Методика формирования математических понятий

4. Трапецией называется четырехугольник, две стороны которого параллельны, а две другие - нет.

5. Арифметическим квадратным корнем из числа а, называется неотрицательное число, квадрат которого равен а.

6. Два вектора называются коллинеарными, если они лежат на параллельных прямых или на одной прямой.

Чем различаются действия подведения под определение в случаях 1, 2 и 6 от аналогичных действий в случаях 3, 4, 5?

При подведении под определение, в котором существенные свойства связаны конъюнктивно (примеры 3,4,5), для отнесения некоторого объекта к множеству объектов, названных определенным термином, необходимо проверить наличие всех существенных свойств. Например, чтобы некоторое число b было арифметическим квадратным корнем из числа а, требуется выполнение двух условий: .

Если существенные свойства связаны между собой дизъюнктивно, то для отнесения объекта к множеству объектов, подпадающих под это понятие, достаточно выполнения отдельных существенных свойств. Например, чтобы некоторое выражение можно было назвать рациональным, достаточно, чтобы оно было целым или дробным. Причем союз «или», который подразумевается в дизъюнктивно построенных определениях, обладает неразделительным смыслом. Например, чтобы выражение назвать целым, требуется, чтобы оно было построено с помощью любых действий, перечисленных в определении 1.

Рассмотрим, как могут выглядеть рассуждения при подведении под определение, например, вписанного угла.

Вначале необходимо вспомнить определение: вписанным углом называется угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность. Затем выделяются существенные свойства определения: 1) угол; 2) вершина лежит на окружности; 3) стороны пересекают окружность. Выясняется, что необходимо проверить наличие каждого свойства согласно структуре данного определения. Затем на каждом из рисунков (см. рис. 7) проверяется наличие перечисленных свойств и формулируются соответствующие выводы.

Иногда применение приема подведения объекта под определение затруднено в силу того, что определение дано в форме, которой трудно воспользоваться и которая требует предварительного анализа и переформулирования. Рассмотрим, например, определение квадратного уравнения с одной переменной. Квадратным называется уравнение вида:

ах² + bх + с = 0, где а 0.

Чтобы ответить на вопрос, является ли, например, равенства (*) квадратными уравнениями с одной переменной, следует самостоятельно выделить существенные свойства понятия, а именно: что это уравнение, что оно содержит одну переменную, что оно содержит в качестве одного из слагаемых вторую степень переменной со своим коэффициентом и не содержит степени переменной выше второй.

у-2х²=0; Зх²+5; 2х³+х²-5 = 0; 7х²-6 = 0 (*)

Следовательно, чтобы подвести некоторый объект под понятие согласно его определению, учащиеся должны вспомнить определение, выявить его существенные свойства, установить связи между ними, например, с помощью вопроса, все ли существенные свойства должны выполняться, затем проделать операции, адекватные логическому строению определения, - проверить наличие требуемых свойств в рассматриваемом объекте и сделать вывод относительно принадлежности рассматриваемого объекта к понятию: если существенные свойства связаны конъюнктивно, то для отнесения объекта к понятию необходимо выполнение всех свойств, а если дизъюнктивно - то некоторых.

Опыт показывает, что выполнение нескольких упражнений на подведение под определение способствует не только осознанию определения, но и его непроизвольному запоминанию.

Несколько сложнее выглядит еще один прием, связанный с понятиями. Это прием подведения под понятие. Как известно, чтобы отнести некоторый объект под какое-либо понятие, необязательно пользоваться определением. Можно подводить под признаки понятия. Чем воспользоваться: определением или признаком, которым признаком из имеющихся - все это диктуется условиями конкретной задачи.

Рассмотрим, например, задачу № 17, § 6 (А.В. Погорелов. Геометрия 7-11)

В параллелограмме ABCD точка Е- середина стороны ВС, a F - середина стороны AD. Докажите, что четырехугольник BEDF- параллелограмм (см. рисунок).

Доказательство требуемого факта может быть основано на определении параллелограмма. Тогда предстоит доказывать параллельность BF и ED. Но доказательство можно построить на одном из признаков параллелограмма. И тогда предстоит доказывать, что либо диагонали BD и FE точкой пересечения делятся пополам, либо стороны BE и FD равны и параллельны, либо противолежащие стороны этого четырехугольника попарно равны.

Все операции: актуализация определения и признаков, выбор из них необходимого средства, подведение под определение или выбранный признак и составляет из себя прием подведения под понятие.

