Метод ітерації для розв’язування нелінійних рівнянь

Використання методу ітерації для розв'язання систем нелінійних рівнянь. Зміни послідовного наближення x при різних варіантах взаємного розташування графіка і прямої. Положення ітерації при різних значеннях функції та похідної. Умови зациклювання ітерацій.

Рубрика Математика
Вид лекция
Язык украинский
Дата добавления 06.06.2009
Размер файла 144,2 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Метод ітерації для розв'язування нелінійних рівнянь

Припустимо, що рівняння f(x)=0 за допомогою деяких тотожних перетворень зведене до вигляду . Відмітимо, що таке перетворення можна робити різними способами, і при цьому матимемо різні функції в правій частині рівняння. Рівняння f(x)=0 еквівалентне рівнянню для будь-якої функції . Таким чином, можна взяти і при цьому вибрати функцію (або постійну) так, щоб функція задовольняла тим властивостям, які знадобляться нам для забезпечення знаходження кореня рівняння.

Для знаходження кореня рівняння виберемо деяке початкове наближення x0 (розташоване, по можливості, близько до кореня). Далі будемо обчислювати подальші наближення за формулами і так далі, тобто використовуючи кожне обчислене наближення до кореня як аргумент функції в черговому обчисленні. Такі обчислення за однією і тією ж формулою , коли отримане на попередньому кроці значення використовується на подальшому кроці, називаються ітераціями. Ітераціями називають часто і самі значення xi, отримані в цьому процесі (тобто, в нашому випадку, послідовні наближення до кореня). Відмітимо той факт, що x* - корінь рівняння , означає, що x* є абсциса точки перетину графіка з прямою y=x. Якщо ж при якому-небудь x0 обчислено значення і взято за новий аргумент функції, то це означає, що через точку графіка проводиться горизонталь до прямої y=x, а звідти опускається перпендикуляр на вісь. Там і знаходитиметься новий аргумент x1.

Прослідкуємо, як змінюються послідовні наближення xi при різних варіантах взаємного розташування графіка і прямої y=x.

1) Графік розташований, принаймні в деякому околі кореня , що включає початкове наближення x0, в деякому куті зі сторонами, що мають нахил менше до горизонталі (тобто сторони кута -прямі , де 0<k<1):

Рис.2.Графік перетинає пряму y=x під малим кутом: варіанти розташування.

Якщо припустити додатково, що функція має похідну , то цей випадок відповідає тому, що виконується нерівність , при x, близьких до кореня x*. Простежимо в цьому випадку за поведінкою послідовних наближень

Рис.3.Наближення, що збігаються до кореня у випадку .

Ми бачимо, що кожне наступне наближення xi+1 буде в цьому випадку розташовано ближче до кореня x*, ніж попереднє xi. При цьому, якщо графік при x<x*, лежить нижче за горизонталь , а при x>x*- вище за неї (що, у разі наявності похідної, вірно, якщо ), то наближення xi поводяться монотонно: якщо xo<x*, то послідовність {xi} монотонно зростає і прямує до x*, а якщо xo>x*, то монотонно спадає і також прямує до x*. Якщо ж графік функції лежить вище за горизонталь при x<x* і нижче за неї при x>x* (якщо ), то послідовні наближення поводяться інакше: вони "скачуть" навколо кореня, з кожним стрибком наближаючись до нього, але так само прямують до x* при .

Відмітимо, що якщо функція не монотонна в околі точки x*, то послідовні наближення можуть поводитися нерегулярно (тобто не монотонно і не потрапляючи почергово то лівіше, то правіше кореня, а роблячи стрибки відносно кореня при довільних номерах.

2) Графік розташований, принаймні в деякому околі кореня, що включає початкове наближення x0, в деякому куті зі сторонами, що мають нахил більше до горизонталі (тобто сторони кута - прямі , де k>1):

Рис.5.Графік перетинає пряму y=x під великим кутом: варіанти розташування.

