В группу простых методов прогнозирования относят модели усреднений, сглаживания, а также наивные методики. При прогнозировании с помощью наивных методов строится модель, которая предполагает, что данные будущих периодов лучшим образом описываются последними произошедшими событиями аналогичного характера. Методы усреднения позволяют выполнить процедуру прогнозирования, учитывая при этом, среднюю динамику показателей за прошлые наблюдения. Сглаживающие методы позволяют построить прогноз с применением техники усреднения прошлых данных, с учетом уменьшающихся весовых коэффициентов.

Наивные модели обычно используются организациями достаточно молодыми, которые пока не имеют достаточной базы данных на основе которой можно строить сложные математические модели прогнозирования, поскольку в наивных моделях используется прогнозирование на основе последних наблюдений, то это удовлетворяет возможностям компаний, которые пока не накопили базы наблюдений [39]. Наивное прогнозирование для конкретного периода представляет собой фактическое значение предыдущего периода, такой вид прогноза называется неизменяемым прогнозом, так как текущему значению показателя дается 100% вес при расчете прогноза. В таком случае прогноз рассчитывается по формуле:

В случае если требуется постоянное обновление прогнозов, а наименования для которых требуется совершить данную процедуру исчисляются тысячами, то не всегда у специалиста по прогнозированию есть возможность, определить прогнозные значения для каждого конкретного наименования, выходом из данной ситуации может стать использование недорого краткосрочного планирования, методикой, которая основана на усреднении и сглаживании данных в рядах [10, c.137]. В основе данных методов лежит предположение о том, что различного рода флуктуации и пиковые значения носят случайный характер, это означает что прогнозирование данным методом подразумевает построение некой гладкой кривой, продолжение которой будет показывать прогнозные значения. Существует несколько приемов с помощью которых можно сгладить различные колебания в рядах данных. Целью будет построение модели для получения прогнозных значений будущих периодов, исходя из прошлых наблюдений. В данной формуле показан пример усреднение данных, на основе которых строится прогноз:

Метод использующий технику простых средних может быть полезен в случаях, когда процесса, которые являются генераторами временных данных показывают стабильность, а окружение, в котором находятся данные ряды неизменно.

Скользящие средние в отличие от метода простых средних учитывает последние наблюдения, в то время как простых средних задействован весь временной ряд. Суть модели скользящих средних заключается в постоянном обновлении модели прогнозирования путем замещения наиболее старых наблюдений на новые, непосредственно полученные, таким образом аналитик получает прогнозные значения исходя из последних наблюдений [18]. В простом виде формула скользящего среднего вычисляется:

k - число членов в скользящем среднем.

Важным аспектом применения данного метода является то, что каждому наблюдению из k наблюдений в формуле присваивается одинаковые весовые коэффициенты. Скорость реакции на изменения будет напрямую зависеть от количество рассматриваемых наблюдений, чем их будет больше, тем скорость будет меньше, однако при неизменной окружающей обстановке, в которой находятся исследуемые наблюдения точность прогноза будет выше, чем при использовании меньшего количества наблюдений [50 c.459].

Техника прогнозирования в основе которой лежат двойные скользящие средние подходит для данных, которые имеют линейный тренд. Суть данного подхода заключается в вычислении ряда с помощью скользящих средних, исходя из полученных значений скользящих средних производится усреднение, полученное значение и будет прогнозом [46 c.195]. Способ расчета двойного скользящего среднего показан в формулах:

После расчета скользящего среднего для каждого периода, участвующего в прогнозе, вычисляется вторичное скользящее среднее:

Далее необходимо рассчитать разницу между удвоенным двойным скользящим средним и простым скользящим средним:

Также для построения модели прогнозирования двойных скользящих средних необходимо рассчитать корректировочный фактор, суть которого схожа с коэффициентом наклона прямой:

В конечном итоге уравнение двойных скользящих средних выглядит следующим образом:

В данном случае будет получен прогноз на следующий период, в зависимости от того какой горизонт прогнозирования ставит перед собой аналитик, он может легко рассчитать на n периодов вперед прогноз, для этого нужно умножить коэффициент “b” на n, оставив остальную часть формулы неизменной.

