Метод ітерації для розв’язування нелінійних рівнянь

Метод ітерації для розв'язування нелінійних рівнянь

Припустимо, що рівняння f(x)=0 за допомогою деяких тотожних перетворень зведене до вигляду . Відмітимо, що таке перетворення можна робити різними способами, і при цьому матимемо різні функції в правій частині рівняння. Рівняння f(x)=0 еквівалентне рівнянню для будь-якої функції . Таким чином, можна взяти і при цьому вибрати функцію (або постійну) так, щоб функція задовольняла тим властивостям, які знадобляться нам для забезпечення знаходження кореня рівняння.

Для знаходження кореня рівняння виберемо деяке початкове наближення x₀ (розташоване, по можливості, близько до кореня). Далі будемо обчислювати подальші наближення за формулами і так далі, тобто використовуючи кожне обчислене наближення до кореня як аргумент функції в черговому обчисленні. Такі обчислення за однією і тією ж формулою , коли отримане на попередньому кроці значення використовується на подальшому кроці, називаються ітераціями. Ітераціями називають часто і самі значення x_i, отримані в цьому процесі (тобто, в нашому випадку, послідовні наближення до кореня). Відмітимо той факт, що x* - корінь рівняння , означає, що x* є абсциса точки перетину графіка з прямою y=x. Якщо ж при якому-небудь x₀ обчислено значення і взято за новий аргумент функції, то це означає, що через точку графіка проводиться горизонталь до прямої y=x, а звідти опускається перпендикуляр на вісь. Там і знаходитиметься новий аргумент x₁.

Прослідкуємо, як змінюються послідовні наближення x_i при різних варіантах взаємного розташування графіка і прямої y=x.

1) Графік розташований, принаймні в деякому околі кореня , що включає початкове наближення x₀, в деякому куті зі сторонами, що мають нахил менше до горизонталі (тобто сторони кута -прямі , де 0<k<1):

Рис.2.Графік перетинає пряму y=x під малим кутом: варіанти розташування.

Якщо припустити додатково, що функція має похідну , то цей випадок відповідає тому, що виконується нерівність , при x, близьких до кореня x*. Простежимо в цьому випадку за поведінкою послідовних наближень

Рис.3.Наближення, що збігаються до кореня у випадку .

Ми бачимо, що кожне наступне наближення x_i+1 буде в цьому випадку розташовано ближче до кореня x*, ніж попереднє x_i. При цьому, якщо графік при x<x*, лежить нижче за горизонталь , а при x>x*- вище за неї (що, у разі наявності похідної, вірно, якщо ), то наближення x_i поводяться монотонно: якщо x_o<x*, то послідовність {x_i} монотонно зростає і прямує до x*, а якщо x_o>x*, то монотонно спадає і також прямує до x*. Якщо ж графік функції лежить вище за горизонталь при x<x* і нижче за неї при x>x* (якщо ), то послідовні наближення поводяться інакше: вони "скачуть" навколо кореня, з кожним стрибком наближаючись до нього, але так само прямують до x* при .

Відмітимо, що якщо функція не монотонна в околі точки x*, то послідовні наближення можуть поводитися нерегулярно (тобто не монотонно і не потрапляючи почергово то лівіше, то правіше кореня, а роблячи стрибки відносно кореня при довільних номерах.

2) Графік розташований, принаймні в деякому околі кореня, що включає початкове наближення x₀, в деякому куті зі сторонами, що мають нахил більше до горизонталі (тобто сторони кута - прямі , де k>1):

Рис.5.Графік перетинає пряму y=x під великим кутом: варіанти розташування.

Якщо функція має похідну , то при x, близьких до кореня x* виконується нерівність .

Рис.6.Послідовність розбіжна у випадку .

Кожна наступна ітерація x_i+1 буде в цьому випадку розташована далі від кореня x*, ніж попередня x_i. При цьому, залежно від того, чи перетинає графік пряму y=x "знизу вгору" або "згори донизу", послідовність {x_i} монотонно віддаляється від кореня x* або ж ітерації віддаляються від x* , потрапляючи почергово то справа, то зліва від кореня.

Ще одне зауваження: якщо не виконується ні умова , ні , то ітерації можуть зациклюватися.