Якщо функція має похідну , то при x, близьких до кореня x* виконується нерівність .

Рис.6.Послідовність розбіжна у випадку .

Кожна наступна ітерація xi+1 буде в цьому випадку розташована далі від кореня x*, ніж попередня xi. При цьому, залежно від того, чи перетинає графік пряму y=x "знизу вгору" або "згори донизу", послідовність {xi} монотонно віддаляється від кореня x* або ж ітерації віддаляються від x* , потрапляючи почергово то справа, то зліва від кореня.

Ще одне зауваження: якщо не виконується ні умова , ні , то ітерації можуть зациклюватися.


Подобные документы

  • Метод простої ітерації Якобі і метод Зейделя. Необхідна і достатня умова збіжності методу простої ітерації для розв’язання системи лінейних рівнянь. Оцінка похибки. Діагональне домінування матриці як умова збіжності ітерації. Основні переваги цих методів.

    презентация [79,9 K], добавлен 06.02.2014

  • Чисельні методи розв’язання систем нелінійних рівнянь: лінійні і нелінійні рівняння, метод простих ітерацій, метод Ньютона. Практичне використання методів та особливості розв’язання систем нелінійних рівнянь у пакеті Mathcad, Excel та на мові С++.

    курсовая работа [2,0 M], добавлен 30.11.2010

  • Схема класифікації та методи розв'язування рівнянь. Метод половинного ділення. Алгоритм. Метод хорд, Ньютона, їх проблеми. Граф-схема алгоритму Ньютона. Метод простої ітерації. Питання збіжності методу простої ітерації. Теорема про стискаючі відображення.

    презентация [310,1 K], добавлен 06.02.2014

  • Застосування методу Гауса (або методу послідовного виключення невідомих) для розв'язання систем лінійних рівнянь. Економний спосіб запису за допомогою компактної схеми Гауса. Алгоритм знаходження рангу матриці, метод Гауса з вибором головного елемента.

    курсовая работа [879,9 K], добавлен 02.10.2010

  • Розв’язання систем лінійних рівнянь методом Жордана-Гауса. Еквівалентні перетворення системи, їх виконання як елемент методів розв’язування системи рівнянь. Базисні та вільні змінні. Лінійна та фундаментальна комбінації розв’язків, таблиці коефіцієнтів.

    контрольная работа [170,2 K], добавлен 16.05.2010

  • Аналіз найвідоміших методів розв’язування звичайних диференціальних рівнянь і їх систем, користуючись рекомендованою літературою. Розробка відповідної схеми алгоритму. Розв’язання системи звичайних диференціальних рівнянь в за допомогою MathCAD.

    лабораторная работа [412,4 K], добавлен 21.10.2014

  • Неперервність функцій в точці, області, на відрізку. Властивості неперервних функцій. Точки розриву, їх класифікація. Знаходження множини значень функції та нулів функції. Розв’язування рівнянь. Дослідження функції на знак. Розв’язування нерівностей.

    контрольная работа [179,7 K], добавлен 04.04.2012

  • Задача Коші і крайова задача. Двоточкова крайова задача для диференціального рівняння другого порядку. Види граничних умов. Метод, заснований на заміні розв’язку крайової задачі розв’язком декількох задач Коші. Розв'язування систем нелінійних рівнянь.

    презентация [86,2 K], добавлен 06.02.2014

  • Умови та особливості використання модифікованого методу Ейлера для отримання другої похідної в кінцево-різницевій формі. Два обчислення функції за крок. Метод Ейлера-Коші як частковий випадок методу Рунге-Кутта. Метод четвертого порядку точності.

    презентация [171,0 K], добавлен 06.02.2014

  • Основні етапи розв'язування алгебраїчних рівнянь: аналіз задачі, пошук плану розв'язування та його здійснення; перевірка та розгляд інших способів виконання. Раціоналізація розв'язування алгебраїчних рівнянь вищих степенів методом заміни змінних.

    курсовая работа [229,8 K], добавлен 13.05.2013

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.