В сравнении с методами, которые используют техники прогнозирования с применением скользящих средних, в которых используются наиболее актуальная информация доступная на данный момент времени, то методы экспоненциального сглаживания используется взвешенное скользящее усреднение всех данных из предыдущих наблюдений. Данные, которые наибольшим образом подходят для экспоненциального сглаживания не имеют четкого тренда. Экспоненциальное сглаживание предусматривает не только постоянное обновление модели, как и модель скользящих средних, но и присваивает наибольшие коэффициенты последним наблюдениям, как наиболее репрезентативные [34 c.264]. Коэффициента веса для последнего наблюдения определяется по формуле б, для предыдущего по формуле (1-б), следующее за ним (1-б)², причем 0<б<1. Формула, по которой рассчитывается прогноз по модели экспоненциального сглаживания выглядит следующим образом:

Прогноз построенный с применением экспоненциального сглаживания представляет собой старый прогноз, который учитывает ошибку прогноза с коэффициентом б, который является взвешивающим фактором [21]. Значение постоянной сглаживания зависит от того какое наблюдение оказывает наибольшее влияние на значение прогноза, если оно взвешивающий фактор приближается к 1, то это означает, что ошибка последнего прогноза будет существенно оказывать влияние на прогноз. В тоже время минимальное значение б будет свидетельствовать о том, что значение нового прогноза будет приближено к значению предыдущего прогноза [36 c.1518]. Постоянная сглаживания будет являться ключевым значением при построении прогноза, поскольку если ситуация требует получения прогноза для данных без серьезных отклонений, и чтобы они были сглажены, то требуется брать минимальное значение б. Большое значение б может быть применено аналитиком в случае, если требуется получить быструю реакцию на изменения. Для определения значения б производится оценка ошибки прогнозов построенных с различными показателями постоянной сглаживания {0,1;0,2;…;0,9} для того показателя б, который показал наименьший результат при оценке ошибок прогноза и будет использован при дальнейших вычислениях. Аналитиком может использоваться прием следящего сигнала, который просигнализирует, если новые прогнозы будет давать слишком сильные отклонения и динамика примет негативный характер точности, в этом случае необходим пересмотр коэффициента постоянной сглаживания [34 c.264].

Линейная регрессия представляет прямую, которая составлена с учетом наблюдений двух параметров и на основе которой можно предположить будущие значение одной из величин, зная значение другой величины [25]. Для того, чтобы определить местоположение прямой на графике, на котором отмечены точками наблюдения будет использована процедура критерия наименьших квадратов, поскольку позволяет добиться лучшего приближения по отношению ко всем наблюдениям, нанесенным на график. Уравнение прямой приближения имеет вид:

Первый параметр является свободным членом уравнения, второй показывает тангенс угла наклона. Метод наименьших квадратов позволяет аналитику подобрать значения коэффициентов такими, чтобы сумма всех отклонений была минимальной [44]. Коэффициенты для уравнения линейной регрессии рассчитываются следующим образом:

Разности, полученные при вычитании фактического значения из прогноза, называются отклонениями. Отклонениями называют перпендикуляры, опущенные из точек наблюдений на прямую регрессии. Для того, чтобы оценить степень отклонения исходных точек от полученной прямой регрессии используется процедура оценки стандартной ошибки, вычисляется по формуле:

Оценка стандартной ошибки показывает уровень отличия между фактическими значениями и прогнозируемого [30]. Для больших по объему рассматриваемых данных, данные показатель следует ожидать на уровне 67% ошибок прогноза по модулю будут меньше чем оценка стандартной ошибки и порядка 95% ошибок по модулю не будут больше чем 2. В случае если получена небольшая стандартная ошибка, то это означает что прямая регрессии хорошо описывает данные, поскольку все точки наблюдений находятся недалеко от прямой.

