в различных ситуациях, подводить под определение понятия смежных углов, исправлять ошибочные определения.

Рассмотрим фрагмент урока по введению понятия смежные углы. Классу представлены следующие рисунки:

а) б) в) г) д)

Далее процесс восприятия и осознания направляется вопросами учителя к предложенным рисункам:

- назовите рисунки, на которых изображены два угла, имеющие одну общую сторону;

- назовите рисунки, на которых сторона одного угла является дополнительной полупрямой для стороны другого угла;

- на каких рисунках изображены углы, которые одновременно удовлетворяют двум предъявленным требованиям?

В беседе роль учащихся может быть усилена, а вопросы можно поставить так, что уровень самостоятельности учащихся повысится:

- что общего на рисунках а), б) и г)?

- что общего на рисунках б), в) и г)?

- назовите рисунки, изображения на которых удовлетворяют двум выделенным требованиям.

Далее учитель сообщает термин «смежные углы» и просит учеников сформулировать соответствующее определение. Для закрепления выделенных существенных свойств учитель дает задание обосновать, почему углы на рисунках а), в) и д) не являются смежными. Далее рассматривается, чем различаются смежные углы на рисунках б) и г) и чем вообще могут отличаться друг от друга пары смежных углов.

Психологи (В.И. Зыкова, М.А. Холодная) считают, что при изучении всякого понятия должно быть установлено соответствие нового знания личному интеллектуальному опыту учащихся, в котором могут содержаться противоречия с новыми знаниями. С отношением «быть смежными» учащиеся сталкивались в быту: смежные - соседние участки земли, помещения. Необходимо подчеркнуть сходство и различие вновь вводимого понятия с имеющимися.

Интересным для учащихся может оказаться перевод на русский язык различных математических терминов: радиус - спица колеса, хорда - струна, диаметр - поперечник (с греч.) и т. д., что раскрывает первоначальный смысл понятий, их происхождение и связь математики с окружающей действительностью.

Применению всякого понятия на практике при решении задач предшествует узнавание его в некоторой конкретной ситуации, где оно может быть представлено в более или менее скрытой форме. За этим при решении задач следуют обоснование узнавания (подведение под понятие) и выведение следствий (использование понятия). В методике преподавания математики принято в качестве первых упражнений на закрепление вновь вводимых понятий предлагать упражнения на узнавание объектов с дальнейшим подведением под определение. Например, такими упражнениями на узнавание смежных углов могут быть задания выделить смежные углы на рисунке и обосновать свои утверждения.



Это же понятие смежных углов может быть введено по-другому.

Например, учитель просит учащихся построить в тетради и на доске любой угол, а затем продолжить одну из его сторон - построить дополнительную полупрямую. Далее с помощью учащихся выясняется, какими существенными свойствами обладают два полученных угла, рассматриваются различные чертежи из тетрадей учеников в качестве вариаций несущественных свойств, затем рассматриваются контрпримеры.

Дальнейшее усвоение понятия «смежные углы» проходит на этапе применения понятия.

6. Формирование математических понятий

Пропедевтика понятий

Пропедевтика (гр. propaideuo- обучаю предварительно) - введение в какую-либо науку. Следовательно, речь идет о предварительной подготовке учащихся к формированию математических понятий.

Математические понятия - важнейшая неотъемлемая часть науки и учебного предмета математики. Каждая математическая наука и учебная дисциплина начинается с первичных, основных неопределяемых понятий. Все другие определяются и называются определяемыми, выводными или производными. Это можно сделать в систематических курсах математических дисциплин, т.е. на определенном уровне развития учащихся.

На начальной ступени обучения учащиеся знакомятся с большинством математических понятий наглядно, путем созерцания конкретных примеров или практического оперирования ими, например, при счете их. При этом учитель опирается на жизненный опыт учащихся.

Способы введения мат. понятий на начальном этапе изучения математики:

1) первое знакомство с математическими понятиями в начальных классах школы фиксируется с помощью термина и символа, без описания или определения понятия. Например, фигуры треугольник, квадрат, прямоугольник - еще в детском саду. Термин «меньше» и символ 2< 9; термин «сложение» и символ «+» и т.д.;

2) появляются первые определения (2 кл.) - «Сложение одинаковых слагаемых называется умножением»;

3) некоторые понятия вводятся только с помощью термина (например, год, неделя, час, минута и др.);

4) описательное введение понятий (нумерация в пределах тысячи, меры длины);

5) некоторые понятия определяются генетически (окружность, 1 м - это квадрат со стороной 1 м).

Велика роль пропедевтики алгебраического и геометрического материала, особенно в 5-6 классах, где наряду с систематическим курсом арифметики изучаются начала алгебры и геометрии. Например, в учебнике Латотина Л.А., Чеботаревского Б.Д. «Математика 4»:

Геометрические понятия - окружность, круг, угол, смежные и вертикальные углы, прямоугольный параллелепипед, объем;

Алгебраические понятия - уравнение, выражение и его значение.

Таким образом, в курсе математики ведется подготовка к изучению курсов алгебры и геометрии. Но не только на уроках математики, возможна пропедевтика и в других курсах, например, физики - понятие производной (мгновенная скорость), черчения - изображение пространственных фигур в стереометрии и др.

В отдельных случаях, когда изучение понятия представляет собой существенные трудности, период первоначального ознакомления с понятием растягивается во времени, на протяжении которого учащиеся многократно сталкиваются с понятием, постепенно расширяя круг представлений о нем. Например, одно из важнейших понятий современного школьного курса математики - функция. Усвоение этого понятия возможно лишь при условии перехода от статического к диалектическому мышлению, что совершается не вдруг. Само понятие функция вводится в седьмом классе. Но в пятом и шестом классах сознание учащихся готовится к восприятию этого понятия. В качестве пропедевтики понятия функция в учебниках пятого и шестого классов рассматриваются различные упражнения. Функция как зависимость, закон соответствия, соответствие между отдельными элементами некоторых множеств проявляют себя в таких упражнениях, как составление выражений, отыскание значений выражения в зависимости от значений параметров, входящих в него. Функциями являются меры длины, площади, объема, функциональным является соответствия между точками координатного луча и координатной прямой и числами. Функциональной пропедевтикой является изучение темы «Координатная плоскость».

Применение понятий и их определений

В практике решения задач при оперировании понятиями и их определениями актуальными являются умения: 1) подведение под определение; 2) подведение под понятие; 3) выделение «зоны поиска»; 4) выведение следствий из определения.

Названные умения можно формировать в рамках приемов умственной деятельности - совокупности мыслительных операций, направленных на решение задач определенного типа.

Структура приема подведения под определение зависит от логического строения определения, т. е. от того, каким образом, конъюнктивно или дизъюнктивно, связаны существенные свойства в определении.

Рассмотрим несколько определений.

1. Целым выражением называется выражение, составленное из чисел и переменных с помощью действий сложения, вычитания, умножения и деления на число, отличное от нуля.

2. Целые и дробные выражения называются рациональными.

3. Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.