Тесно связан с названными еще один прием - выделение «зоны поиска» некоторого понятия. «Зона поиска» это и есть совокупность определения и различных признаков. Этот прием можно эффективно использовать в начале систематического курса геометрии, доказывая равенство отрезков и углов. Например, учащиеся в ходе изучения курса начинают систематизировать достаточные условия равенства отрезков. По мере изучения геометрического материала этот список дополняется. Список полезно вести всем учащимся, например, на последней странице тетради. Приведем в качестве примера «зону поиска» равных отрезков. Итак, равные отрезки можно искать в следующих ситуациях: 1) два отрезка имеют равную длину; 2) два отрезка являются соответствующими сторонами равных треугольников; 3) два отрезка являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника; 4) два отрезка являются противоположными сторонами параллелограмма, любыми сторонами ромба; 5) один отрезок получен из другого некоторым движением; 6) отрезки являются половинами или равными частями равных отрезков и т. д.

Последний из рассматриваемых приемов - прием получения следствий - заключается в том, что при решении задачи перечисляются следствия из наличия какого-либо понятия, т. е. выделяются все свойства этого понятия, содержащиеся в определении и полученные с помощью доказательств. Этот прием облегчает организацию обучения решению задач в начальном курсе геометрии, когда для учащихся характерна жалоба: «Я не умею начинать решать задачу». Он составляет основной смысл решения задачи синтетическим методом, движения мысли от условия к заключению.

Рассмотрим пример. Доказать, что в равных треугольниках соответственные медианы равны (см. рисунок. Прием получения следствий в применении к данной задаче заключается в том, что перебираются все данные условия и из каждого из них делаются возможные выводы.

При этом приходится отвечать на вопросы: 1) что значит, что треугольники равны; 2) что значит, что BD и - медианы?

Рассмотрением перечисленных приемов мы переходим от понятий и их определений к процессу решения задач, в ходе которого формируется понятие.

Некоторые особенности усвоения математических понятий и их определений учащимся

В большинстве случаев в школьном преподавании применяется конкретно-индуктивный способ введения нового понятия, когда начинают с рассматривания конкретных примеров и путем мыслительных операций (анализа, сравнения, абстрагирования, обобщения, синтеза) приводят учащихся к образованию новых понятий. При умелом, продуманном проведении этого процесса учащееся почти всегда способны сами сформулировать определение нового понятия.

Конкретно-индуктивным методом вводятся понятия в пропедевтических циклах начал алгебры и геометрии в 1-7 классах, причем многие определяемые понятия там были введены без определений, описательно.

Приступая к изучению систематических курсов в 8 классе, пользуются всеми этими понятиями как известными. Так уже на первых уроках геометрии в 8 классе употребляются понятия “точка”, «прямая”, “ плоскость”, “ расстояние” и выясняется, что они будут первичными геометрическими понятиями, принимаемыми без определения, остальным понятиям даются определения.

Здесь же выясняется абстрактный характер геометрических понятий (точка не имеет размеров, прямая не ограничена, бесконечна и т. п.), мотивируется необходимость подобного абстрагирования, показывается логическое строение геометрии, роль аксиом и теорем.

Чтобы оценить правильность явных определений, надо знать правила определения понятий. Так как большинство определений в средней школе - определения через род и видовое отличие, то рассмотрим правила этих определений.

Требования к определению понятий:

1). Определяемое и определяющее понятия должны быть соизмеримы (т.е. совокупности, охватываемых ими предметов, должны совпадать). Нарушение этого требования приводит к ошибкам:

а) ошибка «слишком широкого определения», при которой объем определяющего понятия становится шире объема определяемого. Например, параллелограмм - это многоугольник, противоположные стороны которого параллельны. Контрпример - шестиугольник, противоположные стороны которого параллельны. Например, ромб--четырехугольник с взаимно перпендикулярными диагоналями (контпример ромбоид).

б) ошибка «слишком узкого определения», при этом в качестве видового понятия берется отличительный признак не вида, а подвида. Объем определяющего понятия оказывается уже объема определяемого. Например, параллелограмм - это четырехугольник с равными сторонами. Исправление ошибки - пример параллелограмма, который не подпадает под это определение. Например, ромб--четырехугольник с прямыми углами и взаимно перпендикулярными диагоналями. Нарисовать ромб, но не квадрат.

Так как профилактика всегда лучше лечения, то соответствующую работу следует проводить непосредственно в процессе изучения данного понятия.

2). Запрещается порочный круг. Нарушение этого требования приводит к ошибкам:

а) определение понятия через само себя (тавтология), т.е. определяемое содержится (явно или неявно) в определяющем. Например, «решение уравнения - это то число, которое является его решением». «Подобными называются фигуры, которые между собой подобны». «Геометрия - это наука о геометрических фигурах». Учителю следует разъяснять смысл и назначение определения;

б) круг в определении, т.е. при определении используется другое понятие, которое в свою очередь определяется с помощью первого. Например, «Угол называется прямым, если его стороны взаимно перпендикулярны" и "Две прямые взаимно перпендикулярны, если они образуют прямой угол". «Умножением чисел называется действие, при помощи которого находят произведение этих чисел» и «Произведением чисел называется результат умножения этих чисел». В подобных случаях надо сопоставить оба определения, разъяснить суть ошибок.