Использование стандартной ошибки прогноза, позволяет создать интервальный прогноз, который будет предпочтительнее по ряду факторов, во-первых, данный прогноз, позволяет избежать неопределенности, которая может возникнуть по причине того, что в точечном прогнозе, наблюдения не лежат на прямой регрессии, а находятся в среднем в пределах квадратного отклонения. Во-вторых, при построении точечного прогноза возможны неточности, которые вызваны отклонением прямой регрессии для выборочной совокупности от прямой генеральной совокупности [49].

Стандартная ошибка прогноза дает необходимую меру вариации прогнозируемого значения, которая позволяет избежать вышеуказанных неопределенностей точечного прогноза [31]. Стандартная ошибка прогноза вычисляется по формуле:

Если модель, которая была построена с применением линейной регрессии верна, то интервалы для прогнозируемого значения будут находится в пределах интервала , где в данном случае t означает квантиль распределения Стьюдента с количеством степеней свободы равному n-2. Если объем выборки достаточно большой, то есть больше или равен 30 наблюдений, то значения прогноза будут находиться в интервале . Также наряду со стандартной ошибкой прогноза используется коэффициент детерминации, который равен квадрату коэффициента корреляции, данный показатель измеряется в пределах 0<r²<1. Коэффициент детерминации равный нулю показывает, что изменение одной величины никак не связано с изменениями другой величины, поэтому данная модель не объясняет изменения прогнозируемого значения Y. В случае, когда коэффициента равен 1, то это означает, что построенная модель описывает 100% случаев изменения Y от X [31].

Простая линейная регрессия исследовала наличие взаимосвязи между зависимой и независимой переменными, если данная зависимость между величинами обнаружена, то найти значение зависимой переменной не составляет труда. Однако линейная регрессия показывает зависимость между двумя факторами, в то время как в условиях расширения процесса глобализации исследования зависимости между двумя переменными бывает недостаточно, поскольку многие факторы зависит от целого спектра независимых величин. Модель многомерной регрессии позволяет учитывать несколько переменных, в целом многомерная регрессия схожа своими понятиями с линейной регрессией, однако есть и отличия, которые обусловлены тем, что в модели используется больше одной переменной [44].

В случае, если с помощью модели линейной регрессии мы получили коэффициент детерминации 75%, означающий, что данная модель не описывает четверть изменчивости исследуемого объекта, то нам необходимо найти еще одну переменную, которая бы позволила увеличить процент описанной изменчивости. Важным аспектом поиска заключается нахождение такой переменной, которая не была бы тесно связана с уже выбранной ранее, поскольку корреляция между переменными может привести к мультиколлинеарности. Это означало бы, что выбранные переменные при высоком коэффициенте корреляции между собой, описывают ту же изменчивость, которую описывала и одна переменная. Для того, чтобы корректно создать модель прогнозирования методом многомерной регрессии требуется составить корреляционную матрицу, в которой были бы отражены коэффициента корреляции для каждого сочетания факторов.

Таблица 1 - Пример корреляционной матрицы[41, c 230]

Поскольку коэффициенты будут повторятся, а R₁₁=R₂₂=R₃₃=1, то нас будет интересовать только коэффициенты R₁₂, R₁₃, R₂₃ в случае если один из этих коэффициентов будет достаточно положительным, а другой будет показывать отрицательную зависимость, то скорей всего коэффициент детерминации данной модели может быть увеличен, путем включения данных факторов. В многомерной регрессии математическое ожидание для зависимой переменной может быть выражено функцией:

Это же выражение также используется для многомерной регрессии генеральной совокупности. В простой линейной регрессии наблюдения обозначаются парой переменных (), в то время как в многомерной регрессии наблюдения описываются сочетанием значения зависимой переменной и значением независимой переменной, где i-е наблюдение j-й независимой переменной будет обозначаться символом . Для удобства рассмотрения наблюдений в многомерной регрессии используется табличный вид, где n - число наблюдений, а k - число независимых переменных.

Таблица 2 - Общий вид данных модели многомерной регрессии[28, c 97]

Зависимая переменная, которая принимает обозначение Y - это случайная величина, которая имеет связь с независимыми переменными описанную следующим соотношением:

В данной формуле приняты следующие обозначения:

а. е - это ошибки, которые соответствуют значению отклонения зависимой переменной от истинного значения. Предполагается, что ошибки независимы и имеют нормальное распределение.

б. Коэффициенты регрессии , неизвестны.

Уравнение регрессии будет принимать вид:

В данном уравнении присутствуют коэффициенты b₀, b_1, b_k. Значение коэффициента b₀ по-прежнему обозначает свободный член функции регрессии, как и в линейной регрессии [25]. Коэффициенты b₁ и b₂ называют чистыми или частными коэффициентами регрессии, каждый из которых будет измерять среднее изменение для величины Y при однократном изменении корреспондирующей с ней независимой переменной.

Интервальный прогноз для будущего значения зависимой переменной можно получить путем нахождения доверительного интервала для выборки большой по объему и где все X - независимые переменные, в таком случае доверительный интервал для получения стандартной ошибки прогноза можно вычислить по следующей формуле:

Для того, чтобы уравнение регрессии наилучшим образом описывала взаимосвязь между независимыми факторами и исследуемым, необходимо для начала определить те независимые факторы, которые будут учитываться при построении модели прогнозирования. На данном этапе требуется включение всех переменных, которые по мнению аналитика будут улучшать точность прогнозирования. Также требуется учитывать затраты, которые будут понесены с включением каждой новой переменной в модель, поэтому специалист прогнозирования должен найти консенсус между двумя противоречащими условиями:

- Использование большего набора независимых факторов, которые не будут описывать изменчивость, описанную другими уже включенными в прогноз факторами.

- Соотношения затрат и увеличенной точности прогноза за счет включения в нее новых переменных. Поскольку сбор и обработка информации для независимых факторов представляет затраты, то они должны быть соотносимы с точностью прогноза.

После того, как специалист по прогнозированию собрал все необходимые потенциальные независимые переменные, требуется произвести более детальный отбор и убрать ту часть из них, которая может не соответствовать контексту исследуемой проблемы [39]. Независимый фактор может быть исключен из списка, претендующих на попадание непосредственно в процесс прогнозирования из-за отсутствия существенного отношения к поиску решения для данной задачи. В случае если существует проблемы такого рода, когда одна независимая переменная описывает ту же изменчивость зависимой переменной, что и предыдущая, то это вызовет мультиколлинеарность, то есть наличие линейной зависимости между независимыми переменными, что приведет к ухудшению точности прогноза. Также недопустимы случаи попадания в модель тех независимых факторов, которые не имеют реальной взаимосвязи с исследуемым объектом. Иногда сбор и обработка большого количества данных может быть слишком затратным, поэтому в данном случае тоже возможен отказ от поиска, тех данных которые в несколько раз увеличивают стоимость прогноза, но лишь немного уменьшают ошибки возникающие в процессе прогнозирования. Следующий шаг в поиске оптимального уравнения регрессии также будет сокращать количество независимых переменных, существует несколько способов, с помощью которых можно удалить нерелевантные факторы из модели, однако ни одна из этих процедур не может гарантировать получение наилучшего уравнения, также здесь стоит понимать, что каждый из способов, который будет сокращать количество независимых переменных может использовать совершенно разные подходы и поэтому на выходе ожидаемо получение совершенно разных наилучших уравнений для каждого из методов.