3). Отсутствие в определении избыточности. Это означает, что в определении не должно быть указано лишних свойств, вытекающих из других свойств, также включенных в определение понятий. Например, «Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны и равны». Требование равенства противоположных сторон четырехугольника - избыточно. Это свойство параллелограмма, которое доказывается учащимися.

4). Необходимо, чтобы определяемый объект существовал. Например, «Тупоугольный треугольник - это треугольник, у которого все углы - тупые».

Важно обучать школьников отысканию лишних слов в определении.

Имеет смысл давать задания: отыскать лишние слова, например, в определении «Диаметром окружности называется отрезок, проходящий через ее центр, соединяющий две ее точки и делящий окружность пополам».

Полезны упражнения по сокращению определения путем использования термина (см. предыдущее определение).

Полезно давать задания на сравнение двух одинаково правильных и одинаково кратких определений с точки зрения того, какое из них легче проверить (подвести конкретный случай под определение).

Например,

Одна из существенных рекомендаций психологов при усвоении понятий состоит в необходимости варьирования несущественных признаков понятия (принцип варьирования) как при конкретно-индуктивном, так и при абстрактно-дедуктивном методе.

Отсутствие необходимых вариаций часто приводит к формированию неправильных представлений о понятиях.

Например, при построении прямой, перпендикулярной данной прямой а и проходящей через данную точку А с помощью линейки и треугольника (математика 6 кл.) все прямые а выбирались горизонтально. Если потом предложить учащимся построить прямую b, перпендикулярную к прямой а, которая расположена не горизонтально, то почти у всех школьников прямая b все равно оказывается вертикальной.

Серьезным недостатком преподавания является неправильная методика исправления ошибок в определениях, даваемых учащимися. Если ученик неправильно дает определение понятия, то нельзя вызывать второго, третьего и т.д. ученика, пока кто-то не даст правильное определение, не выясняя, в чем ошибка (ее причина, сущность) и, следовательно, не предупреждая повторения ее другими учениками.

Важно требовать полных ответов учащихся. Они часто теряют определяющее слово. Например,

-Какие многоугольники называются подобными?

- Это, если углы одного равны углам другого.

Выводы.

1. При введении математических понятий учащиеся должны понимать, что существуют различные их определения. В учебнике выбирается одно из них с методических соображений.

2. Не обязательно сразу давать учащимся определение в законченной форме. Полезна деятельность школьников по отысканию правильной формулировки, ее уточнению, отбрасыванию лишних слов.

3. При повторении определения на последующих уроках следует на примерах показывать ошибочность определений учащихся, либо подтверждать приемлемость определений.

4. Необходимо вести систематическую работу по выработке навыков подведения под определение.

В заключение раздела о понятиях и их определениях ответим на два важных вопроса: что значит, что понятие и его определение усвоено, какие уровни усвоения понятий возможны?

Уровни усвоения учащимися понятий можно представить в виде следующей последовательности. Учащийся:

- узнает понятия;

- знает формулировку определения;

- понимает значение каждого слова, каждой составной части определения, отделяет существенные свойства от несущественных;

- может привести собственные примеры объектов, подходящих под определение;

- может доказать, почему некоторый объект подходит под определение, а другой - нет;

- может использовать понятия в явных ситуациях при решении задач;

- может использовать понятия в неявных ситуациях, при решении нестандартных задач.

Перечисленные уровни - конкретные дидактические цели изучения понятий.

Какие цели развития учащихся может ставить учитель при изучении определений? Это - учить правильно формулировать определения, отделять существенные свойства от несущественных, понимать зависимость между существенными свойствами в определении, осознавать приемы, которые используются при решении задач: подводить под определения, классифицировать, устанавливать связи между понятиями. Эти умения относятся к общим интеллектуальным умениям, г. к. используются в различных науках и школьных предметах. Эти умения являются умениями развитого понятийного логического мышления.

Литература

1. Дорофеев Г.В. О строгости определения математических понятий школьного курса с методической точки зрения // Математика в школе. - 1984. -№ 3

2. Виленкин Н.Я., Абайдулин С.К., Таварткиладзе Р.К. Определения в школьном курсе математики и методика работы над ними //Математика в школе. - 1984. -№4

3. Груденов Я.И. Изучение определений, аксиом и теорем. - М, 1981.