Данная процедура предусматривает набор всех возможных уравнений регрессии, которые включают потенциальные независимые факторы. Аналитик проводит анализ уравнения, которое не содержит ни одной независимой переменной и исследует все возможные комбинации содержащие независимые переменные [42]. В данной процедуре могут быть использованы различные критерии, однако самым основным является коэффициент детерминации, описывающий, какое количество случае описывает построенная модель прогнозирования. Сначала строится уравнение регрессии для исходной зависимой переменной, фактору, который будет подвержен прогнозированию, и всех возможных независимых факторов, поскольку каждая из независимых переменных имеет два исхода: исход, когда она присутствует, то есть положительный и отрицательный, когда она отсутствует в уравнении. Тогда количество возможных уравнений, которое может быть составлено, будет представлено в общем виде 2^K, где K - число независимых переменных, участвующих в модели. Далее требуется сгруппировать все уравнения в соответствии с количеством параметров, которые необходимо подвергнуть оценке [33]. В случае если у нас будет взяты три переменные, то группировка будет произведена следующим образом:

Таблица 3 - Пример группировки моделей по количеству параметров[41]

Далее требуется выбрать наилучшее сочетание переменных, то есть то которое даст наибольший коэффициент детерминации из тех уравнений, содержащих аналогичное количество параметров. Следующий шаг можно представить в виде условной таблицы:

Таблица 4 - Пример группировки лучших уравнений регрессии[28, c 34]

Четвертый этап требует субъективной оценки, для того чтобы определить лучшее из представленных в Таблице№4 уравнений регрессии. Поскольку критерием выбора будет необязательно коэффициент детерминации, а наиболее простое уравнение, которое в тоже время не сильно будет уступать максимальному значению коэффициента детерминации из встречающихся в группировки лучших уравнений регрессии.

Процедура пошаговой регрессии представляет собой постепенное добавление в модель прогнозирование, то есть в уравнение регрессии независимых факторов, по одному на каждом отдельном этапе. Для проведения пошаговой регрессии требуется выполнение следующих алгоритмов:

- На первом этапе пошаговой регрессии будут рассматриваться все простые модели. Независимый фактор, который объясняет значимую долю изменчивости исследуемого зависимого фактора и будет первая переменная, включенная в уравнение регрессии.

- Следующая переменная, которая будет добавлена в список независимых факторов уравнения регрессии будет та, которая добавляет наиболее значительную долю в регрессионную сумму квадратов. Для определения значимости вклада используется F-статистика, показывающая значение, которое должно быть превышено для признания переменной значимой для включения.

- После добавления в уравнение второй переменной, отдельный вклад, который вносит каждая переменная в регрессионную сумму квадратов, уже включенных в модель переменных проверяется с помощью F-теста. Если результат тест покажет величину ниже, чем значение для исключения, то данная переменная удаляется из регрессии.

- Этапы 2 и 3 повторяются пока вводимые в модель независимые переменные не перестанут быть значимыми для модели, в момент, когда такие переменные исчерпаны, процедура пошаговой регрессии считается завершенной.

Пока не будет получено подтверждение, что выбранная модель регрессии адекватно может представить данные, регрессионный анализ не может считаться завершенным [27]. Причем получение сведений о модели прогнозирование, о ее возможности верно оценивать данные должны быть проверено до того, как данная модель будет включена в методику принятия решений в условиях неопределенности.

Исследование остатков прогноза является важным этапом в процессе определения репрезентативности модели. В случае если модель имеет дело с данными временных рядов, то необходимо провести соответствующую проверку остатков на отсутствие автокорреляции между ними. Выводы или решения основанием для которых стали результаты прогнозирования уравнением, которые не удовлетворяют основополагающим регрессионным предположениям могут быть совершенно неверными [25]. Крайние наблюдения в наборе данных называются выбросами, то есть такие значения, которые существенно отклоняются от динамики остальных данных. В процессе сглаживания или подгонки выбросы не могут достаточно просто быть определены, однако они оказывают значительное влияние при принятии решения о выборе подходящего уравнения регрессии. Также присутствует необходимость изучения всех выбросов с целью определения необходимости их присутствия в наборе данных или их требуется исключить из него. В случае, когда принято решение об оставлении остатков в наборе данных необходимо определить степень их влияния на уравнение регрессии.